sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

Transkript

1 KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile fazla detayına girmeden işleyeceğiz KÜME KAVRAMI Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen, bu bölümde ve daha sonraki bölümlerde incelememiz için gerekli olan daha önceden bilinen kümeler teorisi ile ilgili ilk temel bilgileri vereceğiz. Küme (veya cümle) deyince belli özelliğe sahip nesnelerin iyi tanımlı bir topluluğunu kastedeceğiz ve kümeyi meydana getiren nesnelere de kümenin elemanları diyeceğiz. Kümeleri A, B, C,..., X, V, W, Y, Z gibi büyük harflerle ve elemanları da a, b, c,..., x, v, w, y, z gibi küçük harflerle göstereceğiz. a bir A kümesinin elemanı ise a A ile gösterecek, bir b elemanının A kümesine ait olmamasını ise b A şeklinde yazacağız. Kümeler ya elemanlarını kıvrımlı parantez içine yazmak suretiyle, örneğin a, b, c gibi üç elemandan ibaret olan bir kümeyi { a, b, c } şeklinde veya kümenin çok sayıda elemandan oluşması halinde indisler kullanarak { x i : i I } şeklinde yada kümenin elemanlarının sahip olduğu özelliği belirleyen kurali yazmak suretiyle gösterilir. Mesela rasyonel sayılar kümesi Q={p/q :p Z ve q N } şeklinde gösterilir. I, herhangi bir küme olmak üzere, { x i : i I } kümesine indislendirilmis küme denir. Örneğin, { 1, 3, 5 } kümesi I={ 1, 2, 3 } olmak üzere x i =2i-1 yazarsak { x i : i I } şeklinde gösterilebilecektir. Baska iki örnek olarak, tüm tek doğal 7

2 sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme adı verilir ve veya { } şeklinde gösterilir. Bir A kümesinin her elemanı bir diğer B kümesinin elemanı oluyorsa A ya B nin bir alt kümesi ( A ya B tarafından kapsanır veya B, A yi kapsar ya da B, A nin üst kümesidir) denir ve bu A B şeklinde gösterilir. Bunu biz x A ise x B dir şeklinde de ifade edebiliriz. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Eğer A B ve B A oluyorsa A ile B kümelerine eşittir denir ve bu A=B yazılarak gösterilir. Bir A kümesi diğer bir B kümesinin alt kümesi değilse, A B ifadesinde alt küme işaretinin üzerine bir eğik çizgi çizilerek gösterilir yani A B şeklinde gösterilir. Eğer A B ve B C ise A C olduğu (p q ve q r) ise p r olduğu gerçeğinden görülmektedir. A nin elemanı olup da B nin elemanı olmayan elemanların kümesine B nin A ya göre tümleyeni denir ve A\B ile gösterilir. Bazen A\B ye A dan B nin farkı kümesi de denir. A nin evrensel küme dediğimiz, ilgilendigimiz bütün kümeleri kapsayan en büyük kümeye göre tümleyeni \A veya A t ile ya da X evrensel küme olmak üzere X\A ile gösterilir. Hem A da hem de B de bulunan elemanların kümesine A ile B nin kesişim (veya arakesit) kümesi denir ve A B ile gösterilir. Buna göre, A B = { x : x A ve x B } dir. A da veya B de ( burada veya kelimesi ile hem A da hem B de olan elemanlar ile A da ya da B de bulunan elemanlar kastediliyor) bulunan elemanların kümesine A ile B nin birleşim kümesi denir ve A B ile gösterilir. Bunu A B = { x : x A veya x B } ile gösteririz. Kesişimin birleşim üzerine ve birleşimin kesişim üzerine dağılma özellikleri vardır, yani A (B C) = (A B) (A C) ve A (B C) = (A B) (A C) dir. İki kümenin kesişim ve birleşiminin tümleyenlerine iliskin De Morgan kurallari X\(A B) =(X\A) (X\B) ve X\(A B) = (X\A) (X\B) 8

3 dir. Herhangi bir I indis kümesi tarafından indislendirilmiş kümelerin herhangi bir ailesi {G i : i I } ise bu ailenin elemanlarının birleşimi olan küme { x : en az bir i I için x G i } olup, Gi 1veya { G i : i I } ya da I Gi I şeklinde yazılarak gösterilir. Aynı ailenin kesişimi de { x : her i I için x G i } olup, i I G i veya {G i : i I } ya da Gi I şeklinde gösterilir. Boş sınıf üzerinden kesişim ve birleşim için aşağıdaki eşitlikleri veriyoruz. { G i : i } = ve { G i : i } = X. Bir X kümesinin bütün altkümelerinin oluşturduğu kümeye X in kuvvet kümesi denir ve P(X) (veya 2 X ) ile gösterilir. Bir kümeler ailesinin birleşim ve kesişiminin tümleyenlerine iliskin De Morgan kurallarını aşağıdaki teorem ile veriyoruz: Teorem { G i : i I } P(X) sağlanır: (i) X\( { G i : i I }) = { X\G i : i I } (ii) X\( {G i : i I }) = { X\G i : i I } olduğuna göre aşağıdakiler İspat. (i) Eşitliğin doğru olduğunu ispatlamak için eşitliğin iki yanındaki her bir kümenin biribirinin altkümesi olduğunu göstereceğiz. Yani X\( { G i : i I }) { X\G i : i I } ve { X\G i : i I } X\( { G i : i I }) olduğunu ispatlayacağız. Önce 9

4 X\( { G i : i I }) { X\G i : i I } olduğunu gösterelim. Bunun için herhangi bir x X\( { G i : i I }) alalim. Bu takdirde, x X ve x ( { G i : i I }) dir. Buradan x X ve en az bir i I için x G i dir. Dolayısıyla en az bir i I için x X\G i dir. Boylece x { X\G i : i I } olur. Buradan X\( { G i : i I }) { X\G i : i I } elde edilmis olur. Şimdi de { X\G i : i I } X\( { G i : i I }) olduğunu ispat edelim. Bunun için herhangi bir x { X\G i : i I } alalım. Bu durumda en az bir i I için x X\G i olur. Buradan x X ve en az bir i I için x G i elde edilir. Dolayısıyla x X ve x { G i : i I } ve dolayısıyla x X\( { G i : i I }) elde edilir. Böylece { X\G i : i I } X\( { G i : i I }) olduğu gösterilmiş olur. (i) in sağındaki eşitliğin her iki yanı biribirinin alt kümesi olduğundan (i) deki eşitliğin doğru olduğu gösterilmiş oldu. Simdi de (ii) nin ispatını verelim. (i) deki eşitliği kullanarak bunu kısaca ispat edebiliriz. (i) deki eşitlikte G i ler yerine X\G i kümelerini alır ve X\(X\A)=A olduğunu kullanirsak, X\( 2{ X\G i : i I }) = 3{ X\(X\G i) : i I } = { G i : i I }) elde ederiz. Yani { G i : i I }) = X\( { X\G i : i I }) 10

5 olur. Bu eşitliğin her iki yanının X e göre tümleyeni alınırsa, X\( { G i : i I }) =X\(X\( { X\G i : i I })) = { X\G i : i I } bulunur. Bu da ispatı tamamlar. A\B kümesi ile B\A kümesinin birleşimi kümesine A nin simetrik farkı denir ve A B ile gösterilir. Buna göre A B = (A\B) (B\A) dir. Buna göre A B=B A olduğunu görüyoruz. Ayrıca A B nin (A B)\(A B) kümesine eşit olduğu kolayca görülür. Yani ile B A B=(A B)\(A B) dir. İki kümenin simetrik farkının tümleyeni ise birinin tümleyeni ile diğerinin simetrik farkına eşittir. Yani (A B) t =A t B=A B t dir. Bu eşitlikten faydalanarak iki kümenin simetrik farkının o kümelerin tümleyenlerinin simetrik farkına eşit olduğu gösterilebilir. Gerçekten; (A t B t ) t =(A t ) t (B t ) t =A t (B t ) t = A B t = A t B olduğundan ve diğer taraftan (A B) t = A t B= A B t olduğundan (A t B t ) t =(A B) t ise A t B t =A B olur. İki kümenin simetrik farkının boş olması için gerek ve yeter koşul birbirlerine eşit olmasıdır. Simetrik farkın kümelerden birine eşit olması için gerek ve yeter koşul diğerinin boş olmasıdır. Kesişimin simetrik fark üzerine dağılma özelliği vardır, ancak birleşimin simetrik fark üzerine dağılma özelliği yoktur. 11

6 1.1. ALIŞTIRMALAR (KÜMELER) (1) Aşağıdaki eşitliklerin sağlandığını ispatlayınız. (a) t =X (b) X t = (c) A A = A (d) A A = A (e) A =A (f) A = (g) A X=X (h) A X = A (i) A\B=A B t (i) A (B C)=(A B) C (j) A (B C)=(A B) C (k) A (B C) = (A B) (A C) (l) A (B C) = (A B) (A C) (m) (A B)\C = (A\C) (B\C) (n) (A B)\C = (A\C) (B\C) (o) A t \B t =B\A (o) (A\B)\C=A\(B C) (p) A (B\C)=(A B)\(A C) (r) A\(B C)=(A\B) (A\C) (s) P(A B)=P(A) P(B) (2) A ve B herhangi iki küme olsun. Aşağıdakileri İspatlayiniz. (a) A B A (b) A B B (c) A A B (d) B A B (e) P(A) P(B) P(A B) (3) A ve B iki küme olsun. A B olmasınin aşağıdaki koşullardan herbirine denk olduğunu ispatlayınız. (a) B t A t (b) A B t = (c) A B=A (d) A B=B (e) A (B\A)=B (f) B\(B\A)=A (g) (h) (i) her bir C kümesi için A (B C)=B (C A) dir. en az bir D kümesi için A (B D)=B (D A) dir. P(A) P(B) (4) A B C ise B\A C\A ve C\(B\A)=A (C\B) dir. İspat ediniz. (5) A, B ve C herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki denklikleri ispatlayınız: (a) A B C olması için gerek ve yeter koşul A\B C olmasıdır. (b) A B C olması için gerek ve yeter koşul A\C B olmasıdır. (6) A ve B herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki eşitliklerin sağlandığını gösteriniz: (a) A (B\A) = A B (b) B (A\B) = A B (c) A\(A\B) = = A B (7) Her bir a A için a G a A olacak şekilde bir G a kümesi bulunsun. Bu takdirde A = Ga a A 12

7 dir. İspat ediniz. (8) Altkümelerin herhangi bir sınıfı {A i : i I } olsun. Bu takdirde aşağıdaki özelliklerin sağlandığını gösteriniz.: (a) Her j J için A j Ai (b) Her j I için Ai I I A j (c) Her j J için A j B j ise Ai I Bi I ve Ai I Bi I dir. (d) A ( i I A i )= i I (A A i ) (e) A ( i I A i )= i I (A A i ) (f) (A i B i ) = ( Ai I I ) ( Bi I ) (g) (A i B i ) = I ( Ai I ) ( Bi I ) (h) J I ise Ai 4 J Ai ve Ai I I Ai i i J dir. (i) B Ai her i I için B A i olmasıdır. i I (i) Ai B her i I için A i B olmasıdır. I (9) her n N için A n = {x : x R ve x < n 1 } ise n1 A n ={0} dir. İspat ediniz. (10) Aşağıdaki eşitliklerin sağlandığını ispatlayınız: (a) _ n ]1- n _, 1+ n _ [ =]0,1] (b) _ ] 1, n [ = ]1, [ (11) I = R +, A x = ] 0, x [ ve B x =[ 0, x] olmak üzere Ax =, A x = _ +, Bx= { 0 }, x= _ I I I I dir. İspat ediniz. B + { 0} (12) S P(X) olmak üzere her S 1, S 2 S için S 1 S 2 S olsun. Bu takdirde, S in sonlu adetteki herhangi S 1,S 2,...,S n elemanlarının kesişimi de S dedir, yani ediniz. (Yol gösterme : tümevarım yoluyla). n S i =1 i S dir. İspat 13

8 (13) S P(X) olmak üzere her S 1, S 2 S için S 1 S 2 S olduğunu kabul edelim. Bu takdirde, S in sonlu adetteki herhangi S 1,S 2,...,S n elemanlarının birleşimi de S dedir, yani n S i =1 S dir. İspat ediniz. (Yol gösterme : tümevarım yoluyla). (14) A, B ve C herhangi kümeler olduğuna göre aşağıdakilerin sağlandığını gösteriniz: (a) B\(A B) = A B (b) A B = B A (c) A B =(A B)\(A B) (c) A B = A t B t (d) (A B) t = A t B (e) B (B A) = A B (f) A (A B) = A B (Yol Gösterme: A B=(A B)\(A B) olduğunu kullaniniz.). (g) A (A\B)=A B (h) B (B\A)=A B (i) A\(A B)= A B (j) A (B A t ) = (A B) t (k) B (A B t ) = (A B) t (l) A B = [A (A B)] [A (A B)] (m) A B = [B (A B)] [B (A B)] (n) A (B C)=(A B) (A C) (15) A ile B herhangi kümeler olmak üzere aşağıdaki denkliklerin sağlandığını gösteriniz: (a) A B= olması için gerek ve yeter koşul A=B olmasıdır. (b) A B=A olması için gerek ve yeter koşul B= olmasıdır. (c) A B=B olması için gerek ve yeter koşul A= olmasıdır. (16) Aşağıdakilerin sağlandığını gösteriniz: (a) { G i : i } = (b) { G i : i } = X. (17) Aşağıdaki eşitliklerin sağlandığını ispatlayınız: (a) ]n, [ = (b) _ n _ ]-n, n [ = R (18) Reel terimli bütün dizilerin kümesini s ile bütün sınırlı dizilerin kümesini l ile bütün yakınsak dizilerin kümesini c ile sıfıra yakınsak dizilerin kümesini c 0 ile terimlerinin mutlak değerlerinin toplamı yakınsak seri olan dizilerin kümesini l 1 ile ve mutlak değerlerinin p inci kuvvetleri toplamı yakınsak seri oluşturan dizilerin kümesini l p ile gösterirsek c, c 0, l 1,, l s dir. Ayrıca eğer p q ise l p l q dir. İspat ediniz. l p 14

9 15