AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II. 2. Temel İstatistik Kavramlar ve Dağılımlar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II. 2. Temel İstatistik Kavramlar ve Dağılımlar"

Transkript

1 AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II 2. Temel İstatistik Kavramlar ve Dağılımlar

2 Bu derste neler öğreneceksiniz? Sıklık Dağılımı ve Olasılık Dağılımı Olasılık ve Kümüatif Dağılım Fonksiyonları Dağılım Fonksiyonu Elemanları Örnek Dağılım ve Ana Dağılım (Sample Dist. & Parent Dist.) Tekdüze Dağılım (Uniform Dist.) Normal/Gauss Dağılım (Normal/Gaussian Dist.) Log-Normal Dağılım Pareto Dağılımı Binom ve Bernoulli Dağılımları Poisson Dağılımı Üstel Dağılım (Exponential Dist.) Gamma Dağılımı Lorentz Dağılımı (Cauchy Dağılımı) Ki-kare Dağılımı (Chi-squared Dist.) Öğrencinin t Dağılımı (Student s t Dist.) F Dağılımı Beta Dağılımı

3 Dağılım? Olasılık teorisi terminolojisi henüz tam olarak yerleşmiş sayılmaz. Aşağıdaki terimlerin birbirleri yerine kullanıldığını görebilirsiniz. Sıklık dağılımı (Frequency distribution) Olasılık dağılımı (Probability dist.) Dağılım fonksiyonu (Distribution function) Olasılık dağılım fonksiyonu (Probability distribution func.) Olasılık kütle fonksiyonu (Probability mass func.) Olasılık yoğunluk fonksiyonu (Probability density func.) Olasılık fonksiyonu (Probability func)

4 Sıklık Dağılımı ve Olasılık Dağılımı Sıklık dağılımı (frequency distribution), bir örnek grubunda (Örn. ölçümler) sonuçların ne miktarda olduğunun gösterilmesidir. Boy (m) Öğrenci Sayısı Kümülatif Sayı < < 3 31 Olasılık dağılımı (probability dist.), bir deney sonucunun gerçekleşme ihtimalinin gösterilmesidir. Para Fırlatma Sayısı Yazı Gelme Sayısı Yazı Gelme İhtimali 4 1 % % % %48.82 Öğrenci Boyları Dağılımı Yazı Gelme Olasılığı Dağılımı Boy Para Fırlatma Sayısı < <

5 Olasılık Yoğunluğu Fonksiyonu (Probability Dens. Func.) Bir deney sonucunun gerçekleşme olasılığını veren fonksiyondur. Herhangi bir olguya ilişkin ölçümlerin dağılımı, olgunun sahip olabileceği değerlerin gerçek olma ihtimali olarak da düşünülebilir. Normalize olasılık dağılım fonksiyonlarında her bir ölçüme ilişkin olasılık değerlerinin toplamı 1 değerine normalize edilir. Bir kablosuz haberleşme hattındaki sinyalin zayıflama profili ve matematiksel ifadesi. (Gamma dağılımı) 200 defa fırlatılan bir parada yazı gelmesinin olasılık kütle fonksiyonu grafiği ve matematiksel ifadesi. (Binom dağılımı)

6 Kümülatif / Birikimli Dağılım Fonksiyonu (Cumulative Dist. Func.) Olasılık dağılım fonksiyonunun sahip olduğu değerlerin toplanarak temsil edildiği fonksiyonlardır. Olasılık değerlerinin tamamı 1 ya da %100 ihtimale sahip olduğu için 1 değerine yakınsamaktadır.

7 Dağılım Fonksiyonu Elemanları Dağılım fonksiyonlarının yapısını belirleyen elemanlar bulunmaktadır. Bu elemanlar: Ortalama değer (Average/Weighted Average/Mean) Varyans (Variance) Çarpıklık (Skewness) Basıklık (Kurtosis)

8 Ortalama Değer / Beklenen Değer Bir dağılımın ortalama değeri, bu dağılımı oluşturan ölçümlerin doğruluğunu belirlemektedir. Beklenen değerden farklılık gösteren ortalama değerler sistematik hatalardan kaynaklanabileceği gibi, beklenen değerin gerçek değer olmamasından (örn. Teorik hesapların eksik/yanlış olmasından) ya da yeterli ölçümün yapılmamasından kaynaklanabilir. Doğruluk

9 Ortalama Değer / Beklenen Değer X değeri için yapılan farklı sayıda ölçümlerin histogramları. Sırasıyla 5, 50, 100, 1000 defa ölçüm yapılmıştır. Ölçüm sayısı arttıkça, dağılımın yapısı belirginleşmiş, ortalama değeri ve ortalama değer etrafındaki saçılma belirginleşmiştir.

10 Ortalama Değer / Beklenen Değer Özellikle simetrik olmayan dağılımlar söz konusu olduğunda, tercihe göre beklenen değer olarak ortalama değer yerine mod ya da medyan değeri kullanılabilmektedir. Bu tercih gözlenen/ölçülen olgunun türüne göre yapılabilmektedir. Örneğin gelir dağılımı, az sayıda yüksek gelirli bir grubun olması sebebiyle, yüksek gelir bölgesine doğru kaymış bir ortalama değer verecektir. Bu sebeple insanların büyük bir kısmı ortalama gelirden daha düşük gelire sahip olmaktadır.

11 Varyans ve Standart Sapma (Variance & Standard Deviation) Varyans ve standart sapma (σ), dağılım değerlerinin ortalama değer etrafında ne kadar çok saçılmış olduğunu belirler. Dolayısıyla yapılan ölçümlerin ne kadar hassas olduğunu belirlemektedir.

12 Varyans ve Standart Sapma (Variance & Standard Deviation) Varyansın bazı özellikleri Varyans ve standart sapma değerleri negatif olamaz. Tüm ölçümler aynı değere sahip ise varyans sıfır değerini alır. Varyans değeri, dağılımın konumundan bağımsızdır. Tüm değerler aynı miktarda kaydırıldığında varyans değişmez. Varyansın birimi, ölçülen değerin biriminin karesidir. Standart sapmanın birimi ise ölçülen değerin birimidir.

13 Varyans ve Standart Sapma (Variance & Standard Deviation)

14 Çarpıklık (Skewness) Bir dağılımın asimetrisinin ölçütüdür. Bu ölçütün basit ve standart bir matematiksel ifadesi yoktur. Temel olarak iki tür çarpıklık vardır. Negatif Çarpıklık: dağılımın sol kuyruğu uzundur; dağılımın önemli bir çoğunluğu sağ tarafta toplanmıştır. Pozitif Çarpıklık: dağılımın sağ kuyruğu uzundur; dağılımın önemli bir çoğunluğu sol tarafta toplanmıştır.

15 Çarpıklık (Skewness) Farklı çarpıklıklara sahip iki adet log-normal dağılımdaki mod, medyan ve ortalama değerlerin karşılaştırması.

16 Basıklık (Kurtosis) Bir dağılımın ne kadar geniş olduğunun ya da kuyruklu olmasının ölçütüdür. Çarpıklık gibi basit ve standart bir matematiksel ifadesi yoktur.

17 Örnek Dağılımı ve Ana Dağılım (Sample Dist. & Parent Dist.) Yapılan gözlemlerin sayısının arttırılması, gözlemlerin oluşturduğu dağılımı, ilgili olgunun gerçek dağılımına daha fazla yaklaştıracaktır. Ancak sonsuz adet gözlem yapmanın mümkün olmaması sebebiyle yapılan gözlemler gerçek dağılımın bir örneği niteliğini taşımaktadır. Bir dağılımı oluşturmak için mümkün olan sonsuz sayıdaki tüm değerlerin kullanılması kabulu, elde edilen dağılımın ana dağılım olarak kabul edilmesi anlamına gelmektedir. Gerçekte herhangi bir olayın tam olarak ne tür bir dağılım gösterdiğini bilemeyiz. Ancak bu dağılımı yeterli hassasiyette temsil ettiği kabul edilen matematiksel bir fonksiyonu, olgunun ana dağılımı olarak kabul ederiz. Bu kabulden sonra, yapılan gözlemlerin oluşturduğu ve sonlu sayıdaki değerler ile üretilen örnek dağılımı kullanarak ana dağılıma ilişkin parametreleri elde edebilir ya da ana dağılımın geçerliliğini sorgulayabiliriz.

18 Örnek Dağılımı ve Ana Dağılım (Sample Dist. & Parent Dist.) Bir grup öğrenci, bir top ile serbest düşme deneyi yapıp, topun 2 metrelik mesafeyi kaç saniyede kat ettiğini ölçmüşlerdir. 50 defa tekrarlanan bu deneyin sonunda ölçümleri yandaki histograma yerleştirmişlerdir. Bu dağılımın ölçümlerdeki rastgele hatalardan kaynaklandığı kabulü ile ortalama değer ve standart sapmasını hesaplamışlar ve bir Gauss dağılımı üretip düz çizgi ile histogramın üzerine çizmişlerdir. Bu eğrinin, ana dağılımı temsil etmesi beklenmektedir. Kesikli çizgi ile çizilen eğri ise aynı deneye ilişkin teorik hesaplamalar ile elde edilen dağılımı göstermektedir. Bu iki dağılım arasındaki farklar nelerdir? Aralarındaki farklar nasıl giderilebilir?

19 Örnek Dağılımı ve Ana Dağılım (Sample Dist. & Parent Dist.) Ana dağılımın ξ i olası değeleri için hesaplanabilen standart sapması yanda verilmiştir. Ana dağılımın varlığının kabulu ile artık bir ortalama değer belirlenmiş olduğundan, örnek uzayın standart sapmasının hesabında karekök içerisindeki payda ölçüm sayısından 1 çıkararak hesaplanmalıdır. Bu hesabın gerekçesi, bir ana dağılımın varlığı durumunda ortalama değerin belirlenmiş olmasıdır. Dolayısıyla standart sapma hesaplanırken olası değerlerin bulunabileceği serbestlik derecesi 1 eksik olmaktadır.

20 Tekdüze Dağılım (Uniform Dist.) Tekdüze dağılım, bir aralık içerisindeki değerlerin tamamının aynı olasılıkla bulunabileceği bir dağılım türüdür. Bu dağılım türü bir ön bilgiye sahip olunmayan (uninformative) ya da belirli değerlerde farklılık göstermesi beklenmeyen olguların dağılımlarını temsil etmek için kullanılır.

21 Normal (Gauss) Dağılım Ölçümlerde rastgele hataların varlığı sebebiyle oluşan dağılıma normal dağılım ya da Gauss dağılımı adı verilir. Doğada gözlenen bir çok olguya ilişkin ölçümlerin dağılımı Gauss dağılımı ile temsil edilebilmektedir. Bu sebeple Gauss dağılımına normal adı verilmiştir. Matematiksel olarak iki parametreye bağlı bir dağılım fonksiyonudur. Bu parametreler, ortalama değer ve standart sapmadır. Ortalama değerin sıfır ve standart sapmanın 1 alındığı durumda standart normal dağılım elde edilmektedir.

22 Merkezi Limit Teoremi (Central Limit Theorem) Çoğu durumda, bağımsız rastgele sonlu değişkenlerin eklenmesi durumunda, toplamın dağılımı normal dağılıma yaklaşmaktadır. Buna merkezi limit teoremi adı verilmektedir. Toplanan bu değişkenlerin başlangıçtaki dağılımlarının türü önemsizdir. Yandaki örnekte 6 yüzlü adil bir zarın n defa atılması ile gelen sayıların toplamlarının dağılımı görülmektedir. Başlangıçta tekdüze dağılım gösteren bu deney, n sayısı büyüdükçe normal dağılıma yaklaşmaktadır. Teorem, farklı bir çok istatistiksel yöntemde, başka tür dağılımların söz konusu olduğu durumlarda bile normal dağılım kullanarak yaklaşım yapılabileceği sonucunu çıkarmaktadır.

23 Merkezi Limit Teoremi (Central Limit Theorem) Bazı dağılımlar için merkezi limit teoremi örnekleri: Binom dağılımı B(n,p), ortalama değer np ve varyans np(1-p) durumlarında, eğer n ve p yeterince büyük rakamlar ve sıfır ya da bire yakın değillerse normal dağılıma yakınsar. Poisson dağılımı λ parametresinin ortalama değer ve varyans olduğu ve yeterince büyük olduğu durumlar için normal dağılıma yakınsar. Ki-kare dağılımı, ortalama değer k ve varyansın 2k olduğu ve k nin yeterince büyük olduğu durumlarda normal dağılıma yakınsar. Öğrencinin t-dağılımı, ortalamanın sıfır, varyansın 1 olduğu ve v değerinin yeterince büyük olduğu durumlarda normal dağılıma yakınsar.

24 Log-Normal Dağılım Bir değişimin logaritmasının normal dağılım göstermesi durumunda olasılık yoğunluk fonksiyonu log-normal dağılım fonksiyonu ile temsil edilir. Doğada gözlenen olayların önemli bir kısmı log-normal dağılım gösterir. Örneğin, büyüyen canlı doku alanı, Internet tartışma forumlarında yapılan yorumların uzunlukları, parçacık boyutu dağılımları, satranç oyununun süre dağılımı vs.

25 Pareto Dağılımı Üstel değişim gösteren bir dağılımdır. Jeolojik, sosyal ve bilimsel bir çok farklı alanda kullanılmaktadır. Örneğin, harddisk sürücü hata oranları, yerleşim yeri boyutları, kum tanelerinin boyutları, meteorit boyutları, orman yangınlarında yanan bölgelerin büyüklükleri vs.

26 Binom (Binomial) ve Bernoulli Dağılımları Binom dağılımı (binomial dist.), n defa yapılan bir deneyin sonuçlarının evet/hayır benzeri bir cevabı olması durumunda başarılı ya da başarısız deneylerin gerçekleşme ihtimalini veren dağılımdır. Deneyin sadece 1 defa yapılmış olması durumunda olasılık dağılımına Bernoulli dağılımı adı verilir. Para atma deneyi birden çok kez yapılması durumunda binom dağılımı, sadece 1 kez yapılması durumunda Bernoulli dağılımı gösterir.

27 Poisson Dağılımı Süreksizlik gösteren olayların modellenmesi için uygun bir dağılım fonksiyonudur. Görece nadir gerçekleşen ve birbirinden zaman bağımsız olan olayların olasılığı için kullanılmaktadır. Poisson dağılımının kullanılması için 3 gerekli koşul bulunmaktadır. 1. Ölçümler nadir görülen olayların sayısıdır. 2. Tüm ölçümler birbirinden bağımsızdır. 3. Ölçümlerin görülme sıklığı ilgili zaman aralığında değişim göstermemektedir. Radyoaktif bozulma süreçleri ya da foton sayımı süreçleri Poisson dağılımı göstermektedir.

28 Poisson Dağılımı Poisson dağılımının, ortalama değeri değişmesi (sırasıyla 1, 3, 10, 50) durumundaki değişimi. Büyük λ değerleri söz konusu olduğunda (λ > 1000) Poisson dağılımı, λ ortalamalı ve λ standart sapmalı bir Gauss profili ile temsil edilebilmektedir. Bunun için süreklilik düzeltmesi gerekmektedir.

29 Poisson Dağılımı Poisson dağılımı gösteren bir olayda ortalama değere (λ) ilişkin en iyi tahminin hatası λ olur. Poisson dağılımının ortalama değerinin değişimi ile birlikte değişen asimetriye dikkat edilmelidir.

30 Üstel Dağılım Üstel değişim gösteren dağılımlar için kullanılmaktadır. Poisson dağılımı gösteren olayların bir sonrakinin gerçekleşmesinin dağılımı için sıklıkla kullanılmaktadır. Örneğin bir sonraki radyoaktif bozunmaya kadar geçen süre, bir sonraki telefon aramanıza kadar geçen süre vs.

31 Lorentz Dağılımı Cauchy dağılımı olarak da bilinmektedir. Daha çok fizikçilerin kullandığı bir dağılımdır. Tayf çizgilerindeki basınç genişlemesi gibi homojen çizgi genişleme mekanizmaları Lorentz dağılımı göstermektedir. Olasılık yoğunluğu fonksiyonunda x 0 konum parametresi ve γ ölçek parametresidir (HWHM). Sağ üstte görülen Lorentz dağılımının ölçek parametre değeri, 2γ = 2.354σ dır.

32 Gamma Dağılımı İki parametreli sürekli bir dağılım fonksiyonudur. Üç farklı parametre ikilisiyle gösterimi yapılabilir: 1. Şekil parametresi k ve ölçek parametresi θ 2. Şekil parametresi α = k ve ters ölçek parametresi β = 1/θ 3. Şekil parametresi k ve ortalama parametresi μ = k/ β Doğrudan modelleme amacıyla bekleme sürelerinin modellenmesi temelinde, yağmur birikimi modellerinde, sigortacılıkta, ölüme kadar geçen bekleme süresinde, kablosuz iletişim sinyal zayıflamasında vs. kullanılmaktadır. Modelleme amacıyla kullanımda genellikle k ve θ parametreleri, istatistiksel çıkarımda (özellikle Bayes istatistiği) α ve β parametreleri ile gösterimi yaygındır.

33 Ki-Kare Dağılımı (Chi-Squared Dist.) Serbestlik derecesi, k, kadar bağımsız standart normal rastgele değişkenin toplamının dağılımıdır. Gamma dağılımının özel bir halidir. Hipotez testi, güven aralığı (confidence interval), uyum iyiliği (goodness of fit) gibi bir çok istatistiksel çıkarımda kullanılmaktadır. Doğal olayların modellenmesinde nadir olarak kullanılmaktadır. Nadiren Helmert dağılımı olarak da isimlendirilir. Çoğu dağılım durumu merkezi limit teoremi gereği, asimptotik olarak normal dağılıma yakınsar. Standart normal dağılımın karesi basit bir ki-kare dağılımı olduğu için, normal dağılımın kabul edildiği durumlarda ki-kare dağılımı da kabul edilebilir. Ki-kare olasılık yoğunluğu fonksiyonunda k, serbestlik derecesidir!

34 Ki-Kare Dağılımı (Chi-Squared Dist.) Test istatistiği parametresi olarak ki-kare değerleri aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır. Burada χ 2, Pearson test istatistiği parametresidir ve asimptotik olarak bir ki-kare dağılımına yaklaşmaktadır. O i, i türünden yapılan gözlemlerin değeri; E i, aynı türden beklenen değerleri; n ise toplam gözlem sayısını vermektedir.

35 Öğrencinin t Dağılımı (Student s t- distribution) Standart sapmanın bilinmediği bir normal dağılım gösteren ana dağılımdan seçilen örnek bir dağılımın ortalama değerinin dağılımıdır. İki örnek dağılımın istatistiksel anlamlılık seviyesi (statistikal significance) belirlemesinde kullanılan Öğrencinin t dağılımı testinde, lineer regresyon analizinde, iki örnek uzay ortalamaları farkının güven aralığı (confidence interval) oluşturulmasında kullanılmaktadır. Normal bir dağılımdan alınan n elemanlı bir örnek grubu alınması durumunda, n-1 serbestlik derecesine sahip olan t-istatistiği aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.

36 Öğrencinin t Dağılımı (Student s t- distribution) Yandaki görselde, serbestlik derecesinin değişmesi ile t-dağılımının değişimi görülmektedir. Mavi ile gösterilen eğri standart normal dağılımdır. 1 serbestlik derecesine sahip olan t-dağılımında görüleceği üzere, t-dağılımı, daha geniş kanatlara sahiptir. Bu normal dağılımın ortalama değerinden daha uzakta ortalama değerlerin bulunma olasılığının normal dağılıma göre daha fazla olduğunu göstermektedir. Serbestlik derecesi arttıkça ya da başka bir değişle örnek elemanı sayısı arttıkça, t-dağılımı normal dağılıma yakınsamaktadır. Bunun sonucu olarak, örnek elemanı sayısının az olması durumunda Öğrencinin t-dağılımının kullanılması, normal dağılımın kullanılmasından daha uygun olmaktadır.

37 F Dağılımı F dağılımı, iki dağılımın karşılaştırılması temelindeki F- testinde kullanılır. Aynı ana da iki örnek dağılımın standart sapmasının karşılaştırılması ve bu şekilde güven aralığı hesaplanmasında kullanılır. Örneğin bir olayın modellenmesinde kullanılan iki farklı modelin güven aralığının hesaplanması durumunda F-test kullanılabilir. Bu test istatistikleri F dağılımına sahiptir. Aşağıdaki X değerleri birer F istatistiğidir. Bu değerler F dağılımı göstermektedir. i) U i değerleri birer ki-kare dağılımı ve d i değeleri bu dağılımların serbestlik dereceleri, ii) s 2 i değerleri normal birer sürecin kare toplam değerlerinin serbestlik derecesin bölümü, σ 2 i ise ilgili normal süreçlerin standart sapmalarıdır.

38 Beta Dağılımı Yüzde veya oran ile ifade edilebilen rastgele olayların modellenmesi için kullanılan bir dağılım fonksiyornudur. 0 ile 1 değerleri arasında tanımlıdır. α ve β parametreleri sıfırdan büyük değere sahip şekil parametreleridir. Dalga analizinde, proje yönetiminde, öznel mantıkta modelleme dağılımı olarak kullanılmaktadır. 0 ile 1 arasında tanımlı olması, Bayes istatistiğinde olasılılık değerlerinin dağılımı olarak Bernoulli, binom dağılımlarının öncül dağılımı (prior dist.) şeklinde kullanılabilmesini sağlamaktadır.

39 Kaynaklar Measurements and their Uncertainties, Ifan G. Hughes & Thomas P.A. Hase, Oxford University Press, 2010 Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, Philip R. Bevington & D. Keith Robinson, MC Graw Hill, 2003 Görseller;

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37

İÇİNDEKİLER. BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1. BÖLÜM 2 Frekans Dağılımları 37 İÇİNDEKİLER BÖLÜM 1 Değişkenler ve Grafikler 1 İstatistik 1 Yığın ve Örnek; Tümevarımcı ve Betimleyici İstatistik 1 Değişkenler: Kesikli ve Sürekli 1 Verilerin Yuvarlanması Bilimsel Gösterim Anlamlı Rakamlar

Detaylı

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5

Hatalar Bilgisi ve İstatistik Ders Kodu: Kredi: 3 / ECTS: 5 Ders Kodu: 0010070021 Kredi: 3 / ECTS: 5 Yrd. Doç. Dr. Serkan DOĞANALP Necmettin Erbakan Üniversitesi Harita Mühendisliği Bölümü Konya 07.01.2015 1 Giriş 2 Giriş Matematiksel istatistiğin konusu yığın

Detaylı

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ

Z = S n E(S n ) V ar(sn ) = S n nµ. S nn. n 1/2 n σ YTÜ-İktisat İstatistik II Merkezi Limit Teoremi 1 MERKEZİ LİMİT TEOREMİ CENTRAL LIMIT THEOREM X 1,X 2,...,X n herbirinin ortalaması µ ve varyansı σ 2 olan ve aynı dağılıma uyan n tane bağımsız r.d. olsun.

Detaylı

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri

Temel İstatistik. Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart Tanımlayıcı İstatistik. Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Temel İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Dağılımları Tanımlayıcı Ölçüler Dağılış Ölçüleri Y.Doç.Dr. İbrahim Turan Mart 2011 DAĞILIM / YAYGINLIK ÖLÇÜLERİ Verilerin değişkenlik durumu ve dağılışın şeklini

Detaylı

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Rastgele Değişkenlerin Dağılımları. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Rastgele Değişkenlerin Dağılımları Mühendislikte İstatistik Yöntemler Ayrık Rastgele Değişkenler ve Olasılık Dağılımları Yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin dağılışı ve dağılış fonksiyonu her seferinde

Detaylı

Sürekli Rastsal Değişkenler

Sürekli Rastsal Değişkenler Sürekli Rastsal Değişkenler Normal Dağılım: Giriş Normal Dağılım: Tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanan bir rastsal değişken, X, için oluşturulan sürekli olasılık dağılımına normal dağılım

Detaylı

BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM

BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM 1 BÖLÜM 9 NORMAL DAĞILIM Normal dağılım; 'normal dağılım eğrisi (normaly distribution curve)' ile kavramlaştırılan hipotetik bir evren dağılımıdır. 'Gauss dağılımı' ya da 'Gauss eğrisi' olarak da bilinen

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ...

İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... İÇİNDEKİLER ÖN SÖZ... v GİRİŞ... 1 1. İSTATİSTİK İN TARİHÇESİ... 1 2. İSTATİSTİK NEDİR?... 3 3. SAYISAL BİLGİDEN ANLAM ÇIKARILMASI... 4 4. BELİRSİZLİĞİN ELE ALINMASI... 4 5. ÖRNEKLEME... 5 6. İLİŞKİLERİN

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.

Detaylı

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Mühendislikte İstatistik Yöntemler .0.0 Mühendislikte İstatistik Yöntemler İstatistik Parametreler Tarih Qma.3.98 4..98 0.3.983 45 7..984 37.3.985 48 0.4.986 67.4.987 5 0.3.988 45.5.989 34.3.990 59.4.99 3 4 34 5 37 6 45 7 45 8 48 9 5 0

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R

IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R IE 303T Sistem Benzetimi DERS 4 : O L A S I L I K T E K R A R Geçen Ders Envanter yonetımı: Gazetecı problemı Rastsal Rakamlar Üret Talebi hesapla Geliri hesapla Toplam maliyeti hesapla Günlük ve aylık

Detaylı

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION):

ARALIK TAHMİNİ (INTERVAL ESTIMATION): YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmini I 1 ARALIK TAHMİNİ INTERVAL ESTIMATION): Nokta tahmininde ilgilenilen anakütle parametresine ilişkin örneklem bilgisinden hareketle tek bir sayı üretilir. Bir nokta

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Araştırma sonuçlarının açıklanmasında frekans tablosu

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 5: Rastgele Değişkenlerin Dağılımları II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Sık Kullanılan Dağılımlar Frekans tablolarına dayalı histogram ve frekans poligonları, verilerin dağılımı hakkında

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık - I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kes1rim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmak7r. ü Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

3 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 İSTATİSTİK ve SAYISAL BİLGİ 11 1.1 İstatistik ve Önemi 12 1.2 İstatistikte Temel Kavramlar 14 1.3 İstatistiğin Amacı 15 1.4 Veri Türleri 15 1.5 Veri Ölçüm Düzeyleri 16 1.6

Detaylı

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI

SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI SÜREKLĠ OLASILIK DAĞILIMLARI Sayı ekseni üzerindeki tüm noktalarda değer alabilen değişkenler, sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Bu bölümde, sürekli değişkenlere uygun olasılık dağılımları üzerinde

Detaylı

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart

Detaylı

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin

Detaylı

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005

KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK. Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 KARŞILAŞTIRMA İSTATİSTİĞİ, ANALİTİK YÖNTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI, BİYOLOJİK DEĞİŞKENLİK Doç.Dr. Mustafa ALTINIŞIK ADÜTF Biyokimya AD 2005 1 Karşılaştırma istatistiği Temel kavramlar: Örneklem ve evren:

Detaylı

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 6 MERKEZDEN DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel

Detaylı

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 EME 3105 1 Girdi Analizi Prosedürü SİSTEM SİMÜLASYONU Modellenecek sistemi (prosesi) dokümante et Veri toplamak için bir plan geliştir Veri topla Verilerin grafiksel ve istatistiksel analizini yap Girdi

Detaylı

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI

BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 1 BÖLÜM 12 STUDENT T DAĞILIMI 'Student t dağılımı' ya da kısaca 't dağılımı'; normal dağılım ve Z dağılımının da içerisinde bulunduğu 'sürekli olasılık dağılımları' ailesinde yer alan dağılımlardan bir

Detaylı

Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Hipotez Testleri. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Mühendislikte İstatistik Yöntemler Hipotez Testleri Parametrik Testler ( z ve t testleri) Parametrik Olmayan Testler (χ 2 Testi) Hipotez Testleri Ana Kütle β( µ, σ ) Örnek Kütle b ( µ

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

ĐST 474 Bayesci Đstatistik

ĐST 474 Bayesci Đstatistik ĐST 474 Bayesci Đstatistik Ders Sorumlusu: Dr. Haydar Demirhan haydarde@hacettepe.edu.tr Đnternet Sitesi: http://yunus.hacettepe.edu.tr/~haydarde Đçerik: Olasılık kuramının temel kavramları Bazı özel olasılık

Detaylı

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,

rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 3.6. Bazı Sürekli Dağılımlar 3.6.1 Normal Dağılım Normal dağılım hem uygulamalı hem de teorik istatistikte kullanılan oldukça önemli bir dağılımdır. Normal dağılımın istatistikte önemli bir yerinin olmasının

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix C: İstatistiksel Çıkarsama Doç.

Detaylı

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER

SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir.

Detaylı

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları

3/6/2013. Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Ders 6: Kesikli Olasılık Dağılımları Kesikli Düzgün (uniform) Dağılım Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Çok Terimli Dağılım Geometrik Dağılım Negatif Binom Dağılımı Hipergeometrik Dağılım Poisson Dağılımı

Detaylı

IE 303T Sistem Benzetimi

IE 303T Sistem Benzetimi IE 303T Sistem Benzetimi 1 L E C T U R E 5 : O L A S I L I K T E K R A R 2 Review of the Last Lecture Random Variables Beklenen Değer ve Varyans Moment Kesikli Dağılımlar Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık -II Prof. Dr. İrfan KAYMAZ İki Ortalama Farkının Güven Aralığı Anakütle Varyansı Biliniyorsa İki ortalama arasındaki farkın dağılımına ilişkin Z değişkeni: Güven aralığı ifadesinde

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma

Olasılık ve İstatistik Hatırlatma Olasılık ve İstatistik Hatırlatma BSM 445 Kuyruk Teorisi Güz 014 Yrd. Doç. Dr. Ferhat Dikbıyık Bir olayın olasılığı bize ne anlatır? Verilen bir olasılığın manası nedir? Örnek: Tavlada düşeş atma olasılığı

Detaylı

KİMYASAL ANALİZ KALİTATİF ANALİZ (NİTEL) (NİCEL) KANTİTATİF ANALİZ

KİMYASAL ANALİZ KALİTATİF ANALİZ (NİTEL) (NİCEL) KANTİTATİF ANALİZ KİMYASAL ANALİZ KALİTATİF ANALİZ (NİTEL) KANTİTATİF ANALİZ (NİCEL) KANTİTATİF ANALİZ Bir numunedeki element veya bileşiğin bağıl miktarını belirlemek için yapılan analizlere denir. 1 ANALİTİK ANALİTİK

Detaylı

Girdi Analizi. 0 Veri toplama 0 Girdi sürecini temsil eden olasılık dağılımı belirleme. 0 Histogram 0 Q-Q grafikleri

Girdi Analizi. 0 Veri toplama 0 Girdi sürecini temsil eden olasılık dağılımı belirleme. 0 Histogram 0 Q-Q grafikleri Girdi Analizi 0 Gerçek hayattaki benzetim modeli uygulamalarında, girdi verisinin hangi dağılımdan geldiğini belirlemek oldukça zor ve zaman harcayıcıdır. 0 Yanlış girdi analizi, elde edilen sonuçların

Detaylı

Finansal Ekonometri. Ders 2 Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler

Finansal Ekonometri. Ders 2 Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler Finansal Ekonometri Ders 2 Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişkenler Tek Değişkenli Rasgele Değişkenler Tanım (rasgele değişken): Bir rasgele değişken, X, SX örneklem uzayından değerler alan ve bu örneklem

Detaylı

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014

Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri. BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 Nicel / Nitel Verilerde Konum ve Değişim Ölçüleri BBY606 Araştırma Yöntemleri 2013-2014 Bahar Dönemi 13 Mart 2014 1 Konum ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri Verilerin ortalamaya göre olan gruplanması nasıl?

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü umutokkan@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN Hidrolik Anabilim Dalı Balıkesir Üniversitesi Balıkesir Üniversitesi İnşaat

Detaylı

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Notları Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım

Detaylı

Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER

Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER Prof. Dr. Özkan ÜNVER Prof. Dr. Hamza GAMGAM Doç. Dr. Bülent ALTUNKAYNAK SPSS UYGULAMALI TEMEL İSTATİSTİK YÖNTEMLER Gözden Geçirilmiş ve Genişletilmiş 8. Baskı Frekans Dağılımları Varyans Analizi Merkezsel

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL İYİ UYUM TESTİ Rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun ve parametresinin bilinmediği, ancak belirli

Detaylı

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır.

K-S Testi hipotezde ileri sürülen dağılımla örnek yığılmalı dağılım fonksiyonunun karşılaştırılması ile yapılır. İstatistiksel güven aralıkları uygulamalarında normallik (normal dağılıma uygunluk) oldukça önemlidir. Kullanılan parametrik istatistiksel tekniklerin geçerli olabilmesi için populasyon şans değişkeninin

Detaylı

Merkezi Limit Teoremi

Merkezi Limit Teoremi Örnekleme Dağılımı Merkezi Limit Teoremi Şimdiye kadar normal dağılıma uygun olan veriler ile ilgili örnekler incelendi. Çarpıklık gösteren veriler söz konusu olduğunda ne yapılması gerekir? Hala normal

Detaylı

Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK

Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK Test İstatistikleri AHMET SALİH ŞİMŞEK İçindekiler Test İstatistikleri Merkezi Eğilim Tepe Değer (Mod) Ortanca (Medyan) Aritmetik Ortalama Merkezi Dağılım Dizi Genişliği (Ranj) Standart Sapma Varyans Çarpıklık

Detaylı

Parametrik Olmayan İstatistik. Prof. Dr. Cenk ÖZLER

Parametrik Olmayan İstatistik. Prof. Dr. Cenk ÖZLER Parametrik Olmayan İstatistik Prof. Dr. Cenk ÖZLER Not: Beklenen Frekansı 5 in altında olan gruplar varsa, bu gruplar bir önceki veya bir sonraki grupla birleştirilir. Hipotezler χ 2 Dağılışa Uyum Testi

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN 1 Tek Örneklem İşaret Testi İşaret Testi parametrik olmayan prosedürler içinde en eski olanıdır. Analiz yapılırken serideki verileri artı ve

Detaylı

İçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii. Ölçme, İstatistik ve Araştırma...

İçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii. Ölçme, İstatistik ve Araştırma... İçindekiler İçindekiler vii Yazarların Ön Sözü xiii Çevirenin Ön Sözü xiv Teşekkürler xvi Semboller Listesi xvii BÖLÜM 1 Ölçme, İstatistik ve Araştırma...1 Ölçme Nedir?... 3 Ölçme Süreci... 3 Değişkenler

Detaylı

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

WEIBULL DAĞILIMI WEIBULL DAĞILIMI ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ SÜREKLİ DAĞILIMLAR-2 DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, pek çok farklı sistemlerin bozulana kadar geçen süreleri ile ilgilenir. Dağılımın

Detaylı

RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 2007

RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 2007 RASGELE SÜREÇLER İ.Ü. ELEKTRİK ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ İLETİŞİM LABORATUVARI ARALIK, 007 1 Tekdüze Dağılım Bir X rasgele değişkenin, a ve b arasında tekdüze dağılımlı olabilmesi için olasılık yoğunluk

Detaylı

AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II. 5. Model Testi, Karşılaştırma ve En İyi Modelin Seçimi

AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II. 5. Model Testi, Karşılaştırma ve En İyi Modelin Seçimi AST416 Astronomide Sayısal Çözümleme - II 5. Model Testi, Karşılaştırma ve En İyi Modelin Seçimi "All models are wrong" George Box 1976, Science and Statistics, Journal of the American Statistical Association

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları

Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları Rastgele değişken kavramı Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler İki boyutlu rastgele değişkenler Beklenen değer Varyans Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla

Detaylı

BÖLÜM 1: YAşAM ÇÖzÜMLEMEsİNE GİRİş... 1

BÖLÜM 1: YAşAM ÇÖzÜMLEMEsİNE GİRİş... 1 ÖN SÖZ...iii BÖLÜM 1: Yaşam Çözümlemesine Giriş... 1 1.1. Giriş... 1 1.2. Yaşam Süresi... 2 1.2.1. Yaşam süresi verilerinin çözümlenmesinde kullanılan fonksiyonlar... 3 1.2.1.1. Olasılık yoğunluk fonksiyonu...

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. edition, Thomson Learning Appendix B: Olasılık ve Dağılım Teorisi

Detaylı

BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ

BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ 1 BÖLÜM 13 HİPOTEZ TESTİ Bilimsel yöntem aşamalarıyla tanımlanmış sistematik bir bilgi üretme biçimidir. Bilimsel yöntemin aşamaları aşağıdaki gibi sıralanabilmektedir (Karasar, 2012): 1. Bir problemin

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK DERSLERİ AMAÇ VE HEDEFLERİ

BİYOİSTATİSTİK DERSLERİ AMAÇ VE HEDEFLERİ BİYOİSTATİSTİK DERSLERİ AMAÇ VE HEDEFLERİ DÖNEM I-I. DERS KURULU Konu: Bilimsel yöntem ve istatistik Amaç: Biyoistatistiğin tıptaki önemini kavrar ve sonraki dersler için gerekli terminolojiye hakim olur.

Detaylı

Rassal Değişken Üretimi

Rassal Değişken Üretimi Rassal Değişken Üretimi Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI GİRİŞ Yaşadığımız ya da karşılaştığımız olayların sonuçları farlılık göstermektedir. Sonuçları farklılık gösteren bu olaylar, tesadüfü olaylar olarak adlandırılır.

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME SORU 1: Bir hasar sıklığı dağılımının rassal değişken olan ortalaması (0,8) aralığında tekdüze dağılmaktadır. Hasar sıklığı dağılımının Poisson karma dağılıma uyduğu bilindiğine göre 1 ya da daha fazla

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI

Dr. Mehmet AKSARAYLI Dr. Mehmet AKSARAYLI Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir. Şans Değişkenleri KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Kesikli

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi NEF Fizik Eğitimi. Parametrik Olmayan Testler. Ki-kare (Chi-Square) Testi

Yrd. Doç. Dr. Neşet Demirci, Balıkesir Üniversitesi NEF Fizik Eğitimi. Parametrik Olmayan Testler. Ki-kare (Chi-Square) Testi Parametrik Olmayan Testler Ki-kare (Chi-Square) Testi Ki-kare (Chi-Square) Testi En iyi Uygunluk (Goodness of Fit) Ki-kare Dağılımı Bir çok önemli istatistik testi ki kare diye bilinen ihtimal dağılımı

Detaylı

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME

VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME BETİMLEYİCİ İSTATİSTİK VERİ KÜMELERİNİ BETİMLEME Bir amaç için derlenen verilerin tamamının olduğu, veri kümesindeki birimlerin sayısal değerlerinden faydalanarak açık ve net bir şekilde ilgilenilen özellik

Detaylı

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ 1 BÖLÜM 5 MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ Gözlenen belli bir özelliği, bu özelliğe ilişkin ölçme sonuçlarını yani verileri kullanarak betimleme, istatistiksel işlemlerin bir boyutunu oluşturmaktadır. Temel sayma

Detaylı

İstatistik ve Olasılığa Giriş. İstatistik ve Olasılığa Giriş. Ders 3 Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme. Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme

İstatistik ve Olasılığa Giriş. İstatistik ve Olasılığa Giriş. Ders 3 Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme. Verileri Sayısal Ölçütlerle İfade Etme İstatistik ve Olasılığa Giriş Robert J. Beaver Barbara M. Beaver William Mendenhall Presentation designed and written by: Barbara M. Beaver İstatistik ve Olasılığa Giriş Ders 3 Verileri Sayısal Ölçütlerle

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 9 VARYANS ANALİZİ Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Varyans analizi niçin yapılır? İkiden fazla veri grubunun ortalamalarının karşılaştırılması t veya Z testi

Detaylı

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi

14 Ekim 2012. Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge. 1 Yıldız Teknik Üniversitesi ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON ANALİZİ: ÇIKARSAMA Hüseyin Taştan 1 1 Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ders Kitabı: Introductory Econometrics: A Modern Approach (2nd ed.) J. Wooldridge 14 Ekim 2012 Ekonometri

Detaylı

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8

PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8 PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER 8 Prof. Dr. Ali ŞEN İki Populasyonun Karşılaştırılması: Eşleştirilmiş Örnekler için Wilcoxon İşaretli Mertebe Testi -BÜYÜK ÖRNEK Bağımsız populasyonlara uygulanan

Detaylı

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi

Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi Normallik Varsayımı ve Ençok Olabilirlik Yöntemi EO Açıklayıcı Örnekler Ekonometri 1 Konu 14 Sürüm 2,0 (Ekim 2011) UADMK Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike

Detaylı

Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder.

Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder. Yayılma Ölçütleri Merkezi eğilim ölçüleri ile bir frekans dağılımının merkezi belirlenirken; yayılma ölçüleri ile değişkenliği veya yayılma düzeyini tespit eder. Bir başka ifade ile, bir veri setinin,

Detaylı

Görev çubuğu. Ana ölçek. Şekil 1.1: Verniyeli kumpas

Görev çubuğu. Ana ölçek. Şekil 1.1: Verniyeli kumpas Deney No : M0 Deney Adı : ÖLÇME VE HATA HESABI Deneyin Amacı : Bazı uzunluk ölçü aletlerini tanımak ve ölçme hataları hakkında ön bilgiler elde etmektir. Teorik Bilgi : VERNİYELİ KUMPAS Uzunluk ölçümü

Detaylı

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler

Bölüm 3. Tanımlayıcı İstatistikler Bölüm 3 Tanımlayıcı İstatistikler 1 Tanımlayıcı İstatistikler Bir veri setini tanımak veya birden fazla veri setini karşılaştırmak için kullanılan ve ayrıca örnek verilerinden hareket ile frekans dağılışlarını

Detaylı

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ÖĞRENCİLERİNİN BAŞARI NOTLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ. Tamer Yılmaz, Barış Yılmaz, Halim Sezici 1 ÖZET

İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ÖĞRENCİLERİNİN BAŞARI NOTLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ. Tamer Yılmaz, Barış Yılmaz, Halim Sezici 1 ÖZET İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ÖĞRENCİLERİNİN BAŞARI NOTLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ Tamer Yılmaz, Barış Yılmaz, Halim Sezici 1 ÖZET Bu çalışmada, Celal Bayar Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü öğrencilerinin

Detaylı

ORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH

ORTALAMA ÖLÇÜLERİ. Ünite 6. Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH ORTALAMA ÖLÇÜLERİ Ünite 6 Öğr. Gör. Ali Onur CERRAH Araştırma sonucunda elde edilen nitelik değişkenler hakkında tablo ve grafikle bilgi sahibi olunurken, sayısal değişkenler hakkında bilgi sahibi olmanın

Detaylı

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ

χ =1,61< χ χ =2,23< χ χ =42,9> χ χ =59,4> χ SORU : Ortalaması, varyansı olan bir raslantı değişkeninin, k ile k arasında değer alması olasılığının en az 0,96 olmasını sağlayacak en küçük k değeri aşağıdakilerden hangisidir? A),5 B) C) 3,75 D) 5

Detaylı

Kazanımlar. Z puanları yerine T istatistiğini ne. zaman kullanacağını bilmek. t istatistiği ile hipotez test etmek

Kazanımlar. Z puanları yerine T istatistiğini ne. zaman kullanacağını bilmek. t istatistiği ile hipotez test etmek T testi Kazanımlar Z puanları yerine T istatistiğini ne 1 zaman kullanacağını bilmek 2 t istatistiği ile hipotez test etmek 3 Cohen ind sini ve etki büyüklüğünü hesaplamak 1 9.1 T İstatistiği: zalternatifi

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir OLASILIK VE İSTATİSTİĞE GİRİŞ ISBN 978-605-318-470-6 DOI 10.14527/9786053184706 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN

SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ HAZIRLAYAN: ÖZLEM AYDIN SİMÜLASYON ÇEŞİTLERİ Günümüz simülasyonları gerçek sistem davranışlarını, zamanın bir fonksiyonu olduğu düşüncesine dayanan Monte Carlo yöntemine dayanır. 1.

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları

YTÜ İktisat Bölümü EKONOMETRİ I Ders Notları Yıldız Teknik Üniversitesi İktisat Bölümü Ekonometri I Ders Kitabı: J.M. Wooldridge, Introductory Econometrics A Modern Approach, 2nd. ed., 2002, Thomson Learning. Ch. 5: SEKK (OLS) nin Asimptotik Özellikleri

Detaylı

İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA

İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA İSTATİSTİK EXCEL UYGULAMA EXCEL UYGULAMA Bu bölümde Excel ile ilgili temel bilgiler sunulacak ve daha sonra İstatistiksel Uygulamalar hakkında bilgi verilecektir. İşlenecek Konular: Merkezi eğilim Ölçüleri

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ. Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ

ÖRNEKLEME TEORİSİ. Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ ÖRNEKLEME TEORİSİ 1 Bir popülasyonu istatistiksel açıdan incelemek ve işlemler yapabilmek için popülasyon içerisinden seçilen örneklemlerden yararlandığımızı söylemiştik. Peki popülasyonun istatistiksel

Detaylı

BÖLÜM 3 KURAMSAL ÇATI VE HİPOTEZ GELİŞ

BÖLÜM 3 KURAMSAL ÇATI VE HİPOTEZ GELİŞ BÖLÜM 3 KURAMSAL ÇATI VE HİPOTEZ GELİŞ İŞTİRME Araştırma rma SüreciS 1.Gözlem Genel araştırma alanı 3.Sorunun Belirlenmesi Sorun taslağının hazırlanması 4.Kuramsal Çatı Değişkenlerin açıkça saptanması

Detaylı

Ki- Kare Testi ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL

Ki- Kare Testi ANADOLU ÜNİVERSİTESİ. ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL ANADOLU ÜNİVERSİTESİ ENM 317 MÜHENDİSLİK İSTATİSTİĞİ İYİ UYUM TESTİ Prof.Dr. Nihal ERGİNEL İYİ UYUM TESTİ Rassal değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun ve parametresinin bilinmediği, ancak belirli

Detaylı

Herhangi bir oranın belli bir değere eşit olmadığını test etmek için kullanılır.

Herhangi bir oranın belli bir değere eşit olmadığını test etmek için kullanılır. Hipotez testleri-oran testi Oran Testi Herhangi bir oranın belli bir değere eşit olmadığını test etmek için kullanılır Örnek: Yüz defa atılan bir para 34 defa yazı gelmiştir Paranın yazı gelme olasılığının

Detaylı

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar.

19.11.2013 EME 3105 SİSTEM SİMÜLASYONU. Sürekli Dağılımlar (2) Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar. 9..03 EME 305 SİSTEM SİMÜLASYONU Simulasyonda İstatistiksel Modeller-II Ders 5 Sürekli Rassal Değişkenlerin Modellemesinde Kullanılan Dağılımlar Sürekli Düzgün (Uniform) Dağılım Normal Dağılım Üstel (Exponential)

Detaylı

İstatistiksel Yorumlama

İstatistiksel Yorumlama İstatistiksel Yorumlama Amaç, popülasyon hakkında yorumlamalar yapmaktadır. Populasyon Parametre Karar Vermek Örnek İstatistik Tahmin 1 Tahmin Olaylar hakkında tahminlerde bulunmak ve karar vermek zorundayız

Detaylı

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015

RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME MAYIS 2015 SORU 2: Motosiklet sigortası pazarlamak isteyen bir şirket, motosiklet kaza istatistiklerine bakarak, poliçe başına yılda ortalama 0,095 kaza olacağını tahmin

Detaylı

Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri

Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 1.11.013 Merkezi Yığılma ve Dağılım Ölçüleri 4.-5. hafta Merkezi eğilim ölçüleri, belli bir özelliğe ya da değişkene ilişkin ölçme sonuçlarının, hangi değer etrafında toplandığını gösteren ve veri grubunu

Detaylı

Örnek...4 : İlk iki sınavında 75 ve 82 alan bir öğrencinin bu dersin ortalamasını 5 yapabilmek için son sınavdan kaç alması gerekmektedir?

Örnek...4 : İlk iki sınavında 75 ve 82 alan bir öğrencinin bu dersin ortalamasını 5 yapabilmek için son sınavdan kaç alması gerekmektedir? İSTATİSTİK Bir sonuç çıkarmak ya da çözüme ulaşabilmek için gözlem, deney, araştırma gibi yöntemlerle toplanan bilgiye veri adı verilir. Örnek...4 : İlk iki sınavında 75 ve 82 alan bir öğrencinin bu dersin

Detaylı

Rastgele değişken nedir?

Rastgele değişken nedir? Rastgele değişken nedir? Şİmdiye kadar hep, kümelerden ve bu kümelerin alt kümelerinden (yani olaylar)dan bahsettik Bu kümelerin elemanları sayısal olmak zorunda değildi. Örneğin, yazı tura, kız erkek

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BEKLENEN DEĞER. X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ BEKLENEN DEĞER VE MOMENTLER DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL 2015 X beklenen değeri B[X] ile gösterilir. B[X] = BEKLENEN DEĞER Belli bir malzeme taşınan kolilerin ağırlıkları

Detaylı