TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE. Hatice Kübra SARI

Transkript

1 TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE Hatice Kübra SARI Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Topoloji Bilim Dalı Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU 2014 Her hakkı saklıdır

2 ATATÜRK ÜNİVERİSTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE Hatice Kübra SARI MATEMATİK ANABİLİM DALI Topoloji Bilim Dalı ERZURUM 2014 Her hakkı saklıdır

3 T.C. ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TEZ ONAY FORMU TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU danışmanlığında, Hatice Kübra SARI tarafından hazırlanan bu çalışma 26/12/2014 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı Topoloji Bilim Dalı nda Yüksek Lisans tezi olarak oybirliği ile kabul edilmiştir. Başkan : Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İmza : Üye : Prof.Dr.Abdullah KOPUZLU İmza : Üye : Doç.Dr.Mutlu KUNDAKÇI İmza : Yukarıdaki sonuç; Enstitü Yönetim Kurulu.../.../.. tarih ve....../ nolu kararı ile onaylanmıştır. Prof. Dr. İhsan EFEOĞLU Enstitü Müdürü Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaklardan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak olarak kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

4 ÖZET Yüksek Lisans Tezi TOPOLOJİK ROUGH KÜMELERİ ÜZERİNE Hatice Kübra SARI Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Topoloji Bilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU Bu tezde, ilk olarak denklik bağıntıları üzerine kurulu Pawlak rough kümeler tanıtılmış ve bu denklik bağıntıları ile üretilen topoloji sunulmuştur. Daha sonra sağ komşuluklarla tanımlanan Yao nun rough kümeleri tanıtılmış ve çeşitli topolojik özellikleri sunulmuştur. Son olarak Zhu nun örtü tabanlı rough kümeleri tanıtılarak örtülerle oluşturulan yaklaşım işlemleri üzerine çalışmalar sunulmuştur. Ayrıca keyfi ikili bağıntılar üzerine kurulu rough kümelerin bazı topolojik özellikleri verilmiştir. 2014, 56 sayfa Anahtar Kelimeler: Rough Küme, Topolojik Rough Küme, Yaklaşım Operatörleri, Geçişme İfadesi, Örtü tabanlı rough kümeler. i

5 ABSTRACT MS Thesis ON TOPOLOGİCAL ROUGH SETS Hatice Kübra SARI Ataturk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Discipline of Topology Supervisor: Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU In this thesis, firstly Pawlak s rough sets based on equivalence relations are introduced and topology generated by this equivalence relations is presented. Then, Yao s rough sets defined through right neighborhood are introduced and various topological properties of these are presented. Finally, Zhu s covering-based rough sets are introduced. Studies on approximation operations defined through this coverings are presented. 2014, 56 pages Keywords: Rough Sets, Topological Rough Sets, Approximation Operators, Transmissing Expression, Covering-based Rough Sets. ii

6 TEŞEKKÜR Yüksek lisans tezi olarak sunduğum bu çalışma, Atatürk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü nde hazırlanmıştır. Tez çalışmamı hazırlama sürecinde bilgi ve tecrübelerini esirgemeyen, bana yol gösteren değerli hocam Sayın Prof. Dr. Abdullah KOPUZLU ya teşekkürlerimi arz ederim. Tezin hazırlanması sürecinde değerli fikirlerinden yararlandığım Sayın Prof. Dr. Ahmet KÜÇÜK e, Sayın Doç. Dr. Tamer UĞUR a ve Matematik Bölümü nde gerekli ilgi ve yardımı esirgemeyen anabilim dalımızın değerli öğretim üyelerine sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Çalışmamda bana yardımlarını ve desteklerini esirgemeyen sevgili arkadaşlarım Şuheda TÜRKAN ve Tuba ÇAKMAK a teşekkür ederim. Bu süreçte bana desteğini ve güvenini daima hissettiren aileme minnettarlığımı sunarım. Yüksek lisans eğitimim boyunca Yurt İçi Yüksek Lisans Burs Programı ile tarafıma vermiş olduğu destekten dolayı TÜBİTAK a teşekkür etmeyi bir borç bilirim. Hatice Kübra SARI Aralık, 2014 iii

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... v ŞEKİLLER DİZİNİ... vi ÇİZELGELER DİZİNİ... vii 1. GİRİŞ KURAMSAL TEMELLER Topolojik Kavramlar Pawlak Rough Kümeler Denklik Bağıntılarıyla Oluşturulan Topolojik Rough Kümeler MATERYAL ve YÖNTEM Topolojik Uzaylarda Rough Kümeler Rölatif Topolojik Rough Sınıfları Sağ Komşuluklarla Oluşturulan Rough Kümeler Örtülerle Oluşturulan Rough Kümeler ARAŞTIRMA BULGULARI ve TARTIŞMA Topolojik Uzaylar Üzerine Kurulu Yaklaşımlar Arasındaki İlişkiler SONUÇLAR KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

8 SİMGELER DİZİNİ ( ) Yaklaşım uzayı ( ) yaklaşım uzayındaki tüm kompoze kümeler ailesi ( ) kümesinin bağıntısına göre alt yaklaşım kümesi ( ) kümesinin bağıntısına göre üst yaklaşım kümesi ( ) kümesinin bağıntısına göre sınırı ( ) kümesinin bağıntısına göre iç sınırı ( ) kümesinin bağıntısına göre dış sınırı ve kümesinin tümleyeni ( ) kümesinin bağıntısına göre pozitif bölgesi ( ) kümesinin bağıntısına göre negatif bölgesi ( ) kümesinin bağıntısına göre rough üyelik fonksiyonu ile oluşturulan denklik bağıntısı ( ) nun topolojik rough sınıfı denklik bağıntısının denklik sınıflarının kümesi kümesinin topolojisine göre sınırı kümesinin topolojisine göre kapanışı kümesinin topolojisine göre içi ( ) ( ) topolojik uzayındaki topolojik rough sınıfları ( ) ( ) daki alttopolojik rough sınıfları ( ) ( ) daki rölatif topolojik rough sınıfları ( ) nun sağ komşuluğu bağıntısının geçişme ifadesi Sağ komşuluklara göre alt yaklaşım kümesi Sağ komşuluklara göre üst yaklaşım kümesi ( ) in örtülerle tanımlanan komşuluğu ( ) ve örtüsüyle oluşturulan alt yaklaşım kümesi ( ) ve örtüsüyle oluşturulan üst yaklaşım kümesi ( ) örtüsünün indirgeyeni v

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1. Alt ve üst yaklaşım kümeleri... 9 vi

10 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 4.1. Yaklaşım operatörleri vii

11 1 1. GİRİŞ Rough küme 1982 de Pawlak tarafından kesin olmayan bilginin belirsizliği ve anlaşılmazlığıyla ilgili bir araç olarak tanıtıldı. Bu teorinin obje sınıflandırmasının temeli bir denklik bağıntısıdır. Teorinin esas kavramı, bir uzay üzerinde bir denklik bağıntısıyla oluşturulan alt ve üst yaklaşım operatörleridir. Yıllardır rough kümeleri; belirsiz veya kesin olmayan bilginin tanımlanması, bilgi analizleri, bilgi bağımlılığının değerlendirilmesi ve tanımlanması, belirsiz ve eksik bilgi verisine dayanan akıl yürütme gibi çeşitli problemlerin çözümünde değerli bir araç oldu. Rough küme teorisinde Pawlak ın bahsettiği uzay, topolojisi nin denklik sınıflarıyla oluşturulan yaklaşım uzayıdır. Bu uzay her açık kümenin kapalı olduğu Clopen topolojisi olarak bilinen özel bir sınıfa aittir. Clopen topolojisi geçişken yaklaşımların bir türüdür. Bu topolojik uzay çok sınırlayıcıdır. Lin (1988) genel durumlardan söz edebilmek için komşuluk sistemini tanıttı. Yao (1998), sağ komşuluk üzerine kurulu yeni bir tip rough küme tanıttı ve Lashin et al. (2005), bir elemanın bu elemanı içeren sağ komşuluklarını bir alt taban kabul ederek Yao tarafından tanımlanan rough küme için bir topoloji üretti. Kondo (2006), bir genelleştirilmiş rough küme üzerinde her yansımalı bağıntının bir topoloji üretebileceğini ispatladı. Zhu (2007), komşuluk denilen topolojik bir kavramdan yeni bir tip örtü tabanlı rough küme tanıttı. Thuan (2009) bir örtü rough kümeler ailesi için topolojik yapı metodu tanıttı ve bu topolojik uzay üzerine kurulu bazı üst yaklaşımları kıyasladı. Li (2010) bir bağıntının geçişme ifadesi kavramını tanıttı ve rough kümelerin topolojik özellikleri üzerine pek çok ilginç sonuç elde etti. Mahanta and Das (2011) bir bağıntının geçişme ifadesi fikrinin sonucu olan geçişen sağ komşuluk kavramını tanıttı ve genelleştirilmiş rough kümelerin topolojik özellikleri üzerine bazı sonuçlar elde etti.

12 2 Sunulan bu tez, Giriş, Kuramsal Temeller, Materyal ve Yöntemler, Araştırma Bulguları ve Tartışma ve Sonuçlar olmak üzere beş bölümden oluşmaktadır. Kuramsal Temeller bölümünde, ilk olarak çalışmada kullanılan temel topolojik kavramlar tanıtıldı. Sonrasında ise Pawlak Rough kümelerinin ve topolojik rough kümelerinin tanımları ve temel özellikleri verilmiştir. Materyal ve Yöntemler bölümünde, ilk olarak topolojik uzaylarda rough kümeleri ele alan çalışmalara yer verilmiştir. Ayrıca orijinal rough üyelik fonksiyonunun topolojik uzaylara genişletilmesiyle elde edilen rough kümeler tanıtılmıştır. Daha sonra topolojik rough sınıfları kavramından hareketle rölatif topolojik rough sınıfı tanımı verilmiştir. Sonrasında Yao nun sağ komşuluklar üzerine kurduğu yeni bir tip rough küme ve bu rough kümeleri kurmak için kullandığı geçişme ifadesi kavramı tanıtılmıştır. Yao tarafından çalışılan bu rough kümeler üzerinden tanımlanan topoloji verilmiştir. Ayrıca bu rough kümelerin bazı topolojik özellikleri incelenmiştir. Son olarak komşuluk kavramından hareketle yeni bir tip örtü tabanlı rough küme tanıtılarak, bu yeni tip rough kümelerin alt ve üst yaklaşım işlemleri arasındaki ilişki verilmiştir. Aynı alt yaklaşım işlemini üreten iki örtü altındaki durumlar ve aynı üst yaklaşım işlemini üreten iki örtü altındaki durumlar incelenmiştir. Araştıma bulguları ve tartışma bölümünde, Yao nun sağ komşuluklar üzerine kurduğu yaklaşımlar ile Zhu nun örtüler üzerine kurduğu yaklaşımlar arasındaki ilişki araştırıldı. Ayrıca keyfi ikili bağıntılarla oluşturulan rough kümelerin bazı özellikleri verildi. Sonuçlar bölümünde, bir önceki bölümlerde incelenen kavramlar ve bu kavramlarla ilgili bazı sonuçlar özet halinde verilmiştir.

13 3 2. KURAMSAL TEMELLER 2.1. Topolojik Kavramlar Tanım 2.1.1: ve boştan farklı kümeler olsun. in her bir elemanına nin bir elemanını karşılık getiren bir kurala den ye bir bağıntı denir. den e bir bağıntısına de bir bağıntı denir (Koçak 2011). Tanım 2.1.2: boş olmayan bir küme ve de de bir bağıntı olsun. Eğer de yansıyan, simetrik ve geçişken bir bağıntı ise ye bir denklik bağıntısı denir. olan deki tüm elemanlarının bağıntısına göre in denklik sınıfları denir. ile gösterilir (Koçak 2011). Tanım 2.1.3: ( ) bir topolojik uzay, ve olsun. Eğer olacak şekilde bir açık kümesi varsa kümesine nın bir komşuluğu denir. Eğer özel olarak açık ise ya bir açık komşuluk denir (Mucuk 2009). Tanım 2.1.4: ( ) bir topolojik uzay ve da açık kümelerin bir sınıfı olsun. nun her elemanı koleksiyonuna ait olan elemanların birleşimi olarak yazılabiliyorsa ya topolojisinin bir tabanı denir. Yani, olsun. ise için olmak üzere olacak şekilde bir indis kümesi varsa ya topolojisinin bir tabanı denir (Koçak 2011). Tanım 2.1.5: ( ) bir topolojik uzay ve in bazı açık altkümelerinin bir sınıfı olsun. Eğer sınıfındaki kümelerin sonlu kesişimlerinden elde edilen sınıfı için bir taban oluşturuyorsa sınıfına topolojisi için bir alttaban denir (Mucuk 2009). Tanım 2.1.6: ( ) bir topolojik uzay, ve de noktasını içeren açık kümelerin sınıfı olsun. özelliğindeki her için olacak şekilde bir

14 4 varsa sınıfına noktasının komşuluklarının bir tabanı veya noktasının bir lokal tabanı denir. Yani, i) dur, ii) ise dir, iii) özelliğindeki her için olacak şekilde bir vardır. şartları sağlanıyorsa koleksiyonuna noktasının komşuluklarının bir tabanı veya noktasının bir lokal tabanı denir (Koçak 2011). Tanım 2.1.7: ( ) bir topolojik uzay olsun. Her noktasının sayılabilir bir lokal tabanı varsa ( ) uzayına birinci sayılabilir uzay denir (Koçak 2011). Tanım 2.1.8: ( ) bir topolojik uzay olsun. Eğer bu uzayın sayılabilir bir tabanı varsa bu uzaya ikinci sayılabilir uzay denir (Mucuk 2009). Tanım 2.1.9: ( ) bir topolojik uzay, ve de in altkümelerinin bir sınıfı olsun. Eğer ise sınıfına nın bir örtüsü denir. Burada özel olarak ise sınıfına in bir örtüsü denir. Eğer deki tüm kümeler açık ise sınıfına nın bir açık örtüsü denir. Bir ( ) sınıfı nın bir örtüsü olmak üzere eğer örtüsünün bir alt sınıfı da aynı zamanda nın bir örtüsü ise bu alt sınıfına nın bir alt örtüsü adı verilir (Mucuk 2009). Tanım : ( ) bir topolojik uzay ve olsun. Eğer kümesinin her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa ya bir kompakt küme denir. Özel olarak eğer in her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa ( ) uzayına bir kompakt uzay denir (Mucuk 2009). Tanım : Bir ( ) topolojik uzayı verilsin. Eğer her bir noktasının kompakt olan bir komşuluğu varsa bu uzaya lokal kompakt uzay denir (Mucuk 2009).

15 5 Tanım : ( ) bir topolojik uzay olsun. Birleşimleri olan ayrık açık kümelerine in bir ayrışımı denir. Eğer in bir ayrışımı yoksa bu uzaya bağlantılı uzay denir (Munkres 2000). Tanım : ( ) bir topolojik uzayı verilsin. Eğer her noktasının de bağlantılı kümelerden oluşan bir komşuluk tabanı varsa ( ) uzayına lokal bağlantılı uzay denir (Yüksel 2011). Tanım : ( ) bir topolojik uzay ve olsun. Eğer ise ya de yoğun küme denir. in sayılabilir yoğun bir altkümesi varsa bu uzaya ayrılabilir uzay denir (Yüksel 2011). Tanım : ( ) bir topolojik uzay, ve olsun. olacak şekilde bir açık kümesi varsa noktasına nın bir iç noktası denir. nın bütün iç noktalarının kümesine nın içi denir ve ile gösterilir. Yani, özelliğinde en az bir vardır olarak tanımlanır (Koçak 2011). Tanım : ( ) bir topolojik uzay ve olsun. kümesini kapsayan en küçük kapalı kümeye nın kapanışı denir, ile gösterilir (Mucuk 2009). Tanım : ( ) bir topolojik uzay olsun. kümesinin her farklı nokta çiftinden en az birini içeren diğerini içermeyen bir açık küme varsa bu uzaya -uzayı denir. Diğer bir deyişle özelliğindeki her noktaları için, ve veya ve olacak şekilde bir varsa bu uzaya -uzayı denir (Koçak 2011).

16 6 Tanım : ( ) bir topolojik uzay olsun. kümesinin her farklı nokta çifti için, bu noktaları ayrı ayrı içeren iki açık küme varsa bu uzaya -uzayı denir. Diğer bir deyişle özelliğindeki her noktaları için, ve olacak şekilde kümeleri varsa bu uzaya -uzayı denir (Koçak 2011). Tanım : ( ) bir topolojik uzay olsun. kümesinin her farklı nokta çifti için, bu noktaları ayrı ayrı içeren ayrık ve açık iki küme varsa bu uzaya -uzayı veya Hausdorff uzay denir. Bir başka değişle, özelliğindeki her için, ve olacak şekilde kümeleri varsa ( ) uzayına -uzayı veya Hausdorff uzayı denir (Koçak 2011). Tanım : ( ) bir topolojik uzay olsun. kümesinin her kapalı kümesi ve özellikli her için ve olacak şekilde ve ayrık açık kümeleri varsa bu uzaya regüler uzay denir. (Mucuk 2009). Tanım : Regüler olan bir -uzayına -uzayı denir (Mucuk 2009). Tanım : ( ) bir topolojik uzay olsun. ayrık kapalı kümeler olmak üzere ve olacak şekilde in ve ayrık açık alt kümeleri varsa bu uzaya normal uzay denir (Mucuk 2009). Tanım : Normal olan bir -uzayına -uzayı denir (Mucuk 2009).

17 7 Tanım : boştan farklı bir küme olsun. dönüşümü aşağıdaki şartları sağlarsa ye üzerinde bir pseudo-metrik dönüşüm denir. için, i) ( ) ii) ( ) ( ) iii) ( ) ( ) ( ) (Engelking 1977). Tanım :, için ( ) ( ) verilsin. Eğer ( ) ( ) ( ) nun bir tabanını oluşturacak şekilde bir pseudo-metrik dönüşümü varsa, ( ) topolojik uzayına pseudo -metriklenebilir uzay denir (Engelking 1977). Tanım : ( ) bir topolojik uzay ve olsun. Bu durumda üzerindeki topolojisine dan üzerine indirgenmiş topoloji veya alt uzay topolojisi denir. ( ) uzayına da ( ) uzayının bir alt uzayı denir (Mucuk 2009). Tanım : ( ) bir topolojik uzay olsun. Eğer deki her açık küme kapalı ve her kapalı küme açık ise bu uzaya quasi-diskret topolojik uzay denir (Cech 1966) Pawlak Rough Kümeler Tanım 2.2.1: bir evrensel küme olsun ve bir denklik bağıntısı verilsin. Bu durumda ( ) ikilisine yaklaşım uzayı denir (Pawlak 1982). Tanım 2.2.2: ( ) bir yaklaşım uzayı olsun. denklik bağıntısının denklik sınıflarına daki elementer kümeler (atomlar) denir (Pawlak 1982). Tanım 2.2.3: ( ) bir yaklaşım uzayı olsun. daki elementer kümelerin her sonlu birleşimi da kompoze (oluşmuş) küme olarak adlandırılır. daki bütün

18 8 kompoze kümelerinin ailesi ( ) ile gösterilir. ( ) yaklaşım uzayındaki ( ) ailesi kümesi üzerinde bir topolojidir (Pawlak 1982). Tanım 2.2.4: ( ) bir yaklaşım uzayı, de nun bir altkümesi olsun. i kapsayan daki en küçük kompoze kümeye in daki en iyi üst yaklaşımı denir. ( ) ile gösterilir. de içerilen daki en büyük kompoze kümeye de in daki en iyi alt yaklaşımı denir ve ( ) ile gösterilir. olmak üzere, bu kümeler ( ) ( ) şeklinde yazılır (Pawlak 1982). Tanım 2.2.5: bir ( ) yaklaşım uzayının bir altkümesi olsun. ( ) ( ) ( ) kümesine in daki sınırı denir. Ayrıca, ( ) ( ) ve ( ) ( ) kümeleri de sırasıyla in daki iç ve dış sınırları olarak adlandırılır (Pawlak 1982). Bir ( ) yaklaşım uzayının bir altkümesi için, ( ) ( ) ( )

19 9 olur. ( ) yaklaşım uzayı için tek bir ( ( )) topolojik uzayı tanımlandığından ve ( ) deki tüm açık kümelerin ailesi ve, için bir taban olduğundan, üzerinde bir quasi-diskret topolojidir ve ( ) da deki hem açık hem de kapalı kümelerdir. Böylece ( ) ve ( ) topolojisinde kümesinin sırasıyla içi ve kapanışı olarak yorumlanır. Şekil 2.1. Alt ve üst yaklaşım kümeleri Tanım 2.2.6: bir ( ) yaklaşım uzayının bir altkümesi olsun. Bu durumda, ( ) ( ) ( ) ( ) kümelerine sırasıyla in pozitif ve negatif bölgeleri denir (Lashin et al. 2005). Tanım 2.2.7: ( ) bir yaklaşım uzayı olsun. yu içeren denklik sınıflarını göstermek üzere,

20 10 ( ) şeklinde tanımlanan fonksiyona üyelik fonksiyonu denir (Lashin et al. 2005). Üyelik fonksiyonu, şartlı olasılığın bir türüdür ve değeri in e ait olma kesinliğinin bir derecesi olarak yorumlanır. Üyelik fonksiyonu aracılığıyla sınır, pozitif ve negatif bölgeler aşağıdaki gibi tanımlanabilir. Önerme 2.2.8: ( ) yaklaşım uzayının bir altkümesi olmak üzere, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olur (Lashin et al. 2005). Tanım 2.2.9: ( ) bir yaklaşım uzayı ve nun bir altkümesi olsun. kümesinin da rough olarak adlandırılması için gerek ve yeter şart ( ) ( ) olmasıdır. Aksi takdirde e da bir tam küme denir (Pawlak 1982). Üyelik fonksiyonu aracılığıyla rough küme aşağıdaki gibi tanımlanır.

21 11 Tanım : ( ) bir yaklaşım uzayı nun bir altkümesi olsun. ( ) olacak şekilde varsa, e da rough küme denir (Pawlak 1982). Örnek : kümesi, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) denklik bağıntısı ile verilsin. Bu durumda ( ) bir yaklaşım uzayıdır. nın atomlarının kümesi { } dir. için ( ) ve ( ) dir. Yani da ( ) ( ) olur. O halde, ( ) de bir rough kümedir. için, ( ) ( ) olduğundan da bir tam kümedir. Önerme : ( ) bir yaklaşım uzayı, ve nun altkümeleri olsun. Bu durumda, i) ( ) ( ) ii) ( ) ( ) ( ) ( ) iii) ( ( )) ( ( )) ( ) iv) ( ( )) ( ( )) ( ) v) ( ) ( ) ( ) vi) ( ) ( ) ( ) vii) ( ) ( ) ( ) viii) ( ) ( ) ( ) ix) ( ) ( ) ( ) x) ( ) ( ) ( ) xi) ( ) ( ) xii) ( ) ( )

22 12 xiii) ( ) ( ) xiv) ( ) ( ) xv) ( ( )) ( ) xvi) ( ( )) ( ) xvii) ( ) xvii) ( ) özellikleri sağlanır (Pawlak 1982) Denklik Bağıntılarıyla Oluşturulan Topolojik Rough Kümeler Bu kısımda, topolojik rough küme kavramı tanıtılacak ve bu kümenin Pawlak rough kümesiyle ilgisi araştırılacaktır. Tanım 2.3.1: ( ) bir topolojik uzay olsun. topolojisi ile, ( ) kuvvet kümesi üzerinde, ( ) ve olacak şekilde denklik bağıntısı tanımlanır (Salama 2011). Tanım 2.3.2: ( ) bir topolojik uzay olsun. nun ve altkümeleri verilsin. Eğer ( ) için ve oluyorsa nun ( ) sınıfına bir topolojik rough sınıfı denir (Salama 2011). Örnek 2.3.3: { } topolojisiyle verilsin. Bu durumda, denklik bağıntısının denklik sınıfları,

23 13 ( ) {{ } { } } şeklindedir. Burada, ( ) nun her elemanı bir topolojik rough sınıfıdır. Örnek 2.3.4:, bir kümesi üzerinde bir denklik bağıntısı ve da ve ( ) olacak şekildeki nun bütün altkümelerinin kümesi olsun. Bu durumda bir quasi-diskret topolojidir ve ( ) topolojik uzayındaki topolojik rough kümeleri, ( ) yaklaşım uzayındaki Pawlak rough kümeleriyle aynıdır (Salama 2011). Örnek 2.3.5: ( ) ile nin ile bölümünden kalanlar eşittir. denklik bağıntısıyla verilsin. Bu durumda nin denklik sınıfları, { } olur. O halde, denklik bağıntısıyla oluşturulan quasidiskret topoloji, { } şeklindedir. Pawlak ın genişletme terminolojisi ve Örnek e göre, (i) olan nun herhangi bir altkümesi bir rough kümesidir. Örneğin, altkümesi için ve olduğundan bir rough kümedir. (ii) rough kümesindeki ve elemanları, ve özelliklerini sağladıkları için kesin olarak kümesine aittir. Fakat elemanı için ve özellikleri sağlandığından elemanı muhtemelen kümeye aittir. Lemma 2.3.6: kümesi üzerindeki herhangi bir topolojisi ve daki her için, ise dır (Salama 2011).

24 14 Lemma 2.3.7: kümesinde bir quasi-diskret topoloji ise, bu durumda için iken dir (Salama 2011). Önerme 2.3.8: Eğer kümesi üzerinde bir quasi-diskret topoloji ise, { } ailesi nun bir parçalanışıdır (Salama 2011). İspat: Kabul edelim ki { } olsun. Bu durumda, (i) için olduğundan olur. (ii) Herhangi için ya veya dir. Eğer ise, ve olacak şekilde bir vardır. Lemma ve Lemma den ve olur. Buradan yazılır. Böylece veya için olur. O halde, nun bir parçalanışıdır. Önerme 2.3.9: üzerindeki her bir quasi-diskret topolojisi için, nun bir altkümesinin açık olması için gerek ve yeter şart ( ) olacak şekilde üzerinde bir denklik bağıntısının bulunmasıdır (Salama 2011). İspat : {( ) } ile tanımlanan bağıntısı önermenin şartını sağlayan bir denklik bağıntısıdır. Teorem : Pawlak rough kümeleri bir quasi-diskret topolojideki rough kümeleri ile tamamen aynıdır (Salama 2011). İspat: Önerme den görülür.

25 15 Örnek : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) denklik bağıntısıyla verilsin. Bu durumda, ( ) bir yaklaşım uzayıdır ve { } nin daki elementer kümelerinin sınıfıdır. için ( ) ve ( ) olur. Yani, altkümesi ( ) yaklaşım uzayında bir Pawlak rough kümesidir. yi taban kabul eden tarafından üretilen üzerindeki topoloji, { } şeklinde verilir. Bu durumda aynı altkümesi için, ve olarak bulunur. Yani, ( ) topolojik uzayında bir rough kümedir. Böylece Pawlak rough kümeleri quasi-diskret topolojisinin rough kümeleriyle aynıdır.

26 16 3. MATERYAL ve YÖNTEM 3.1. Topolojik Uzaylarda Rough Kümeler Bu kısımda topolojik kavramlar üzerinden rough küme özellikleri ifade edilecek. Ayrıca orijinal rough üyelik fonksiyonu topolojik uzaylara genişletilerek bir kümenin rough küme olup olmadığı araştırılacaktır. Tanım 3.1.1: ( ) bir topolojik uzay, ve in sınırı olsun. Eğer ise e da tam küme denir. Aksi takdirde e rough küme denir (Lashin et al. 2005). Önerme 3.1.2: ( ) bir topolojik uzay olsun. nun tam küme olması için gerek ve yeter şart olmasıdır (Lashin et al. 2005). Bir genel topolojik uzay için olsun. aşağıdaki tanımlanabilirlik türlerine sahiptir. i. Eğer ise, yani tam küme ise, tam olarak tanımlanabilirdir. ii. Eğer ise içten tanımlanabilirdir. iii. Eğer ise dıştan tanımlanabilirdir. iv. Eğer ise tanımlanamazdır (Lashin et al.2005). Önerme 3.1.3: Eğer ( ) da bir tam küme ve ise, ye göre tamdır (Lashin et al. 2005). Önerme 3.1.4: ( ) bir topolojik uzay ve olsun. deki herhangi bir tam kümenin da tam olması için gerek ve yeter şart için, olmasıdır (Lashin et al. 2005).

27 17 İspat: -tam ise olup, olur. Tersine, ve - tam olsun. Bu durumda -tamdır. Orijinal rough üyelik fonksiyonu denklik sınıfları kullanılarak tanımlanır. Bu üyelik fonksiyonları topolojik uzaylara genişletilmiştir. Tanım 3.1.5: Eğer tabanı olan sonlu bir kümesi üzerinde bir topoloji ise rough üyelik fonksiyonu, ( ) şeklinde tanımlanır (Lashin et al. 2005). Burada i içeren nın keyfi bir elemanıdır. Bu sayının tabanın seçiminden bağımsız olduğu gösterilebilir. Çünkü, i içeren topolojinin bütün elemanlarının arakesiti, i içeren bir tabanın tüm elemanlarının arakesitine denk olur. Topoloji quasidiskret olursa tabanın bir tek elemanına ait olur. Ayrıca, eğer diskret topoloji ise yukarıdaki üyelik fonksiyonu klasik küme teorisini, quasi-diskret ise rough küme teorisini verir (Lashin et al. 2005). Aşağıdaki örnek yukarıdaki tanımlamaları açıklar. Örnek 3.1.6: { } ve olsun. Bu durumda, ( ) ( ) ( ) ( )

28 18 ( ) ( ) olduğu görülür. Uzayın sonsuz olması durumunda, bu üyelik fonksiyonu, her bir nokta için yalnız sonlu sayıda minimal komşulukları bulunan lokal sonlu komşuluk sistemlerine sahip uzaylar için kullanılabilir. Tanım 3.1.7: ( ) bir topolojik uzay olsun. olmak üzere, i) bir açık kümedir. Yani dur. ii) bir kapalı kümedir. Yani, dir. iii) iv) kümesi ve şartlarını sağlayan bir altkümesi içerir. şartlarını sağlayan ( ) ye rough ikilisi denir (Salama 2011). Önerme 3.1.8: Bir ( ) topolojik uzayının herhangi bir altkümesi için ( ) ikilisi, ( ) da bir rough ikilisidir (Salama 2011). İspat: ve olsun. Bu durumda ve olur. olduğundan, yazılır. altkümesi tanımlansın. olduğundan olur. Yani dır. olduğunu gösterelim. Kabul edelim ki olsun. Bu durumda olacak şekilde bir G açık kümesi vardır. Yani ve dir. Buradan ve elde edilir ki bu bir çelişkidir. Bu durumda olmalıdır. Son olarak, gösterelim. olsun. Bu durumda, ve olur. Eğer ise dir. Böylece elde edilir. ve olacak şekilde bir açık küme olmak üzere, eğer ve ise, bu durumda tanımından

29 19 olur. Ayrıca, açık kümesi vardır. Bu durumda, olur. Böylece [ ] elde edilir. Buradan, ve olur. Sonuç olarak, bulunur. Önerme 3.1.9: ( ) topolojik uzayındaki keyfi ( ) rough ikilisi için ve olacak şekilde nun bir altkümesi vardır (Salama 2011). İspat: ( ) bir rough ikilisi ve ve şartlarını sağlayan nun bir altkümesi olsun. ile tanımlansın. Bu durumda, için ve olduğu gösterilmelidir. olduğundan dir. Dolayısıyla olup, olur. Böylece, elde edilir. olduğunu gösterelim. olsun. Bu durumda, yani olur. Buradan aşağıdakiüç durum elde edilir: (1) (2) (3) Şimdi olduğunu göstererek bu üç durumun sadece iki durumdan ibaret olduğunu ispatlayalım. Bunun için olduğunu varsayalım. Bu durumda ve olacak şekilde bir elemanı vardır. olduğundan, ve olur. Bu durumda, ve olup, bu bir çelişkidir. O halde, dir. olduğundan ve elde edilir. Eğer, (1) olursa, olur. (2) olursa,, yani ve olur. Buradan, yani olur. Böylece elde edilir. Yani, ise olup, bu da olduğunu gösterir. ve olduğundan

30 20 elde edilir. olduğunu gösterelim. olduğundan dir. Yani, olur. Fakat olduğundan olur. Böylece, olur. Yani, dir. Ancak, olacak şekilde dir. Bu durumda, olur. Diğer taraftan; ( ( )) ( ) ( ) ( ) dir. olduğundan ( ) olur. Sonuç olarak, elde edilir. Yani bulunur. Böylece olduğundan olur. Örnek : kümesi, { } topolojisiyle verilsin. altkümesi için, dir. O halde, ( ) ( ) ( ) da bir rough ikilisidir. Örnek : kümesi { } topolojisiyle verilsin. Bu durumda, ( ) ve ( ), ( ) da birer rough ikilisidir. Fakat, ( ), ( ) da bir rough ikilisi değildir.

31 21 Teorem : Herhangi bir ( ) topolojik uzayı için, ( ) ikilisinin bir rough ikilisi olması için gerek ve yeter şart ve olacak şekilde nun bir altkümesi olmasıdır (Salama 2011). İspat: Önerme ve Önerme ten ispat görülür. ( ) rough ikilisine denk gelen altkümesi aşağıdaki örnekte de gösterildiği gibi ( ) topolojik uzayında tek değildir. Örnek : kümesi { } topolojisiyle verilsin. ( ) rough ikilisi için, ve olacak şekilde ve altkümeleri vardır. Tanım : ( ) bir topolojik uzay ve ( ) sınıfı ( ) da topolojik rough sınıfı olsun. ( ) ( ) daki topolojik rough sınıflarının kümesi ve ( ) da ( ) daki bütün rough ikililerinin kümesi olmak üzere, fonksiyonu, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) şeklinde tanımlanır (Salama 2011). ( ), ( ) denklik sınıflarındaki ve nin seçiminden bağımsızdır. Aşağıdaki örnekte bu gösterilebilir. Örnek : { } topolojisiyle verilsin. Bu durumda, ( ) {{ } { } }

32 22 ({ }) ( ) ( ) ( ) olur. Teorem : Herhangi bir ( ) topolojik uzayı için, ( )olmak üzere, (( )) ( ) fonksiyonu, ( ) daki bütün topolojik rough sınıflarının kümesinden, ( ) daki bütün rough çiftlerinin kümesine tanımlı 1-1, örten bir fonksiyondur (Salama 2011). İspat: nin bire bir olduğunu göstermek için, ( ) ve ( ), ( ) da iki topolojik rough sınıfı ve (( )) (( )) olsun. Bu durumda, ( ) ( ) olur. Buradan, ve elde edilir. Bu durumda ( ) dir ve böylece ( ) nun aynı elemanına aittir. Buradan, ( ) ( ) elde edilir. nin örten olduğu Önerme den görülür. Böylece ispat tamamlanır Rölatif Topolojik Rough Sınıfları Tanım 3.2.1: ( ) bir topolojik uzay ve için, ( ), ( ) nun bir altuzayı olsun. üzerindeki topolojisi, kuvvet kümesi üzerinde ( ) ve ( ) şeklinde tanımlanan bağıntısını tanımlar (Salama 2011).

33 23 Tanım 3.2.2: Bir ( ) topolojik uzay ve olmak üzere, ( ) ( ) nun bir altuzayı olsun. ( ) koleksiyonu, ( ) in bir parçalanışıdır ve herhangi bir 2011). ( ) sınıfı bir rölatif topolojik rough sınıfı olarak adlandırılır (Salama Tanım 3.2.3: ( ) bir quasi-diskret topolojik uzay ve ( ) da bir açık küme olmak üzere, ( ) ( ) nun bir altuzayı olsun. Eğer ( ) ( ) daki tüm topolojik rough sınıflarının koleksiyonu ise, bu durumda, ( ) ( ) koleksiyonuna ( ) daki alttopolojik rough sınıfları denir (Salama 2011). Önerme 3.2.4: ( ) bir quasi-diskret uzay, ( ) ( ) nun bir altuzayı ve ( ) da bir açık küme olsun. Bu durumda, ( ) ( ) olur (Salama 2011). İspat: Yukarıdaki eşitlik, ( ) ( ) şeklinde yeniden yazılabilir. ( ) olsun. Bu durumda, ve olacak şekilde in, altkümeleri vardır. Aynı zamanda, ( ) bir quasi-diskret uzay olduğundan, her bir - açık ve aynı zamanda -kapalıdır. ( ) da hem açık hem kapalı olduğundan, ve olur. Yani, ( ) ve olacak şekilde ( ) vardır. Aşağıdaki örnek, önermedeki topolojinin bir quasi-diskret topoloji olmadığı durumda, nun altkümesinin açık ve açık olmadığı durumları ele alır.

34 24 Örnek 3.2.5: { } ile verilen bir topolojik uzay ve olsun. Bu durumda, { } ve ( ) ( ) nun bir altuzayı olur. O halde ( ) daki rölatif topolojik rough sınıfları, ( ) {{ } { } { } { }} ve topolojik rough sınıfları da, ( ) {{ } { } { } { } { } { } { }} olur. Bu durumda, ( ) daki alt topolojik rough sınıfları da ( ) {{ } { } { } { } { } { } { }} şeklindedir. ( ) ( ) olduğu görüldü. Burada, bir quasi-diskret topoloji değildir ve dir. Aynı zamanda, [ ( )) ( in in bir parçalanışı olmadığı da görülür. olsun. O halde ( ) ( ) nun bir altuzayıdır. Bu durumda, rölatif topolojik rough sınıfları, ( ) {{ } { } { } { }} şeklindedir. Alttopolojik rough sınıfları ise, ( ) {{ } { } { } { } { }}

35 25 olur. Buradan ( ) ( ) olduğu görülür (Salama 2011). Aşağıdaki örnek nun bir quasi-diskret topoloji olduğunda altkümesinin açık ve açık olmadığı durumları ele alır. Örnek 3.2.6: ( ) bir quasi-diskret uzay olsun. Burada, { } dir. Bu durumda, ( ) daki topolojik rough sınıfları, ( ) {{ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }} şeklindedir. sınıfları, olsun. Bu durumda, { } ve alttopolojik rough ( ) {{ } { } { } { }} olur. Rölatif topolojik rough sınıfları ise, ( ) {{ } { } { } { }} şeklinde olduğundan, için ( ) ( ) elde edilir. Eğer ve ise, bu durumda { } olacak şekilde, ( ), ( ) nun bir altuzayı olur.

36 26 Böylece, alttopolojik rough sınıfları, ( ) {{ } { } { } { } { } { } { } { } { }} şeklindedir. Rölatif topolojik rough sınıfları ise, ( ) {{ } { } { } { } { } { }} olur. Buradan, ( ) ( ) elde edilir. Eğer bir quasi-diskret uzay ve ise, ( ) ( ) olur. ( ), genellikle in bir parçalanışı değildir (Salama 2011) Sağ Komşuluklarla Oluşturulan Rough Kümeler Bu bölümde Yao nun sağ komşuluklar üzerine kurduğu yeni bir tip rough küme ve bir bağıntının geçişme ifadesi fikrinin sonucu olan geçişmeli sağ komşuluk kavramı tanıtılacaktır. Ayrıca ikili bağıntılar üzerine kurulan genelleştirilmiş rough kümelerin bazı özellikleri verilecektir. Tanım 3.3.1: bir küme ve bir ikili bağıntı olsun. elemanları için eğer ise e -bağlıdır denir. Bu durumda ( ) kümesi nun sağ komşuluğu olarak adlandırılır. Keyfi bir için in alt ve üst yaklaşımları sırasıyla,

37 27 ( ) ( ) ve ( ) şeklindedir. Eğer ise e tam küme denir. Aksi takdirde in bir rough küme olduğu söylenir (Mahanta and Das 2011). Tanım 3.3.2: üzerinde bir ikili bağıntı olsun. Bu durumda, i) hem yansımalı hem de geçişmeli ise ye üzerinde bir benzerlik bağıntısı denir. ii) hem yansımalı hem de simetrik ise ye üzerinde bir tolerans bağıntısı denir. (Slowinski and Vanderpooten 1995; Skowron and Stepaniuk 1996). Tanım 3.3.3: ve üzerinde iki ikili bağıntı ve olsun. için, olması için gerek ve yeter şart veya olacak şekilde olmasıdır. Bu durumda nin üzerindeki geçişme ifadesi olarak adlandırılır. Eğer üzerinde nin geçişme ifadesi ise ye nin geçişme ifadesi denir (Li 2010). Önerme 3.3.4: üzerinde bir yansımalı bağıntı ve nin bir geçişme ifadesi olsun. Bu durumda, için olması için gerek ve yeter şart olacak şekilde olmasıdır (Li 2010). İspat: Yeterlilik açıktır. ( ) ( ) gerekliliği gösterelim. için, ise, veya olacak şekilde vardır. ise, yansımalı olduğundan, dir. Burada olduğundan sonuç doğru olur. Eğer, ise, olacağından sonuç yine doğru olur.

38 28 Hatırlatma 3.3.5: Önerme den, her benzerlik bağıntısı bir yansımalı bağıntıyla tek bir şekilde üretilebilir (Li 2010). Önerme 3.3.6: üzerinde bir ikili bağıntı ve nın geçişme ifadesi olsun. Bu durumda üzerinde bir geçişmeli bağıntıdır. Ayrıca, i) yansımalı ise de yansımalıdır. ii) geçişmeli ise iii) simetrik ise de simetriktir (Li 2010). İspat: için, ise bu durumda, veya olacak şekilde ve veya olacak şekilde vardır. Eğer ise ise, ise,, ve ise, olur. nin tanımından olur. Böylece geçişmelidir. i) Her bir için, yansımalı olduğundan olur. nin tanımından olur. Böylece yansımalıdır. ii) için, ise, geçişmeli olduğundan, olur. Böylece, elde edilir. ise, veya olacak şekilde vardır. geçişmeli olduğundan olur. Böylece elde edilir. O halde olur. iii) için, ise, dir veya olacak şekilde vardır. simetrik olduğundan veya dir. nin tanımından, olur. O halde simetriktir.

39 29 bir evrensel küme,, üzerinde bir yansımalı ikili bağıntı ve { } nun altkümelerinin bir sınıfı olsun. Bu durumda ( ) bir topolojik uzaydır (Mahanta and Das 2011). Önerme 3.3.7: üzerinde bir yansımalı bağıntı ise, bu durumda her için, olması için gerek ve yeter şart olmasıdır (Mahanta and Das 2011). İspat: olsun. olduğunu göstermek yeterlidir. olsun. Bu durumda, ( ) ( ) ( ) ( ) olacak şekilde vardır. ( ) ( ) ( ) bulunur. Önerme 3.3.8: üzerinde yansımalı bir bağıntı olsun. Bu durumda, ( ) topolojik uzayı, açık olması için gerek ve yeter şart nın kapalı olmasıdır. özelliğine sahiptir (Mahanta and Das 2011). İspat: bir açık kümedir açık bir küme kapalı küme Tanım 3.3.9:, üzerindeki yansımalı bağıntısının geçişme ifadesi olsun. Bu durumda nun geçişmeli sağ komşuluğu ( ) ile tanımlanır (Mahanta and Das 2011).

40 30 Lemma : üzerinde bir yansımalı bağıntı ve her bir için, { ( )} olsun. Bu durumda, i) ii) iii) in bir açık komşuluk tabanıdır. iv) i içeren tek -açık kümedir. v) ( ) nin kompakt altkümesidir. vi) ( ) nin bir tabanıdır (Mahanta and Das 2011). İspat: i) bir yansımalı ikili bağıntı olduğundan olur. ii) olduğunu göstermek yeterlidir. olsun. Bu durumda olacak şekilde ( ) olur. için ( ) dir. Böylece, vardır. Buradan, ( ) ( ) ( ) ( ) elde edilir. iii) Her bir ve için olduğunu gösterelim. olsun. Bu durumda, ( ) ( ) veya ( ) ( ) ( ) olacak şekilde vardır. için, ( ) ( ) dir. Eğer ( ) ise iddia ediyoruz ki dir. Aksini kabul edelim; için, ( ) ( ) nin bir sağ komşuluğundaysa, bu sağ komşuluk tarafından içerilir. Yani,

41 31 ( ) ( ) olur. Ancak ( ) ve ( ) olur ki bu bir çelişkidir. Böylece dir. Eğer ( ) ( ) ( ) olacak şekilde varsa bu durumda yukarıdaki argümandan ( ) ( ) ( ) elde edilir. iv) i içeren bir -açık küme olsun. iii) den olur. olsun. Bu durumda, ( ) ( ) ( ) elde edilir. v) in bir açık örtüsü olsun. Bu durumda, bir için olur. Böylece iii) den olur. Dolayısıyla ( ) nin bir kompakt altkümesidir. vi) iii) nin ispatına benzer yapılır. Hatırlatma : 1) üzerinde bir ikili bağıntı olsun. Eğer için ve ise, bu durumda dir. 2) Her bir için, nin bazı elemanlarının birleşimi olarak ifade edilemez. Aksini kabul edersek, olacak şekilde vardır. olduğundan olacak şekilde vardır. olduğu için, olacak şekilde vardır. Lemma dan, olup, bu da olduğunu gösterir. Bu bir çelişkidir. O halde nin bazı elemanlarının birleşimi olarak ifade edilemez. 3) ( ) nin bir tabanı olsun. Bu durumda olur. olduğunu kabul edelim. olduğundan olacak şekilde vardır. ( ) nın bir tabanı olduğundan olacak şekilde vardır. Böylece, bazı ler için vardır. Lemma dan olup, bu da olduğunu gösterir. Bu bir çelişkidir. O halde olur (Li 2010). Teorem : ( ) ( ) dir (Mahanta and Das 2011). İspat: Lemma dan nin ( ) nin bir tabanı olduğu görülür. nin aynı zamanda ( ) nin de bir tabanı olduğunu göstermeliyiz.

42 32 Bunun için, i) ve ii) Keyfi için olduğunu göstermeliyiz. i) ( ) ( ) olduğunu biliyoruz. olsun. Bu durumda, ( ) olur. Herhangi bir için, ( ) olsun. Bu durumda, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olur. ii) Kabul edelim ki olsun. Her bir için ( ) dir. ( ) ( ) olduğundan lemma (iii) den yani olur. Teorem : Eğer ( ) bir yansımalı bağıntısıyla oluşturulan topolojik uzay ise, bu durumda, i) ( ) birinci sayılabilir uzaydır. ii) ( ) bir lokal kompakt uzaydır (Mahanta and Das 2011). İspat: Sırasıyla, Lemma (iii) ve (v) den görülür. Teorem : ( ) üzerinde bir yansımalı bağıntısıyla oluşturulan topolojik uzay olsun. Eğer sayılabilir ise, ( ) ikinci sayılabilir uzaydır (Li 2010). İspat: sayılabilir olsun. Lemma dan olup, buradan sayılabilirdir. Böylece ( ) bir ikinci sayılabilir uzaydır. Teorem : Eğer ( ) bir tolerans bağıntısıyla oluşturulan topolojik uzay ve nin geçişme ifadesi ise, bu durumda, i) dir. Burada, in kapanışıdır. ii) i içeren bir bağlantılı daldır. iii) ( ) nin ayrılabilir bir altkümesidir (Mahanta and Das 2011).

43 33 İspat: bir tolerans bağıntısı ise, bu durumda bir denklik bağıntısıdır. O halde her bir için { ( )} bir denklik sınıfıdır. Yani dir. i) olacak şekilde in var olduğunu kabul edelim. Bu durumda olur. nin bir açık komşuluğu için, eğer ise olur ki bu da kabulümüzle çelişir. Böylece, ise dir Dolayısıyla olmalıdır. Diğer taraftan ise dir. olur. Kabul edelim ki nin bir komşuluğu olsun. Dolayısıyla, olur. ii) İlk olarak { ( )} in bir bağlantılı küme olduğunu gösterelim. in boş olmayan bir açık ve kapalı altkümesi olsun. Bu durumda vardır. Bu durumda, ise dır. Buradan olur. Bu da olduğunu gösterir. Böylece bir bağlantılı kümedir., i içeren herhangi bir bağlantılı dal olsun. olduğunu gösterelim. Eğer ise, in uygun açık ve kapalı altkümesi olur ki bu da in bağlantılı bir küme olmasıyla çelişir. O halde, olur.

44 34 iii) (i) den in, in sayılabilir yoğun bir altkümesi olduğu görülür. Böylece ( ) nin ayrılabilir altuzayıdır. Teorem : bir tolerans bağıntı ise, bu durumda, i) ( ) bir regüler uzaydır. ii) ( ) bir normal uzaydır. iii) ( ) bir lokal bağlantılı uzaydır. iv) ( ) bir lokal ayrılabilir uzaydır (Mahanta and Das 2011). İspat: i) nun kapalı bir altkümesi ve olsun. Bu durumda ve nun ve olacak şekilde iki açık altkümesidir. ii) Eğer ve nun iki ayrık kapalı altkümesi ise, bu durumda bu kümeler nun iki ayrık açık altkümesidir. Böylece ( ) normal uzaydır. iii) Lemma (iii) den in her açık komşuluğu, bağlantılı olan in açık komşuluğunu içerir. iv) Teorem den görülür. Teorem : ( ) üzerinde yansımalı ve simetrik(yani tolerans) bağıntısıyla oluşturulan topolojik uzay olsun. Bu durumda ( ) bir pseudo-metriklenebilir uzaydır (Li 2010). İspat: dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlansın. ( ) { İlk olarak nin üzerinde bir pseudo-metrik dönüşüm olduğunu gösterelim. a) ( ) olduğu açıktır.

45 35 b) Aynı zamanda ( ) ( ) olduğu da açıktır. c) ( ) ( ) ( ) ye bakalım. Eğer ise, c doğrudur. Eğer ise, bu durumda veya dir. Böylece c doğrudur. İkinci olarak, ( ) nin ( ) nın bir tabanını oluşturduğunu gösterelim. ( ) ( ) ( ) olduğundan, Lemma dan ( ) ( ) nin bir tabanıdır. O halde, ( ) bir pseudo-metriklenebilir uzaydır. Örnek : ve ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olsun. üzerinde yansımalı bir bağıntıdır. ( ) üzerinde ile oluşturulan topolojik uzay olsun. Bu durumda, { } olur. ve kapalı altkümesi için, ve bu kümeler da ayrık açık komşuluğa sahip değildirler. O halde ( ) regüler uzay değildir. Ayrıca daki her iki ayrık kapalı altküme da ayrık iki açık komşuluğa sahiptir. O halde ( ) bir normal uzaydır (Li 2010). Teorem : üzerinde yalnızca yansımalı bir bağıntı ve nin geçişme ifadesi olsun. İddia ediyoruz ki; ( ) ve -uzaydır (Mahanta and Das 2011). İspat: üzerinde sadece yansımalı bir bağıntı olduğundan de yalnızca yansımalı bir bağıntıdır. Böylece { ( )} dir. olacak şekilde olsun. Bu durumda yi içermeyen in bir komşuluğudur ve böylece ( ) bir -uzaydır. ve, ve olacak şekilde iki -açık kümedir. O halde ( ) bir -uzaydır.

46 36 ve, ve olacak şekilde iki -açık kümedir. Bu yüzden ( ) bir -uzaydır. ( ) nin bir regüler ve -uzay olduğunu biliyoruz. O halde ( ) bir -uzaydır. Yine, ( ) nin bir normal ve -uzay olduğunu biliyoruz. O halde ( ) bir - uzaydır. Tanım : boştan farklı bir küme, üzerinde bir ikili bağıntı ve ( ) nun kuvvet kümesi olsun. Keyfi için ( ) dan kendi üzerine ( ) ( ) ( ) ( ) şeklinde tanımlansın. ( ) in bir alt yaklaşımı, ( ) in bir üst yaklaşımı olarak adlandırılır. ( ) ikilisi genelleştirilmiş rough küme veya genelleştirilmiş yaklaşım uzayı olarak adlandırılır. Eğer ( ) ( ) ise, e tanımlanabilir küme veya genelleştirilmiş tam küme denir. ( ) ( ) ise, e tanımlanamaz küme denir (Li 2010). üzerinde bir denklik bağıntısı ise, bir genelleştirilmiş ( Pawlak rough kümesidir. ) rough kümesi Tanım : boştan farklı bir küme ve üzerinde bir yansımalı bağıntı olsun. Herhangi bir için, { ( ) }

47 37 kümesi tanımlansın. Bu durumda, üzerinde bir topolojidir ve bu topolojiye üzerinde ile oluşturulan topoloji, ( ) ye de üzerinde ile oluşturulmuş topolojik uzay denir (Kondo 2006). Tanım : ( ) bir topolojik uzay olsun. Eğer keyfi sayıda açık kümenin arakesiti açıksa, yani için ise ya Alexandrov topolojisi denir (Birkhoff 1937; Lai and Zhang 2006). Lemma : ( ) üzerinde bir benzerlik bağıntısıyla oluşturulan topolojik uzay olsun. Bu durumda, bir Alexandrov topolojisidir (Qin et al. 2008). Lemma : ( ) üzerinde bir tolerans bağıntısıyla oluşturulan topolojik uzay olsun. Bu durumda için, nın açık olması için gerek ve yeter şart nın kapalı olmasıdır (Kondo 2006). Önerme : üzerinde keyfi ikili bağıntı olmak üzere, ( ) ailesi bir topolojik uzayı için bir alttabandır. olsun. Bir alttabanın tüm sonlu arakesitlerinin elemanları bir taban oluşturduğundan topolojik rough üyelik fonksiyonları alttabanla ifade edilebilir. ( ) (Lashin et al. 2005). Örnek : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olsun. Bu durumda, { } { }

48 38 { } olur. olsun. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rough üyelik fonksiyonundan, ( ) ( ) elde edilir. Aşağıdaki gibi üyelik fonksiyonunu kullanmadan -iç ve -kapanış tanımlarını kullanarak da in kapanışı ve içi bulunabilir. Burada tüm -kapalı kümelerin ailesidir. { } Buradan, elde edilir(lashin et al. 2005).

49 39 İki ayrı ve ikili bağıntısı aşağıdaki örnekte de gösterildiği gibi aynı topolojiyi oluşturabilir. Örnek : olsun. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iki ayrı bağıntı olup bu iki bağıntının sağ komşuluk sistemleri: (alttabanlar olarak) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) şeklindedir. Bu iki alttaban aynı { } tabanını, dolayısıyla aynı topolojisini üretirler (Lashin et al. 2005) Örtülerle Oluşturulan Rough Kümeler Bu kısımda, topolojik nokta açısından yeni bir tip örtü tabanlı rough küme tanıtılacaktır. İkili bağıntı tabanlı rough kümeler örtü tabanlı rough kümelerden farklı olduğundan, örtü tabanlı rough kümeler içinde komşuluk kavramı verilecektir. Tanım 3.4.1: bir küme ve, nun bir örtüsü olsun. için, in komşuluğu, ( ) şeklinde tanımlanır (Zhu 2007).

50 40 Tanım 3.4.2: için, ve ve ( ) kümelerine sırasıyla in daki alt yaklaşım kümesi ve üst yaklaşım kümesi denir. Aşağıdaki gibi tanımlanan ( ) üzerindeki ve işlemlerine örtüsüyle birlikte sırasıyla alt yaklaşım işlemi ve üst yaklaşım işlemi denir (Zhu 2007). ( ) ( ) Önerme 3.4.3: nun bir parçalanışı ise, ve Pawlak ın orijinal tanımlarında belirttiği gibi sırasıyla alt ve üst yaklaşım işlemleridir (Zhu 2007). Önerme 3.4.4: olması için gerek ve yeter şart in deki elemanların bir birleşimi olmasıdır. Klasik rough kümelerden farklı olarak ve aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi genelde dual değildir (Zhu 2007). Örnek 3.4.5: ve olsun. nun bir örtüsüdür. olsun. ( ) ( ) ( ) ( ) olur (Zhu 2007). Aşağıda üst yaklaşımın bir diğer temsili elde edilir. Bu temsilden, komşuluk kavramının önemi daha açık görülür. Teorem 3.4.6: ( ) olur (Zhu 2007). İspat: ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) olduğu kolayca görülür. için, olacak şekilde bir vardır, böylece ( )

51 41 olur. olduğu kolayca görülür. Buradan için, ( ) olur. Böylece ( ) elde edilir. Diğer taraftan, için, ( ) elde edilir. Sonuç olarak ( ) olur. Böylece, ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) bulunur. Buradan, ( ) olur. Önerme 3.4.7: Bu tip örtü alt ve üst yaklaşımları aşağıdaki özellikleri sağlar (Zhu 2007): (1H) (2L) (2H) (3L) (3H) (4H) ( ) (5L) ( ) (5H) ( ) (7L) (7H) (9L) (9H) (Ko-normalite) (Normalite) (Normalite) (Daralma) (Genişleme) (Toplama) (Eşkuvvet) (Eşkuvvet) (Monotonluk) (Monotonluk) (Taneciklilik) (Taneciklilik) İspat: Sadece (4H), (5H) ve (7H) ın ispatı verildi.

52 42 (7H) olsun. ise, olur. Aksine, ve ise Teorem dan olur. (4H) Teorem dan ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) elde edilir. (5H) (5H) ı ispat etmek için ilk olarak aşağıdaki lemmayı ispat edelim. Lemma 3.4.8: ( ) için ( ) ( ) (Zhu 2007). İspat: ( ) olduğundan, ve dır. Böylece, ( ) ( ) elde edilir. Şimdi (5H) ı ispata başlayalım. Teorem dan, ( ) ( ) ( ) ( ) ve ( ) olur. Diğer taraftan, (3H) dan ( ) olup, böylece ( ) olduğunu gösterilmiş olur. Aşağıdaki örneklerden aşağıdaki Önerme elde edilir. Önerme 3.4.9: Aşağıdaki özellikler genelde sağlanmaz (Zhu 2007).

53 43 (4L) ( ) (Çarpma) (6L) ( ) ( ) (Dualite) (6H) ( ) ( ) (Dualite) (8L) ( ( )) ( ) (Alt-tümleyen ilişkisi) (8H) ( ( )) ( ) (Üst-tümleyen ilişkisi) Örnek : ve olsun., nun bir örtüsüdür. (4L) ve olsun. olur. Böylece ( ) elde edilir. Fakat ve buradan dir. (6L) ve (6H) olsun. olur. Fakat ( ) olur. Böylece ( ) ( ) olur. Diğer taraftan ( ) ve olur. Böylece ( ) ( ) dir. (8L) için, ( ) dir. Buradan, ( ( )) ( ) olur. (8H) için, ( ) dir. Böylece, ( ( )) ( ) olur (Zhu 2007). Önerme : Alt yaklaşım için, aşağıdaki eşitsizlik sağlanır (Zhu 2007): (4L * ) ( ) İspat: (7L) özelliğinden kolayca görülür.

54 44 Önerme : ( ) ise, bu durumda için, 2007). veya, nin elemanlarının bir birleşimidir ve tersi de doğrudur (Zhu Teorem : bir kapanış operatörüdür (Zhu 2007). İspat: Kapanış operatörlerinin tanımından ve üst yaklaşım işlemlerinin (4H), (2H), (3H) ve (5H) özelliklerinden görülür. bir iç operatörü değildir. Fakat bazı özel örtüler için, bir iç operatörüdür. Teorem : nin bir iç operatörü olması için gerek ve yeter şart için, veya nin elemanlarının bir birleşimi olmasıdır. (Zhu 2007). İspat: Önerme ve iç operatörlerinin tanımından görülür. Tanım : bir uzayının bir örtüsü ve olsun. Eğer daki bazı kümelerin bir birleşimi ise, ya de indirgenebilirdir denir. Aksi takdirde indirgenemezdir (Zhu 2002; Zhu and Wang 2003). Tanım : nun bir örtüsü olsun. Eğer deki her eleman indirgenemez ise ye indirgenemezdir denir. Aksi takdirde indirgenebilirdir (Zhu 2002; Zhu Wang 2003). Önerme : bir uzayının bir örtüsü olsun. Eğer de indirgenebilir ise yine de nun bir örtüsüdür (Zhu 2002; Zhu and Wang 2003). Önerme : nun bir örtüsü, de indirgenebilir ve olsun. in de indirgenebilir olması için gerek ve yeter şart da indirgenebilir olmasıdır (Zhu 2002; Zhu and Wang 2003).

55 45 Önerme bir örtüden bu örtünün indirgenebilir bir altkümesi çıkarıldığı zaman da yine bir örtü olduğunu garanti ederken, Önerme bir örtüden indirgenebilir bir altküme çıkarmanın herhangi bir yeni indirgenebilir eleman üretmeyeceğini veya önceki diğer indirgenebilir elemanları indirgenemez yapmayacağını gösterir. Sonuç olarak, bir uzayın bir örtüsünün indirgeyeni, tüm indirgenebilir elemanların çıkarılması veya bir adımda bir indirgenebilir elemanın çıkarılmasıyla hesap edilebilir. Geriye kalanlar yine de uzayın bir örtüsünü oluşturur ve indirgenemezdir. Tanım : Bir uzayının bir örtüsü için, indirgeme yoluyla oluşturulan yeni indirgenebilir örtüye nin indirgeyeni denir ve ( ) ile gösterilir (Zhu 2002; Zhu and Wang 2003). Önerme bir örtünün sadece bir indirgeyene sahip olduğunu garanti eder. Bir örtüden bir indirgenebilir eleman çıkarmanın komşulukları nasıl etkileyeceğini göz önüne alalım. Önerme :, bir uzayının bir örtüsü olsun. Eğer de indirgenebilir ise, için, daki ( ) deki ( ) ile aynıdır (Zhu 2007). İspat: İndirgenebilir elemanlar ve komşulukların tanımlarından görmek kolaydır. Önerme :, bir uzayının bir örtüsü olsun. için, ( ) deki ( ), deki ( ) ile aynıdır (Zhu 2007). Önerme : nun bir örtüsü, de indirgenebilir ve olsun. in de indirgenebilir olması için gerek ve yeter şart da indirgenebilir olmasıdır (Zhu 2003). İspat: ( ) da indirgenebilir ise,, (( ) ) deki bazı kümelerin bir birleşimi olarak ifade edilebilir. O halde kesinlikle (

56 46 ) deki bazı kümelerin bir birleşimi olarak ifade edilir. Böylece de indirgenebilirdir. Tersine, de indirgenebilir olsun. i, ( ) deki bazı kümelerin bir birleşimi olarak ifade edebiliriz. Bu kümeler olsun. Her için olduğu kolayca görülür. kümelerinin hiçbiri ya eşit değilse, ( ) de kümelerinin birleşimi olarak ifade edilebilir. Böylece ( ) de indirgenebilirdir. Eğer kümelerinden biri ya eşitse, olmak üzere,, de indirgenebilir olduğundan olacak şekilde vardır., e eşit olmadığından, elde edilir. Burada ne ya ne de e eşittir. Bu da in ( ) da indirgenebilir olduğunu gösterir. Önerme : nun iki indirgenemez örtüsü aynı örtü alt yaklaşımlarını üretiyorsa, bu durumda iki örtü aynıdır (Zhu 2007). İspat: bir uzay, nun iki örtüsü olsun ve bu iki örtü aynı örtü alt yaklaşımlarını üretsin. Öncelikle in herhangi bir elemanının nin de bir elemanı olduğunu gösterelim. olsun. Bu durumda ( ) olur. Önerme dan, örtüsünde, nin bazı elemanlarının bir birleşimidir., şartını sağlayan nin tüm elemanları olsun. Önerme (9L) den herhangi bir için, ( ) ( ) olur. Benzer olarak ( ) olacak şekilde in ( ) elemanları vardır. Böylece ( ) elde edilir. indirgenemez olduğundan, ( ) için olur. O halde için yani nin bir elemanıdır. Benzer şekilde nin her elemanı in de bir elemanıdır, böylece ve aynı elemanlara sahiptir. Yani,

57 47 dir. Teorem : nun bir örtüsü olsun. Bu durumda ve ( ) aynı alt yaklaşım işlemlerini üretir (Zhu 2002; Zhu and Wang 2003). Teorem : nun bir örtüsü olsun. Bu durumda ve ( ) aynı üst yaklaşım işlemlerini üretir (Zhu 2007). İspat: için, Teorem ten ( ) deki dekiyle aynıdır. Önerme den ( ) deki ( ) deki ile aynıdır. nın tanımından ( ) deki ile de deki aynıdır. Teorem : nun iki örtüsü olsun. ve nin aynı alt yaklaşım işlemlerini üretmesi için gerek ve yeter şart ( ) ( ) olmasıdır (Zhu 2007). Önerme : nun iki örtüsü olsun. ( ) ( ) ise için, deki ( ), dekiyle aynıdır (Zhu 2007). İspat: Önerme den elde edilir. için, deki ( ), dekiyle aynı olduğunda ( ) ( ) olmayabilir. Aşağıda örnek bunu gösterir. Örnek : ve olsun. için, her iki örtüde de ( ) olur. Diğer taraftan ( ) ve ( ) dir (Zhu 2007).