Kaln kuyruklu risk modellerinde iflas olasl

Transkript

1 statistiçiler Dergisi 4 (2) statistiçiler Dergisi Kal uyrulu ris modelleride iflas olasl Baa Bulut Hacettepe Üiversitesi Atüerya Bilimleri Bölümü 68-Çaaya, Aara, Türiye basabulut@hacettepe.edu.tr Ceap Erdemir Ufu Üiversitesi %statisti Bölümü 652-Çaaya, Aara, Türiye cerdemir@ufu.edu.tr Özet Bu çalmada, hasar tutarlar al uyrulu dalm yapsa uyup uymad, bu dalm yaps oullar iceleere aratrlmtr. Kal uyrulu dalm yapsa sahip risleri, ris süreci ve iflas olasllar üzeridei etisi teori ispatlar eliide açlamaya çallmtr. Matlab yazlmda gelitirile program sayeside, Türiye Trafi Sigortas veri ümesi ullalara, hasar büyülülerii al uyrulu dalma uyup uymad sorgulam, uymas halide ise hagi alt sfa dahil olduu aratrlmtr. Ayrca belirlee döem içi ris süreci icelemesi yaplara, çeitli sermaye mitar ve güveli yüleme fatörlerie bal olara iflas olasllar hesaplamtr. Aahtar sözcüler: Kal) uyrulu da*)l)mlar; Ris süreci; %flas olas)l)*); Alt-üstel da*)l)mlar. Abstract Rui probability i heavy tailed ris models I this study, detailed iformatio about heavy tailed distributios ad the )ts sub-classes are revieved ad the coditios ecessary for ay distributio to belogig to oe of these special classes of distributios are eplaied. It is showed that how the rui probabilities of a ris process that icludes heavy tailed claim severity amouts, ca be calculated with theoretical justificatios. A applicatio is provided by usig compulsory traffic isurace data i Turey i Matlab programmig laguage. It is ivestigated if the loss severities ca be categorized uder the heavy-tailed distributio ad also the relevat sub-categorized of the distributio is determied,too. Moreover, rui probabilities are calculated i terms of differet iitial surplus ad safety factors by aalyzig the ris process for this particular time. Keywords: Heavy-tailed distributios, Ris process, Rui probability, Sub-epoetial distributios..giri Sigorta iretii yüümlülülerii arlayabilmesi ve devamll salayabilmesi açsda icelemesi geree e öemli oularda birisi, hasar tutar dalmlar modellemesidir. Özellile gerçeleme olasl düü olmasa rame yüse eti içere doal atastrofi olaylar souçlar icelemesi ve bu etileri içere modelleri gelitirilmesi sigorta uygulamalarda öemli bir yer tutmatadr. Bu tür hasarlar sigorta iretii, sigortallara ar sorumlulular yerie getirebilmelerii doruda etilemetedir. Bu edele, gerçeçi ve degeli bir fiyatladrma yaplabilmesi, reasüras alamalarda e doru salama pay limitleriii ve oralar belirleebilmesi içi hasar tutar dalmlar sa uyru bölgesii doru eilde modellemesi geremetedir. Olasl düü, aca ayp deeri yüse ola risleri modellemeside al uyrulu

2 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) dalmlar ullalmas ço daha gerçeçi souçlar elde edilmesii salamatadr. Bu dalmlar modellemesi ve uygulular samas atüerler içi ilgiç bir aratrma ala oluturmutur. Çalma iici bölümüde al uyrulu dalmlar ve tüm sflar bal oldular oullar çerçeveside iceleire,. üçücü bölümde al uyrulu dalm yapsa sahip risleri, ris süreci ve iflas olasllar üzeridei etisi teori ispatlar eliide açlamaya çallmtr. Dördücü bölümde ise Türiye trafi sigortas verisi ullalara, hasar büyülülerii al uyrulu dalma uyguluu icelemi, uymas durumuda hagi alt sfa dahil olduu aratrlmtr. Belirlee döem içi ris süreci icelemesi yaplara, çeitli sermaye mitar ve güveli yüleme fatörü stlar altda ireti arlaabilecei iflas olasllar hesaplamtr. 2. Kal# uyrulu da$#l#mlar 2.. Kal) uyrulu da*)l)mlar ta)m ve temel özellileri Olasl teoriside al uyrulu dalmlar; uyru yaplar srladrlmam ve üstel dalma göre daha al uyru yapsa sahip olasl dalmlar olara açlamatadr. Kal uyru özellilerii taya dalmlar aratrlmasda; tehlie hz fosiyouu solu olmas ( m() s = ) salayaca eilde egatif olmaya rastlat deielerii dalm sflarda faydalalmatadr [5]. 4ce ve al uyru yapsa sahip dalmlar arasdai temel far; ice uyru yapsa sahip dalmlar Bs ˆ[ ] = e s Bd ( ) solu bir deer alre, al uyrulu pozitif deerli momet çara fosiyou ( ) dalmlar momet çara fosiyou sosuz deer almasdr[]. X i i, i N ve > deerleri içi F< () olaca eilde ay F dalm fosiyoua sahip bamsz pozitif rastlat deieleri olduu varsayls. Bu durumda orta bir X rastlat deieii dalm fosiyou F ( ) = PX ( ), uyru dalm ise (ya da yaam fosiyou) F ( ) = F ( ) = PX ( > ) elide gösterilmetedir. Negatif olmaya bir rastlat deieii al uyrulu dalm yapsa sahip olabilmesi içi gereli oullar u eilde verilmetedir. Koul : F dalm fosiyou, pozitif deerleri içi Ee [ ] = olmaldr. Koul 2: Pozitif deerleri içi F ( ) > olmaldr. Koul 3: µ () tehlie fosiyou, log F( ) te elde edilmetedir. Bua göre olma üzere F = olmaldr. Koul 4 s > olma üzere; lim e s F( ) = olmaldr []. F µ ( ) = lim sup Kal uyrulu dalmlar sahip oldular orta özellilere bal olara çeitli alt sflar oluturulmutur. Bular, alt-üstel dalmlar (sub-epoetial), uzu uyrulu dalmlar (log tailed), bas deie uyrulu dalmlar (domiated-varyig tailed) ve düzeli deie uyrulu dalmlardr (regularly-varyig tailed).

3 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) Alt-üstel da*)l)mlar Bu dalm sfa alt-üstel deilmesii edei; bu sf içerisidei dalmlar herhagi bir üstel dalmda daha yava azala bir uyru yapsa sahip olmasdr [6]. Alt-üstel dalmlar il ez 964 ylda Chistyaov tarafda, dallama süreci (brachig process) üzerie yapla uygulamalarda ullalmtr. Alt-üstel dalmlara uya hasar büyülüleri bir portföyde arlalabilece toplam risleri artrmata ve ireti ris sürecide dalgalamalara ede olmatadr. S ile gösterile alt-üstel dalmlara öre olara; log-ormal dalm, Pareto dalm ve biçim parametresi bir deeride üçü ola Weibull dalm verilebilmetedir []. Herhagi bir F dalm fosiyouu alt-üstel dalm sf içeriside yer alabilmesi içi gereli üç oul bulumatadr. Bu oullar u eilde verilmetedir: Koul : deerleri içi F( ) > olmaldr. * Koul 2: F ; F dalm fosiyouu atl ovülasyouu uyru dalm gösterme üzere * * F = F ( ) = P( X+ X X > ) biçimide elde edilmetedir. Herhagi bir dalmda 2 F * ( ) deeri içi lim = eitlii salamaldr. F ( ) Koul 3: X, X 2,... bamsz ve alt-üstel dalm sf içeriside yer ala ay F dalma sahip rastlat deieleri olma üzere, tüm = 2,3,... deerleri içi; S = X+ X X olma üzere; * Pr( S ) F ( )~ F( ) > = eitliii salamatadr. * PX ( + X X > ) F ( ) lim ~ P(ma( X, X2... X ) > ) F( ) sfa girmetedir. eitlii salayor ise F dalm alt-üstel dalm Koul 2 i ispat Chistyaov [3] tarafda; Koul 3 ü ispat ise Embrechts ve Goldie [4] tarafda yaplmtr. Bir dalm alt-üstel dalm sf içeriside yer ald ispatlamas ço olay olmamatadr. Bu edele ris teorisidei uygulamalar içi dalm ediside ço, bu dalm bütülei uyru dalm alt üstel olmas geremetedir. Solu belee deere sahip, egatif olmaya rastlat deieii dalm fosiyou F gösterilme üzere, bütülei uyru dalm F I ile e*er FI ( ) = F( y) dy e*er > µ olara elde edilmetedir Uzu uyrulu da*)l)mlar (Log tailed) ie e F( ) özelliii salamas al uyrulu dalmlar daha gei alt sflarda uzu uyrulu dalm ( L ) sf içi de geçerli olmatadr. F, (, ) aralda taml

4 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) ve > deerleri içi F( ) < ola bir dalm fosiyou olma üzere; y dalm, deerleri içi bu F F( + y) lim PX ( > + y X> ) = lim = eitliii salamas durumuda uzu uyrulu dalm F( ) sfda yer alacatr. Bu eitlii pay ve paydasdai dalmlar a ( )~ b ( ) fosiyolar elide gösterildiide, ie a ( )/ b ( ) olacatr. Bu durum tüm y deerleri içi F( + y)~ F( ) elide ullalmatadr Bas) de*iae uyrulu da*)l)mlar Ft ( ) F dalm, < t < araldai t deeri içi; lim sup < özelliie sahip ise bu dalm F( ) bas deie uyrulu dalm olara tamlamatadr. Bas deie uyrulu dalm sf D ile gösterilmetedir Düzeli de*iae uyrulu da*)l)mlar Düzeli deie uyrulu dalmlar R gereli oullar u eilde verilmetedir. ile gösterilmetedir. Bir dalm bu alt sfta yer almas içi Koul : F Ft ( ) dalm ve t > deerleri içi lim = t eitliii salamaldr. F ( ) Koul 2: Pozitif ölçülebilir fosiyo f ile gösterilme üzere olmas durumuda, f ( ) f( t) olmas içi; t > içi lim = t eitliii salamas geremetedir. f ( ) Koul 3: Düzeli deie uyrulu dalmlar, uzu uyrulu dalmlara bal olara da açlaabilmetedir. l ( ); yava deie fosiyo olma üzere, > ve l R() olma üzere deerleri içi F ( ) olduu tadirde; ( ) F = l( ) olacatr. Bu eitlitei = edesli lt ( ) düzeli deie uyrulu dalmlar içi ( ) t durumu salamaldr. l Düzeli deie uyrulu dalma öre olara büyeside l ( ) = cl( ) veya l ( ) = cl(l( )) elidei döüüm fosiyolar ya da bir sabite yasaya l ( ) fosiyouu yer ald Pareto dalm öre olara verilebilir. Literatürde düzeli deie fosiyolar ile ilgili Bigham, Goldie ve Teugels [2] i çalmalar bulumatadr [] S * s))f) Dalmlar ve bu dalmlar bütülei uyru dalmlar alt üstel dalm sfda yer almas içi gereli oullar belirlemeside arlala problemleri biraraya getirilmesiyle Klüppelberg tarafda yei bir alt sf oluturulmutur [8]. Bu alt sf e öemli özellii; bu sfa dahil ola bir dalm hem edisii hem de bütülei uyru dalm alt-üstel dalma uyuyor olmasdr. Bu alt sf içi temel oul F i tüm > deerleri içi F< () ve deerleri içi de F> ( ) olaca

5 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) eilde (, ) eitliii salamasdr [9]. aralda taml bir dalm fosiyou olma üzere, F ( y) lim F ( y ) dy = 2µ F ( ) F dalm tehlie hz fosiyou m ( ) olma üzere, dalm bu alt sfta yer almas içi gereli oullar u eilde sralamtr: * a) Eer lim sup m( ) < ise F S dr. b) (,) ve olaca eilde tüm, y deerleri içi µ (, y) y µ () ve * lim if m( ) (2 2 ) ise F S dir. c) m ( ) eitlii salayacatr. fosiyou, sfra doru azala bir fosiyo ise; 2.2. Kal) uyrulu da*)l)m s))flar) aras)dai iliailer FS * olaca ve yq( ) lim ( ) e F y dy = µ Tüm dalm sflar icelemeside sora al uyrulu dalm sf ve alt sflar içi aadai gibi bir sfladrma yaplabilmesi salamtr. K :al uyrulu dalmlar, L : uzu uyrulu dalmlar, S : alt-üstel dalmlar, R :düzeli deie dalmlar, D :bas deie dalmlar gösterme üzere (, ) aralda taml F dalm; K = ˆ ( ) f = e df ( ) = > içi L F( y) = lim = y > içi, F( ) = F R içi, R { } D F ( /2) = lim sup <özellilerie sahiptir. F ( ) Bu sflar arasdai özelliler ise u eilde verilmetedir;. R S L K ve R D 2. D L S 3. D S ve S D [5] Kal) uyrulu da*)l)mlar) belirlemesi Kuyru arl bir dalm uyru yaps hada, özellile de sa uyru bölgesii al olup olmad hada bilgi vere bir ölçüttür. Kuyru arl; icelee dalmlar arasda arlatrma yaplara, bir dalm dier dalmda daha al uyru yapsa sahip olup olmad aratrld iliaili durum ve al uyru sf temel özellilerie sahip ola dalmlar icelemesii yapld mutla durum olara ii eilde icelemetedir [7].

6 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) Mometleri buluuau Sadece pozitif deerlere bal rastlat deieleri içi ortalamaya göre ici momet; esili durum f ; süreli durum içi ise ( ( )) içi ( ) f d elide hesaplamatadr. Süreli durumda, ortalamaya göre ici momet her zama varolmayabilir. Buu edei, bu itegrali soucuu youlu fosiyoua ve deerie bal olmasdr. Eer youlu fosiyouu otasdai deeri ço büyü ise; bu deeri deeri ile çarpm da daha büyü bir souç oluturaca ve itegral soucuu alaml bir deer çmas zorlatracatr. Kal uyrulu dalma göre daha az büyü hasara sahip dalmlar içi itegral soucu elde edilebileceide tüm pozitif mometleri varoluu bir ice sa uyruu iaret edecetir. Pozitif mometleri mutla bir deeri göstermemesi ya da buluamamas durumuda ise, icelee dalm al uyrulu bir dalma sahip olaca düüülecetir Limit oralar) Bir dalm, herhagi baa bir dalma göre daha al uyru yapsa sahip olup olmad aratrlmasda bu dalmlar yaam fosiyolar (survival fuctio) oraa balara da yorumlarda buluulabilir. 4celee ii dalm olasl fosiyolar limit oralara balmasda; daha al uyru yapsa sahip ola dalm limitii daha hzl a yasad görülecetir Tehlie h)z) ve arda ala yaaam süresi Tehlie hz fosiyou da dalm uyru yaps hada bilgi vermetedir. Tehlie hz fosiyou azala bir fosiyo ise, bu durum dalm al uyru yapsa sahip olduua iaret edecetir. Dier tarafta, tehlie hz fosiyou arta bir fosiyo ise, daha ice uyru yapsa sahip bir dalm olmas beleecetir [7] Büyü hasarlar Bir portföyde arlalabilece büyü hasarlar, hasar tutar dalm al uyrulu olabileceii göstergesi olabilmetedir. Portföydei bir hasar büyü hasar olara iteledirilebilmesi içi bu tür büyülüte bir hasar aca uzu zama arallaryla gerçeleeceii biliiyor ya da tahmi ediliyor olmas geremetedir. Hasar büyülüü dalm ortalamas ve/veya varyas uyru bölgeside youlamas dalm al uyrulu bir dalm olduuu düüdürecetir. S, toplam hasar büyülüü, belirli bir döem içeriside gerçelee hasarlar toplam olara verilmete olup mi X = X X... X = ma X olara dizile hasarlar içeriside büyü hasarlar var i () (2) ( ) i i i olmas, toplam hasar büyülüüde de doal olara art yaratacatr. Burada PS ( > )~ PX ( > ) eitlii salaabilecetir. da ( ) 3. Kal# uyrulu da$#l#mlarda iflas olas#l#$# Bir sigorta iretii uzu süreli yüümlülü arlama yeterliliii salaabilmesi içi ris süreci iyi tamlamal, doru ris yülemeleri yaplmal, muafiyet ve salama pay limitleri ço iyi belirlemelidir. Ris süreci; azala primler ile öcelile süreli arta, daha sora ödee tazmiatlar etisiyle azala bir stoasti süreçtir. Ris sürecii sfr alta dümesi durumuda ise iflas gerçelemi olacatr.

7 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) Klasi ris modeli ve iflas teorisi Sigorta ireti, herhagi bir ada meydaa gelebilece bir hasara ilii ödeece tazmiat yarataca fiasal souçlar e aza idirme amacyla portföyüdei tüm bireysel risleri bir araya toplamatadr. Bu edele de, sigorta ireti her döem souda rezerv ya da art olara tabir edile bir mitar ayrma zorudadr. Biritirile art mitarlar; gelecete oluabilece hasar ödemelerii toplaa primleri at risli döemler içi ullalara sigorta iretie bir tür oruma salayacatr. Böylece sigorta ireti, sigortallara vermi olduu taahhütleri yerie getirebilecetir. 3.. Klasi ris modeli Bir sigorta iretii ii temel ait a bulumatadr. Bular prim ve hasar süreçleridir. Bu ait alara bal olara oluturula ris ya da art süreci olara da adladrla sigortac lasi ris modeli; U() t = u+! () t S() t t biçimidedir. Ris sürecii temel bileeleri; Ut () : t ada sigorta iretii sermaye mitar, u : u > olma üzere balagç sermayesi,!() t : (,t] aralda toplaa prim mitar göstere prim süreci, St () : [, t] zama aralda gerçelee hasar says göstere hasar süreci olara verilmetedir Cramer-Ludberg ve yeileme modeli Cramer-Ludberg modelidei süreçler; a. Toplam Hasar süreci; X i, i ci hasar büyülüüü göstere pozitif ve ay dalma sahip rastlat 2 deieleri olma üzere, ortalamas µ = E[ X i ] ve varyas $ = Var( X i ) solu ola rastlat deieleridir. Toplam hasar süreci deiei olup { (), } N () t = i i= Nt t sayma sürecii öesidir. St () X elide tamlamatadr. Burada, N(t) bir rastlat b. Beleme süresi; W, ( ) ici olay ile ici olay arasda geçe süreyi göstermetedir. W, W= T olma üzere = 2,3,... deerleri içi W = T T biçimide tamlaa ay üstel dalma sahip bamsz rastlat deieleri olara tamlamatadr ve EW [ ] = / dr. c. Hasar zama); T i, Hasar gerçeletii adai zama otas yai i ci olay ortaya çmasa adar geçe süreyi göstermetedir. Hasar rastgele bir zamada gerçeleebildii varsaymda sral hasar zamalar arasda < T < T2 <... iliisi verilmetedir. d. X ve W birbirleride bamszdr. Cramer-Ludberg modelii temel özellileri

8 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) { Nt (), t } sayma sürecide Nt () rastlat deiei % t parametresiyle Poisso dalma sahipse; süreç, % > oulu altda, % ortalama ile Poisso sürecidir. Tüm t >, h > ve s t durumlar içi; Nt ( + h) Nt ( )~ Poisso( % h ) dr. %t (% t) P{ N( s+ t) N( s) = } = P( N ( t) = ) = e =,, 2,...! E[ N( t)] = Var[ N( t)] = % t dir. Bu modelde Poisso sürecii tercih edilmesi; bamsz bileelere ve mooto azala ortalama deer fosiyoua sahip herhagi bir süreci, Poisso sürecie çevrilebilir olmasda ayalamatadr [9]. Toplam hasar büyülüü St () i dalm, ve t olma üzere; % t (% t) * Gt ( ) = P( S( t) ) = e F ( ) elide hesaplamatadr. Bu eitlite ullala =! * * F ( ), F dalm atl ovülasyou olup, F ( ) = P( X ) elide hesaplamatadr. i = i 3..3 %flas olas)l)*) Yll primleri ve hasar süreçlerii deimez olduu varsaym altda, iflas olasl & ( u) ile gösterilmetedir. Bu olasl uygu bir balagç sermayesi ile sürece balad durumda, sigortac prim ve hasar süreçlerii doru hesaplap hesaplamad bir göstergesi olmatadr. Yüse iflas olasl; reasüras atlamalar güdeme gelmesie, risli görüle poliçelerde prim mitarlarda arta gidilmesie ya da sigorta iretii iletme sermayeside ait çemesie ede olabilmetedir. Srl zamal iflas olaslda; belirlee bir zama araldai ris sürecii hareeti iceleere sigorta iretii iflas etme olasl aratrlmatadr ve < T <, u olma üzere; & ( ut, ) = PU ( ( t) <, baz) t T) elide gösterilmetedir. Yeileme sayma süreci Yeileme sayma süreci () t Nt () = sup : T t t ve deerleri içi ci hasar zama T, ci döeme adari beleme sürelerii ( W W ) toplam göstermetedir. Bua göre beleme süresii, (/% ) ortalama ile üstel dalma sahip bir rastlat deiei olmas durumuda, yeileme sayma sürecii mometleri; Nt elide gösterilmetedir. { } ENt [ ( )] = (% + '()) tve 2 = ( ) < W Var W olma üzere; t ie; ENt [ ( )] = % t+( () ve 2 3 Var( N()) t = W t + () t elide bulumatadr. Yeileme modelii belee deeri ise; EU [ ( t )] = u+ ct µ E[ N() t ] EU [ ( t)] = u+ ( c %µ) t ( + '()) ) c * = u+ + %µ ( + '()) %µ, t biçimide elde edilmetedir. -.

9 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) E[ Ut ( )] Burada da; / c %µ olara bulumatadr. Yüümlülü arlama yeterliliii oulu olara t c %µ > olmas, büyü t deerleri içi art sürecii pozitif olmas salamatadr. Bu da yeileme modelide temel et ar ouluu oluturmatadr. Sigorta iretleri prim üzerie eledileri güveli yüleme fatörüyle fiasal açda daha güveilir bir duruma geçerler. olara gösterile güveli yülemesi ris prim ora alama da gelmetedir. Bu ora, [, t] araldai prim gelir orada hesaplamatadr: Dolaysyla ct = ( + %µ ) t olma c üzere; = > olmaldr. %µ Ris sürecii tamda hareetle; u deerleri içi iflas aca Ti zamalarda gerçeletii varsaym altda X, hasar büyülülerii; Y, prim büyülülerii gösterme üzere iflas olasl; & ( u) = P( u+ ct S( t) <, t ) = Pu ( + ct ST ( ) <, ) = = Pu ( + ( cy X ) <, ) = P(sup( X cy ) > u) elide yazlabilmetedir. Bu eitliler iflas gerçelememe olasl yöüde de yazlabilir. u gerçelememe olasl olma üzere iflas ) * & ( u) = P+ sup ( X cy ) u, > elide gösterilebilir. - =. 4flas gerçelememe olasl & ( u), masimum rasgele yürüyü sürecii dalm fosiyou yöüde de iceleebilir. deerleri içi Z = X cy olma üzere, iliili rasgele yürüyü süreci; deerleri içi R = olma üzere, R = = Z elide elde edilmetedir. c Bu eitli içi yeileme modelii temel ar ouluda; EZ [ ] = µ < olmaldr. Böylece iflas % gerçelememe olasl & ( u) = P(sup R u) elie döütürülebilmetedir [5]. Bu olasl, geel bir rastgele yürüyüe ilii ihai supremumlar dalm vere Spitzer eitlii ile de hesaplaabilmetedir. Bu eitlite yararlaara bilei geometri dalma ilii iflas gerçelememe olasl, H bir dalm fosiyou ve (,) olma üzere, * ( ) ( ) & u H ( u) = = elide elde edilmetedir. () * Bu eitli içerisidei H : H i atl ovülasyouu göstermetedir. ve H deerleri, geellile, lasi Wieer-Hopf teorisi ile elde edilmetedir.

10 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) () eitliidei gibi fosiyoel iliilere çeitli yötemleri uygulaara, ço sayda modele ilii & ( u) tahmii hesaplaabilmetedir. & ( u) u hesaplamasda ullala Wieer-Hopf yötemii ya sra yeileme teorisi de, ilgili tahmileri elde edilmesie olaa tamatadr. 4lgili hesaplamalar yaplre Cramer-Ludberg modelide faydalalmatadr. Büyü hasarlara ilii iflas olasl tahmileride bu ii teoremi birletirilmesiyle elde edile eitlilerde yararlalacatr Cramer-Ludberg tahmii Yeileme modelide, iflas olasl tahmiii elde edilmeside geel yötemi ullam dda Cramer-Ludberg modeli tahmii de bulumatadr. Bu modele göre iflas olasl hesaplamasda, modele hasar büyülüü dalm da dahil edilmetedir. Cramer-Ludberg modelide güveli yülemesi c içi; = > oulu salamata olup, iflas gerçelememe olasl; %µ * & ( u) = ( + ) FI ( u) elide hesaplaabilmetedir. (2) + = Bu eitli içeriside yer ala F * I ( ), bütülei uyru dalm atl ovülasyouu göstermetedir. (2) eitlii portföyde büyü hasarlar bulumas durumuda iflas olasl elde edilmeside ullalmatadr. Cramer-Ludberg teoremi > olma üzere, Laplace-Stieltjes döüümüde yararlaara, bütülei uyru dalm (- ) deeri içi Laplace-Stieltjes döüümü; v ˆ c fi ( v ) = e dfi ( ) = = + elide elde edilir. (3) %µ Bu eitlite yola çlara aadai özelliler elde edilebilmetedir: Özelli : (3) eitliidei Laplace-Stieltjes döüümü Cramer-Ludberg ouluda yararlaara c e F( ) d = % biçimide de yazlabilmetedir: u Özelli 2 : u deerleri içi; & ( u) e olmatadr. Özelli 3: 4celee dalm / µ parametresi ile üstel dalma uymas durumuda iflas olasl; & ( u) = ep u u elide elde edilir. (4) + µ ( + ) Özelli 4:Bu teoremde e F( ) d < (5)

11 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) eitsizlii elde edilmetedir. Bu eitsizlite yola çlara lim u e & ( u) = C < olma üzere C deeri 2 3 u eilde hesaplamatadr: C = 4 ( ) 5 6µ e F d 7 u Eitli (5) i ispat yaplmasda ( u ) = & ( u) ve u olma üzere ; & ( u) = P(sup ( X cy ) u ) > = ( u) = P( S( t) ct u tüm t > içi) = P( ( X cy ) u tüm içi) = = 2 ' = P( ( X cy ) u + cy X tüm 2, X cy u) = P( S ( t) ct u + cy X tüm t >, X cy u) eitlii ullalmatadr Kal) uyrulu da*)l)mlar içi iflas teorisi Kal uyrulu dalmlar eitli (3) te verile Cramer-Ludberg ouluu salamamata ve bu edele de Cramer-Ludberg Teoremi bu tür hasar büyülüü dalmlara uygulaamamatadr. Bu durumda (2) eitliii, ovülasyo yalam ullalara yeide düzelemesi geremetedir Alt üstel da*)l)mlar içi Cramer-Ludberg teoremi. Alt-üstel dalma Cramer-Ludberg teoremii uygulaabilmesi içi, bu dalma ilii üç özelli aada verilmitir. (a) F dalm alt-üstel dalm sf içeriside yer alyor ise, bezer eilde (, ) araldai y F( y) deeri içi de lim = eitlii elde edilir. F( ) (b) Tüm > deerleri içi; ie e F( ) olmatadr. (c) F S olmas durumuda, 2 deerleri içi sfrda büyü bir deeri içi * F ( ) F( ) ( + ) K eitlii salaacatr. Alt-üstelli, > yalaa ( ) e deerleri içi herhagi bir elide ola üstel dalmda daha yava sfra F dalm olara açlamata olup, tüm > ve y deerleri içi y e df( ) e F( y) eitsizlii elde edilmetedir. F S y olmas durumuda tüm > deerleri içi f ˆ ( ) = olmatadr. Bua bal olara, alt-üstel dalm Laplace Stieltjes döüümü, sfr durumu içi özel bir teillie sahiptir. Bu durum il ez Chistyaov (964) tarafda ispatlamtr. Bu teoremi

12 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) F( y) geiletilmesiyle daha gei dalm sflar içide lim = F( ) olduu görülmütür [5]. eitsizliii salad durumlar Cramer-Ludberg modelii et âr oulu ( > ) ve bütülei uyru dalm alt üstel dalm sf içeriside bulumas durumuda u ie iflas olsl &( u) ~ F I ( u) elide hesaplamatadr. Bu eitlii elde edilmeside ( + ) < oulu olduuda ( + ) ( + ) < eitsizliii salayaca eilde belirlee sfrda büyü bir deeri içi; * &( u) FI ( u) = ( + ) F ( u) + F ( u) I = F * ( ) ( ) I u + ( + ) K( + ) F ( u) I I u. * &( u) FI ( u) = ( + ) F ( u) + F ( u) I = = = ( + ) = + I (6) olara yazlabilmetedir. Burada da &( u) ~ F I ( u) eitliii elde edildii görülebilmetedir. Altüstel dalm yapsa sahip al uyrulu hasar büyülüü dalmlar içi, iflas olasl tahmii &( ) ~ u F I ( u) elide hesaplamatadr. Aca &( u) ~ F I ( u) tahmii sadece F I S oulu altda gerçeleebilmetedir. Net azaç oulua ( > ) sahip ola Cramer-Ludberg teoremi göz öüde buludurulara alt üstel dalm üzerie yapla icelemeler soucuda aadai durumlar abul edilmitir. a) FI S, b) & ( u) S, c) lim &( u) / FI ( u ) = [5]. u 4. Uygulama 4.. GiriA Çalma bu bölümüde, Trafi Sigortalar Bilgi Merezi e (TRAMER) aytl Karayollar Motorlu Araçlar Zorulu Mali Sorumlulu (Trafi) Sigortas verilerii ullald bir uygulama yaplmtr. Yapla hesaplamada, 29 yl içi Aara ilidei otomobil araç grubua ait toplaa et poliçe prim tutar ve ödee hasar tutarlarda yararlalmtr. Uygulamada ullalaca hasar tutarlar dalma arar verilmeside hasar büyülüüü temsil edece eilde Aara ilie ait otomobil sf içi 3 adet gerçe bireysel hasar tutarda olua örelem ümeside yararlalmtr Ris sürecii icelemesi TRAMER sistemie aytl 29 yl içi her bir ayda ödee hasar ve toplaa et prim tutarlarda oluturula ris sürecide; primleri döem bada toplad, hasar ödemelerii ise döem souda yapld varsaym altda ris sürecii il ez sfr alta dütüü durum içi, iflas gerçeleme

13 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) olasllar hesaplamtr. 29 ylda Aara ilide otomobil araç grubu içi yürürlütei poliçe adedi, toplaa et primler ile o yl içeriside gerçelee hasar dosya saylar ve hasar tutarlar Yeil de gösterilmetedir.,eil. 29 yl Aara ili otomobil trafi sigortasda her bir ayda gerçelee hasar saylar, hasar tutarlar, et poliçe says ve toplaa et poliçe primleri Ris sürecie U balagç sermayesi ile balamata, bu balagç sermayesi ve döem bada toplaa prim tutarlar döem soua adar ayl faiz oraa göre faizledirilere döem souda da hasar ödemeleri yaplara sürdürülmetedir. 4lgili döem souda sistemde ala tutar, bir sorai döemi balagç sermayesii oluturmatadr. Ris süreci, t =, 2,...,2 olma üzere;! t : prim sürecii; S t : hasar sürecii; r: faiz ora gösterme üzere Ut = ( Ut +! t)( + r) St elide gösterilmetedir.

14 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) Uygulamada ayl faiz ora,3 olara alm olup, toplam ve ortalama deerlere göre icelee süreçlerde farl balagç sermaye deerleri ullalmtr. Kolmogorov Smirov, Aderso Darlig ve i-are uyum iyilii testleri soucuda hasar tutar µ= ve $ =,4595 parametreleriyle Log ormal dalma uyduu %95 güveilirli düzeyide abul edilmitir. Logormal dalma uyduu belirlee hasar tutarlar Matlab programda log-ormal dalma göre icelemesii yaplmasda itegral ve limit ilemleride olayl salamas edeiyle hata fosiyou ve tamamlayc hata fosiyou tablo deerleride yararlalmtr (E). µ= ve $ =,4595 parametreli Log ormal dala hasar tutarlar srasyla ümülatif dalm ve uyru dalm grafileri Yeil 2 de; olabilirli youlu ve tehlie fosiyou grafileri Yeil 3 te ve so olara da PP ve QQ grafileri Yeil 4 te verilmetedir.,eil 2. µ= ve $ =.4595 parametreli Logormal dalm ümülatif ve uyru dalm,eil µ= ve.4595 $ = parametreli Logormal Dalm Olabilirli Youlu ve Tehlie Fosiyou

15 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) ,eil 4. µ= ve $ =.4595 parametreli Logormal Dalm PP ve QQ Grafileri Hasar tutara ilii yuarda verile grafiler de, Kolmogorov Smirov, Aderso Darlig ve i-are uyum iyilii testleriyle de abul edile µ= ve $ =.4595 parametreli log-ormal dalm hasar tutar dalm içi uygu olduuu destelemetedir. Kal uyrulu hasar büyülüü dalmlar içi iflas olasllar hesaplamasda öcelile icelee ris sürecide iflas durumuu gerçelemi olmas geremetedir. Kal uyrulu olduua arar verile hasar tutarlar; çalma iici bölümüde verile oullar salamas bamda srasyla uzu uyrulu, alt-üstel ya da düzeli deie uyrulu dalma uyup uymad gelitirile yazlm ullalara arar verilmitir. Kal uyrulu dalma sahip hasar büyülüleri içi iflas olasl hesaplamasda çalma üçücü bölümüde alt-üstel dalm sf içi elde edile iflas olasl eitlileride yararlalmtr. Alt üstel dalma uya hasar tutar ile ayl toplaa prim tutarlara göre oluturula ris sürecii üçücü bölümde deiile alt-üstel dalm sf içi elde edile iflas olasl eitlileride yararlalara farl balagç sermayeleri ve güveli yüleme fatörlerie göre iflas olasllar hesaplamtr. Tüm hesaplamalar Matlab yazlm ullalara gelitirile program aracl ile yaplmtr. 2 farl balagç sermayesi ve seiz farl güveli yüleme fatörüe göre,3 faiz oraa bal olara ris sürecii sfr alta dütüü il ota içi elde edile iflas olasllar Çizelge de gösterilmetedir. Yazlmda elde edile deerler soucuda, balagç sermaye mitarlardai ve sistemi uygulayaca güveli yüleme fatörleridei art iflas olasllarda azalmaya ede olduu gözlemlemitir. 4flas olasl içi e yüse deer sermaye mitar TL ve güveli yüleme fatörüü bulumad durumda, olara elde edilire e düü iflas olasl ola,49365 deeri ise, sermaye mitar.5. TL ve güveli yüleme fatörüü,875 olduu durum içi elde edilmetedir.

16 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) Çizelge. 29 yl otomobil sf içi Aara ili trafi sigortas ödee tüm hasarlar ve toplaa et primlere göre oluturula ris süreci içi iflas olasllar tahmii Searyo Searyo Searyo 2 Searyo 3 Searyo 4 Searyo 5 Searyo 6 Searyo 7 Searyo 8 Searyo 9 Searyo Searyo Searyo 2 Searyo 3 Searyo 4 Searyo 5 Searyo 6 Searyo 7 Searyo 8 Searyo 9 Searyo 2 flas Olas#l#lar# Sermaye Mitarlar# (TL) Ba lag#ç = Ba lag#ç =5. Ba lag#ç =. Ba lag#ç =2. Ba lag#ç =3. Ba lag#ç =4. Ba lag#ç =5. Ba lag#ç =75. Ba lag#ç =. Ba lag#ç =2. Ba lag#ç =3. Ba lag#ç =4. Ba lag#ç =5. Ba lag#ç =6. Ba lag#ç =7. Ba lag#ç =8. Ba lag#ç =9. Ba lag#ç =.. Ba lag#ç =.25. Ba lag#ç =.5. Güveli Yüleme Fatörleri,25,25,375,5,625,75,875,999999,888888,799999,727272,666666,65384,57428,533333,999752,888668,79982,72792,6665,65232,57287,5332,99954,888448,79963,72692,666336,6579,5745,53369,9998,8887,79926,72655,6665,64774,57862,53284,9985,887566,79889,7269,665674,64469,57578,532539,9985,88725,79842,725829,665343,6463,57294,532275,99759,886683,7985,725468,6653,63858,57,532,996278,88558,79723,724566,66485,6394,56932,53348,99537,884478,7963,723664,663358,6233,568593,53687,9975,8866,7926,7254,665,69277,565757,5284,9852,875655,78889,76445,65674,66223,56292,525393,9849,87243,7849,72836,653433,6369,5685,522746,97586,866832,7849,79226,6524,64,557249,5299,97223,86242,77678,7567,64685,5976,55443,57452,96526,8589,77228,727,64357,5946,55577,5485,96297,853598,768238,698398,6498,59952,54874,5259,955334,84986,764267,694789,63689,587898,54595,5952,9537,844775,76297,6979,63358,584844,54369,56865,937964,833746,7537,68256,62539,57729,535979,5248,925557,82277,74445,67332,6738,569573,52889,49363

17 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) Bulua souçlar iflas olasl güveli yüleme fatörü ve balagç sermaye mitarlara göre deitiii göstermetedir. Güveli yüleme fatörü icelee sistemde daha temili bir durumu yaratacada, güveli yüleme fatörüdei art beleildii gibi iflas olasl dümesie ede olmutur. Balagç sermaye mitardai arta bal olara da ris sürecii sfr alta düme olasl azalmtr. 5. Souç ve öeriler Bu çalmada öcelile, al uyrulu dalm yaps tüm özellileri ve alt sflar aratrlm, her bir sf içi gereli oullar icelemitir. Sigortaclta ireti devamll açsda bir yol gösterici ola ris sürecii yaps ve özellileri icelemi, iflas olasllar sigorta ireti açsda öemie deiilmitir. Kal uyrulu dalm yapsa sahip olduua arar verile hasar büyülülerie ilii iflas olasllar hesaplamasda, al uyrulu dalmlar alt sflarda alt üstel dalm sfa özel gelitirile teoriler da çeitli formüller elde edilmitir. Gelitirile Matlab program yardmyla herhagi bir dalm al uyrulu dalma sahip olup olmad aratrlm, al uyrulu dalma sahip olmas durumuda hagi alt sfa dahil olduu icelemitir. Ris süreç yaps iceleere, ris sürecii sfr seviyesii alta dümesi durumuda iflas olasl al uyrulu dalma ait formüller ullalara hesaplamtr. Yapla uygulama ile ris sürecie bal olara gerçelee iflas durumlar olumasda sermaye mitar ve güveli yüleme fatörlerii etili olduu gözlemlemitir. Sermaye mitar ve güveli yüleme fatörü deerii beleildii gibi iflas olasl ile ters oratl olduu ve bu deerlerdei art iflas olasl belirgi eilde düürdüü gözlemlemitir. Bu çalma ile hayat d sigorta alada öemli bir yere sahip ola al uyrulu dalmlar ris süreci ve iflas olasllar üzeridei etisi icelemi ve al uyrulu dalmlara özel iflas olasllar asl hesaplaaca icelemitir. Kayalar [] Asmusse, S., 2, Rui probabilities, Advaced Series o Statistical Sciece ad Applied Probability Vol.2, World Scietific Publishig, Sigapore, 385p. [2] Bigham, N.H., Goldie, C.M., Teugels, J.L., 987, Regular variatio, Cambridge Uiversity Press, Cambridge. [3] Chistyaov, V.P., 964, A theorem o sums of idepedet positive radom variables ad its applicatios to brachig radom processes, Theory probability Applicatio 9, pp [4] Embrechts, P., Goldie, C.M., 982, O covolutio tails, Stochastic Processes Applied 3, pp [5] Embrechts, P., Klüppelberg C., Miosch T., 2, Modellig Etremal Evets for Isurace ad Face, Applicatios of Mathematics Stochastic Modellig ad Applied Probability 33, Spriger, 648p. [6] Goldie, C. M., Klüppelberg C., 998, Subepoetial Distributios, A practical guide to heavy tails: statistical techiques ad applicatios, pp [7] Klugma, S.,A., Pajer H.H., Willmot G.,E., 28, Loss models from data to decisios, Third Editio, Joh Wiley ad Sos, New Jersey, 726p. [8] Klüppelberg, C., 988, Subepoetial distributios ad itegrated tails, Joural of Applied Probability,Vol 25,No:,pp [9] Mo, K.C.K., 22, Rui probabilities with depedet claims, Actuarial Studies, Faculty of Commerce ad Ecoomics, Uiversity of New South Wales, 5p. [] Rolsi T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J., 999, Stochastic processes for Isurace ad Fiace, Wiley Series i Probability ad Statstics, Joh Wiley ad Sos, Eglad, 654p. [] Sigma K., 999, Appedi: A primer o heavy-tailed distributios, Queueig Systems 33, pp

18 B.Bulut, C. Erdemir / statistiçiler Dergisi 4 (2) Eler E-. Hata fosiyou (error fuctio-erf) ve tamamlayc hata fosiyou (complemetary error fuctio-erfc) tablosu Erf() Erfc() Erf() Erfc(),3,93479,65992,5,56372,943628,4,952285,47749,,24629,887537,5,9665,338949,5,67996,8324,6, ,23656,2,222726, ,7,983795,6295,25, , ,8,98995,995,3, ,673732,9,992794,7296,35,379382, , ,46777,4, , ,,99725,29795,45,475487, ,2,998372,8628,5,524999,4795 2,3, ,432,55, , ,4,99935,6885,6,63856, ,5,999593,47,65,642293, ,6,999764,236,7,67782, ,7, ,343,75,7556, ,8,999925,75,8,742, ,9, ,4,85,77668, , ,22,9,796982,2398 3,, ,6,95,82898,7992 3,2,999994,6,84278, ,3, ,3,,8825, ,4, ,5,2,934, ,5, ,7 3,5, ,7