Eflit Paylafl m Ortamlar n n Kesir Ö retiminde Kullan m

Transkript

1 Eflit Paylafl m Ortamlar n n Kesir Ö retiminde Kullan m Zülbiye Toluk* Özet Bu makalede, ilkö retimin birinci kademesinde yer alan kesir kavram n n ö retimi için baz oluflturmac (constructivist) etkinlikler sunulmufltur. Bu etkinliklerde, kesirlerin bölme anlam n n kayna n oluflturan eflit paylaflma ortamlar n n s n f içinde nas l kullan laca tart fl lm fl ve ö retmen için baz önerilerde bulunulmufltur. Anahtar Kelimeler Kesir Kavram n n Ö retimi, Rasyonel Say lar, Eflit Paylaflma. Abstract In this paper, some constructivist activities to be used in teaching fractions in elementary school are presented. In these activities, how to use equal sharing situations, which are considered as the original source of fractions, in teaching fractions are disscussed and some suggestions are given to the teacher. Keywords Teaching Fraction Concept, Rational Numbers, Equal Sharing Situations. *Yrd. Doç. Dr., Abant zzet Baysal Üniversitesi E itim Fakültesi lkö retim Matematik Ö retmenli i Ana Bilim Dal Baflkan Kuram ve Uygulamada E itim Bilimleri Dergisi 1/1 Haziran

2 ZÜLB YE TOLUK Abant zzet Baysal Üniversitesi E itim Fakültesi lkö retim Matematik Ö retmenli i Bolu Elektronik Posta: ztoluk@ibu.edu.tr Yay n ve Di er Çal flmalar A Quest for Meaning: A Linguistic Analysis of Teacher Questioning and Classroom Participatory Structures in a First Grade Classroom, American Educational Research Association (AERA), Nisan 19 23, 1999, M o n t r e a l (J. Middleton, L. Poyner, P. Wolfe ve L. A. Bote la). Fifth Graders Conceptualizations of the Quotient Subcinstruct of Rational numbers, American Educational Research Association (AERA), Nisan 24 28, 2000, New Orleans (J. Middleton la). lk Okul Ö rencilerinin Rasyonel Say lar n Bölüm Alt Kavram n Kavramsallaflt rma Süreçleri, IV. Fen Bilimleri E itimi Kongresi: Hacettepe Üniversitesi, 6 9 Eylül, 2000, Ankara. Kesir Ö retimine Yaklafl mlar, Matematik 2000 Etkinlikleri: Matematik Sempozyumu, 7 8 Haziran, 2000, Ankara.. First Steps Toward an Adaptive Theory of Motivation, Educational Psychologist, 34 (2), 1999, (J. A. Middelton la). First Steps Toward an Adaptive Theory of Motivation, American Educational Re search Association (AERA), Nisan 13 17, 1998, San Diego (J. Middleton la). A Criticism of Secondary School Science and Mathematics Curriculum in the Light of Science and Mathematics Teachers Opinions, World Conference on Teacher Education: 9 Eylül Üniversitesi, 27 A ustos 2 Eylül 1995, zmir (M. Sancar la). DERIVE Program n n Cebir Ö retiminde Kullan m, E itimde Yeni Teknolojiler (EYTEK 93): ODTÜ Akdeniz Koleji, 2 3 Nisan 1993, Antalya. A Case Study on Derive: Prospective Math Teachers Achievement in Solving Non Linear Algebraic Equations, First International DERIVE Conference: University of Plymouth, 1994, ngiltere (Y. Ersoy ve E. Çak ro lu yla). Preservice Education of Mathematics Teachers in Turkey, 16 th Annual Conference of the Association for Teacher Education in Europe (ATEE 16): Virje University of Amsterdam, 27 A ustos 2 Eylül, 1991, Amsterdam (Y. Ersoy la). An Investigation in the Evaluation of the Turkish School Mathematics Teachers Preservice Education Programme, International Conference on Mathematics Education (ICME 7): University of Laval, A ustos, 17 23, 1992, Quebec (Y. Ersoy la). Preservice Education of Secondary School Mathematics Teachers in Turkey, Journal of Human Sciences, 11 (1), 1992, 1 13 (Y. Ersoy la). Prospective Mathematics Teachers: Attitudes Toward Computer/Computer Assisted Instruction and Achievement in Solving Max Min Problems in Calculus, European Conference on Educational Research (ECER 1992): University of Twente, Hollanda (Y.Ersoy la). Matematik Ö retiminde Alan ve Meslek Bilgilerinin Önemine liflkin Bir Çal fl ma, II. Ulusal Fen Bilimleri E itimi Sempozyumu: ODTÜ, Ankara.

3 Eflit Paylafl m Ortamlar n n Kesir Ö retiminde Kullan m Zülbiye Toluk Girifl lkö retimin birinci kademesinin matematik program nda do al say - lar, kesirler ve ondal k say lar ve bu say larla yap lan ifllemler bulunur. Do al say lar, çocuklar okul öncesinden itibaren, çevrelerindeki nesneleri sayarak tan rlar ve okula bir tak m sayma becerileriyle gelirler. Do al say larla ilgili kavram ve ifllemler ö retilirken, çocuklar n okul öncesinden zihinlerine yerlefltirdikleri bu sayma becerileri temel al n r. Her ne kadar çocuk, günlük yaflamda duydu u yar m, çeyrek gibi ifadeler arac l yla kesir kavram yla tan flm fl olsa da, kesir, çocuk için yabanc ve zor bir kavramd r. Kesir kavram, saymaya ek olarak, çocuklar n nesneleri eflit parçalara ay rabilme (bölme) gibi yeni becerilere sahip olmalar n gerektirir. Yap lan araflt rmalar, rasyonel say lar n, yani a/b sembolünün birden fazla flekilde yorumlanabilece ini göstermifltir (Kieren, 1976; Behr ve di., 1983; Behr ve di., 1992). Örne in, bir rasyonel say, verilen problem ortam na göre, bir parça bütün iliflkisini, bir ölçümü, bir bölümü, bir orant y gösterebilir ya da bir ifllemci görevi alabilir. Rasyonel say lar n böyle birden fazla anlama gelmesi, ö rencilerin bu say lar ve ilgili kavramlar ö renmelerini zorlaflt rmaktad r. Bunun yan s ra, ö rencilerin matemati i ilk olarak do al say larla ö rendikleri düflünülürse, onlar n rasyonel say larla ilgili sorunlar n n boyutu daha iyi anlafl labilir. Bu durumda ö rencilerin rasyonel say lara iliflkin yaflad klar güçlüklere ö retim yöntemlerinin katk s nedir? flte bu makalede rasyonel say lar n ö retimi üzerine dünyada kabul gören iki yaklafl mdan söz edilecek ve Türkiye de ilkö retim okulu birinci kademe s n flar nda kullan labilecek baz oluflturmac etkinlikler önerilecektir. Kesir Ö retimine Yaklafl mlar Bir kavram n ilk olarak nas l ö renildi i hususunun ve oluflturulan

4 194 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER ilk anlam n, ileride ö rencinin ba lant l kavramlar ö renmesini etkiledi i bir gerçektir. Baflka bir deyiflle, ö rencide oluflturulan ilk kesir kavram n n, onun daha sonra rasyonel say lar ve ilgili kavramlar ö renmesini de etkileyece i aç kt r. Rasyonel say lar n anlamlar - n n çeflitlili i göz önüne al n rsa, kesir ö retiminin de bu çeflitlili i kapsamas gerekti i aç kl k kazan r. Kesir kavram n n ö retimindeki yaklafl mlar iki grupta toplayabiliriz. Bu yaklafl mlar, kesir ö retimine rasyonel say lar n farkl anlamlar n temel alarak bafllamalar noktas nda birbirlerinden farkl lafl rlar. lk yaklafl m, geleneksel kesir ö retimi yaklafl m olarak da adland r labilir. Bu yaklafl m, dünyada ve Türkiye de yayg n olarak kullan lmaktad r. kinci yaklafl m, Geçekçi Matematik E itimi (GME) teorisine dayanmakta ve Hollanda dan kaynaklanarak, Avrupa ve Amerika da uygulanmaktad r. Geleneksel Kesir Ö retimi: Parça Bütün liflkileri Küçük çocuklar n kolayca ö renebilece i düflüncesiyle, parça bütün anlam geleneksel olarak kesir ö retiminde yayg n bir biçimde kullan lm flt r. Çocuklar, günlük yaflamdan bölme ve paylaflma deneyimlerini s n fa getirirler. Örne in, bir çok ö renci okula bir yar m anlay fl yla gelir. Bu tür günlük hayat deneyimleri, ö rencinin kesir kavramlar n ö renmesini kolaylaflt r r. Ayr ca, rasyonel say lar n bu anlam di er anlamlar için bir dil ve sembollefltirme sa layarak temel oluflturur. Parça bütün iliflkilerini kullanarak, ö renciler nesnelerin parçalar n adland rmay ve tan mlamay ö renirler. Bu nedenlerle, parça bütün anlam ilk kesir kavramlar n oluflturmak için iyi bir bafllang ç olarak kabul edilebilir. Bu tür bir yaklafl mda kullan lan etkinliklerde, ö renciler verilen nesneleri parçalar ve ortaya ç kan parçalar birim bütüne göre kesir olarak ifade etmeyi ö renirler. Parçalar kesir olarak tan mlad kça, kesirin pay ve paydas n n neyi gösterdi ini ö renirler. Örne in, bir kek iki eflit parçaya bölününce, her bir parça o iki parçadan birini gösterir. Ö renci o parçalar göstermek için, 1/2 kesirinin pay na 1, paydas na ise 2 yerlefltirir. Böylece, 1/2 sembolü, iki eflit parçaya bölünmüfl bir bütünün, bir parças anlam n kazan r. Parça bütün anlam nda, a/b sembolü böylece bir s ral ikili oluflturur. Böylece, basit kesirlerde, payda (b) her zaman bütünün parçalar n n toplam say s - n, pay (a) ise o parçalardan belli bir k sm n gösterir. Parça bütün anlam n gelifltirirken, vurgu bir bütünün parçalar n gösteren kesirleri oluflturma üzerinde oldu u için, bu anlam n sürek-

5 TOLUK / Eflit Paylafl m Ortamlar n n Kesir Ö retiminde Kullan m 195 li olarak kullan lmas, kesirlerin bafll bafl na bir say dan çok, bir bütünün parçalar n gösterdi i düflüncesini pekifltirebilir. Yap lan araflt rmalar da bunu desteklemektedir (Bright ve di., 1988). Ö renciler, verilen bir kesiri iki say dan oluflan bir say ikilisi olarak alg lamaktad rlar. Ayr ca, bu anlam n fazlaca vurgulanmas, ö rencinin verilen kesirleri say do rusu üzerinde göstermesini de zorlaflt rmaktad r (Post ve di., 1985; Toluk, 1999). Ö rencilerden 2/3 ü say do rusu üzerinde göstermeleri istendi inde, verilen say do rusunun bir birim bütünü gösterdi ini düflünerek, üç eflit parçaya ay rm fllar ve sadece ikisini göstermifllerdir (bkz. fiekil 1). Böylece, ö renciler say do rusunda 2/3 say s n n yerine, 2 say s n göstermifllerdir. Ayn flekilde, ö rencilerin kesirleri s ralamas da bu anlam taraf ndan etkilenmektedir. Ö rencilerden, 1/3 ve 1/2 kesirlerini s ralamalar istendi inde, araflt rmac ya, parça say s na m yoksa parçalar n büyüklü üne göre mi s ralama yapmalar gerekti ini sormufllard r (Mack, 1993). fiekil 1. Bir çocu un say do rusu üzerinde 2/3 kesirini göstermesi Eflit Paylaflma Bölüm Anlam Parça bütün iliflkilerine ek olarak, rasyonel say lar bölme olarak da yorumlanabilirler. Kesirlerle yap lan bölme kalans zd r. Örne in, 2 elmay 3 çocuk aras nda eflit olarak paylaflt rmak istedi imizde bu bölmenin sonucunu gösterebilece imiz bir do al say yoktur. Rasyonel say lar bu tür bölmeleri yapmam z mümkün k lar. Verilen örnekte bölme ifllemini 2/3 olarak gösterebiliriz. Ayn zamanda 2/3 kesiri, bu bölme iflleminin sonucunu gösterir. Böylece, rasyonel say lar bu tür bölme ortamlar n tan mlamam z sa lar. Rasyonel say lar bölme anlam n eflit paylaflma ortamlar ndan al r. Eflit paylaflma ortamlar kesir kavram n n ve kesirlerle ilgili kavramlar n ö retimi için zengin bir içerik sa lar (Streefland, 1991; Empson, 1995). Bu tür ortamlar, do as gere i kesir ö retiminde önemli bir yer tutan eflitlik olgusunun gelifltirilmesi aç s ndan da önemlidir. Örne in, 2 elman n 3 çocuk aras nda eflit olarak paylaflt r lmas iflleminde, adil bir paylafl m gerçeklefltirebilmek için, oluflturulacak paylar n (kesirlerin) eflit olmas gerekti ini bir çok çocuk bilir. L. Streefland (1991), Gerçekçi Kesir E itimi yaklafl m yla, günlük hayattaki eflit paylaflma ortamlar n s n fa tafl m fl ve kesirleri ö retmek için

6 196 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER bunlar kullanm flt r. Ö rencileri, eflit paylaflma ortamlar n matematiksel bir dil kullanarak çözümlemeye teflvik etmifl ve s n f içi tart flmalar ortaya ç kan paylar n eflitli i üzerine yo unlaflt rm flt r. Streefland, iki y l sonunda kendi s n f ile geleneksel yöntemle ö retim yapan di er s n flar karfl laflt rm fl ve kendi s n f n n kavramsal düzeyde daha ileride oldu unu saptam flt r. fllemsel düzeyde ise, kendi s - n f n n di er s n flardan bir fark n bulamam flt r. Empson (1995) ayn tür bir çal flmay birinci s n f ö rencileriyle yapm fl ve benzer sonuçlar bulmufltur. Ayr ca, çocuklar n eflit bölebilme (parçalayabilme) becerileri de kesir kavram n n oluflturulmas nda önemli bir beceridir. Bu becerinin geliflmesi zaman ve tecrübe gerektirir (Pothier ve Sawada, 1988). Çocuklar kesirleri olufltururken, ilk olarak ikiye, daha sonra ikinin katlar na bölmeyi ö renirler. Yani çocuk, bu ilk iki aflamada, paydas iki ve ikinin katlar olan kesirleri olufltururken, sadece yaratt parçalar sayar, parçalar n eflitli ine dikkat etmez. Üçüncü aflamada ise parçalar n eflitli i önem kazan r. Son aflamada ise paydas tek say olan kesirleri oluflturmay ö renir. Son aflamada, örne in, paydas 9 olan bir kesiri oluflturmak için 1/3 leri tekrar 3 eflit parçaya bölmenin yeterli oldu unu bilir. O halde, kesir ö retimi de bu aflamalar göz önüne alarak, eflit paylaflma ortamlar nda çocuklar n bu becerilerinin geliflmesine yard mc olmal d r. Makalenin ikinci bölümünde, s n f ortam nda kullan labilecek baz oluflturmac etkinlikler sunulacak ve bu etkinliklerin nas l uygulanaca konusunda ö retmene baz önerilerde bulunulacakt r. Etkinlikler A) Kesir Kavram n n Oluflturulmas : Yar m, Çeyrek, Üçte Bir Kavramlar ve Toplama fllemi Afla daki eflit paylaflma problemleri, 1., 2. ve 3. s n flarda kullan labilir. Ö retmen, s n f n düzeyine göre say lar de ifltirebilir. Problemlerin çözümlerinde, ö renciler flekil kullanmaya teflvik edilmelidirler. Ö renciler paylaflt rma ifllemini gerçeklefltirdikten sonra, s n f her bir çocu un pay n n say larla nas l betimlenece i üzerine bir tart flma yürütebilir. Bu tart flmalardan, yar m, çeyrek ve üçte bir kavramlar oluflturulabilir. Kesirleri s ralama konusunu ifllerken de, ayn tür problemler kullan larak, ç kan paylar (kesirleri) büyüklüklerine göre s ralama etkinlikleri yap labilir. Bu tür etkinliklerde Hangi problemde pay daha büyük? Neden? gibi sorular sorularak, çocuklar n dikkati ortaya ç kan kesirlerin büyüklü üne çekilmelidir. Afla da bir dizi örnek eflit paylaflma problemi örne i verilmifltir.

7 TOLUK / Eflit Paylafl m Ortamlar n n Kesir Ö retiminde Kullan m Bir elmay iki arkadafl eflit olarak paylafl yorlar. Her bir arkadafl ne kadar elma yer? (yar m kavram ) 2. Bir çikolatay 4 çocuk eflit olarak paylafl rsa, bir çocuk çikolatan n ne kadar n al r? (çeyrek kavram ) 3. ki arkadafl bir çikolatay paylafl yorlar, tam paylar n yiyecekleri zaman iki arkadafllar daha geliyor ve kendi paylar n arkadafllar ile paylafl yorlar. Her bir çocuk ne kadar çikolata yer? ( denk kesirler ve yar mdan çeyrek elde etme.) 4. Dört arkadafl üç pizzay aralar nda eflit olarak paylaflmak istiyorlar. Her biri ne kadar pizza al r? Ö renciler 4. problemi flekil kullanarak flu yollarla çözebilirler. Yukar daki farkl paylafl m yollar incelendi inde, bu tür etkinliklerin, kesirlerde toplama ve denklik kavramlar n do al olarak ortaya ç karmakta ve bu becerilerin gelifltirilmesi aç s ndan da uygun bir içerik sa lamakta oldu u görülür. Bu tür etkinliklerde, ö renciler verilen nesneleri paylaflt rd ktan sonra, toplam pay n belirlenebilmesi için, ö rencilere her bir pay n toplam miktar n belirlemeye teflvik edici sorular sorulmal d r. Ayr ca, bu s n flarda çocuklar verilen kesirleri yeniden parçalayarak denk kesirler oluflturmaya yönlendirilmelidirler. Ö retmen, bu tür etkinliklerde çocuklar daha etkin stratejilere teflvik etmelidir. Bu dönemde, çocuklar kesirleri olufltururken genellikle parçalar n eflitli inden çok, do ru say da parça oluflturmaya dikkat ettikleri için, çocuklar n çizimleri oluflan kesirlerin denkli ini göstermeyebilir. fiekil 2 de,

8 198 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER bir beflinci s n f ö rencisinin, 2/3 kesirinin 6/9 kesirine denk oldu unu nas l gösterdi ini görüyoruz (Toluk, 1999). Çocuk, Ayn bütün, 9 eflit parçaya bölündü ünde, 2/3 hangi kesire denk gelir? sorusuna, fiekil 2 (b) deki gibi rastgele çizgiler çizerek cevap vermifl; bütünü 9 parçaya bölmüfl, fakat parçalar n eflitli ine dikkat etmedi i için, 2/3 kesirinin 5/9 kesirine denk oldu unu göstermifltir. Çocu a, 1/3 kesirinden 1/9 kesirini baflka türlü nas l oluflturabilece i soruldu unda, çocuk kolayl kla fiekil 2 (c) deki resmi çizmifl ve 2/3 kesirinin, 6/9 kesirine denk oldu unu bulmufltur. fiekil 2. 2/3 kesirinin 6/9 kesirine denk oldu unun bir ö renci taraf ndan gösterilifli. Özet olarak, ö retmen ö rencilerini verilen kesirlerden denk kesirler oluflturma ifllemini kolayl kla yapabilecekleri daha etkin stratejiler kullanmaya yönlendirmelidir. fiekil 3 te bu stratejilerden baz lar verilmifltir. fiekil 3. Denk kesirleri flekil üzerinde gösterme B) Kesirlerde Denklik ve Orant sal Düflünme Afla daki etkinlikler 3., 4. ve 5. s n flarda kullan labilir. Bu tür etkinliklerde, bir eflit paylaflma problemiyle bafllanarak, denk kesirler, toplama ve oran kavramlar ö retilebilir. Problem: Bir do um günü kutlamas nda 9 çocuk vard r. Ev sahibi evde yeterince büyük masa olmad için, çocuklar iki masaya oturtur. Bir masan n etraf na 3 çocuk oturur, di er bir masan n etraf na ise 6 çocuk oturur. Üç çocu un oturdu u masada 2 pasta, 6 çocu un oturdu u masada ise 4 pasta vard r. Pastalar n büyüklü ü hep ayn d r.

9 TOLUK / Eflit Paylafl m Ortamlar n n Kesir Ö retiminde Kullan m 199 Çocuklar masalar ndaki pastalar eflit olarak paylafl rlarsa; a. Küçük masadaki çocuklar ne kadar pasta yer? b. Büyük masadaki çocuklar ne kadar pasta yer? c. Hangi masadaki çocuklar daha çok pasta yer? Neden? d. Do um gününde 9 tane daha çocuk olsayd, bu çocuklar n da ayn miktarda pasta yiyebilmeleri için, ev sahibinin kaç tane daha pasta almas gerekirdi? e. 24 çocuk için toplam kaç pastaya ihtiyaç vard r? f. E er 36 çocu a 24 pasta olsa, her bir çocuk ne kadar pasta yerdi? Bu etkinlik için s n f iki gruba ayr labilir. Birinci grup 3 çocuk, 2 pasta problemi, di er grup ise 6 çocuk, 4 pasta problemi üzerine çal flabilir. Ya da bütün s n f s rayla iki problem üzerine çal flabilir. Problemin çözümünde çocuklar flekil kullanmaya teflvik edilmelidir. Çocuklara çözüm için yeterli zaman verdikten sonra, s n fça de iflik çözüm yollar üzerine tart fl lmal d r. Bu tart flmalar n oda n eflit pay koruma düflüncesi oluflturmal d r. De iflik paylaflma yöntemleri cevap olarak farkl kesirler üretece inden, her iki durum için birden fazla cevap ortaya ç kacakt r. Ortaya ç kacak olas cevaplar flunlar olabilir: a) Küçük Masadaki Çocuklar ( 3 Çocuk, 2 Pasta Durumu) S n f farkl paylafl m yollar n tart flt ktan sonra, ö retmen s n fa flu soruyu yöneltebilir: Acaba her iki durumda, çocuklar ayn miktarda pasta yiyor mu? Ö rencilerden beklenen, 2/3 ve 4/6 kesirlerinin denk oldu unu, yani ayn miktar gösterdi ini belirleyebilmeleridir. E er çocuklar, bu iki kesirin denkli ini belirlemekte güçlük çekerse, ö retmen çocuklara flu soruyu sorabilir: E er her 1/3 lük dilimi tekrar iki eflit parçaya bölersek, ortaya ç kan dilimlerin büyüklü ü ne olabilir? Çocuklardan 1/6 cevab n ald ktan sonra, bir 1/3 lük dilimin içinde, kaç tane 1/6 l k dilim oldu u sorulur. Böylece, çocuklar rahatl kla 2/3 ün 4/6 ya denk oldu unu bulabilirler.

10 200 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER b) Büyük Masadaki Çocuklar ( 6 Çocuk, 4 Pasta Durumu) c) Kim Daha Çok Pasta Yer? Yukar daki a. ve b. fl klar nda verilen problemlerin çözümü üzerine yürütülen s n f içi tart flmalar, bu sorunun cevab n aç kça ortaya koyacakt r. Bir baflka deyiflle, 2/3 kesirinin 4/6 kesirine denk oldu unu göstermekle, s n f bu sorunun da cevab n vermifl olacakt r. S n f n düzeyine göre, etkinli in (c) fl kk nda, ö retmen s n fa, pastalar paylaflt rmadan her bir çocu un ne kadar pasta yiyece ini belirleyip belirleyemeyeceklerini sorarak, çocuklar orant sal düflünmeye yönlendirebilir. Ayr ca, ö retmen, ö rencilerin pastalar ile çocuklar 2/3 oran nda gruplamalar n isteyerek, 6 çocuk için 4 pasta gerekiyorsa, bu durumda, 9 çocuk için 6 pasta gerekti ini çocuklara hissettirebilir (bkz. fiekil 4). fiekil 4. Bu etkinli in d, e ve f fl klar ndaki sorular için, ö rencilerin afla daki gibi bir tablo oluflturmalar istenebilir.

11 TOLUK / Eflit Paylafl m Ortamlar n n Kesir Ö retiminde Kullan m 201 Tablo 1. Ö renci say s ile pasta say s aras ndaki iliflki Evdeki Pasta say s Bir çocu un yedi i çocuk say s pasta miktar 3 2 bir pastan n 2/3 ü 6 4 bir pastan n 2/3 ü 9... bir pastan n 2/3 ü bir pastan n 2/3 ü bir pastan n 2/3 ü bir pastan n 2/3 ü C) Kesir ve Bölme Aras ndaki liflki ( a b = a/b) Eflit paylaflma ortamlar, bölme ifllemi ile kesir sembolü aras ndaki iliflkiyi kurmak aç s ndan da uygun ortamlard r. Ö renciler, do al say larla bölme iflleminde belli bir düzeye ulaflt ktan sonra, kalanl bölme ve bölümün birden küçük oldu u bölme ortamlar için eflit paylaflma problemleri kullan labilir. Ö renciler verilen eflit paylaflma problemlerini kesir bilgilerini kullanarak çözdükten sonra, ö retmen, ö rencileri verilen problemleri matematik cümleleri fleklinde yazmaya teflvik edebilir. Ö renciler çözümlerini matematik cümleleri olarak ifade ettikçe, a b = a/b iliflkisi ortaya ç kacakt r (bkz. Tablo 2). Ö renciler yeterince deneyim kazand ktan sonra, onlardan bir genelleme yapmalar istenebilir. Daha sonra bu genellemenin, bölümün birden büyük oldu u bölme ortamlar için geçerli olup olmad na dair s n f içi bir tart flma yürütülebilir. Tablo 2. a/b kesiri ile bölme ifllemi aras ndaki iliflki Eflit Paylaflma Problemi Matematik Cümlesi 1 elmay 2 çocuk eflit olarak paylafl rsa, her bir çocuk ne kadar elma al r? 1 2 = 1/2 1 elmay 3 çocuk eflit olarak paylafl rsa, her bir çocuk ne kadar elma al r? 1 3 = 1/3 1 elmay 4 çocuk eflit olarak paylafl rsa, her bir çocuk ne kadar elma al r? 1 4 = 1/4 2 elmay 3 çocuk eflit olarak paylafl rsa, her bir çocuk ne kadar elma al r? 2 3 = 2/3 3 elmay 4 çocuk eflit olarak paylafl rsa, her bir çocuk ne kadar elma al r? 3 4 = 3/4 3 elmay 5 çocuk eflit olarak paylafl rsa, her bir çocuk ne kadar elma al r? 3 5 = 3/5

12 202 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER Yukar daki etkinliklerde, eflit paylaflma ortamlar n n geleneksel kesir ö retimiyle nas l kaynaflt r laca tart fl lm flt r. Ö retmen, e er isterse, önerilen etkinlikleri s n f n düzeyine göre yeniden yap land rabilir. Bu oluflturmac etkinliklerde derse bir eflit paylaflma problemiyle bafllanmal ve ö rencilerden kendi çözüm yollar n oluflturmalar istenmelidir. Bu etkinliklerin hedefi, ö rencilerin do ru cevab bulmas ndan çok, farkl çözüm yollar üzerine yürütülen s n f içi tart flmalar sonunda, bütün s n f n cevab n neden do ru ya da yanl fl oldu una karar vermesi olmal d r. K sacas, ö retmen etkinli i yürütürken, do ru cevab hemen vermekten kaç nmal, s n f de iflik çözüm yollar üzerine tart flmaya yönlendirmelidir. Sonuç Kesir ö retiminde parça bütün anlam n temel alan yaklafl mlar, lineer ve rasyonel say lar n di er anlamlar n n geliflimine aç k olmad nedeniyle elefltirilmifltir. Parça bütün anlam nda, parçalar n büyüklü ünden çok parça ve bütün aras ndaki iliflkiye ve onun tan mlanmas na önem verilir. Bu tür deneyimler sonunda, ö renciler kesirleri bir say olmaktan çok, iki say dan oluflan bir sembol olarak alg lamakta ve ileride rasyonel say larla ilgili ifllemlerde zorluk çekmektedirler. Türkiye de de ilkö retimin birinci kademesinde, kesir ö retimi parça bütün yaklafl m n temel alarak bafllar. Kesir ö retiminde vurgu, oluflturulan kesirlerin anlamlar ndan çok, uygun sembollefltirme ve terminolojinin gelifltirilmesi üzerindedir. Ayr ca, 1999 da yap lm fl olan Üçüncü Uluslararas Matematik ve Fen Baflar s De erlendirme çal flmas na göre, Kesirler ve Say Duygusu Testi nde Türkiye nin 38 ülke aras nda sondan alt nc olmas (Mullis ve di., 2000), kesir ö retiminde sadece parça bütün anlam n n temel al nmas n n, zengin bir kesir kavram oluflturmada yeterli olmad n göstermektedir. Bu makalede, parça bütün iliflkilerine ek olarak eflit paylaflma ortamlar n n kesir ö retimiyle nas l kaynaflt r laca na dair baz etkinlikler önerilmifltir. Son olarak, eflit paylaflma ortamlar n kesir ö retiminde kullan rken, ö retmenin afla daki önerileri göz önünde bulundurmas bu etkinliklerin verimlili i aç s ndan önemlidir. Eflit paylafl m ortamlar, ö renciye anlaml gelecek flekilde günlük hayattan seçilmeli; Ö rencilere kendi çözüm yollar n oluflturma f rsat verilmeli; Ö renciler problemleri çözerlerken flekil kullanmaya teflvik edilmeli;

13 Ö rencilerin, çözümleri s n fta tart flma noktalar olmal ve kesirlerle ilgili kavramlar bu tart flmalardan do mal ; Etkinliklerde, sembol ve algoritmalara geçiflte acele edilmemeli, ö renciye yeterince deneyim kazand r lmal, sembol ve algoritmalar bu deneyimlerden do mal ; Eflit paylaflma ortamlar nda, ö rencinin cevaplamas gereken soru Ne kadar? sorusu olmal d r. Kaynakça TOLUK / Eflit Paylafl m Ortamlar n n Kesir Ö retiminde Kullan m 203 Behr, M. J., Harel, G., Post, T. ve Lesh, R. (1992) Rational Number, Ratio and Proportion, D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (New York, MacMillan) içinde: Behr, M. J., Lesh, R., Post, T. ve Silver, E. A. (1983) Rational Number Concepts, R. Lesh ve M. Landau (Ed.), Acquisition of Mathematics Concepts and Processes (New York, Academic Press) içinde: Bright, G. W., Behr, M. J., Post, T. R. ve Wachsmuth, I. (1988) Identifying Fractions on Number Lines, Journal for Research in Mathematics Education, 19 (3): Empson, S. B. (1995) Equal Sharing and Shared Meaning: The Development of Fraction Concepts in a First Grade Classroom, The American Educational Research Association kongresinde sunulmufl tebli, San Francisco. Kieren, T. E. (1976) On the Mathematical, Cognitive, and Instructional Foundations of Rational Numbers, R. Lesh (Ed.), Number and Measurement (Columbus, Ohio State University, EEIC, SMEAC) içinde: Mack, N. (1993) Learning Rational Numbers With Understanding: The Case of Informal Knowledge, T. P. Carpenter, E. Fennema ve T. A. Romberg (Ed.), Rational Numbers: An Integration of Research (Hillsdale, Erlbaum) içinde: Mullis, I. V. S., Martin, M. O., Gonzalez, E. J., Gregory, K. D., Garden, R. A., O Connor, K. M., Chrostowski, S. J. ve Smith, T. A. (2000) TIMSS 1999: International Mathematics Report: Findings from IEAS Repeat of the Third International Mathematics and Science Study at the Eight Grade, International Study Center, Boston College, Chesnut Hill. Post, T., Wachsmuth, I., Lesh, R. ve Behr, M. (1985) Order and Equivalence of Rational Numbers: A Cognitive Analysis, Journal for Research in Mathematics Education, 16 (1): Pothier, Y. ve Sawada, D. (1988) Partitioning: An Approach to Fractions, Arithmetic Teacher, Streefland, L. (1991) Fractions in Realistic Mathematics Education: A Paradigm of Developmental Research, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers. Toluk, Z. (1999) Children s Conceptualizations of the Quotient Subconstruct of Rational Numbers, Yay nlanmam fl Doktora Tezi, Arizona State University.