Uç Değer Tabanlı Modelleme ile Belirsiz Kompozit Bir Plakanın Deneysel Titreşim Cevap Sınırlarının Tahmin Edilmesi

Transkript

1 Uluslararası Katılımlı 17. Maia Teorisi Sempozyumu, İzmir, Hazira 15 Uç Değer Tabalı Modelleme ile Belirsiz Kompozit Bir Plaaı Deeysel Titreşim Cevap Sıırlarıı Tahmi Edilmesi A. Seçgi* M. Kara A. Ozaa Douz Eylül Üiversitesi Douz Eylül Üiversitesi Douz Eylül Üiversitesi İzmir İzmir İzmir 1 Özet Belirsizli adı verile otrol edilemeye değişeliler yapıla titreşim aalizleride geellile göz ardı edilirler. Aca daha gerçeçi aalizler içi uygu algoritma veya yötemlerle bu belirsizliler hesaba atılmalıdır. Bu işlemler içi sayısal veya deeysel Mote Carlo simülasyou gibi istatistiî teiler sılıla ullaılır. Daha az sayıda Mote Carlo verisi ullaabile uç-değer teorisi tabalı modelleme ile bu belirsizlileri cevap sıırları elde edilebilir. Bu çalışmada, ompozit bir plaaı belirsizli aalizi deeysel olara gerçeleştirilmiştir. Aalizlerde plaaı ütlesi belirsiz parametre olara seçilmiş ve belirsizli ormal dağılıma uygu olara farlı sayılarda üçü topalamış ütleleri plaaya elemesi ile prati olara modellemiştir. So olara her bir örelem içi titreşim cevapları ölçülmüş ve bir uç değer modeli urulara bu belirsiz cevapları sıırları başarı ile tahmi edilmiştir. Aahtar elimeler: belirsizli aalizi, ompozit plaa, Mote Carlo simülasyou, uç değer tabalı modelleme Abstract Variabilities called ucertaity are geerally igored i performed vibratio aalysis. However for more realistic aalysis, these ucertaities eed to be tae ito accout with appropriate algorithm or methods. Statistical techiques such as umerical ad experimetal Mote Carlo simulatio are frequetly used for these operatios. The respose bouds of ucertaities ca be successfully obtaied by extremevalue theory based modelig usig less umber Mote Carlo data. I this study, ucertaity aalysis of a composite plate is experimetally performed. I the aalyses, plate mass is selected as ucertai parameter ad ucertaity due to mass variability is practically modeled by addig differet small lumped masses to plate as proper with the ormal distributio. Fially, vibratio resposes are measured for each sample ad bouds of these ucertai results are successfully predicted by costructig a extreme value model. Keywords: composite plate, ucertaity aalysis, Mote Carlo simulatio, extreme value based modelig * abdullah.secgi@deu.edu.tr ara.murat@deu.edu.tr altay.ozaa@ogr.deu.edu.tr 1 I. Giriş Yapısal-austi sistemleri cevap davraışlarıda, malzeme içerisidei ve geometrisidei üçü değişeliler, zorlama arateri ve geliğide ortaya çıa üçü farlılılar, yapıı il ve sıır oşullarıdai oyalılar edei ile ortaya çıabile bu otrol edilemeye değişeliler belirsizli olara adladırılır. Geellile vibro-austi aalizlerde bu belirsizliler göz ardı edilere, te bir öre üzeride aaliz yapılır. Faat daha gerçeçi aalizler yapabilme içi belirsizlileri uygu bir şeilde modelleere hesaba atılması gerelidir. Mote Carlo simülasyou özellile düşü freas belirsizli aalizleride e ço ullaıla yötemlerde biridir. Aca bu tip simülasyoları belirsizlileri abul edilebilir düzeylerde modelleyebilmeleri içi ço sayıda simülasyo yapılması geremetedir. Bu durum ölçümü ve aalizleri verimliliğii azaltmatadır. Bua arşı, az sayıda Mote Carlo veriside faydalaara oluşturula uç-değer tabalı bir istatistiî modelleme ile belirsiz sistemi vibro-austi cevaplarıı sıırları belirleebilmetedir [1-3]. Bu çalışmada, seiz tabaalı simetri bir ompozit plaaı deeysel belirsizli aalizi gerçeleştirilmiştir. Burada, belirsizliği edei olara ompozit plaalarda reçiei ifizyou edei ile plaa ütlesii plaa üzeride homoje olara dağılmadığı varsayılmıştır. Bu amaçla toplam ütlesi, plaa ütlesii yalaşı %5 i adar ola yirmi adet topalamış ütle her bir ölçüm içi plaa üzerie rastgele yerleştirilere, belirsiz titreşim cevap fosiyoları ölçülmüştür. Zorlama otasıı ölçüle mobilite değeri sosuz plaa sistemi içi verile aaliti mobilite değerleri ile arşılaştırılmıştır. So olara, uç-değer tabalı bir model urulara plaa belirsizliğii sıırları başarı ile elde edilmiştir. II. Matematisel Bağıtılar A. Kompozit bir plaaı eğilme titreşim empedası Yapıları yüse freaslarda titreşmesi durumuda, bu yapıı diamiği, sosuz/yarı sosuz yapıya yaısar. x-y düzlemide bulua sosuz bir plaaı, eğilme uvvetie arşı yüse freasta zorlama otasıdai titreşim cevap fosiyolarıda biri ola empedas aaliti olara [4],

2 Uluslararası Katılımlı 17. Maia Teorisi Sempozyumu, İzmir, Hazira , (1) F Z h c L Y ile ifade edilir. Burada, Y v F, mobilite; v, plaaı zorlama otasıdai hızı; h 1, döme merezi yarıçapıdır. Plaaı uzama dalga hızı ise ortotropi plaalar içi; c c c, () L Lx Ly ile ifade edilir. Burada, c Lx ve c Ly ompozit plaaı ve 9 yöüdei uzama dalga hızlarıdır ve 1 Lx x xy c E, (3a) 1 Ly y yx c E, (3b) ile hesaplaır. Burada, E x ve E y, sırasıyla x ve y yöleridei elastisite modülü; xy ve yx Poisso oraı ve, plaaı yoğuluğudur. B. Uç-Değer (EV) tabalı modelleme Bu yötem istatistite daha fazla bilie lasi uç değer teorisie (Extreme Value Theory (EVT)) dayamatadır [3]. Klasi EVT [5], bağımsız, bezer olara dağılımlamış rastgele değişeler dizisii X, i max 1,, özelliğie sahip M M X X X değişeii istatistii özellilerii taımlaya bir yötemdir. Uç-değer aalizii öemli bir özelliği, bir rastgele değişei M belirli bir sıır değerii z( p ) (quatile) aşma olasılığıı p (exceedace probability) tahmi edilmesidir, yai Pr M z( p) p şelide formüle edilebilir (Burada Pr ögörülme fosiyoudur). Stabil bir M dağılımı üç asimptoti dağılım tipleride birie aittir. Bular Tip I: Gumbel dağılımı, Tip II: Fréchet dağılımı veya Tip III: Weibull dağılımı. Veri dağılımıı işlemesi hagi tipe ait olduğu ile yaıda ilgilidir. Geellile bu verileri ö işlemesi içi üç farlı yötem mevcuttur: Bütü verii alt veri blolarıa ayrılması, Belirli bir yüse seviyeli veri eşiğii ullaımı ile sııfladırma, veya E üst-derece (top-order) istatistileri seçilmesi. Prati bir sıır belirleme işlemi eşi aşma uç değer modeli ullaılara oluşturulabilir. Sıır, m-gözlemsel geri döüş düzeyi x m (m-observatioal Retur Level x m ) ciside verii her bir m gözlemii ortalama olara belirlee düzeyi geçtiği değer olara belirleir. Fizisel bir sıırı varolduğu durumlarda elde edilece ola sıır gerçe fizisel sıırı bir yalaşımıdır. Aca fizisel bir sıır yosa rastgele belirsiz yapılar içi determiisti bir sıır arama alamlı değildir. Bu durumlarda istatistisel ölçüler belirleme daha uygudur. Bir Tip 1 eşi modeli içi m-gözlemsel geri döüş düzeyi x m şu şeilde yazılabilir: x m m log u. (4) Burada m sıır tahmilemei yapıldığı yığı boyutu, modeli alibre ede veri öre boyutu, e üst-derece istatistiği, ve u ise model parametreleridir. Tip 1 e ait bir uç-değer modeli şu adımlarla belirleebilir: Yeterli bir veri öre sayısı seçimi (): Ns m. (5) Uygu bir e üst-derece istatisti değeri seçimi (), veri öre sayısıa () bağlı olara yarı-ampiri şeilde şu şeilde seçilebilir [5]: 1.5. (6) Eşi değerii seçilmesi (u), eşi değeri ıcı azala e üst-derece istatisti olara seçilebilir: u x. (7) Model parametre, içi masimum olasılı belirleyicisii hesaplaması: 1 ˆ xi -u. (8) i1 Böylelile Delem 4 de verile sıır değeri (quatile) tahmileyicisi şu şeilde yeide yazılabilir: m qm ( ) ˆ log x Delem 7, Weissma tahmileyicisi olara adladırılır. Tahmi edile sıırları yalaşı güveilirli aralıları şu şeilde hesaplaabilir [6]: x qc m R 1 6 1/ (9) (1)

3 Uluslararası Katılımlı 17. Maia Teorisi Sempozyumu, İzmir, Hazira 15 Burada, log( m / ), c qe ( ) q ( ), 1 R, ve e, III. Simetri Kompozit Plaaı Aalizleri A. Geel bilgiler Bu çalışmada, özellileri Tablo 1 de görüle ( ) oryatasyoa sahip seiz tabaalı ompozit plaaı deeysel belirsizli aalizi gerçeleştirilmiştir. Burada, belirsizliği edei olara ompozit plaalarda reçiei ifizyou edei ile plaa ütlesii plaa üzeride homoje olara dağılmadığı varsayılmıştır. Bu amaçla, plaaı toplam ağırlığıı %5 i adar topalamış ütle plaaı üzeride rastgele yer değiştirilere, zorlama otasıı mobiliteleri ve rastgele bir otaı trasfer mobiliteleri 1-1 Hz aralığı içi elde edilmiştir. Toplam üç zorlama otası seti içi 6 adet ölçüm gerçeleştirilmiştir. Şeil 1 de zorlama otaları daire içerisie alıara diğer ölçüm otaları ile birlite gösterilmiştir. Özelliler Değer Fiber yöüdei uzulu ( a ) [m],5 Fibere di yödei uzulu (b) [m],6 Kalılı (h) [mm],5 Fiber yöüdei elastisite modülü (E 1 ) [GPa] 1,3 Fibere di yödei elastisite modülü (E ) [GPa] 1,1 Kayma modülü (G) [MPa] 33 Poisso oraı ( 1 ),161 TABLO 1. Kompozit plaaı özellileri B. Plaaı deeysel belirsizli aalizi Şeil 1a da görüldüğü gibi plaa ese iplerle asılara serbest sıır oşuluu sağlaması amaçlamıştır. Burada, titreştirici mümü olduğuca sıır oşulu yaratmayaca şeilde bağlamıştır (Şeil 1b). a) b) Şeil 1. Söüm ayıp fatörüü belirlemesi içi ullaıla deey düzeeği a) deey düzeeği, b) titreştiricii bağlatısı C. Uç değer teorisie bağlı modelleme ile belirsizlileri üst sıırlarıı tahmii Bu bölümde ompozit plaa içi elde edile deeysel verilerde bir uç değer modeli Bölüm II.B de alatıla prosedüre göre 6 adet belirsiz veri içi urulmuştur. Bua göre, modeli istatistii parametreleri; i) Veri öre sayısı (): 6 m 1, ii) E üst-derece istatisti değeri 1.5 1, olara seçilmiştir. Modeli oluşturula verii Tip 1 e uyguluğu Hasofer-Wag testi ile özellile rezoas bölgeleri içi elde edilere Şeil de gösterilmiştir. 3

4 Uluslararası Katılımlı 17. Maia Teorisi Sempozyumu, İzmir, Hazira W*1 1 W*1 1 W* a) b) c) 3 3 W*1 1 W*1 1 W* d) e) f) Şeil. Hasofer-Wag test souçları a) 61 Hz; b) 179 Hz; c) 64 Hz; d) 419 Hz; e) 536 Hz; f) 657 Hz Ölçüle zorlama otası ve trasfer mobilite spetrumları, uç değer modelleme ile elde edile cevap sıırları ile birlite sırasıyla Şeil 3 ve Şeil 4 de suulmuştur. Deeyleri doğruluğu solu sistemleri serbest sıır oşulu içi aaliti çözümlerii olmamasıda dolayı sosuz sistemleri zorlama otası aaliti mobilite değerleri ile arşılaştırılmıştır. Bilidiği gibi sosuz sistemleri aaliti çözümlerii solu sistem çözümleri ile arşılaştırılması aca yüse freas bölgeside alamlıdır. Bu bağlamda, elde edile deeysel souçları ortalama değerlerii aaliti souçlara yüse freaslara doğru gidildiçe yaısaması yapıla deeyleri doğruluğuu açıça göstermetedir. Uç-değer modeli ile elde edile sıır ve güveli değerleri Şeil 3 ve Şeil 4 de görüldüğü üzere yie başarı ile elde edilmiştir. Buula birlite, belirsizliği zorlama otası cevapları üzeridei etisi trasfer otalarıa göre daha düşü seviyelerdedir. Souç olara yapı üzeridei homoje olmaya ütle dağılımıı zorlama otasıda uzalaşıldıça etisi ço daha fazla olmatadır ve bu yüzde tasarımlarda bu oyalığı hesaba atılması geretiği açıtır. IV. Souç Bu çalışmada homoje olmaya ütle dağılımıa sahip bir ompozit plaaı cevap sıırları uç değer teorisie dayaara elde edilmiştir. Veri olara ço sayıda deeysel mobilite ölçümleri ullaılmıştır. Doğrulama çalışması içi zorlama otasıı belirsiz mobilite cevapları sosuz plaa mobilitesi ile arşılaştırılmıştır, daha sora bu veri seti uç-değer teorisie göre modelleere plaaı cevap sıırları başarılı bir şeilde elde edilmiştir. Teşeür Bu çalışma 11M836 No.lu TÜBİTAK 11 Araştırma Projesi apsamıda gerçeleştirilmiştir. Kayaça [1] Seçgi, A. Modal ad respose boud predictios of ucertai rectagular composite plates based o a extreme value model. Joural of Soud ad Vibratio, 33, , 13. [] Seçgi A. "Bir uç-değer tabalı modelleme ile belirsiz yapıları titreşim cevap sıırlarıı tahmi edilmesi", PÜ Mühedisli Bilimleri Dergisi, 15-3, 13. [3] Seçgi, A., Due J.F. ve Zoghaib L. "Extreme-value-based statistical boudig of low, mid ad high frequecy resposes of a forced plate with radom boudary coditios", ASME Joural of Vibratio ad Acoustics, 13, 1-1, 1. [4] Lyo, R.H., ve DeJog R.G. Theory ad applicatio of statistical eergy aalysis (d editio). RH Lyo Corp., [5] Hasofer, A.M., No-parametric estimatio of failure probabilities, I Mathematical Models for Structural Reliability Aalysis, Mathematical Modellig Series, Eds. Casciati, F. ad Roberts, J.B., CRC Press, Boca Rato, Chapter 4, 195-6, [6] Coles, S., A Itroductio to Statistical Modellig of Extreme- Values, Spriger-Verlag Lodo, 1. 4

5 Uluslararası Katılımlı 17. Maia Teorisi Sempozyumu, İzmir, Hazira a) b) c) Şeil 3. Plaaı zorlama otası mobilitesii deeysel belirsizli cevapları ve sıır tahmilemesi (gri: belirsizli verileri, esili siyah çizgi: belirsizli ortalaması, x-siyah çizgi: sosuz plaa mobilitesi, düz siyah: tahmi edile üst sıır değeri, otalı siyah: güve aralılı tahmi edile üst sıır değeri) 5

6 Uluslararası Katılımlı 17. Maia Teorisi Sempozyumu, İzmir, Hazira a) b) c) Şeil 4. Plaaı trasfer mobilitesii deeysel belirsizli cevapları ve sıır tahmilemesi (gri: belirsizli verileri, esili siyah çizgi:belirsizli ortalaması, düz siyah: tahmi edile üst sıır değeri, otalı siyah: güve aralılı tahmi edile üst sıır değeri) 6