SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin. A := {B P (X) : B sonlu} SORU 2: X sayılamayan bir küme"

Aysu Erol
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 2. ÖLÇÜLER 2.1 BazıKüme Sınıfları SORU 1: X bir sonsuz küme ve A da X kümesinin tüm sonlu alt kümelerinin bir sınıfıolsun. A sınıfıx üzerinde bir σ cebir midir? ÇÖZÜM 1: A := {B P (X) : B sonlu} X / A olduğundan A sınıfıσ cebir değildir. SORU 2: X sayılamayan bir küme (a) A 1 := {A X : A sayılabilir} (b) A 2 := {A X : A sayılabilir veya X\A sayılabilir} sınıflarıx üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 2: (a) X / A 1 olduğundan A 1 sınıfıx üzerinde σ cebir değildir. (b) (i) X t = sayılabilir olduğundan X A 2 dir. (ii) Keyfi A A 2 için X\A A 2 olduğunu gösterelim: A A 2 = A sayılabilir (X\A) t =A X\A A 2 veya X\A sayılabilir X\A A 2 1

2 (iii) n N için A 2 olsun. A 2 olduğunu gösterelim. Üç durum söz konusudur: 1 n N için A 2 sayılabilir olsun. Bu durumda sayılabilirdir. Yani A 2 olur. ( ) t 2 n N için A t n A 2 sayılabilir olsun. Bu durumda A t n = sayılabilirdir. Dolayısıyla A 2. 3 B = { : sayılabilir} C = { : A t n sayılabilir } olarak tanımlayalım. olarak yazılabilir. ( = ) t = t B B t C C t C gerçeklenir. C sınıfına ait olan kümelerinin A t n tümleyenleri sayılabilir olduğundan A t n sayılabilirdir. Sayılabilir bir kümenin her alt kümeside sayılabilir ola- ( ) t cağından sayılabilirdir. Dolayısıyla 2 A 2 sağlanır.

3 Sonuç olarak A 2 sınıfıx üzerinde σ cebirdir. SORU 3: A, X kümesi üzerinde bir cebir ve (B n ) de A daki elemanların ayrık dizisi olsun. B n A ise A sınıfıx üzerinde σ cebirdir. Gösteriniz. ÇÖZÜM 3: n N için A olmak üzere A olduğunu göstermeliyiz. E 0 : =, E n := B n : = \E n 1 n k=1 A k kümelerini tanımlayalım. Bu durumda (B n ) dizisi ayrık olup = B n gerçeklenir. Hipotezden B n A olduğundan sınıfıx üzerinde σ cebirdir. A dır. Dolayısıyla A SORU 4: X kümesi üzerindeki σ cebirlerin birleşimi de X üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 4: A : = {, N, {2n : n N}, {2n + 1 : n N}} B : =, N, {3n : n N}, {3n + 1 : n N}, {3n + 2 : n N}, A B, A C, B C =A =B =C 3

4 A ve B sınıfların üzerinde σ cebirdir. A B = {, N, {2n : n N}, {2n + 1 : n N}, A, B, C, A B, A C, B C} olur. {2n : n N} A / A B olduğundan A B sınıfı N üzerinde σ cebir değildir. SORU 5: Her tipten aralık, ışın ve tek nokta kümelerinin Borel cebirinin elemanıolduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM 5: (a, b] = [a, b] = (b, ) = (, a) = ( a, b + 1 n) B (R) ( a 1, b + 1 n n) B (R) (b, b + n) B (R) (a n, a) B (R) (, a] = (, a 2) [ a 2, a] B (R) [b, ) = [b, 2b] (2b, ) B (R) {a} = ( a 1 n n) B (R) SORU 6: f : X Y bir fonksiyon ve B sınıfıda Y üzerinde σ cebir olsun. A := {A X : f (A) B} sınıfıx üzerinde σ cebir midir? 4

5 ÇÖZÜM 6: (i) X A olduğunu göstermeliyiz. Eğer f fonksiyonu örten ise f (X) = Y B olup X A dır. (ii) Keyfi A A için A t A olduğunu göstermeliyiz. f fonksiyonu 1 1 ve örten ise A A f (A) B = [f (A)] t B = f (A t ) B = A t A elde edilir. (iii) n N için A olsun. B nin Y üzerinde σ cebir olduğu kullanılırsa = bulunur. A f ( ) B = f ( ) B ( ) = f B A Sonuç olarak f fonksiyonu 1 1 ve örten ise A sınıfıx üzerinde σ cebirdir. SORU 7: f : X Y bir fonksiyon ve A sınıfıda X üzerinde σ cebir olsun. B := { B Y : f 1 (B) A } 5

6 sınıfıy üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 7: (i) f 1 (Y ) = X A olduğundan Y B dir. (ii) Keyfi B B olsun. A sınıfının X üzerinde σ cebir olduğu dikkate alınırsa B B f 1 (B) A = [f 1 (B)] t A = f 1 (B t ) A = B t B elde edilir. (iii) n N için B n B olsun. B B f 1 (B n ) A = f 1 (B n ) A ( ) = f 1 B n A = B n B gerçeklenir. Dolayısıyla B sınıfıy üzerinde σ cebirdir. üzere SORU 8: X ve A sınıfıx üzerinde σ cebir olsun. B A olmak E := {A X : A = B C, C A} sınıfıb kümesi üzerinde σ cebir midir? 6

7 ÇÖZÜM 8: (i) B = B X veya B = B B olduğundan X, B A olması dikkate alınırsa B E elde edilir. (ii) Keyfi A E için B\A E olduğu gösterilmelidir. A E = A = B C, C A = B\A = B\ (B C) = B\A = B (B C) t = B\A = B (B t C t ) = B\A = (B B t ) (B C t ) = B\A = (B C t ) gerçeklenir. C t A olduğu dikkate alınırsa B\A E elde edilir. (iii) n N için E olsun. E = = B C n, C n A = = (B C n ) ( ) = = B C n olur. C n A olduğu dikkate alınırsa E sınıfının tanımından edilir. E elde Dolayısıyla E sınıfıb kümesi üzerinde σ cebirdir. 7

8 SORU 9: B herhangi bir küme olmak üzere A := {A X : A B X} sınıfıx üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 9: (i) B = X alınırsa A sınıfının tanımından X A dır. (ii) Keyfi A A kümesini dikkate alalım. B = X alınırsa A t X X gerçeklenir. O halde A t A sağlanır. (iii) n N için A olsun. A = B X, B X = B X olup A sağlanır. O halde A sınıfıx üzerinde σ cebirdir. SORU 10: A sabitlenmiş bir küme olmak üzere A := { B X : A B X veya A B t X } sınıfıx üzerinde σ cebir midir? ÇÖZÜM 10: (i) X A olduğu tanımdan açıktır. (ii) Keyfi B A olsun. Bu durumda A B X veya A B t X olacağından B t A gerçeklenir. 8

9 (iii) n N için B n A olsun. Buradan A B n X veya A Bn t X olacağından A B n X veya A Bn t X sağlanır. Yani, B n A dır. Dolayısıyla A sınıfıx kümesi üzerinde σ cebirdir. 9

Benzer belgeler

SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A

2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A