T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR Zehra ER YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalı Eylül-2015 KONYA Her Hakkı Saklıdır

2

3

4 ÖZET YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR Zehra ER Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı DanıĢman: Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL 2015, 32 Sayfa Jüri Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL Prof. Dr. EĢref HATIR Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN Bu çalışma sekiz bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde tezde kullanılan kavramların literatür bilgileri kısaca verildi. İkinci bölümde soft küme teori ve 2011 yılında Sabir ve Naz tarafından verilen soft topolojik uzaylarla ilgili temel kavramlar ve bazı özellikler hatırlatıldı. Üçüncü bölümde soft bağlantısız kümeler, soft bağlantılı kümeler, bazı yeni kavramlar ve temel teoremler verildi. Dördüncü bölümde soft bağlantılı uzay kavramı ve temel teoremler verildi. Beşinci bölümde soft bağlantılı alt uzay, soft kapanış noktası, soft yoğun küme kavramları ve bunlarla ilgili örnekler verilip bazı yeni teoremler verildi. Altıncı bölümde soft bileşen kavramı ve özellikleri incelenip bazı yeni teoremler verildi. Yedinci bölümde soft tamamen bağlantısız uzay kavramı verilip özellikleri incelendi. Son bölümde soft lokal bağlantılı uzay kavramı verildi ve temel özellikleri incelendi. Anahtar Kelimeler: Soft bağlantılı küme, soft bağlantısız küme, soft bağlantılı uzay, soft bağlantılı alt uzay, soft bileşen, soft tamamen bağlantısız uzay, soft lokal bağlantılı uzay iv

5 ABSTRACT MS THESIS SOFT CONNECTED SPACES Zehra ER THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS DEPARTMAN Advisor: Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL 2015, 32 Pages Jury Prof. Dr. ġaziye YÜKSEL Prof. Dr. EĢref HATIR Yrd. Doç. Dr. Yusuf BECEREN This study consists of eight sections. In the first section; the introduction which has been summarized briefly literatüre knowledge of concepts used in thesis was given. In the second section; the basic concepts and some properties about soft set theory and soft topological spaces was proposed Shabir and Naz in 2011 were reminded. In the third section; the definition soft disconnected sets, soft connected sets, some new concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given. In the fourth section; the definition of soft disconnected spaces, soft connected spaces, some new concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given. In the fifth section; the definition of soft connected subspaces, soft cluster point, dense of set, some new concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given. In the sixth section; the definition of soft components, some new concepts and basic theorems in the soft topological spaces were given. In the seventh section; the definition of soft totally disconnected spaces, some new concepts in the soft topological spaces were given. In the last section section, the definition soft local connected spaces, some new concepts basics in the soft topological spaces were given. Keywords: Soft connected set, soft disconnected set, soft connected space, soft connected subspace, soft component, soft totally disconnected space, soft locally connected space. v

6 ÖNSÖZ Bu çalışma Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL yönetiminde yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü ne Yüksek Lisans Tezi olarak sunulmuştur. Tez çalışmamı büyük bir titizlikle ve dikkatle takip ederek bana her açıdan destek olan ve yol gösteren değerli hocam Prof. Dr. Şaziye YÜKSEL e sonsuz teşekkürlerimi ve sevgilerimi sunarım. Ayrıca, çalışmalarımda bana yardımını esirgemeyen Arş. Gör. Dr. Zehra GÜZEL ERGÜL e ve her zaman yanımda olan sevgili aileme teşekkür etmeyi bir borç bilirim. Zehra ER KONYA-2015 vi

7 ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi ĠÇĠNDEKĠLER... vii SĠMGELER... viii 1. GĠRĠġ ÖN BĠLGĠLER Soft Kümeler Soft Topolojik Uzaylar SOFT BAĞLANTILI KÜMELER SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR SOFT BAĞLANTILI ALT UZAYLAR SOFT BĠLEġENLER SOFT TAMAMEN BAĞLANTISIZ UZAYLAR SOFT LOKAL BAĞLANTILI UZAYLAR SONUÇLAR VE ÖNERĠLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMĠġ vii

8 SĠMGELER : Her : Vardır : Eşit değildir : Ait : Ait değil : Gerek şart : Yeter şart : Başlangıç evreni : Parametreler kümesi : Boş küme : soft kümesinin yaklaşık fonksiyonu : Soft küme : soft kümesinin relatif tümleyeni : Boş soft küme : üzerinde tanımlı tüm soft kümelerin ailesi : Soft kesişim : Soft birleşim : Soft alt küme : Soft fark : kümesinin güç kümesi : - tam soft küme : Tam soft küme, : Soft topolojik uzay : soft kümesinin kapanışı : soft kümesinin içi : soft kümesinin sınırı ( : noktasının soft topolojisine göre soft komşuluklar tabanı ( ) : noktasının soft topolojisine göre soft komşuluklar ailesi viii

9 1 1. GĠRĠġ Belirsizlik problemleri için matematikçiler, mantıkçılar ve filozoflar uzun bir süredir uğraşmaktadırlar. Son zamanlarda bu tür problemler bilgisayar ve yapay zeka ile ilgilenen bilim adamları için çok önemli olmuştur. Klasik mantığın tanımlayamadığı belirsiz kavramların matematiksel olarak ifade edilebilmesinin öneminden dolayı araştırmacılar her geçen gün yeni teoriler sunmaktadırlar. Bilinen en önemli teoriler fuzzy küme (Zadeh, 1965), soft küme (Molodtsov, 1999) ve rough küme (Pawlak, 1982) teorileridir. Kesinlik konusundaki en başarılı teorik yaklaşım şüphesiz ki Zadeh (1965) tarafından tanımlanan fuzzy teorisidir. Bu teorinin temel fikri üyelik fonksiyonudur ve bu fonksiyon elemanları kısmi üyeliklerine göre derecelendirir. Pawlak (1982) tarafından sunulan rough küme teori, bilgiyi kesinliğe, eşitlik ilkesine dayandıran farklı bir yaklaşımdır. Rough küme metodunun avantajı veri hakkında fuzzy kümedeki üyelik fonksiyonu gibi herhangi bir ek bilgiye ihtiyaç duymamasıdır. Molodtsov (1999) kesinliği model alan yeni bir teori olarak soft küme teoriyi ve temel özelliklerini tanımladı. Soft kümeler evrenin parametrelenmiş alt kümeleri olduğundan geniş bir alanda birçok uygulamaya sahiptir yılından itibaren de bazı yazarlar soft kümelerin topolojik özelliklerini incelemektedir. İlk olarak Shabir ve Naz (2011) soft topolojik uzayı, soft açık, soft iç nokta ve bir noktanın soft komşuluğunu tanımladı. Çağman ve arkadaşları (2011) soft topolojiye farklı bir yaklaşımda bulunarak, soft açık, soft iç, soft kapanış, soft limit noktası, soft Hausdorff uzayı tanımladılar. Aygünoğlu ve Aygün (2011) soft dönüşümlerin sürekliliğini, soft çarpım topolojisini, soft kompaktlık ve genelleştirilmiş Tychonoff teoremini soft topolojik uzayda çalıştılar. Zorlutuna ve arkadaşları (2012) soft iç nokta, soft komşuluklar ve soft süreklilik ve özelliklerini çalıştılar ve soft topoloji ile fuzzy topoloji arasındaki ilişkiyi incelediler. Hussain ve Ahmad (2011) soft iç, soft kapanış ve soft sınırlılığın birçok özelliğini araştırdılar. Bu tezde ilk olarak araştırmacılar tarafından daha önce tanımlanan soft küme ve soft topolojinin özellikleri verilmiş sonra soft bağlantılı kümeler, soft bağlantılı uzaylar,

10 2 soft bağlantılı alt uzaylar, soft bileşen, soft tamamen bağlantısız uzaylar, soft lokal bağlantılı uzaylar tanımlanıp özellikleriyle beraber incelenmiştir.

11 3 2. ÖN BĠLGĠLER 2.1. Soft Kümeler Bu bölümde soft kümeler ile ilgili bazı temel kavramlar verilecektir. Bu çalışma boyunca, bir başlangıç evreni ve, tüm parametrelerin kümesi olsun. Genellikle parametreler; özellikler, karakteristikler ya da evrenindeki nesnelerin özellikleridir. ailesi, kümesinin güç kümesini göstermek üzere soft küme kavramı aşağıdaki şekilde tanımlanır Tanım. (Molodtsov, 1999) evren kümesi, parametre kümesi ve olsun. küme değerli bir dönüşüm olmak üzere (yada ) ikilisine evreni üzerinde soft küme denir. Başka bir deyişle evreni üzerinde bir soft küme evren kümesinin alt kümelerinin parametrelendirilmiş bir ailesidir Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010) evren kümesi, parametre ve kümesi olsun. dönüşümü için eğer ise ve ise olmak üzere üzerinde bir soft küme sıralı çiftler şeklinde aşağıdaki şekilde tanımlanır. )):, Burada fonksiyonuna soft kümesinin yaklaşık fonksiyonu denir. nin değeri keyfidir. Bu bölümden itibaren üzerindeki tüm soft kümelerin ailesi sembolü ile gösterilecektir Tanım.(Çağman ve Enginoğlu, 2010) olsun. Her için ise soft kümesine boş soft küme denir ve ya da şeklinde gösterilir Tanım.(Çağman ve Enginoğlu, 2010) olsun. Her için ise soft kümesine -tam soft küme denir ve şeklinde gösterilir. Eğer ise -tam soft kümeye tam soft küme denir ve şeklinde gösterilir Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010), evreninin boş kümeden farklı bir alt kümesi olsun. Eğer her için ise sembolü, üzerindeki soft kümesini gösterir. Benzer şekilde, soft kümesi de şeklinde gösterilir.

12 4 ve Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010), olmak üzere her için ise soft kümesine soft kümesinin soft alt kümesi denir şeklinde gösterilir Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010), olsun. Eğer ve ise ve soft kümelerine soft eşit kümeler denir ve şeklinde gösterilir Tanım. (Çağman ve Enginoğlu, 2010), olsun. Bu iki soft kümenin soft birleşimi, soft kümesidir. Burada ve şeklindedir Tanım. (Feng ve ark., 2008), olsun. Bu iki soft kümenin soft kesişimi, soft kümesidir. Burada ve şeklindedir Tanım. (Shabir ve Naz, 2011), olsun. Bu iki soft kümenin soft farkı soft kümesidir. Burada şeklindedir Tanım. (Shabir ve Naz, 2011), evreni üzerinde bir soft küme olsun. soft kümesinin relative tümleyeni olmak üzere, şeklinde tanımlanır, şeklinde gösterilir Önerme. (Maji ve ark., 2003; Çağman ve Enginoğlu, 2010) indeks kümesi ve, ve her olmak üzere aşağıdakiler vardır.,,,,

13 5, ( ( ), ( ( ( ( ),,,,, ise dir,, Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ve olsun. Her için ise noktası, soft kümesine aittir denir ve şeklinde gösterilir. Eğer bazı için ise noktasına, soft kümesine ait değildir denir ve şeklinde gösterilir Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) olsun. sembolü, üzerinde bir soft küme gösterir öyle ki her için şeklindedir Tanım. (Kharal ve Ahmad, 2010) ve sırasıyla ve üzerindeki tüm soft kümelerin ailesi olsun. ve iki dönüşüm olmak üzere dönüşümüne den ye soft dönüşüm denir. olsun. soft kümesinin soft dönüşümü altındaki görüntüsü üzerinde ( ) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır. { olsun. soft kümesinin soft dönüşümü altındaki ters görüntüsü üzerinde ( ) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır. {

14 6 örten ise Eğer ve bire-bir ise soft dönüşümü bire-bir dönüşümdür, eğer ve soft dönüşümü örtendir Teorem. (Kharal ve Ahmad, 2010; Zorlutuna ve Akdağ, 2012) kesin küme ve indeks kümesi olmak üzere, ve ve olsun. Aşağıdaki özellikler sağlanır. ise (, ise ( ), ( ( )), bire-bir ise eşitlik sağlanır, ( (, örten ise eşitlik sağlanır, (, (, birebir ise eşitlik sağlanır, ( ) (, ( ) (, ( (, örten ise (, ( 2.2. Soft Topolojik Uzaylar Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) sağlarsa ailesine kümesi üzerinde soft topoloji denir., ailesi aşağıdaki özellikleri,. ikilisine soft topolojik uzay, ailesinin elemanlarına da soft açık küme denir. Eğer ise kümesine soft kapalı küme denir.

15 7 Yalnızca ve soft kümelerinden oluşan soft topolojiye en kaba soft topoloji denir ve şeklinde gösterilir. üzerindeki tüm soft kümelerden oluşan soft topolojiye en ince soft topoloji denir ve şeklinde gösterilir Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) ) ve soft topolojik uzaylar olmak üzere, eğer soft topolojisine göre soft açık olan her küme soft topolojisine göre de soft açık ise soft topolojisi soft topolojisinden soft kaba ya da soft topolojisine soft topolojisinden soft ince denir. şeklinde gösterilir. Eğer ve ise soft topolojisine, soft topolojisinden kesinlikle soft kaba ya da soft topolojisine soft topolojisinden kesinlikle soft ince topoloji denir. Eğer soft topolojisi soft topolojisinden daha soft kaba ya da soft topolojisi soft topolojisinden daha soft ince ise ve soft topolojilerine karşılaştırılabilir iki soft topolojik yapı denir Teorem. (Shabir ve Naz, 2011) bir soft topolojik uzay olsun. ailesi soft kapalı kümelerin bir koleksiyonu olmak üzere aşağıdaki şartlar sağlanır.,, { : 1 i, n }, { : i I } Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) soft topolojik uzayı ve olsun. soft kümesinin soft içi şeklinde gösterilir ve kümesinin kapsadığı tüm soft açık kümelerin birleşimine eşittir Teorem. (Zorlutuna ve Akdağ, 2012) soft topolojik uzayı ve olsun. kümesinin bir soft açık küme olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır Teorem. (Zorlutuna ve Akdağ, 2012) soft topolojik uzayı ve olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır.

16 Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) soft topolojik uzayı ve olsun. soft kümesinin soft kapanışı şeklinde gösterilir ve kümesini kapsayan tüm soft kapalı kümelerin kesişimine eşittir Teorem.(Shabir ve Naz, 2011) soft topolojik uzayı ve ) olsun. kümesinin bir soft kapalı küme olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır Teorem.(Shabir ve Naz, 2011) olsun. Bu takdirde dır. soft topolojik uzayı ve Teorem. (Shabir ve Naz, 2011) soft topolojik uzayı ve ( ) olsun. Bu takdirde aşağıdaki özellikler sağlanır. ( ) Tanım. (Hussain ve Ahmad, 2011) bir soft topolojik uzayı ve olsun. kümesinin ne içine ne de dışına ait olmayan noktaların oluşturduğu kümeye, kümesinin soft sınırı denir. şeklinde gösterilir Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) soft topolojik uzayı ve ve olsun. Eğer olacak şekilde bir soft açık kümesi varsa noktasına, soft kümesinin soft iç noktası ve soft kümesine de, noktasının bir soft komşuluğu denir. noktasının bütün soft komşuluklarından oluşan aile ( ) şeklinde gösterilir Önerme. (Shabir ve Naz, 2011) soft topolojik uzayı verilsin ve olsun. ( ) soft komşuluklar ailesi aşağıdaki özellikleri sağlar.

17 9 ise ( ise ve ise Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) ve, evreninin boş kümeden farklı bir alt kümesi olsun. kümesi üzerindeki soft kümesi, şeklinde tanımlanır ve ile gösterilir Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) soft topolojik uzay ve, evreninin boş kümeden farklı bir alt kümesi olsun. { } ailesine, üzerindeki soft relative topoloji denir ve ikilisine de soft topolojik uzayının soft alt uzayı denir Teorem. (Shabir ve Naz, 2011), soft topolojik uzayının soft alt uzayı ve olsun. Bu durumda aşağıdakiler sağlanır: soft kümesinin kümesi üzerinde soft açık küme olması için gerek ve yeter koşul olacak şekilde bir kümesinin varlığıdır. soft kümesinin kümesi üzerinde soft kapalı küme olması için gerek ve yeter koşul olacak şekilde bir kümesinin varlığıdır Tanım. soft topolojik uzayı ve bir noktası verilsin. Eğer her ( soft komşuluğu için, olacak şekilde bir ( kümesi varsa, ( ailesine, soft topolojisine göre, noktasının bir soft komşuluklar tabanı denir Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) ve iki soft topolojik uzay, : bir soft dönüşüm olmak üzere için, oluyorsa bu soft dönüşüme soft süreklidir denir. ve ), dönüşümleri soft sürekli ise ( ( nin de soft sürekli olduğu açıktır. dönüşümü için ise bu dönüşüme soft açık dönüşüm denir Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) ve iki soft topolojik uzay olsun. Eğer soft dönüşümü birebir, soft açık ve soft sürekli ise dönüşümüne soft homeomorfizma denir.

18 Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) bir soft topolojik uzay olsun. kümesinin soft açık alt kümelerinden oluşan ailesi verilsin. Eğer ise ailesine kümesinin bir soft açık örtüsü denir. ailesi kümesinin sonlu soft açık alt kümelerinden oluşan bir aile ise ailesine kümesinin sonlu soft örtüsü denir. kümesinin her soft açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü varsa, soft topolojik uzayına soft kompakt uzay denir Tanım. (Shabir ve Naz, 2011) bir soft topolojik uzayı verisin ve olsun. Eğer, ve, olacak şekilde ve soft açık kümeleri varsa uzayına soft uzayı denir. Ayrıca her için soft kapalı bir küme ise, uzayı soft uzayıdır Tanım. (Babitha ve Sunil, 2010) ve olsun. ve soft kümelerinin kartezyen çarpımı;, şeklinde tanımlanır. şeklinde gösterilir. Bu tanıma göre soft kümesi üzerinde parametre kümesi olan bir soft kümedir Teorem. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) kümesi ve bir her için soft topolojik uzaylar ailesi verilsin. bir soft dönüşüm olmak üzere her dönüşümünü soft sürekli kılan üzerindeki en kaba soft topolojiye soft başlangıç topolojisi denir Tanım. (Aygünoğlu ve Aygün, 2011) soft topolojik uzaylar ailesi ve soft çarpım kümesi verilsin. dönüşümünü soft sürekli kılan üzerindeki en kaba soft topolojiye soft çarpım topolojisi denir.

19 11 3. SOFT BAĞLANTILI KÜMELER 3.1.Tanım. soft topolojik uzayı ve, olsun. Eğer ya da ise, ve kümelerine soft bağlantılı kümeler denir. Eğer ve ise ve kümelerine soft bağlantısız kümeler denir. ayrıktır. 3.2.Tanım. soft topolojik uzayı ve, verilsin. Eğer ise ve kümelerine soft ayrık kümeler denir. 3.1.Uyarı. Bir soft topolojik uzayda soft bağlantılı olmayan iki küme soft 3.1.Örnek. Başlangıç evreni ve parametreler kümesi {, } olmak üzere, kümesi üzerinde bir soft topolojidir. Burada {(,{ }),(,{,, })}, {(,{ }),(,{,, })}, {(,{,,}),(,{,, })} dir. {(,{ })} ve {(,{ }),(,{,, })} şeklinde iki soft küme alacak olursak bu kümelerin soft ayrık fakat soft bağlantılı olduğu görülür. 3.1.Teorem. soft topolojik uzayı ve, verilsin. ve bağlantılı değillerdir. ve bağlantılı değillerdir. kümelerinin her ikisi de soft açık, soft ayrık kümeler ise soft kümelerinin her ikisi de soft kapalı, soft ayrık kümeler ise soft Ġspat. ve soft ayrık kümeler olsun. Eğer ve kümeleri soft açık ise ve kümeleri soft kapalıdır. oldu undan ve oldu undan

20 12 olur. ve ifadelerinin son gerektirmeleri sırasıyla ve kümeleri ile soft kesişimi alınırsa; ve elde edilir. Sonu olarak ya da olup 3.1.Tanım gere ince ve soft bağlantısız kümelerdir. olsun. ve kümeleri soft kapalı kümeler olduğundan olur. Böylece 3.1.Tanım gere ince ve soft bağlantısız kümelerdir. 3.2.Teorem. soft topolojik uzayı ve, olsun. Eğer ve soft kümelerinin her ikisi de soft açık ya da her ikisi de soft kapalı ise kümeleri soft bağlantısız kümelerdir. Ġspat. ve soft açık kümeler olsun. soft açık küme olduğundan elde edilir. Benzer şekilde; ve ( olduğu için; ( ) ( ) ve ) elde edilir. olup, böylece ( ) ( ) ( ) elde edilir. soft açık küme olduğundan olup, böylece ( ) ( ) olur. ve soft kapalı kümeler olduğundan ve olur. Sonuç olarak ve den ve soft bağlantısız kümeler olur.

21 Teorem. soft topolojik uzayı ve, ) verilsin. Eğer ve kümesi soft kapalı ise kümesi soft kapalı bir kümedir. Ġspat. kümesi soft kapalı olduğundan, ( olup, buradan olur. Hipotez gere i, oldu undan dir. Ayrıca olup elde edilir. Sonu olarak soft kapalı bir kümedir. 3.4.Teorem. soft topolojik uzayı ve, verilsin. Eğer ve kümesi soft kapalı ise kümesi soft kapalı bir kümedir. Ġspat. kümesi soft kapalı olduğundan, ( ) olup, buradan olur. Hipotez gere i, oldu undan olur. Ayrıca olup elde edilir. Sonu olarak soft kapalı bir kümedir. 3.1.Sonuç. soft topolojik uzay ve soft bağlantılı olmayan, verilsin. Eğer soft kapalı bir küme ise ve soft kapalı kümelerdir. Ġspat. 3.3.Teorem ve 3.4.Teoremlerinin direkt sonucudur. 3.5.Teorem. soft topolojik uzayı ve, verilsin. Eğer ve kümesi soft açık ise kümesi soft açıktır. Ġspat. Hipotezden, ) olup, soft açık bir küme olduğundan ( ) ( ( )) ( )) elde edilir. Eşitliğin sol tarafı soft açık bir kümedir. Dolayısıyla kümesi soft açık bir küme olur. ( )) ( ) 3.6.Teorem. soft topolojik uzayı ve, verilsin. Eğer ve kümesi soft açık ise kümesi soft açıktır. Ġspat. Hipotezden, ) olup, soft açık bir küme olduğundan ( ) ( ) ( ( )) ( ))

22 14 elde edilir. Eşitliğin sol tarafı soft açık bir küme olduğundan kümesi soft açık bir küme olur. ( ( )) ( )) 3.2.Sonuç. soft topolojik uzay ve soft bağlantılı olmayan, soft alt kümeleri verilsin. Eğer soft açık bir küme ise ve soft açık kümelerdir. Ġspat. 3.5.Teorem ve 3.6.Teoremlerinin direkt sonucudur.

23 15 4. SOFT BAĞLANTILI UZAYLAR 4.1. Tanım. soft topolojik uzayı verilsin. Eğer kümesi boştan farklı, soft bağlantılı olmayan iki soft alt kümenin birleşimine eşitse, uzayına soft bağlantılı olmayan uzay ya da soft bağlantısız uzay denir. Eğer kümesi boştan farklı, soft bağlantılı iki kümenin birleşimine eşitse, uzayına soft bağlantılı uzay denir. 4.1.Örnek. En kaba soft topolojik uzay soft bağlantılı bir uzaydır. 4.2.Örnek. En ince soft topolojik uzay soft bağlantısız bir uzaydır. Gerçekten olsun. için { }, kümesi üzerinde bir soft küme olup şeklinde gösterilsin. ), ve 3.1.Teorem gereğince soft bağlantısız bir küme olduğundan soft bağlantısız bir uzaydır. 4.1.Teorem. soft topolojik uzayı verisin. Bu takdirde aşağıdaki özellikler eş değerdir: uzayı soft bağlantılı değildir, kümesi soft bağlantılı olmayan ve boş olmayan iki soft alt kümenin birleşimine eşittir, kümesi, boş olmayan soft ayrık, soft açık iki soft alt kümenin birleşimine eşittir, kümesi, boş olmayan soft ayrık, soft kapalı iki soft alt kümenin birleşimine eşittir, uzayının boş olmayan hem soft açık hem soft kapalı olan has bir alt kümesi vardır. Ġspat. 4.1.Tanımın direkt sonucudur. olacak şekilde boştan farklı, soft bağlantılı olmayan ve soft kümeleri verilsin. olup 3.2.Sonuç gereğince ve kümeleri soft açıktır. O halde kümesi boştan farklı ayrık, soft açık iki alt kümenin birleşimine eşittir. kümesi, boştan farklı, soft ayrık, soft açık gibi iki alt kümenin birleşimine eşit olsun. ve olduğundan ve olur. Dolayısıyla ve kümeleri, aynı zamanda soft kapalı kümelerdir.

24 16 Böylece kümesi, boştan farklı, soft ayrık, soft kapalı iki soft kümenin birleşimine eşittir. kümesi, boştan farklı, soft ayrık, soft kapalı ve kümelerinin birleşimine eşit olsun. ve olduğundan olup kümesi hem soft açık hem soft kapalıdır ve boştan farklı bir has soft alt kümedir. kümesi, kümesinin boş olmayan hem soft açık hem soft kapalı bir alt kümesi olsun. Bu durumda kümesi hem soft açık hem soft kapalı bir has alt küme olup, olur 3.1.Teorem den elde edilir. O halde 4.1.Tanım gereğince soft bağlantısız bir uzay olur. 4.3.Örnek. {,, } ve {, } olsun. ={(,{ }),(,{ })}, ={(,{ })}, ={(,{ },(,{ })} ve ={(,{ }), (,{, })} olmak üzere ={,,,,, }; üzerinde bir soft topoloji oluşturur. Açıktır ki uzayı soft bağlantısızdır. 4.1.Sonuç. soft topolojik uzayı verisin. Bu takdirde aşağıdaki özellikler eş değerdir: uzayı soft bağlantılıdır, kümesi, boştan farklı, soft bağlantılı iki soft alt kümenin birleşimine eşittir, kümesi, boştan farklı, soft ayrık olmayan iki soft açık alt kümenin birleşimine eşittir, kümesi, boştan farklı, soft ayrık olmayan iki soft kapalı kümenin birleşimine eşittir, uzayının hem soft açık hem soft kapalı alt kümeleri, yalnızca ve kümeleridir. Ġspat. 4.1.Teoremin direkt sonucudur. 4.4.Örnek. reel sayılar kümesi ve sonlu bir küme olsun. kümesi üzerinde ={ : ailesi bir soft topoloji oluşturur. ( ) uzayı soft bağlantılıdır.

25 Teorem. soft topolojik uzayının soft bağlantılı olması için gerek ve yeter şart boştan farklı her has soft alt kümesinin sınırının boş olmamasıdır. Ġspat. : uzayı soft bağlantılı olsun. Bir ) alt kümesi alalım. Varsayalım ki olsun. Soft sınırlılık tanımından olup elde edilir. Ayrıca, olduğundan, olup.4.1.teorem gereğince, uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise bir çelişkidir. O halde dir. : kümesinin boştan faklı bir has soft alt kümesinin sınırı boş olmasın. Bu durumda, olup, olur. Dolayısıyla kümesi, hem soft açık hem soft kapalı olamaz. 4.1.Sonuç gereği soft bağlantılı bir uzaydır. 4.3.Teorem. ( ) ve ( ) soft bağlantılı uzaylar ise, (, ) uzayı da soft bağlantılıdır. Ġspat. ( ) ve ( ) soft bağlantılı uzaylar olsun. ( ) soft bağlantılı olduğundan, ve olacak şekilde vardır. ) da soft bağlantılı uzay olduğundan ve olacak şekilde vardır. Buradan ( ) ( ) olup, ) ( ), ) ( ) ( ) ve ) ( ) den ( ) ve ( ) soft açık kümelerdir. Böylece (, ) uzayı da soft bağlantılıdır. 4.4.Teorem. ( ) uzayı soft bağlantılı bir uzay olmak üzere ise ( ) uzayı da soft bağlantılıdır. Ġspat. Varsayalım ki ( ) uzayı soft bağlantılı olmasın. 4.1.Teoremden ve olacak şekilde soft kümeleri vardır. olduğundan olup buradan ( ) uzayı soft bağlantısız olur. Bu ise bir çelişkidir. O halde ( ) soft bağlantılı bir uzay olur.

26 18 5. SOFT BAĞLANTILI ALT UZAYLAR Bu bölümde soft topolojik uzaylar ile ilgili Shabir ve Naz (2011) tarafından yapılmış olan çalışmadan, soft alt uzay kavramının yorumlanması açısından ayrılmaktayız. Shabir ve Naz (2011) tarafından verilmiş olan tanıma benzer olarak soft alt uzay tanımını aşağıdaki gibi düzenledik. Ayrıca bu bölümden itibaren soft alt uzay tanımı için 5.1.Tanımdaki soft alt uzay tanımı kullandık. 5.1.Tanım. bir soft topolojik uzayı ve verilsin. soft kümesi üzerindeki soft topolojisine kümesi üzerinde soft alt uzay topolojisi, ( soft topolojik uzayına da uzayının soft alt uzayı denir. 5.2.Tanım. soft topolojik uzayının bir soft alt kümesi verilsin. Eğer ( alt uzayı, soft bağlantılı ise kümesine soft topolojik uzayı içerisinde soft bağlantılı küme denir. 5.1.Teorem. soft topolojik uzayı ve verilsin. soft kümesinin soft bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul,, şeklindeki her soft açık kümeleri için olmasıdır. Ġspat. soft bağlantılı bir küme olsun. Buradan, ve şeklindeki herhangi soft açık kümelerini alalım. Varsayalım ki olsun. Soft kesişim işleminin dağılma özelliğinden ( ) olup, ve olduğundan, sonuç olarak ) ) elde edilir. 4.1.Teorem gereğince soft alt uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise, alt uzayının soft bağlantılı olmasıyla çelişir. O halde olur. :, ve olacak şekilde her soft açık kümeleri için olsun. ) ( ) ve (

27 19 olduğundan, olur. 4.1.Sonuç gereğince soft bağlantılı olup 5.2.Tanımdan soft bağlantılı bir kümedir. 5.2.Teorem. soft topolojik uzayı, boş olmayan soft ayrık, soft açık ve alt kümelerinin birleşimine eşit olsun. kümesi uzayının soft bağlantılı bir alt kümesi ise ya da dir. Ġspat. Varsayalım ki ve olsun. ve soft kümeleri uzayında soft açık olduklarından ve olup olduğundan bulunur. olduğundan, ( ) elde edilir. 4.1.Teoremden alt uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise kümesinin soft bağlantılı olmasıyla çelişir. O halde ve buradan olur ya da ve buradan olur. 5.3.Teorem. Boştan farklı soft bağlantılı kümelerden oluşan bir ailenin arakesiti boş değilse, bu ailenin birleşimi de soft bağlantılıdır. Ġspat. uzayı verilsin. kümesi her için soft bağlantılı alt kümelerinin birleşimi şeklinde olsun. Varsayalım ki, = uzayı soft bağlantılı olmasın. Bu takdirde 4.1.Teorem gereğince kümesi boş olmayan, ayrık, soft açık herhangi ve alt kümelerinin birleşimi şeklindedir. 5.2.Teorem gereğince her i için, ya ya da olur. Eğer olduğundan ve olur, Bu ise, olmasıyla çelişir. Eğer olduğundan ve elde edilir ki bu da olmasıyla çelişir. O halde uzayı, soft bağlantılı bir uzaydır.

28 Tanım. soft topolojik uzayı ve alt kümesi ve kümesinde bir noktası verilsin. noktasının her komşuluğunda, kümesinin en az bir elemanı varsa, noktasına kümesinin soft kapanış noktası denir., kümesinin soft kapanış noktasıdır.,, kümesinin soft kapanış noktası değildir. 5.4.Tanım. soft topolojik uzayı ve verilsin. Eğer ise kümesine uzayı içinde her yerde yoğun soft küme denir. 5.1.Lemma. soft topolojik uzayı ve verilsin. kümesi uzayında her yerde yoğun olması için gerek ve yeter koşul her boş olmayan her soft açık kümesi için, olmasıdır. Ġspat. olsun ve boş olmayan bir soft açık kümesi verilsin. Buradan noktası vardır Ayrıca olduğundan 5.3.Tanım gereği elde edilir. : Herhangi bir noktasını içeren her soft açık alt kümesi için olsun. Soft kapanış noktası tanımından, olur. Buradan.(1) olur. olduğundan, elde edilir. O halde ve ifadelerinden, olup, 5.3.Tanımdan kümesi uzayında yoğun bir soft kümedir. 5.4.Teorem. Soft bağlantılı ve soft yoğun bir alt kümeye sahip olan her soft topolojik uzay, soft bağlantılıdır. Ġspat. soft topolojik uzayının soft bağlantılı ve yoğun bir soft alt kümesi olsun. Varsayalım ki uzayı soft bağlantılı olmasın. Buradan 4.1.Teorem gereği ve (1) olacak şekilde herhangi soft açık ve soft alt kümeleri vardır. kümesi yoğun bir soft küme olduğundan olup, 5.1.Lemmadan her için, elde edilir. (1) den ve olur. Buradan

29 21 ve elde edilir öyle ki ve dir. Böylece 4.1.Teorem den uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise kümesinin soft bağlantılı olmasıyla çelişir. Sonuç olarak uzayı soft bağlantılı bir uzaydır. 5.5.Teorem. bir soft topolojik uzay olsun. soft bağlantılı bir küme olmak üzere, verilsin. Eğer ve ise dır. Ġspat. Varsayalım ki olsun. olup, bulunur. Buradan ve olur. Diğer taraftan olduğundan 5.1.Teorem den kümesi soft bağlantılı değildir. Bu ise kümesinin soft bağlantılı olmasıyla çelişir. Sonuç olarak olur. 5.1.Sonuç. uzayının şeklinde iki soft alt kümesi verilsin. Bu takdirde kümesinin soft topolojisine göre soft bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul soft topolojisine göre bağlantılı olmasıdır. 5.6.Teorem. soft topolojik uzayının soft bağlantılı bir alt kümesi verilsin. Eğer şeklindeki her soft kümesi soft bağlantılıdır. Ġspat. Varsayalım ki soft kümesi soft bağlantılı olmasın. Bu durum da 4.1.Teorem gereği olacak şekilde boş olmayan soft ayrık, soft açık ve soft alt kümeleri vardır. 5.2.Teorem gereğince, ya ya da olur. olsun. Buradan elde edilir. olduğundan, olur. 4.1.Teorem gereğince ve soft bağlantılı iki küme değildir. Yani ve dır. Böylece, ve olduğundan olur. Bu ise olmasıyla çelişir.

30 22 olsun. Buradan elde edilir. olduğundan olur. 4.1.Teorem gereğince ve soft bağlantılı iki küme değildir. Yani ve dır. Böylece, ve olduğundan olur. Bu ise olmasıyla çelişir. O halde soft kümesi soft bağlantılı bir kümedir. 5.2.Sonuç. soft topolojik uzayının soft bağlantılı bir alt kümesi verilsin. Bu takdirde kümesi de soft bağlantılıdır. Ġspat. 5.6.Teoremden şeklindeki her kümesi, soft bağlantılıdır. ve olduğundan olup, kümesi soft bağlantılı olur. 5.7.Teorem. soft topolojik uzayının soft bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul her, nokta çiftini içeren soft bağlantılı bir kümenin varlığıdır. Ġspat. : soft bağlantılı uzay olduğundan, her, nokta çiftini içeren soft bağlantılı küme, kümesinin kendisidir. : Sabit bir noktasını seçelim. Hipotezden, her noktası için, ve noktalarını içeren bir her için soft bağlantılı kümeler ailesi vardır. ve olduğundan 5.3.Teorem gereğince uzayı soft bağlantılıdır. 5.8.Teorem. Soft bağlantılı bir uzayın soft sürekli bir dönüşüm altındaki görüntüsü de soft bağlantılıdır. Ġspat., soft bağlantılı uzaylar, ( soft sürekli, örten bir dönüşüm ve soft bağlantılı uzayı verilsin. Varsayalım ki soft bağlantılı bir uzay olmasın. Bu takdirde, olacak şekilde boştan farklı, soft ayrık, soft açık herhangi ve soft alt kümeleri vardır. ( dönüşümü soft sürekli olduğundan ) ve ) olur. ( dönüşümü soft örten olduğundan, ) olur. Sonuç olarak; ( ) ) ) ) elde

31 23 Böylece ) uzayı soft bağlantılı değildir. Bu ise uzayının soft bağlantılı olmasıyla çelişir. O halde uzayı soft bağlantılı bir uzaydır. 5.5.Tanım. bir soft topolojik uzay, soft kompakt uzay ve soft kümesi uzayının soft yoğun alt kümesi olsun. Eğer uzayından soft alt uzayına bir soft homeomorfizm varsa uzayına, uzayının bir soft kompaktlaştırılması denir. 5.9.Teorem. Soft bağlantılı uzayın soft kompaktlaştırılması da soft bağlantılıdır. Ġspat. Soft bağlantılı bir uzayının bir soft kompaktlaştırılması, uzayı olsun. Soft kompaktlaştırma tanımından uzayı, uzayının soft yoğun bir alt kümesine homeomorftur. uzayı soft bağlantılı olduğundan uzayı da soft bağlantılıdır. olduğundan 5.4.Teorem den de soft bağlantılı bir uzaydır Teorem. soft bağlantılı bir uzay olsun. Eğer ise uzayı soft bağlantılıdır. Ġspat. Varsayalım ki uzayı soft bağlantılı olmasın. 4.1.Teorem gereği, ve olacak şekilde herhangi, soft alt kümeleri vardır. Hipotez gereği olduğundan, olur. Buradan soft bağlantısız bit uzay olur bu ise bir çelişkidir. O halde uzayı soft bağlantılıdır.

32 24 6. SOFT BĠLEġENLER Bir soft topolojik uzay soft bağlantılı olmadığı halde, bu uzayın bazı soft alt kümeleri soft bağlantılı olabilir. Böyle bir uzayın en büyük soft bağlantılı alt kümelerinden faydalanarak, uzayın yapısı ve özellikleri incelenebilir. 6.1.Tanım. soft topolojik uzayı ve soft bağlantılı bir soft alt kümesi verilsin. Eğer alt uzayını kapsayan uzayında daha büyük soft bağlantılı bir soft alt uzay yoksa uzayına uzayının bir soft bileşeni denir. Diğer bir ifade ile uzayının en büyük soft bağlantılı soft alt uzayına, uzayının soft bileşeni denir. soft topolojik uzayının bir soft noktasını içeren soft bileşenine noktasının soft bileşeni denir ve sembolü ile gösterilir. 6.1.Teorem. soft topoojik uzayının her bir noktasını içeren bir ve yalnız bir bileşeni vardır. Ġspat. Varsayalım ki ve kümeleri noktasının iki soft bileşenleri olsun. kümesi noktasının soft bileşeni olduğundan ve kümesi noktasının soft bileşeni olduğundan olur. Buradan elde edilir. 6.2.Teorem. soft topolojik uzayı ve soft alt kümesi verilsin. Her için, aynı soft bağlantılı soft alt kümeye ait olma bağıntısı, bir denklik bağıntısıdır. Ġspat. ğ ı ı ü Şeklinde tanımlanan bağıntısının yansıma ve simetri özelliğin sağladığı açıktır. Şimdi geçişme özelliğini sağladığını gösterelim. Herhangi noktaları için, ve olsun. Bu durumda olacak şekilde bir (X,E) soft bağlantılı kümesi ve olacak şekilde bir (X,E) soft alt kümesi vardır. olduğundan 5.3.Teorem den kümesi de soft bağlantılıdır. Ayrıca olur. O halde olur. Böylece bağıntısı, bir denklik bağıntısı olur. 6.1.Sonuç. Bir soft topolojik uzayın 6.1.Teoremdeki denklik bağıntısına göre, denklik sınıfları, bu uzayın soft bileşenlerini oluşturur.

33 Teorem. Bir soft topolojik uzayın tüm soft bileşenleri, uzayın bir ayrışımını oluşturur. Ayrıca uzayın herhangi bir soft bağlantılı alt kümesi, uzayın soft bileşenlerinden yalnızca biri tarafından kapsanır. Ġspat. Bir soft topolojik uzayının soft bileşenleri, uzayın denklik sınıfları olduğundan, herhangi iki denklik sınıfı ya aynıdır ya da ayrık iki soft kümedir ve bu denklik sınıflarının bileşiminin kümesine eşit olduğu açıktır. Dolayısıyla uzayının tüm soft bileşenleri, uzayın bir ayrışımını oluşturur. uzayın herhangi bir soft bağlantılı soft alt kümesini alalım. Önce, bu soft alt kümesinin uzayının soft bileşenlerinden yalnızca biri ile kesiştiğini gösterelim. Varsayalım ki kümesi, uzayının ve gibi iki soft bileşeniyle kesişsin. ve olsun. olduğundan, olur ve bu noktalar aynı soft bağlantılı kümesine ait olduğundan 6.2.Teoremden olur. Şimdi soft bağlantılı alt kümesinin uzayının soft bileşenlerinden yalnızca biri tarafından kapsandığını gösterelim. noktasını alalım. soft uzayının soft bileşenleri, uzayın bir soft ayrışımını oluşturduğundan, noktası bu soft bileşenlerden yalnızca birine aittir. Bu soft bileşeni ile gösterelim. kümesinin diğer noktaları da aynı soft bileşenine aittir, aksi takdirde kümesi yalnızca bir soft bileşenle kesişmemiş olurdu. Sonuç olarak elde edilir. 6.4.Teorem. Bir soft topolojik uzayın soft bileşenleri soft kapalıdır. Ġspat. uzayının bir soft bileşeni kümesi ise 6.1.Tanımdan, kümesi soft bağlantılı bir kümedir. 5.2.Sonuçdan kümesi de soft bağlantılı bir kümedir. kümesi, uzayının en büyük soft bağlantılı alt kümesi olduğundan bulunur. Diğer taraftan olduğundan elde edilir. Böylece kümsi soft kapalı bir kümedir. kümedir. 6.2.Sonuç. uzayının herhangi iki soft bileşeni, soft bağlantılı olmayan iki Ġspat. uzayının herhangi, soft bileşenleri verilsin. Bu soft bileşenler 6.3.Teoremden soft ayrık iki kümedir. 6.4.Teoremden soft kapalı kümelerdir. 4.1.Teorem dan,

34 26 bulunur. O halde ve kümeleri, soft bağlantılı olmayan iki kümedir. 6.5.Teorem. soft topolojik uzayının hem soft açık hem soft kapalı olan soft bağlantılı alt kümeleri, bu uzayın soft bileşenleridir. Ġspat. kümesi uzayının hem soft açık hem soft kapalı bir soft alt kümesi olsun. Soft bağlantılı her alt küme, uzayın bir soft bileşeni tarafından kapsanacağından, 6.3.Teorem gereğince olacak şekilde bir soft bileşeni vardır. Buradan, ( ) (( ) ) ( ) (( ) ) olduğundan 4.1.Teorem gereğince kümesi soft bağlantılı değildir. Bu ise kümesinin soft bileşen olasıyla çelişir. O halde elde edilir.

35 27 7. SOFT TAMAMEN BAĞLANTISIZ UZAYLAR 7.1.Tanım. bir soft topolojik uzay olmak üzere her noktaları için, ve olacak şekilde soft bağlantısızlığı varsa, uzayına soft tamamen bağlantısız uzay denir. 7.1.Örnek. En ince soft topolojik uzay soft tamamen bağlantısızdır. Soft tamamen bağlantısız uzay soft bağlantısızdır fakat tersi doğru değildir. 7.2.Örnek. 4.3.Örnek, soft bağlantısız bir uzaydır fakat soft tamamen bağlantısız bir uzay değildir. 7.1.Teorem. Bir soft topolojik uzayın soft tamamen bağlantısız olması için gerek ve yeter koşul bu uzayın soft bileşenlerinin tek elemanlı kümeler olmasıdır. Ġspat. uzayı soft tamamen bağlantısız uzay olsun. Varsayalım ki uzayının bir soft bileşeni birden çok noktayı içersin. Bu durumda herhangi noktalarını alalım. uzayı soft tamamen bağlantısız olduğundan hipotez gereğince ve olacak şekilde soft bağlantısızlığı vardır. Ayrıca,, ve olduğundan 5.1.Teorem gereğince, kümesi soft bağlantılı değildir. Bu ise kümesinin soft bileşen olmasıyla çelişir. O halde soft bileşeni yalnızca tek nokta içerir. uzayının soft bileşenleri tek elemanlı alt kümeler olsun. uzayının soft bileşenleri, uzayının en büyük soft bağlantılı kümeleri olduğundan, her noktaları için ve olacak şekilde soft bağlantısızlığı vardır. O halde 7.1.Tanım gereğince uzayı soft tamamen bağlantısızdır. 7.1.Sonuç. Bir soft topolojik uzayın soft tamamen bağlantısız olması için gerek ve yeter koşul boş olmayan, soft bağlantılı kümelerin tek elemanlı alt kümelerden oluşmasıdır. Ġspat. 7.1.Teoremin direkt sonucudur.

36 Teorem. Soft tamamen bağlantısız her uzay, soft uzayıdır. Ġspat. Soft tamamen bağlantısız bir uzayının soft bileşenleri, yalnızca tek elemanlı alt kümelerden oluştuğundan, 6.4.Teorem gereğince uzayının soft bileşenleri sotf kapalı kümelerdir. Böylece tek bir noktadan oluşan soft kapalı bir küme olur Tanım gereğince uzayı soft uzayıdır. 7.2.Tanım. soft topolojik uzayı ve bir soft alt kümesi verilsin. Eğer soft alt uzayı soft tamamen bağlantısız ise kümesine soft bağlantısız küme denir. 7.3.Tanım. soft topolojik uzayının sahip olduğu bir özellik, bu uzayın tüm soft alt uzaylarında da varsa, bu özelliğe soft kalıtsallık özelliği denir. 7.2.Sonuç. Soft tamamen bağlantısız uzay özelliği soft kalıtsal bir özelliktir. 7.3.Teorem. Herhangi sayıda soft tamamen bağlantısız uzayların çarpım uzayı da soft tamamen bağlantısızdır. Ġspat. soft tamamen bağlantısız uzayların bir ailesi verilsin. = üzerindeki çarpım topolojisi olsun. soft dönüşümü için olup soft izdüşümler soft süreklidir. kümesi = kümesinde soft bağlantılı olduğundan, soft bağlantılıdır. çarpan uzaylarından her biri soft tamamen bağlantısız olduğundan, kümeleri tek elemanlı soft kümelerdir. O halde soft bağlantılı kümesi çarpım uzayının tek elemanlı soft bağlantılı kümesidir. Sonuç uzayı soft tamamen bağlantısızdır.

37 29 8. SOFT LOKAL BAĞLANTILI UZAYLAR 8.1.Tanım. soft topolojik uzayı verilsin. Her noktasının, uzayında soft bağlantılı kümelerden oluşan bir komşuluk tabanı varsa, uzayına soft lokal bağlantılı uzay denir. 8.1.Uyarı. uzayının soft lokal bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul her noktasının ve her komşuluğu için, olacak şekilde soft bağlantılı soft açık bir komşuluğunun varlığıdır. 8.1.Örnek. En ince soft topolojik uzay, soft lokal bağlantılıdır. 8.1.Teorem. uzayının soft lokal bağlantılı olması için gerek ve yeter koşul uzayının her soft açık alt uzayındaki her bir soft bileşeninin, uzayında soft açık olmasıdır. Ġspat. : uzayı soft lokal bağlantılı, soft açık bir alt küme ve kümesi, alt uzayında bir soft bileşen olsun. noktasını ele alalım. uzayı soft lokal bağlantılı olduğundan, 8.1.Uyarı. gereği, olacak şekilde soft bağlantılı bir soft açık komşuluğu vardır. Böylece kümesi, soft alt uzayında, noktasını içeren soft bağlantılı bir kümedir. Diğer taraftan, kümesi soft alt uzayında soft bileşen olduğundan, olur. Soft iç nokta tanımı gereğince, elde edilir. Böylece elde edilir. olduğundan, bulunur. Sonuç olarak soft bileşeni, soft açıktır. uzayında soft açık bir soft alt uzayının her soft bileşeni soft açık iken, uzayının soft lokal bağlantılı olduğunu göstereceğiz. soft açık alt uzayına göre, noktasını içeren bileşeni soft açıktır. bileşeni soft bağlantılı olup, 8.1.Uyarı gereği uzayı soft lokal bağlantılıdır. 8.1.Sonuç. Soft lokal bağlantılı bir uzayın soft bileşenleri, hem soft açık hem soft kapalıdır. Ġspat. uzayı, soft lokal bağlantılı olsun. Eğer kümesi, uzayının bir soft bileşeni ise 8.1.Teorem gereği, 6.4.Teorem gereği soft kapalıdır. soft bileşeni, soft açıktır. Diğer taraftan,

38 Sonuç. uzayı, soft kompakt ve soft lokal bağlantılı ise bu uzayın soft bileşenlerinin sayısı sonludur. Ġspat. Soft kompakt ve soft lokal bağlantılı bir uzayının tüm soft bileşenleri, bu uzayın bir ayrışımını oluşturduğundan ve soft bileşenler soft açık olduğundan, uzayının bir soft açık örtüsü elde edilir. uzayı Tanım gereği soft kompakt uzay olduğundan, bu soft ayrık, soft açık örtünün sonlu bir alt örtüsü vardır. O halde uzayının soft bileşenlerinin sayısı sonludur. 8.2.Uyarı. Soft lokal bağlantılılık kavramı, soft sürekli dönüşümle korunmaz, ancak, soft sürekli ve soft açık dönüşümlerle korunur.

39 31 9. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER Soft topolojik uzaylar oldukça geniş bir çalışma alanına sahip olup, şüphesiz bu tez çalışması bundan sonraki araştırmalara bir fikir oluşturacaktır. Çalışma boyunca soft bağlantılı kümeler, soft bağlantısız kümeler, soft bağlantılı uzaylar, soft bağlantısız uzaylar, soft bağlantılı alt uzaylar, soft bileşenler, soft tamamen bağlantısız uzaylar, soft lokal bağlantılı uzaylar ve bunların özellikleri sabit parametreli soft kümeler üzerinde incelenmiş olup, parametreler sabit tutulmayarak ta özelliklerin sağlanıp sağlanmayacağı incelenebilir.

40 32 KAYNAKLAR Aktaş, H. and Çağman, N., 2007, Soft sets and soft groups, Information Sciences, 177, Aygünoğlu, A. and Aygün, H., 2012, Some notes on soft topological spaces, Neural Computing and Applications, 21 (1), Babitha, K. V. and Sunil, J.J. 2010, Soft set relations and functions, Comput.Math.,Appl., 60, Çağman, N., Karataş, S. and Enginoğlu, S., 2011, Soft topology, Computers and Mathematics with Applications, 62, Çağman, N. and Enginoğlu S., 2010, Soft set theory and uni-int decion making, Europen J. Oper. Res., 207, Feng, F., Jun, Y. B. and Zhao, X., 2008, Soft semirings, Computers and Mathematics with Applications, 56, Hussain, S. and Ahmad, B., 2011, Some properties of soft topological spaces, Computers and Mathematics with Applications, 62, Kharal, A. and Ahmad, B., 2011, Mapping on soft classes, New Math. and Nat. Computation 7 (3), Maji P. K., Biswas, R. and Roy A. R., 2003, Soft set theory, Computers and Mathematics with Applications, 45, Majumdar, P. and Samanta, S. K., 2008, Similarity measure of soft set, New Math. Nat. Comput., 4 (1), Molodtsov, D., 1999, Soft set theory-first results, Computers and Mathematics with Applications, 37, Pawlak, Z., 1982, Rough sets, International Journal of Computer and Information Sciences, 11 (5), Shabir, M. and Naz, M., 2011, On soft topological spaces, Computers and Mathematics with Applications, 61, Zadeh, L. A., 1965, Fuzzy sets, Information Control, 8, Zorlutuna, İ., Akdag, M., Min, W. K. and Atmaca, S., 2012, Remarks on soft topological spaces, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 3 (2),

41 33 ÖZGEÇMĠġ KĠġĠSEL BĠLGĠLER AdıSoyadı : Zehra ER Uyruğu : T.C DoğumYeriveTarihi : Konya Telefon : Matematik39@hotmail.com EĞĠTĠM Derece Adı, Ġlçe, Ġl BitirmeYılı Lise : ÖzelElmasLisesi, Selçuklu-Konya 2007 Üniversite : SelçukÜniversitesi, Fen Fakültesi, Selçuklu-Konya 2012 YüksekLisans : SelçukÜniversitesi, Fen BilimleriEnstitüsü 2015 UZMANLIK ALANI Topoloji YABANCI DĠLLER: İngilizce YAYINLAR 1. Yüksel, Ş., Güzel Ergül, Z. and Güven, Z., 2014, Soft connected spaces, International Journal of Pure & Engineering Mathematics, 2 (3), (Yüksek Lisans tezinden yapılmıģtır) ULUSLARARASI BĠLĠMSEL TOPLANTILARDA SUNULAN BĠLDĠRĠLER 1. Güzel Ergül, Z., Yüksel, Ş. and Güven, Z., Soft connected spaces, 2nd International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications (IECMSA- 2013), BOSNIA. (Yüksek Lisans tezinden yapılmıģtır)