ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 ÇUKUROV ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSNS TEZİ BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ MTEMTİK NBİLİM DLI DN,2010

2 ÇUKUROV ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ YÜKSEK LİSNS TEZİ MTEMTİK NBİLİM DLI Bu Tez 31/03/2010 Tarihinde şağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir Doç.Dr.Fikret KUYUCU Yrd.Doç.Dr.li.ÖZKURT Yrd.Doç.Dr.Perihan DİNÇ RTUT DNIŞMN ÜYE ÜYE Bu Tez Enstitümüz Matematik nabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL Enstitü Müdürü Not:Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSNS TEZİ BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ ÇUKUROV ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MTEMTİK NBİLİM DLI Danışman : Doç.Dr. Fikret KUYUCU Yıl : 2010, Sayfa: 50 Jüri : Doç.Dr. Fikret KUYUCU Yrd.Doç.Dr. li. ÖZKURT Yrd.Doç.Dr. Perihan DİNÇ RTUT Bir fonksiyonun sürekliliğinin inelenmesi, yeni süreklilik çeşitlerinin (θ sürekli, zayıf sürekli) tanımlanmasında etkili olmuştur. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir ideal topolojik uzay denir. X kümesi üzerinde, bir I ideali ve topolojisi vasıtasıyla I açık kümeler tanımlanmış ve bu yeni kavramlar sayesinde, yeni bir topolojik uzay elde edilmiştir. Bununla birlikte, yeni süreklilik çesitleri ( I sürekli, ω I sürekli, ω I sürekli) tanımlanmıştır. Bu çalışmanın amaı, bu süreklilik çeşitlerini, özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri araştırmaktır. nahtar Kelimeler: Topoloji, süreklilik ve idealler. I

4 BSTRCT MS THESIS SOME CONTINUITY KINDS DEPRTMENT OF MTHEMTICS INSTITUTE OF NTURL ND PPLIED SCIENCES UNİVERSITY OF ÇUKUROV Supervisor : Doç.Dr. Fikret KUYUCU Year : 2010, Pages: 50 Jury : sso.prof. Dr. Fikret KUYUCU : sst.prof. Dr. li. ÖZKURT : sst.prof. Dr. Perihan DİNÇ RTUT Examining the ontinuity of a funtion, new kinds of ontinuity (θ ontinuous, weak ontinuous) have been effetive in the desription. topologial spae, with over ideal, an ideal topologial spae is alled. On a set of X, an I ideal and topology is defined through the open sets and thanks to this new onept, a new topologial spaes are obtained.however, the new ontinuity kind (I-ontinuous, ω ontinuous, ω ontinuous) have been identified. The purpose of this thesis, this kind of ontinuity, harateristis, and to investigate the relationships between them. Key Words: Topology, ontinuity and ideals. II

5 TEŞEKKÜR Bu çalışmanın her aşamasında hiç bir zaman yardımlarını ve anlayışını eksik etmeyen, akademik başarısı ve kişiliğiyle örnek alınaak çok değerli danışmanım Doç.Dr.Fikret KUYUCU ya en derin saygılarımla teşekkürlerimi sunarım. yrıa bu çalışmanın oluşmasında katkısı bulunun çok ama çok değerli Öğretim Görevlisi arkadaşım Emir li MRİS e teşekkür ederim. İhtiyaç duyduğum her an yardımlarını ve anlayışlarını hiçbir şekilde eksik etmeyen değerli hoalarım Yrd.Doç.Dr.li. ÖZKURT ve eşi Yrd.Doç.Dr. Zeynep ÖZKURT a teşekkür ederim.maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman yanımda olan haklarını hiç bir zaman ödeyemeyeeğim çok değerli babam Hasan COŞKUNTUNCEL ve annem Meliha COŞKUNTUNCEL e çok teşekkür ederim. III

6 İÇİNDEKİLER SYF ÖZ BSTRCT TEŞEKKÜR İÇİNDEKİLER IV 1 GİRİŞ Temel Tanım ve Özellikler Yerel Fonksiyon Kuratowski Kapanış Operatörü Topoloji ile İdealin Uyuşması I f yi İçeren İdealler X = X Koşulunu Sağlayn Uzaylar BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Süreklilik Çeşitleri Regüler Uzay, RI Uzayı ve I II III FI Uzayı KYNKLR ÖZGEÇMİŞ IV

7 1. GİRİŞ Bir fonksiyonun sürekliliği, bilindiği gibi matematiğin temel yapıtaşıdır. Bu bağlamda, fonksiyonların sürekliliğinin inelenmesi geçmişten günümüze büyük önem taşımaktadır. Özellikle soyut uzaylarda (metrik uzaylar, topolojik uzaylar) bir fonksiyonun sürekliliğinin inelenmesi, yeni süreklilik çeşitlerinin tanımlanması ve bu süreklilik çeşitleri arasındaki ilişkilerin kurulması, süreklilik çeşitlerinin denk olduğu uzayların tanımlanması son yıllarda topoloji ile uğraşan matematikçilerin gözde konuları arasındadır. tanımlanan Bu alanda yapılan ilk temel çalışmalar Fomin tarafından 1943 yılında θ süreklilik ile başlar. Sonra 1961 yılında Levine zayıf süreklilik kavramını tanımlamıştır. Buna göre her sürekli fonksiyon θ ve zayıf süreklidir, fakat tersi her zaman doğru değildir. yrıa her süreklidir. θ sürekli fonksiyon zayıf Sonrasında 1974 de Noiri, 1984 de Rose zayıf sürekli fonksiyonlar üzerine çalışmalar yapmıştır. Bir topolojik uzayda bir I ideali, I nın elemanlarının tümleyenlerinden oluşan ailenin filtre olmasıdır. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir ideal topolojik uzay denir yılında Jankoviç ve Hamlet tarafından X kümesi üzerinde bir I ideali ve bir topolojisi vasıtasıyla I açık kümeler tanımlanmış ve bu yeni kavram sayesinde yeni bir topolojik uzay elde edilmiş, bununla birlikte yeni süreklilik çeşitlerinin tanımlanması ( I sürekli, α I sürekli, sürekli, w I sürekli, w I sürekli gibi ) mümkün olmuştur. Süreklilik çeşitleri arasındaki ilişkilerin inelenmesi üzerine günümüzde pek çok makale yazılmıştır: 2004 yılında Keskin, Noiri ve Yüksel in I makalesi ile çıkgöz Noiri ve Yüksel in makalesi; 2005 yılında Hatır, Keskin ve Noiri nin makalesi; 2006 yılında Jeyanthi, Devi ve Sivaraj ın makalesi; 2008 yılında Kuyuu, Noiri ve Özkurt un makalesi bunlardan bazılarıdır. Bu çalışmanın amaı, bu süreklilik çeşitlerini, özelliklerini ve aralarındaki ilişkileri araştırmaktır. 1

8 1.1.Temel Tanım ve Özellikler Bu bölümde genel olarak kümeler teorisinin ve topolojinin iyi bilinen temel tanım ve özellikleri özetlenmiştir.(bülbül, 1994) X bir küme ve X olsun. X = { x X:x } kümesine nın tümleyeni denir. i Ι i X bir küme, Ι bir indis kümesi ve her bir i Ι için i X olsun. U i ve I kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanır: i Ι i X i Ι i { Ι } U = x X: i öyle ki x, i Ι i { Ι } I = x X: i için x. i i Kümelerin birleşimi ve kesişimi ile ilgili aşağıdaki önermeler doğrudur: a) X = ( X ) U I, i Ι i i Ι b) X = ( X ) I U, i Ι i i Ι ) B = ( B ) U U, i Ι i i Ι d) B = ( B ) f:x Bi I I. i Ι i i Ι i i i i Y bir fonksiyon, Ι bir indis kümesi ve her bir i Ι için Y olsun. Bir kümenin f fonksiyonu altındaki görüntüsü ve ters görüntüsü ile ilgili aşağıdaki önermeler doğrudur: 1 1 a) f ( B ) = f ( B ) U U, i Ι i i Ι i 2

9 1 1 b) f ( B ) = f ( B ) I I, i Ι i i Ι ) f ( ) f ( ) I I, i Ι i i Ι d) f = f U U, i Ι i i Ι e) f birebir ise, her bir,b X f) Her B Y g) Her X dır, h) Her B Y i i i 1 1 için f ( Y B) X f ( B) için f ( B) f f ( B) = dir, = dir, 1 1 için f ( f ) ve eğer f birebir ise = f ( f ) 1 için f f B B 1 ve eğer f örten ise f f B = B dir. X bir küme olsun. P( X) = { : X} ailesine X in kuvvet kümesi denir. P( X) ve Ι bir indis kümesi olsun. Eğer, a),x b) Her U,V için U V ) Her i Ι için U i ise U Ui i Ι koşulları sağlanırsa ailesine X kümesi üzerinde bir topoloji, ( X, ) ikilisine bir topolojik uzay denir. 1 ve 2 X kümesi üzerinde iki topoloji olsun. 1 2 ise 2 ye 1 den daha ine veya 1 e 2 den daha kabadır denir. ( X, ) bir topolojik uzay olsun. topolojisinin elemanlarının her birine açık küme, açık kümenin tümleyenine kapalı küme denir. 3

10 ( X, ) bir topolojik uzay olsun. Ι bir indis kümesi olmak üzere, bu topolojinin K { F: ( X F) } = kapalı kümeler ailesi aşağıdaki koşulları sağlar: a),x K, b) Her F,T K için F T K, ) Her i Ι için Fi K ise I Fi K. i Ι Tersine, K ailesi X kümesi üzerinde yukarıdaki üç koşulu sağlayan bir aile ise X üzerinde bir topoloji vardır, öyle ki K ailesi bu topolojinin kapalı kümeler ailesidir. ( X, ) bir topolojik uzay, U X ve x X olsun. En az bir G için x G U oluyorsa U kümesine x in bir komşuluğu, x in bütün komşuluklarından oluşan N( x) { U X: G,x G U} = ailesine x in komşuluk sistemi denir. X, bir topolojik uzay, X ve x X olsun. = { } l x X: U N x,u kümesine nın kapanışı, bu kümenin elemanlarına nın kapanış noktaları denir. = { } int x X: U N x,x U kümesine nın içi, bu kümenin elemanlarına nın iç noktaları denir. { ( { }) } d x X: U N x, U x = kümesine nın türev kümesi, bu kümenin elemanlarına nın yığılma noktaları denir. X, bir topolojik uzay ve X olsun. nın kapanışı, içi ve türev kümesi ile ilgili aşağıdakiler doğrudur: 4

11 a) X l = int( X ). b) int = U U ( U ) kümesidir. U ) l = I F F kapalı kümedir. ( X F ) d) kapalıdır. l e) açıktır. int l f) d =., yani nın içi nın en geniş açık alt, yani nın kapanışı yı kapsayan en dar = d =.. X, bir topolojik uzay ve X olsun. { } = U:U ailesi kümesi üzerinde bir topolojidir. Bu topolojiye nun kümesi üzerinde ürettiği alt uzay topolojisi, (, ) topolojik uzayına ( X, ) nun bir alt uzayı denir. X, bir topolojik uzay, x X ve B( x) N( x) öyle bir V B( x) kümesi V U bir komşuluk tabanı denir. olaak şekilde varsa, olsun. Her U N( x) için B x ailesine x noktasının Bir topolojik uzayın her noktasında sayılabilir bir komşuluk tabanı varsa bu topolojik uzaya birini sayılabilir uzay denir. X, bir topolojik uzay ve B olsun. B nin topolojisinin bir tabanı olması için gerek ve yeter şart her U kümesinin x Gx U olaak biçimde bulunmasıdır. ve her x U için öyle bir Gx B 5

12 ( X, ) bir topolojik uzay ve B olsun. B nin topolojisinin bir tabanı olması için gerek ve yeter şart her x X için B = { G B:x G} ailesinin x noktasının bir komşuluk tabanı olmasıdır. Bir topolojik uzayın sayılabilir bir tabanı varsa bu topolojik uzaya ikini sayılabilir uzay denir. Her ikini sayılabilir uzay birini sayılabilirdir. Fakat tersi doğru değildir. X, bir topolojik uzay ve X olsun. l = X ise kümesine ( X, ) topolojik uzayında yoğundur denir. ( X, ) topolojik uzayının sayılabilir ve yoğun bir alt kümesi varsa bu uzaya ayrılabilir uzay denir. Bir topolojik uzayın herhangi bir özelliği bu uzayın her alt uzayı için de sağlanıyorsa bu özelliğe kalıtsal özellik denir. Buna göre birini sayılabilirlik, ikini sayılabilirlik ve ayrılabilirlik özellikleri birer kalıtsal özelliktir. ( X, ) ve ( Y,% ) iki topolojik uzay, f:x olsun. Eğer her V N % ( f ( x 0 )) için f ( U) x Y bir fonksiyon ve x0 X V olaak biçimde en az bir U N x 0 varsa f fonksiyonuna x 0 noktasında süreklidir denir. Eğer f fonksiyonu bir X kümesinin her noktasında sürekli ise f fonksiyonu da süreklidir denir. ( X, ) ve ( Y,% ) iki topolojik uzay, f:x şağıdakiler denktir: a) Her V 1 % için b) Her kapalı F Y f V dır. 1 kümesi için f ( F) Y bir fonksiyon olsun.o halde kümesi X de kapalıdır. 6

13 ( X, ) bir topolojik uzay, f:x Y sürekli bir fonksiyon ve X olsun. Bu taktirde f fonksiyonunun kümesine daraltılmışı (, ) alt uzay topolojisine göre süreklidir. f% = f : Y fonksiyonu ( X, ) ve ( Y,% ) iki topolojik uzay ve f:x olsun. Eğer f ve 1 f Y birebir örten bir fonksiyon fonksiyonları sürekli fonksiyonlar ise f fonksiyonuna bir homeomorfizm veya topolojik eş yapı dönüşümü, ( X, ) ve ( Y,% ) uzaylarına homeomorf uzaylar veya topolojik denk uzaylar denir. Bir topolojik uzayın bir özelliği homeomorfizmler altında değişmiyorsa bu özelliğe bir topolojik özellik denir.buna göre birini sayılabilirlik, ikini sayılabilirlik ve ayrılabilirlik özellikleri birer topolojik özelliktir. ( X, ) bir topolojik uzay olsun. 1.) Eğer her x,y X ( x y) için bir G kümesi, ( x G y G) ( x G y G) olaak şekilde bulunabiliyorsa bu uzaya bir T0 uzayı veya Kolmogorof uzayı denir. 2.)Eğer her x,y X ( x y) için G,H kümeleri, ( x G, y G) ( x H,y H) olaak şekilde bulunabiliyorsa bu uzaya bir T1 uzayı veya Frehet uzayı denir. 3.)Eğer her x,y X ( x y) için G,H kümeleri, ( x G, y H) ( G H = ) olaak şekilde bulunabiliyorsa bu uzaya bir T2 uzayı veya Hausdorff uzayı denir. 7

14 T0 uzayı, T1 uzayı ve T2 uzayı olma özellikleri hem kalıtsal hem de topolojik özelliklerdir. ( X, ) topolojik uzayı bir T0 uzayıdır. Her x,y X ( x y) ({ }) ({ }) l x l y dir. ( X, ) topolojik uzayı bir 1 kümesi kapalıdır. ( X, ) topolojik uzayı bir 2,( X U) dır. için T uzayıdır. Her x X için { x } tek nokta T uzayıdır. Her x X için { x} = I U N x U Bir T1 uzayında tek nokta kümeleri kapalı olduğundan tümevarımla sonlu sayıda elamana sahip kümeler kapalıdır. yrıa sonlu elemanlı kümelerin T1 uzayında yığılma noktaları yoktur. Buna göre ( X, ) topolojik uzayı bir T1 uzayı, X ve elemanlıdır. x d olmak üzere, her bir U N( x) için U sonsuz ( X, ) bir topolojik uzay ve olsun. Eğer X = U U ise ailesine X U kümesinin bir açık örtüsü denir. Eğer X in her açık örtüsünden sonlu bir alt örtü seçilebiliyorsa ( X, ) uzayına kompakttır denir. Kompaktlık topolojik bir özelliktir. Bir topolojik uzayın her açık örtüsünün sayılabilir bir alt örtüsü varsa bu topolojik uzaya Lindelöf uzayı denir. Bu tanımdan her kompakt topolojik uzayın bir Lindelöf uzayı olduğu hemen söylenebilir. Her ikini sayılabilir uzay da bir Lindelöf uzayıdır. 8

15 1.2.Yerel Fonksiyon Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) I bir X kümesinin alt kümelerinin boştan farklı bir ailesi olsun. I ailesi, i. I ve B ise B I ii. I ve B I ise B I koşullarını sağlıyorsa, bu aileye X üzerinde bir ideal denir. Tanıma göre I bir ideal ise Örnek X kümesi verilsin. { } If = X: sonlu { } I = X: sayılabilir I olduğu açıktır. { } In = X: hiçbir yerde yoğun değil şeklinde tanımlanan I f, I ve In aileleri X üzerinde birer idealdir. Tanım ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. X kümesi için, şeklinde tanımlanan ( I,) ( I,) = { x X: U N(x)için U I} = kümesine, kümesinin yerel fonksiyonu denir. Örnek ( X, ) topolojik uzayı ve I = { }, I P( X) Burada P X, X in kuvvet kümesidir. X alt kümesi için, 1 2 = idealleri verilsin. dır. = I, l 1 I,= 2 Örnek ( X, ) topolojik uzayı bir 1 T uzayı olsun. Bir X alt kümesinin d yığılma noktalarının kümesi { x X: U N(x)için U sonsuz} = şeklinde 9

16 d tanımlanır. Bu taktirde ( I f,t1 ) kümelerinin idealidir. Gerçekten, = dir. Burada I f,x kümesinin sonlu alt ( f 1) = { f} I,T x X: U N(x)için U I ve I f eleman sayısı sonlu kümelerin ideali olduğundan U sonsuz elemanlıdır. Örnek X, bir topolojik uzay, X ve x X olsun. Eğer, U N(x) için U sayılamaz bir kümedir. koşulu sağlanırsa x noktasına kümesinin bir yoğunlaşma noktası denir. O halde, ( ) = { } = { x X: U N(x)için Usayılamaz} I, x X: U N(x)için U I dir. Burada I X kümesinin sayılabilir alt kümelerinin idealidir. Sonuçta bir kümesinin yoğunlaşma noktalarının kümesi I, dir. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990) ( X, ) bir topolojik uzay; I,I 1 ve I 2 X üzerinde idealler ve, B i. B ise ii. I1 I2 X olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır: B dır. ise ( I ) ( I ) iii. iv. ( ) dır. 1 2 I, kümesi X in kapalı bir alt kümesidir. dır. v. ( B)( I) ( I) B ( I) = dır. vi. ( I) B ( I) ( B)( I) B ( I) ( B)( I) = dır. vii. U U ( I) U ( U )( I) ( U )( I) = dır. viii. I I I ( I) ( I) ( I ) ( I) = = dır. İspat: i. için U Ι yazılabilir. x U N x 10

17 B olduğundan U B U olur. U Ι ve idealin tanımından B U Ι dır. O halde Ι 1 2 x B ve buradan da ii. x ( Ι ) U Ν ( x) B elde edilir. 2 için U Ι 2 Ι olduğundan U Ι 1 ( Ι ) ( Ι ) elde edilir. 2 1 ve buradan x Ι olur. Sonuçta, 1 iii. l ( ) olduğunu göstermek yeter. Burada l, topolojisine göre kapanışıdır. Kapanış noktasının tanımına göre, kümesinin x l U Ν x için y U olsun. y y U V Ν y U dır. için V Ι y U yazılabilir. Özel olarak V = U seçilirse, U Ν ( x) için U Ι elde edilir.yani l olur. iv. ( ) ( Ι ) U ( Ι ) y U x = Ι Ι U Ν x için Ι U Ι olsun. ( Ι ) Ν y y U V y içinv Ι y U x dır. Sonuçta V = U seçilirse, U Ν ( x) içinu Ι elde edilir. Yani ( Ι ) x = dır. Sonuçta, v. bulunur. x B Ι U Ν x için B U Ι U Ν x için U B U Ι 11

18 U Ν x için U Ι B U Ι ( Ι ) ( Ι ) x x B ( Ι ) ( Ι ) x B Buradan ( B)( Ι ) ( Ι ) B ( Ι ) = elde edilir. vi. x ( Ι ) B ( Ι ) x ( Ι ) x B ( Ι ) iddia: x ( B) ( Ι ) dır. Gerçekten, x ( B) ( Ι ) V Ν x :V B Ι 1 1 olurdu. yrıa x B ( Ι ) olduğundan, V Ν x :V B Ι olur. U V1 V2 2 2 = seçelim. O halde U Ν ( x) olsaydı, için, U ( B) I ve U B I dır. Buradan, U B U B = U B = U U B I elde edilir ve buradan da U Ι çelişir. O zaman x ( B) ( Ι ) veya, olmalıdır. Bu durum x ( Ι ) doğrudur. Bu sonuç, ( Ι ) ( Ι ) ( )( Ι ) B B ( Ι ) ( Ι ) ( )( Ι ) ( Ι ) B I B B B olması ile 12

19 ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) B B B I olduğunu gösterir. O halde, ( Ι ) ( Ι ) x B B olsun. U Ν x içinu B Ι x B Ι yazılır. U ( B) U olduğundan U Ι dır. olur. Sonuçta, elde edilir. U Ν x içinu Ι x B Ι ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) x x B x B ( B)( Ι ) B ( Ι ) ( Ι ) B ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) = ( ) ( Ι ) ( Ι ) B B B vii. U olsun. ( Ι ) ( Ν Ι ) x U x U V x V Ν x U U Ν x U V x dir. O halde, V Ν ( x) için V ( U ) Ι x ( U )( Ι ) yazılabilir. x U olduğundan, x U ( U ) ( Ι ) bulunur. 13

20 ( Ι ) ( Ν Ι ) x U U x U V x V U = olsun. O halde Ν V U V V x V Ι olur. Dolayısıyla x U x ( Ι ) x U ( Ι ) dır. Buradan, U ( U )( Ι ) U ( Ι ) eşitliği doğrudur. viii. Ι olur. Sonuçta, ( Ι) ( Ι ) U U U = Ι olsun. O halde her bir U X için, U Ι Ι olduğundan U Ι Ι dır. O halde, yazılabilir. Buradan, olur. vi. özelliğinden, { x X: U ( x) U } = = Ι Ι Ν Ι Ι ( Ι )( Ι ) = ( Ι ) Ι ( Ι ) = ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) Ι ( Ι ) = ( Ι ) Ι ( Ι ) = ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) bulunur. yrıa Ι ( Ι ) ( Ι ) ( Ι ) olduğundan ( Ι )( Ι ) ( Ι ) = yazılabilir. 14

21 1.3. Kuratowski Kapanış Operatörü Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) P( X ), X kümesinin kuvvet kümesi olmak üzere, fonksiyonu,. : PX PX i. = ii. PX için iii., B PX B = B için iv. PX = özelliklerini sağlıyorsa, bu fonksiyona Kuratowski Kapanış Operatörü denir. { } = U PX : X U = X U PX ailesi, (.) Kuratowski kapanış operatörü ile üretilen topolojidir. Gerçekten, 1. (.) fonksiyonunun i ve ii özelliklerinden, = = = X X X X X X PX X X X X = X ( X ) X = 2. U1, U2 keyfi iki küme olsun. 15

22 X U = X U 1 1 X U = X U 2 2 ( X U ) ( X U ) ( X U ) ( X U ) = (.) operatörünün iii özelliğinden, X U U = X U X U = X U X U K { U X : U U } U1 U2 = X U U = = ailesini tanımlayalım. 1 2 Her K için K I U = I U dir. Gerçekten, U K U K öte yandan, her bir U K için, ve buradan, I U = I U I U = I U U K U K U K U K I U U = U I U U U K U K ( I U ) I U ( I U ) U K U K U K U I = I U K U K U bulunur. I U = I U olduğundan, U K U K 16

23 I U = I U = I U = I U U K U K U K U K elde edilir. keyfi bir alt aile olsun. Her bir U için, X U ( X U) = olduğundan, ( X U U) X U U = I X U = I X U = I X U U U U U = U dir. Yani U U dir. U O halde bir topolojidir. yrıa, { : } K = U X U = U ile tanımlanan K ailesi, topolojisine göre kapalı olan kümelerin ailesidir. Lemma X kümesi verilsin. d : PX P( X) fonksiyonu, i. d ( ) = ii. d( B) = d d( B) iii. d( d ) d koşullarını sağlasın. Bu taktirde, (.) : PX PX fonksiyonu bir Kuratowski kapanış operatörüdür. d İspat: PX için( ) = olduğunu göstermek yeter. = ile tanımlı (.) ( ) = ( d ) = d d( d ) = ( ) = d d d d = d = 17

24 ( X, ) bir topolojik uzay, Ι X üzerinde bir ideal olsun. O halde, (). :P(X) P(X), ( I, ) = ile tanımlı (). fonksiyonu lemma nin tüm koşullarını sağlar. Bu durumda Kuratowski kapanış operatörüdür. şeklinde tanımlanan l = ile tanımlı l fonksiyonu bir { } = I, = U X: l X U = X U ailesi, l operatörüyle üretilen topolojidir. I ideali, I = { } olarak seçilirse, = l() olduğundan l = l olur ve = elde edilir. I ideali, I = P( X) olarak seçilirse, = olduğundan l = olur ve = P(X) elde edilir. I X üzerinde keyfi bir ideal ise yazılabilir. Yani topolojisi topolojisinden daha inedir. topolojisi, topolojisinden daha ine bir topoloji olduğundan herhangi bir P( X) kümesi için aşağıdaki önermeler sağlanır: (a) d d d (b) x U N(x) U {x} I () d (d) {x} I olsun o halde d x x Burada d ve d, kümesinin sırasıyla ve noktalarının kümesidir (Türev kümesi). topolojilerine göre yığılma 18

25 P( X) kümesi verilsin. topolojisine göre kapalı olması için Çünkü, topolojisinin kapalı kümeleri koşulu sağlanmalıdır. X Şimdi topolojisinin tanımından, kümesinin koşulunun sağlanması gerekir ve yeter. l = = olduğundan topolojisinin açık kümelerini belirleyelim. U kümesi topolojisine göre kapalıdır. Buradan, yazılır. O halde, ( X U) X U U X ( X U) U olsun. O halde x U x (X U) V N(x) öyle ki V (X U) I olur. I = V (X U) denirse, x V I U olur. Gerçekten, sonuç olarak, a V I a V a I a V a X U a X U a U U V I I:V I U önermesi yazılabilir. O halde aşağıdaki teorem ispatlandı: Teorem ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. O zaman, ( I, ) { V I:V I I} β = β = ailesi topolojisinin bir bazıdır. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I 1 ve I 2 X üzerinde iki ideal, X olsun. O zaman aşağıdakiler doğrudur: (a) ( I I, ) = ( I, ) ( I, ) (b) ( ) I I, = I, I, I, I,

26 İspat: (a) x ( I I,) olsun. O halde, 1 2 U N(x) U I1 I2 yazılır. Buradan, U I1 veya U I2 dır. yrıa, önermesi doğru olduğundan ispat biter. (b) ( ) ve böylee x ( I, ) ( I, ) M I1 I2 M I1 M I2 x I I, U N(x) U I I U I I I I I I U I I Burada I 1 I 2 = seçelim.bu seçim genelliği bozmaz.çünkü, ( ) dir. yrıa I I I I I I I1 I1 I2 I2 = I1 I2 olur. O halde, U I I U I I U I I ( ) ( ) ( 2 ( 1 ) ) ( 1 ( 2 ) ) ( ) U I = U I I U I = U I I x I, I, I, I, ( 2 1 ) ( 1 ( 2 )) x I, I, I, I, dır. yrıa, I I I I M I I M I I M I I önermesi doğru olduğundan ispat biter. Sonuç ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. O zaman, = ( I, ) ve I, ( I, ) = olmak üzere, = eşitliği doğrudur. 20

27 İspat: Teorem (b) den I1 I2 I = = alınırsa, ( I, ) I, ( I, ) halde, her bir X için l = l olaağından kapalı kümeleri aynıdır. Yani = 1.4. Topoloji ile İdealin Uyuşması = olur. O ve topolojilerinin Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun her X için, x U N(x):U I I önermesi doğruysa topolojisi ile I ideali uyuşur denir ve I ile gösterilir. Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) I X üzerinde bir ideal ve Λ sayılabilir bir indis kümesi olsun. Her bir λ Λ için I I idealine bir σ _ideal denir. iken { I : } λ λ λ Λ U I oluyorsa, I Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir kalıtsal Lindelöf uzayı ve I X üzerinde bir σ _ideal olsun. O zaman I dır. İspat: X olsun. x = { } ailesi, U U :x X ve bir U N( x) X için UX I olsun., alt uzay topolojisine göre kümesinin bir açık örtüsüdür. Λ sayılabilir bir indis kümesi olmak üzere, ( X, ) Lindelöf uzayı olduğundan, kümesinin kalıtsal U açık örtüsünün { V : } λ λ Λ şeklinde sayılabilir bir alt örtüsü vardır. Yani, = { V : } U λ λ Λ dır. Vλ I ve I bir σ _ideal olduğundan I olur. Böylee I elde edilir. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990) ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. aşağıdakiler denktir: (a) I dır. 21

28 (b) U { U :U I} = ailesi kümesinin bir örtüsü ise, I dır. () Her bir X için (d) Her bir X için = I dır. I dır. (e) _kapalı olan her bir kümesi için I (f) X kümesi içermiyorsa I dır. B B koşulunu sağlayan boştan farklı bir B kümesini İspat: (a) (b) U ailesi kümesinin bir örtüsü olsun. O halde her bir x için x i içeren öyle bir I olur. U x komşuluğu vardır ki Ux I dır. I olduğundan (b) (a) Uyuşmanın tanımı doğrudan verilmiştir. İspat açıktır. (a) () I ve X olsun. O halde, x U N(x): U I I dır. = ise x olur. Böylee, U N(x):U I yazılır. I olduğundan I olmalıdır. () (a) X için edilir. Böylee, = olsun ve x verilsin x elde U N(x):U I yazılır. Hipotezden I olduğundan I olur. (a) (d) I ve X olsun. x ( ) verilsin. O zaman, x x x U N(x):U I yazılır. ( ) U U olduğundan I olduğundan I elde edilir. U I yazılır. 22

29 (d) (a) Her bir X için I olsun. X ve x ( ) verilsin öyleki, x U N(x):U I sağlansın. O halde ( ) = olur. Hipotezden Buradan I olduğu bulunur. (a) (e) çıktır. ((a) (d) den dolayı.) = I yazılır. ki, (e) (a), _ kapalı olsun. O halde dır. X verilsin öyle x U N(x):U I sağlansın. Bu durumda ( ) = dir ve ( ) halde hipotezden, yazılır. I ( ) ( ) ( ) ( ) elde edilir. O halde = = olduğundan, (a) (f) I dır. = I I ve X kümesi B kümesi _ kapalıdır. O B koşulunu sağlayan boştan farklı bir B kümesi içermesin. Hipotezler altında kabul edelim ki I olsun. O zaman I olduğundan, x : Ux N( x) için Ux I dır. Dolayısıyla B= { x} alırsak x B olur. Buradan Dolayısıyla I olmalıdır. B olur. Bu ise hipotez ile çelişir. B ve B 23

30 (f) (a) X kümesi kümesi içermiyorsa I olsun. B B koşulunu sağlayan boştan farklı bir B Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. I ise aşağıdakilere denktir: (a) Her bir X için (b) Her bir X için ( ) = = = () Her bir X için = İspat:(a) (b) = = olsun. ve olduğundan = ise = olur. Dolayısıyla ( ) = dir. (b) () Her bir X için ( ) şeklinde yazılabilir. = olsun. = ( ) yrıa B = B B olduğundan, yazılabilir. Hipotez gereği, = = = olduğu sonuuna ulaşılır. ( ) () (a) Her bir X için = olsun. Eğer = ve hipotezden = olur. = ise (a) (b) () (a) olduğundan teorem ispatlandı. 24

31 Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay ve I ile uyuşan bir ideal olsun. kümesinin _ kapalı olması için gerek ve yeter şart _ kapalı bir kümeyle I idealindeki bir kümenin birleşimi şeklinde yazılabilmesidir. İspat:, _ kapalı olsun. O halde dır. Buradan = ( ) yazılabilir. Teorem (e) den olduğundan gereklilik ispatlanır. I ve teorem iii. ile _ kapalı = B I,I IveX B olsun. O zaman I = olduğundan = = = olur. Yani B I B l B B kapalıdır. dir, ve buradan, _ Sonuç (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. I ise, (,I) { U I :U ve I I} β = β = ailesi bir topolojidir. Yani β = dir. İspat: _ kapalı olsun. X dır. β ailesi için bir baz olduğundan X β olduğunu göstermek ispatı tamamlar ile _ kapalı olduğundan, teorem = X U I,U ve I I şeklinde yazılabilir. Buradan, X = X X U I = X X U I = U I = U I yazılır. O halde X β dır. Yani β = dır. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990) ( X, ) topolojik uzayının kalıtsal Lindelöf olması için gerek ve yeter şart kümelerinin idealidir. I olmasıdır. Burada I X in sayılabilir alt 25

32 İspat: Sayılabilir kümelerin sayılabilir sayıdaki birleşimleri de sayılabilir bir küme olduğundan gösterelim. I bir σ _ idealdir. Teorem den gereklilik açıktır. Yeterliliği I olsun, fakat ( X, ) kalıtsal Lindelöf olmasın. O halde X in sayılmayan öyle bir alt kümesi vardır ki her bir x için U sayılabilir olaak şekilde bir U N(x) vardır. Buradan ( I ) = ve I şartlarını sağlayan bir kümesi vardır. Fakat I olduğundan Teorem () ye göre I olmalıydı. Çelişki. O halde ( X, ) kalıtsal Lindelöf uzayıdır I f yi İçeren İdealler gösterileektir. I f ile bir X kümesinin sonlu elemanlı alt kümelerinin ideali Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. O zaman her x X için { x} I olması için gerek ve yeter şart her X için d = olmasıdır. Burada göre yığılma noktalarının kümesidir. İspat: x d x U U ( { x} ) d, kümesinin ( {}) ( {}) ( {}) x l x x x x ( {}) x x = önermesi doğru olduğundan, eğer { x} I I I X, topolojisine I ise {} x = d olaağından, x x önermesi sağlanır. Böylee d = elde edilir. Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) X, bir topolojik uzay, X olsun. Eğer d ise kümesine kendi içinde yoğundur denir. Burada kümesinin topolojisine göre yığılma noktalarının kümesidir. d, 26

33 Kendi içinde yoğun ve kapalı bir kümesine mükemmel küme denir. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde topolojisiyle uyuşan bir ideal ve her bir x X için { x} I olsun. Eğer X kümesi _ kapalı bir küme ise, topolojisine göre mükemmel bir kümeyle I idealindeki bir kümenin birleşimi şeklinde yazılabilir. İspat: _ kapalı olsun. O halde = I şeklinde yazılabilir, burada I I dır.yrıa I ( ) = dır. ( ) = olur ve buradan kapsamı doğrudur. I olduğundan d = bulunur. Teorem ile = ( ) elde d d edilir. ( ) ( ) olduğundan ( ) d olur. Bu yüzden, topolojisine göre mükemmel bir kümedir. = I olduğundan ispat biter. Sonuç (Cantor Bendixson Teoremi) ( X, ) kalıtsal Lindelöf uzayı (veya ikini sayılabilir uzay) olsun. O halde X kümesi biri mükemmel diğeri sayılabilir olan iki kümenin birleşimi şeklinde yazılabilir. İspat: Teorem ile I dir, burada I X in sayılabilir alt kümelerinin idealidir. I idealinin tanımından her bir x X için { x} I dir. = X seçilirse teorem nin koşulları sağlanır. Tanım (Jankovi ve Hamlet, 1990) X, bir topolojik uzay, X olsun. Eğer d = ise kümesine ayrık küme denir. Eğer kümesi kendi içinde yoğun boştan farklı bir küme içermiyorsa bu kümeye aralıklı küme denir. Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. şağıdakiler denktir: 27

34 (a) I ve her bir x X için { x} I (b) ( X, ) uzayındaki aralıklı kümeler I idealindedir. () ( X, ) uzayındaki ayrık kümeler I idealindedir. İspat: (a) (b) X olsun. Teorem ile (b) sağlanır. d = ve teorem (f) ile (b) () Tanımlar karşılaştırılırsa aralıklı bir küme aynı zamanda ayrıktır. O halde (b) () ispatlandı. () (a) Her bir x X için { } olsun. O zaman O halde kümesi, d x ayrık olduğundan { x} I dır. X = olduğundan ( X, ) uzayında olaaktır. I olur. Teorem (d) ile I elde edilir. Böylee teorem ispatlandı. Sonuç (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, sayılabilir alt kümelerinin ideali olsun. şağıdakiler denktir: I X in (a) ( X, ) kalıtsal Lindelöftür. (b) ( X, ) kalıtsal Lindelöftür. () I kümesi (d) I kümesi X, uzayında aralıklı ise I I dir. X, uzayında ayrık ise I I dir X=X Koşulunu Sağlayan Uzaylar Tanım (Jankoviç ve Hamlet, 1990) Eğer U int( lu ) X, bir topolojik uzay, U olsun. = koşulu sağlanıyorsa U kümesine düzenli açık küme denir. 28

35 bazdır. Gerçekten, olduğundan { ( )} R S = U :U = int l U ailesi X üzerinde yeni bir topoloji için a) Her X int( l) için daima int l( int( l) ) b) U ve her X için, U,V R S ise ( ( )) = int l U int lu int l U V R olur. R S ailesini baz kabul eden topoloji topolojisinin yarı_düzenleştirilmişi denir. kabadır. Yani S uzay denir. dır. Eğer S S = dır. S ile gösterilir. S topolojisine S topolojisi topolojisinden daha = koşulu sağlanırsa topolojisine yarı_düzenli Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. şağıdakiler denktir: (a) X = X (b) I = { } () I I int( I ) = (d) U için U U İspat: (a) (b) x X x X U N(x) X U I { } U N(x)U I I = 29

36 (b) () I I olsun. int( I ) olsaydı, x I için x in bir U açık komşuluğu U I olaak biçimde bulunurdu. O halde U I olurdu. Bu hipotezle çelişir. O halde int( I ) = dir. () (d) U ve x U olsun. x U olsaydı, x V :U V sağlanırdı. = V U olduğundan I = V U seçilirse, I I ve int( I ) olur. Bu sonuç hipotezle çelişir. O halde x U olmalıdır. Yani U U dır. (d) (a) U için U U olduğundan özel olarak U X = seçilirse X X X olaağından X = X elde edilir. Teorem de Çünkü X ( I, ) X ( I, ) X, topolojik uzayı = eşitliği sağlanır. X, uzayı ile değiştirilebilir. Lemma (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) ve ( X,σ ) birer topolojik uzay, σ olsun. Her bir V σ için l ( V) = lσ ( V) ise S = σs dir. { } { } İspat: R = U : U = int ( l ( U) ) ve σ V σ :V intσ ( lσ ( V) ) R = = aileleri sırasıyla S ve δ S için birer bazdır. σ R R σ dır. V σ olduğundan lv = l Vdir. σ σ olur. Daima V int ( l V) olduğundan R olsun. V lduğundan σ int l V = int lv int l V = V σ σ σ int lv = V olur. Böylee V R olur. O halde Rσ R dır. Buradan R =R σ ve dolayısıyla S = σ dir. S Teorem (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve X = X olsun. O zaman S ( ) s = dir. 30

37 İspat: V olsun. O zaman teorem den açıktır ki V ve buradan da l( V) l ( V) olur. l ( V) l( V) l V sağlandığından lv l ( V) = bulunur. Lemma gereği S ( ) V V dır. Böylee her zaman = dir. Sonuç (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve X İspat: = X olsun. Eğer = = olduğundan ispat biter. s s X, yarı düzenli ise, o zaman = dır. Lemma (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve X olsun. O zaman ( )( I ) = ( I) eşitliği doğrudur. Burada { } I = I : I I ile tanımlı üzerindeki idealdir. İspat: β = { V I :V ve I I } ailesi ( I ) = { ( ) } ailesi de ( I ) γ U I :U ve I I topolojik uzayının, topolojik uzayının bazlarıdır. S V U :V = U J I I I : J = I olduğundan, yazılabilir. Buradan β γ V J = V J = U I ( U) ( I ) ( U) ( U I ) = = = U I ( ) = olduğu elde edilir. O halde ( ) ( I ) ( I) = dır. 31

38 Teorem Eğer X, bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve X olsun. ise, o zaman ( ) = S ( ) S İspat: I = { } olduğunu gösterelim. U ( I ) olsun. O zaman U I ve öyle bir V vardır ki U V = dır. O halde ( V ) = ve olduğundan V = olur. V V U = bulunur. Yani I { } teorem den ( ) ( )( I ) ( )( I ) ( I) s = dir. O halde teorem den = dir.lemma ya göre de = olduğundan ( ) ( ) s s s = elde edilir. olduğu göz önüne alınırsa = ve Sonuç (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve X olsun. Eğer = ise, o zaman ( ) = ( ) dir. Sonuç (Jankovi ve Hamlet, 1990)( X, ) bir topolojik bir uzay, I X üzerinde bir ideal ve X X I olsun. O zaman = dir. İspat:, B X için B = B B olduğundan X S X S s s X X = X X X = dir. Buradan X X bulunur. yrıa her X için doğru olduğundan ile ( ) ( ) X s = elde edilir. X s X X dır. Böylee X = X ve sonuç

39 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ 2. BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Bu bölümde topolojik ve ideal topolojik uzaylardaki bazı süreklilik çeşitleri inelenerek, bu süreklilik çeşitleri ile süreklilik arasındaki ilişkiler araştırılaaktır. ( X, ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. ( X,,I) bir ideal topolojik uzay denir. üçlüsüne Burada l () ile kümesinin bölüm 1.3 de tanımlanan l. Kuratowski kapanış operatörü ile üretilen 2.1. Süreklilik Çeşitleri Tanım (Levine, 1961) f: ( X, ) ( Y, σ) topolojisine göre kapanışı gösterileektir. bir fonksiyon, x X olsun. f(x) V σ x U : f(u) l (V) önermesi doğruysa, f fonksiyonu x noktasında zayıf süreklidir(ω - süreklidir) denir. X kümesinin her noktasında ω - sürekli olan fonksiyona ω - sürekli fonksiyon denir.(fomin, 1943) σ f(x) V x U : f l (U) l (V) önermesi doğruysa, f fonksiyonu x noktasında θ - süreklidir denir. X kümesinin her noktasında θ - sürekli olan fonksiyona θ - sürekli fonksiyon denir. Not f: ( X, ) ( Y, σ) fonksiyonu θ - sürekli ise ω - süreklidir. Gerçekten olduğundan f ( U) f ( l ( U) ) U l U olur. Tanımlar karşılaştırılırsa hükmün doğruluğu açıkça elde edilir. nak aşağıdaki örnekten de anlaşılaağı gibi ω - sürekli olan bir fonksiyonun θ - sürekli olması gerekmez. σ σ 33

40 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Örnek X = { 1234,,, }, = {,X,{ 2},{ 12, },{ 24, },{ 124,, },{ 123,, }} { } σ { { } { } { } { } { } { }{ }} Y = a,b,,d,e, =,Y,a,b,,a,b,a,,b, a,b, ( ) ( σ) fonksiyonu f {(,a),( 1 2,d ),( 3,e),( 4,b) } f: X, Y, ω - süreklidir. Gerçekten, = ile tanımlansın. f i)1 X ve V = {a},v = {a,b},v = {a,},v = {a,b,} veya V = Y olsun. {a,d,e} l σ (V) dir. U { 12, } ii) 2 X ve V Y = olur. = seçelim. f ( U ) {a,d } l ( V) = olsun. Bu durumda bir U kümesi için f ( U) l ( V) olur. iii) 3 X ve V Y σ = olsun. Bu durumda da olan bir U kümesi için f ( U) l ( V) olur. σ lσ V = Y olduğundan 2 U olan lσ V = Y olduğundan 3 U iv) 4 X ve V = {b},{a,b},{b,},{a,b,} veya V = Y olsun. dir. U = { 24, } seçelim. f ( U ) {d,b} l ( V) {b,d,e} l V σ = olur. Bu durumda f ω - süreklidir. nak 1 X için V = {a} kümesini ve 1 U olan herhangi bir U ( ) { } σ { } kümesini seçelim. σ l U = X dir. O halde f l U = a,b,d,e l V = a,d,e dir. O halde f θ - sürekli değildir. Önerme f: ( X, ) ( Y, σ) fonksiyonu sürekli ise θ - süreklidir İspat: x X ve f ( x) V σ olsun. f sürekli olduğundan x U ve f ( U) V olaak şekilde bir U açık kümesi vardır. f sürekli olduğundan l f ( U) dur. ynı zamanda f ( U) V olduğundan l f ( U) f lu dir. Dolayısıyla f ( lu) σ l V olur. Böylee f θ - süreklidir. σ σ σ l V şağıdaki örnekten θ - sürekli bir fonksiyonun sürekli olması gerekmediğini anlarız. σ 34

41 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Örnek X = { 1234,,, }, = {,X,{ 1},{ 12, },{ 13, },{ 123,, }} f:x X, f = {( 11, ),( 24, ),( 33, ),( 42, )} ile tanımlı f fonksiyonu θ - süreklidir. Gerçekten, i)1 X ve V olsun. l (V ) = X dir. U = { 1} seçilirse l (U) = X ve ( ) f l U = X l V = X olur. ii) 2 X ve V X ve ( ) = olsun. f l U = X l V = X U { 13, } l V = X dir. U { 12, } iii) 3 X ve V = { 13, },V = { 123,, } veya V X = seçilirse l ( U) = X ve ( ) l U X = seçilirse = olsun. f l U = X l V = X olur. iv) 4 X ve V = { 12, },V = { 123,, } veya V X ( ) U = X seçilirse f l ( U) = X l V = X olur. = olsun. = l V = X dir. l V = X dir. O halde f fonksiyonu θ -süreklidir. Fakat V = { 12, } için 1 f V { 14, } = olduğundan f sürekli değildir. Süreklilik, θ - süreklilik ve ω - süreklilik arasında aşağıdaki gibi bir gerektirme diyagramı verilebilir: Süreklilik θ - süreklilik ω - süreklilik Tanım (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( X, ) bir topolojik uzay, ( Y, ϕ,i) bir ideal topolojik uzay ve f: ( X, ) ( Y, ϕ,i) bir fonksiyon olsun. Eğer, x Xve f(x) V ϕ için koşulu sağlanırsa f fonksiyonu ω I x U : f(u ) l (V ) - sürekli fonksiyon denir. 35

42 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Not (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ϕ ϕ olduğundan l ( V) lϕ ( V) dir. O halde her ω I önermenin tersinin doğru olmadığını anlatır. - sürekli fonksiyon ω - süreklidir. nak aşağıdaki örnek bu Örnek X = { 1234,,, }, = {,X,{ 1},{ 2},{ 12, }}, ϕ = {,X,{ 3},{ 23, }} ve = olsun. f: ( X, ) ( X, ϕ,i) I {,{ 3 }} Gerçekten, f(x) = x fonksiyonu ω - süreklidir. i)1 X ve V = X olsun. O halde U = { 12, } kümesi için 12 f U = {, } l V = X olur. ϕ ii) 2 X ve V = { 23, } veya V = X olsun. U = { 12, } kümesi için 12 f U = {, } l V = X olur. ϕ iii) 3 X ve V = { 3},V = { 23, } veya V = X olsun. U = X kümesi için f U = X l V = X olur. ϕ iv) 4 X ve V = X olsun. U X f U = X l V = X olur. = kümesi için ϕ O halde f fonksiyonu ω - süreklidir. Fakat V = { 3} ϕ kümesi için { 3 } = ve 3 l { 3} = { 3} { 3} = { 3} olur. 3 U = X denirse f U = X l V = { } olur ki bu f fonksiyonunun ω I - sürekli olmadığını gösterir. Önerme f: ( X, ) ( Y, ϕ,i) fonksiyonu sürekli ise ω I - süreklidir. İspat: f sürekli olduğundan x X ve f(x) V ϕ için dir. Öte yandan V V V = l ( V) olduğundan f ( U) l ( V) x U :f U V yazılır. Buradan f ω I - sürekli olur. Önerme nin tersinin doğru olmadığını aşağıdaki örnekten anlarız. 36

43 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Örnek X = { 1234,,, }, = {,X,{ 2},{ 124,, }}, ϕ = {,X,{ 13, }} ve = { 4 } olsun. f: ( X, ) ( X, ϕ,i) I,{ } f(x) = x fonksiyonu ω I - süreklidir. Gerçekten, i)1 X ve V = { 13, } veya V = X olsun. O zaman denirse 13 f U = {, } l V = X olur. V = X dir. U = { 13, } ii) x = 2 veya 4, f(x) V = X olsun. O zaman x U = X için f U = X l V = X olur. iii) 3 X ve V = { 13, } veya V = X olsun. O zaman U = X kümesi için f U = X l V = X olur. O halde f ω I - süreklidir. Fakat V {, 13} ϕ olduğundan f sürekli değildir. 1 = için, f V = {, 13} kurulabilir. Şimdiye kadar olan bilgiler ışığında aşağıdaki gerektirme diyagramı Not θ - süreklilik ile Süreklilik θ süreklilik ω I süreklilik ω süreklilik ω I da tanımlı özdeşlik fonksiyonu ω I Örnek deki fonksiyon ise θ süreklidir fakat - süreklilik birbirlerinden bağımsızdır. Örnek - süreklidir, fakat θ sürekli değildir. ω I - sürekli değildir. Teorem (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) f: ( X, ) ( Y, σ,i) fonksiyonunun 1 1 için f ( V) int f l ( V) ω I - sürekli olması için gerek ve yeter şart her bir V Y kümesi olmasıdır. 37

44 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ 1 İspat: V σ herhangi bir küme ve x f ( V) 1 olduğundan öyle bir x U f l ( V) 1 1 edilir. Böylee f ( V) int f l ( V) olsun. f ω I sürekli 1 ve böylee x int f l ( V) bulunur. x X ve f( x) V σ olsun. O zaman, x f 1 V int f 1 l V 1 dir. ( ) { } 1 1 ( ) U = int f l V f U = f int f l V f f l V l V f fonksiyonunun ω I sürekli olduğunu gösterir. Teorem (Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) I = { } olsun. elde olsun. O zaman elde edilir ki bu sonuç O zaman, f :( X, ) ( Y,, I) σ fonksiyonunun ω I sürekli olması için gerek ve yeter şart ω sürekli olmasıdır. İspat: Not den açık. { } I = ideali için örnek e göre her bir Y için = l = l olur. Bu da ispatı bitirir. Tanım (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( X,,I) bir ideal topolojik uzay ve X olsun. fr = int kümesine nın sınırı denir. Tanım (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) f: ( X, ) ( Y, ϕ,i) fonksiyonu, V ϕ 1 için X f fr V oluyorsa f fonksiyonuna σ ω I sürekli fonksiyon denir. Önerme f: ( X, ) ( Y, ϕ,i) fonksiyonu sürekli ise ω I süreklidir. 1 İspat: V ϕ ve x X f fr ( V) olsun. O halde, 38

45 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ ( ) x f 1 fr V f(x) fr V = V int V = V V Dolayısıyla f ( x) V veya f ( x) V f ( U) dır. 1) f(x) V olsun. f sürekli olduğundan öyle bir x U kümesi vardır ki V dir. Dolayısıyla, 1 1 [ ] ( ) 1 U f ( fr ( V) ) = 1 x U X f ( fr ( V) ) f U V V = f f(u) f fr V = 1 olur. Bu sonuç X f fr ( V) kümesinin açık olduğunu gösterir. 2) f(x) V olsun. O halde öyle bir f(x) U ϕ vardır ki U V I olur. 1 f sürekli olduğundan x f U dır. 1 1 İddia: x f ( U) X f fr ( V) dir. Gerçekten, 1 a f U f(a) U dır. U V I olduğundan, 1 ( ) 1 ( ) f(a) V f(a) V V = fr V a f fr V a X f fr V 1 olur. O halde iddiamız doğrudur. Yani X f fr ( V) Böylee önerme ispatlandı. açıktır. şağıdaki örnek önerme nın tersinin doğru olmadığına dair bir örnektir. Örnek X = { 1234,,, }, = { } ϕ = {,X,{ 23, },{ 14, } ve I = {,{ 1},{ 4},{ 14, } olsun. ( ) ( ϕ ),X,{ },{ },{, },{,, }, f: X, Y,,I,f(x) = x fonksiyonu ω I süreklidir. Gerçekten, 39

46 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ i) x = 1 veya 4 ve V {, 14} ϕ 1 = = dir. Böylee f fr ( V) fr V V V = olsun. V ({, }) ii) x = 2 veya 3 ve V { 23, } ϕ 1 = = dir. Böylee f fr ( V) fr V V V halde f değildir. = 14 = olduğundan = ve X = X olur. = olsun. ω I süreklidir. Fakat V { 23, } ϕ V = { 23, } = { 23, } ve = ve X = X olur.o 1 = için f V = { 23, } f sürekli Teorem (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) f: ( X, ) ( Y, ϕ,i) fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart hem ω I sürekli olmasıdır. İspat: Önerme ve önerme den açıktır. ω I sürekli hem de x X ve f(x) V ϕ olsun. f ω I sürekli olduğundan öyle bir vardır ki f ( U) l ( V) dır. x U 1 dir. Böylee x f fr ( V) f(x) fr V ( ) 1 U f fr V kümesi x i içeren açık bir kümedir. ( ) 1 ( ) ( ) Şimdi 1 fr V V int V V V = = olduğundan dir ve f ω I sürekli olduğundan f U f fr V V olduğu gösterilirse ispat tamamlanır. y U f fr V olsun. O zaman y U olduğundan 1 y f fr V olmasını gerektirir. Not ve buradan f ( y) l ( V) f(y) fr V V V dir. Fakat = olur ki bu f(y) V ω I süreklilik ve ω I süreklilik birbirlerinden bağımsızdır. Gerçekten, örnek de tanımlı fonksiyon değildir. O halde bu fonksiyon ω I ω I süreklidir, fakat sürekli sürekli değildir. Örnek deki fonksiyon 40

47 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ ise ω I süreklidir, fakat sürekli değildir. Bu yüzden bu fonksiyon ω I sürekli değildir Regüler Uzay, RI- Uzayı ve FI - Uzayı Bu kısımda süreklilik çeşitlerinin denk olduğu durumları ineleyeeğiz. Tanım X, bir topolojik uzay, x X olsun. x noktasının her bir açık U komşuluğu için bu noktanın öyle bir H komşuluğu l ( H) U olaak şekilde varsa ( X, ) topolojik uzayına regüler uzay denir. Yani bir topolojik uzayın regüler uzay olması için gerek ve yeter şart kapalı kümelerden oluşan bir komşuluk tabanının olmasıdır. Teorem (Kuyuu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( Y,σ ) bir regüler uzay olsun. ( ) ( σ ) f: X, Y,,I fonksiyonu için aşağıdakiler denktir: a) f süreklidir. b) f θ süreklidir. ) f ω I süreklidir. d) f ω süreklidir. İspat: a b d ve a d gerektirmelerinin sağlandığı önerme , not ve önerme , not ye göre açıktır. d a f ω sürekli ve x X olsun. O halde f x in her V açık komşuluğu için x in öyle bir U açık komşuluğu vardır ki f ( U) l ( V) yazılabilir. ( Y,σ ) regüler uzay olduğundan f vardır ki lσ ( H) V dir. f ω sürekli olduğundan f vardır ki f ( M) l ( H) dir ve böylee sürekli olduğunu gösterir. σ x in öyle bir H açık komşuluğu x in H açık komşuluğu f M V olur. Bu da f fonksiyonunun σ 41

48 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ a b d a ve a d a olduğundan ispat biter. Tanım (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( X,,I) bir ideal topolojik uzay, x X olsun. x in her bir açık V komşuluğu için x U l ( U) V olaak şekilde x in bir U komşuluğu varsa ( X,,I) uzayına RI uzayı denir. Tanımdan her regüler uzayın bir RI uzayı olduğu görülür. Teorem (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( Y, σ,i) bir RI uzayı olsun. O zaman f: ( X, ) ( Y, σ,i) ω I sürekli olmasıdır. İspat: Gereklilik açıktır. fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart x X ve V Y f ( x ) i içeren keyfi bir açık küme olsun. ( Y,,I) σ bir RI uzayı olduğundan öyle bir W σ kümesi vardır ki f(x) W l ( W) V dir. f ω I sürekli olduğundan öyle bir U kümesi vardır ki x U ve f ( U) V elde edilir. Bu sonuç f fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterir. Tanım (çıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( X,,I) bir ideal topolojik uzay olsun. Her bir U açık kümesi için l( U) U oluyorsa ( X,,I) uzayı denir. Lemma ( Y,,I) bir FI - uzayı ve f: ( X, ) ( Y, σ,i) uzayına bir FI - fonksiyonu bir ω I sürekli fonksiyon olsun. O zaman her bir V Y açık kümesi için 1 1 ( ) dır. l f V f l V ( ) 1 1 İspat: x l f ( V) f l V olduğunu varsayalım. O halde f(x) l ( V) dir. Buradan f(x) V ve f(x) V dır. Y bir FI - uzayı olduğundan 42

49 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ f(x) l( V) dir. Böylee f W V = dir. V açık olduğundan V l( W) dir. f x i içeren öyle bir W açık kümesi vardır ki = ve buradan V l ( W) = ω I sürekli olduğundan x i içeren öyle bir U X açık kümesi vardır ki dir. Buradan f ( U) 1 1 ( ) olduğundan x l f ( V) f U l W x l f V 1 1 ( ) l f V f l V 1 1 ( ) l f V f l V V = elde edilir. Öte yandan ve böylee = olmalıdır. Buradan dir. Böylee lemma ispatlandı. Teorem (Kuyuu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( X,,I) uzayının bir FI - uzayı olması için gerek ve yeter şart her bir U { } kümesi için U I olmasıdır. İspat: ( X,,I) bir FI - uzayı olsun. Öyle bir U { } olduğunu varsayalım. x U olsun. O zaman x l( U) kümesi için U I dır. O halde l( U) U dır. Bu ise bir çelişkidir. O halde U I olaak şekilde bir U { } kümesi yoktur. Her U { } için U I olsun. X in açık bir alt kümesi olsun. x l ise, o zaman x in her bir U açık komşuluğu için U dir. yrıa { } U olduğundan, U I dır. Böylee x O halde l dır. Sonuçta ( X,,I) bir FI - uzayı olur. elde edilir. Böylee teorem ispatlandı. Tanım (Kuyuu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( X,,I) bir ideal topolojik uzay olsun. Eğer I = { } I ise I idealine eş_yoğun ideal denir. Sonuç ( X,,I) uzayının FI - uzayı olması için gerek ve yeter şart I idealinin eş_yoğun olmasıdır. 43

50 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ Sonuç in ispatı teorem den açıktır. I ideali eş_yoğun bir ideal ise ( X,,I) uzayı bir FI - uzayıdır. Buradan her bir U için U l( U) U olur. Eğer her bir U için U U ise, l U U kümesini kapsayan en dar kapalı küme olduğundan U l( U) U dır ve buradan ( X,,I) uzayı bir FI - uzayı olur. Böylee aşağıdaki sonuç verilebilir: Sonuç ( X,,I) bir ideal topolojik uzay olsun. I idealinin eş_yoğun olması için gerek ve yeter şart, her bir U için U U olmasıdır. Teorem (Kuyuu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( X,,I) uzayı bir FI - uzayı ve U olsun. şağıdakiler denktir: a) ( ) U = l U = lu = l U = lu, b) l ( lu) l( l U) l ( U ) = =. İspat:a) ( X,,I) uzayı bir FI - uzayı olduğundan U ise lu U dır. Teorem iv ile Böylee U ( lu ) olduğundan lu U U ve U lu = olur. l U U l U U U olduğundan U ( lu ) = ve ( X,,I) dır. uzayı bir FI - uzayı = olur. Sonuçta teorem iii ile l( U ) ( X,,I) uzayı bir FI - uzayı olduğu için de l( U) U ispatlanır. = U olur. = olur. Böylee ilk kısım b) U için, 44

51 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ = = = l( U U) = l( l U) = l ( U ) l lu lu lu l U lu dır. Böylee ikini kısım da ispatlanır. Teorem (Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) I eş_yoğun bir ideal ve ( Y, σ,i) bir ideal topolojik uzay olsun. O zaman aşağıdakiler denktir: a) f: ( X, ) ( Y, σ,i ) fonksiyonu ω I süreklidir. İspat: a b) Y deki yarı_açık her V kümesi için öyle bir G açık kümesi vardır ki 1 1 G V ve f ( G) int f ( V ) dır. 1 1 ) Y deki açık her G kümesi için f ( G) int f ( G ) dır. b f ω I sürekli ve V ( Y,σ ) uzayında yarı_açık bir küme olsun. O halde öyle bir G σ vardır ki G V l( G) sağlanır. I eş_yoğun olduğundan teorem ile G l( G) l ( G) = = dir. Bundan dolayı = = dir. Teorem ile 1 f ( G) int f 1 l ( G) G V l G f 1 G int f 1 V dır. G V G ve buradan ( ) ve böylee b Her açık küme aynı zamanda yarı_açık olduğundan ispat biter. a I eş_yoğun olduğundan teorem ile G σ için G l ( G) = ve teorem ile de f ω I süreklidir. Böylee teorem ispatlandı. Teorem (Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) I eş_yoğun bir ideal, ( Y, σ,i) bir ideal topolojik uzay ve f: ( X, ) ( Y, σ,i) ω I sürekli olsun. O zaman her bir ( ) G σ açık kümesi için l f ( G) f l G = f G dır. 45

52 2.BZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ İspat: 1 1 ( ) x l f G f l G dolayısıyla f ( x) G = l( G) dir. Böylee 1 olsun. Teorem ile x f ( G ) f x i içeren öyle bir W σ açık kümesi vardır ki W G = dır.buradan l( W) G = l ( W) G = elde edilir. f ω I sürekli olduğundan x i içeren öyle bir V açık kümesi vardır ki 1 dır. Böylee f ( V) G = dir. x l f ( G) f V l W 1 ve buradan f ( V) 1 1 ( ) ( ) V f G l f G f l G Böylee teorem ispatlandı. olduğundan G olur. Buda bir çelişkidir. O halde = dir. Yani iddia doğrudur. Sonuç (Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) ( X, ) ve ( Y,σ ) iki topolojik uzay, ( ) ( σ) ω sürekli olsun. O zaman f: X, Y, 1 1 ( ) l f G f l G dir. İspat : Teorem da I = { } seçilirse σ = σ olaağından ispat biter. Teorem (Kuyuu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( X, ) bir regüler uzay ve ( Y, σ,i) bir FI - uzayı olsun. f: ( X, ) ( Y, σ,i) ve yeter şart ω I sürekli olmasıdır. θ sürekli olması için gerek İspat f θ sürekli, x X ve V f ( x ) i içeren herhangi bir açık küme olsun. f θ sürekli olduğundan x i içeren öyle bir U açık kümesi vardır ki ( ) l( V) dir. O zaman ( Y,,I) f l U ( ) = σ bir FI - uzayı olduğundan, f U f l U l V V V U V l V dir. Buradan f ω I süreklidir. f ω I süreklidir, x X ve V f x i içeren herhangi bir açık küme olsun. f ω I sürekli olduğundan, x i içeren öyle bir açık U kümesi vardır ki 46