Çok yönlü frekans tablolarının analizi üzerine bir çalışma

Transkript

1 itüdergisi/c en bilimleri Cilt:4, Sayı:1, 17-7 Kasım 006 Çok yönlü rekans tablolarının analizi üzerine bir çalışma Hülya OLMUŞ * azi Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, İstatistik ölümü, 06500, Teknikokullar, Ankara Özet Çok yönlü rekans tablolarının analizi, iki veya daha azla düzeyi olan üç veya daha azla kesikli bağımsız değişkenler arasındaki ilişkileri değerlendirmek amacıyla kullanılan parametrik olmayan bir testtir. u değişkenler, sınılama, nicel veya kategorik olabilir. Çok yönlü rekans analizi tablosunda, bağımlı değişken, bir ya da daha azla kesikli değişkenler ve ilişkileri taraından etkilenen hücre rekansıdır. u analiz, değişkenlerden biri bağımlı değişken olduğu zaman kullanılır. u durumda, temel etkiler ve etkileşimler test edilecektir. u analizde, ilk olarak etkiler tanımlanacak ve böylece tüm etkilerin her bir düzeyi için parametre tahminleri elde edilecektir. Eğer, kesikli ve sürekli değişkenlerin bir karışımı kullanılmak istenirse, genellikle Lojistik regresyon seçilir. Çok yönlü rekans analizi, Log-lineer analiz ve Lojit modellerin bir çeşididir. u üç analiz çeşidi, uyum iyiliği için Ki-karenin bir uzantısıdır. Elimizde var olan rekans verisi için hesaplama türleri, en azla iki boyutlu olumsallık tabloları için uygundur. öyle iki boyutlu tablolar, uyum iyiliği yaklaşımı ile analiz edilir. Çok yönlü rekans analizinde, Pearson Ki-kare yerine olabilirlik oran istatistiği kullanılacaktır çünkü, Pearson Ki-kare istatistiği toplamsal değil iken, iç-içe modeller için bu test toplamsaldır. Ayrıca, bu çalışmada kısmi birliktelik testi, modelde her bir bireysel etkinin anlamlılığını test etmek için kullanılır. u çalışmanın amacı, kesikli değişkenler arasında bir ilişki olup olmadığını araştırmak, en iyi modeli belirlemek ve uygun modele ilişkin parametre tahminlerini elde etmektir. unun için, Ankara ilinde devlet tiyatrolarının izleyici proilini çıkartmak amacıyla yapılmış bir anket çalışmasından yararlanılmıştır. Anahtar kelimeler: Çok yönlü rekans analizi, olabilirlik oran istatistiği, kısmi birliktelik testi. * Yazışmaların yapılacağı yazar: Hülya OLMUŞ. hulya@gazi.edu.tr; Tel: (31) Makale metni tarihinde dergiye ulaşmış, tarihinde basım kararı alınmıştır. Makale ile ilgili tartışmalar tarihine kadar dergiye gönderilmelidir.

2 H. Olmuş A study on analysis o multiway requency tables Extended abstract Multiway requency analysis is a nonparametric test that can be used to evaluate relations among three or more discrete independent variables with two or more levels. These variables may be nominal or categorical as qualitative. In a multiway requency analysis table, cell requency is the dependent variable that is inluenced by one or more discrete variables and their associations. Multiway requency analysis can be used when one o the variables is a dependent variable. In that case, main eects and interactions can be tested. In this analysis, eects are identiied irst and then parameter estimates are ound or each level o all the eects. I the researcher wishes to use a mix o continuous and discrete variables, Logistic regression is usually the method o choice. Multiway requency analysis is a version o Loglinear analysis and Logit models. These three analysis version are extensions o the chi-square or goodness-o-it. The computational techniques or handling requency data are appropriate or contingency tables o at most two dimensions. Such two-dimensional tables are analysed with the goodness-o-it approach. In multiway requency analysis, we use the Likelihood ratio statistic instead o the Pearson Chi-square because it is additive or nested models, whereas the Pearson statistic, in general, is not. The goal o this study is to discover whether there is an association among discrete variables, to determine the best model and to obtain parameter estimates o the derived model. Public survey which has been done or the evaluation o the proile o governmental theatre attendees in Ankara were used or this purpose. Likelihood ratio statistic has the desirable property that it is additive, meaning the sum o the chisquare values or the individual eects in the model equals the chi-square or the total model. Thereore, i one considers the dierence between two Likelihood chi-square statistics or related models, the result would be another Likelihood ratio statistic. This property enables one to make two important inerences: 1) nested models can be compared ) individual eects may be assessed Prior to proceeding with model selection, a special case o the Chi-square test, Likelihood ratio statistic is perormed. With g as the observed requency and as the expected requency or each o k cells, the Pearson chi-square is computed as: k χ = = 1 ( ) g g Large dierences yields large values o the statistics and more evidence that the model is inadequate. The Likelihood ratio statistic is computed by the ollowing equation. g Ln g = ( ) was developed by Fisher (194), based on his earlier work on maximum likelihood theory. As with X, is distributed as X or suiciently large N. In this study, beore testing and selecting a model that best its the observed data, screening is normally carried out to see i there are any signiicant eects to investigate. The researcher may be speciically interested in inding the best model is developed where an additive regression type equation is written or expected requency as a unction o the eects in the design. The procedure is similar to multiple regressions except that cell requencies are predicted based on the combined eects o indepent variables. The modelling process begins with all possible associations among the independent variables. That is, i there are three independent variable, it will start o with all o the one-, two-, and three way associations. This is called a ull or saturated model, because it includes all possible eects. It has the same amount o cells in the requency table as it does eects, so the expected cell requencies will always exactly match the observed requencies. The statistic normally used to tell you how well the model o expected requencies its the observed requencies is the Likelihood ratio statistic. In this study, partial associations test allow us to test the signiicance o each individual eect in the model. However, the likelihood ratio statistic can be used to compare a more complicated model with a simpler model which has one interaction or main eect dropped to assess the importance o that term. Keywords: Multiway requency analysis, likelihood ratio statistic, partial association test. 18

3 Çok yönlü rekans tablolarının analizi iriş İki kesikli değişken arasındaki bir ilişki, ki-kare ( χ ) testi ile araştırılır. u iki kesikli değişkene ek olarak üçüncü bir değişken ilave edilir ise, iki ve üç yönlü ilişkiler, çok yönlü rekans analizi ile incelenir. Sonuç olarak, üç veya daha azla kesikli değişkenler (nicel, kategorik, sınılama) arasındaki ilişkiler çok yönlü rekans analizi süresince araştırılacaktır. Çok yönlü rekans analizini yapabilmek için, tablolar, tek yönlü, iki yönlü, üç yönlü tabloları içerecek biçimde düzenlenmelidir. u analiz, olabilirlik oran test istatistiği yi kullanır., Pearson ki-kare istatistiğine ( χ ) karşı bir alternatitir., yeteri kadar büyük N ler için χ olarak dağılır. u nedenle, değişkenler arasındaki ilişkilerin anlamlılığını değerlendirmek için, χ tabloları kullanılır. Ayrıca,, etkilerin toplanabilirlik özelliğine sahiptir. Örneğin, A ve değişkenlerini içeren bir iki-yönlü analizde, toplam = A + + A (1) dır. toplam ( ), iki yönlü tablodaki tüm ilişkilerin testini, A ve, temel etkilerin uyum iyiliği testlerini ve A ise A ve arasındaki birlikteliğin testini gösterir. olabilirlik oran istatistiği aşağıdaki gibi tanımlanacaktır. () = (g)ln(g/) () eşitliğinde, g, tablonun her bir hücresinde yer alan gözlenmiş rekansları;, her bir hücredeki beklenen rekansları gösterir (Freeman, 1987; Vokey, 00). Çok yönlü rekans analizinin gösterimi için bir uygulama u çalışmada, ele alınan veri azi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi İstatistik ölümü araştırma projesi öğrencilerinin 67 tiyatro izleyicisi arasında yapmış olduğu anket çalışmasından alınmıştır. u araştırmanın amacı, Ankara ilindeki devlet tiyatrolarının izleyici proilinin çıkartılmasıdır. u çalışmada, sadece üç kesikli değişken ele alınmıştır. u değişkenler ve değişkenlerin aldığı düzeyler şöyledir: Medeni durum (M) : bekar, evli Cinsiyet (C) : erkek, kadın durumu (S) : 1. sırada,. sırada,,5. sırada tercih etme durumu Ankara ilindeki devlet tiyatrolarının izleyici proiline ait olan veri tablosu aşağıda verilmiştir (Tablo 1). Tablo 1. Ankara ilindeki devlet tiyatrolarının izleyici proiline ait gözlenmiş rekanslar Medeni Tiyatroya gidenler arasında sinemayı tercih etme durumu Toplam durum Cinsiyet ekar Erkek Kadın Toplam Evli Erkek Kadın Toplam Çok yönlü rekans tablolarının analizi üç adımdan oluşur. u adımlar şunlardır. Eleme Uygun modelin seçimi ve testi Seçilen modelin değerlendirilmesi ve yorumlanması Tablo 1 deki veriler ele alınarak, bu adımlar incelenmiştir. Etkilerin elenme aşaması özlenmiş verinin en iyi uyduğu modelin seçimi ve test edilme aşamasına geçilmeden önce, hangi etkilerin önemli olup olmadıkları araştırılmalıdır. Model, tüm mümkün etkileri içeriyor ise, modele tam model denir. Eğer, modelde bazı etkiler yer alıp, diğer etkiler yer almıyorsa, böyle modele tamamlanmamış model denir. Eğer, araştırmacı belli ilişkilerin öncelikli olarak modelden çıkarılmasını gerekli görmüyorsa, tam bir modelle başlar ve bu model üzerinde modele 19

4 H. Olmuş katkısı en az olan etkileri sonradan eleme yolu ile çıkarır (O Leary vd., 005). Toplam etkinin testi Hiçbir etkinin var olmadığı kabul edilirse, beklenen rekanslar ( ) her bir hücre için aynı olur. Toplam etkiyi ( ) test etmek için gerekli olan beklenen rekanslar, örneklem büyüklüğünü tabloda yer alan hücre sayısına bölerek elde edilir. una göre, =nmcs (3) dır. Eşitlik 3 te yer alan terimler aşağıda verilmiştir. n : Örneklem büyüklüğü m : Medeni durumun düzey sayısı c : Cinsiyet değişkeninin düzey sayısı s : Tiyatroya gidenler arasında sinemayı tercih etme durumunun düzey sayısı Tablo 1 de verilen veriler için, =67/()()(5) =31.35 (4) olarak elde edilir. Toplam etkiyi test etmek için, Eşitlik ve Tablo 1 deki veriler ve hücrelerin her biri ele alınarak, ve serbestlik derecesi (sd) aşağıdaki gibi elde edilmiştir = 75ln ln sd=()()(5)-1=19 (5) α = 0.05 anlamlılık düzeyinde, 19 serbestlik dereceli χ değeri tir. u değer, elde edilen ile karşılaştırıldığında, cinsiyet, medeni durum ve tiyatroya gidenler arasında sinemayı tercih edenlerin oluşturduğu toplam 0 hücre için eşit beklenen rekanslardan ayrılışlarının istatistiksel olarak önemli olduğuna karar verilir. Temel etkilerin testi Çalışmada yer alan üç kesikli değişkenin her birinin anlamlı olup olmadıklarını belirlemek için uyum iyiliği testi yapılmıştır. Medeni durumun iki düzeyi için (bekar, evli), marjinal toplamlar ele alınarak, gözlenmiş rekanslar verilmiştir. eklenen rekansları elde etmek için, örneklem büyüklüğü, ilgili hücrenin sayısına bölünerek elde edilir. una göre, medeni durumun düzey sayısı m= olduğundan, =67/=313.5 (6) elde dilmiştir. öylece, elde edilen gözlenen ve beklenen rekanslar aşağıda verilmiştir. g ekar Evli Medeni durum değişkeni için, uyum iyiliği testi ve serbestlik derecesi, M= 379ln + 48ln = (7) sd=-1=1 ve cinsiyet değişkeni için, C = sd=-1=1 (8) elde edilir. α = 0.05 anlamlılık düzeyinde, 1 serbestlik dereceli χ değeri 3.84 dir. Sonuç olarak, tiyatro izleyicisi olan bekar (379) ve evli (48) olanların sayıları arasında ve tiyatro izleyicisi olan erkek (35) ve kadınların (39) sayıları arasında istatistiksel olarak anlamlı arklılık vardır. Sinemayı tercih etme durumu değişkeni için de, S=49.90 sd=5-1=4 (9) elde edilmiştir. α = 0.05 anlamlılık düzeyinde 4 serbestlik dereceli χ değeri 9.48 dir. Sonuç olarak, tiyatroya gidenler arasında sinemayı tercih etme durumu değişkenine ait 1. düzeyi (68),. düzeyi (9),, 5. düzeyi (8) sayıları arasında da istatistiksel olarak anlamlı arklılık vardır. ekar Evli

5 Çok yönlü rekans tablolarının analizi Kısmi birlikteliklerin testi Kısmi birliktelik testleri, tüm marjinal toplamların (test edilecek etki hariç), gözlenmiş marjinal rekanslara eşleştirildiği durumda, beklenen rekansların tam bir setini elde etmek için kullanılan bir ardışık hesaplama yöntemidir (Tabachnick ve Fidell, 001; Wrigley, 00). Kısmi birliktelik testini açıklamak için, çalışmada sadece S C birlikteliğinin hesapları açık olarak verilmektedir. Cinsiyet ve tiyatroya gidenler arasında sinemayı tercih etme durumunun meydana getirdiği her bir hücre, diğer değişken olan medeni durum (M) üzerinden toplanarak, gözlenmiş rekanslar aşağıdaki gibi elde edilir (Tablo ). Tablo. S C birlikteliğinin testi için gözlenmiş rekanslar Tiyatroya gidenler arasında sinemayı tercih etme durumu Cinsiyet Toplam Erkek Kadın Toplam eklenen rekanslar ise aşağıdaki tabloda verilmiştir (Tablo 3). Örneğin, ilk hücre için (sinemayı birinci sırada tercih eden erkekler) beklenen rekans, =(68)(35)/67= (10) elde edilir. Tablo 3 elde edildikten sonra, beklenen rekanslar diğer değişken olan medeni durumun her bir düzeyi için aynen yazılarak aşağıdaki tablo elde edilir (Tablo 4). İki-yönlü tablo iki kere tekrarlandığından dolayı, örneklem büyüklüğü 67, 154 olarak veya cinsiyeti erkek olanların sayısı da 35 yerine 470 olarak artmıştır. S C birlikteliğinin testi için, başka bir iki-yönlü ilişki ele alınarak, Tablo 4 teki değerler üzerinde uyarlamalar yapılmış ve ikinci ardışık tahminleri elde edilmiştir. İkinci ardışık tahminleri elde edebilmek için, diğer bir ilişki olan S M birlikteliği ele alınmıştır. S M için gözlenmiş rekanslar ve marjinal toplamlar aşağıdaki tabloda verilmiştir (Tablo 5). Tablo 3. S C birlikteliğinin testi için beklenen rekanslar durumu Toplam Erkek Kadın Toplam Tablo 4. S C birlikteliğinin kısmi testi için beklenen rekansların ilk ardışık tahminleri Medeni Cinsiyet durumu durum Toplam Erkek ekar Kadın Toplam Erkek Evli Kadın Toplam

6 H. Olmuş Tablo 5. S M için gözlenmiş rekanslar ve marjinal toplamlar Medeni durum Tiyatroya gidenler arasında sinemayı tercih etme durumu Toplam ekar Evli Toplam S C birlikteliğinin kısmi testi için, ikinci ardışık tahminlerinin elde edilmesinde uygulanan işlem, sadece, sinemayı birinci sırada tercih eden bekar erkek ve kadın olanlar için gösterilmiştir. urada: g M T #1 (erkek) : S M için gözlenmiş rekansları : S M için marjinal toplamları : Sinemayı birinci sırada tercih eden bekar erkekler için birinci ardışık tahminleri #1 (kadın) : Sinemayı birinci sırada tercih eden bekar kadınlar için birinci ardışık tahminleri # (erkek) : Sinemayı birinci sırada tercih eden bekar erkekler için ikinci ardışık tahminleri # (kadın) : Sinemayı birinci sırada tercih eden bekar kadınlar için ikinci ardışık tahminleri g/m T: Sinemayı birinci sırada tercih eden bekar erkek ve kadınlar için bir oranı göstermek üzere, g /M T=178/68= # #1 (erkek) = (erkek) ( ) =( )( ) = ve # #1 (kadın) = (kadın) ( ) =( )( ) = (11) (1) elde edilmiştir. Tüm hücrelere bu prosedür uygulanarak, aşağıdaki tablo elde edilir (Tablo 6). Tablo 6 incelendiğinde, C, S ve S M için gerçek toplamlar elde edilirken, C M için gerçek toplamlar elde edilememiştir. Yani, C, S ve S M nin her bir hücre değeri ile gözlenmiş rekanslar aynı iken, C M nin her bir hücre değeri ile gözlenmiş rekanslar aynı değildir. u nedenle, C M nin gözlenmiş değerleri ele alınarak, üçüncü ardışık tahminleri elde edilecektir. C M için gözlenmiş ve beklenen rekanslar aşağıda verilmiştir (Tablo 7). Tablo 6. S C birlikteliğinin kısmi testi için beklenen rekansların ikinci ardışık tahminleri Durumu Medeni durum Cinsiyet Toplam Erkek ekar Kadın Toplam Erkek Evli Kadın Toplam Tablo 7. C M için gözlenmiş ve beklenen rekanslar g Erkek Kadın Erkek Kadın ekar ekar Evli Evli S C birlikteliğinin kısmi testi için üçüncü ardışık tahminlerinin elde edilmesinde uygulanan işlem sadece, sinemayı birinci sırada tercih eden bekar erkekler için gösterilmiştir. Tüm hücrelere bu işlem uygulanarak, aşağıdaki tablo elde edilir (Tablo 8).

7 Çok yönlü rekans tablolarının analizi g / =133/ = #3 # (erkek) = (erkek) ( ) =( )( ) = (13) Tablo 8 incelendiğinde, test edilecek etki S C hariç, gözlenmiş tüm marjinal rekansların, tüm beklenen marjinal rekanslara eşit olduğu görülmüştür. yi hesaplayabilmek için gerekli SC olan değerleri elde edilmiştir ve SC değeri, 75 9 SC = 75ln ln = sd=4 (14) dır. Aynı işlem, C M ve S M birliktelikleri içinde uygulandığında, CM =8.09 sd=1 (15) ve SM = sd=4 (16) olarak elde edilir. Sonuç olarak, α = 0.05 anlamlılık düzeyinde 4 serbestlik derecesi için χ değeri 9.48 ve 1 serbestlik derecesi için χ değeri 3.84 olduğundan dolayı, S C, S M ve C M birliktelikleri istatistiksel olarak anlamlıdır. Üç yönlü etkilerin incelenmesi Üç yönlü (S C M) ilişkiyi test etmek için, uzun bir süreç vardır. 0 hücrede uygun yi hesaplayabilmek için 10 tane ardışık işlem gereklidir. S C M ilişkisi için, SCM =5.130 sd=4 (17) olarak elde edilmiştir. α = 0.05 anlamlılık düzeyinde, 4 serbestlik derecesi için χ değeri 9.48 olduğundan dolayı, üç-yönlü ilişki istatistiksel olarak anlamsızdır. Üç yönlü ilişki için, SCM =5.130 elde edildiğinden, Cinsiyet ve Sinemayı tercih etme değişkenleri arasında birliktelik için kısmi olabilirlik oran istatistiği, SC(kısmi) =SC-SCM = = sd=4 (18) olarak elde edilir. Ayrıca, C M ve S M birliktelikleri için kısmi olabilirlik oran istatistikleri, CM(kısmi) =3.079 sd=1 (19) SM(kısmi) =8.49 sd=4 (0) dır. Sonuç olarak, α = 0.05 anlamlılık düzeyinde 4 serbestlik derecesi için χ değeri 9.48 ve 1 ser- Tablo 8. S C birlikteliğinin kısmi testi için beklenen rekansların üçüncü ardışık tahminleri Medeni durum durumu Cinsiyet Toplam Erkek ekar Kadın Toplam Erkek Evli Kadın Toplam

8 H. Olmuş bestlik derecesi için χ değeri 3.84 olduğundan dolayı, C M ve S M birliktelikleri istatistiksel olarak anlamsız, sadece S C birlikteliği istatistiksel olarak anlamlı bulunmuştur. Çok yönlü rekans analizinde, Ankara ilindeki devlet tiyatrolarının izleyici proiline ait veriler için eleme testlerinin sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir (Tablo 9). Tablo 9. Ankara ilindeki devlet tiyatrolarının izleyici proiline ait veriler için eleme testlerinin sonuçları Etki sd P değeri Toplam <0.05 Sinemayı tercih <0.05 etme (S) Cinsiyet (C) <0.05 Medeni durum <0.05 (M) S C <0.05 S M >0.05 C M >0.05 S C M >0.05 Uygun modelin seçimi ve testi Çok yönlü rekans analizinde, eleme sonuçları kullanılarak araştırmacı için yeterli bilgi elde edilir. Amaç, her bir hücrede beklenen rekansları gerçeğe en uygun şekilde tahmin edebilecek modeli oluşturmaktır. Aynı zamanda böyle bir model, en az sayıda etkiyi kullanacak olan modeldir. Örneğin, A, ve C değişkenlerini içeren üç yönlü bir düzende tam model, ln =θ A C A j AC i k ij ik C AC jk (1) dır. u eşitlikte, ln, her bir hücre için beklenen rekanstır ve bu eşitlik, λ etki parametre- leri ve θ sabitinin toplamına eşittir. Seçilen modelin test işlemini yapmak için, artık rekanslara ihtiyaç vardır. Artık rekanslar, toplam değerinden, etkilerin her biri için elde edilen değeri çıkartılarak elde edilir. Eğer, artık rekanslar anlamsız ise, seçilen model yeterli bir modeldir denir (O Leary vd., 005). Çalışmada, (SC,M) en açık şekilde görülen modeldir. Tablo 9 incelendiğinde, P değeri<0.05 olan etkiler tiyatroya gidenler arasında sinemayı tercih etme (S), cinsiyet (C), medeni durum (M) ve sinemayı tercih etme ve cinsiyet (S C) etkileridir. u modelde, medeni duruma ek olarak sadece S C birlikteliği yer alır. Çünkü, S C birlikteliği, S ve C ana etkilerini de içerir. (SC,M) modeli için değeri, Tablo 9 da verilen eleme sonuçlarından elde edilmiştir ve iki yönlü etki için kısmi testlerin değerleri kullanılmıştır. (SC,M) modeli için, (SC,M) =T -SC -C -S-M = = sd= =9 () elde edilir. α = 0.05 anlamlılık düzeyinde 9 serbestlik derecesi için χ değeri 16.9 olduğundan, artık rekans anlamsızdır. Sonuç olarak, seçilen model, yeterli bir modeldir ve bu model ln =θ M C S SC (3) şeklinde yazılır. Seçilen modelin değerlendirilmesi ve yorumlanması En iyi model seçildikten sonra, her bir hücre için beklenen rekanslar elde edilecektir. (SC,M) modeli için beklenen rekanslar aşağıdaki tabloda verilmiştir (Tablo 10). Çok yönlü rekans analizinde, Eşitlik (1) de kullanılan λ parametre tahminlerinin elde edilmesi için, ilk olarak sapma değerlerine ihtiyaç vardır (Tabachnick ve Fidell, 001). Sapmalar, ln(p )=ln( /n) (4) 4

9 Çok yönlü rekans tablolarının analizi elde edilir. Örneğin, sinemayı birinci sırada tercih eden bekar erkekler için, ln(p 111)=ln( 111 /67) = ln( / 67) =.170 (5) elde edilir ve diğer geriye kalan tüm hücreler için ln(p ) lar hesaplanır ise, aşağıdaki tablo elde edilir (Tablo 11). Tablo 11 de elde edilen ln(p ) lar yardımıyla, parametre tahminlerinin elde edilmesi üç adımdan oluşur. 1. Seçilen modelde yer alan etkilerin her birinin her düzeyi için ortalama ve genel ortalama hesaplanır. enel ortalama, x =(1/scm) ln(p )... = (1/ 0)[(.170) ( )] = (6) dır ve örneğin, tiyatroya gidenler arasında sinemayı birinci sırada tercih edenler için ortalama, x =(1/cm) ln(p ) 1.. jk = (1/ 4)[(.170) + ( ) + (.6411) + (.350)] =.710 ve cinsiyeti erkek olanlar için ortalama, x =(1/sm) ln(p ).1. ik = (1/10)[(.170) + (.563) ( )] = (7) (8) elde edilir. Ayrıca, cinsiyeti erkek olup tiyatroya gidenler arasında sinemayı birinci sırada tercih edenler için ortalama, x =(1/m) ln(p ) 11. k = (1/ )[(.170) + (.6411)] =.4905 (9) dır. Ayrıca, etkilerin her birinin her bir düzeyi için ayrı ayrı ortalamalar hesaplanmıştır. Tablo 10. (SC,M) modeli için beklenen rekanslar Medeni durum Cinsiyet Durumu Toplam Erkek ekar Kadın Erkek Evli Kadın Toplam Tablo 11. (SC,M) modeli için eklenen ln(p ) değerleri Medeni durum Cinsiyet durumu Erkek ekar Kadın Erkek Evli Kadın

10 H. Olmuş. Parametre tahminleri ( λ ), her etkinin her bir düzeyinin genel ortalamadan arkı alınarak elde edilir. Örneğin; sinemayı birinci sırada tercih edenler için, λ S =x x... =.710 ( ) = (30) dır. Ayrıca, erkek olup sinemayı birinci sırada tercih edenler için, λ SC =x x.1. x1.. + x... =.4905 ( ) (.710) + ( ) = elde edilir. (31) 3. Son adımda ise, elde edilen λ değerleri standart hatalarına (SH) bölünerek, bir etkinin bir hücreye olan katılımı değerlendirilecektir. λ/sh oranına, standart normal sapma adı verilir (Tabachnick, 001). SH = (1/s) / = (1/ 5) / 68 + (1/ 5) / (1 / 5) / 70 + (1 / 5) / 3 + (1 / 5) / 8 = (3) SH= (33) elde edilir. değişkenin birinci düzeyine ilişkin standart normal sapma değeri, λ/sh=1.1489/ = (34) dır. α = 0.05 anlamlılık düzeyinde, z değeri 1.64 dür. Standart normal sapma değeri (0.3189), z değeri ile karşılaştırıldığında, tiyatroya gidenler arasında sinemayı tercih etme değişkeninin birinci düzeyinin önemli bir etkisi vardır. Tüm λ ve λ /SH değerleri seçilen modelde yer alan etkilerin her bir düzeyi için hesaplanmış ve aşağıda verilen tablo elde edilmiştir (Tablo 1). Tablo 1. (SC,M) modeli için tüm λ ve λ /SH değerleri Etki Düzey λ λ /SH Cinsiyet (C) Erkek Kadın Medeni durum (M) ekar Evli Sinemayı tercih etme durumu (S) Sinemayı tercih etme durumu ile cinsiyet (S C) Sinemayı tercih etme 1. düzeyi ile erkek Sinemayı tercih etme 1. düzeyi ile kadın Sinemayı tercih etme. düzeyi ile erkek Sinemayı tercih etme. düzeyi ile kadın Sinemayı tercih etme 3. düzeyi ile erkek Sinemayı tercih etme 3. düzeyi ile kadın Sinemayı tercih etme 4. düzeyi ile erkek Sinemayı tercih etme 4. düzeyi ile kadın Sinemayı tercih etme 5. düzeyi ile erkek Sinemayı tercih etme 5. düzeyi ile kadın

11 Çok yönlü rekans tablolarının analizi Çok yönlü rekans tablolarının analizinde, değişkenin iki düzeyli olması durumunda kullanılan (+) ve (-) işaretler rekansın büyüklüğüne göre seçilir. Her bir düzey için elde edilen λ parametre tahminleri ayrı ayrı hesaplanmaz ve tek bir parametre tahmini elde edilir. Sonuçlar u çalışmada, çok yönlü rekans analizi ile ele alınan verideki üç kesikli bağımsız değişken arasındaki ilişkiler değerlendirilmiştir. u değişkenler arasındaki ilişkilerin anlamlı olup olmadıklarının belirlenmesinde, olabilirlik oran test istatistiği kullanılmıştır. İki yönlü birliktelikler için kısmi değerleri elde edilmiş- tir. Ayrıca, en iyi model belirlenmiş ve bu model için parametre tahminleri ve standart normal sapmalar elde edilmiştir. Tablo 1 incelendiğinde, aşağıdaki sonuçlara ulaşılabilir: durumu ile cinsiyet arasındaki birlikteliklerin düzeyleri incelendiğinde, sadece kadın olup sinemayı. sırada tercih edenler arasındaki birlikteliğin hücre rekansı üzerine önemli bir katkısı bulunmamıştır. Çünkü, standart normal sapma değeri , α = 0.05 anlamlılık düzeyinde z=1.64 değeri ile karşılaştırıldığında, bu birlikteliğin önemsiz olduğu görülmektedir. Tiyatroya gidenler arasında sinemayı tercih etme durumu ile cinsiyet arasındaki birlikteliklerden, sadece sinemayı 3. sırada tercih etme ve cinsiyet arasındaki birliktelik hücre rekansı üzerinde en önemli katkıyı sağlar. Sonuç olarak, örneğin, tiyatroya gidenler arasında sinemayı. sırada tercih eden evli kadınlar hücresi ele alınsın. u hücrede yer alan parametreler için standart normal sapmalar, Sinemayı.sırada tercih etme : Evli olma : Kadın olma : Kadın olup sinemayı. sırada tercih etme : dır. α = 0.05 anlamlılık düzeyinde z=1.64 değeri ile bu değerler karşılaştırılırsa, ele alınan hücre rekansı üzerindeki en önemli etkiler sırası ile, sinemayı. sırada tercih etme, cinsiyeti kadın olanlar ve medeni durumu evli olanlar sağlar. Sinemayı. sırada tercih etme ve kadın arasındaki birlikteliğin hücre rekansı üzerinde önemli bir katkısı yoktur. enzer şekilde, tiyatroya gidenler arasında sinemayı 1. sırada tercih eden bekar kadınlar hücresi ele alınsın. u hücrede yer alan parametreler için standart normal sapmalar, Sinemayı 1.sırada tercih etme : ekar olma : Kadın olma : Kadın olup sinemayı 1. sırada tercih Etme : dır. α = 0.05 anlamlılık düzeyinde z=1.64 değeri ile bu değerler karşılaştırılırsa, ele alınan hücre rekansı üzerindeki en önemli etkiler sırası ile, sinemayı 1. sırada tercih etme, cinsiyeti kadın, medeni durumu bekar ve sinemayı 1. sırada tercih etme ve kadın arasındaki birlikteliğidir. u çalışmada amaç, çok yönlü rekans analizinde yer alan temel işlemlerin nasıl kullanıldığını göstermek ve yorumlamaktır. Kaynaklar Fisher, R.A., (194). The conditions under with X measures the discrepancy between observed observation and hypothesis, Journal o Royal Statistical Society, 87, Freeman, D. H., (1987). Applied Categorical Data Analysis, Marcel Dekker, NewYork. Tabachnick,.. ve Fidell L.S., (001). Using Multivariate Statistics, Allyn&acon, USA. Wrigley, N., (00). Categorical Data Analysis or eographers and Enviromental Scientists, The lackburn Press, USA. Vokey, J.H., (00). Multiway Frequency Analysis or Experimental Psychologists, ( ). O Leary, C., aulch, J. ve Ling, L.Y., eds. (005). Multiway Frequency Analysis, ments/mfa.pd, ( ). 7