SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER"

Transkript

1 SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan sınırlarda ise kendisi ve normal doğrultuda türevi bilinen fonksiyonun bulunmasıdır. Hacım kuvvetlerinin sabit olması halinde düzlem gerilme ve düzlem şekil değiştirme problemi F F F Bölgede ( x y) F x x y y df Sınırda Qt () s () dn F M s şeklinde yazılır. Burada M(s) ifadesi, sınırda alınan bir başlangıç noktasından itibaren sınır kuvvetlerini sınır üzerindeki noktalara göre momentidir. Q t (s) ise sınır kuvvetlerinin, teğetin pozitif yönü eğrinin artım yönü ile aynı olmak üzere, teğet üzerinde izdüşümleridir. Yukarıda verilen problem diferansiyel denge denklemi ayrıklaştırılarak bir cebirsel denklem dönüştürülerek sayısal olarak çözülür. Denklemin ayrıklaştırılmasında temel düşünce türevler yerine fonksiyon değerlerinin kullanılmasıdır. Bu ayrıklaştırılma sonunda fonksiyon değerlerine; yani F değerlerine bağlı bir cebrik denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sistemi çözülerek nokta nokta F değerleri bulunur. F değerleri bulunduktan sonra sayısal olarak türev değerleri yazılarak σ x,σ y,τ xy gerilmeleri bulunur.

2 Elastisite Sayısal türev bağıntıları: Ayrıklaştırma için bölge üzerinde şekilde görüldüğü gibi ağ alalım. İki bağımsız değişkenli fonksiyon u ve bağımsız değişkenler x, y olsunlar. Bu fonksiyonun x i ve y noktasındaki değerini ui, u( xi, y) (11.78) Şekil 11.1 ile gösterelim. u(x,y) fonksiyonu, şekil 11.1 de görüldüğü gibi, serbest değişkenleri x ve y gibi eşit aralıklarla sıralanan bir ağ üzerinde verilsin. Şekilde ağ üzerindeki noktaların indisleri görülmektedir. x i ve y noktası civarında u i+1, ve u i1, değerleri, u ( x) u ( x) u ( x) u i1, i, u u x R (11.79) x! x 3! x 4! x u ( x) u ( x) u ( x) u ui1, ui, x R (11.80) x! x 3! x 4! x u(x,y) fonksiyonun (x i,y ) noktasında x e göre kısmi türevi, u/x, yukarıda verilen birinci bağıntıdan veya ikinci bağıntıdan veya birinci ile ikinci bağıntının birbirinden çıkartılmasından aşağıda verilen üç ayrı şekilde elde edilir (Not yukarıdaki denklemlerin sağ tarafındaki terimlerden ikisi kullanılmış üçüncü terim hata mertebesini vermektedir).

3 Sonlu Farklar 3 u ui1, u i, O( x) x x u ui, u i1, O( x) x x u ui1, u i1, O[( x) ] x x (11.81) Bu türevlerden birincisi ileriye doğru, ikincisi geriye doğru ve üçüncüsü ise merkezi farklar formunda yazılmıştır. Benzer şekilde; u(x,y) fonksiyonun (x i,y ) noktasında y e göre kısmi türevi, u/y, aşağıda verildiği şekilde bulunur. u u u i, 1 i, O y u y u ( y) u i, i, 1 O y y ( y) u ui, 1 u i, 1 O([ y] ) y y (11.8) İkinci türev ise (11.79) ile (11.80) bağıntılarının birbirleri ile toplanmasından aşağıda verilen şekilde bulunur. u x u u u i1, i, i1, O x ( x) [( ) ] (11.83) Fonksiyonun y e göre ikinci kısmi türevi, benzer şekilde, aşağıda verildiği gibi bulunur. u y u u u i, 1 i, i, 1 O y ( y) [( ) ] (11.84) Karışık türev ise, (11.8) da verilen birinci türevin merkezi fark bağıntısı kullanılarak aşağıda verilen şekilde bulunur.

4 4 Elastisite u u u 1 u u ( ) [( ) i, 1 ( ) i, 1] yx y x y x x u u u u u u xy yx 4xy i1, 1 i1, 1 i1, 1 i1, 1 O x y [( ) ] (11.85) u fonksiyonunun x e göre üçüncü, dördüncü ve karışık türevlerinin hesaplanışı ve sonuçları aşağıda verilmiştir. Üçüncü Türev 3 u u 1 u u ( ) [ ] O[( x) ] x x x x x x 3 i1, i1, 3 u ui, ui 1, ui 1, ui, O[( x) ] 3 3 x ( x) 3 u ui, ui, 1 ui, 1 ui, O[( y) ] (11.88) 3 3 y ( y) Karışık Türev 3 u u 1 u u ( ) [ ] O[( x y) ] xy x y x y y i1, i1, 3 u u u u u u u xy ( x)( y) (11.89) O[( x y) ] i1, 1 i1, i1, 1 i1, 1 i1, i1, 1 Karışık Türev 3 u u 1 u u ( ) [ ] O[( x y) ] yx y x yx x i, 1 i, 1 3 u u u u u u u yx ( y)( x) (11.90) O[( x y) ] i1, 1 i, 1 i1, 1 i1, 1 i, 1 i1, 1

5 Sonlu Farklar 5 Dördüncü Türev 4 u u 1 u u u ( ) 4 ( ) [ ] O[( x) ] x x x x x x x i 1, i, i 1, 4 u ui, 4ui 1, 6ui, 4ui 1, ui, O[( x) ] 4 4 x ( x) 4 u ui, 4ui, 1 6ui, 4ui, 1 ui, O[( y) ] 4 4 y ( y) Karışık Türev (11.91) 4 u 1 u u u [ ] O [( x y ) ] y x ( y) x x x i i i, 1,, 1 u u u u u 4u u u u u y x ( x) ( y) (11.9) 4 i1, 1 i, 1 i1, 1 i1, i, i1, i1, 1 i, 1 i1, 1 Yukarıda verilen türevlerde fonksiyon değerlerinin katsayıları hatırlamak ve bazı uygulamalarda yardımcı olması için aşağıda şekil 11. de verilen şablonlar kullanılır. Şablonlarda, tek dereceli türevlerde (birinci ve üçüncü türev) ilgili eksenin yönü önemli olduğundan, eksenin yönü şekilde gösterilmiştir. Eksen yönü olarak şekilde gösterilen yönün tersi alındığında, değiştirilen eksen doğrultusundaki katsayıların simetriğini almak gerekir. Buna ait örnek şekilde u/xy ve 3 u/x 3 türevinde gösterilmiştir.

6 6 Elastisite

7 Sonlu Farklar 7 Biharmonik denklemin ayrıklaştırılması: u u u ( u) u f( x, y) (15.188) 4 4 x x y y Yukarıda verilen biharmonik denklemin aşağıdaki şekilde görülen (i,) noktasında, türevleri yerine (11.91) ve (11.9) ile verilen türev bağıntıları diferansiyel denklemde yerlerine yazılarak ayrıklaştırılır. Ayrıklaştırma sonunda elde edilen bağıntıda x=y alınıp bağıntı düzenlendiğinde aşağıda verilen sonuç bulunur. 0u 8( u u u u ) ( u u u u ) i, i1, i1, i, 1 i, 1 i1, 1 i1, 1 i1, 1 i1, 1 u u u u ( x) 4 f (15.189) i, i, i, i, i, Yukarda verilen bağıntıda i indisi x doğrultusunu indisi ise y doğrultusunu kontrol etmektedir. Yukarıda verilen bağıntı yerine şekil de görülen şablon da kullanılabilir. Şablon aynı bağıntının şematik gösterimi olup kullanımı kolaydır. Şablon yukarıda verilen bağıntıdan elde edileceği gibi şekil 11. de verilen 4 u/x 4, 4 u/y 4 ve * 4 u/x y şablonlarını toplayarak da elde edilebilir.

8 8 Elastisite Sonlu fark denklemlerinin yazılması: Aşağıda verilen şekilde görüldüğü gibi biharmonik denklemin çözüleceği bölgede bir ağ teşkil edelim. Ağda M satır N kolon bulunsun. Bu durumda ağda M.N nokta bulunacak. Ağda üç tip nokta vardır.

9 Sonlu Farklar 9 a) Sınır noktaları: Bu noktalar sınırda bulunan noktalardır. Şekilde dikdörtgen ile gösterilmiş olup M+N-4 adettir. b) İç noktalar: Bu noktalar bölgenin içindedir. Şekilde daire ile gösterilmiş olup (N-)(M-) adettir. c) Dış noktalar: Bu noktalar bölgenin tamamen dışındadır. Şekilde üçgen ile gösterilmiştir. Gerektiğinde kullanılır. Tamamı kullanılmayabilir. Bunlar gerektiği kadar kullanılacağı için sayıları önemi değildir. Ayrıca bu noktalar dış bölgedeki noktalar olduğu için teorik olarak sayıları sonsuzdur. Şekilde belirli sayıda gösterilmiştir. Problemde sınırdaki Airy gerilme fonksiyonun değerleri verildiğinden sadece iç noktalardaki değerleri bilinmiyor. Dolayısıyla problemdeki bilinmeyen sayısı (N-)(M-) dir. Kısaca, bilinmeyenlerin sayısı iç nokta sayısına eşittir. Sonlu fark denkleminde veya sonlu fark şablonunda görülen u i, noktasına pivot nokta adı verilir. Pivot nokta iç noktalara getirilerek sonlu fark denklemleri yazılır. Bu şekilde bilinmeyen sayısı kadar sonlu fark denklemi elde edilir. Bu denklemler çözülerek her noktada Airy gerilme fonksiyonun değerleri bulunur. Airy gerilme fonksiyonu nokta nokta bulunduktan sonra (i,) noktasında σ x,σ y,τ xy gerilmeleri F Fi, 1 Fi, Fi, 1 x y ( y) F Fi 1, Fi, Fi 1, y x ( x) F Fi 1, 1 Fi 1, 1 ( Fi 1, 1 Fi 1, 1) xy xy 4 x y bağıntıları ile bulunur.

10 10 Elastisite Sonlu fark denklemleri yazılırken pivot nokta olarak sınırın hemen yanındaki nokta alındığında şekil daki durum ortaya çıkar. Şekil da görüldüğü gibi, pivot nokta (P noktası) sınıra yakın olduğunda denklemlere bir sıra dış noktadaki fonksiyon değerleri girer. Bu durumda dış noktalar nedeni ile bilinmeyen sayısı artar. Bu bilinmeyenlerin hesabı için ek bağıntılara ihtiyaç vardır. Bu bağıntılar Airy gerilme fonksiyonun sınırdaki türevi ayrıklaştırılarak elde edilir. Şekil da görülen P 0 noktasında birinci türev merkezi farklar kullanılarak ayrıklaştırıldığında u up ( 1) up ( ) u ( P0) up ( 1) up ( ) x ( P0) x x x (15.195) bağıntısı elde edilir. Bu bağıntı görülen kısmı türev -Q t (s) eşit olduğundan bilinmektedir. Dolayısıyla dış nokta değerleri iç nokta değerlerine bağlanmıştır. Sonuç olarak bilinmeyen sayısı kadar denklem elde edilir. Bu denklemler doğrusaldır.

11 Sonlu Farklar 11 Sonlu fark denkleminin çözümde kullanılan yöntemler: Sonlu fark denklemlerinin çözümünde kullanılan dolaysız yöntemler ile ardışık yaklaşım yöntemleri kısaca aşağıda karşılaştırılmıştır. Bilinmeyen sayısı az ise dolaysız yöntemlerden Gauss eliminasyon yöntemi uygulanır. Katsayılar matrisinin içinde fazla miktarda sıfır var ise bunlar Gauss eliminasyonda kaybolurlar. Bu sıfırları muhafaza etmek için en iyi yöntem ardışık yaklaşım yöntemidir. Ayrıca katsayılar matrisinin mertebesi büyük ise, örneğin 100 den fazla, ardışık yaklaşım yöntemi önerilir. Ayrıca ardışık yaklaşım yöntemi elektronik tablolarda düşük mertebeli matrisler için de uygun çözüm yöntemidir. Ardışık yaklaşım yöntemleri, (15.189) bağıntısı aşağıda verilen şekilde yazılarak uygulanır. 1 ui, [8( ui 1, ui 1, ui, 1 ui, 1 ) ( ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ) 0 ( u u u u ) ( x) f ] 4 i, i, i, i, i, Excel tablolarının kullanılması: Excel tablosunda, tablonun dairesel döngü özelliği kullanılarak biharmonik denklem ardışık yaklaşım ile kolay bir şekilde çözülür. Tabloya kontrol altında tutabilmek için bilinmeyenler çok fazla olmamalıdır. Excel tablolarında fark denklemleri çok kolay bir şekilde yazılır ve sonuçlar bir matris şeklinde elde edildiğinden yorumlanması da çok kolaydır. Excel tablolarının kullanımının esası, her ağ noktasına bir hücre karşı getirip bu hücrede aranan fonksiyonun değerini saklamaktır. Ardışık yaklaşımda aranan fonksiyonun değeri işlem sırasında bu hücrede değiştirilir. Hücrelerin dizilişi ağ noktalarının dizilişi ile aynıdır. İşlem sırası aşağıda verilmiştir: a) Excel tablosunda önce her ağ noktasına karşı gelen hücreler belirlenir. b) Sınır noktalarına karşı gelen hücrelerdeki değerler bellidir ve değerleri yerlerine yazılır.

12 1 Elastisite c) Dış noktaların değerleri iç noktalara formül ile bağlanır. Her hangi bir dış noktanın değeri iç noktanın değerine u up ( 1) up ( ) x ( P0) up ( ) xqt x (15.195) formülü ile bağlanır. d) İç karşı gelen hücrelere ise başlangıç değerleri, genelde sıfır, yazılır. Daha sonra iç noktalardan birine 1 ui, [8( ui 1, ui 1, ui, 1 ui, 1 ) ( ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ) 0 4 ( u u u u ) ( x) f ] i, i, i, i, i, bağıntısı formül olarak yazılır ve sonra bu formül bütün iç noktalara kopyalanır. Kopyalama işlemi bittikten sonra dairesel döngü çalışarak, hücrelerdeki değerleri ardışık yaklaşım ile hesaplayıp yerlerine yazar. Dairesel döngünün çalışabilmesi için Exel in, Araçlar, Seçenekler, Hesaplama menüsünde Yineleme düğmesine onay verilmiş olması gerekir. Ayrıca aynı menüde En büyük değişiklik kısmına yazılan sayı ile iki yinelenen değer arasında fark belirlenir; bu fark sağlanınca yineleme durur. Bu kısım ile istenilen hesap inceliği ayarlanır. Yine aynı menüde En fazla yineleme sayısı ile yineleme sayısına bir sınır konulur. Yineleme yeterli olmadığı takdirde, yineleme sayısı büyültülür veya F9 tuşuna basılarak tekrar aynı miktarda yineleme yaptırılır. Burada görüldüğü gibi denklemler formül olarak yazılmakta sonuçlar ise ilgili hücrelerde matrisi formunda elde edilmektedir.

13 Sonlu Farklar 13 e) Airy gerilme fonksiyonları nokta nokta hesaplandıktan sonra F x y F y x xy F F F i, 1 i, i, 1 ( y) F F F i1, i, i1, ( x) F Fi 1, 1 Fi 1, 1 ( Fi 1, 1 Fi 1, 1) xy 4 x y bağıntıları ile gerilmeler nokta nokta hesaplanır. Örnek Problem: Şekilde görülen levhayı düşey doğrultuda 10 aralığa yatay doğrultuda 4 aralığa ayıran ağı kullanarak levhadaki gerilmeleri sonlu farklar yöntemi ile bulunuz. Çözüm: Şekilde görüldüğü gibi levhayı üzerinde aralıkları eşit ağ kuralım. Ağdaki sınır noktalar 1,, 8 olarak işaretlenmiştir. İç noktalar çarpı işaretleri ile dış noktalar ise daireler ile gösterilmiştir. Şekilde 8 sınır nokta ve 7 iç nokta bulunmaktadır. Başlangıç noktası olarak her hangi bir nokta şeçilebilir.

14 14 Elastisite Sınır noktalarında Airy gerilme fonksiyonun değerleri dış yüklerin noktalara göre momentleri alınarak aşağıda verilen şekilde bulunur: F 1 = F = F 3 = F 4 =F 5 = F 6 = F 7 =0 F 8 =p 0 a / F 9 =p 0 a F 10 =4p 0 a F 11 = F 1 =F 13 =F 14 =F 15 =F 16 =F 17 =F 18 =F 19 =F 0 =4p 0 a F 1 =p 0 a F =p 0 a / F 3 = F 4 = F 5 = F 6 =F 7 = F 8 = 0 Sınır noktalarında, Airy gerilme fonksiyonun normal doğrultudaki türevlerini değerleri aşağıda verilmiştir. 6,10,0 ve 4 noktalarında türevde süreksizlik olduğunda iki değer verilmiştir. 6 ve 4 noktalarında türev değerleri iki doğrultuda da sıfır olduğundan tek değer verilmiştir. 10 ve 0 noktasında iki türev değeri bulunduğundan ayrı ayrı verilmiştir. (df/dn) 1 = (df/dn) = (df/dn) 3 = (df/dn) 4 =(df/dn) 5 = (df/dn) 6 = (df/dn) 7 =0 (df/dn) 8 =(df/dn) 9 =0 (df/dn) 10 =(0,p 0 a) (df/dn) 11 =(df/dn) 1 =(df/dn) 13 =(df/dn) 14 =(df/dn) 15 =(df/dn) 16 =(df/dn) 17 = (df/dn) 18 =(df/dn) 19 =p 0 a (df/dn) 0 =(p 0 a,0) (df/dn) 1 =(df/dn) =(df/dn) 3 = (df/dn) 4 = (df/dn) 5 = (df/dn) 6 =(df/dn) 7 = (df/dn) 8 = 0

15 Sonlu Farklar 15 Sayısal hesaplar a=1 ve p 0 =1 alınarak yapılmıştır. Aşağıda verilen Excel tablosunda en altında ve en üst satırda nokta numaraları görülmektedir. Excel tablosuna önce sınır noktalarında Airy gerilme fonksiyonunun değerleri yazılır. İç noktalardaki Airy gerilme fonksiyonun değerleri tabloda sıfır olarak yazılır. Bu noktalardaki değerler, ardışık yaklaşımla bulunacağı için ilk yaklaşımdaki değerleri sıfır alınmaktadır. Şekilde verilen tabloda sıfır değerleri görülmemektedir ,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 6,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 0,000,000,000 0,000 0,000 0,500 0,500 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0, Dış noktaların hesabına gelince bu değerler formül olarak girilir. Dış noktaya karşı gelen iç noktanın değerine df/dn eklenecek (köşe noktalarda gelen noktalar sınır noktalardır). İç nokta değerleri başlangıçta sıfır alındığından tabloda görülen değerler sadece Δx(dF/dn) değerleridir. Daha sonra iç noktalardan birine 1 ui, [8( ui 1, ui 1, ui, 1 ui, 1 ) ( ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ui 1, 1 ) 0 ( u u u u )] i, i, i, i, bağıntısı yazılır. Bu bağıntı diğer gözlere kopyalanır. Kopyalanma bittiğinde dairesel döngü çalışarak denklem takımını çözer sonuç aşağıda verilen tabloda görülmektedir. Tablonun altında diğer gerilmeleri hesaplayan tablolar bulunmaktadır. Bu tablolar Airy gerilmelerinin bulunduğu tablodan yararlanarak elde edilmiştir.

16 16 Elastisite 6,000 6,089 6,176 6,3 6,43 6,48 6,43 6,3 6,176 6,089 6,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000 4,000,089,000,089,176,3,43,48,43,3,176,089,000,089 0,699 0,500 0,699 0,863 0,950 0,986 0,995 0,986 0,950 0,863 0,699 0,500 0,699 0,089 0,000 0,089 0,176 0,3 0,43 0,48 0,43 0,3 0,176 0,089 0,000 0,089 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,089 0,176 0,3 0,43 0,48 0,43 0,3 0,176 0,089 0,000 x 0,000 0,178 0,351 0,447 0,486 0,496 0,486 0,447 0,351 0,178 0,000 0,500 0,51 0,51 0,503 0,499 0,498 0,499 0,503 0,51 0,51 0,500 1,000 0,780 0,65 0,547 0,515 0,507 0,515 0,547 0,65 0,780 1,000 0,500 0,51 0,51 0,503 0,499 0,498 0,499 0,503 0,51 0,51 0,500 0,000 0,178 0,351 0,447 0,486 0,496 0,486 0,447 0,351 0,178 0,000 y 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,178-0,00-0,039-0,08-0,015-0,010-0,015-0,08-0,039-0,00 0,178 0,398-0,035-0,078-0,051-0,07-0,018-0,07-0,051-0,078-0,035 0,398 0,178-0,00-0,039-0,08-0,015-0,010-0,015-0,08-0,039-0,00 0,178 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 xy 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,091 0,063 0,031 0,011 0,000-0,011-0,031-0,063-0,091 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000-0,091-0,063-0,031-0,011 0,000 0,011 0,031 0,063 0,091 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15.

HARMONİK DENKLEM. Burada göz önüne alınacak problem Dirichlet problemidir; yani fonksiyonun sınırda kendisinin verilmesi halidir. 2 2 (15. HARMONİK DENKLEM Harmonik denklemin sağ tarafının sıfır olması haline Laplace, sağ tarafının sıfır olmaması haline de Possion denklemi adı verilir. Possion ve Laplace denklemi, kısaca harmonik denklem

Detaylı

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2

DİFERANSİYEL DENKLEMLER-2 DİFERANSİYEL DENKLEMLER- SINIR DEĞER ve ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde adi diferansiyel denklemlerde sınır ve özdeğer problemleri ( n) ( n1) incelenecektir. F( y, y,..., y, x) 0 şeklinde verilen bir diferansiyel

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI

FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI FONKSİYONLARIN TABLO ŞEKLİNDE HESAPLANMASI Bu kısımda bir fonksiyon değerlerinin tablo şeklinde hesaplanması incelenecektir. İncelenecek fonksiyon y=f(x) şeklinde bir değişenli veya z=f(x,y) şeklinde iki

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012

Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012 1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler

Detaylı

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması.

Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Proje Adı: Sonlu Bir Aritmetik Dizinin Terimlerinin Kuvvetleri Toplamının İndirgeme Bağıntısıyla Bulunması. Projenin Amacı: Aritmetik bir dizinin ilk n-teriminin belirli tam sayı kuvvetleri toplamının

Detaylı

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Kompozit Malzemeler ve Mekaniği. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Kompozit Malzemeler ve Mekaniği Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 4 Laminatların Makromekanik Analizi Kaynak: Kompozit Malzeme Mekaniği, Autar K. Kaw, Çevirenler: B. Okutan Baba, R. Karakuzu. 4 Laminatların

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

İÇİNDEKİLER. ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v

İÇİNDEKİLER. ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ... iii İÇİNDEKİLER... v BÖLÜM 1.... 1 1.1. GİRİŞ VE TEMEL KAVRAMLAR... 1 1.2. LİNEER ELASTİSİTE TEORİSİNDE YAPILAN KABULLER... 3 1.3. GERİLME VE GENLEME... 4 1.3.1. Kartezyen Koordinatlarda

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 4- LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ Matematikte veya hidrolik, dinamik, mekanik, elektrik

Detaylı

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ

BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ BÖLÜM 1: MADDESEL NOKTANIN KİNEMATİĞİ 1.1. Giriş Kinematik, daha öncede vurgulandığı üzere, harekete sebep olan veya hareketin bir sonucu olarak ortaya çıkan kuvvetleri dikkate almadan cisimlerin hareketini

Detaylı

5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi

5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi 5. RITZ metodunun elemana uygulanması, elemanın rijitlik matrisi u bölümde RITZ metodu eleman bazında uygulanacak, elemanın yer değiştirme fonksiyonu, şekil değiştirme, gerilme bağıntıları, toplam potansiyeli,

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

UYGULAMALI ELASTİSİTE TEORİSİ

UYGULAMALI ELASTİSİTE TEORİSİ KOCAELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ UYGULAMALI ELASTİSİTE TEORİSİ Prof.Dr. Paşa YAYLA 2010 ÖNSÖZ Bu kitabın amacı öğrencilere elastisite teorisi ile ilgili teori ve formülasyonu

Detaylı

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR

BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen

Detaylı

Tabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates by Finite Difference Method

Tabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates by Finite Difference Method Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi Cilt 17, Sayı 1, 2011, Sayfa 51-62 Tabakalı Kompozit Plakların Sonlu Farklar Yöntemi ile Statik Analizi Static Analysis of Laminated Composite Plates

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:

KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.

Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

HEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA

HEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA HEDEF ARA ve ÇÖZÜCÜ HEDEF ARA Hedef ara komutu bir fonksiyonun tersinin bulunmasında kullanılır. Hedef ara işlemi, y=f(x) gibi bir fonksiyonda y değeri verildiğinde x değerinin bulunmasıdır. Bu işlem,

Detaylı

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ

EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 10. SINIF MATEMATİK DERSİ DESTEKLEME VE YETİŞTİRME KURSU KAZANIMLARI VE TESTLERİ EKİM 07-08 EĞİTİM - ÖĞRETİM YILI 0. SINIF MATEMATİK DERSİ 0... Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. 0... Sınırsız sayıda tekrarlayan nesnelerin dizilişlerini

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

İçindekiler 1 GENEL KAVRAM ve TANIMLAR 2 TEMEL YASALAR ve KORUNUM DENKLEMLERİ vii

İçindekiler 1 GENEL KAVRAM ve TANIMLAR 2 TEMEL YASALAR ve KORUNUM DENKLEMLERİ vii 1 GENEL KAVRAM ve TANIMLAR 1 1.1 Giriş... 1 1.2 Sürekli Ortam Yaklaşımı..... 2 1.2.1 Bir Maddenin Moleküler ve Atomik Seviyeleri... 3 1.2.2 Sürekli Ortam İçin Sınırlamalar... 4 1.3 Laminar ve Türbülanslı

Detaylı

GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET

GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET GERİLME ANALİZİ VE MOHR ÇEMBERİ MUKAVEMET Yrd. Doç. Dr. Emine AYDIN Yrd. Doç. Dr. Elif BORU 1 GENEL YÜKLEME DURUMUNDA GERİLME ANALİZİ Daha önce incelenen gerilme örnekleri eksenel yüklü yapı elemanları

Detaylı

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7

MATRİSLER. Şekil 1 =A6:B7+D6:E7 MATRİSLER Bir A matrisi mxn adet gerçel veya sanal elemanların sıralı koleksiyonudur. Bu koleksiyon m satır ve n sütun ile düzenlenir. A(mxn) notasyonu matrisin m satırlı n sütunlu olduğunu gösterir ve

Detaylı

(, ) = + + yönünde yer değiştirme fonksiyonu

(, ) = + + yönünde yer değiştirme fonksiyonu . Üçgen levha eleman, düzlem gerilme durumu. Üçgen levha eleman, düzlem gerilme durumu Çok katlı yapılardaki deprem perdeleri ve yüksek kirişler düzlem levha gibi davranır. Sağdaki şekilde bir levha sistem

Detaylı

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method

AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT ÜHENDİSLİĞİ BÖLÜÜ Department of Civil Engineering İN 303 YAPI STATIĞI II AÇI YÖNTEİ Slope-deflection ethod Y.DOÇ.DR. USTAA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi,

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

Bekleme Hattı Teorisi

Bekleme Hattı Teorisi Bekleme Hattı Teorisi Sürekli Parametreli Markov Zincirleri Tanım 1. * +, durum uzayı * +olan sürekli parametreli bir süreç olsun. Aşağıdaki özellik geçerli olduğunda bu sürece sürekli parametreli Markov

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği: H = V g + h + z x e göre türevi alınırsa: dh d V = dx dx

Detaylı

Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk

Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk Doğrusal Demet Işıksallığı Fatma Çağla Öztürk İçerik Demet Yönlendirici Mıknatıslar Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar 3.07.01 HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. Demet Yönlendirici Mıknatıslar Durgun mıknatıssal

Detaylı

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1

3. TAHMİN En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 3. TAHMİN 3.1. En Küçük Kareler (EKK) Yöntemi 1 En Küçük Kareler (EKK) yöntemi, regresyon çözümlemesinde en yaygın olarak kullanılan, daha sonra ele alınacak bazı varsayımlar altında çok aranan istatistiki

Detaylı

δ / = P L A E = [+35 kn](0.75 m)(10 ) = mm Sonuç pozitif olduğundan çubuk uzayacak ve A noktası yukarı doğru yer değiştirecektir.

δ / = P L A E = [+35 kn](0.75 m)(10 ) = mm Sonuç pozitif olduğundan çubuk uzayacak ve A noktası yukarı doğru yer değiştirecektir. A-36 malzemeden çelik çubuk, şekil a gösterildiği iki kademeli olarak üretilmiştir. AB ve BC kesitleri sırasıyla A = 600 mm ve A = 1200 mm dir. A serbest ucunun ve B nin C ye göre yer değiştirmesini belirleyiniz.

Detaylı

Mukavemet-II. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mukavemet-II. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 9 Kirişlerin Yer Değiştirmesi Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 9.1 Giriş

Detaylı

dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir.

dir. Fonksiyonun (a,b) aralığında integrali ise, her aralıkta alınan integral değerlerini toplanarak, aşağıda verilen şekilde elde edilir. SAYISAL İNTEGRASYON TEK KATLI İNTEGRASYON Sayısal integrasyon çok geniş bir konudur. Burada problemli olmayan (genelde integrantın tekilliği olmayan, fazla salınım yapmayan, yaklaşım problemi bulunmayan)

Detaylı

KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME)

KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) KAYMA GERİLMESİ (ENİNE KESME) Demir yolu traversleri çok büyük kesme yüklerini taşıyan kiriş olarak davranır. Bu durumda, eğer traversler ahşap malzemedense kesme kuvvetinin en büyük olduğu uçlarından

Detaylı

Tablo 1 Deney esnasında kullanacağımız numunelere ait elastisite modülleri tablosu

Tablo 1 Deney esnasında kullanacağımız numunelere ait elastisite modülleri tablosu BASİT MESNETLİ KİRİŞTE SEHİM DENEYİ Deneyin Amacı Farklı malzeme ve kalınlığa sahip kirişlerin uygulanan yükün kirişin eğilme miktarına oranı olan rijitlik değerin değişik olduğunun gösterilmesi. Kiriş

Detaylı

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.

Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)

Detaylı

Açı Yöntemi. 1 ql 8. Açı yöntemi olarak adlandırılan denklemlerin oluşturulmasında aşağıda gösterilen işaret kabulü yapılmaktadır.

Açı Yöntemi. 1 ql 8. Açı yöntemi olarak adlandırılan denklemlerin oluşturulmasında aşağıda gösterilen işaret kabulü yapılmaktadır. çı Yöntemi Kuvvet ve -oment yöntemlerinde, ilave denklemleri zorlamaların sistem üzerinde oluşturduğu deformasyonların sistemde oluşturulan suni serbestliklerden dolayı oluşan deformasyonlardan ne kadar

Detaylı

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta)

Karabük Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi...www.IbrahimCayiroglu.com. STATİK (4. Hafta) KAFES SİSTEMLER STATİK (4. Hafta) Düz eksenden oluşan çubukların birbiriyle birleştirilmesiyle elde edilen sistemlere kafes sistemler denir. Çubukların birleştiği noktalara düğüm noktaları adı verilir.

Detaylı

Elektronik Tablolar ile Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü 1

Elektronik Tablolar ile Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü 1 İMO Teknik Dergi, 2004 3235-3248, Yazı 217 Elektronik Tablolar ile Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü 1 Günay ÖZMEN * ÖZ Bilimsel ve teknik problemlerin pek çoğunda karşılaşılan "Kısmi Diferansiyel

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı

Detaylı

Yeşilköy Anadolu Lisesi

Yeşilköy Anadolu Lisesi Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

MUKAVEMET I ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER MUKAEMET I ÇÖZÜMÜ ÖRNEKER ders notu Yard. Doç. Dr. Erdem DAMCI Şubat 15 Mukavemet I - Çözümlü Örnekler / 7 Örnek 1. Üzerinde yalnızca yayılı yük bulunan ve açıklığı olan bir basit kirişe ait eğilme momenti

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır.

fonksiyonu aralığında sürekli bir fonksiyon ve için ise olur. Eğer bu aralıktaki bütün x ler için ise bu fonksiyonun noktasında bir minimumu vardır. TÜREV UYGULAMALARI Bölüm içinde maksimum, minimum, artan ve azalan fonksiyonlar, büküm noktası, teğet, normal ve belirsizliğin türev yardımıyla giderilmesi işlenmektedir. 11.1 Maksimum ve Minimum (Ekstremum)

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ

BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME DÖNÜŞÜMÜ DÜZLEM-BİRİM ŞEKİLDEĞİŞTİRME 3D durumda, bir noktadaki birim şekil değiştirme durumu 3 normal birim şekildeğiştirme bileşeni,, z, ve 3 kesme birim şekildeğiştirme bileşeninden,

Detaylı

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ RİJİT CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ MUTLAK GENEL DÜZLEMSEL HAREKET: Genel düzlemsel hareket yapan bir karı cisim öteleme ve dönme hareketini eşzamanlı yapar. Eğer cisim ince bir levha olarak gösterilirse,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Ders 10: Elastik Gerilim-Deformasyon Bağlantısı

Ders 10: Elastik Gerilim-Deformasyon Bağlantısı Ders 10: Elastik Gerilim-Deformasyon Bağlantısı Elastik malzemelerde gerilim, gerilimin deformasyon hızı ile bağlantılı olduğu ağdalı (viskoz) malzemelerin aksine, deformasyonla çizgisel olarak bağlantılıdır.

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Alan Hesapları. Şekil 14. Üç kenarı belli üçgen alanı

Alan Hesapları. Şekil 14. Üç kenarı belli üçgen alanı lan Hesapları lan hesabının doğruluğu alım şekline ve istenile hassasiyet derecesine göre değişir. lan hesapları üç kısma ayrılmıştır. Ölçü değerlerine göre alan hesabı Ölçü ve plan değerlerine göre alan

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation)

Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Gerilme Dönüşümleri (Stress Transformation) Bu bölümde, bir noktaya etkiyen ve bir koordinat ekseni ile ilişkili gerilme bileşenlerini, başka bir koordinat sistemi ile ilişkili gerilme bileşenlerine dönüştürmek

Detaylı

Akışkan Kinematiği 1

Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği 1 Akışkan Kinematiği Kinematik, akışkan hareketini matematiksel olarak tanımlarken harekete sebep olan kuvvetleri ve momentleri gözönüne almadan; Yerdeğiştirmeler Hızlar ve İvmeler cinsinden

Detaylı

8.SINIF CEBirsel ifadeler

8.SINIF CEBirsel ifadeler KAZANIM : 8.2.1.1. Basit cebirsel ifadeleri anlar ve farklı biçimlerde yazar. Hatırlatma 2 + 4y - 5 ifadesi bir cebirsel ifadedir ve değişkenler ve y dir. Cebirsel İfade: İçinde bir veya birden fazla bilinmeyen

Detaylı

Yrd.Doç.Dr. Hüseyin YİĞİTER

Yrd.Doç.Dr. Hüseyin YİĞİTER Dokuz Eylül Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü İNŞ224 YAPI MALZEMESİ II BETONDA ŞEKİL DEĞİŞİMLERİ Yrd.Doç.Dr. Hüseyin YİĞİTER http://kisi.deu.edu.tr/huseyin.yigiter BETONUN DİĞER ÖZELLİKLERİ BETONUN

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı

İki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı İki Boyutlu Eliptik Tipi Diferansiyel Sınır Değer Problemleri İçin MathCAD Kullanılımı Vahid Ferecov Rafet Akdeniz Namık Kemal Üniversitesi, Çorlu Mühendislik Fakültesi Elektronik ve Haberleşme Mühendisliği

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

25. SEM2015 programı kullanımı

25. SEM2015 programı kullanımı 25. SEM2015 programı kullanımı Basit Kuvvet metodu kullanılarak yazılmış, öğretim amaçlı, basit bir sonlu elemanlar statik analiz programdır. Program kısaca tanıtılacak, sonraki bölümlerde bu program ile

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI

MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI

TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 10. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI 9 Eylül- Eylül 0-07 TEKİRDAĞ SOSYAL BİLİMLER LİSESİ 0. SINIF MATEMATİK DERSİ YILLIK PLANI Veri, Sayma ve Sayma. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesaplar. Sıralama

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

FORMÜLLER VE FONKSİYONLAR

FORMÜLLER VE FONKSİYONLAR C FORMÜLLER VE FONKSİYONLAR Konuya Hazırlık 1. Excel de formül kullanmanın faydalarını açıklayınız. Formüller, bir sayfadaki verileri kullanarak işlem yapan denklemlerdir. Bir formülde, aynı sayfadaki

Detaylı

Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme

Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Elastisite Teorisi Hooke Yasası Normal Gerilme-Şekil değiştirme Gerilme ve Şekil değiştirme bileşenlerinin lineer ilişkileri Hooke Yasası olarak bilinir. Elastisite Modülü (Young Modülü) Tek boyutlu Hooke

Detaylı

6. Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması

6. Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması 6 Sistemin toplam potansiyeli, rijitlik matrisi ve kurulması 6 Sistemin noktalarında süreklilik koşulu : Her elemanın düğüm noktası aynı zamanda sistemin de düğüm noktası olduğundan, sistemin noktaları

Detaylı

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER

İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER İÇİNDEKİLER KISIM 1: BİRİNCİ MERTEBE ADİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 1.1. Fiziksel Kanunlar ve Diferensiyel Denklemler Arasındaki İlişki... 1 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Sınıflandırılması ve Terminoloji...

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.

Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

EĞİLME. Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır.

EĞİLME. Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır. EĞİLME Köprünün tabyası onun eğilme gerilmesine karşı koyma dayanımı esas alınarak boyutlandırılır. EĞİLME Mühendislikte en önemli yapı ve makine elemanları mil ve kirişlerdir. Bu bölümde, mil ve kirişlerde

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Örnek 2

Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Örnek 2 Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Örnek 2 Böylece aşağıdaki gerilme ifadelerine ulaşılır: Bu problem için yer değiştirme denklemleri aşağıdaki şekilde türetilir: Elastisite Teorisi Polinomlar ile

Detaylı

FL 3 DENEY 4 MALZEMELERDE ELASTĐSĐTE VE KAYMA ELASTĐSĐTE MODÜLLERĐNĐN EĞME VE BURULMA TESTLERĐ ĐLE BELĐRLENMESĐ 1. AMAÇ

FL 3 DENEY 4 MALZEMELERDE ELASTĐSĐTE VE KAYMA ELASTĐSĐTE MODÜLLERĐNĐN EĞME VE BURULMA TESTLERĐ ĐLE BELĐRLENMESĐ 1. AMAÇ Malzemelerde Elastisite ve Kayma Elastisite Modüllerinin Eğme ve Burulma Testleri ile Belirlenmesi 1/5 DENEY 4 MAZEMEERDE EASTĐSĐTE VE KAYMA EASTĐSĐTE MODÜERĐNĐN EĞME VE BURUMA TESTERĐ ĐE BEĐRENMESĐ 1.

Detaylı

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ

ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ ŞEKİL DEĞİŞTİRME HALİ GİRİŞ Önceki bölümde cisme etkiyen kuvvetlerin dengesi incelenerek gerilme kavramı geliştirildi. Bu bölümde ise şekil değiştiren cisim mekaniğinin en önemli kavramlarından biri olan

Detaylı

36. Basit kuvvet metodu

36. Basit kuvvet metodu 36. Basit kuvvet metodu Basit kuvvet metodu hakkında çok kısa bilgi verilecektir. Basit kuvvet metodunda hiperstatik bilinmeyenlerinin hesaplanmasına, dolayısıyla buna ait denklem sisteminin kurulmasına

Detaylı

MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ

MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ Silindirik Koordinatlar: Bazı mühendislik problemlerinde, parçacığın hareketinin yörüngesi silindirik koordinatlarda r, θ ve z tanımlanması uygun olacaktır. Eğer parçacığın hareketi iki eksende oluşmaktaysa

Detaylı

KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Diferansiyel denklemler uygulama soruları

Diferansiyel denklemler uygulama soruları . Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı