T.C. NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLAR. Cemil KURU. Bu tez, Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans ORDU 2016 TEZ ONAYI

Transkript

1 T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLAR Cemil KURU Bu tez, Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans derecesi için hazırlanmıştır ORDU 2016 TEZ ONAYI

2 TEZONAY Ordu Oniversitesi Fen Bilimleri Enstitlisti ogrencisi Cemil KURU tarafmdan haz1rlanan ve Yrd. Do9. Dr. Mehmet KORKMAZ dam~manhgmda yilrilttilen "Neutrosophic Topolojik Uzaylar "adh bu tez, jurimiz tarafmdan 18 I 12 I 2017 tarihinde oy birligi I ov coklueu ile Matematik Anabilim Dalmda Yuksek Lisans tezi olarak kabul edilmi~tir. Darn~man Yrd. Do9. Dr. Mehmet KORKMAZ Ba~kan Y rd. Do9.Kerim BEK.AR Matematik, Giresun Oniversitesi imza: c::;;: ~,.i \ Oye Yrd. Do9. Dr. Mehmet KORKMAZ Matematik, Ordu Oniversitesi imza: Oye Yrd. Do9. Dr. Y1ld1ray <;ELiK Matematik, Ordu Oniversitesi imza: ONAY: 08.". ;#!~9.lr:. tarihinde enstitliye teslim edilen bu tezin kabulu, Enstitli Yonetim,v Kurulu'nun.I?! Q+-1.~.l.'ef.. tarih ve..2:?!8.. I.9.b. say1h karan ile onaylanm1~t1r. I l.,,-;,;,'\!.~~... A<%fiiftr.,,t~. -~ ~ i ~ '\... ~~ :.; jli:.,:~'l ~ ~~~! '.Jj.,-l,..."":"'~ ~ '... :.-:. ~1 <>,, t~_,\, ~~,.?,1. nst.1tu ai '. Y I \1..,. ~ :il;;'il. L.,3.,.,. i- 1 -.r,, ~~f,11~ -~~ t eh \ :;,~1-../'i I \I 't. it, ~ ll:i 1' ~ \"...,1..- '. ':,..~ 'r.,. '"'. '.,\\.,!I;:, rr.;,.. ":.f."' 't i 'ri 17,i;i ~ \ ~~ ~~..'<!:"-""''''''~. Sarni GULER

3 TEZ BiLDiRiMi Tez yaz1m kurallanna uygun olarak haz1rlanan bu tezin yazilmasmda bilimsel ahlak kurallanna uyuldugunu, ba~kalannm eserlerinden yararlamlmas1 durumunda bilimsel normlara uygun olarak atlfta bulunuldugunu, tezin ieyerdigi yenilik ve sonueylann ba~ka bir yerden almmad1gm1, kullamlan verilerde herhangi bir tahrifat yap1lmad1gm1, tezin herhangi bir k1smmm bu liniversite veya ba~ka bir liniversitedeki ba~ka bir tez 9ah~mas1 olarak sunulmad1gm1 beyan ederim. 0/M/v Cemil KURU Not: Bu tezde kullamlan ozglin ve ba~ka kaynaktan yapilan bildiri~lerin, eyizelge, ~ekil ve fotograflann kaynak gosterilmeden kullamm1, 5846 say1h Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hliklimlere tabidir. I

4 ÖZET NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLAR Cemil KURU Ordu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı, 2016 Yüksek Lisans Tezi,... sayfa Danışman: Yrd.Doç.Dr. Serkan KARATAŞ Bu çalışma dört bölümden oluşmaktadır. Giriş bölümünde bulanık küme, sezgisel bulanık küme ve neutrosophic küme üzerinde yapılan çalışmalardan bahsedilmiştir ve çalışmalar arasındaki farklılıklar incelenmiştir. İkinci bölümde ise bulanık küme, sezgisel bulanık küme ve Neutrosophic küme tanımları verilmiştir. Ayrıca neutrosophic küme üzerinde küme işlemleri ve bazı uygulamalara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde ise bu çalışmanın temel amacı olan neutrosophic topolojik uzay kavramı ve neutrosophic topolojik uzaylarda bir kümenin içi, kapanışı, dışı ve sınırı tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde bu kavramın ortaya çıkış nedenleri ve konu üzerine yapılabilecek çalışmalar tartışılmıştır. Konunun ele alınış amacı ve gelişim sürecinden bahsedilmiştir. Anahtar Kelimeler: Bulanık küme, sezgisel bulanık küme, neutrosophic küme, neutrosophic topolojik uzay. I

5 ABSTRACT NEUTROSOPHIC TOPOLOGICAL SPACES Cemil KURU Ordu University Institute for Graduate Studies in Science and Technology Department of Mathematics, 2016 MSc. Thesis,... page Supervisor: Asst. Prof. Serkan KARATAŞ This thesis consists of four parts. In the introduction of this thesis has been mentioned from made studies over fuzzy sets, intuitionistic fuzzy sets and neutrosophic sets and examined from the differences between studies. In the second section, it have given defintions of fuzzy sets, intuitionistic fuzzy sets and neutrosophic sets. Also, in this section, we give some set operations on sets and applications. In the third section, which is main purpose of this study, we introduce concept of neutrosophic topological space and a set of interior, closure, exterior and frontier in neutrosophic topological spaces. In the fourth section, reasons for the emergence of these concepts and the studies planned to be done on these concepts have been discussed. It have been mentioned from the primary reason for this issue research and development process. Keywords: Fuzzy set, intuitionistic fuzzy set, neutrosophic set, neutrosophic topological space. II

6 TEŞEKKÜR Tüm çalışmalarım boyunca her zaman bilgi ve deneyimleriyle yolumu açan değerli hocam Sayın Yrd. Doç. Dr. Serkan KARATAŞ a en samimi duygularım ile teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca, çalışmalarım boyunca desteklerini esirgemeyen Matematik Bölüm Başkanı Sayın Doç. Dr. Selahattin MADEN ve tüm Matematik Bölümü öğretim üyelerine en içten şükranlarımı sunuyorum. Çalışmam boyunca benden maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen babama, anneme, kardeşime ve arkadaşlarıma teşekkürlerimi sunuyorum. III

7 İÇİNDEKİLER ÖZET I ABSTRACT II TEŞEKKÜR III SİMGELER VE KISALTMALAR VI 1. GİRİŞ 1 2. TEMEL KAVRAMLAR Bulanık Kümeler Sezgisel Bulanık Kümeler Neutrosophic Kümeler NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLAR Neutrosophic Topolojik Uzay Neutrosophic Topolojik Uzaylarda Bir Kümenin İçi, Kapanışı, Dışı ve Sınırı Neutrosophic Alt Uzay TARTIŞMA VE SONUÇ 30 KAYNAKLAR 31 DİZİN 32 IV

8 İÇİNDEKİLER V

9 SİMGELER VE KISALTMALAR µ A : A neutrosophic kümesinin üyelik fonksiyonu σ A : A neutrosophic kümesinin üye olamama fonksiyonu ν A : A neutrosophic kümesinin belirsizlik fonksiyonu N X : X kümesi üzerinde tanımlı tüm neutrosophic kümerlerin kümesi : Küçük eşit : Büyük eşit : supremum : infimum : Gerek şart : Yeter şart : Gerek ve yeter şart : Neutrosophic boş küme X : Neutrosophic evrensel küme A B : A ve B neutrosophic kümelerinin neutrosophic kesişimi A B : A ve B neutrosophic kümelerinin neutrosophic birleşimi A B : B neutrosophic kümesi, A neutrosophic kümesini neutrosophic kapsar A c : A neutrosophic kümesinin tümleyeni τ : Neutrosophic topoloji inta : A neutrosophic kümesinin neutrosophic içi cla : A neutrosophic kümesinin neutrosophic kapanışı exta : A neutrosophic kümesinin neutrosophic dışı fra : A neutrosophic kümesinin neutrosophic sınırı VI

10 1. GİRİŞ Klasik küme teorisi, bulanık küme teorisi ve olasılık teorisi gibi bazı bilim dallarında karşılaşılan, her bilim dalının kendine özgü karmaşık sorunlarda klasik matematik yöntemleri ile cevap alınamamaktadır. Ekonomi, mühendislik ve çevre bilimi gibi bir çok saha, çalışmalarını sürdürebilmeleri için, dilbilimsel değerleri ve belirsizlikleri matematiksel olarak modellemeye ihtiyaç duyarlar. İlk kez 1967 de Zadeh [11] tarafından tanımlanan bulanık küme kavramı bu amaçla ortaya atılmıştır. Bir bulanık küme, evrensel kümedeki elemanlara [0, 1] aralığından üyelik derecesi atayan bir fonksiyondur. Atanassov [1] 1986 da bulanık küme kavramından yola çıkarak sezgisel bulanık küme kavramını, bulanık kümenin bir genellemesi olarak tanımlamıştır. Bulanık küme ve sezgisel bulanık küme teorilerinde bir elemanın üye olup, üye olmama gibi değerleri üzerinde durulmuştur. Bunlara ek olarak bir elemanın belirsizlik durumu üzerinde durulmuştur. Buradan yola çıkarak Smarandache [10] 2008 de neutrosophic küme kavramının tanımını ve neutrosophic kümeler üzerinde bazı uygulamalar içeren çalışmasını yayımladı. Neutrosophic küme kavramıyla beraber, boş neutrosophic küme evresel neutrosophic küme ve neutrosophic küme işlemleri belirsizlik derecesine göre yapılan yorumlar neticesinde farklı şekillerde tanımlandı. Neutrosophic kümeler konusunda bir çok yazarın makalesi mevcuttur. Örneğin; Broumi ve Smarandache [2 4] sezgisel bulanık kümeler ve neutrosophic kümeleri birleştirerek sezgisel neutrosophic kümeler adlı kavramı ortaya atmışlardır. Ayrıca, Salama ve Al-Blowi [9], genelleştirilmiş netrosophic küemeler üzerinde çalışmışlardır. Lupiáñez, [5] 2008 deki çalışmasında neutrosophic küme kavramı yardımıyla neutrosophic topolojiyi tanımladı. Çalışmasında kullandığı küme işlemlerinde tümleyen kavramı De Morgan kuralı açısından işe yarar bir konumda değildir. Bu nedenle neutrosophic küme işlemleri alt küme, eşitlik, kesişim, birleşim, tümleyen, neutrosophic boş küme ve neutrosophic evrensel küme bu çalışmada tekrar ele alarak yeniden tanımlamıştır. Tanımlanan tümleyen kavramı sayesinde De Morgan kuralı Neutrosophic kümeler için de anlamlı bir hale gelmiştir. Bu çalışmanın üçüncü bölümünde, yeniden düzenlenen bu tanımlar neticesinde neutrosophic topolojik uzay kavramı tanımlanmıştır. Ayrıca Lupiáñez [5 8] in çalışmasında var 1

11 olmayan neutrosophic kümenin içi, kapanışı, dışı ve sınırı gibi topolojide hayati öneme sahip kavramlar tanımlanmış ve aralarındaki ilişkiler incelenmiştir. Son olarak, dördüncü bölümde neutrosophic topolojik uzaylardaki çalışılabilecek diğer konular tartışılarak çalışma tamamlanmıştır. 2

12 2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1 Bulanık Kümeler Tanım [11] X olsun. µ : X [0, 1] fonksiyonuna bulanık küme denir. { x, } µ µx : x X, µx [0, 1] şeklinde tanımlanır. X kümesi üzerinde tanımlı bütün bulanık kümelerin kümesi I X I [0, 1] veya F X ile gösterilir. 2.2 Sezgisel Bulanık Kümeler Tanım [1] Bir A sezgisel bulanık kümesi boştan farklı bir X kümesi üzerinde A µa x, σ A x } : x X şeklinde tanımlanır. Buradan µ A : X [0, 1] ve σ A : X [0, 1] tanımlı ve her x X için 0 µ A x + σ A x 1 şartını sağlayan fonksiyonlardır. µ A ve σ A foksiyonlarına için sırasıyla üyelik ve üye olmayan fonksiyonlar denir. 2.3 Neutrosophic Kümeler Tanım [10] Bir A neutrosophic kümesi boştan farklı bir X kümesi üzerinde A µa x, σ A x, ν A x } : x X şeklinde tanımlanır. Buradan µ A, σ A, ν A X den ] 0, 1 + [ tanımlı ve her x X için 0 µ A x + σ A x + ν A x 3 + şartını sağlayan fonksiyonlardır. X kümesi üzerinde tanımlı tüm neutrosophic kümelerin kümesi N X ile gösterilir. Standart olmayan aralıklar uygulamalarda çok elverişli olmadığından tezin kalan kısmında [0, 1] aralığını kullanılacaktır.. µ A : X [0, 1] 3

13 fonksiyonuna üyelik fonksiyonu, σ A : X [0, 1] fonksiyonuna üye olmama fonksiyonu ve fonksiyonuna belirsizlik fonksiyonu denir. ν A : X [0, 1] Tanım A, B N X olsun. Her x X için µ A x µ B x, σ A x σ B x ve ν A x ν B x oluyorsa A ya, B nin neutrosophic alt kümesi denir ve A B şeklinde gösterilir. Tanım A, B N X olsun. A B ve B A ise A ve B kümelerine neutrosophic eşit kümeler denir ve A B şeklinde gösterilir. Tanım A, B N X olsun. A ve B neutrosophic kümelerinin neutrosophic birleşimi A B gösterilir ve A B µa x µ B x, σ A x σ B x, ν A x ν B x } : x X şeklinde tanımlanır. Tanım A, B N X olsun. A ve B neutrosophic kümelerinin neutrosophic kesişimi A B gösterilir ve A B µa x µ B x, σ A x σ B x, ν A x ν B x } : x X şeklinde tanımlanır. Tanım {A i : i I} N X neutrosophic kümelerin bir ailesi verilsin. Bu ailenin Neutrosophic birleşimi ve kesişimini A i A i şeklinde tanımlanır. µ Ai x, σ Ai x µ Ai x, σ Ai x, ν Ai x } : x X ν Ai x } : x X Tanım A N X olsun. A nın neutrosophic tümleyeni A c ile gösterilir ve şeklinde tanımlanır. A c ν A x, 1 σ A x, µ A x : x X } 4

14 Tanım A N X olsun. Her x X için µ A x 0 ve σ A x ν A x 1 ise A ya neutrosophic boş küme denir ve ile gösterilir. Tanım A N X olsun. Her x X için µ A x 1 ve σ A x ν A x 0 ise A ya neutrosophic evrensel küme denir ve X ile gösterilir. Örnek X {x, y, z} olsun. A, B, C N X kümeleri A 0.1, 0.2, 0.3, y, 0.5, 0.7, 0.6, z, 0.6, 0.7, 0.8 } B 0.9, 0.2, 0.1, y, 0.5, 0.4, 0.5, z, 0.7, 0.6, 0.5 } C 0.7, 0.3, 0.2, y, 0.6, 0.4, 0.3, z, 0.9, 0.6, 0.1 } şeklinde tanımlansın. i. Aşağıdaki eşitsizliklerden A B olduğu görülür. ii. B ve C nin neutrosophic birleşimi µ A x µ B x, σ A x σ B x, ν A x ν B x µ A y µ B y, σ A y σ B y, ν A y ν B y µ A z µ B z, σ A z σ B z, ν A z ν B z B C , , , y, , , , z, , , } { } x, 0.9, 0.2, 0.1,, y, 0.6, 0.4, 0.3, z, 0.9, 0.6, 0.1 iii. B ve C nin neutrosophic kesişimi A C , , , y, , , , z, , , } { } x, 0.1, 0.3, 0.3,, y, 0.5, 0.7, 0.6, z, 0.6, 0.7, 0.8 5

15 iv. C nin neutrosophic tümleyeni de C c 0.7, 0.3, 0.2, y, 0.6, 0.4, 0.3, z, 0.9, 0.6, 0.1 } c 0.2, 1 0.3, 0.7, y, 0.3, 1 0.4, 0.6, z, 0.1, 1 0.6, 0.9 } 0.2, 0.7, 0.7, y, 0.3, 0.6, 0.6, z, 0.1, 0.4, 0.9 } olarak bulunur. Teorem A, B N X olsun. Bu taktirde aşağıdaki iddialar doğrudur. i. A A A ve A A A ii. A B B A ve A B B A iii. A ve A X A iv. A A ve A X X v. A B C A B C ve A B C A B C vi. A B C A B A C ve A B C A B A C vii. A c c A İspat. i. A N X olmak üzere neutrosophic kesişim ve neutrosophic birleşim tanımından; { A A x, µ A x µ A x, σ A x σ A x, } ν A x ν A x : x X { } µ A x, σ A x, ν A x : x X A ve A A { x, µ A x µ A x, σ A x σ A x, } ν A x ν A x : x X { } µ A x, σ A x, ν A x : x X A elde edilir. 6

16 ii. A, B N X olmak üzere neutrosophic kesişim ve neutrosophic birleşim tanımından; { A B x, µ A x µ B x, σ A x σ B x, } ν A x ν B x : x X { x, µ B x µ A x, σ B x σ A x, } ν B x ν A x : x X B A ve A B { x, µ A x µ B x, σ A x σ B x, } ν A x ν B x : x X { x, µ B x µ A x, σ B x σ A x, } ν B x ν A x : x X B A elde edilir. iii. A N X olsun. Buradan A µa x 0, σ A x 1, ν A x 1 : x X} } 0, 1, 1 : x X ve A X µa x 1, σ A x 0, ν A x 0 : x X} µa x, σ A x, ν A x : x X} A elde edilir. iv. A N X olsun. Buradan A µa x 0, σ A x 1, ν A x 1 : x X} µa x, σ A x, ν A x : x X} A 7

17 ve A X µa x 1, σ A x 0, ν A x 0 : x X} 1, 0, 0 : x X } X elde edilir. v. A, B, C N X olsun. Buradan A B C µa x, σ A x, ν A x : x X} { x, µ B x µ C x, σ B x σ C x, } ν B x ν C x : x X { x, µ A x, µ B x, µ C x, σ A x, σ B x, σ C x, } ν A x, ν B x, ν C x : x X { x, µ A x µ B x, σ A x σ B x, } ν A x ν B x : x X µc x, σ C x, ν C x : x X} A B C ve A B C µa x, σ A x, ν A x : x X} { x, µ B x µ C x, σ B x σ C x, } ν B x ν C x : x X µ A x, µ B x, µ C x, σ A x, σ B x, σ C x, } ν A x, ν B x, ν C x : x X { x, µ A x µ B x, σ A x σ B x, } ν A x ν B x : x X µc x, σ C x, ν C x : x X} A B C 8

18 elde edilir. vi. A, B, C N X olsun. Buradan A B C µa x, σ A x, ν A x : x X} { x, µ B x µ C x, σ B x σ C x, } ν B x ν C x : x X { x, µ A x µ B x, σ A x σ B x, ν A x ν B x } { x, µ A x µ C x, σ A x σ C x, } ν A x ν C x : x X A B A C ve A B C µa x, σ A x, ν A x : x X} { x, µ B x µ C x, σ B x σ C x, } ν B x ν C x : x X { x, µ A x µ B x, σ A x σ B x, ν A x ν B x } { x, µ A x µ C x, σ A x σ C x, } ν A x ν C x : x X A B A C elde edilir. 9

19 vii. A N X olsun. Buradan A c c { { x, µa x, σ A x, ν A x : x X } } c c νa x, 1 σ A x, µ A x c : x X} µa x, 1 1 σ A x, ν A x : x X} µa x, σ A x, ν A x : x X} A oarak bulunur. Teorem {A i : i I} N X neutrosophic küme ailesi olsun. Bu taktirde aşağıdaki iddialar doğrudur. i. ii. A ic A ic A c i A c i İspat. i. {A i : i I} bir neutrosophic küme ailesi olsun. Buradan c { A i x, ν Ai x : x X µ Ai x, σ Ai x, { x, ν Ai x, 1 σ Ai x, } c } µ Ai x : x X ve A c i { x, ν Ai x, 1 σ Ai x, { x, ν Ai x, 1 σ Ai x, } µ Ai x : x X } µ Ai x : x X elde edilir. Dolayısıyla; A ic A c i 10

20 ii. {A i : i I} bir neutrosophic küme ailesi olsun. Buradan c { A i x, ν Ai x µ Ai x, σ Ai x, { x, ν Ai x, 1 σ Ai x, } c : x X } µ Ai x : x X ve A c i { x, ν Ai x, 1 σ Ai x, { x, ν Ai x, 1 σ Ai x, } µ Ai x : x X } µ Ai x : x X elde edilir. Dolayısıyla; A ic A c i Teorem B N X ve { A i : i I } N X olsun. Bu taktirde aşağıdaki iddialar doğrudur. i. B A i B Ai ii. B A i B Ai i i İspat. i. {A i : i I} N X olmak üzere { B A i B x, } ν Ai x : x X µ Ai x, σ Ai x, { x, µ B x µ Ai x, σ B x σ Ai x, ν B x ν Ai x } : x X { x, µb x µ Ai x, σb x σ Ai x, νb x ν Ai x } : x X 11

21 ve { B Ai x, µ B x µ Ai x, σ B x σ Ai x elde edilir. Dolayısıyla; ν B x ν Ai x { x, ii. {A i : i I} N X olmak üzere { B A i B x, } : x X µ B x µ Ai x, σ B x σ Ai x ν B x ν Ai x } : x X B A i B Ai } ν Ai x : x X µ Ai x, σ Ai x, { x, µ B x µ Ai x, σ B x σ Ai x, ν B x ν Ai x } : x X { x, µb x µ Ai x, σb x σ Ai x, νb x ν Ai x } : x X ve { B Ai x, µ B x µ Ai x, σ B x σ Ai x elde edilir. Dolayısıyla; ν B x ν Ai x { x, } : x X µ B x µ Ai x, σ B x σ Ai x ν B x ν Ai x } : x X B A i B Ai i i 12

22 3. NEUTROSOPHİC TOPOLOJİK UZAYLAR 3.1 Neutrosophic Topolojik Uzay Tanım τ N X ailesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu aileye X üzerinde neutrosophic topoloji denir. i., X τ ii. Her A, B τ için A B τ iii. Her { A i : i I } τ için A i τ Eğer τ ailesi X kümesi üzerinde bir neutrosophic topoloji ise X, τ ikilisine bir neutrosophic topolojik uzay denir. Örnek X boştan farklı bir küme olmak üzere τ {, X} ve σ N X neutrosophic küme aileleri X üzerinde birer neutrosophic topolojidirler. Tanım X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ise, τ ailesine ait kümelere neutrosophic açık küme denir. Tanım X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. Eğer A c τ ise A kümesine bu uzayda neutrosophic kapalıdır denir. 3.2 Neutrosophic Topolojik Uzaylarda Bir Kümenin İçi, Kapanışı, Dışı ve Sınırı Tanım X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. A nın neutrosophic içi şeklinde tanımlanır. inta G τ G A G 13

23 Teorem X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. i. inta A ii. inta kümesi, neutrosophic açık bir kümedir. iii. inta kümesi, A kümesinin neutrosophic kapsadığı en büyük neutrosophic açık kümedir. iv. A kümesinin bir neutrosophic açık küme olması için gerekli ve yeterli koşul A inta olmasıdır. İspat. i. Tanım ile inta A olduğu açıktır. ii. Neutrosophic topoloji tanımından; neutrosophic açık kümelerin keyfi sayıda elemanların neutrosophic birleşimi neutrosophic açık küme olup, inta neutrosophic açık kümedir. iii. Neutrosophic iç tanımı inta G τ G A gereğince A kümesinin neutrosophic kapsadığı bütün neutrosophic açık neutrosophic alt kümeler, inta kümesinin birer neutrosophic alt kümeleridir. ii. gereği inta kümesi, neutrosophic açık kümedir. Dolayısıyla inta kümesi, A kümesinin neutrosophic kapsadığı en büyük neutrosophic açık kümedir. iv. : A kümesi neutrosophic açık bir küme olsun. Bu takdirde A τ dur. Neutrosophic iç tanımı inta G τ G A gereğince A inta ve i. ile inta A olduğundan A inta : A inta olsun. ii. gereği A kümesi, neutrosophic açık kümedir. Teorem X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A, B N X olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. 14 G G

24 i. int X X ve int ii. intinta inta iii. A B ise inta intb iv. inta intb inta B v. inta intb inta B İspat. i. X ve kümeleri neutrosophic açık küme olduğundan X kümesinin neutrosophic kapsadığı en büyük neutrosophic açık neutrosophic alt kümesi int X kümesi ve kümesinin neutrosophic kapsadığı en büyük neutrosophic açık neutrosophic alt kümesi int kümesidir. O halde X int X ve int ii. inta B olsun. Teorem ii. gereği B kümesi neutrosophic açık kümedir. Teorem iv. gereğince intb B bulunur. B kümesi yerine inta alınırsa, buradan intinta inta elde edilir. iii. A B olsun. Teorem i. gereği inta A Hipotez gereği inta B inta kümesi, B kümesinin neutrosophic kapsadığı herhangi bir neutrosophic açık küme ve teorem iii. gereğince, intb kümeside B kümesinin neutrosophic kapsadığı en büyük neutrosophic açık küme olduğundan, inta intb B bulunur. Buradan inta intb iv. A B A ve A B B neutrosophic kapsamalarından ve iii. gereğince inta B inta ve inta B intb 15

25 bulunur. Neutrosophic kesişim işleminden, inta B inta intb elde edilir ve teorem ii. gereği inta ve intb kümeleri neutrosophic açık kümelerdir. Neutrosophic açık kümelerin sayılabilir neutrosophic birleşimi neutrosophic açık küme olacağından inta intb neutrosophic açık kümedir. Teorem iii. gereği inta B kümesi, A B kümesinin neutrosophic kapsadığı en büyük neutrosophic açık küme olduğundan, inta intb inta B elde edilir. Böylece ve ifadelerinden inta B inta intb inta intb inta B inta intb inta B bulunur. Uyarı Teorem iv. gereğince inta intb inta B olmak zorunda değildir. X {a, b} olmak üzere, A, B, C N X neutrosophic kümeleri A { a, 0.5, 0.6, 0.7, b, 0.1, 0.4, 0.9 } B { a, 0.8, 0.6, 0.2, b, 0.4, 0.5, 0.9 } C { a, 0.9, 0.7, 0.8, b, 0.1, 0.3, 0.5 } şeklinde tanımlanıyor. τ {, X, A } neutrosophic küme ailesi X üzerinde bir neutrosophic topolojidir. 16

26 intb intc intb C A bulunur. Bu durumda inta intc inta C Tanım X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. A nın neutrosophic kapanışı şeklinde tanımlanır. cla K c τ A K Teorem X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. i. A cla ii. cla kümesi, neutrosophic kapalı bir kümedir. iii. cla kümesi, A kümesinin neutrosophic kapsayan en küçük neutrosophic kapalı kümedir. iv. A kümesinin bir neutrosophic kapalı küme olması için gerekli ve yeterli koşul A cla olmasıdır. K İspat. i. Tanım ile A cla olduğu açıktır. ii. Neutrosophic topoloji tanımınından, neutrosophic kapalı kümelerin keyfi sayıda elemanların neutrosophic kesişimi neutrosophic kapalı küme olup, cla neutrosophic kapalı kümedir. 17

27 iii. Neutrosophic kapanış tanımı cla K c τ A K gereğince cla, A kümesini neutrosophic kapsayan bütün neutrosophic kapalı kümelerin bir neutrosophic alt kümesidir. ii. gereği cla kümesi, neutrosophic kapalı kümedir Dolayısıyla cla kümesi, A kümesini neutrosophic kapsayan en küçük neutrosophic kapalı kümedir. iv. : A kümesi neutrosophic kapalı bir küme olsun. Bu takdirde A c τ dur. Neutrosophic kapanış tanımı cla K c τ A K gereğince cla A ve i. gereği A cla olduğundan A cla : A cla olsun. ii. gereği A kümesi, neutrosophic kapalı kümedir. Teorem X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. i. cla c inta c ii. inta c cla c K K İspat. i. Tanım ile ve cla c A K K c τ K c A c K τ G A c G τ inta c G A c G τ G c K elde edilir. Eşitliğin sağ tarafları birbirine eşit olduğundan sol taraflarıda birbirlerine eşittir. Dolayısıyla; K c G cla c inta c 18

28 ii. i. de A yerine A c yazılırsa inta c c cla c c Buradan inta cla c c elde edilir. Eşitliğin her iki tarafının tümleyeni alınırsa inta c cla c olarak bulunur. Teorem X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A, B N X olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. i. cl X X ve cl ii. clcla cla iii. A B ise cla clb iv. cla B cla clb v. cla B cla clb İspat. i. X ve kümeleri hem neutrosophic kapalı hem neutosophic açık küme olduklarından Teorem iv. gereğince cl X X ve cl ii. cla B olsun. Teorem ii. gereği B neutrosophic kapalı bir kümedir. Teorem iv. gereğince clb B bulunur. B kümesi yerine cla alınırsa clcla cla elde edilir. iii. A B olsun. Teorem i. gereği A cla ve B clb Hipotez gereği A clb clb kümesi, A kümesi neutrosophic kapsayan herhangi bir neutrosophic kapalı küme ve Teorem iii. gereği, cla kümeside A kümesini neutrosophic kapsayan en küçük neutrosophic kapalı küme olduğundan, A cla clb 19

29 bulunur. Buradan cla clb iv. A A B ve B A B neutrosophic kapsamalarından ve iii. gereği cla cla B ve clb cla B bulunur. Neutrosophic birleşim işleminden cla clb cla B elde edilir ve Teorem ii. gereği cla ve clb kümeleri neutrosophic kapalı kümelerdir. Neutrosophic kapalı kümelerin sayılabilir neutrosophic birleşimi neutrosophic kapalı küme olacağından cla clb bir neutrosophic kapalı kümedir. Teorem ii. gereği cla B kümesi, A B kümesini neutrosophic kapsayan en küçük neutrosophic kapalı küme olduğundan cla B cla clb elde edilir. cla B cla clb v. A B A ve A B B neutrosophic kapsamalarından ve iii. gereğince cla B cla ve cla B clb bulunur. Neutrosophic kesişim işleminden cla B cla clb elde edilir. Uyarı Teorem v. gereği cla B cla clb olmak zorunda değildir. X {a, b} olmak üzere A, B N X neutrosophic kümeleri A { a, 0.5, 0.5, 0.5, b, 0.4, 0.4, 0.4 } B { a, 0.6, 0.6, 0.6, b, 0.3, 0.3, 0.3 }. 20

30 şeklinde tanımlanıyor. τ {, X, A, B, A B, A B} neutrosophic küme ailesi X üzerinde bir neutrosophic topolojidir. Bu neutrosophic topolojik uzayın neutrosophic kapalı kümeler ailesi { X,, A c, B c, A B c, A B c } ve A c { a, 0.5, 0.5, 0.5, b, 0.4, 0.6, 0.4 } B c { a, 0.6, 0.4, 0.6, b, 0.3, 0.7, 0.3 } A B c { a, 0.6, 0.4, 0.5, b, 0.4, 0.6, 0.4 } A B c { a, 0.5, 0.5, 0.6, b, 0.3, 0.7, 0.4 } bulunur. Bu durumda ve cla X clb X cla B C A B c C c τ A B C cla B cla clb Örnek X {a, b} olmak üzere A, B, C N X neutrosophic kümeleri A { a, 0.4, 0.2, 0.2, b, 0.5, 0.4, 0.6 } B { a, 0.4, 0.5, 0.3, b, 0.5, 0.6, 0.5 } C { a, 0.5, 0.3, 0.3, b, 0.5, 0.4, 0.5 } şeklinde tanımlanıyor. τ {, X, A, B, A B, A B} neutrosophic küme ailesi X üzerinde bir neutrosophic topolojidir. Bu neutrosophic topolojik uzayın neutrosophic kapalı kümeler ailesi { X,, A c, B c, A B c, A B c } 21

31 ve A c { a, 0.2, 0.8, 0.4, b, 0.6, 0.6, 0.5 } B c { a, 0.3, 0.5, 0.4, b, 0.5, 0.4, 0.5 } A B c { a, 0.3, 0.5, 0.4, b, 0.6, 0.4, 0.5 } A B c { a, 0.2, 0.8, 0.4, b, 0.5, 0.6, 0.5 } bulunur. Bu durumda ve clc D c τ C D intc E τ E C D X E B Tanım X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. A nın neutrosophic dışı; exta inta c şeklinde tanımlanır. Teorem X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A, B N X olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. i. exta B exta extb ii. exta extb exta B İspat. i. Tanım ve Teorem v. gereğince exta B inta B c inta c B c inta c intb c exta extb bulunur. Dolayısıyla exta B exta extb 22

32 ii. Tanım ve Teorem iv. gereğince exta extb inta c intb c inta c B c inta B c exta B bulunur. Dolayısıyla exta extb exta B Örnek X {a, b, c} olmak üzere A, B, C N X neutrosophic kümeleri A { a, 0.4, 0.6, 0.4, b, 0.5, 0.4, 0.6, c, 0.4, 0.4, 0.7 } B { a, 0.4, 0.5, 0.3, b, 0.5, 0.6, 0.5, c, 0.5, 0.4, 0.8 } C { a, 0.5, 0.3, 0.3, b, 0.5, 0.4, 0.5, c, 0.6, 0.3, 0.5 } şeklinde tanımlanıyor. τ {, X, A, B, A B, A B} neutrosophic küme ailesi X üzerinde bir neutrosophic topolojidir. Bu durumda; extc intc c { a, } c int 0.5, 0.3, 0.3, b, 0.5, 0.4, 0.5, c, 0.6, 0.3, 0.5 { a, } int 0.3, 0.7, 0.5, b, 0.5, 0.6, 0.5, c, 0.5, 0.7, 0.6 Tanım X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. A nın neutrosophic sınırı fra cla inta c şeklinde tanımlanır. Teorem X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. i. fr 23

33 ii. fra c fra iii. fra cla cla c iv. frfra fra İspat. i. Teorem i. gereği cl ve Teorem i. gereği int olduğundan bu durumda neutrosophic sınır tanımından fr cl int c c X ii. Tanım de A yerine A c alınırsa fra c cla c inta c c elde edilir. Teorem i. ve ii. gereği cla c inta c inta c cla c Buradan fra c cla c inta c c inta c cla c c inta c cla cla inta c fra bulunur. iii. Tanım fra cla inta c eşitliği ve Teorem ii. gereğince fra cla inta c cla cla c 24

34 iv. fra kümesi neutrosophic kapalı olup ve iii. gereğince frfra clfra clfra c clfra fra Teorem X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. i. A kümesinin neutrosophic açık olması için gerekli ve yeterli koşul A fra olmasıdır. ii. A kümesinin neutrosophic kapalı küme olması için gerekli ve yeterli koşul fra A olmasıdır. iii. frinta fra İspat. i. : A neutrosophic açık küme olduğundan Teorem iv. gereğince A inta Tanım gereğince fra cla inta c dir. Dolayısıyla fra inta cla inta c inta cla A c A : A fra olsun. Buradan A cla inta c ve Teorem i. gereğince A inta c bulunur. Buradan A is a neutrosophic açık küme 25

35 ii. : A kümesi neutrosophic kapalı bir küme olsun. Teorem iv. gereğince A cla olup Tanım ile fra cla inta c A inta c A : fra A olsun. Teorem i. gereği inta A olup, fra inta A bulunur. fra inta cla olduğundan, cla A Teorem i. gereğince, A cla olup böylece A cla elde edilir. O halde A kümesi bir neutrosophic kapalı kümedir. iii. Tanım ile frinta clinta intinta c clinta inta c cla inta c fra Teorem X, τ bir neutrosophic topolojik uzay ve A N X olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. i. fra c exta inta ii. cla inta fra İspat. i. Tanım 3.2.4, Teorem ve Teorem ile fra c cla inta c c cla c inta c c inta c inta exta inta 26

36 bulnur. Dolayısıyla fra c exta inta ii. Tanım gereğince inta fra inta cla inta c inta cla inta inta c cla inta inta c cla X cla bulunur. Dolayısıyla cla inta fra Örnek X {a, b} olmak üzere, A, B, C N X neutrosophic kümeleri A { a, 0.4, 0.6, 0.4, b, 0.5, 0.4, 0.6 } B { a, 0.4, 0.5, 0.3, b, 0.5, 0.6, 0.5 } C { a, 0.5, 0.3, 0.3, b, 0.5, 0.4, 0.5 } şeklinde tanımlanıyor. τ {, X, A, B, A B, A B} neutrosophic küme ailesi X üzerinde bir neutrosophic topolojidir. Bu neutrosophic topolojik uzayın neutrosophic kapalı kümelerinin ailesi olarak bulunur. Ayrıca { X,, A c, B c, A B c, A B c } A c { a, 0.4, 0.4, 0.4, b, 0.6, 0.6, 0.5 } B c { a, 0.3, 0.5, 0.4, b, 0.5, 0.4, 0.5 } A B c { a, 0.4, 0.4, 0.4, b, 0.6, 0.4, 0.5 } A B c { a, 0.3, 0.5, 0.4, b, 0.5, 0.6, 0.5 } clc D X D c τ C D 27

37 ve intc A B { a, 0.4, 0.6, 0.4, b, 0.5, 0.4, 0.6 } { a, 0.4, 0.5, 0.3, b, 0.5, 0.6, 0.5 } { a, 0.4, 0.5, 0.3, b, 0.5, 0.4, 0.5 } Bu durumda frc clc intc c X A B c A B c elde edilir. 3.3 Neutrosophic Alt Uzay Tanım X, τ neutrosophic topolojik uzay ve Y X olsun. Bu durumda Y üzerindeki τ Y {U Y : U τ} neutrosophic topolojisine neutrosophic alt uzay topolojisi denir. { X, x Y Ỹ, x X \ Y Y, τ Y neutrosophic uzayınada X, τ neutrosophic uzayının bir neutrosophic alt uzayı denir. Örnek X {a, b, c} olmak üzere A, B N X neutrosophic kümeleri A { a, 0.4, 0.2, 0.2, b, 0.5, 0.4, 0.6, c, 0.2, 0.5, 0.7 } B { a, 0.4, 0.5, 0.3, b, 0.5, 0.6, 0.5, c, 0.3, 0.7, 0.8 } şeklinde tanımlanıyor. τ {, X, A, B, A B, A B} ve Y {a, b} kümesi üzerindeki neutrosophic alt uzay topolojisi ve Ỹ { a, 1, 0, 0, b, 1, 0, 0, c, 0, 1, 1 } 28

38 şeklinde tanımlanıyor. Ỹ Ỹ X Ỹ C Ỹ A { a, 0.4, 0.2, 0.2, b, 0.5, 0.4, 0.6 } M Ỹ B { a, 0.4, 0.5, 0.3, b, 0.5, 0.6, 0.5 } L Ỹ A B { a, 0.4, 0.5, 0.3, b, 0.5, 0.6, 0.6 } K Ỹ A B { a, 0.4, 0.2, 0.2, b, 0.5, 0.4, 0.5 } olduğundan τ Y {, Ỹ, C, M, L, K} 29

39 4. TARTIŞMA VE SONUÇ Bu çalışmada sezgisel bulanık kümelerde ve sezgisel bulanık kümelerde yer almayan bir elemanın belirsiz üyelik durumunu dikkate alınarak öncelikle neutrosophic küme kavramı verilmiştir. Daha sonra neutrosophic kümelerde topolojik uzay ele alınarak neutrosophic topolojik uzay kavramını ve buna ait bazı özelliklere yer verilmiştir. Ayrıca Klasik topolojik uzaylardaki bir kümenin içi, kapanışı, dışı ve sınırı kavramlarından yola çıkılarak neutrosophic topolojik uzaylar ve neutrosophic topolojik uzaylarda bir kümenin içi, kapanışı, dışı ve sınırı kavramları ele alınarak bunlara ait özellikler incelenmiştir. İleriki çalışmalarda neutrosophic topolojik uzaylarda süreklilik, neutrosophic topolojik uzaylarda yakısaklık, neutrosophic topolojik uzaylarda ayırma aksiyomları, neutrosophic topolojik uzaylarda kompaktlık, neutrosophic topolojik uzaylarda bağlantılılık gibi konular hakkında çalışmalar yapılabilir. 30

40 KAYNAKLAR [1] Atanassov, K Intuitionistic fuzzy sets. Fuzzy Sets and Systems, 20: [2] Broumi, S., Smarandache, F Intuitionistic neutrosophic soft set. Journal of Information and Computing Science, 82: [3] Broumi, S., Smarandache, F More on intuitionistic neutrosophic soft set. Computer Science and Information Technology, 14: [4] Broumi S., Generalized neutrosophic soft set, arxiv: [5] Lupiáñez, F. G On neutrosophic topology. The International Journal of Systems and Cybernetics, 376: [6] Lupiáñez, F. G Interval neutrosophic sets and topology. The International Journal of Systems and Cybernetics, 383/4: [7] Lupiáñez, F. G On various neutrosophic topologies. The International Journal of Systems and Cybernetics, 386: [8] Lupiáñez, F. G On neutrosophic paraconsistent topology. The International Journal of Systems and Cybernetics, 394: [9] Salama, A., AL-Blowi, S Generalized neutrosophic set and generalized neutrosophic topological spaces. Computer Science and Engineering, 27: [10] Smarandache, F Neutrosophic set - a generalization of the intuitionistic fuzzy set. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 243: [11] Zadeh, L Fuzzy Sets, Inform. and Control, 8:

41 DİZİN üye olmama fonksiyonu, 4 üyelik fonksiyonu, 4 belirsizlik fonksiyonu, 4 bulanık küme, 3 neutrosophic açık küme, 13 neutrosophic alt küme, 4 neutrosophic alt uzay, 28 neutrosophic birleşim, 4 neutrosophic boş küme, 5 neutrosophic dış, 22 neutrosophic eşit küme, 4 neutrosophic evrensel küme, 5 neutrosophic iç, 13 neutrosophic küme, 3 neutrosophic kapalı küme, 13 neutrosophic kapanış, 17 neutrosophic kesişim, 4 neutrosophic sınır, 23 neutrosophic tümleyen, 4 neutrosophic topolojik uzay, 13 sezgisel bulanık küme, 3

42 ÖZGEÇMİŞ Adı-Soyadı : Cemil KURU Doğum Yeri : Bartın Doğum Tarihi : Yabancı Dili : İngilizce cemilkuru@outlook.com Öğrenim Durumu: Derece Bölüm/Program Üniversite Yıl Lisans Matematik Ordu Üniversitesi