EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ İSTATİSTİK BÖLÜMÜ. Mühendislik Fakültesi DERS

Transkript

1 EGE ÜNİVERSİTESİ FEN FAKÜLTESİ İSTATİSTİK BÖLÜMÜ Mühendislik Fakültesi DERS Deri Mühendisliği Bölümü- İstatistik DÖNEM III. Yarıyıl DERSİ VEREN ÖĞRETİM ÜYESİ Dr. Öğr. Üyesi Melis ZEYBEK E MAIL melis.zeybek@ege.edu.tr TEL Dersin Amacı: Dersin amacı, öğrencileri verilerin sunumu ve analizi için istatistiksel düşünme konusunda bilgilendirmektir. İstatistikte kullanılan temel bilgi ve kavramlar tanıtılarak mühendislik, işletme, sağlık ve fizik bilimlerinde uygulama yapılmaktadır. İçerik: Temel Kavramlar Verilerin Sunulması: Frekans Dağlımları, Grafikler Tanımlayıcı İstatistikler: Merkez Ölçüleri, Dağılım Ölçüleri Olasılık Teorisi ve Rasgele Değişken Bazı Özel Olasılık Dağılımları: Normal Dağılım, Binom Dağılımı, Poisson Dağılımı İstatistiksel Tahmin: Aralık Tahmin Hipotez Testleri Sayım Yolu İle Elde Edilen Verilerin Analizi, Khi-Kare Testi (Bağımsızlık Testi) Basit Doğrusal Regresyon Takip Edilen Kitaplar: Temel İstatistik Yöntemler, Prof.Dr.Özkan Ünver, Prof.Dr.Hamza Gamgam, Yrd.Doç.Dr.Bülent Altunkaynak, Seçkin Yayıncılık, Ankara, 011 İstatistiğe Giriş, Prof.Dr.Fikret İkiz, Prof.Dr.Halis Püskülcü, Prof.Dr.Şaban Eren, Fakülteler Barış Yayınları, İzmir, 006 Olasılık ve İstatistiğe Giriş, Sheldon M. Ross, Çev:Prof.Dr.Salih Çelebioğlu, Prof.Dr.Reşat Kasap, Nobel Akademik Yayıncılık, Ankara, 01 İstatistik Yöntemleri, Doç.Dr.Murat Karagöz, Ekin Kitabevi, Bursa, 006 Temel İstatistik Yöntemleri, Yrd.Doç.Dr.Serpil Cula, Prof.Dr.Zehra Muluk, Başkent Üni. Ticari Bilimler Fak., Ankara, 006 Introduction to Probability and Statistics, J.S.Milton, J.C.Arnold,McGraw-Hill, Inc.1995 Uygulamalı İstatistik Cilt I, Ahmet Akdeniz, D.E.Ü.İ.İ.B.F. Ekonometri Böl., İzmir, 1998 Introduction to Probability and Statistics, J.S. Milton, J.C. Arnold, McGraw-Hill, Inc, 1995

2 Değerlendirme: ARASINAV %40 FİNAL SINAVI %60 Ders İzlencesi: KONU 1. Hafta Temel Kavramlar. Hafta Frekans Dağılımları, Grafikler 3. Hafta Tanımlayıcı İstatistikler: Merkez Ölçüleri 4. Hafta Merkez Ölçüleri 5. Hafta Değişkenlik Ölçüleri 6. Hafta Değişkenlik Ölçüleri 7. Hafta Olasılık 8. Hafta Arasınav 9. Hafta Olasılık Dağılımları: Sürekli Dağılımlar: Normal Dağılım 10. Hafta Kesikli Dağılımlar: Binom Dağılımı, Poisson Dağılımı Aralık Tahmin 11. Hafta Örneklem Dağılımları, Kitle-Örneklem Karakteristik Değerleri, Standart Hatalar, Güven Aralıkları 1. Hafta Hipotez Testi 13. Hafta Hipotez Testi 14. Hafta Khi-Kare Analizi 14. Hafta Basit Doğrusal Regresyon 15. Hafta Basit Doğrusal Regresyon 16. Hafta Final

3 TEMEL KAVRAMLAR İstatistik, sayıların dilini ve mantığını inceler. İstatistik Bilimi: Verileri inceleme işi ile uğraşan bilim dalı dır. Karar verme sürecinde toplanan verilerden anlam çıkarmada kullanılan bir araçtır. Gözlemlerin yapılması, verilerin toplanması, işlenip özetlenmesi, analizi ve yorumu için gerekli yöntemlerin geliştirilmesi ve uygulanması ile uğraşan, objektif karar vermede önemli bir rolü olan bilim dalı dır. İstatistikler: Sistemli biçimde toplanan sayısal rakamlar yani veriler anlamına gelmektedir. Bir veri kümesinden faydalanarak herhangi bir bilinmeyen parametre için tahmin olarak elde edilen yaklaşık değere de istatistik denilir. İstatistik: 1. Tanımlayıcı İstatistik: Bir olaya ait gözlem ya da ölçme sonucu elde edilen verileri, tablo halinde, grafik halinde, yaklaşık tek bir değer (ortalama) halinde sunmak şeklindeki bir durumu tasvir etmeye yönelik istatistiksel yöntemlerin bütününe Tanımlayıcı (Betimsel) İstatistik adı verilir.. Çıkarsamalı İstatistik: Mevcut duruma ait bilgilerden hareketle bir takım tahminlerde bulunma, yorumlarda bulunma ya da bir örnekten hareketle kitle hakkında bazı çıkarsamalar yapmak amacıyla geliştirilen İstatistiksel yöntemlere de Yorumlayıcı (Tümevarımsal) İstatistik denilmektedir. Temel Kavramlar: 1. Kitle - Örneklem: Kitle: Ortak özelliğe sahip bireylerin oluşturduğu topluluğa denir. Kitle sınırlı ya da sınırsız olabilir. Birey sayısı sayılamayacak kadar çok ise sınırsız olarak düşünülür. Parametre: Bir kitlenin ölçülebilir niteliklerini ifade eden değerlerine parametre denir. Parametreler bilinemeyen ancak tahmin edilebilen değerlerdir. Örneğin; Ülkedeki ailelerin gelir düzeyleri, Seçimlerde oy kullanacak seçmen sayısı. Örneklem: Kitleyi temsil etmek üzere, belli yöntemler ile elde edilen bir alt kümedir. Kısaca bir kitlenin herhangi bir alt kümesine ÖRNEKLEM denir. İstatistik: Herhangi bir örneklem için elde edilen karakteristik değerlere istatistik denir. Kitle parametrelerinin, örneklemde karşılık gelen değerine istatistik denilmektedir.

4 Kitle Örneklem N n Parametreler İstatistik Karakteristik Değerleri Kitle ortalaması : μ Örneklem ortalaması : x (İstatistiksel Ölçüleri) Kitle varyansı : σ Örneklem varyansı : s. Veri - Bilgi: Veri (Data): Belirli amaçlar için toplanan sayısal bilgilere veri denir. Bilgi (Information): Bir işlem süreci sonunda belirli bir amaca uygun olarak işlenen verilerdir. Örneğin, 10 kişinin yaşları: Veri: 15, 17, 1,, 5, 14, 19,, 30, 35 Ortalaması: Bilgi Veri Toplama Yöntemleri: a) Anket Yöntemi: Bilgiler, araştırma konusu ile ilgili olan kitleden derlenen bir gruba soru sormakla elde edilir. b) Gözlem Yöntemi: Araştırma yapılmak istenen olayların seyrine hiçbir şekilde karışmamak koşulu ile olayları yalnızca gözlemlemek ile bilgi elde etme yöntemidir. c) Deney Yöntemi: Çeşitli olaylar arasında neden-sonuç ilişkisine ilişkin karar verebilmek için oluşturulan yöntemdir. Burada araştırmacı deney düzenlediğinden olayların seyrine karışmaktadır. d) Projeksiyon Yöntemi: Bu yöntem psikologlar tarafından geliştirilmiş bir yöntemdir. Bu yöntem ile bilgiler dolaylı olarak yanıt verenlerden elde edilir. 3. Değişken: Araştırmada incelenen özelliklere değişken denir. Belli bir özelliğe ilişkin, sayı ile verilen bilgilerdir. Değerleri almada bir rasgelelik söz konusu olduğundan değişkenler, rasgele değişken (random variable) olarak isimlendirilir.

5 Örnek: Sınıfta rasgele seçilen 10 kız öğrencinin ağırlıkları (kg); Özellik Kız öğrencilerin ağırlıkları Değişken X X i : Kız öğrencilerin ağırlıkları (kg) 4. Dağılım: Veriler derlenir, belli sınıflar/gruplar oluşturulur ve böylece dağılım elde edilir. Yani verilerin özetlenmesi işlemidir. Dağılımları oluştururken, sınıflama ölçüsü her zaman aynı değildir. Sınıflandırma: Ölçüsü Coğrafi konum Dağılım YERSEL DAĞILIM (Örneğin, Gelen turist sayısının sınıflandırılması tatil bölgelerine göre yapıldıysa) Zaman ZAMAN SERİLERİ (Örneğin, Gelen turist sayısının sınıflandırılması yıllara göre yapıldıysa) Büyüklük FREKANS DAĞILIMI (Örneğin, 00 ailenin bir yılda et tüketimi (kg) aile sayısına göre yapıldıysa) 5. Değişken Türleri: Birimlerin araştırmaya konu olan herhangi bir özelliğine değişken denilmektedir. Birimlerin her biri bir öğrenci olduğunda bunların boy ölçüleri, ağırlık ölçüleri birer değişkendir ve öğrenciden öğrenciye değişir. Değişkenler; a) Nicel (Sayısal- Kantitatif) Değişkenler: Değerleri ölçüm, tartım, sayımla belirlenir. Örneğin; yaş, boy uzunluğu, ağırlık, gelir düzeyleri, hava sıcaklığı, nüfus yoğunluğu, hava basıncı, zeka düzeyi, belli bir ürünün ihracat miktarı, bir ailedeki kişi sayısı Sayısal (nicel) değişkenler Sürekli ve Kesikli Değişkenler olmak üzere iki kısma ayrılmaktadır. Sürekli değişkenler ölçmeye tabi olurken, kesikli değişkenler sayma işlemine tabi olurlar. Sürekli Değişken: Sayı ekseni üzerinde belirli iki nokta arasında bütün değerleri alabilen değişkenlerdir. Ağırlık, boy uzunluğu, kan şekeri düzeyleri gibi. Kesikli Değişken: Değişkenin değerleri tam sayılar ve katları şeklindedir. Bir bitkideki yaprak sayısı, bir mahalledeki ev sayısı, okuldaki öğrenci sayısı, ailelerin çocuk sayısı, gibi.

6 b) Nitel (Sayısal Olmayan-Kalitatif-Kategorik) Değişkenler: Değişik kategorilerden yalnızca birine katılabilen ve nümerik karakterde olmayan değişkenlerdir. Nitel değişkenler ölçülememekte fakat gruplandırılabilmektedir. Örneğin; cinsiyet (Kadın-Erkek), göz rengi (Mavi- Kahverengi), medeni durum (Evli-Bekar) 6. Verilerde Ölçme Düzeyi: İstatistiğin temelinde olayları ölçme eylemi yer almaktadır. İstatistiksel araştırmalarda, araştırmacının kullanacağı testlerin seçiminde en önemli belirleyicisi verilerin hangi ölçekte ölçüldüğüdür. Bu ölçme eylemi dört ayrı düzeyde gerçekleşebilir: - Sınıflayıcı (Nominal) ölçek - Sıralayıcı (Ordinal) ölçek - Aralıklı (Interval) ölçek - Oranlı (Ratio) ölçek a) Sınıflayıcı Ölçek: Sayılar ya da semboller değişik özellik gösteren sınıfları tanımlamada kullanılır. Olaylar ya da nesneleri belirli kategorilere ayırarak, sınıflama düzeyinde ölçmüş oluruz. Örneğin; tüketim mallarını, dayanıklı ve dayanıksız tüketim malları olarak ayırmak, İnsanları medeni hallerine göre bekar, evli, dul gibi sınıflara ayırmak, Öğrencileri bir dersten yıl sonunda başarılı, başarısız olarak iki sınıfa ayırmak gibi. Sınıflayıcı ölçme düzeyi sadece birimleri birbirinden ayırt etmeye yarar. Birimler arasında büyüklük küçüklük gibi mukayese bilgisi vermez. b) Sıralayıcı Ölçek : Sınıflamanın yanı sıra sıralama da söz konusudur. Olayları birbiri ile mukayese etmek için bunları belli bir özelliğe göre derecelendirmek gerekiyorsa sıralama düzeyinde ölçme ortaya çıkmaktadır. Örneğin; bir işletmenin ürünlerini kalite açısından birinci, ikinci, üçüncü kalite olarak ayırması, öğrencilerin başarı düzeylerinin zayıf, orta, iyi, pekiyi olarak belirlenmesi Ayrıca Askeri rütbelerin, Üniversitede akademik personelinin, Kamu personelinin idari ünvanlara göre sınıflanması sıralayıcı ölçeğe örnektir. c) Aralıklı Ölçek : Keyfi bir başlangıç noktası alınır ve başlangıç noktasının sağında ve solunda kalan kısımlar eşit birimlere bölünür.

7 Örneğin; ısı ölçüleri, zaman ölçüleri, puan d) Oranlı Ölçek: Başlangıç noktası gerçek bir sıfır noktasıdır. Bu ölçüde standart ölçü birimleri kullanılır. Başlangıç düzeyinin sabit olması ve oranlanabilir olması oransal ölçeğin temel özelliğidir. Örneğin, uzunluk ölçülerinde, ağırlık ölçülerinde başlangıç noktası hep sıfırdır. 7. Gözlenen Dağılım- Beklenen Dağılım: a) Gözlenen Dağılım (Deneysel Dağ.): Bazı dağılımlar alandan derlediğimiz dağılımlardır. Örnek: 4 çocuklu ailelerde erkek çocuk sayısı incelenmek isteniyor. 4 çocuklu 160 aile eçiliyor. Erkek çocuk sayıları dağılımı: Sınıf Değeri Aile Sayısı Örnek: Memba sularında zararlı mikrop olup olmadığının kontrolü için mikrop sayımı yapılır. Şöyle ki, mikropların üreyeceği besi doldurulmuş cam kaplara su örnekleri konur. Mikropların hızla üreyeceği belli sıcaklıkta 4 saat tutulur. Mikrop varsa bunlar çoğalırlar ve koloni oluştururlar. Koloniler sayılarak mikrop sayımı yapılır. Mikrop Sayıları Sınıf Değeri Petri Sayısı GÖZLENEN DAĞILIMDIR (Aynı zamanda frekans dağılımıdır. Sınıf değerleri tam sayı 4 3 şeklindedir.)

8 b) Teorik Dağılım (Beklenen Dağ.): Bazı dağılımlar belli bir formülün açılımından yada belli bir değişkenin beklenti değeri olarak ortaya çıkarlar. Böyle dağılımlara Teorik Dağılım diyoruz. Örnek: 4 çocuklu ailelerde erkek çocuk sayısı dağılımını ele alalım. (a+b) n : Binom açılımı, matematiksel bir ifadedir ve bir dağılım verir. Genetik teoriden beklenen çocuk cinsiyeti; Erkek çocuk olma olasılığı p = 1/ Kız çocuk olma olasılığı q= 1/ 4 çocuğun (n=4) beklenen cinsiyet kombinasyonu; (p+q) 4 Binom açılımından yazılabilir. ( ) 4 = ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) + 6 ( 1 ) ( 1 ) + 4 ( 1 ) ( 1 ) 3 + ( 1 ) 4 = çocuğun da erkek olma olasılığı 3 erkek-1 kız olma olasılığı 1 erkek-3 kız olma olasılığı 4 kız olma olasılığı erkek- kız olma olasılığı Burada oluşturulan dağılım TEORİK DAĞILIMDIR. n= 160 aile için Gözlenen ve Teorik Dağılımlar karşılaştırılırsa; Gözlenen Dağılım Teorik Dağılım Erkek Çocuk fi fi n.p = 160*p Sayısı Aile Aile (160 * 1/16 = 10) (160 * 4/16 = 40) (160 * 6/16 = 60) (160 * 4/16 = 40) (160 * 1/16 = 10)

9 FREKANS DAĞILIMLARI VE GRAFİKLER 1. Frekans Dağılımları: Sınıflandırılmış ve gruplandırılmış veriler, Frekans Dağılımı diye anılır. Veri özetleme yollarından biridir. Frekans Dağılımının hazırlanması; 1. Sınıflar belirlenir. Veriler sınıflara dağıtılır ve sayılır. Dağılım Sınırları: Bir dağılımda yer alan en küçük ve en büyük değerdir. Dağılım Genişliği (Range): Dağılım sınırları arasındaki farktır. R = xmax - xmin Sınıf : Eşit yada birbirine yakın değerli birimlerin oluşturduğu gruplardır. Genellikle sınıf sayısının 5 ile 0 arasında olması istenir. Sınıf sayısı k ile gösterilir. Sınıflar Gerçek Değerler veya Sınıflar den az den az den az dan az Sınıf üst sınır Sınıf alt sınırı Sınıf Aralığı : c ile gösterilir. Ard-arda gelen iki sınıfın alt sınırları ve aynı zamanda üst sınırları arasındaki farktır. Yukarıdaki örnekte sınıf aralığı c=5 dir. Frekans : f i ile gösterilir. Her sınıfa düşen gözlem sayısıdır. Frekansların toplamı, toplam k gözlem sayısını verir : i=1 f i = n, n = toplam gözlem sayısıdır. Alt sınır+üstsınır Sınıf Değeri Sınıf Orta Noktası : Sınıf Değeri: : Sınıf orta noktası Göreli Frekans (Relative Frequency) : Her frekansın n sayısına bölümü ile elde edilir. Gözlemlerin % kaçının o sınıfa ait olduğunu gösterir. k Göreli frekans: p i = f i, p n i=1 i = 1, Yüzde frekans: p i = f i 100, p n i=1 i = 100 Kümülatif Frekans (Yığmalı, Toplamlı Frekans): Cumf i yada F i ile gösterilir. Sınıf frekanslarının üst üste eklenmesi ile elde edilir. Kümülatif Göreli Frekans: Kümülatif frekansların n e bölünmesi ile elde edilir. k Kümülatif Göreli Frekans = F i n

10 Örnek 1: Kırmızı et ağırlıklı gıda ile beslenen 30 kişinin kanlarındaki kolesterol miktarları ölçülmüş (mg%) ve sonuçlar aşağıda verilmiştir. Verinin frekans dağılımını oluşturunuz. (k = 8 sınıf yapınız.) Çözüm: X i : Kolesterol düzeyleri (mg%) Sürekli değişken Dağılım sınırları: Xmax = 81, Xmin = 141 Dağılım genişliği: Range = R = Xmax Xmin = = 140 k = 8 sınıflı frekans tablosu (dağılımı) isteniyor. Sınıf aralığı: c = R/k = 140/8 = 17,5 c = 0 alalım. Frekans Dağılımı: Sınıflar Çeteleme f i (Frekanslar) hariç ( veya 140 X < 160 ) II hariç ( veya 160 X < 180 ) I hariç ( veya 180 X < 00 ) III hariç ( veya 00 X < 0 ) IIII I hariç ( 0-39 veya 0 X < 40 ) IIII IIII hariç ( veya 40 X < 60 ) IIII hariç ( veya 60 X < 80 ) II hariç ( veya 80 X < 300 ) II f i = 30 i=1 = n Sınıflar f i X i Sınıf orta noktası p i Göreli Frekans F i Kümülatif frekans hariç ( )/ = 150 /30 = hariç /30 = = hariç = hariç hariç hariç hariç hariç n = 30 k i=1 p i = 1 Göreli frekans, gözlemlerim % kaçının o sınıfa ait olduğunu gösterir. Gözlemlerin %33 ü 5. Sınıftadır.

11 . Grafikler: Frekans Dağılımları, daha görsel bir şekilde grafikler ile sunulabilir. Histogram: Sürekli Değişkenler için uygundur. Çizgi Grafiği: Sürekli Değişkenler için uygundur. Çubuk Grafiği (Bar Grafik- Bar Chart) Kesikli Değişkenler için uygundur. Dairesel Grafik (Pasta Grafiği-Pie Chart) Kesikli Değişkenler için uygundur.

12 Gövde-Yaprak Grafiği (Stem-and-Leaf Chart) : Sürekli Değişkenler için uygundur. Histograma benzer. Dikdörtgenler yerine verilerin sayısal değerleri görülür. Kutu Grafiği (Box Plot) : X-Y İlişki Grafiği (Scatter Plot) : İki değişken arasındaki ilişkinin yönünü, tipini belirler Serpme Diyagramı Orijinal veri (Ham veri) için kullanılır.

13 Örnek : Örnek 1 deki veri için; a. Histogram oluşturunuz. b. Çizgi Grafiğini çiziniz c. Kümülatif frekans grafiğini çiziniz. (Kümülatif için çizgi grafiği)

14 Örnek 3: Bir sınıftaki 15 öğrencinin cinsiyetleri aşağıdaki gibidir. CINS: K; K; K; E; E; K; E; E; K; K; E; K; K; E; K Görüldüğü gibi öğrencilerin 9'u kız, 6'sı erkek öğrencilerden oluşmaktadır. Bu değerlerin yüzde karşılığı sırasıyla %60 ve %40'tır. Buna göre çizilecek pasta grafiğinde, 3600 'lik toplam alanın %60'lık dilimi kız öğrencilerin frekansını, %40'lık dilimi ise erkek öğrencilerin frekansını göstermelidir. 360 %60 = 360 0,60 = %40 = 360 0,40 = 144 Buna göre kız öğrencilerin frekansı 16 0 'lik, erkek öğrencilerin frekansı ise 'lik daire dilimi ile gösterilecektir. Grafikte dilimlerin dereceleri gösterilmez. Bu dereceler dilimlerin büyüklüklerinin hesaplanmasında kullanılır. Grafik aşağıda verilmiştir. Örnek 4. : Bir sınıftaki 15 öğrencinin sosyoekonomik düzeyleri (SED), alt SED, orta SED ve üst SED kategorilerine göre aşağıdaki gibidir. SED: Alt; Alt; Orta, Üst; Üst; Orta, Orta; Orta; Alt; Üst; Alt; Alt; Orta; Orta; Üst Görüldüğü gibi öğrencilerin 5'i alt SED'de, 6'sı orta SED'de ve 4'ü üst SED'de yer almaktadır. Bu frekanslar sırasıyla %33,3, %40 ve %6,7 frekans yüzdelerine karşılık gelmektedir. O halde sütun grafiği aşağıdaki şekillerde çizilebilir.

15 Örnek 5: Bir sınıftaki 5 öğrencinin yazılı sınav notları aşağıda verilmektedir. 55; 60; 65; 75; 90; 95; 90; 80; 75; 75; 70; 65; 60; 50; 45; 40; 70; 65; 70; 70; 60; 70; 80; 75; 70 Yazılı sınav notları, nicel, sürekli ve eşit aralık ölçeği düzeyinde bir değişkendir. Bu nedenle bu değişkenin frekans dağılımının betimlenmesinde uygun grafik türlerinden biri histogramdır. Gruplandırılmamış Notlara Göre Histogram çiziniz. Histogram çizmeden önce bu notları sıralamak ve frekans tablosunu oluşturmak, sayma ve sınıflama işlemleri için kolaylık sağlayacaktır. SIRALI NOTLAR: 40; 45; 50; 55; 60; 60; 60; 65; 65; 65; 70; 70; 70; 70; 70; 70; 75; 75; 75; 75; 80; 80; 85; 85; 90 Görüldüğü gibi öğrencilerden 1'i 40, 1'i 45, 1'i 50, 1'i 55, 3'ü 60, 3'ü 65, 6'sı 70, 4'ü 75, 'si 80, 'si 985 ve 1'i 90 not almıştır. Bu frekans değerlerinin yüzdeleri sırasıyla %4, %4, %4, %4, %1, %1, %4, %16, %8, %8 ve %4'tür. Buna göre frekans tablosu aşağıda verilmiştir. "öğrencilerin %0'si 70 not almıştır", öğrencilerin%1'si 60'ın altında, %0'si 75'in üzerinde not almıştır", "toplam öğrenci sayısı 5, 70 ve üzerinde not alan öğrenci sayısı ise 15'tir" gibi betimsel yorumlar yapmak mümkündür.

16 Örnek 6: Aşağıdaki artan sırada dizilmiş veri grubunun gövde-yaprak grafiğini oluşturunuz. 3, 6, 1, 17, 19,, 8, 35, 37, 38, 41, 44, 47, 49, 51, 56, 63, 64, 66, 68, 71, 76, 78, 81, 88, 94 Bir dal ve yaprak grafiği, ilk sütunda bu sayıların ilk rakamını yazarak, geri kalan rakamları ise karşılık gelen sütunun sağ tarafında sıralayarak oluşturulur. Aşağıdaki grafik, yukarıda verilen veri grubuna ait dal ve yaprak grafiğidir: 3. Frekans Dağılım Türleri:

17 ALIŞTIRMALAR: 1. Bir sınıftaki 0 öğrenciden en çok izlenen TV program türü için aşağıdaki veri derlenmiştir. Müzik, Spor, Spor, Haber, Dizi, Spor, Müzik, Dizi, Belgesel, Spor, Dizi, Belgesel, Dizi, Müzik, Müzik, Haber, Belgesel, Spor, Müzik, Spor Bu istatistiksel veriye ilişkin frekans dağılımı oluşturunuz ve daire grafiğini çiziniz (NOT: Sınıfların dairenin toplam alanındaki payını ve yüzde ağırlığını belirleme işlemlerini oluşturacağınız tabloda gösteriniz).. Bir firmanın 30 pazarlama elamanının aylık satış hasılaları (Bin TL) aşağıdadır. Bu istatistiksel veri için frekans dağılımı oluşturunuz ve histogram grafiği çiziniz Kitle kavramını açıklayınız ve bu kavramla ilgili dört örnek veriniz. 4. Örnek kavramını açıklayınız. 5. Sınıflama ölçme düzeyini açıklayınız ve bu düzeyde ölçülen değişkenlere beş örnek veriniz. 6. Eşit aralıklı ölçme düzeyini açıklayınız ve beş örnek veriniz. 7. Oranlama ölçme düzeyini açıklayınız ve bu düzeyde ölçülen değişkenlere örnek veriniz. 8. Betimleyici istatistikler hangi amaçla kullanılır? 9. Kombi cihazlara pazarlayan bir firmanın bir haftalık sürede gerçekleştirdiği satışlardan kombinin markası için aşağıdaki veri derlenmiştir. Bu veri için frekans dağılımını oluşturunuz. Buderus, Vaillant, Buderus, Ferroli, Demirdöküm,Demirdöküm, Vaillant, Demirdöküm, Ferroli, Demirdöküm, Vaillant, Demirdöküm, Vaillant, Buderus, Buderus, Demirdöküm, Vaillant, Vaillant, Demirdöküm, Demirdöküm ailenin çocuk sayıları aşağıda verilmiştir. Frekans dağılımını oluşturunuz Bir üniversitenin işletme bölümündeki 30 öğrencinin bir yarıyıl boyunca kütüphanede geçirdikleri süreye ilişkin istatistiksel veri aşağıdadır a. Değer aralığı uzunluğunu bulunuz. b. Sınıf sayısını 8 olarak seçiniz ve sınıf aralıklarının uzunluğunu bulunuz. c. Frekans dağılımını oluşturunuz. d. Birikimli diyagramını çiziniz.

18 1. Bir mağazadan alışveriş yapan 0 müşterinin cinsiyetleri ve marka tercihleri aşağıdadır. Müşteri No Cinsiyet E E K K E E K E E E Marka Tercihi A A B C C B A A C C Müşteri No Cinsiyet K K K E K E K K E K Marka Tercihi D C C B B B A C C D Cinsiyet değişkenin E ve K ile gösterilen düzeyi, marka tercihinin de A, B, C ve D ile gösterilen 4 düzeyi vardır. Bu veriye ilişkin çapraz tablo oluşturunuz. 13. Bir sitedeki 5 konutun aylık doğalgaz tüketimleri (m 3 ) aşağıda verişmiştir a. Frekans dağılımı oluşturunuz. (sınıf sayısını 6 olarak seçiniz) b. Veriye ilişkin histogram oluşturunuz. 14. Bir firmanın 30 pazarlama elemanının aylık satış hasılaları (Bin TL) aşağıdadır a. Sınıf sayısı 8 seçildiğinde frekans dağılımını oluşturunuz. b. Histogramını çiziniz. 15. Bir sınıftaki 0 öğrenciden en çok izlenen TV programını türü için aşağıdaki veri derlenmiştir. Müzik, Spor, Spor, Haber, Dizi, Spor, Müzik, Dizi, Belgesel, Spor, Dizi, Belgesel, Dizi, Müzik, Müzik, Haber, Belgesel, Spor, Müzik, Spor a. Frekans dağılımı oluşturunuz. b. Oluşturduğunuz frekans dağılımı için daire grafiğin çiziminde sınıfların dairenin toplam alanındaki payını ve yüzde ağırlığını belirleyiniz. c. Daire grafiğini oluşturunuz. 16. Bir kurumdaki 30 çalışanın eğitim düzeylerine ilişkin aşağıdaki veri derlenmiştir. Lise, Üniversite, Yüksek lisans, Üniversite, Yüksek lisans, Yüksek lisans, Üniversite, Doktora, Yüksek lisans, Lise, Lise, Üniversite, Üniversite, Üniversite, Üniversite, Yüksek lisans, Yüksek lisans, Lise, Lise, Üniversite, Üniversite, Üniversite, Lise, Lise, Üniversite, Üniversite, Üniversite, Doktora, Lise, Üniversite a. Frekans dağılım tablosunu oluşturunuz. b. Çubuk grafiğini oluşturunuz.

19 17. Bir sınıftaki 50 öğrencinin barınma biçimine göre dağılımı aşağıda verilmiştir. Barınma Biçimi Öğrenci Sayısı Yurt Aile ile 16 Öğrenci evi 8 Diğer 4 Toplam 50 a. Frekans dağılımı için daire grafiğini oluşturunuz ve yorumlayınız. b. Çubuk grafiğini oluşturunuz. 18. Bir okuldaki 40 öğrencinin en çok izlenen tv programı türüne ilişkin verdikleri cevaplar aşağıdadır. Dizi, Dizi, Spor, Dizi, Spor, Spor, Müzik, Müzik, Müzik, Spor, Spor, Belgesel, Spor, Belgesel, Spor, Dizi, Dizi, Dizi, Spor, Müzik, Müzik, Müzik, Dizi, Dizi, Müzik, Müzik, Spor, Spor, Spor, Spor, Müzik, Müzik, Müzik, Dizi, Dizi, Belgesel, Belgesel, Belgesel, Spor, Spor a. Bu istatiksel veriyi frekans dağılımına dönüştürünüz. b. Daire grafiğini çiziniz c. Çubuk grafiğini çiziniz 19. Bir kurumda çalışan 4 bireyin bir haftalık sürede sosyal faaliyetlere ayırdıkları süreler (dakika) aşağıda verilmiştir. 10, 100, 140, 15, 165, 180, 190, 0, 50, 310, 305, 16, 175, 18,19, 177, 165, 175, 19, 175, 10, 130, 10, 115, 18, 1, 134, 141, 108, 115, 1, 134, 141, 15, 148, 171, 80, 136, 14, 179, 41, 65 a. Bu istatistiksel veriyi sınıf sayısını 5 olarak frekans dağılımına dönüştürünüz. b. Histogramını çiziniz. c. Diyagramını çiziniz. d. Birikimli diyagramını çiziniz.

20 TANIMLAYICI İSTATİSTİK: İstatistik Tanımlayıcı İstatistik Çıkarsamalı İstatisti Merkez Ölçüleri: Dağılım Ölçüleri Tahmin Hipotez Testleri Aritmetik Ortalama Range Nokta Tahimini Parametrik Medyan Değişim katsayısı Aralık Tahmini Non- Parametrik Mod Ortalama sapma Geometrik Ortalama Standard sapma Harmonik Ortalama Varyans Karesel Ortalama Quartile-Kantil-Desil-Persentil A. MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ: Gözlem değerlerinin etrafında toplandığı merkezi değeri ifade ederler. 1. Aritmetik Ortalama: Her bir gözleme yönelik ölçme sonuçlarının toplamının gözlem sayısına bölünmesi ile elde edilen bir nokta değerdir. Kitle ortalama: μ = N i=1 x i N Örneklem Ortalama: x = n i=1 x i n Frekans dağılımlarında aritmetik ortalama değeri: Kitle ortalama: μ = k i=1 f ix i N Örneklem Ortalama: x = k i=1 f ix i k i=1 f i = k i=1 f ix i n n Aritmetik ortalama ile gözlem değerleri farkının toplamı sıfırdır : i=1 (x i x ) = 0 Örnek 7: 1 öğrencinin günlük bilgisayar kullanım süreleri şu şekildedir: sa; 3sa; 1sa; 1,5sa; 1sa; 4sa;,5sa; sa; 3sa; sa; 1,5sa; sa Buna göre bu öğrencilerin günlük ortalama bilgisayar kullanma süresini hesaplayalım. 1 x = i=1 1 x i = x 1 + x + + x 1 1 = =.15

21 Örnek 8: Örnek 1 de verilen veri için a. Gruplandırılmış veri için aritmetik ortalamasını bulunuz. (Frekans tablosunu kullanarak) x = Sınıflar f i X i Sınıf orta noktası f i x i hariç ( )/ = hariç hariç hariç hariç hariç hariç hariç i=1 f i = 30 k i=1 f i x i = 670 k i=1 f ix i k i=1 f i = ( 150)+(1 170)+(3 190)+ +( 90) 30 = = 4 Ağırlıklandırılmış ortalamadır. b. Ham veriyi kullanarak aritmetik ortalama bulunuz. 30 x = i=1 30 x i =. Medyan (Ortanca) = = Medyan, küçükten büyüğe doğru sıralanmış verilerin tam ortasında kalan değerdir. Medyan, sıralanmış verileri %50 %50 olarak ikiye bölen noktadır ve grubun yarısı hakkında bilgi verir. Gözlem sayısı tek olduğunda (n tek) : medyan = Xn+1 Gözlem sayısı çift olduğunda (n çift): medyan = Frekans dağılımlarında medyan değeri: (Xn+Xn +1) Medyan sınıfı kümülatif frekanslar dikkate alındığında toplam frekansın yarısını içinde bulunduran sınıftır. Örnek 9: Gözlem sayısı tek olduğunda: Bir sınıftaki 5 öğrencinin bireysel kitaplığında bulunan kitap sayıları şu şekildedir: 1; 15; 10; 8; 1; 16; 0; 47; ; 16; 18; 15; 16; 19; 3; 45; 0; 16; 10; 15; 7; 0; 16; 10; 11

22 Sıralı veri aşağıda verilmiştir: 7; 8; 10; 10; 10; 11; 1; 1; 15; 15; 15; 16; 16; 16; 16; 16; 18; 19; 0; 0; 0; ; 3; 45; 47 medyan = Xn+1 = X 13 = 16. Bu değer grubun yarısı hakkında bilgi verir. Yani "öğrencilerin yarısının bireysel kitaplığında 16 ve üzerinde kitap bulunmaktadır" ya da "öğrencilerin yarısının kitaplığında 16 ve altında kitap bulunmaktadır" şeklinde yorumlar yapılabilir. Örnek 10: Gözlem sayısı çift olduğunda: Bir sınıftaki 4 öğrencinin bireysel kitaplığında bulunan kitap sayıları şu şekildedir: 0; ; 10; 10; 10; 11; 1; 1; 13; 14; 15; 15; 16; 16; 16; 16; 18; 19; 0; 0; 0; ; 3; 5 Bu durumda ortada iki sayı değeri kalmaktadır: 1 ve 13. sıradaki sayılar. medyan = (Xn+Xn +1) = (X 1+X 13 ) = (15+16) = 15.5 Örnek 11: Örnek 1 de verilen sınıflandırılmış verinin medyanını bulunuz. Sınıflar f i X i Sınıf orta noktası F i hariç ( )/ = hariç hariç hariç hariç hariç hariç hariç i=1 f i = 30 Medyan sınıfı : 30/=15 -> 4. ve 5. sınıfların arasındadır yani 5. sınıfın içindedir. Medyan sınıfı: 5. Sınıf Medyan sınıf aralığı= 40-0=0 Medyan = L med + k i=1 f i k 30 f i=1 med i = 0 + f med 1 0 = 6 10

23 3. Mod (Tepe Değeri) En çok tekrar eden değere denir. Frekans dağılımlarında en yüksek frekansa sahip olan gözlem değeridir. Verinin küçükten büyüğe sıralanması mod değerinin bulunmasını kolaylaştırır. Frekans dağılımlarında mod değeri: Mod = L md + ( d 1 d 1 +d ) c Mod sınıfı: En yüksek frekansa karşılık gelen sınıf. L md = mod sınıfının alt sınırı c = sınıf aralığı d 1 = mod sınıfı ile ondan önceki sınıfın frekansları farkı d = mod sınıfı ile ondan sonraki sınıfın frekansları farkı Örnek 1: Bir sınıftaki 5 öğrencinin yazılı sınav notları aşağıda verilmektedir: 55; 60; 65; 75; 90; 95; 90; 80; 75; 75; 70; 65; 60; 50; 45; 40; 70; 65; 70; 70; 60; 70; 80; 75; 70 SIRALI NOTLAR: 40; 45; 50; 55; 60; 60; 60; 65; 65; 65; 70; 70; 70; 70; 70; 70; 75; 75; 75; 75; 80; 80; 85; 85; 90 Görüldüğü gibi en sık tekrar eden ya da frekansı en yüksek olan not 70'dir. 70 değerinin frekansı 6'dır. Bu durumda yazılı notlarının modu 70 olur. Örnek 13: Sıralı veri: 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8 Mod =6 ve 7 (iki tepeli-iki modlu dağılım) Örnek 14: Örnek 1 - kolestrol verisini göz önüne alalım

24 Ham veri incelendiğinde, tekrar eden değer olmadığı için, kolestrol verisinin (ham veri için) modu yoktur. Ancak, frekans dağılımı göz önüne alındığında, Sınıflar hariç hariç hariç hariç hariç hariç hariç hariç 8 i=1 f i = 30 Mod sınıfı: 5. Sınıf. Mod = L md + ( d 1 d 1 +d ) c = 8 Mod sınıfı: En yüksek frekansa karşılık gelen sınıf. L md = mod sınıfının alt sınırı =0 c = sınıf aralığı = 0 f i d 1 = mod sınıfı ile ondan önceki sınıfın frekansları farkı =10-6=4 d = mod sınıfı ile ondan sonraki sınıfın frekansları farkı =10-4=6 NOT: Aritmetik ort = Medyan = Mod ise simetrik dağılım Aritmetik ort > Medyan > Mod ise sağa çarpık dağılım (+ asimetri) Aritmetik ort < Medyan < Mod ise sola çarpık dağılım (- asimetri)

25 4. Quartile Kartil (Dörde Bölenler), Desiller (Ona bölenler), Persantiller (Yüze bölenler) a) Kartil : Küçükten büyüğe sıralanmış veri setinin %5 lik parçalarına denk gelen verilerdir. (Dörde bir) Üç adet kartil bulunur: Birinci kartil (alt kartil= Q1); İkinci kartil (orta kartil= Q=Medyan); Üçüncü kartil(üst kartil= Q3). Verilerin %5 i Q1 değerinin, %50 si Q=Medyan değerinin, %75 i ise Q3 kartil değerinin altında kalır. Verilerin %75 i Q1 değerinin, %50 si Q=Medyan değerinin, %5 i ise Q3 kartil değerinin üzerinde kalır. Verilerin %50 si Q1 ve Q3 kartil değerleri arasında yer alır. Çeyreklik değerlerin hesaplanmasında hangi sıradaki gözlenen değerin çeyreklik olduğunun belirlenmesinde aşağıdaki formüller kullanılabilir: Frekans dağılımlarında ise, Q 1 = L Q1 + f m c, = n 4 F m 1, c = sınıf aralığı, f m = 1. Kartil sınıfındaki frekans, L Q1 = 1. Kartil sınıfının alt sınırı Q = Medyan = L med + Q 3 = L Q3 + f m c, k i=1 f i k f i=1 med f med i = 3n 4 F m 1, f m = 3. Kartil sınıfındaki frekans, L Q1 = 3. Kartil sınıfının alt sınırı

26 Örnek 15: Örnek 16: Örnek 1 de verilen kolestrol verisinin frekans dağılımını göz önüne alalım. 1. Kartil ve 3. Kartil değerlerini hesaplayınız. Sınıflar f i X i Sınıf orta noktası F i hariç ( )/ = hariç hariç hariç hariç hariç hariç hariç i=1 f i = Kartil Q 1 : n/4= 7.5 ve sonrası, yani, 1. Kartil sınıfı 4. Sınıf. = n 4 F m 1 = = 1.5 Q 1 = L Q1 + c = = 05 mg% f m 6 30 kişiden %5 inin kolestrol düzeyi 05 mg% nin altındadır. 3. Kartil Q 3 : 3n/4=.5 ve sonrası, yani, 3. Kartil sınıfı 6. Sınıf. = 3n F 4 m 1 = 30 3 = 0.5 Q 3 = L Q3 + c = = 4.5 mg% f m 4 30 kişiden %75 inin kolestrol düzeyi 4.5 mg% nin altındadır ve %5 inin 4.5 in altındadır. 4

27 Örnek 17: Erkek çalışanların maaşlarının yarısı, 350 TL ile 900 TL arasında yer almaktadır. Medyan çizgisi, kutunun sol kenarına yakın olduğundan, sağa çarpık olduğunu, bir başka ifadeyle, maaşların sağ tarafta toplandığını göstermektedir.

28 b) Desil (Ondabir) : Sıralanmış bir veri setini 10 eşit parçaya ayıran gözlemlerin belirlenmesi, onda birler yardımıyla yapılır. Böylece veri setindeki gözlemlerin %10, %0,..., %90 lık bölümünün, hangi değerin üzerinde veya altında kaldığı belirlenir. Bir veri setinde 9 adet onda bir vardır. D 1 = X (n+1/10), D = X (n+1/10).... D 9 = X 9(n+1/10) Örnek 18: Aşağıdaki verilerin %80 i hangi gözlemin altında yer alır? 8. Onda biri bulduğumuz taktirde, verilerin %80 i o gözlemin altında kalacaktır. D 8 = X 8(50+1/10) = X 40.8 yani 41. Gözlem olan 40 sayısının altında kalacaktır. Örnek 19: Örnek 1 de verilen kolestrol verisini göz önüne alalım. Kolestrol düzeyi en yüksek olan %0 nin kolestrol düzeyi nedir?

29 b) Persentil (Yüzdebir) : Sıralanmış bir veri setini 100 eşit parçaya ayıran gözlemlerin bulunmasında, yüzde birlerden yararlanılır. Onda birlerin daha duyarlı şeklidir. P 1 = X (n+1/100), P = X (n+1/100).... P 99 = X 99(n+1/100) Örnek 19: Örnek 1 de verilen kolestrol verisini göz önüne alalım. Kolestrol düzeyi en yüksek olan %5 nin kolestrol düzeyi nedir? Yani 95. Persentil, P 95 =? 5. Düzeltilmiş Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalamanın önemli sakıncalarından biri olarak, uç değerlerden etkilenmesidir. Uç değerler ayıklandığı taktirde, bu sakınca giderilmiş olacaktır. Uç değerleri ayıklamak için, 3 yöntemden yararlanılmaktadır: 1.Kartiller.KartilAralığı 3.Yüzdebirler Örnek 0: Sıralanmış bir veri setinde, 1. kartilden küçük ve 3. kartilden büyük değerleri çıkarıp, geride kalan verilerle, düzeltilmiş aritmetik ortalama hesaplayabiliriz. Böylece, uç değerler ayıklanmış ve aritmetik ortalama üzerindeki etkileri giderilmiş olacaktır. Sıralanmış veri: Önce mevcut haliyle aritmetik ortalama: x = 95 / 11 = Şimdi 1. ve 3. kartili belirleyelim: Q 1 = = 3. Veri olan 6 ve Q 3 = 3(11+1) 4 = 9. Veri olan 8 1. kartil olan 6 dan küçük ve 3. kartil olan 8 den büyük verileri çıkardıktan sonra veri setimiz: Düzeltilmiş aritmetik ortalamayı hesaplayabiliriz: : x = 50 / 7 = 7.14

30 Örnek 1: Kırmızı et ve sebze ağırlıklı beslenen bireylerin kanlarındaki kolestrol düzeyleri aşağıda verilmiştir.

31

32

33

34 6. Geometrik Ortalama: Göreli değerlerin oransal ortalamasında kullanılır. Ölçümler arasındaki değişme oranı, gelişme ve büyüme hızı, endeks saptamada kullanılır.

35 Örnek : X i =, 4, 8, 16, 3, 64, 18 serisinin karakteristik değeri (özet değeri) nedir? Seri geometrik seridir. in katları şeklinde artar. Böyle bir serisinin karakteristik değeri, 7 Geotmetik ortalaması: Örnek 3: = 16 Örnek 4:

36 Örnek 5: Bir firma ayakkabı fiyatlarında belli sürelerde iskonto yaparak indirime gidiyor. Firma zaman içerisinde indirim oranını arttırıyor. Yıl içiresinde 000 ayakkabı satmış olan firmanın ortalama indirim oranı nedir? ya da

37 7. Harmonik Ortalama Hız, fiyat, verimlilik gibi verilerin ortalamalarının hesaplanmasında kullanılır. Örnek 6:

38 Örnek 7: Örnek 8:

39 8. Karesel Ortalama: Sapma biçimindeki verilerin ortalamasını hesaplamak için kullanılır. Örneğin, ortalama yanılgı miktarı nedir? K. O. = x 1 + x + + x n n = n i=1 x i n Frekans dağılımlı veri için : K. O. = n f i=1 ix i n Örnek 9:

40 Örnek 30:

41 Örnek 31 : Örnek 3:

42 B. MERKEZİ DAĞILIM ÖLÇÜLERİ: Merkezi dağılım ölçüleri, 'merkezden yayılma ölçüleri' olarak da ifade edilebilmektedir. Standart sapma, varyans, range, çeyrek sapma gibi değerler, merkezden dağılma ölçüleridir. Bu ölçüler, merkez ya da ölçüt olarak belirlenen noktalara göre verilerin yayılması, çeşitlenmesi ya da farklılaşması hakkında bilgi verir. Merkezi Dağılım Ölçüleri: Değişim aralığı (Range-Genişlik) Ortalama sapma (mutlak sapma) Dörde bölenler arası genişlik Standard sapma ve varyans Değişim katsayısı 1. Değişim Aralığı (Range, Genişlik) Range = Xmax Xmin Örnek 3:. Ortalama Sapma (mutlak sapma): M. S. = n i=1 x i x n Frekans dağılımlı veride: M. S. = n i=1 f i x i x n

43 Örnek 33: İkinci veri seti daha yaygındır. Örnek 34:

44 3. Dörde bölenler aralığı (Çeyrekler arası genişlik) (Inter quartile range) IQR = Q 3 Q 1 : Kutu grafiği çiziminde sapan değerleri hesaplamak için kullanılır. Kartil sapma: Q 3 Q 1 Her iki uçtaki %5 ler dikkate alınmaz, yani verilerin %50 si dikkate alınmaz. Verinin en büyük ve en küçük değerleri belli bir sınır içinde olmalıdır.

45 Örnek 35: Bir alışveriş merkezinde alışveriş yapanlar arasından rasgele belirlenmiş 30 müşterinin fatura tutarları aşağıdadır. a. Gövde yaprak grafiğini çiziniz. b. Karakteristik değerlerinin belirleyiniz. c. Kutu grafiğini çiziniz.

46

47 4. Standard sapma ve varyans: Standart sapma, bir veri setinde her bir verinin ortalamadan uzaklıklarının standartlaştırılmış bir ölçüsüdür. Varyans ise, standart sapmanın karesidir. Ham veri için: Kitle Ortalama μ = N i=1 x i N Standart sapma σ = N i=1 (x i μ) N Varyans σ = N i=1 (x i μ) N N = n x i ( i=1 x i i=1 N N = x i ( N i=1 x i ) n i=1 N N ) Örneklem x = n i=1 x i n s = n i=1 (x i x ) n 1 s = n i=1 (x i x ) n 1 n = n x i ( i=1 x i i=1 n n 1 = x i ( n i=1 x i ) n i=1 n n 1 ) Standart sapma küçükse, gözlem değerleri birbirine yakın, büyükse uzaktır. Frekans dağılımlı veri için: Standart sapma s = k i=1 f i (x i x ) k ( i=1 f i ) 1 k i=1 ve ya s = f ix i ( k i=1 f ix i ) k i=1 f i k ( i=1 f i ) 1 Örnek 36: A hastanesinde karantina alınmış hastaların yaşları aşağıda verilmiştir. (N=11) x i = 50, 0, 8, 33, 34, 35, 36, 5, 9, 18, Kitle varyansını ve standard sapmasını bulunuz. μ = N i=1 x i N = = 30 σ = N i=1 (x i μ) N x i x i μ (x i μ)^ i=1 x i = 330 i=1 (x i μ) = 0 i=1 (x i μ) = 84 = = 8.66, σ = 74.91

48 ve ya σ = n x i ( i=1 x i i=1 N N N ) = 11 = 8.66, σ = x i x i i=1 x i = x i = 1074 i=1 Örnek 37: Bir sınıftan seçilen rasgele 1 öğrencinin bir davranışa karşı tepki puanları aşağıda verilmiştir. x i = 1, 18, 10, 10, 10, 1, 9, 13, 13, 13, 19, 5 Örneklem varyansını ve standard sapmasını bulunuz. x = n i=1 x i n = = 1 s = n i=1 (x i x ) n 1 = = 3.79, s = x i x i x (x i x )^ x i i=1 x i = 144 i=1 (x i x ) = 0 i=1 (x i x ) = x i = 1886 i=1 Veya n i=1 ) s = n x i ( x i i=1 n n 1 = = 3.79

49 Standart sapmanın kullanımı ve yorumlanması: Standart sapma, verilerin ortalama etrafında hangi yüzdelerle dağılım gösterdiğini belirleyen bir ölçüdür. Deneysel kural: (simetrik çan eğrisi için): Ortalamanın 1 s.s ile toplanıp çıkarılması gözlem değerlerinin yaklaşık %68 ine denk gelir. Ortalamanın s.s ile toplanıp çıkarılması gözlem değerlerinin yaklaşık %95 ine denk gelir. Ortalamanın 3 s.s ile toplanıp çıkarılması gözlem değerlerinin yaklaşık %99.7 ine denk gelir.

50 Örnek 38: 100 kız öğrencinin boylarına ilişkin frekans dağılımı aşağıda verilmiştir. Boylar f i x i f i x i f i x i i=1 f i = i=1 f i x i = i=1 f i x i = s = f i x i ( k i=1 f i x i ) k i=1 n = n 1 Karakteristik özet değerleri: x = = ve s = = 7.43

51 5. Değişim katsayısı (varyasyon katsayısı): Standart sapmanın, ortalamanın bir yüzdesi olarak ifadesidir. Standart sapmanın ortalamaya göre yüzde kaçlık bir değişim gösterdiğini belirtir. Veriler yüzde olarak ifade edilir. Kitle: D. K. = σ μ 100 Örneklem: D. K. = s 100 x Frekans dağılımlarının karşılaştırılmasında kullanılır. (Farklı birimlerde olması ve ya olmaması fark etmez.) Örnek 39: Örnek 38 deki 100 kız öğrencinin boy verisi için D.K.? x = ve s = 7.43 olarak hesaplanmıştır. O zaman, D. K. = = %4.43 Bu dağılımın standart sapması, ortalamaya göre %4.43 lük bir değişim gösterir. Yani ortalama 100 iken standart sapma 4.43 olur. Örnek 40: Bir firmada yabancı dil eğitimi gören çalışanların aldıkları sınav sonuçları ve aynı grup çalışanlarının hizmet süreleri dikkate alınıyor. Sınav sonuçlarının ortalama notu 60 ve standart sapması 6 puan olarak elde ediliyor. Hizmet sürelerinin ortalaması 5 yıl ve standart sapması yıl olarak bulunuyor. Hangisi daha değişkenlik gösterir? Sınav sonuçları : x = 60 ve s = 6, D. K. = = %10 60 Bu dağılımın standart sapması, ortalamaya göre %10 luk bir değişim gösterir. Standart sapma ortalamanın %10 dur. Hizmet süreleri : x = 5 ve s =, D. K. = 100 = %8 5 Bu dağılımın standart sapması, ortalamaya göre %8 lik bir değişim gösterir. Standart sapma ortalamanın %8 dir. Sınav sonuçları daha büyük değişkenlik gösterir.

52 Örnek 41: Aşağıda 10 kişinin boy uzunlukları ve ağırlıkları verilmiştir. Boy (cm) Ağırlık (kg) (x i x )^ 1 (x i x )^ x 1 = 73 x = 17 i=1 (x i x ) 1 = 446 i=1 (x i x ) = 148

53 ALIŞTIRMALAR: 1. Merkezsel eğilim ölçüleri nelerdir? Kısaca açıklayınız.. Dağılım ölçüleri nelerdir? Kısaca açıklayınız. 3. Bir sınıftan seçilen 10 öğrencinin kütüphanede haftalık çalışma süreleri (saat) aşağıda verilmiştir. a. Aritmetik ortalamayı hesaplayınız. X i = b. Ölçüm değerleri ile aritmetik ortalamanın farkları toplamını bulunuz. c. Varyansı bulunuz. d. Medyan değerini bulunuz. e. Mod değerini bulunuz. f. Açıklığını bulunuz. g. Standart sapmayı bulunuz. h. Ortalama sapmayı bulunuz. 4. Bir şehirdeki 00 işyerinin çalıştırdıkları personel sayısına göre dağılımı aşağıdadır. Personel sayısı İşyeri sayısı a. Aritmetik ortalamayı hesaplayınız. b. Ölçüm değerleri ile aritmetik ortalamanın farkları toplamını bulunuz. c. Varyansı bulunuz. d. Medyan değerini bulunuz. e. Mod değerini bulunuz. f. Açıklığını bulunuz. g. Standart sapmayı bulunuz. h. Ortalama sapmayı bulunuz.

54 5. Rastgele seçilen 100 ürünün ömürlerine göre dağılımı aşağıda verilmiştir. a. Aritmetik ortalamayı hesaplayınız. Ömür (saat) Ürün sayısı 40 X < X < X < X < X < b. Ölçüm değerleri ile aritmetik ortalamanın farkları toplamını bulunuz. c. Varyansı bulunuz. d. Medyan değerini bulunuz. e. Mod değerini bulunuz. f. Açıklığını bulunuz. g. Standart sapmayı bulunuz. 6. Bir şehirdeki 11 basım evinin ödedikleri yıllık vergi miktarları aşağıda verilmiştir. X i = a. Aritmetik ortalamayı hesaplayınız. b. Ölçüm değerleri ile aritmetik ortalamanın farkları toplamını bulunuz. c. Varyansı bulunuz. d. Medyan değerini bulunuz. e. Mod değerini bulunuz. f. Açıklığını bulunuz. g. Standart sapmayı bulunuz. h. Ortalama sapmayı bulunuz. 7. İşyerleri arasından seçilen 10 unun çalıştırdıkları personel sayıları aşağıda verilmiştir. X i = a. Aritmetik ortalamayı hesaplayınız. b. Ölçüm değerleri ile aritmetik ortalamanın farkları toplamını bulunuz. c. Varyansı bulunuz. d. Medyan değerini bulunuz. e. Mod değerini bulunuz. f. Açıklığını bulunuz. g. Standart sapmayı bulunuz.

55 8. Bir sınıftaki 105 öğrencinin başarısız oldukları ders sayısına göre dağılımı aşağıdadır. Başarısız olunan ders sayısı Öğrenci sayısı a. Aritmetik ortalamayı hesaplayınız. b. Ölçüm değerleri ile aritmetik ortalamanın farkları toplamını bulunuz. c. Varyansı bulunuz. d. Medyan değerini bulunuz. e. Mod değerini bulunuz. f. Açıklığını bulunuz. g. Standart sapmayı bulunuz. h. Ortalama sapmayı bulunuz. 9. Bir şehirdeki firmaların hammadde tüketimlerine göre dağılımı aşağıdadır. a. Aritmetik ortalamayı hesaplayınız. Hammadde tüketimi Firma sayısı 5 X < X < X < X < X < b. Ölçüm değerleri ile aritmetik ortalamanın farkları toplamını bulunuz. c. Varyansı bulunuz. d. Medyan değerini bulunuz. e. Mod değerini bulunuz. f. Açıklığını bulunuz. g. Standart sapmayı bulunuz.

56 10. Bir kreşteki 100 çocuğun öğle uykusu sürelerine (dakika) göre dağılımı aşağıda verilmiştir. a. Aritmetik ortalamayı hesaplayınız. Uyku süresi Çocuk sayısı 0 X < X < X < X < X < X < 80 b. Ölçüm değerleri ile aritmetik ortalamanın farkları toplamını bulunuz. c. Varyansı bulunuz. d. Medyan değerini bulunuz. e. Mod değerini bulunuz. f. Açıklığını bulunuz. g. Standart sapmayı bulunuz. 11. Aşağıdaki tabloda bir şehrin nüfusu yıllara göre verilmiştir. Yıl: Nüfus(bin): Buna göre yılları arasında bu şehrin ortalama nüfus artış oranı % kaçtır? 1. Aşağıdaki kitle için harmonik ortalamayı hesaplayınız. X i = Rasgele seçilen 8 arızalı ürünün tamiri için harcanan süreler aşağıda verilmiştir. Harmonik ortalamayı hesaplayınız. X i = Bir sınıftaki 10 öğrencinin bir davranışa tepki puanları aşağıda verilmiştir. X i = a. Aritmetik ortalamayı hesaplayınız. b. Ölçüm değerleri ile aritmetik ortalamanın farkları toplamını bulunuz. c. Varyansı bulunuz. d. Medyan değerini bulunuz. e. Mod değerini bulunuz. f. Açıklığını bulunuz. g. Standart sapmayı bulunuz. h. Ortalama sapmayı bulunuz.

57 15. Bir dersin A ve B şubelerindeki 6şar öğrencinin sınav notları aşağıda verilmiştir. A şubesi B şubesi a. A ve B şubeleri için aritmetik ortalamaları bulunuz. b. A ve B şubeleri için varyansları bulunuz. c. A ve B şubeleri için standart sapmaları bulunuz. d. A ve B şubeleri için değişim katsayılarını bulunuz. e. Bu dersin notları bakımından hangi şubenin daha homojen olduğunu bulunuz. 16. Bir fabrikanın A ve B atölyelerinin çıktılarından rasgele seçilen 5 er kalite ölçüm değerleri aşağıda verilmiştir. A atölye B atölye a. A ve B atölyeleri için aritmetik ortalamaları bulunuz. b. A ve B atölyeleri için varyansları bulunuz. c. A ve B atölyeleri için standart sapmaları bulunuz. d. A ve B atölyeleri için değişim katsayılarını bulunuz. e. Bu atölyelerin kalite ölçüm değerleri bakımından hangi atölyenin daha homojen olduğunu bulunuz. 17. Uç değerler hangi merkezsel eğilim ölçülerini etkiler? Bunun için ne önerirsiniz? Uç değerleri olan bir dizi oluşturarak hangi merkezsel eğilim ölçüsünü kullanacağınızı söyleyiniz. 18. Aşağıdaki değerleri kullanarak, mod, medyan ve aritmetik ortalamayı hesaplayınız. 5, -7,, 0,-9, 8, 1, Aşağıdaki değeler bir örnekten elde edilen değerlerdir. Mod, medyan ve aritmetik ortalamayı hesaplayınız. 14, 18, -8, 10, 8, -16, 8 0. Rasgele seçilen 10 öğrencinin hafta boyunca ders çalışma saatleri aşağıdadır. Bu değerlerden yaralanarak, mod, medyan ve aritmetik ortalamayı hesaplayınız. 8, 0, 4, 10, 7, 9, 0, 5, 14, 7

58 1. Bir öğrenci grubu için 10 istatistik, 8 matematik kitabı ısmarlanmıştır. İstatistik kitapları için ortalama 5TL, Matematik kitapları için ortalama 30 TL ödenmiştir. İstatistik ve Matematik kitaplarına ortalama ne kadar ödenmiştir.. Bir uçakta 7 yolcu ekonomik sınıf bileti alarak her biri 65 TL ücret ödemiştir. Çeşitli zamanlarda çeşitli firmalardan bilet alan 5 kişi ise 15, 380, 95, 5, 70 TL gibi farklı fiyatlardan ödeme yapmışlardır. a. Ayrı ayrı bilet alanlar mı yoksa ekonomik sınıf bileti alanlar mı ideal ücreti ödemişlerdir? b. 1 yolcu ortalama kaç TL uçuş bileti ödemişlerdir? 3. Aşağıda iki veri seti bulunmaktadır. Set I : 8, 30,, 16, 18 Set II: 4, 15, 11, 8, 9 İkinci set birinci setin her birinin yarı katı olduğuna dikkat ederek her iki veri setinin aritmetik ortalamalarını hesaplayınız. İlişki ile ilgili yorumunuz ne olur? Birinci veri seti ikinci veri setinin iki katı olduğuna göre, önce ikinci veri setinin aritmetik ortalamasını hesaplayarak birinci veri setinin aritmetik ortalamasını bulabilir misiniz? 4. Bir dağılım ölçüsü olarak açıklık uç değerlerden fazla etkilenmemektedir. Bir örnekle açıklayınız. 5. Standart sapma negatif bir değerle ifade edilebilir mi? Standart sapma 0 olur mu? Ne zaman? 6. Kitle parametresi ile istatistiğin farkını bir örnekle açıklayınız. 7. Aşağıdaki verinin bir örneğe ait olduğunu düşünerek açıklık, varyans, standart sapmasını hesaplayınız. 5, 7,, 0, -7, -9, 10, Aşağıdaki veri bir şehirde 1 günde çalınan otomobil sayılarını ifade etmektedir. Çalınan otomobil kitlesine ait bu veriden yararlanarak, açıklık, varyans, standart sapmasını hesaplayınız. 6, 3, 7, 11, 4, 3, 8, 7,, 6, 9

59 OLASILIK TEORİSİ VE RASGELE DEĞİŞKEN Birçok konuda belirsizlik altında bir olayın sonuçlanma biçimleri hakkındaki bilgiyi olasılık kavramı sağlar. Olasılık teorisi, rasgele olaylara egemen olan kanunları, matematiksel yöntemler ile inceler. Olasılık teorisinde, bir rasgele olayın meydana gelmesi şansı olasılık adı verilen bir büyüklük ile ifade edilir. Bazı olasılık kavramları: Rasgele olay: Bir deney aynı koşullar altında birçok kez tekrar edildiğinde, sonuçlar belli bir kurala bağlı olmaksızın her seferinde değişiyorsa, böyle olaylara rasgele olay denir. Rasgele olaylarda, hangi sonucun gerçekleşeceği önceden belirsizdir. Rasgele olaylar, rasgele sonuçlar barındırır. Olasılık teorisinin konusu, rasgele sonuçlar veren deneylerdir. Örnek: Zar atma deneyi: 6 değişik sonuç vardır: 1,, 3, 4, 5, 6. Zar atıldığında hangi sonucun çıkacağını belirleyen bir kural yoktur. Sonuç rasgele ortaya çıkar. zar 1 gelirse, A kazanır şeklinde bir olay rastgeledir. Sonuç da rastgeledir. Örnek: Birçok doğa olayı rastgeledir. Doğada tamamen belirli sonuçlar veren deneyler: taş bırakıldığında düşer. Deneyin tüm tekrarlarında sonuç aynıdır (Newton un çekim kanunu) Ancak taşın düşeceği nokta her zaman aynı nokta olmayacaktır. Düşeceği nokta rastgeledir. Olasılık teorisinin temel aksiyomuna göre, her rasgele olayın; değeri 0 ile 1 arasında değişen bir olasılığı vardır. Rasgele değişken X ile, rasgele değişkenin bir gözlem sonucu aldığı değer x ile gösterilir: P[X=xi]=pi X: rasgele değişken, xi: değişkenin aldığı değer, pi : olasılık pi=0 : olay hiçbir zaman gerçekleşmez, pi=1 : olay kesin gerçekleşir.

60 Örneklem Uzayı: (S) Tekrarlanabilen bir rasgele deneyin tüm olanaklı sonuçlarını içeren kümeye denir. Olay: Örneklem uzayının herhangi bir alt kümesine ya da örnek sonuçlarından bazılarının kümesine denir. Bir olay A ile gösterilirse, A S. Bir A olayının, P(A) sembolü ile gösterilen olasılığı, eşit olasılıklı olaylar için, Olasılık P(A) = A olayını meydana getiren eleman sayısı Toplam eleman sayısı = n A n Örnek: Bir zar atılsın. S={1,,3,4,5,6} Çift gelme olayı: A={,4,6}, Çift gelme olasılığı: P(A) = 3 6 Tek gelme olayı: B={1,3,5}, Tek gelme olasılığı: P(B) = 3 6 Örnek: Bir para 3 kez atılsın. S = {TTT, TTY, TYT, YTT, YYY, YYT, YTY, YTT} A olayı, ara arda en az iki yazı gelmesi: A={YYY,YYT,TYY}, P(A) = 3 8 B olayı, üçünün de yazı veya tura gelmesi: B={YYY,TTT}, P(B) = 8 Ayrık olay: (Birbirini engelleyen olaylar): Aynı anda meydana gelemeyen A ve B gibi iki rasgele olaya birbirini engelleyen olaylar denir. A ve B olaylarının ortak olan sonucu yoktur. A B = Örnek: Bir zarın fırlatılması deneyinde; A olayı tek sayı gelmesi ve B olayı ise 6 gelmesi ise, A ve B olayları ayrık olaylardır.

61 Göreli frekans: Bir rastgele deneyin örnek uzayı üzerine tanımlanmış olay A olsun. Deney benzer koşullarda N adet tekrarlansın ve ortaya çıkan A olaylarının sayısı n olsun. A olayının göreli frekansı: f(a)=n/n Örneğin hilesiz olduğu düşünülen bir para atıldığında üst yüze yazı gelmesi A olayı olarak tanımlansın. Değişik deneme sayılarında gerçekleşen A olayı sayıları ve göreli frekansları: N=10 n=4 f(a)=0.4 N=100 n=47 f(a)=0.47 N=1000 n=488 f(a)=0.488 Şüphesiz f(a) değeri gerçekleştirilen deney sayısı N ile bağımlıdır ve küçük N değerleri için çok büyük dalgalanmalara sahiptir. Burada cevaplanması gereken soru, N değeri sonsuza gittiğinde f(a) oranlarının dizisi kararlı bir değere yakınsıyor mu? olacaktır. Böyle bir soruya deneysel olarak asla cevap verilemez. Çünkü limitin doğası gereği deneylere son verilemez. Böyle bir limitin var olduğunu kabul etmek matematiksel bir yaklaşımdır: istenildiği kadar küçük olabilen pozitif bir sayı olmak üzere, N>m() koşulunu altında, Eşitsizliğini sağlayan bir m() sayısı bulunabiliyorsa, Elde edilen bu sonuç A olayının deneysel limit frekansıdır ve P(A) değeri A olayının gerçekleşme olasılığıdır. Fakat P(A) limit değeri hala gerçekleştirilen deney dizisi sonuçlarına bağımlıdır. Deneyler aynı koşullarda geçekleştirilse dahi bir sonraki deney dizisinin aynı sonuçları vereceğinin garantisi yoktur. Bu frekanslar üzerine oluşturulan geçerli bir teori, yukarıda tanımlanan P(A) değerinin tüm benzer deney dizileri için aynı olduğunu varsaymak zorundadır. Bu teorem ile modern olasılığın temeli olan aksiyom olasılığını ele almak da mümkün olmuştur.

62 Olasılık Aksiyomları: Örnek: Bir zarın 100 kez atılmasından sonra aşağıdaki sonuçlar bulunmuştur: Bulunan Sayı Frekans P(X=1)=1/ Örnek: Büyük bir şirkette eğitim ihtiyacını belirlemek için 500 kişilik bir örneklemden elde edilen sonuçlar aşağıda verilmiştir. Eğitim isteyenlerin olasılığı nedir? Eğitim Beyaz yakalılar Mavi yakalılar Toplam İsteyenler İstemeyenler Toplam P(A)=350/300=0.70

63 Olay sayısının saptanmasında kullanılan yöntemler: Çarpma Toplama Permütasyon - Kombinasyon Çarpma Yöntemi: Bir işlem n1 şekilde yapılabiliyorsa ve bundan bağımsız diğer işlem n şekilde yapılabiliyorsa, bu iki işlem n1*n şekilde yapılabilir. Toplama Yöntemi: Eğer bir işlem n1 farklı şekilde ve diğer işlem de n farklı şekilde yapılabiliyorsa, ancak bu iki işlemi beraber yapma olanağı yoksa, birinci veya ikinci işlem n1+n şekilde yapılabilir.

64 Permütasyon: Birbirinden farklı n nesnenin düzenlenmesine permütasyon denir. Sıralı düzen olarak da tanımlanır. Örnek: A ve B harflerinin birlikte oluşturulacakları permütasyon sayısı: AB, BA Permütasyon farklı şekillerde elde edilebilir: a. 1 den n ye kadar numaralandırışmış n nesnenin farklı sıralanış sayısı, alınanı geri vermeme koşulu ile P(n;n) ile gösterilir ve P(n;n)=n*(n-1)*(n-)* 3**1=n! N nesnenin gözlere dağıtımı: 1. göz.göz n. göz n n-1 n- 3 1 n taneden birisi 1. göze, geriye kalan n-1 taneden birisi. Göze, b. n nesnenin sadece r tanesinin (r n) sıralanma sayısı ile ilgilenilirse, kutu sayısı r taneye indirgenir. 1. göz.göz r. göz n n-1 n- n-(r-1)=n-r+1 n nesneden r tanesi, npr = P(n; r) = n (n 1) (n ) (n r + 1) = P(n; r) = n! (n r)! c. 1 den n ye kadar numaralndırılmış n nesnenin içinde n1,n,,nk nesne biririnden aynı ve toplamları n ise elde edilebilecek farklı permütasyon sayısı: P(n; n1,n,,nk) = n! n 1!n! n k!

65 d. Alınan nesne geri verilirse, tekrarlı permütasyon olacaktır. 1 den n ye kadar numaralandırılmış n nesne verildiğinde (r n) olmak koşulu ile r farklı durumdan oluşan ve aynı nesnenin birden fazla kullanılmasına olanak sağlayan farklı permütasyon sayısı: P(n;r)=n r e. 1 den n ye kadar numaralandırılmış n nesne verildiğinde nesnelerin tümü kullanılarak oluşturulacak nesnelerin tümü kullanılarak oluşturulacak permütasyon sayısı: P(n;n)=n n Kombinasyon: Birbirinden farklı n nesnenin içinden seçilecek olan r tane nesnenin herhangi bir sırada yazılması le elde edilecek düzen sayısıdır. ( n r ) = C(n; r) = n! P(n; r) = (n r)! r! r!

66 Olasılık Kuralları: Toplama Çarpma Koşullu Olasılık Toplama Kuralı: A ve B olaylarının birleşiminin olasılığı Birbirini engellemiyorsa, diğer ifadeyle ortak olasılık olduğu durumlar varsa kullanılır. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Birbirini engelliyorsa: P(A B) = P(A) + P(B) Örnek: Bir sınıfta 17 erkek ve 13 kız toplam 30 öğrenci olsun. Sınavda 4 erkek ve 5 kız tam not A aldı. Sınıftan rasgele bir öğrenci seçtiğimizde bunun kız öğrenci veya A alan öğrenci olma olasılığı nedir? P(Kız A)=P(Kız)+P(A) P(Kız A)= 13/30 + 9/30 5/30 = 17/30 Çarpma Kuralı: Bağımsız olayların (olayın gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilemiyorsa) gerçekleşme olasılığı, bu olasılıkların çarpımına eşittir. P(A B) = P(A) * P(B) Örnek: Elimizde bir bozuk para ve bir zar olsun. İkisini de aynı anda atalım. Paranın tura gelme ve zarın 3 gelme olasılığını hesaplayalım. P(Tura) = ½ ve P(3) = 1/6 ise P(Tura 3) = 1/ * 1/6 = 1/1 buluruz. Koşullu Olasılık kuralı: A olayının meydana gelmesi, B olayının meydana gelip gelmemesine bağlı ise, A olayı B olayına bağlıdır (Olaylar bağımlı). Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde diğerinin gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık denir. Örneğin B bilindiğinde A olayının koşullu olasılığı P(A B) olarak ifade edilir. İki bağımlı olayın kesişim olasılığı: P(A B) = P(A) * P(B A), A olayının koşullu olasılığı: P(A B) = P(A B) / P(B) B olayının koşullu olasılığı: P(B A) = P(A B) / P(A) Örnek: Sınıfta 1 erkek ve 18 kız öğrenci var. Öğretmen sınıf listesinden rasgele iki öğrenci işaretliyor. Bu iki öğrencinin de kız olma olasılığı nedir? P(Kız1 Kız) = P(Kız1) * P(Kız Kız1)= 18/30 * 17/9 = 306/870 bulunur.

67 Örnek: Bir torbada 8 kırmızı ve 4 beyaz bilye bulunmaktadır. Geriye iade edilmemek koşulu ile tane bilye şansa bağlı olarak torbadan çekildiğine göre a. İkisinin de kırmızı gelmesi olasılığı nedir? A : 1. inin kırmızı gelmesi olayı B:. İnin kırmızı gelmesi olayı, P(A B) = P(A) * P(B A)= (8/1)*(7/11)=0.4 P(B A): birincisi kırmızı olduğunda ikincinin kırmızı gelmesi olasılığı b. İkisinin de beyaz gelmesi olasılığı nedir? C : 1. inin beyaz gelmesi olayı D:. İnin beyaz gelmesi olayı, P(C D) = P(C) * P(D C)= (4/1)*(3/11)=0.09 c. Bir kırmızı ve bir beyaz gelmesi olasılığı nedir? C: 1 kırmızı, 1 beyaz gelmesi olayı A1=1. inin kırmızı gelmesi olayı B1=1. inin beyaz gelmesi olayı A=. inin beyaz gelmesi olayı B=. inin kırmızı gelmesi olayı P(C)=P(A1)*P(A A1)+P(B1)*P(B B1)=(8/1)*(4/11)+(4/1)*(8/11)=0.48 Örnek: Bir iskambil destesinden, a. As ya da papaz gelmesi olasılığı? (Birbirini engelleyen olaylar) P(As Papaz) = P(As) + P(Papaz) =4/5 + 4/5 =0.15 b. Çekilen bir kağıdın As veya Kupa gelmesi olasılığı? (Birbirini engellemeyen olaylar) P(As Kupa) = P(As) + P(Kupa) - P(As Kupa) =4/5 + 13/5-1/5 = 0.31 Örnek: Bir kağıt destesinden 5 kağıt iadesiz olarak çekiliyor. Hepsinin sinek olması olasılığı? = Örnek: Bir zar ve bir para birlikte atıldığında, zarın 6 gelmesi ve paranın yazı gelmesi olasılığı? İki olay birbirinden bağımsızdır. P(A B)=P(A)*P(B )= 1/6 * 1/ = 1/1

68

69

70

71 Toplam Olasılık: Örneklem uzayı S in B1,B,,Bk gibi k tane birbirini engelleyen (ayrık) olaylardan oluştuğu ve A nın bu örneklem uzayı içinde başka bir olay olduğu varsayılıyor. A olayı şöyle yazılabilir: A=(A B 1 ) (A B ) (A B k ) A olayının olasılığı: P(A)=P(A B 1 )+ P(A B ) + + P(A B k ) P(A)= P(A)= k i=1 k i=1 P(A Bi) P(A B i )=P(B i )* P(A B i ) olduğundan, P(Bi) P(A Bi) Bu sonuç bize, A olayının olasılığı bilinmediğinde, koşullu olasılıklardan gidilerek hesaplanabileceğini gösterir. Örnek: Belirli bir ilaç üç fabrika tarafından imal ediliyor. 1. Fabrikanın kapasitesinin ve 3 numaralı fabrikaların kapasitelerinin iki misli olduğu biliniyor. Ayrıca 1. ve. Fabrikalar %, 3. Fabrika ise %4 oranında bozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depoda saklandığında, bu depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olması olasılığı nedir? A: seçilen ilacon bozuk olması B1: seçilen ilacın 1. Fabrikada üretilmesi olasılığı B: seçilen ilacın. Fabrikada üretilmesi olasılığı B3: seçilen ilacın 3. Fabrikada üretilmesi olasılığı Fabrika kapasiteleri: P(B1)=1/=0.5 P(B)=1/4=0.5 P(B3)=1/4=0.5 Bozuk ilaç üretme olasılıkları: P(A B 1 )=0.0 P(A B )=0.0 P(A B 3 )=0.04 Toplam olasılıktan: 3 P(A)= i=1 P(A Bi) =P(B 1 )*P(A B 1 )+P(B )*P(A B )+P(B 3 )*P(A B 3 ) P(A)=0.5* * *0.04=0.05 Rasgele seçilen bir ilacın bozuk olma olasılığı %.5 dir.

72 Bayes Teoremi: Olasılık teorisi içinde incelenen bir 'olay olarak B olayına koşullu bir A olayı (yani B olayının bilindiği halde A olayı) için olasılık değeri, A olayına koşullu olarak B olayı (yani A olayı bilindiği haldeki B olayı) için olasılık değerinden farklıdır. Ancak bu iki birbirine ters koşulluluk arasında çok belirli bir ilişki vardır ve Thomas Bayes ( ) tarafından açıklanan bu ilişkiyebayes Teoremi denilmektedir. Örnek:

73 RASGELE DEĞİŞKEN VE OLASILIK DAĞILIMLARI

74

75

76

77 1. BERNOULLİ DAĞILIMI: BAZI ONEMLİ DAĞILIMLAR: A. KESİKLİ DAĞILIMLAR:

78 . BİNOM DAĞILIMI:

79

80

81 3. POİSSİON DAĞILIMI:

82

83 NORMAL DAĞILIM: B. SÜREKLİ DAĞILIMLAR:

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95 İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA A. GÜVEN ARALIKLARI: Bilinmeyen bir kitle parametresi hakkında aralık tahmini hesaplanırken, kitle parametresinin belli bir olasılıkla içinde bulunacağı iki sınır belirlenir. Güven sınırları olarak adlandırılan bu değişkenler ^ ve ^ olarak gösterilir. ( ^, ^ ) nin yi kapsayan aralıklardan 1 1 birisi olması olasılığı %(1 ) dır. Güven aralığının en genel şekli ise: ^ P( ) (1 ) ^ 1 1. Kitle Ortalaması İçin Güven Aralıkları: Kitle varyansı bilindiğinde: Ortalaması μ, varyansı σ olan ve normal dağılıma uyan bir kitleden rasgele örneklem seçildiğinde örneklemin ortalaması X olur ve kitle ortalamasının (1- α) güven düzeyinde güven aralığı, P X Z X Z (1 ) n n Örnek: İlkokul mezunu öğrencilerin Türkçeyi kullanma başarı puanları X N(,144) parametreli normal dağılım göstermektedir. Rasgele seçilen ilkokul mezunu 45 öğrencinin Türkçeyi kullanma başarı puanları verilmiştir. Öğrenci başarı puanlarının alındıkları kitlenin ortalamasının % 95 olasılıkla güven aralığını oluşturunuz Alt limit = Üst limit = X Z = n X Z = n (1.96) (1.96) (56.86 ; 63.86) aralığının yi içeren aralıklardan biri olması olasılığı 0.95 dir.

96 Kitle varyansı bilinmediğinde ve n> 30: Örneklem ölçümü n>30 olduğunda örneklem ortalamasının dağılımı, örneklemin alındığı kitle normal dağılıma sahip olmasa bile normal dağılıma uyar. σ bilinmediğinde ve n>30 ise tahmin edilir. örneklem varyansı olan s kullanılarak s s P X z X z (1 ) n n Kitle varyansı bilinmediğinde ve n < 30: Normal dağılıma sahip ve ortalaması μ olan bir kitleden; ortalaması X ve standart sapması s olan n (n<30) ölçümlü rasgele bir örneklem seçildiğinde, bu örneklemin dağılımı n 1 serbestlik derecesi ile t dağılımına uyar. t = X s n ve s n i1 ( X X) i n 1 s s P X t X t (1 ), n1, n 1 n n Örnek : ve yılları arasındaki Kalkınma ve Yatırım Bankalar Bilançosu Kredi verileri (Aylık, Bin YTL) normal dağılım göstermektedir ve ortalaması 0 = Bin YTL dir. Rasgele seçilen 15 ayın değerleri verilmiştir. Kitle ortalaması için güven aralığını oluşturunuz. ( = 0.05) s Alt Limit = x - t α (.145) n 15 s Üst Limit = x t α (.145) n 15 ( ; ) aralığının yi içeren aralıklardan biri olması olasılığı 0.95 dir.

97

98 . Kitle Oranı İçin Güven Aralıkları (Büyük örneklemlerde) Ana kitlenin dağılımı ne olursa olsun, örneklem hacmi arttıkça örneklem ortalamalarının dağılımı normal dağılışa yaklaşır Belirli bir olayın meydana gelme olasılığı p olan bir kitleden n birimlik bir örneklem için hesaplanan istatistik, p için en iyi tahmin edici olan ^ p dır. Binom dağılımının ortalaması p, varyansı p(1 p) dır. Dolayısıyla büyük örneklemler için p (1 ) N p, p p n n ile normal dağılıma uyar. Z= ^ p p p(1 p) n yaklaşık olarak standart normal dağılmıştır. Varyans genellikle bilinmez ancak n>30 olduğundan dolayı, örneklemden hesaplanan varyans kullanılır. Bilinmeyen kitle oranı p için güven aralığı, ^ p(1 p) ^ p(1 p) P p-z <p< p +Z =(1- ) n n Örnek: Bir yönetici, işletmesinde toplam kalite yönetimi uygulamayı düşünmektedir. Eğer işçilerinin en az %60 ı bu düşünceden yanaysa yönetici düşüncesini uygulamaya karar verecektir. Bu amaçla rasgele olarak 750 işçi seçilmiş ve bunların 495 inin toplam kalite yönetimi düşüncesini benimsediği tespit edilmiştir. = 0.05 önem düzeyinde kitle oranı için güven aralığı oluşturunuz. p p (1 p ) n = ve 495 pˆ Alt sınır: ^ p-z p0(1 p0) = n ) = Üst sınır: ^ p +Z p0(1 p0) = ( n ) = (0.649 ; ) aralığının kitle oranını içeren aralıklardan biri olma olasılığı 0.95 dir.

99 3. Kitle varyansı için güven aralığı: dağılımı, birbirinden bağımsız standart normal değişkenlerin karelerinin toplamının dağılımıdır. X normal dağılım gösteren bir değişken ise, z x X ile elde edilen z değişkeni standart normal dağılım gösterir. Standart normal değişkenlerin karelerinin toplamı ise, n n i Zi ( ) i1 i1 x dir. Bu eşitlik dağılımını verir. Normal dağılmış bir kitleden seçilen örneklemde hesaplanan s nin örnekleme dağılımı ise, ( n 1) s dir. için güven aralığı ise, ( n 1) s ( n 1) s P( ) (1 ) şeklindedir., n1 1, n1 F( ) alanı noktasının sağında kalan alanın olasılığı dır, solunda kalan alanın olasılığı (1 ) dır. Örnek: Araba akümülatörlerinin üretildiği bir fabrikada, üretilen akümülatörler arasından rasgele seçilen 10 akümülatör için standart sapma 1. yıldır. Kitle varyansı için %95 lik güven aralığını oluşturunuz. =0.05,, 1 n = 0.05, ve olarak belirlenir ,9 1, n1 Alt sınır: ( n1) s 9(1.44), n Üst sınır: ( n1) s 9(1.44) 1, n (0.68 ; 4.79) aralığının kitle varyansını içeren aralıklardan biri olma olasılığı 0.95 dir.

100