MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev"

Duygu Sevgi
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

2 4.KONU Latisler, Boole Cebri

3 1. Kısmi sıralı kümeler 2. Hasse Diyagramı 3. Infimum, Supremum 4. Latis (Kafes Lattice) 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri 6. Boole Cebiri 7. Problemler

4 1. Kısmi sıralı kümeler 1.Tanım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı aşağıdaki özelliklerine sahip olsun: a. a A ara (Yansıma) b. a,b A arb ve bra a = b (Ters Simetrik) c. a,b,c A arb ve brc arc (Geçişlilik) Bu özelliği taşıyan kümelere kısmi sıralı kümeler (Partially Ordered Set, POSET) denir. Sıralama için sembolü kullanılır. a b : a, b nin önünde gelir anlamındadır. Kısmi sıralı küme A kümeyi (A, ) biçimde gösteribileris. Örnekler: a) Kümelerde alt küme( ) bağıntısı, b)doğal sayılarda bölünebilirlik; a/b ak=b, a,k,b N ; 2/5 c)topyekünsıra: (Doğrusal sıra) : Kümenin her hangi iki elemanı arasında sıralama yapılabilirse topyekün sıra bağıntısı vardır. (Doğal sayılarda büyüklük, küçüklük bağıntısı )

5 d) Sözlük sırası: S ve T topyekün sıralı kümeler ise S T (kartezyen çarpım) kümesinde sözlük sırası: a, a S; b, b T olmak üzere; (a,b) < (a,b ) a < a yada a=a, b<b dür. 1. e) A= (1,2,3,4,6,8,12) kümesinde bölünebilirlik bağıntısıyla kısmi bir sıralama yapılırsa, bağıntı matrisi aşağıdaki şekilde olacaktır

6 2. Hasse Diyagramı 1.Tanım. Halef-Selef (Predecessor-Successor, ilk-öndegelen ilksonra-gelen) bağıntısı: b, a nın halefi ise a<c<b olamaz. Yani a ile b arasında sırlanabilen bir c elemanı bulmak mümkün değildir, yani a << b dir. Bu durumda kısmi sıralı küme için yeni bir graf tanımı (hasse diyagramı) yapılarak çizilir. Hasse Diyagramı: a<<b şeklindeki çiftleri birleştiren ve en önde gelenin en alta konulduğu graftır (çizge).

7 2. 1.Örnek. A={1,2,3,4,5,6} kümesini ve bölünebilme bağıntısını göz önüne alalım. A kümesinin bölünebilme bağıntısına göre sıralanmasının Hasse diyagramını çiziniz. 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, , Örnek. A={a, b, c} kümesinin altkümelerinden oluşan kümenin P(A) içerme bağıntısına göre sıralanmasının hasse diyagramını çiziniz. {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b,c}, {a} {a, b}, {a} {a, c}, {a} {a, b, c}, {b} {a, b}, {b} {b, c}, {b} {a, b, c}, {c} {a, c}, {c} {b, c}, {c} {a, b, c}, {a, b} {a, b, c}, {a, c} {a, b, c}, {b, c} {a, b, c},

8 3. Infimum, Supremum S bir POSET, A S alt POSET 1. Tanım: a A m a olacak şeklide m mevcut ise m A nın bir alt sınırıdır. 2. Tanım: a A a n olacak şeklide n mevcut ise n A nın bir üst sınırıdır. 3. Tanım: Eğer A nın bir üst sınırı, A nın diğer bütün üst sınırlarından önde geliyorsa buna A nın supremumu denir. sup(a) ile gösterilir. 4. Tanım: Eğer A nın bir alt sınırı, A nın diğer bütün alt sınırlarını ilk izleyen ise buna A nın infimumu denir. inf(a) ile gösterilir.

9 4. Latis (Kafes Lattice) 1. Tanım: Kısmi sıralı (A, ) kümesi verilsin. Her x,y A için sup{x,y} ve inf{x,y} varsa, A kümesine Latis veya Kafes denir ve sup{x,y}=x y ve inf{x,y} =x y şeklinde yazılır. Eğer A kısmi sıralı kümesi bir kafes ise x y gösterimi x ve y öğelerinin kesişimi ve x y gösterimi de x ve y öğelerinin birleşimi olarak okunur. 1. Teorem: a,b ve c öğeleri A kafesinin keyfi öğeleri ise i. a a b ve b a b ii. a c ve b c a b c iii. a b a ve a b b iv. c a ve c b c a b olur.

10 5. Latis (Kafes) Yapıları ve Özellikleri L üzerinde karşılaşma ve birleşme adı altında iki ikili işlem tanımlanan boş olmayan bir küme olsun. Karşılaşma ; birleşme birbirinin düali. Ancak işlemler aşağıdaki aksiyomları sağlamalıdır. L1 : Değişme : a b = b a ; a b = b a L2: Birleşme : (a b) c = a (b c) ; (a b) c = a (b c) L3: Yutma : a (a b) = a ; a (a b)= a Bu aksiyomlar birbirinin dualidir. Buna göre diğer tanımlanacak özelliklerinde bir duali vardır. Sabit Kuvvetlilik (idempotence) a a = a a a = a [a (a b)] = a (a c) = a 2.Teorem : a b = a a b = b dir. b = b (b a) b = b a b = a (a b) a = a b bulunur.

11 5. 3.Teorem : L de a b= a (a b =b) şeklinde tanımlanan bağıntı bir sıra bağıntısıdır. a a = a (Yansıma) a b = a ve b a = b a=b (Antisimetri) a b = a, b c = b a c = a (Geçişme) Her POSET bir kafesmidir? Bu soruyu cevaplamak için aşağıdaki teoremin ispatı verilebilir. 4.Teorem: P (kısmi sıralı küme) her eleman çifti için (a,b) bir infimum ve bir supremum var olan bir kısmi sıralı küme ise P bir kafes yapısıdır. Bu durumda: a b = inf(a,b), a b = sup(a,b) olarak tanımlanır. İspat: inf. ve sup. ifadelerinin kafes aksiyomlarının sağlayıp sağlamadıklarına bakalım. inf(a,b) = inf(b,a) ; { a b = b a } inf(inf(a,b),c) = inf(a, inf(b,c)) ; { (a b) c = a (b c) } inf(a,sup(a,b)) = a yazabiliriz. ; { a (a b) = a } Bu aksiyomları sup için de gerçekleyebiliriz. Böylece bu aksiyomlar tanımlandığına göre P kısmi sıralı kümesi bir kafestir.

12 6. Boole Cebiri 1. Tanım: (A, ) kısmi sıralı bir kümesinin her x,y A için iki ikili, işiemler, bir tekli işlem ("olumsuz ") verilsin. A kümede 0 ve 1 iki eleman varsa ve her a,b,c A için aşağıdaki aksiomlar gerçekleşse A kümeye boole cebir denir: a (b c) = (a b) c a (b c) = (a b) c associativity a b = b a a b = b a commutativity a 0 = a a 1 = a identity a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) distributivity a a = 1 a a = 0 complements

13 6. 1.Örnek: İki elemanlı Boole Cebiri: a 0 1 a Örnek: İki atomlı Boole Cebiri: 0 a b a 0 a 0 a b 0 0 b b 1 0 a b 1 0 a b a b 1 a a a 1 1 b b 1 b x 0 a b 1 x 1 b a 0

14 7. Problemler 1.Bir latis içinde x y = y x y = x çift gerektirmesini doğrlayınız. 2.Bir A latis için aşağıdaki önermeleri kanıtlayınız a) a b ise, x A için a x b x ve a x b x b) a b ve c d ise, a c b d ve a c b d dir. 3.A bir Boole cebir olsun. a, b, c A için aşağıdaki özelliklerin varlığını kanıtlayınız. a) 0 ile 1 elemanlar tek olarak belirlenirler b) a 1 = 1 ve a 0 = 0 c) a a b = a ve a (a b) = a d) a b (b c) (c a) = (a b) (b c) (c a) e) a c = b c ve a c = b c a = b f) 0 = 1 ve 1 = 0 g) a b = a b ve a b = a b h) a = a

Benzer belgeler

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).