BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve
|
|
- Nuray Birsen
- 7 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre ogrü değildir deir ve a b (mod ) şelide gösterilir. Geel olara > abul edilir. Teorem 3. Herhagi ii a ve b tamsayısı içi a b(mod ) olması aca ve yalız a ve b i ile bölüdüğüde ayı (egatif olmaya) alaı bıramasıdır. İspat:. a b(mod ) olsu. Bu durumda ( a b) ve böylece a = b +, Z şelide b yi ye bölerse b = q + r, 0 r < ve burada da a = b + = ( q + ) + r, 0 r < buluur. O halde a ve b, ile bölüdüğüde ayı alaı bıraır. a = q + r, b = q + r, 0 r < olsu. Bua göre ( a b), yai a b(mod ) Taım 3. 3 Bir a tam sayısı verilmiş olsu. a yı sayısıa alalı olara bölerse a = q + r, 0 r < Yai a r(mod ) buluur. Bu durumda a ı değerie göre r i alacağı değerler 0,,,..., sayılarıda biri tae sayıda oluşa 0,,,..., taıma mod egatif olmaya e üçü ala sistemi deir. Teorem 3. " " bağıtısı tam sayılar ümesi üzeride bir deli bağıtısıdır. Yai N sabit bir sayı olma üzere, her a, b, c Z içi. a a(mod ). a b(mod ) ise b a(mod ) 3. a b(mod ) ve b c(mod ) ise a c(mod ) İspat: ( Ödev) Teorem 3.5 > bir tamsayı ve a, b, c, d eyfi tam sayılar olsu Bu durumda aşağıdai özelliler geçerli. a b(mod ) ve c d(mod ) ise a + c b + d(mod ) ve ac bd(mod ). a b(mod ) ise a + c b + c(mod ) ve ac bc(mod ) 3. a b(mod ) ise herhagibir pozitif tamsayısı içi a b (mod )
2 İspat: ( Ödev) Souç 3.6 Eğer f x, x, K, x ) atsayıları tamsayı ola bir poliom ve i m içi ai bi (mod ) ise ( m f a, a, am ) f ( b, b, bm )(mod ) ( Öre. f ( x, x ) = x + xx + 3x + olsu. 5 (mod7), 5(mod 7) böylece f ( 5,) f (,5)(mod7) Gerçete (5) + (5)() + 3() + () + ()(5) + 3(5) + (mod 7) Teorem 3.5 te a b(mod ) ise herhagi bir c Z içi ac bc(mod ) olduğuu belirtmişti. Faat buu arşıtı her zama doğru değil Öreği 3. 3.(mod 6) faat (mod 6). Yai ogrüas aritmetiğide gelişi güzel ısaltma yapılamaz. d Teorem 3.7 Eğer ac bc(mod ) ve ( c, ) = d ise a b mod d c c İspat: ac bc(mod ) ise ( ac bc) ohalde ( a b) ve, = d d d d ( a b) yai, a b mod d Souç 3.8 Eğer ac bc(mod ) ve (, ) = Souç 3.9 Eğer ac bc(mod p) ve, c ise a b( mod ) böylece p pf c ola bir asal sayı ise a b( mod p) Öre. Kogrüas teorisi ullaara 6 F 5 olduğuu gösterelim. Burada F = 5. 7 (mod 6) ogrüasıı her ii tarafıı dördücü uvvetii 8 alırsa 5. (mod 6) buluur. Diğer tarafta 5 6 (mod 6) olduğuda (mod 6) ve böylece 3 (mod6), yai 3 + 0(mod 6) elde edilir. Teorem 3.0 a b(mod ) ve a b(mod ) ise a b(mod ) dir, burada = [, ] İspat: (, ) = d ile gösterelim. Bu durumda = ds, = ds olaca şeilde s, s Z sayıları vardır. ( a b) olduğuda ( a b) = x = dsx olaca şeilde x Z ve ( a ) olduğuda ( b) = y = ds y olaca şeilde y Z sayısı vardır. Böylece b a ds x = ds y Öte yada ( s, s ) = olduğuda s x = s y de s s y ve böylece y = s z, z Z buluur. O halde ( a b) = sz = z = [, ]z ve buu soucu olara d ( a yai a b(mod ) [ ] ), b 3
3 Taım 3. N sabit bir sayı olma üzere, modülüe göre ogrüaslarla uğraştığımız zama " " bağıtısıı tam sayılar ümesi üzeride bir deli bağıtısı olduğuu görmüştü. Bua göre " " bağıtısı Z üzeride bir sııflara ayrılış belirler. " " bağıtısıı belirlediği bu deli sııflarıa mod ala sııfları deir ve herhagi bir a tamsayısı içi x a(mod ) şelidei bütü tam sayılar a ı buluduğu deli sııfıa aittirler. Bu durumda sabit bir sayısı içi Z tam sayılar ümesi tae ayrı ala sııfıa parçalaır. Her ala sııfıda bir ve yalız bir temsilci seçmele elde edile sayı taımıa mod bir tam ala sistemi deir. Eğer a, a, a mod bir tam ala sistemi ise bu sayılar belirli bir sırada alıdıları zama modülüe göre 0,,..., sayılarıda birie ogrüdür. Öre. -0, -7, -8,, 7, 9, 30,, 76, 77, 03 ( mod ) bir tam ala sistemi Gerçete 0 (mod), 7 5(mod), 8 3(mod), (mod), 7 6(mod), 9 7(mod),30 8(mod), 9(mod), 76 0(mod), 77 0(mod),03 (mod) Yuarıdai bilgilere göre eğer a, a, K, a gibi bir sayı taımı mod bir tam ala sistemi ise aşağıdai özellilere sahiptir:. i j içi ai a j (mod ),. Herhagi bir a tamsayısı içi a ai (mod ) olaca şeilde i ola bir i idisi vardır. ise de Teorem 3. Eğer mod bir tam ala sistemi a, a, K, a mod bir tam ala sistemi,, b Z ve (, ) = a + b a + b,, a + b, K İspat:. Eğer ai + b a j + b(mod ) ise ai a j (mod ) ve (, ) = olduğuda Souç 3.8 e göre ai a j (mod ) a, a, K, a mod bir tam ala sistemi olduğuda i = j olma zorudadır.. Teorem. e göre (, ) = ise herhagi bir a Z içi x a b(mod ) ogrüasıı x 0 gibi bir çözümü vardır. a, a, K, a mod bir tam ala sistemi olduğuda x a (mod ) olaca şeilde i ola bir i idisi vardır. Bua göre 0 i 0 a a b(mod ) x i ve böylece a i + b a(mod ) buluur. Özel Bölüebilirli Testleri b > bir tamsayı olsu. Herhagi bir pozitif a tamsayısı b i uvvetleri şelide a = c0 + cb + L+ c b şelide te türlü olara gösterilebilir, burada 0 m içi 0 c m < b a sayısıı bu gösterilişie a ı b tabaıa göre veya b-adi gösterilişi deir ve
4 şelide gösterilir. a = ( L 0 c c ccc ) b Teorem 3.3 a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı ve t = c0 + c + L+ c olsu. Bu durumda (i) 3 a olması aca ve yalız 3 t olması ile mümüdür. (ii) İspat: 9 a olması aca ve yalız 9 t olması ile mümüdür. f x ) = = 0 ( c x olsu (i) 0 (mod 3) Souç 3.6 ya göre f ( 0) f ()(mod3 ) f ( 0) = a, f () = t a t(mod3). Böylece a t(mod 3), 3 a t a 0(mod 3) 3 t. (ii) 0 (mod 9) Souç 3.6 ya göre f ( 0) f ()(mod9 ) f ( 0) = a, f () = t a t(mod9). Böylece a t(mod 9), 9 a t a 0(mod 9) 9 t. Teorem 3. a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı ve t = c c + c L + ( ) c olsu. Bu durumda a olması aca ve yalız 0 t olması ile mümüdür. İspat: f x ) = = 0 ( c x derse 0 (mod) f ( 0) f ( )(mod). f ( 0) = a, f ( ) = t, a t (mod). Böylece a t. Teorem 3.5 a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı olsu. a sayısıı 7, ve 3 sayılarıı hepsi ile bölüebilmesi aca ve yalız u = ( 00c + 0c + c0 ) (00c 5 + 0c + c3) + (00c8 + 0c7 + c6 ) L sayısıı 7, ve 3 sayılarıı hepsi ile bölümesi (00c İspat: 7..3=00 3m 3m+ Eğer m çift ise 0, 0 3m+ 0, 0 00(mod00) + 0c + c 0 0 3m ) (00c c 3m+ 3m+ Eğer m te ise 0, 0 0, 0 00(mod00) O halde a = (00c + 0c + c 3+ ) + (0 c c c ) + (0 c c c + c 3 3 ) + (00c 8 + 0c c 6 7 ) L(mod00) Bua göre 00 a olması aca ve yalız 00 u olması ile mümüdür. 6 ) + L 5
5 Lieer Kogrüaslar Taım 3.6 > bir doğal sayı a, b Z olma üzere, ax b(mod ) şelidei bir ogrüasa bir bilimeyeli lieer ogrüas deir. Taıma göre ax0 b(mod ) olması aca ve yalız ax 0 b = y0 olaca şeilde bir y 0 Z olması ile mümüdür. Yai ax b(mod ) ogrüasıı sağlaya bütü tamsayıları bulma problemi ile ax y = b lieer Diofat delemii çözme problemi ayıdır. Not. x 0, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümü ise x 0 ile mod ayı ala sııfıa ait bütü tamsayılarda bu ogrüası bir çözümüdür. ax b(mod ) ogrüasıı birbiride farlı çözümlerii sayısı dediği zama ogrüası sağlaya faat mod ye göre ogrü olmaya tam sayıları sayısı alaşılacatır. Teorem 3.7 d = ( a, ) olma üzere, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümüü olması aca ve yalız d b olması ile mümüdür. Eğer d b ise bu ogrüası mod ye göre ogrü olmaya tam d tae çözümü vardır. İspat: Daha öcede verile ogrüası ax y = b Diofat delemie eşdeğer olduğuu görmüştü. Teorem. e göre bu Diofat delemii çözümlü olması içi gere ve yeter oşul ( a, ) b olmasıdır. Eğer bu Diofat delemi çözümlü ise x 0, y 0 Z bir özel çözüm olma üzere, diğer çözümler a x = x0 + t, y = y0 + t, t Z şelide t = 0,, K, d içi x 0, x0 +, x0 +, K, x0 + ( d ) () d d d çözümlerii gözöüe alalım. Bu tamsayılar mod ye göre ogrü değildirler. Asi halde x 0 + t x0 + t (mod ), 0 t < t d d d olsa t (mod t ),, = olduğuda t t (mod d) elde edilir i bu mümü d d d d değil Şimdi x = x0 + t, t Z şelidei bir çözümü mod ye göre () dei sayılarda herhagi birie ogrü olduğuu gösterelim: t ve d çiftie bölme algoritması uygularsa t = qd + r, 0 r d x = x0 + t = x0 + ( qd + r) = x0 + q + r x0 + r (mod ) ve x 0 + r, () de d d d sıralaa tamsayılarda biri 6
6 Souç: (i) Eğer x 0, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümü ve d = ( a, ) ise, bu ogrüası mod ye göre ogrü olmaya x 0, x0 +, x0 +, K, x0 + ( d ) d d d gibi tam d tae çözümü vardır. (ii) d = ( a, ) = ise ax b(mod ) ogrüasıı mod ye göre te çözümü vardır. ax b(mod ) ogrüasıı çözme içi, ogrüası ax y = b şelide bir lieer Diofat delemie döüştürme veya verile ogrüası her ii tarafıı ile aralarıda asal bir sayı ile çarpara x i atsayısıı yapma, gibi çeşitli çözüm yötemleri vardır. Öre 3. 0x 33(mod 30) ogrüasıı çözelim.. Çözüm. 0x 33(mod 30) ogrüasıı çözme, 0 x 30y = 33 Diofat delemii çözmeye detir. ( 0,30) = 7 ve 7 33 olduğuda çözüm var. Şimdi 33 sayısıı 0 ve 30 sayılarıı lieer ombiezou olara yazalım: 7= olara yazılabilir ve burada 33=0(-85)-30(-33) elde edilir. Yai x 0 = 85, y0 = 33 verile delemi bir çözümümdür. Diğer çözümler a x = x0 + t, y = y0 + t, t Z formülüde x = t, y = t, t Z şelide buluur. x = t, t Z burada t = 0,,,3,,5, 6 içi (mod 30) e göre ogrü olmaya bütü çözümler x 85,, 99, 56, 3, 70, 7 6, 59, 0, 5, 88, 3, 7(mod 30) olara buluur.. Çözüm. 0x 33(mod 30) 0x 9(mod 3) 0x 38(mod 3) 3x 5(mod 3) x 70(mod 3) x 6(mod 3) (mod 30) e göre ogrü olmaya pozitif çözümler x 6, 59, 0, 5, 88, 3, 7(mod 30) olara buluur. Teorem 3.8 (Çilileri Kala Teoremi) de büyü pozitif tamsayılar olma üzere, x a (mod ogrüas sistemii modulo r,,, r i j K içi (, ) = ) x a (mod ) M ola i j x a r (mod r ) K ye göre te türlü belirli bir çözümü vardır. 7
7 İspat: = Kr ve =,, r içi N = = K + Kr ile gösterelim. Hipoteze göre ler iişer iişer aralarıda asal oldularıda ( N, ) = i Bu edele N x (mod ) ogrüasıı (mod ) ya göre te türlü çözümü vardır, bu çözümü x ile gösterirse, x 0 = anx + a N x + L+ ar N r xr, verile sistemi bir çözümüdür. Gerçete i içi, Ni olduğuda Ni 0(mod ) dır. Buu soucu olara x0 a N x (mod ) buluur. Öte yada x, N x (mod ) ı bir çözümü olduğuda N x (mod ) ve böylece =,, r içi x a N x a (mod ) 0 buluur. Bu ise x 0 ı verile sistemi bir çözümü olduğuu gösterir. Şimdi bu çözümü modulo Kr ye göre te türlü belirli olduğuu gösterelim: Verile sistemi x 0 gibi bir başa çözümüü olduğuu abul edelim. Bu durumda =,, r içi, x 0 x0 (mod ) yai ( x 0 x0 ) dır. Öte yada i j içi ( i, j ) = olduğuda K r ( x0 x0 ) ve buradada x x0 (mod K ) buluur. 0 r Öre. x (mod ) x (mod 3) x (mod 5) sistemii çözelim: =.3.5 = 30 ve N = = 5, N = = 0, N 3 = = x (mod ) x (mod ) x =. 0x (mod3) x (mod3) x =. 6x (mod5) x (mod5) x. x = = 9 9(mod30) dır. 0 =,, r içi m lar iişer iişer aralarıda asal olma üzere, a x b (mod m ) a x b (mod m ) M ar x br (mod mr ) gibi bir lieer ogrüas sistemi verilmiş olsu. Bu sistemi çözümlü olabilmesi içi ö oşul, sistemdei her bir lieer ogrüası çözümlü olmasıdır. Bu durmda =,, r içi d = ( a, m ) olma üzere d a olmalıdır. Bu oşul sağladıta sora herbir. ogrüas d ile sadeleştirilere, il sistemle ayı çözümlere sahip yei bir a x b (mod ), a x b (mod ), K, ar x br (mod r ) m sistemi elde edilir, burada = ve i j içi ( i, j ) =, ( a i, i ) = Bu sistemdei d ogrüasları ayrı ayrı çözümleri x c (mod ), x c (mod ), x c r (mod r ) (*) şelide ise problem, (*) sistemii çözümlerii bulmaya idirgeir. 3 = 8
8 Öre 5. sistemii çözelim: x (mod 5) 3x 3(mod 6) x (mod 7) 5x 9(mod). Çözüm Yötemi. 5, 6, 7, iişer iişer aralarıda asal. (,5) = olduğuda x (mod5) ogrüası çözümlü, ( 3,6) = 3 ve 3 3 olduğuda. ogrüas çözümlü ve 3x 3(mod 6) x (mod ) (,7) = o halde x (mod7) çözümlü ve so olara ( 5,) = olduğuda 5x 9(mod) ogrüası çözümlüdür. Böylece il sistemle ayı çözümlere sahip ola x (mod5), x (mod ), x (mod7), 5x 9(mod) gibi yei bir sistem elde edilir. Öte yada bu sistem x 3(mod5), x (mod ), x (mod7), x (mod) sistemie detir. Problem yuarıdai sistemi çözmeye idirgeir. Teorem 3.8 dei otasyolara göre, = 770; a = 3, N = 5; a =, N = 385; a3 =, N3 = 0; a =, N = 70 5x (mod 5) x (mod 5) x = 385x (mod ) x (mod ) x 0x (mod 7) x 3(mod 7) x 70x (mod) x 3(mod) x 3 = = 3 = 3 x = = (mod 770) buluur. 0 Şimdi bu şeildei sistemleri çözme içi ullaıla bir başa metodu bu öre üzeride gösterelim.. Çözüm Yötemi. x (mod 5) x 3(mod5) x = 3 + 5, Z. x içi bulua bu değer sistemi. ogrüasıda yerleştirilir. 3x 3(mod 6) x (mod ) (mod ) 0(mod ) =, Z x = 3 + 5( ), Z, x içi bulua so değer sistemi 3. ogrüasıda yerleştirilirse, x (mod 7) (3 + 0 ) (mod 7) 5 3(mod 7) (mod 7) = + 73, 3 Z x = = 3 + 0( + 73 ) = , 3 Z buluur ve x i bu değerii sistemi so ogrüasıda yerleştirirse burada 5( ) 9(mod) 03 (mod) 3 (mod) 3 9(mod) 3 = 9 +, Z x = = (9 + ) = , Z buluur. Yai x 653(mod 770) tir. ogrüası Teorem 3.9 Eğer = i i= ve i < j içi (, ) = ise ax b(mod ) i j ax b(mod ), ax b(mod ), K, ax b(mod ) (**) 9
9 sistemie detir, yai ogrüasıı her bir çözümü ayı zamada (**) sistemii de bir çözümüdür ve buu tersi de doğrudur. İspat: x 0, ax b(mod ) ogrüasıı bir çözümü olsu. Bu durumda ax b(mod ) ve i =,, içi i olduğuda i =,, içi ax b(mod ) 0 Karşıt olara 0 i i =,, içi ax b(mod ) olsu. i =,, içi ax0 b ve 0 i i j içi (, ) = olduğuda ax0 b yai ax0 b(mod ) buluur. i j Teorem 3.9 a göre büyü bir bileşi modüle sahip ogrüasları çözme içi Çilileri Kala teoremide yararlaılabiliir. Öre 6. 3x (mod77) ogrüasıı çözme içi = 77 = 7. olduğuda buu yerie 3x (mod 7) 3x (mod) sistemii çözebiliriz. Bu sistemde x 0(mod 7), x (mod) sistemie detir. Şimdi Çilileri Kala teoremii ullaara bu sistemi çözelim: x 0(mod 7), x = 7, Z bu değeri. ogrüasta yerleştirirse 7 (mod) 8(mod) = 8 +, Z ve burada da x = 7 = , Z elde edilir. Birde Fazla Bilimeye İçere Lieer Kogrüaslar ax + a x + L + am xm c(mod ) gibi birde fazla bilimeye içere lieer ogrüasları çözümü, belirli sayıda te bilimeyeli ogrüasları ara araya çözülmesi ile gerçeleştirilir. Bu tip ogrüaslar haıda fiir sahibi olma içi aşağıdai teoremi ispatsız olara vereceğiz. Teorem 3.0 d ( a, a,, am, ) = olma üzere, K ax + a x + L + am xm c(mod ) ogrüasıı mod ye göre m () d c ise tam d tae çözümü vardır. ve () d F c ise çözüm yotur. İspat: (Bz. W.J. LeVeque sf.33) a x m m + a x + L + a x c(mod ) şelide bir ogrüası çözme içi, eğer d > d c ise ogrüası her ii tarafıı d ye bölere ogrüas a x + a x + L + am xm c (mod ) a, a, K, am, = Eğer ( a a K, am, ) = d ise a m, d = olduğuda a x c (mod d ) ogrüasıı (mod d ) tam bir tae çözümü şelie idirgeir, burada ( ) ( ) m m i 30
10 vardır. Böylece ogrüası sağlaya ve 0 x m < ola tae d değerler a x + a x + L + am xm c (mod ) ogrüasıda yerleştirilere d bilimeyeli ogrüaslar elde edilir. Bu şeilde devam edilere bütü çözümler buluur. x m sayısı vardır. Bu tae ( m ) Öre. x + 3y 5(mod8) ii bilimeyeli lieer ogrüasıı çözelim: Bu ogrüası d = (,3,8) =, 5 Teorem 3.8 e göre d. m = 8 tae (mod 8) ogrü olmaya çözüm vardır. Şimdi buları bulalım. d = (,8) =, 3y 5(mod ) y (mod ) y 3(mod ) y 3,7(mod8). y 3(mod8) içi: x + 9 5(mod8) x (mod8) x (mod ) böylece x,3,5,7(mod8) buluur. y 7(mod8) içi: x + 5(mod8) x + 5 5(mod8) x 0(mod8) x 0(mod ) x 0,,,6(mod8) Böylece (mod8) bütü çözüm taımları x, y = 0,7;,7;,7; 6,7;,3; 3,3; 5,3; 7,3 Ödev Problemler -) Aşağıdaileri doğruluğuu ispatlayıız. (i) a b(mod ) ve m ise a b(mod m) (ii) a b(mod ) ve c > 0 ise ca cb(mod c ) (iii) a b(mod ) ve a, b, hepsi d > 0 tamsayısı ile bölüebile tamsayılar ise a / d b / d(mod / d) (iv) a b(mod ) ve c d(mod ) ise herhagi bir x, y tamsayıları içi ax + cy bx + dy (mod ( ) ( ) ) -) a b(mod ) ise ( a, ) = ( b, ) olduğuu gösteriiz. 3-) Kogrüas teorisii ullaara aşağıdaileri doğruluğuu gösteriiz. + (i) (ii) (iii) içi ( 3) ( 3) + ( 3) (mod8) -) 3 ( + ) ola bütü doğal sayıları buluuz. 5-) (i) Herhagi m tae ardışı tamsayıı (mod m ) bir tam ala sistemi oluşturduğuu, (ii) m tae ardışı tamsayıı çarpımıı m ile bölüebildiğii, (iii) Eğer m sayısı te ise,,6, K,m i (mod m ) bir tam ala sistemi oluşturduğuu, (iv) Eğer m > ise,,3, K, m i (mod m ) bir tam ala sistemi olamayacağıı gösteriiz. 3
11 6-)! +! + 3! + L + 00! sayısı 5 e bölüdüğüde ala açtır? Cevap. 3 7-) ab cd(mod ) ve b d(mod ), ( b, ) = ise a c(mod ) olduğuu göteriiz. 8-) a b(mod ) ve a c(mod ) ise b c(mod ) olduğuu göteriiz, burada = (, ) 9-) i bir a tamsayısıı bölmesi aca ve yalız i, a sayısıı so basamağıda oluşa sayıyı bölmesi ile mümü olduğuu göteriiz. 0-) a = c0 + c0 + L + c 0, burada 0 m içi 0 c m < 0 olma üzere, 6 a olması aca ve yalız 6 sayısıı t = c + c + c L c yi bölmesi ile mümüdür ) sayısıı 7, ve 3 sayıları tarafıda bölüdüğüü bölme işlemi yapmada gösteriiz. -) a = c0 + c0 + L + c 0, 0 m içi 0 c m < 0, a sayısıı odalı açılımı olsu. (i) 7 a 7 c L c c, (ii) olduğuu gösteriiz. 3 a 3 c L c 9c o 3-) x + 50y = 66 Diofat delemii ogrüas yardımı ile çözüüz. -) x 5(mod 6), x (mod), x 3(mod7) sistemii çözüüz. (Cevap. x 785(mod) 5-) 7 x = 3(mod 0) ogrüasıı çözüüz. (Cevap. x 99(mod 0) o 6-) Bir tamsayı 9,, 3 ile bölüdüğüde sırasıyla,, 6 alaları bıraıyor. ile 00 arasıda yer ala bu tamsayıyı buluuz. (Cevap. 838) 7-) x + 7 y 5(mod ) ogrüasıı (mod ) bütü çözümlerii buluuz. (Cevap. x, y = 5,;,;,3 ;0,3; 3,5; 9,5;,7; 8,7;,9; 7,9; 0,; 6,. 3
BÖLÜM II. Asal Sayılar. p ab ise p a veya p b dir.
BÖLÜM II Asal Sayılar Taım. p > tam sayısıı de ve ediside başa bölei yosa bu sayıya asal sayı deir. de büyü asal olmaya sayılara da bileşi sayı deir. Teorem. Eğer p bir asal sayı ve p ab ise p a veya p
DetaylıPOLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı
Detaylı1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )
Detaylı3. Bir kabı, biri 17 diğeri 55 litre su alan ölçeklendirilmemiş iki kap yardımıyla tam olarak 1 litre suyla nasıl doldurursunuz açıklayınız. (10 P.
0..006 MAT3 AYRIK MATEMATİK ARASINAV SORULARI Numarası :..................................... Adı Soyadı :...................................... F,. Fiboacci sayısıı gösterme üzere, ( 0 P.) (a) F + = F
DetaylıTÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)
TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu
DetaylıORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ
ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze
DetaylıOLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)
OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza
Detaylı(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.
Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..
Detaylı1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )
. TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi
DetaylıSOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ
ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERLE SOYUT CEBİR VE SAYILAR TEORİSİ PROF. DR. MEHMET ERDOĞAN Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes Matematk-Blgsayar Bölümü YRD. DOÇ. DR. GÜLŞEN YILMAZ Beyket Üverstes Fe-Edebyat Fakültes
Detaylı12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,
. Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.
Detaylıbiliniyordu: Eğer 2 a 1 bir asal sayıysa, o zaman S = 2 a 1 (2 a 1) yetkin bir sayıdır. Bunu toplayalım: O halde
SAYILAR DÜNYASINDA GEZİNTİLER H. Turgay Kaptaoğlu Bu yazıda deri teorilere imede sayıları çoğulula da tamsayıları ilgiç özellileride bahsedeceğiz. Bu özellileri hiçbiri yei değil; yüzyıllar, hatta biyıllar
DetaylıPOLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,
POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x
DetaylıBAĞINTI VE FONKSİYON
BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı
DetaylıBÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii
DetaylıTÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT
TÜME VARIM ve DİZİLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT TÜME VARIM Tüme varım. Kazaım : Tüme varım yötemii açılar ve uygulamalar yapar. Toplam ve Çarpım Sembolü. Kazaım : Toplam sembolüü ve çarpım
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.
DetaylıMatematik Olimpiyatları İçin
KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,
Detaylı9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR. Aşağıdaki teorem Homomorfizma teoremi olarak da bilinir.
9. İZOMORFİZMA TEOREMLERİ VE EŞLENİK ELEMANLAR Aşağıdai teorem Homomorfizma teoremi olara da bilinir. Teoremi 9.. (.İzomorfizma Teoremi) f : G H bir grup homomorfizması olsun. Şu halde ( ) dir. Özel olara,
Detaylı0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322
Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem
Detaylı( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri
DetaylıBir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1
S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri
Detaylı6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
DetaylıBÖLÜM IV. olsa r s(mod p) bulunur ki, bu mümkün değildir. Ayrıca bu sayı takımındaki hiçbir sayı p tarafından bölünmez.
BÖLÜM IV (KÜÇÜK FERMAT VE WİLSON TEOREMLERİ Teorem 4. (Fermat Teoremi F a olan bir asal sayı olsun. Bu durumda a (mod İsat: a sayısının a a a K ( a gibi ilk ( katından oluşan sayı takımını gözönüne alalım.
DetaylıSAYILAR DERS NOTLARI Bölüm 1 / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI:
www.testhae.com SAYILAR DERS NOTLARI Bölüm / 3 SAYILAR DERS NOTLARI KONU BASLIKLARI: -RAKAM -SAYI -DOGAL SAYILAR -SAYMA SAYILARI -ÇFT DOGAL SAYILAR -TEK DOGAL SAYILAR -ARDISIK DOGAL SAYILAR -ARDISIK ILK
Detaylı( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri
V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı
DetaylıİDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650
DetaylıLİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık
DetaylıT.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ. Hikmet Turan EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ CATALAN SAYILARI VE CATALAN MATRİSLERİ Himet Tura EKİCİ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN Dr. Şerife BÜYÜKKÖSE KIRŞEHİR 013 i FEN BİLİMLERİ
DetaylıAx B y DIOPHANTINE DENKLEMİ
T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ m A B y DIOPHANTINE DENKLEMİ VE TERAİ KONJEKTÜRÜ ÜZERİNE Seli ÇENBERCİ DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KONYA 009 SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
DetaylıProblem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ
PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar
DetaylıD( 4 6 % ) "5 2 ( 0* % 09 ) "5 2
3 BÖLÜM KAALI SİSEMLEDE EMODİNAMİĞİN I KANUNU I Yasaya giriş Birii bölümde eerjii edilide var veya yo edilemeyeeği vurgulamış, sadee biçim değiştirebileeği belirtilmişti Bu ile deeysel souçlara dayaır
Detaylı2.2. Fonksiyon Serileri
2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m
DetaylıVenn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak
Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENİ ALIMI AKADEMİK BECERİ SINAVI ÇÖZÜMLERİ
MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SÜLEYMNİYE EĞİTİM KURUMLRI MTEMTİK ÖĞRETMENİ LIMI KDEMİK EERİ SINVI ÇÖZÜMLERİ SORULR. li ile etül ü de içide buluduğu 4 erkek ve 6 bayada oluşa bir grupta
DetaylıBir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı
5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.
Detaylı( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİK- LERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle gösterilir. Bir kümeyi oluştura
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri
DetaylıBASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
DetaylıM Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R
İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY
Detaylı5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ
5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii
DetaylıH.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel
DetaylıDiziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğreciler, Matematik ilköğretimde üiversiteye kadar çoğu öğrecii korkulu rüyası olmuştur. Bua karşılık, istediğiiz üiversitede okuyabilmeiz büyük ölçüde YGS ve LYS sıavlarıda matematik testide
Detaylıv = ise v ye spacelike vektör,
D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,
DetaylıEle Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)
5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat
DetaylıTümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...
MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız
DetaylıYrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir
DetaylıPermütasyon Kombinasyon Binom Aç l m. Olas l k ve statistik. Karmafl k Say lar
0 0 0 Gerçek Say lar Kümesii Geiflletme Gere i Kümesi Aalitik Düzlemde Gösterilmesi Efllei i Modülü da fllemler ki Karmafl k Say Aras daki Uzakl k Karmafl k Say Geometrik Yeri Kutupsal Gösterimi Karmafl
DetaylıPOLĐNOMLAR YILLAR ÖYS
YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır
DetaylıKOMBİNASYON: ve r birer pozitif doğal sayı olmak üzere r olsu. farklı elemaı r elemalı alt kümelerii sayısıa i r 2. Örek:! C(,r) = r!. r! li kombiasyou deir ve gösterilir. C(,r) = r P(,r)! = = r r! r!.
Detaylı(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
DetaylıTahmin Edici Elde Etme Yöntemleri
6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme
DetaylıBAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK *
BAZI YARIGRUP AİLELERİ ve YAPILARI İÇİN SONLULUK KOŞULLARI ve ETKİNLİK * Fteess Codtos For Soe Segroup Fales ad Costructos ad Effcecy Basr ÇALIŞKAN Mateatk Aabl Dalı Hayrullah AYIK Mateatk Aabl Dalı ÖZET
DetaylıLİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ
LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel
Detaylın ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
DetaylıÖrnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1
Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault
DetaylıT.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)
Detaylıİstatistik ve Olasılık
İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri
DetaylıASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR
ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde
Detaylıf n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi
4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie
DetaylıNormal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım
Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu
DetaylıWEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI
VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Seyit Ahmet AKDAĞ, Öder GÜLER İstabul Tei Üiversitesi, Eerji
Detaylın ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
DetaylıANALİZ CEBİR. 1. x 4 + 2x 3 23x 2 + px + q denkleminin kökleri (a, a, b, b) olacak şekilde. ikişer kökü aynı ise ise p ve q kaçtır?
ANALİZ CEBİR. x + x x + px + q denleminin öleri a, a, b, b) olaca şeilde iişer öü aynı ise ise p ve q açtır? x + x x + px + q = x - a) x - b) = x ax + a )x bx + b ) = x a+b)x +a +ab+b )x aba+b)x +a b a
Detaylın, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide
DetaylıFonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla
Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya
DetaylıTOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.
DetaylıAnaliz II Çalışma Soruları-2
Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
DetaylıVII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )
Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k
DetaylıHanoi Kuleleri. Gerekli hareket sayısı =7 (en az 7 aktarma yapılması gerekir)
Haoi Kuleleri Aşağıdaki gibi, e büyük çaplı disk e altta ve e küçük çaplı disk e üstte olmak üzere, üst üste çapları küçüle 3 tae disk bir çubuğa geçirilmiş olsu. Diskleri birer birer alarak, bir diski
Detaylıdenklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy
Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada
Detaylı6.046J/18.401J DERS 9. Post mortem (süreç sonrası) Prof. Erik Demaine
Algoritmalara Giriş 6.046J/8.40J DERS 9 Rastgele yapılamış iili arama ağaçları Belee düğüm deriliği üseliği çözümleme Dışbüeyli öuramı Jese i eşitsizliği Üstel yüseli Post mortem (süreç sorası Pro. Eri
Detaylı18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005
8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi
Detaylı6 (saatte 6 müşteri aramaktadır), servis hızı ise. 0.6e
İST KUYRUK TEORİSİ ARASIAV SORULARI ( MAYIS ). Bir baaı müşteri hizmetleride te işi hizmet vermetedir. Müşteriler ortalama daiada bir arama yapmatadır bua arşı ortalama servis süresi ise daia sürmetedir.
DetaylıAralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri
C.Ü. Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi 5Cilt 6 Sayı Aralığı İç Notasıda Süresizliğe Sahip Dirac Operatörüü Spetral Özellileri R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi
DetaylıÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa
DetaylıISBN - 978-605-5631-60-4 Sertifika No: 11748
ISBN - 978-605-563-60-4 Sertifia No: 748 GENEL KOORDİNATÖR: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR REDAKTE: REMZİ ŞAHİN AKSANKUR SERDAR DEMİRCİ SABRİ ŞENTÜRK Basm Yeri: EVOS BASIM - ANKARA Bu itab tüm basm ve yay halar
Detaylı6. Uygulama. dx < olduğunda ( )
. Uygulama Hatırlatma: Rasgele Değşelerde Belee Değer Kavramı br rasgele değşe ve g : R R br osyo olma üzere, ) esl ve g ) ) < olduğuda D ) sürel ve g ) ) d < olduğuda g belee değer der. c R ve br doğal
DetaylıTÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi
DetaylıExplanation: Number of bracelets made with 2 blue, 2 identical red and n identical black beads.
http://oeis.org/a - (,,) Origial wor by Ata Aydi Uslu Hamdi Gota Ozmeese.. Explaatio: Number of bracelets made with blue, idetical red ad idetical blac beads. Usage: Chemistry: CROSSRES: A85 A989 A989
Detaylıİşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.
OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre
DetaylıBu bölümde birkaç yak nsak dizi örne i daha görece iz.
19B. Yak sak Gerçel Dizi Örekleri Bu bölümde birkaç yak sak dizi öre i daha görece iz. Verdi imiz örekleri her biri hem kedi bafl a hem de kulla la yötem aç s da öemlidir. Örek 19B.1. lim 1/ = 1. Ka t:
Detaylı{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI
OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {
DetaylıÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ
İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama
Detaylı14. Kümelerin Niceliklerinin Kıyaslanışı ve Sonsuzluğun Mertebeleri
=2. Kısmı Başı= 14. Kümeleri Niceliklerii Kıyaslaışı ve Sosuzluğu Mertebeleri Sosuz kümeleri iceliklerii kıyaslamak içi, öğe sayısı yaklaşımı yetersizdir. Farklı bir yaklaşım gereklidir. İki küme A, B
DetaylıKANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU
DetaylıT.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ AÇILARI VE KENARLARI ARĠTMETĠK, GEOMETRĠK VE HARMONĠK DĠZĠ OLUġTURAN ÜÇGENLER ĠLE x 3y z DĠOPHANTĠNE DENKLEMĠ ARASINDAKĠ ĠLĠġKĠ ÜZERĠNE BĠR ARAġTIRMA Tayfu
DetaylıBÖLÜM I. Tam sayılarda Bölünebilme
BÖLÜM I Tam sayılara Bölünebilme Teorem 1.1 (Bölme algoritması) b > 0 olmak üzere, verilen a ve b tam sayıları için a = qb + r, 0 r < b (1) olacak şekile bir ve bir tek q, r Z çifti varır. İspat: 1. İlk
DetaylıBu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -
18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte
DetaylıSisteme gire aışaı eerjisi; ieti, potasiyel, aış eerjileri ile i eerjii toplamıda oluşmata olup, Q m& g m& Z g Z z0 ref. E g E + E p + u+ E A + gz +u+
4. BÖLÜM AÇIK SİSEMLERDE ERMODİNAMİĞİN I. KANUNU Aı aışlı sistemleri sııfladırılması Aı Sistem Aışlı Kararlı aışlı Kararsız aışlı dm dm 0 m& g m& 0 m& g m& dt dt Not: Aı sistemlerde eerji depolaması sözousu
DetaylıÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme
ÖABT Sayılar Teorisi KONU TESTİ Tam Sayılarda Bölünebilme ÇÖZÜMLER. a b ve b a a b, a, b a b a b ve b c a c olduğundan a b ve c d ise a c b d olmayabilir. ve 5., ve olduğundan sonsuz çözüm vardır...9.9
DetaylıCahit Arf Liseler Arası Matematik Yarışması 2008
Cahit Arf Liseler Arası Matemati Yarışması 2008 İinci Aşama 11 Mayıs 2008 Notlar: Birnci tasla. 1. Tamsayılardan gerçel sayılara tanımlı fonsiyonlar ümesi üzerinde şöyle bir operatörü tanımlayalım: f(x)
DetaylıKuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri
uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki
DetaylıALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları
DetaylıALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI
ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim
DetaylıYER ÖLÇÜLERİ. Yer ölçüleri, verilerin merkezini veya yığılma noktasını belirleyen istatistiklerdir.
YER ÖLÇÜLERİ Yer ölçüler, verler merkez veya yığılma oktasıı belrleye statstklerdr. Grafkler bze verler yığılma oktaları hakkıda ö blg vermede yardımcı olurlar. Acak bu değerler gerçek değerler değldr,
Detaylı