KÜMELERLE YENİ KURULUMLAR ÜZERİNE DOÇ. DR. ERDAL EKİCİ

Transkript

1 KÜMELERLE YENİ KURULUMLAR ÜZERİNE DOÇ. DR. ERDAL EKİCİ 1

2 TOPOLOJİK UZAYLARIN NE OLDUĞUNU HEMEN HEPİMİZ BİLMEKTEYİZ. TOPOLOJİK UZAYLARLA İLGİLİ TEMEL BİLGİLER [KUR, ENG, NAG] KAYNAKLARINDAN BAKILABİLİR. 2

3 TOPOLOJİNİN ANALİZ ÜZERİNDEKİ DEĞERİ TARTIŞILMAZDIR. TOPOLOJİNİN UYGULAMAYA YÖNELİK ÇALIŞMALARI MEVCUTTUR. 3

4 SON YILLARDA BİR KÜME ÜZERİNDE YENİ YAPILAR ÜZERİNE ÇALIŞMALAR LİTERATÜRDE YER ALMAKTADIR. ÖTE YANDAN TOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNDE ÇEŞİTLİ YAPILAR VE ÇALIŞMALARI DEVAM ETMEKTEDİR. 4

5 BU YAPILARDAN BİRİ İDEAL YAPISIDIR. BÖYLECE KARŞIMIZA İDEAL UZAYLAR KAVRAMI ÇIKMAKTADIR. 5

6 (X,τ) BİR TOPOLOJİK UZAY OLMAK ÜZERE; X in alt kümelerinden oluşan boş olmayan bir I ailesi aşağıdaki koşulları sağlaması durumunda I ailesine X üzerinde bir ideal denir [KUR]: 1) G I ve H G olduğunda H I ve 2) G I ve H I olduğunda G H I [KUR]. 6

7 [JAN] da sunulan aşağıdaki örneklere bakalım: X boş kümeden farklı olmak üzere sayılabilir alt kümelerinin ailesi X üzerinde bir idealdir. X boş kümeden farklı olmak üzere sonlu alt kümelerinin ailesi X üzerinde bir idealdir. P(X) bir idealdir. { } bir idealdir. 7

8 X üzerinde bir I ideali için, (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay yada kısaca ideal uzay olarak adlandırılmaktadır. 8

9 X üzerinde bir I ideali ile birlikte bir (X,τ) topolojik uzayı için P(X), X in kuvvet kümesi olmak üzere ve τ(x)={h τ:x H} olmak üzere G X için G (I,τ)={x X: H τ(x) için H G I} ile tanımlı (.) :P(X) P(X) dönüşümü yerel fonksiyon olarak adlandırılmaktadır [KUR]. 9

10 Yerel fonksiyonun çeşitli özelliklerine bakalım: A ve B, bir (X,τ,I) ideal topolojik uzayının alt kümeleri olmak üzere [KUR, JAN, VAID] (1) *= (2) A* Cl(A) (3) A** A* (4) (A B)*= A* B* (5) A B ise A* B* 10

11 ÇEŞİTLİ İLİŞKİLERİNE BAKALIM: A bir (X,τ,I) ideal topolojik uzayının alt kümesi olmak üzere [KUR, JAN, VAID] (1) I={ } ise A*=Cl(A) (2) I=P(X) ise A*= 11

12 Bir Kuratowski kapanış operatörü Cl (.), ile tanımlıdır [JAN]. Cl (G)=G G (I,τ) 12

13 IDEAL UZAYLARIN ÖZELLİKLERİ VE YAPISI BİR ÇOK YAZAR TARAFINDAN ÇALIŞILMIŞTIR. DONTCHEV [DONT] İDEAL UZAYLARDA BU ÇALIŞMALARI YAPANLARDANDIR. 13

14 (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere I- açık küme kavramını Jankovic ve Hamlett [JAN2] sundular. 14

15 (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere A X olsun. A Int(A*) oluyorsa A kümesine I-açık küme denir [JAN2]. (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere A X olsun. A Int(Cl*(A)) oluyorsa A kümesine ön-iaçık küme denir [DONT]. 15

16 TEOREM: [DONT] Her açık ve her I-açık küme ön-i-açık kümedir. 16

17 ÖRNEK: [DONT, ABD] X={a,b,c,d}, ={X,, {a,c}, {d}, {a,c,d}} ve I={, {c}, {d}, {c,d}} olmak üzere {a,c,d} kümesi açık ve ön-i-açıktır ancak I-açık değildir. 17

18 TEOREM : [DONT] (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere A X olsun. (1) I={ } ise A ön-i-açıktır A önaçıktır. (2) I=P(X) ise A ön-i-açıktır A açıktır. 18

19 (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere A X olsun. A A* ise A kümesi kendi içinde - yoğun olarak adlandırılır [HAY]. 19

20 Kendi içinde -yoğun kümelerin çeşitli ilişkileri tartışılmıştır: 20

21 TEOREM: [DEV] A bir (X,τ,I) bir ideal topolojik uzayında I-açık bir küme ise A, kendi içinde - yoğundur. 21

22 TEOREM: [DEV] (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olsun. A, I-açık ve B, yarı-açık bir küme ise (1) B A, kendi içinde -yoğundur. (2) cl(b) A, kendi içinde -yoğundur. 22

23 ÖTE YANDAN AYRIŞIMLAR ÜZERİNDE DURULMUŞTUR. 23

24 TEOREM : [DONT] (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olmak üzere A X olsun. Aşağıdakiler denktir: (1) A, I-açıktır, (2) A, ön-i-açık ve kendi içinde -yoğundur. 24

25 TEOREM: [DONT] f:(x,τ,i) (Y, ) bir fonksiyon olmak üzere aşağıdakiler denktir: (1) f, I-süreklidir, (2) f, ön-i-sürekli ve -I-süreklidir. 25

26 ÇEŞİTLİ İDEAL UZAY YAPILARININ ÖZELLİKLERİ ARAŞTIRILMIŞTIR. 26

27 (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olsun. I={ } ise I, sınır ideal olarak adlandırılmaktadır [NEW]. 27

28 TEOREM: [JAN] (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olsun. Aşağıdakiler denktir: (1) I sınır idealdir, (2) X=X*, (3) Her A açık kümesi için A A*, (4) Her J I için Int(J)=, (5) * I={ }. 28

29 ÖTE YANDAN KOMPAKTLILIK KAVRAMLARI ÜZERİNDEDE DURULMUŞTUR. 29

30 (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olsun. X in her {U : } açık örtüsü için X- {U i:i=1,2,3,,n} I olacak biçimde sonlu bir {U i:i=1,2,3,,n} alt ailesi var ise (X,τ,I), I-kompakt olarak adlandırılmaktadır [NEW], [RAN]. 30

31 BENZER OLARAK SAYILABİLİR KOMPAKTLILIK KAVRAMI ÜZERİNDEDE DURULMUŞTUR. 31

32 (X,τ,I) bir ideal topolojik uzay olsun. X in her sayılabilir {U n :n N} açık örtüsü için X- {U n i:i=1,2,3,,m} I olacak biçimde sonlu bir {U n i:i=1,2,3,,m} alt ailesi var ise (X,τ,I), sayılabilir I-kompakt olarak adlandırılmaktadır [NEW]. 32

33 ÖTE YANDAN İDEAL UZAYLARIN BİR ÇOK TEMEL ÖZELLİKLERİNE YÖNELİK ARAŞTIRMALAR VE YENİ YAPILAR GÖZÖNÜNE ALINARAK YAPILAN ARAŞTIRMALAR MEVCUTTUR. 33

34 TEŞEKKÜR EDERİM 34

35 KAYNAKLAR [ABD] M. E. Abd El-Monsef, E. F. Lashien and A. A. Nasef, On I-open sets and I-continuous functions, Kyungpook Math. J., 32 (1) (1992), [DEV] V. R. Devi, D. Sivaraj and T. T. Chelvam, Properties of some -dense in itself subsets, IJMMS, 2004: 72, [DONT] J. Dontchev, Idealization of Ganster-Reilly decomposition theorems, arxiv:math.gn/ v1 (1999). [ENG] R. Engelking, Outline of General Topology, North-Holland Publishing Company, Amsterdam,

36 [HAY] E. Hayashi, Topologies defined by local properties, Math. Ann., 156 (1964), [JAN] D. Janković and T. R. Hamlett, New topologies from old via ideals, Amer. Math. Monthly, 97 (1990), [JAN2] D. Janković and T. R. Hamlett, Compatible extensions of ideals, Boll. Un. Mat. It., 7 (1992), [KUR] K. Kuratowski, Topology, Vol. I, Academic Press, NewYork,

37 [NAG] J. Nagata, Modern General Topology, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, [NEW] R. L. Newcomb, Topologies which are compact modulo an ideal, Ph.D. Dissertation, Univ. Of Cal. at Santa Barbara, [RAN] D. V. Rancin, Compactness modulo an ideal, Soviet Math. Dokl., 13 (1972), No. 1. [VAID] R. Vaidyanathaswamy, Set topology, Chelsea Publishing Company, New York,