İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 / Mantık Oyunları / Mantık Oyunlarına Genel Bakış...1. Bölüm 2 / Sözel Mantık Oyunları... 2

Transkript

1

2 İÇİNDEKİLER Bölüm 1 / Mantık Oyunları / Mantık Oyunlarına Genel Bakış...1 Bölüm 2 / Sözel Mantık Oyunları / Sözel Mantık Oyunlarına Giriş / Formal Mantık Oyunları...7 Formal Mantık Oyunları / Çözümlü Sorular / Doğrusal Oyunlar / Denk ve Denk Olmayan Doğrusal Oyunlar / Koşulların Gösterim Yöntemleri...22 Doğrusal Oyunlar / Çözümlü Sorular / Üst Düzey Doğrusal Oyunlar...40 Üst Düzey Doğrusal Oyunlar / Çözümlü Sorular / Gruplama ve Seçme Oyunları / Gruplama ve Seçme Oyunlarında Senaryoların Oluşturulması...58 Gruplama ve Seçme Oyunları / Çözümlü Sorular / Atama Oyunları / Atama Oyunlarında Tablo Oluşturma ve Gösterim Yöntemleri...73 Atama Oyunları / Çözümlü Sorular...75

3 2 7 / Planlama (Haritalama) Oyunları...88 Planlama (Haritalama) Oyunları / Çözümlü Sorular / Örüntü Oyunları Örüntü Oyunları / Çözümlü Sorular / Hibrit Oyunlar Hibrit Oyunlar / Çözümlü Sorular / Diğer Oyunlar / Çembersel Sıralama Oyunları / Şebeke (Ağ) Oyunları / Tablo Yorumlama Oyunları Diğer Oyunlar / Çözümlü Sorular / Üst Düzey Çözüm Stratejileri / Nümerik Dağılım Yöntemi Genel Çözümlü Testler / Test Genel Çözümlü Testler / Test Genel Çözümlü Testler / Test Bölüm 3 / Sayısal Mantık Oyunları / Sayısal Mantık Oyunlarına Giriş / Özel İşlem ve Fonksiyon Oyunları / Fonksiyonlar / İşlem Özel İşlem ve Fonksiyon Oyunları / Çözümlü Sorular...195

4 3 3 / Dizi ve Örüntü Oyunları Dizi ve Örüntü Oyunları / Çözümlü Sorular / Şifreleme Oyunları Şifreleme Oyunları / Çözümlü Sorular / Şekil Yeteneği Oyunları / Sayı Dizileri / Geometrik Dönüşümler / Geometrik Yapılar Şekil Yeteneği Oyunları / Çözümlü Sorular / Tablo ve Grafik Oyunları / Tablo / Çizgi Grafiği / Sütun Grafiği / Daire Grafiği Tablo ve Grafik Oyunları / Çözümlü Sorular / Problem Oyunları Problem Oyunları / Çözümlü Sorular Genel Çözümlü Testler / Test Genel Çözümlü Testler / Test Genel Çözümlü Testler / Test

5 MANTIK OYUNLARINA GENEL BAKIŞ BÖLÜM 1 1 MANTIK OYUNLARINA GENEL BAKIŞ Genel olarak muhakeme ve mantıksal akıl yürütme soruları şeklinde adlandırılan soruları bu kitapta mantık oyunları olarak adlandıracağız. Aslında bu soruları oyun kuramıyla da ilişkilendirebiliriz. Bu tip sorularla okul hayatımızda çok fazla karşılaşmamışızdır hatta büyük bir çoğunluk ilk defa karşılaşmaktadır. Bu yüzden mantık oyunları zor ve karmaşık gelmektedir. Bu sorularla karşılaşıldığında çözüme nereden ve nasıl başlanacağını bilmek, belli teknik ve yöntemler kullanmak hem soruları doğru çözmenizi hem de zaman kazanmanızı sağlayacaktır. Bu kitapta belli soru kalıplarını size ezberletmek niyetinde değiliz. Sizlere mantık oyunlarıyla karşılaştığınızda neler yapabileceğinizi öğreterek istediğiniz zaman istediğiniz soruya, ezber yapmadan, sadece düşünce gücünüzden yararlanarak kısa sürede ve doğru cevaplar vermenizi amaçlıyoruz. Bu amaca ulaşmak için kitapta verilen bölümleri dikkatli bir şekilde inceleyip, çalışmalısınız. Mantık oyunlarını sözel ve sayısal mantık oyunları olarak iki ana başlıkta inceleyeceğiz. Sözel mantık oyunları daha çok bilgi yorumlamaya dayanırken, sayısal mantık oyunlarını çözmek için temel matematik bilgisine ihtiyaç vardır. Sayısal mantık oyunlarında öncelikle bu temel bilgileri edinip daha sonra mantık oyunlarına çalışmanız başarılı olmanız açısından daha faydalı olacaktır. Sözel ve sayısal mantık oyunlarının her biri kendi aralarında farklılıklar göstermektedir. Bundan dolayı bu kitapta hem sözel mantık oyunlarını hem de sayısal mantık oyunlarını kendi aralarında gruplandırdık. Her birini detaylı bir şekilde analiz edip bunlara uygun çözüm stratejileri geliştirdik. Sözel Mantık Oyunları - Formal Mantık Oyunları - Doğrusal Oyunlar - Üst Düzey Doğrusal Oyunlar - Atama Oyunları - Hibrit Oyunlar - Gruplama ve Seçme Oyunları - Planlama (Haritalama) Oyunları - Örüntü Oyunları Sayısal Mantık Oyunları - Sayısal Mantık Oyunlarına Giriş - Özel İşlem ve Fonksiyon Oyunları - Dizi ve Örüntü Oyunları - Şifreleme Oyunları - Şekil Yeteneği Oyunları - Tablo ve Grafik Oyunları - Problem Oyunları - Genel Çözümlü Testler - Diğer Oyunlar - Üst Düzey Oyun Teknikleri - Genel Çözümlü Testler Konuların sonunda verilen testleri çözerek öğrendiğiniz çözüm stratejilerini uygulama fırsatı bulacaksınız. Hem sözel hem de sayısal mantık sorularında çözüm stratejilerini sindirmiş olmak size daha da çok zaman kazandıracaktır. 1

6 SÖZEL MANTIK OYUNLARI / SÖZEL MANTIK OYUNLARINA GİRİŞ BÖLÜM 2 1 SÖZEL MANTIK OYUNLARINA GİRİŞ Sözel mantık oyunları, sınavların Türkçe veya Sözel bölümlerinde karşınıza çıkmaktadır. Sözel mantık oyunlarının çözümü kendi içindedir yani ekstra hiçbir bilgi ve birikim gerektirmez. Bu soruları çözmek için Kalkülüs veya Kuantum Fiziği bilmenize gerek yoktur, tek ihtiyacınız olan şey analitik düşünceden yararlanma ve çözüm stratejisi belirlemedir. Bu soruları çözebilmek için öncelikle sözel mantık oyunlarını tanımalıyız. Sözel mantık oyunları; Kurgu Bölümü, Koşullar Bölümü ve Soru Bölümü olmak üzere 3 farklı bölümden oluşur. Kurgu bölümünde bir olay vardır. Bu olaydaki kişiler, yerler, nesneler gibi değişkenler tanıtılır ve genel kurallar verilir. Kurgu bölümünü çok iyi okumak, anlamak ve hafızaya almak gerekir. Şimdi örnek bir oyunun kurgu bölümünü inceleyelim: ÖRNEK Bir kargo şirketine ait bir araçta bulunan ve A, B, C, D, E, F ve G olarak adlandırılan yedi paket, 1 den 7 ye kadar numaralandırılmış yedi farklı adrese aşağıda verilen koşullara göre dağıtılacaktır. Bu mantık oyunundaki kurgu bölümünde, A dan G ye kadar adlandırılan paketler ve 1 den 7 ye kadar numaralandırabileceğimiz 7 adres olmak üzere 2 değişken kümesi vardır. ÖNERİ Her zaman bir kurguya ait değişken kümelerini not alınız. Mantık oyunlarının ikinci bölümü ise koşullar bölümüdür. Bu bölümde değişkenler arasındaki ilişkiler verilir. Bir başka deyişle, kurguda verilen kişilerin, yerlerin veya nesnelerin birbirleriyle olan ilişkileri hakkında bazı ifadeler verilir. Yukarıda verilen örnek oyuna ait koşulları inceleyelim: E paketi, 1. adrese veya 7. adrese teslim edilmiştir. C paketinin teslim edildiği adresin numarası, A paketinin teslim edildiği adresin numarasından 2 büyüktür.

7 BÖLÜM KOŞULLARIN GÖSTERİM YÖNTEMLERİ Sözel Mantık Oyunları / Doğrusal Oyunlar Koşulların gösterimi mantık oyunlarının analizinde ve soruların çözümünde kritik bir rol oynamaktadır. Koşulların gösterimi konusunda sıkıntı yaşayan öğrenciler, direk olarak soruları cevaplamaya geçtiklerinde, kaybettikleri zamanla ve çözemedikleri sorularla bunun bedelini ağır bir şekilde ödemektedirler. Bunun için size doğrusal oyunlarda kullanabileceğiniz hatta diğer oyun türlerinde de kullanabileceğiniz bazı koşul gösterim yöntemlerinden bahsedeceğiz. Olumsuzluk Yöntemi Bir kurguya ait koşullarda bir değişkenin herhangi bir boşluğa yerleşemeyeceği söyleniyorsa bu değişkenin üzerine çapraz çizgi atarak gösterebiliriz. Daha önce bahsettiğimiz kurguya ait örnek bir koşul verelim. A sınıfı, pazartesi günü boyanmamıştır koşulu verilirse, bunu 1. güne ait boşluğun altına aşağıda verilen şekilde yazarak gösterebiliriz. 1. Gün 2. Gün 3. Gün 4. Gün 5. Gün 6. Gün A Bu yöntem, olumsuz koşulların gösterimi konusunda oldukça kullanışlıdır ve birçok soruda sizlere yardımcı olacaktır. Kutu Yöntemi Doğrusal oyunlarda kutu yöntemi, değişkenler arasındaki belirlenmiş konumsal ilişkiyi gösterir. Daha açık bir ifadeyle, tam olarak yan yana olan, komşu olan değişkenlerin gösteriminde kullanılır ama direk olarak yan yana olmayan ve aralarındaki değişken sayısı bilinmeyen değişken grubu için kullanılmaz. Örneğin, konunun başında verdiğimiz kurguya ait D sınıfı, B sınıfından bir önceki gün boyanmıştır koşulu verilmiş olsun. Bu koşulu aşağıdaki gibi gösterebiliriz: 1. Gün 2. Gün 3. Gün 4. Gün 5. Gün 6. Gün DB Daha sonra elde ettiğimiz kutu gösterimini, D ve B nin arka arkaya gelmesi gerekiyor diye yorumlayarak boşluklara arka arkaya yerleştireceğiz. Aşağıdaki gibi yerleştirmeler yapılabilir: D B 1. Gün 2. Gün 3. Gün 4. Gün 5. Gün 6. Gün D B 1. Gün 2. Gün 3. Gün 4. Gün 5. Gün 6. Gün 22 (D B için olası 5 durumdan sadece 2 tanesi örnek olması için gösterilmiştir.)

8 Sözel Mantık Oyunları / Doğrusal Oyunlar ALIŞTIRMALAR Aşağıda mantık oyunları çözümünde kullanılan gösterim yöntemleriyle ilgili verilen görevleri yapınız. 1. Koşul: G öğrencisi, H öğrencisinden daha önce kayıt olmuştur. Kayıt Pozisyonları: Koşul: C sınıfı ilk iki günden birinde boyanmıştır. Günler: Koşul: Ahmet, Ceyda dan 2 sıra öndedir. Sıra Pozisyonları: Koşul: 3. gün Sercan veya Berna sunum yapacaktır. Günler: Koşul: Burak şarkısını Emre den hemen önce söylemiştir. Sıra Pozisyonları:

9 Doğrusal Oyunlar / Çözümlü Sorular soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız. Bir bankanın veznesinde sıraya girmiş olan 7 kişi Ali, Burçin, Can, Dilek, Ekrem, Füsun ve Gamze dir. Bu kişiler arka arkaya tek bir sıra oluşturacak şekilde dizilmişlerdir. Veznedeki sırada en önde bulunan kişi 1. sırada ve en arkada bulunan kişi ise 7. sırada olacak şekilde numaralandırılıyor. Bu kişilerin bulundukları sıralarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir: Eğer Can 4. sırada ise, Burçin 5. sırada ve Gamze 7. sıradadır. Eğer Ali 2. sırada değilse, Dilek 2. sırada ve Burçin 6. sıradadır. Füsun, Burçin in hemen arkasındadır. 5. Aşağıda verilenlerden hangisi 1. sıradan 7. sıraya olacak şekilde bu kişilerin sıralaması olabilir? A) Ali, Dilek, Ekrem, Can, Gamze, Burçin, Füsun B) Burçin, Ali, Gamze, Can, Ekrem, Füsun, Dilek C) Ekrem, Ali, Dilek, Burçin, Füsun, Gamze, Can D) Dilek, Ali, Ekrem, Can, Gamze, Burçin, Füsun E) Burçin, Ali, Füsun, Ekrem, Can, Dilek 6. Eğer Can 4. sırada değilse aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) Burçin, 6. sıradadır. B) Ali, 2. sıradadır. C) Ekrem, 1. veya 2. sıradadır. D) Dilek, 5. veya 6. sıradadır. E) Hiçbiri 7. Eğer Dilek ve Ekrem in sırası, Ali nin sırasından önce ise aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Gamze, 1. sırada ve Can 5. sıradadır. B) Ali, 3. sırada ve Gamze 5. sıradadır. C) Burçin, 6. sırada ve Füsun 7. sıradadır. D) Ekrem, 1. sırada ve Dilek 2. sıradadır. E) Hiçbiri 8. Eğer Ekrem 1. sırada ve Dilek 3. sırada olursa bu 7 kişi için kaç farklı sıralama yapılabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 33

10 Doğrusal Oyunlar / Çözümlü Sorular ÇÖZÜMLER Kurguda 7 kişi ve bu 7 kişinin yerleşebileceği 7 boşluk verildiğinden denk oyundur. Öncelikle verilen koşulları gösterim yöntemleri yardımıyla ifade edelim. Burada kişilerin alt indisleri o kişinin bulunduğu sırayı gösterecektir. Örneğin, Can ın 4. sırada olmasını ile göstereceğiz. Eğer Can 4. sırada ise, Burçin 5. sırada ve Gamze 7. sıradadır koşulunu mantık sembolleri yardımıyla, C 4 B 5 C 4 G 7 Eğer Ali 2. sırada değilse, Dilek 2. sırada ve Burçin 6. sıradadır koşulunu yine mantık sembolleri yardımıyla, JA 2 D 2 JA 2 B 6 Füsun, Burçin in hemen arkasındadır koşulunu kutu yöntemi ile B F şeklinde gösterebiliriz. Elde ettiğimiz yeterlilik-gereklilik ifadelerinin karşıt terslerini bulalım. C 4 B 5 ifadesinin karşıt tersi JB 5 JC 4 ifadesidir. C 4 G 7 ifadesinin karşıt tersi JG 7 JC 4 ifadesidir. JA 2 D 2 ifadesinin karşıt tersi JD 2 A 2 ifadesidir. JA 2 B 6 ifadesinin karşıt tersi JB 6 A 2 ifadesidir. Bu gösterimlerden elde edebildiğimiz kadar çıkarım yapalım. JA 2 D 2 ve JD 2 A 2 ifadelerinden 2. sırada ya A vardır ya da D vardır. Buna göre aşağıdaki gibi 2 farklı senaryo oluşur. JA 2 B 6 koşulundan dolayı 2. sırada D nin bulunduğu senaryoda B, 6. sırada olur. B F koşulundan dolayı ise F de 7. sırada olur. İkinci senaryoda C 4 B 5 ifadesinden dolayı 4. sıraya C gelemez çünkü C, 4. sıraya gelseydi B de 5. sıraya gelmeliydi ama B, 6.sıradadır. 1. Senaryo: A 1. sıra 2. sıra 3. sıra 4. sıra 5. sıra 6. sıra 7. sıra 34

11 Üst Düzey Doğrusal Oyunlar / Çözümlü Sorular 11. Bu sorunun çözümü için A projesinin 2 numaralı salonda sergilendiğini kabul edelim. Bu durumda bir üstteki soru için oluşturduğumuz tabloyu kullanarak bu soruyu cevaplayabiliriz. 1. Salon 2. Salon 3. Salon 4. Salon Projeler B C A D C C A Öğrenciler G H H F E G Verilenlerden B projesi 3 numaralı salonda sergilenir ifadesinin yanlış olduğu tabloya bakılarak anlaşılır. Diğer seçeneklerdeki ifadeler ise doğru bilgilerdir. Doğru Seçenek B 12. Soruyu cevaplamak için B projesini, Filiz in tanıttığını kabul edelim. Bu durumda aşağıda verilen iki olası durum elde edilir: 1. Salon 2. Salon 3. Salon 4. Salon Projeler A C D B C C A Öğrenciler G H H F E G 1. Salon 2. Salon 3. Salon 4. Salon Projeler A C C B C D A Öğrenciler G H H F E G Doğru Seçenek A 54

12 SAYISAL MANTIK OYUNLARI / SAYISAL MANTIK OYUNLARINA GİRİŞ BÖLÜM 3 1 SAYISAL MANTIK OYUNLARINA GİRİŞ Sayısal mantık oyunları olarak adlandırdığımız sayısal ve mantıksal akıl yürütme sorularıyla sınavların sayısal bölümünde veya matematik bölümünde karşılaşmaktayız. Sözel mantık oyunlarının aksine sayısal mantık oyunlarını çözmek için temel matematik bilgilerine ihtiyaç duyabilirsiniz. Sayısal mantık oyunlarında başarılı olabilmek için öncelikle temel matematik bilgisine hâkim olmanız gerekmektedir. Eğer bu konuda eksiklerinizin olduğunu düşünüyorsanız, öncelikle bu eksiklerinizi tamamlayıp daha sonra bu bölüme çalışmaya başlamanızı tavsiye ederiz. Sayısal mantık oyunlarını analiz ederek daha yakından tanıyalım. Sayısal mantık oyunları, Bilgi ve koşullar bölümü ve Soru bölümü olmak üzere iki ana bölümden oluşur. Sayısal mantık oyunlarının ilk bölümü olan bilgi ve koşullar bölümünde, bu oyunda size yeni bir bilgi sunarak bu bilgiye göre soruları cevaplamanızı isteyebilir veya bir oyuna ait koşullar verilerek sizden bu koşullar ışığında soruları cevaplamanız istenebilir. Aşağıda verilen örneği inceleyelim. ÖRNEK p 1 p, bir asal sayı olmak üzere sayısı asal sayı ise p sayısına güvenli asal sayı denir. 2 p Örneğin; p = 5 seçelim. p = 5 ve = = = 2 asaldır Buna göre p = 5 sayısı güvenli asal sayıdır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi bir güvenli asal sayı değildir? A) 47 B) 59 C) 83 D) 107 E) 127 Yukarıda verilen oyunda bir bilgi verilmiştir. Sizden bu bilgiye göre seçenekleri analiz edip soruyu cevaplamanız beklenmektedir. Bazen bu tür bilgiler yerine belli koşullar verilerek bu koşullar ışığında soruları cevaplamanız istenebilir. Bazı oyunlarda ek bilgi verildiğinde, bu bilgiye ait bir örnekte verilerek bilgiyi doğru şekilde anlayıp yorumlamanıza yardımcı olunmaktadır. Sayısal mantık oyunlarında verilen bilgiyi dikkatli bir şekilde okuyup üzerinde düşünmeniz soruyu cevaplamanızı kolaylaştıracaktır. Sayısal mantık oyunlarını oluşturan ikinci bölüm ise soru bölümüdür. Sayısal mantık oyunlarında bir koşullar grubu veya bilgi oyununa ait 1 soru sorulabilirken bazı oyunlarda 4 soru sorulabilmektedir. Yani bir koşullar gurubu veya bilgi grubuna ilişkin 1 ile 4 arasında değişen sayıda soru sorulmaktadır. 191

13 Sayısal Mantık Oyunları / Sayısal Mantık Oyunlarına Giriş Yukarıdaki örnek oyunda verilen bilgiye ilişkin 1 soru sorulmuştur. Bu soruda da olduğu gibi sayısal mantık oyunlarının çoğunda seçenekleri test etme metodunu kullanmanız gerekecektir. Seçenekleri test etme metodu, soruda verilen seçenekleri verilen koşul ya da bilgiye uygun olup olmadığını test etmektir. Sözel mantık oyunlarında olduğu gibi sayısal mantık oyunlarında da iki farklı soru tipi vardır. Bunlardan birincisi genel sorulardır. Genel sorularda size ek bir koşul veya bilgi verilmez. Daha önce verilmiş olan bilgi ve koşullar üzerinden soruyu cevaplamanız istenir. Diğeri ise özel sorulardır. Eğer sorularda genel koşullara ek olarak yeni koşullar verilmişse bu sorulara özel sorular denir. Genel olarak mantık oyunlarında özel sorular sorulmaktadır. Sözel mantık oyunları genel olarak sayısal mantık oyunlarından daha karmaşıktır çünkü sözel mantık oyunlarında eğer pratiğiniz yoksa ilk başta ne yapacağınızı bilemezsiniz ve çok vakit kaybedebilirsiniz. Sayısal mantık oyunlarında genel olarak cebirsel işlemlere başvurulacağından ve ne yapacağınızı kestirmek kolay olduğundan sözel mantık oyunlarına göre çok karmaşık değildir. Tabi burada temel matematik bilgisine hâkim olmak önemli bir rol oynamaktadır. Sayısal mantık oyunlarının çözümünde izlenecek yol genel olarak şu şekildedir: 1. Verilen bilgi ve koşulları dikkatli bir şekilde okuyunuz. 2. Verilen bilgi ve koşulları mümkünse matematik cümleleri ile ifade ediniz. 3. Soruları çözünüz. 4. Çözümünüzü kontrol ediniz. Yukarıda bahsettiğimiz adımları detaylı bir şekilde inceleyelim. Öncelikle verilen bilgi veya koşulları dikkatli bir şekilde okumalıyız. Burada verilmiş olan bilgileri ve koşulları matematiksel olarak ifade etmek size sorunun çözümünde kolaylık sağlayacaktır. Bu yöntemle hem koşulların veya bilgilerin tümünü kolayca göz önünde bulundurmuş olacaksınız hem de bunları yorumlamak daha kolay olacaktır. Verilen bilgileri matematiksel cümlelerle ifade ettikten sonra eğer mümkünse isteneni de matematiksel olarak ifade etmeliyiz. Verilenlerden istenilene nasıl gidebileceği hakkında düşünerek bir çözüm planı yapmalıyız. Elde ettiğiniz bu matematik cümlelerini kullanarak bazı oyunlarda genel bir çözüm üretebilirsiniz veya bu matematik cümlelerini her bir sorunun çözümünde kullanabilirsiniz. Daha önce yaptığınız çözüm planını bu aşamada uygulamaya koymalısınız. Son basamak kontrol basamağıdır. Yaptığınız çözümleri kontrol etmeniz yanlış cevap verme oranınızı düşürecektir. İşlem hatalarınızı veya çözüm kurgusundaki hatalarınızı fark etmenize yardımcı olacaktır. ÖSYM nin sorularında seçeneklerde tahmini yanlış çözüm sonucu elde edilecek hatalı sonuçlarda seçeneklerde yer almaktadır. Bu yüzden bulduğunuz cevap seçeneklerde olsa bile doğru olduğundan hemen emin olmayınız. Bu çözüm basamakları oyunların geneli düşünülerek verilmiştir. Sayısal mantık oyunlarını kategorilere ayırmak oldukça zordur ama bu oyunları kendi içinde kategorilere ayırmaya çalıştık. Sonraki bölümlerde her bir kategoriye ait soruların çözüm yöntemlerini detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. 192

14 ÖZEL İŞLEM VE FONKSİYON OYUNLARI / ÇÖZÜMLÜ SORULAR soruları aşağıdaki bilgilere göre birbirinden bağımsız olarak cevaplayınız. Bir tam sayıdan daha küçük ve bu tam sayıyla aralarında asal olan pozitif tam sayıların sayısını veren fonksiyona Euler Phi Fonksiyonu denir. Euler Phi Fonksiyonu ϕ(n) şeklinde gösterilir. Örneğin; ϕ(4) ün değerini bulmak için 4 ile aralarında asal olan 4 ten küçük pozitif tam sayıların sayısını bulmalıyız. 4 ile aralarında asal olan sayılar 1 ve 3 tür. Buna göre ϕ(4)=2 olur. 1. Buna göre ϕ(20) nin değeri kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) n 20 olmak üzere ϕ(n) nin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 12 B) 15 C) 16 D) 17 E) ϕ(n) = 8 ise bu eşitliği sağlayan en küçük n doğal sayısı aşağıdakilerden hangisidir? A) 12 B) 14 C) 15 D) 18 E) x ve y birbirinden farklı doğal sayılar olmak üzere ϕ(x) = ϕ(y) = 4 ise x + y ifadesinin en küçük değeri kaçtır? A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E)

15 SAYISAL MANTIK OYUNLARI / ŞİFRELEME OYUNLARI BÖLÜM 3 4 ŞİFRELEME OYUNLARI Şifreleme oyunlarının temel mantığı bazı bilgilerin gizlenmesine dayanmaktadır. Rakamlar, sembol veya harflerle şifrelenebilir. Şifreleme oyunlarında, şifreleme yöntemine ilişkin bilgiler verilmektedir. Bu yüzden şifreleme oyunlarına ait soruları cevaplamak oldukça kolaydır. Şifreleme oyunlarının çözümünde öncelikle rakamlarla harfler veya sembollerin eşleştirmesi yapılmalıdır. Bu eşleştirme sonucunda elde edilen tablo ile soruları cevaplayabilirsiniz. ÖRNEK Mert, şekilde verilen cep telefonuna ait tuş takımı yardımıyla aşağıda verilen koşullara göre gizli bir mesaj oluşturacaktır: Hangi harf yazılmak isteniyorsa o harf soldan sağa doğru kaçıncı sıradaysa o tuşa o sıra numarası kadar basılmalıdır. Örneğin B harfini yazmak için 2 tuşuna iki kez basılmalıdır. 0 tuşuna basıldığında 1 karakter boşluk bırakmaktadır. 1 tuşuna basıldığında. karakteri koyulur. Mert, bu tuşlara bastığında çıkan rakamları yan yana yazarak gizli kodu oluşturuyor. Örneğin; GEL mesajının kodu şeklindedir. G harfi için bir kez 4 e, E harfi için iki kez 3 e ve L harfi içinse üç kez 5 e basılmıştır koduna ait mesaj ne olabilir? Bu oyunda harfler rakamlarla şifrelenerek bir mesaj oluşturuluyor. Şifreli kodun nasıl oluşturulduğuyla ilgili bilgiler verildiğinden sorunun çözümü oldukça kolay olacaktır ama bir sorun var. Örneğin 7777 kodu birden fazla mesajı verebilir. Bunlar PPPP, QQ, RP, PR, S vs gibi olabilir ama biz beklediğimiz anlamlı mesaja göre bir çözüm yapacağız. Verilen kodu inceleyerek hangi rakamın kaç kez tekrar ettiğini bilmemiz şifreli mesajda hangi harflerin olduğunu bulmamızı sağlayacaktır. 6 M 2 A 8 T 33 E 6 M 2 A 8 T 88 U 7777 S Bu harfleri yan yana yazdığımızda MATEMATUS kelimesini elde ederiz. Böylelikle şifreli mesajı elde etmiş olduk. Bu oyun karmaşık olmadığından böyle çözmek zaman kazandırabilir belki ama diğer şifreleme oyunlarında harflere ait kod tablosunu oluşturmak işleri kolaylaştırabilir. 213

16 Şifreleme Oyunları / Çözümlü Sorular 2. mors şifresine karşılık gelen kelimeyi mors alfabesinden yararlanarak yazalım. Şimdi verilen şifredeki harfleri tabloya yerleştirelim ve bunların karşılıklarını tek tek bulalım: M A N T I K Verilen mors şifresine karşılık gelen kelime MANTIK kelimesidir. Doğru Seçenek B 3. Soruda verilen mors şifresine ait kelimeyi tahmin etmeliyiz. Verilen seçeneklerdeki kelimeler 3 harften oluştuğundan dolayı bu sembolleri 3 harfe karşılık gelecek şekilde parçalamalıyız. G E L Verilen sembolleri yukarıdaki gibi parçaladığımızda 3 harfli bir kelime elde edebiliriz. Buna göre verilen sembollerden GEL kelimesi elde edilebilir. Diğer seçenekleri incelediğimizde onların olamayacağı görülebilir. Bu sembollere karşılık gelen başka kelimelerde vardır ama biz seçeneklerde olan kelimeyi bulmaya çalışıyoruz. Doğru Seçenek D 4. 8 tane ve 7 tane ile oluşturulabilecek en büyük doğal sayıyı bulalım. Rakamların mors alfabesindeki gösterimlerini incelediğimizde her rakamın 5 sembol kullanılarak gösterildiğini anlarız. Soruda tane ve 7 tane kullanarak sayı oluşturmamız istendiğinden = 3 basamaklı bir sayı oluşturabiliriz. 5 Bir üç basamaklı sayının en büyük değerini alması için yüzler basamağı en büyük rakam olan 9 olmalıdır. Buna göre sembollerini 9 rakamı için kullanırız. Geriye kullanmadığımız 4 tane ve 6 tane sembolü kaldı. Onlar basamağı için yine en büyük rakam olan 9 u elde etmeye çalışacağız. Elimizde kalan sembollerle onlar basamağı için şifreli gösterimini oluşturduğumuzda geriye kullanmadığımız sadece 5 tane sembolü kalır. Bu sembollerle de şifresi oluşur ki bu da mors alfabesinde 5 rakamına karşılık gelir. Buna göre soruda verilen sembollerle oluşturabileceğimiz en büyük doğal sayının 995 olduğunu buluruz. 995 sayısının rakamları toplamı = 23 bulunur. Doğru Seçenek A 216

17 Sayısal Mantık Oyunları / Şekil Yeteneği Oyunları ÖRNEK Aşağıda bir kağıt dikey olarak katlanıyor ve üzerine bir şekil çiziliyor. Bu kağıt açıldığında aşağıdaki gibi bir görüntü oluşur. Dönme Hareketi Bir nesnenin belli bir dönme merkezi etrafında saat yönünde veya saatin tersi yönündeki rotasyonuna dönme hareketi denir. Döndürülen şeklin biçim ve boyutu değişmez, ancak şeklin duruşu ve yeri değişir. Bir şeklin bir nokta etrafında 180 döndürülmesiyle o şeklin o noktaya göre simetriği elde edilir. ÖRNEK Yukarıda verilen şekli B noktası etrafında saat yönünde 90 döndürülmüş hali aşağıdaki gibi olur. B Dönme hareketinde şeklin üzerindeki her bir noktanın dönme merkezine olan uzaklığı sabit kalacak şekilde verilen açı kadar döndürülür. 229

18 BÖLÜM GEOMETRİK YAPILAR Sayısal Mantık Oyunları / Şekil Yeteneği Oyunları Birim küpler kullanılarak oluşturulan cisimler geometrik yapılar olarak adlandırılmaktadır. Birim küplerle oluşturulmuş geometrik yapıların sağdan, soldan, üstten veya önden görünümlerinin çizimi ve birim küplerle oluşturulmuş bir geometrik yapıdaki birim küp sayısının nasıl bulunacağına değineceğiz. ÖRNEK ÖNDEN GÖRÜNÜM SAĞDAN GÖRÜNÜM SOLDAN GÖRÜNÜM ÜSTTEN GÖRÜNÜM Yukarıda belli yönlerden görünümleri verilen geometrik yapıyı çizelim. Bir geometrik yapının üstten görünümü bize bu yapının tabanındaki birim küplerin dizilimini gösterir. Geometrik yapının üstten görünümünü kullanarak tabandaki dizilimi oluşturup diğer küplerin yerlerini ise sağdan, soldan ve önden görünümü kullanarak belirleyelim. Bazı oyunlarda geometrik yapı verilip bu yapıdaki birim küp sayısı sorulmaktadır. Bu durumda yapının üstten görünümündeki her bir küpün kendisi dâhil olmak üzere altında kaç küp olduğunu bulduğumuzda yapıdaki küp sayısını bulmuş oluruz. 230

19 Sayısal Mantık Oyunları / Genel Çözümlü Testler / Test 1 ÇÖZÜMLER Bu bir grafik oyunudur. Önce grafiği yorumlayıp bazı çıkarımla elde edelim. Benzin (litre) 48 X Y Z Zaman (saat) X aracının deposundaki 48 litre benzin 6 saatte tükeniyorsa 1 saatte 48:6 = 8 litre benzin tüketmektedir. Y aracının deposundaki 48 litre benzin 12 saatte tükeniyorsa 1 saatte 48:12 = 4 litre benzin tüketmektedir. Z aracının deposundaki 48 litre benzin 16 saatte tükeniyorsa 1 saatte 48:16 = 3 litre benzin tüketmektedir. Şimdi soruları cevaplayalım. 9. Y aracında 24 litre benzin kaldığını kabul edelim ve bu durumda Z aracında kaç litre benzin kaldığını bulalım. Yukarıda elde ettiğimiz çıkarımlarda Y aracının 1 saatte 4 litre benzin tükettiğini biliyoruz. Deposunda toplam 48 litre benzin vardı 24 litre kaldığına göre = 24 litre tüketmiştir. 1 saatte 4 litre benzin tükettiğinden 24 litre benzini 24 : 4 = 6 saatte tüketir. Z aracı 1 saatte 3 litre benzin tüketmektedir. 6 saatte 6 3=18 litre benzin tüketir. Z aracının deposunda başta 48 litre benzin olduğundan geriye = 30 litre benzin kalır. Doğru Seçenek D 272

20 Sayısal Mantık Oyunları / Genel Çözümlü Testler / Test 2 9. Bir doğal sayı ve bu sayıya uygulanan işlemle ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor: Bu doğal sayının birler basamağı 8 dir. Bu sayının birler basamağındaki rakam alınıp sayının en başına (en soluna) koyuluyor. Bu işlem sonunda elde edilen sayı ilk durumdaki sayının 4 katıdır. Bu şartları sağlayan en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E)