BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Transkript

1 BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ

2 İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii ortaya koymaktı. Şimdi ise A ve B gibi iki gruba ait frekas poligolarıı aşağıdaki şekilde olduğuu varsayalım.

3 Şekilde iceleeceği üzere her iki gruba ait frekas poligolarıı bezer şekle sahiptir. Bua karşı, B grubuu frekas poligou A ı sağıda bulumaktadır. Ayrıca A grubuu ortalaması 60, B i ise 90 dır. Bezer dağılıma sahip her iki grup arasıdaki farklılığı, ortalamalar yai 60 ile 90 ı karşılaştırmak suretiyle ortaya koymak mümküdür. Diğer bir ifadeyle, poligo A ile poligo B yi mukayese etmek yerie poligoları temsil ede ortalamaları mukayese edersek, dolayısıyla poligoları mukayese etmiş oluruz. Çükü her iki grubu gösterdikleri dağılışı şekli birbirii bezeridir. Yukarıdaki açıklamalarda alaşılacağı üzere gözlemleri e çok topladığı kısım ele alıa ölçü bakımıda dağılışı merkezii oluşturur, bu da ortalamadır.bezer şekilde poligo (dağılışı) sağıda ve soluda uzaa kuyruklar da gözlemler arasıdaki varyasyou ( farklılığı) ifade eder.

4 Bir dağılışta gözlemleri e çok topladığı oktayı katitatif bir değer olarak belirleye ölçülere Yer Ölçüleri deir. Bu bakımda yer ölçüleri gözlemleri çoğuluğuu temsil ederler. Yer ölçüleri ayı zamada dağılışı merkezii veya X eksei üzerideki yerii, bir diğer ifade ile dağılışı merkezii oriie ola uzaklığıı belirlerler. E çok bilie ve kullaıla yer ölçüleri Aritmetik ortalama, Tartılı ortalama, Medya (orta değer), Mod (tepe değeri), Geometrik ortalama, Harmoik ortalama, Kareli ortalama ve Katiller (böleler) olarak sıralaabilir. Bu bölümde bular arasıda ilk dördü iceleecektir.

5 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama istatistikte çok kullaılması edeiyle çok iyi bilimesi gereke bir ortalama veya bir yer ölçüsüdür. Bu ortalama hem ham verilerde hem de sııfladırılmış verilerde kolayca hesaplaabilir. Aritmetik ortalama, herhagi bir öreği meydaa getire gözlem değerlerii toplamıı, toplam gözlem sayısıa bölümesiyle elde edile değer olarak taımlaabilir. i i Burada; : aritmetik ortalamayı i : i ci gözlem değerii, : gözlem sayısıı göstermektedir.

6 Örek : Beş lise öğrecisii matematik derside aldıkları otlar sırasıyla 7,6,5,8,4 pua olduğua göre öğrecileri otlarıı aritmetik ortalamasıı buluuz. Çözüm: Aritmetik ortalama formülüe göre; i i olarak hesaplaır. Örekte de görüldüğü üzere aritmetik ortalamaı hesaplama tekiği çok basittir. Basit bir matematiksel formülle ifade edilmesi ve kolayca uygulaabilmesi yaıda teorik bakımda gösterdiği çeşitli özellikleri edeiyle bu ortalamaı geiş bir uygulama alaı vardır.

7 Sııfladırılmış Verilerde Aritmetik Ortalamaı Hesaplaması Verileri sııfladırılması amacıyla düzelee frekas tabloları bazı bilgileri kaybıa sebep olmaktadır. Bu edele aritmetik ortalamaı gerçek değerii buluması oldukça güçtür. Buula beraber, frekas tablolarıda sııf değerlerii veya sııf orta değerlerii gözlee değer gibi dikkate alarak aritmetik ortalama hesaplaabilir. Bu amaçla k k f f f + f f f + f f Burada; : aritmetik ortalamayı : ci sııfı sııf değerii f : ci sııfı frekasıı k : sııf sayısıı göstermektedir.

8 Örek: Kırk koyuu ağırlıkları ile ilgili frekas tablosu içi aritmetik ortalamayı hesaplayıız. Sııf Limitleri (Koy. Ağr.(kg)) f (Koy.Say) Toplam 40

9 Öce sııf değerleri buluur ve formül gereği frekaslarla çarpılır ve toplaırsa Sııf Limitleri (Koy. Ağr.(kg)) f (Koy.Say) Sııf Değeri ( ) f Σ 40-48

10 k k f f * * * kg olarak hesaplaır. Örek 3. 3: Bir koyu sürüsüde yaşlı aaçlarda doğa dişi kuzuları doğum ağırlıklarıa(kg) ait aşağıdaki frekas tablosu içi göre aritmetik ortalamayı buluuz(düz güeş ve ark.,983).

11 Doğum Ağırlığı (kg) Kuzu sayısı (f) Sııf Değeri () f Toplam k k f f kg

12 Aritmetik ortalama örekteki aşırı değerlerde çok etkileir. Aritmetik ortalamaı bu zayıf yöüe karşı aşağıda verilmiş ola bazı matematik özellikleri aritmetik ortalamayı istatistik aaliz açısıda öemli kılar. a)gözlemleri aritmetik ortalamada farklarıı (sapmalarıı) cebirsel toplamı sıfıra eşittir.yai, i ( i ) i i i 0 i i i i

13 Yukarıdaki beş öğrecii otları ile ilgili veri içi bu durumu gösterelim. i ( i ) (7 6) + (6 6) + (5 6) + (8 6) + (4 6) b) Gözlemleri, aritmetik ortalamada sapmalarıı kareleri toplam miimumdur. Diğer bir deyişle, gözlemleri ortalamada farklı bir değerde sapmalarıı kareleri toplamı, ortalamada sapmalarıı kareleri toplamıda daha büyüktür. i ( i ) < i ( i A), A

14 Yukarıdaki beş öğrecii otları ile ilgili veri içi bu durumu gösterelim. i ( i ) (7 6) (6 6) + + (5 6) 0 + (8 6) + (4 6) A 4 6 ise 5 ( i A) ( i i i 4) (7 4) (6 4) (5 4) (8 4) + (4 4) Böylece i ( i ) < i ( i A) Olur. 0<30

15 Tartılı Ortalama: Gözlemleri temsil ettikleri değer bakımıda farklılık gösterdikleri durumlarda kullaıla bir yer ölçüsüdür. Yer Ölçüleri k k t t t t t t t t t Tartılı ortalama, ayı örek içide farklılık göstere gözlemleri ortalamasıı bulmak içi buları temsil ettiği birim sayılarıa göre tartılması gerekir

16 Örek: Bir öğrecii değişik derslerie ait aşağıda verile otlarıı tartılı ortalamasıı hesaplayıız. Dersler Türk Dili Gıda kimyası İstatistikstatistik Haftalık Kredi saati 3 4 Aldığı Not Toplam 9 50

17 Dersler Türk Dili Gıda Kimyası Haftalık Kredi saati (t) Aldığı Not () 00 t t k k t t İstatistikstatistik Toplam

18 Dersler Haftalık Kredi saati (t) Aldığı Not () t Türk Dili Gıda Kimyası İstatistikstatistik Toplam Bu tabloya ait aritmetik ortalama hesaplaırsa 50 3 i i 83.33

19 Derslerdeki başarı öceki durumda farklı olsa idi aritmetik ortalama değişmeyecekti acak tartılı ortalama ise Dersler Türk Dili Gıda Kimyası İstatisti k Toplam Haftalık Kredi saati (t) Aldığı Not () 65 t t k k t t olarak hesaplaacaktır. 87.

20 Medya (Orta Değer): Medya, küçükte büyüğe doğru sıralamış gözlemlerde ortaya düşe değer olarak taımlaabilir. Başka bir deyişle medya, örekteki gözlemleri iki eşit kısma ayıra değer olup gözlemleri %50 si bu değerde küçük, %50 si ise bu değerlerde büyüktür. a) Eğer tek ise, med ((+)/) Örek: X{6,8,,6,5,0,7} içi medyaı buluuz. Çözüm: Öcelikle bu veriler büyüklük sırasıa göre dizilir, X{6,0,,5,7,8,6}, 7 olduğua göre med ((+)/) ((7+)/) (4) 5 Eğer çift ise,

21 b) Eğer çift ise, med + ( ) ( + ) Örek: X{6,8,,6,5,0,7,40} içi medyaı buluuz. Çözüm: Öcelikle bu veriler büyüklük sırasıa göre dizilir, X{6,0,,5,7,8,40,6}, 8 olduğua göre med 8 ( ) + 8 ( + ) (4) + (5)

22 Sııfladırılmış Verilerde Medya med b F f ( m ) s + * m c Burada; b s :medyaı içide buluduğu sııfı alt sııf sıırıı, : toplam gözlem sayısıı, F m- : medyaı içide buluduğu sııfda bir öceki sııfı de daha az yığmalı frekasıı, fm:medyaı içide buluduğu sııfı frekasıı, c:sııf aralığıı göstermektedir.

23 Örek: 40 koyuu ağırlığı ile ilgili frekas tablosua ait medyaı hesaplayıız Yer Ölçüleri Sııf Limitleri (Koy. Ağr.(kg)) f (Koy.Say)

24 Sııf sıırları buluur ve sıralaır Yer Ölçüleri Sııf Limitleri (Koy. Ağr.(kg)) f (Koy.Say) Sııf Sıırları (Koy. Ağr.(kg)) Sııf Sıırları (Koy. Ağr.(kg))

25 De daha az yığmalı frekaslar buluur Yer Ölçüleri Sııf Limitleri (Koy. Ağr.(kg)) f (Koy.Say) Sııf Sıırları (Koy. Ağr.(kg)) Sııf Sıırları (Koy. Ağr.(kg)) 38.5 F

26 Medyaı taımıda çıkılarak medya sııfı belirleir Yer Ölçüleri Sııf Limitleri (Koy. Ağr.(kg)) f (Koy.Say) Sııf Sıırları (Koy. Ağr.(kg)) Sııf Sıırları (Koy. Ağr.(kg)) 38.5 F

27 Medyaı taımıda çıkılarak medya sııfı belirleir Yer Ölçüleri Sııf Limitleri (Koy. Ağr.(kg)) f (Koy.Sa y) Sııf Sıırları (Koy. Ağr.(kg)) F med b F f ( m ) s + * 40 ( 3) *4 m kg c

28 Hagi Durumlarda medya kullaılır? Aritmetik ortalama,öreği oluştura gözlemlerde aşırı değer veya değerler buluduğu durumlarda çok etkileir ve yaıltıcı souç verir. Örekte aormal derecede düşük veya yüksek bir veya birkaç değer varsa, aritmetik ortalama bekleede düşük veya yüksek buluur. Bu gibi aritmetik ortalamaı sağlıklı bir şekilde çalışmadığı durumlarda başka bir yer ölçüsü ola medya kullaılır. Medya, öreği meydaa getire gözlemlerde aormal değerlerde etkilemez. Ayrıca aritmetik ortalama, açık uçlu frekas tablolarıda hesaplaamayacağıda yer ölçüsü olarak medya kullaılır.

29 Mod (Tepe Değeri): Mod, herhagi bir örekte e fazla tekrarlaa gözlem değeri olarak taımlaabilir. İstatistikte çok az kullaıla bu değer, özellikle verileri simetrik bir dağılış göstermedikleri durumlarda iyi bir yer ölçüsü olmaktadır. Ayı zamada örekteki aşırı değerlerde etkilemez. Sııfladırılmamış Verilerde Mod u Hesaplaması Örek: X{6,5,7,4,5,8,5,0} içi modu buluuz. Çözüm: E fazla tekrarlaa gözlem değeri 5 olması edeiyle mod5 dir. Eğer bir örekte e fazla tekrarlaa değer yalız bir tae ise örek tek modlu, iki tae ise iki modlu (bimodal), ikide fazla olduğuda ise örek çok modlu (multimodal) olur. Bua karşı örekteki değerleri hepsi birbiride farklı ise veya gözlemler ayı sayıda tekrarlaıyorsa, o zama mod yoktur.

30 Örek: Aşağıda her bir veri grubu içi modu buluuz. a) 6,5,7,8,5,4,5 b) 0,80,45,80,45,75,45,80,45,80 c) 0,5,8,,5,6 d) 6,30,5,,30,6,5, Çözüm: Modu taımıa göre her grubu modu şöyledir : a)grubu modu 5 olup 3 defa tekrarlamıştır. b)grubu mod 45 ve mod 80 olup 4 er defa tekrarlamışlardır. c)gruptaki değerleri hepsi birbiride farklı olduğuda veya bir defa tekrarladığıda mod yoktur. d)gruptaki bütü gözlemler ayı frekaslı olduklarıda (eşit sayıda, yai iki defa ) mod yoktur.

31 Sııfladırılmış Verilerde Modu Hesaplaması d mod b s + * c d + d Burada; b s :modu içide buluduğu sııfı alt sııf sıırıı, d : mod sııfı ile bir öceki sııfı frekasları arasıdaki fark, d : mod sııfı ile bir soraki sııfı frekasları arasıdaki fark, c:sııf aralığıı göstermektedir.

32 Örek: 40 koyuu ağırlığı ile ilgili frekas tablosua ait modu hesaplayıız Yer Ölçüleri Sııf Limitleri (Koy. Ağr.(kg)) f (Koy.Say) Sııf Sıırları (Koy. Ağr.(kg))

33 Modu taımıda çıkılarak mod sııfı kolayca belirleir Yer Ölçüleri Sııf Limitleri (Koy. Ağr.(kg)) f (Koy.Say) Sııf Sıırları (Koy. Ağr.(kg))

34 Mod formülüdeki değerler yerie yazılırsa Yer Ölçüleri Sııf Limitleri (Koy. Ağr.(kg)) f (Koy.Say) Sııf Sıırları (Koy. Ağr.(kg)) mod d b s + * c d + d d -83 d -74 mod kg 3 *

35 Aritmetik ortalama, medya ve mod arasıdaki ilişki Yer Ölçüleri med mod a) ise frekas poligouu şekli simetriktir. Simetrik

36 Aritmetik ortalama, medya ve mod arasıdaki ilişki Yer Ölçüleri < med < mod b) ise frekas poligouu şekli sola çarpıktır. Sola çarpık

37 Aritmetik ortalama, medya ve mod arasıdaki ilişki Yer Ölçüleri c) mod < med < ise frekas poligouu şekli sola çarpıktır. Sağa çarpık Aritmetik ortalama, medya ve mod arasıdaki bu ilişkiler biliiyorsa frekas poligouu çizmede dağılışı şekli hakkıda fikir sahibi oluabilir.