EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "EME Sistem Simülasyonu. Giriş. Olasılık Dağılımı. Rassal Degiskenler"

Basak Muhtar
5 yıl önce
İzleme sayısı:

EME 3105 1 Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli

Rassal Degiskenler Olasılık Dağılımı 3 4 Tanım: Rassal Degisken, örnek uzaydaki deney sonuçlarını gerçel bir sayıya atayan

1 EME Giriş Sistem Simülasyonu Önümüzdeki hafta simulasyon girdilerinin modellenmesinde kullanılan kesikli ve sürekli Simulasyonda İstatistiksel Modeller-I Ders 4 dağılımlar hatırlatılacaktır. Rassal Degiskenler Olasılık Dağılımı 3 4 Tanım: Rassal Degisken, örnek uzaydaki deney sonuçlarını gerçel bir sayıya atayan bir fonksiyondur. S örnek Uzay X(ω 1 ) Rassal Değisken Olasılık Dagılımı ω 4 ω 1 ω ω 5 ω3 ω 6 Gerçel Sayılar Örnek Uzay Sayı Olasılık X: Her ω S'ye gerçel bir sayı atar. 1

2 C Kesikli Rasgele Değişkenin Olasılık Fonksiyonu Tanım: X, sonlu sayıdaki 1,,, N değerlerini f( i )=P(X= i ), i=1,,, N olasılıkları ile alabilen kesikli rasgele değişken olsun. Bu durumda aşağıdaki koşulları sağlayan f() fonksiyonuna X in olasılık fonksiyonu denir. 1. f( ) 0, tüm 'ler için N. f( ) = 1 i=1 i 6 Kesikli Rasgele Değişkenin Dağılım Fonksiyonu Tanım: (Dağılım fonksiyonu) Bir X rasgele değişkeninin dağılım fonksiyonu F() ile gösterilir ve X in e eşit ya da daha küçük olması olasılığıdır. F( ) = P( X ) = f( i ) i X= 1 N f()=p(x=) f( 1 ) f( ) f( N ) 5 Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 7 0 Tanım : X, şekilde gösterilen ( ) aralığında tanımlanan sürekli rasgele değişken olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan f() fonksiyonuna X rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu denir. f() c C d, 1. f( ) 0, - < < +. f( ) d= 1, ( f() eğrisi altında kalan ve -ekseni ile sınırlanan alan 1 e eşittir. ) 8 f() P(c < X < d) = 0 c d c d f ()d f () egrisi, -ekseni ve =c, =d dogruları ile sınırlı alandır. Pc ( < X< d) = Pc ( X d) = Pc ( X< d) = Pc ( < X d) olduğuna dikkat etmeliyiz. Sürekli X rasgele değişkeninin belli bir değeri alması olasılığı sıfırdır. P(X=)=0

3 9 Sürekli Rasgele Değişkenin Dağılım Fonksiyonu 10 Rasgele Değişkenlerin Beklenen Değeri ve Varyansı Tanım: (Dağılım Fonksiyonu) X, f() olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli rasgele değişken olsun. X in dağılım fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır. E( X ) =. f () X:Kesikli Rassal Degisken V ( X ) = E ( X E[X ]) F ( ) = PX ( ) = fsds ( ) [ ] = y.f (y)dy E Y V[Y]= + + Y:Sürekli Rassal Degisken ( y E[ Y ]) f (y)dy Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Bernoulli Rasgele Değişkeni Bernoulli Dağılımı Tanım: Bir X rasgele değişkeni için yalnız iki sonuç varsa X e Bernoulli rasgele değişkeni denir. Geometrik Dağılım Negatif Poisson Dağılımı Düzgün (Uniform) Dağılım Bir denemede elde edilecek iki sonuç için genellikle 0 ve 1 değerleri karşılık getirilir. 1 değeri belli bir denemenin başarılı olmasına, 0 ise başarısızlığına karşılıktır. 3

4 Bernoulli Dağılımı Bernoulli Dağılımı Bernoulli dağılımı genellikle bir varlığın (entity) bir karar noktasında iki ayrı yolu takip edebileceği akış süreçlerini modellemede kullanılır. Örnek: Bir parça muayene ediliyorsa, parçanın kusurlu olma olasılığı p ve her bir parça birbirinden bağımsızsa; parçanın kusurlu olup olmadığı Bernoulli dağılımıyla modellenebilir. Tanım: (Bernoulli Dağılımı) X rasgele değişkeni 0 ve 1 değerlerini alsın. X in olasılık fonksiyonu: PX ( = 1) = p PX ( = 0) = 1 p= q yada f P X p p 1 ( ) = ( = ) =.(1 ), = 0,1 dir. Bu dağılıma Bernoulli dağılımı denir. Bernoulli Dağılımı Teorem: X, Bernoulli dağılımına sahip bir rasgele değişken olsun. f P X p p 1 ( ) = ( = ) =.(1 ), = 0,1 Bernoulli dağılımının ortalaması µ ve varyansı σ, sırasıyla µ = EX ( ) = p σ = EX ( ) [ EX ( )] = pq. = p.(1 p) Tanım: (Binom Rasgele Değişkeni) Birbirinden bağımsız n Bernoulli denemesinden başarılı olanların toplam sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bir tek deneme için başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı 1-p ise aşağıdaki koşulları sağlayan X e binom rasgele değişkeni denir. 4

5 1) Deney n özdeş denemeden oluşmaktadır. ) Her bir deneme için yalnız iki sonuç vardır. Başarı (S) ve başarısızlık (F) 3) Bir tek deneme için başarı olasılığı olan p her deneme için aynıdır. Başarısızlık olasılığı q=1-p dir. 4) Denemeler birbirinden bağımsızdırlar. Binom dagilimi, n adet Bernoulli denemesindeki başarı sayısını temsil eden rassal değişkeni modeller. Örnek: Bir makinada 10 parçanin üretileceğini ve her bir parçanın kusurlu olup olmadığının p=0.05 kusurlu olasılıklı Bernoulli denemesi olduğunu varsayalım. 10 parçadaki kusurlu parça sayısı n=10 ve p=0.05 parametreli yla modellenebilir. Teorem: () Birbirinden bağımsız n Bernoulli denemesi için X, her bir denemede başarı olasılığı p, başarısızlık olasılığı q olan binom rasgele değişkeni ise, X in olasılık fonksiyonu: n n f( ) =. p. q, =0,1,,...,n İspat: n bağımsız denemede başarı sayısı X; 0, 1,, n olabilir. SSS..S FFF..F n- Çarpım teoreminden ilk denemenin başarılı, geri kalan n- denemenin başarısız olması olasılığı p.(1-p) n- dir. Denemeler birbirinden bağımsız olduğundan diğer bir başarı ve n- başarısızlık dizisinin olasılığı da p.q n- dir. Bir grupta, diğerinde n- sonuç bulunan n sonucun farklı dizilerinin sayısı n dir. 5

6 Teorem: X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi olsun. n n f( ) =. p. q, =0,1,,...,n µ = EX ( ) = np Olasılık Grafiği Dağılım Grafiği σ = EX ( ) [ EX ( )] = npq İspat: Binom rasgele değişkeni X, her biri 1 değerini p, 0 değerini 1-p olasılığı ile alan n bağımsız X i, Bernoulli değişkeninin toplamıdır. X in varyansı: σ = = Var( X ) Var( X X... X n ) X = X 1 + X X n EX = EX1+ X + + X n ( ) (... ) = p+ p p= np X i ler bağımsız olduklarından σ = = Var( X ) Var( X ) Var( X )... Var( X n ) = pq + pq pq = npq 6

Benzer belgeler

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Bazı Olasılık Dağılışları Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 Uygulamalı bilim