ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI. Neşe İŞLER

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI Neşe İŞLER MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 009 Her haı salıdır

2 ÖZET Yüse Lisas Tezi B IR VE IK I DE ¼G IŞKENL I BERNSTEIN-CHLODOWSKY POL INOMLARI Neşe IŞLER Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dal Da şma: Doç. Dr. Erta IB IKL I Bu tez beş bölümde oluşmatad r. Il bölüm giriş sm a ayr lm şt r. Iici bölümde, çeşitli fosiyo uzaylar ta mlam ş ve temel avramlar verilmiştir. Yalaş m h z belirleme içi sürelili modülü ta mlam ş ve özellileri icelemiştir. So olara lieer pozitif operatörleri ta m ve baz öemli özellileri verilmiş, yalaş m özellileri araşt r lm şt r. Üçücü bölümde, I. ve II. tip Berstei-Chlodowsy poliomlar ta mlam ş ve bu poliomlar çeşitli uzaylarda yalaş m özellileri icelemiştir. Ayr ca II. tip geelleşmiş Berstei-Chlodowsy poliomlar yalaş m h z verilmiştir. Dördücü bölümde, çeşitli uzaylarda ii de¼gişeli fosiyolar içi lieer pozitif o- peratörleri yalaş m özellileri araşt r lm şt r. Beşici bölümde, üçgesel ve aresel bölgede ii de¼gişeli Berstei-Chlodowsy tipli poliomlar ta mlam ş ve çeşitli uzaylarda yalaş m özellileri icelemiştir. Oca 009, 39 sayfa Aahtar Kelimeler : Berstei-Chlodowsy poliomlar, Lieer pozitif operatör, Sürelili modülü, A¼g rl l uzaylar. i

3 ABSTRACT Master Thesis BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLYNOMIALS OF ONE AND TWO VARIABLES Neşe IŞLER Aara Uiversity Graduate School of Natural Ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Erta IB IKL I This thesis cosists of ve chapters. The rst chapter is devoted to the itroductio. I the secod chapter, several fuctio spaces are de ed ad fudametal coceptios which are used i the thesis are give. Modulus of cotiuity ad its properties are eamied. Fially, de itio of liear positive operators ad some of their importat properties are give. Moreover approimatio properties of liear positive operators for oe variable fuctios are ivestigated. I the third chapter, I. ad II. type Berstei-Chlodowsy polyomials are de- ed ad their approimatio properties are eamied i the several spaces. Also a theorem is give about approimatio rate of II. type geeralized of Berstei- Chlodowsy polyomials. I the forth chapter, approimatio properties of liear positive operators for fuctios of two variables are ivestigated o the several spaces. I the fth chapter, Berstei-Chlodowsy type polyomials of two variables o a triagular ad square domai are de ed ad their approimatio properties are eamied. Jauary 009, 39 pages Key Words: Berstei-Chlodowsy polyomials, Liear positive operator, Modulus of cotiuity, Weighted spaces. ii

4 TEŞEKKÜR Bu çal şma ousuu baa vere ve araşt rmalar m her aşamas da e ya ilgi ve öerileriyle bei yöledire da şma hocam, Say Doç. Dr. Erta IB IKL I (Aara Üiversitesi Fe Faültesi) ye, tezimle ilgili edisi ile çal şma f rsat buldu¼gum aradaş m Sezgi SUCU ya ve baa her zama deste ola aileme e içte sayg ve teşeürlerimi suar m. Neşe IŞLER Aara, Oca 009 iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT iii TEŞEKKÜR v. G IR IŞ TANIM VE ÖNB ILG I Baz Fosiyo Uzaylar Sürelili Modülü S rl Sal ml Fosiyolar Solu Aral ta Süreli Fosiyolara Poliomlar Ile Yalaş m 8.5 Lieer Pozitif Operatörler ve Yalaş m TEK DE ¼G IŞKENL I FONKS IYONLAR IÇ IN BERNSTEIN- CHLODOWSKY POL INOMLAR D IZ IS I ILE YAKLAŞIM I. Tip Berstei-Chlodowsy Poliomlar Dizisi ve Yalaş m II. Tip Berstei-Chlodowsy Poliomlar Dizisi ve Yalaş m IK I DE ¼G IŞKENL I FONKS IYONLAR IÇ IN L INEER POZ IT IF OPERATÖRLER D IZ IS I ILE YAKLAŞIM IK I DE ¼G IŞKENL I FONKS IYONLAR IÇ IN BERNSTEIN- CHLODOWSKY POL INOMLAR D IZ IS I ILE YAKLAŞIM Üçgesel Bölgede Ii De¼gişeli Berstei-Chlodowsy Poliomlar Dizisi ve Yalaş m Karesel Bölgede Ii De¼gişeli Berstei-Chlodowsy Poliomlar Dizisi ve Yalaş m KAYNAKLAR ÖZGEÇM IŞ iv

6 .G IR IŞ Yalaş mlar teorisi, verile bir uzaydai bir fosiyoa iyi özellileri ola ay uzaya ait fosiyolar ailesi ile yalaş m yap l p yap lamayaca¼g araşt r r. Yalaş mlar teorisii temel teoremi olara iteledirile teorem; apal ve s rl [a; b] aral ¼g üzeride ta ml reel de¼gerli süreli bir f fosiyou içi her " > 0 ve her [a; b] olma üzere jp () f ()j < " olaca şeilde bir P () poliomuu varl ¼g, il ez 885 y l da Weierstrass taraf da ifade ve ispat edilmiştir (Korovi 960). Berstei (9) taraf da [0; ] aral ¼g üzeride ta ml reel de¼gerli süreli bir f fosiyoua yalaşa poliomlar tipi ha da bir teorem ispatlam şt r. B (f; ) = X f =0 C ( ) ; 0 tipide poliomlar dizisi ta mlam ş ve bu poliomlar dizisi içi ey " > 0 verildi¼gide her [0; ] ve her 0 içi jb (f; ) f ()j < " eşitsizli¼gii sa¼glad ¼g göstermiştir. Chlodowsy (937) taraf da [0; ) aral ¼g üzeride Berstei poliomlar geelleştirilmiş ve bu poliomlar yalaş m özellileri araşt r lm şt r. Berstei-Chlodowsy poliomlar dizisi olara adlad r la bu poliomlar dizisi; ( ), lim b = ve lim!! = 0

7 şartlar sa¼glaya mooto arta reel terimli pozitif say dizisi olma üzere B (f; ) = şelide ta ml d r. X f =0 C ; 0 Korovi (953) taraf da lieer pozitif operatörleri yalaş m ile ilgili bir teorem ifade ve ispat edilmiştir. Korovi Teoremi olara adlad r la bu teorem aşa¼g da ifade edilmiştir: (L ) lieer pozitif operatörler dizisi [a; b] aral ¼g da! ie L (; ) L (t; ) L t ; oşullar gerçeliyorsa [a; b] aral ¼g da süreli ve tüm reel esede s rl herhagi bir f fosiyou içi L (f; ) f () ; a b olur. Berstei ve Berstei-Chlodowsy poliomlar dizisie lieer pozitif operatörler dizisi gözüyle ba ld ¼g da, Berstei poliomlar ço araşt r lm ş ve üzeride ço fazla çal şmalar yap lm ş olmas a ra¼gme bu poliomlar s rs z bir aral ¼ga geellemesi ola Berstei-Chlodowsy poliomlar ço az icelemiştir. Buu edei apal ve s rl [0; ] aral ¼g! ie s rs z [0; ) aral ¼g a döüşmesi ve souç olara Korovi Teoremi i geçerli olmamas da ayala r. Bu tezde; çeşitli uzaylarda bir ve ii de¼gişeli Berstei-Chlodowsy tipli operatörleri yalaş m ve yalaş m özellileri araşt r lm şt r.

8 . TANIM VE ÖNB ILG I Bu bölümde baz otasyolar ve çal şma içide gereli ola materyaller verilecetir.. Baz Fosiyo Uzaylar Schumaer et al. (939), Hac yev vd. (995), Izgi (004), Ibili (005) taraf da baz bir ve ii de¼gişeli fosiyo uzaylar ta mlam şt r. Bular aşa¼g da verelim. [a; b] üzeride reel de¼gerli ve s rl fosiyolar uzay B (a; b) = ffjf : [a; b]! R ta ml ve 8 [a; b] içi jf ()j < g şelide ta mlaabilir. C (a; b) = ffjf : [a; b]! R ta ml ve 8 [a; b] içi süreli g ile [a; b] üzeride süreli fosiyolar uzay ta mlaabilir. C (a; b) uzay ormu ile lieer ormlu uzayd r. f C(a;b) = ma jf ()j [a;b] B (R) = f : 8 R içi jf ()j M f () C (R) = f C (R) : 8 R içi jf ()j M f () ile C (R) uzay a¼g rl l fosiyo uzaylar ta mlaabilir. Burada M f, f fosiyoua ba¼gl bir sabit ve () = + () olup,, ( arta ve lim () = jj! ; ) aral ¼g da süreli, oşuluu sa¼glaya bir fosiyodur. fosiyoua ise a¼g rl fosiyou deir. 3

9 B (R) ve C (R) uzaylar f = ormu ile birer lieer ormlu uzaylard r. jf ()j sup << () C (R) uzay baz alt uzaylar ; f, f fosiyoua ba¼gl bir sabit olma üzere C (R) = C 0 (R) = f () f C (R) : lim jj! () = f< f () f C (R) : lim jj! () = 0 ile ta mlam şt r. Lipschitz s f, 0 olma üzere Lip (a; b) = ff C (a; b) : Tüm a + h b içi jf ( + h) f ()j Mh olaca şeilde M < say s vard rg ile ta mlaabilir. > içi f fosiyou sabit bir fosiyodur. = içi ii de¼gişeli ve reel de¼gerli f fosiyou; X R ve Y R olma üzere f : X Y! R (;y)!z şelide ta ml olup, bu fosiyolar oluşturdu¼gu s fa ii de¼gişeli ve reel de¼gerli fosiyolar s f deir. Aşa¼g da baz ii de¼gişeli fosiyo uzaylar verelim. D R s rl bölgesi üzeridei süreli fosiyolar uzay C (D) = ffjf : D! R ta ml, 8 (; y) D içi sürelig 4

10 ile gösterilme üzere C (D) uzay ormu ile lieer ormlu uzayd r. f C(D) = sup jf (; y)j (;y)d Di¼ger yada C b (D) uzay C b (D) = f : f C (D) ve 8 (; y) R içi jf (; y)j < ile ta mlaabilir. R ++ = f(; y) : 0; y 0g ve (; y) = + y + olma üzere C R ++ = fjf : R ++! R ta ml ve (; y) R ++ içi süreli şelide ta mlaabilir. C R ++ i a¼g rl l uzaylar ; B R ++ B R ++ = f : 8 (; y) R ++ C R ++ ve C R ++ uzaylar = f C R ++ : jf (; y)j Mf içi jf (; y)j M f + y + + y + ile ta ml olup, ormu ile lieer ormlu uzaylard r. f C(R ++ ) = sup jf (; y)j 0;y0 + y + 5

11 Ta m.. (Cauchy-Schwartz Eşitsizli¼gi): 8 ( ; ; :::; ) ; (y ; y ; :::; y ) R içi X j y j =!! X X j j jy j = eşitsizli¼gi gerçeleir (Nataso 964). = Aşa¼g da verile Beta ve Gamma fosiyolar Saraço¼glu vd. (995) aya¼g da yararla lara yaz lm şt r. Ta m.. m; R olma üzere Z B (; m) = m ( ) d 0 ile ta ml fosiyoa Beta fosiyou deir. m > 0 ve > 0 içi Beta fosiyou ya sat r. Ta m..3 R olma üzere () = Z e d 0 ile ta ml fosiyoa Gamma fosiyou deir. ya sat r. > 0 içi Gamma fosiyou B ve fosiyolar aras da B (; m) = (m) () (m + ) (..) şelide bir ba¼g t vard r. 6

12 Ta m..4 X R olma üzere f : X! R ta ml bir fosiyo ve a R, X i bir y ¼g lma otas olsu. E¼ger lim f () = 0!a ise f fosiyoua! a ie sosuz üçü fosiyo deir ve! a ie f () = o () ile gösterilir (Museyev, Alp, Mustafayev ve Eicio¼glu 003). Ta m..5 X R olma üzere f ve g, X de ta ml fosiyolar olsu. E¼ger 0 R olma üzere > 0 içi jf ()j M jg ()j olaca şeilde M > 0 say s varsa! ie f () = O (g ()) şelidedir (Kurt, Mehlhor ad Stefa 990). Ta m..6 A R olma üzere her ; A ve her [0; ] içi f [ + ( ) ] f ( ) + ( ) f ( ) gerçeleiyorsa f fosiyou A ümesi üzeride ovestir, deir (Rudi 9).. Sürelili Modülü Museyev vd. (003) taraf da sürelili modülü ta mlam şt r. Aşa¼g da bua göre sürelili modülü ta m verelim. Ta m.. Boş olmaya I R s rl aral ¼g verilmiş olsu. d (I) = sup fj yj : ; y Ig büyülü¼güe I ümesii çap deir. 7

13 Ta m.. I R s rl bir aral, f : I! R fosiyou I üzeride s rl olsu. d = d (I), I ümesii çap olma üzere! : (0; d]! [0; );! f () =! (f; ) = sup fjf ( ) f ( )j : ; I; j j g fosiyoua f fosiyouu I üzeridei sürelili modülü deir. Sürelili modülüü öemli baz özellilerii verelim. Bu özellileri ifade ve ispat da Museyev vd. (003), Nataso (964), Izgi (004) ayalar da yararla lm şt r. Lemma.. > 0 içi! f () 0 d r. Ta m.. de ispat aç t r. Lemma..! f () mooto artad r. Ispat: 8 ; (0; d], < içi fjf ( ) f ( )j : ; I; j j g fjf ( ) f ( )j : ; I; j j g oldu¼guda! f ( ) = sup fjf ( ) f ( )j : ; I; j j g sup fjf ( ) f ( )j : ; I; j j g =! f ( ) gerçeleir. 8

14 Lemma..3 N olma üzere! f ()! f () gerçeleir. Ispat:! f () = sup olma üzere = + h deirse ; I j j jf ( ) f ( )j! f () = sup I jhj = sup I jhj jf ( + h) f ( )j X [f ( + ( + ) h) f ( + h)] =0 X sup =0 I jhj jf ( + ( + ) h) f ( + h)j olara yaz labilir. Ta m.. de toplama ba¼gl ifade! f () olur. Toplam say s tae oldu¼gu içi istee eşitsizli elde edilir. Lemma..4 pozitif reel say olma üzere! f () ( + )! f () gerçeleir. Ispat: [jj] ile say s tam sm gösterelim. Bu durumda [jj] < [jj] + eşitsizli¼gi geçerlidir. 9

15 ! (f; ) mooto arta olma özelli¼gi ve Lemma..4 gere¼gice;! f ()! f (([jj] + ) ) ([jj] + )! f () ( + )! f () eşitsizli¼gi elde edilir. Lemma..5 f, I aral ¼g da süreli bir fosiyo olsu. Bu durumda lim! f () = 0!0 gerçeleir. Ispat: f süreli oldu¼guda her " > 0 içi j j < oldu¼guda jf ( ) f ( )j < " sup jf ( ) f ( )j < " eşitsizli¼gii sa¼glaya e az bir > 0 say s var olup,! f () ta m da! f () < " olur. Lemma.. de < içi! f () < " yaz labilir. Bu da istee ifadeyi verir. Lemma..6 f fosiyou [a; b] aral ¼g da s rl türeve sahip ise f Lip (a; b) olur. 0

16 Ispat: f fosiyou [a; b] aral ¼g tüm otalar da s rl türeve sahip olsu. Yai; 8 [a; b] içi f 0 () M gerçelesi. Ortalama De¼ger Teoremi de her ; içi jf ( ) f ( )j = jf 0 ()j j j ; < < eşitsizli¼gii sa¼glaya e az bir otas vard r. Burada! f () M sup ; [a;b] j j j j M eşitsizli¼gi elde edilir. Lipschitz s f ta m da f Lip (a; b) olur. Lemma..7 f Lip (a; b) ()! f () M gerçeleir. Ispat: E¼ger! f () M ise herbir ; y de¼gerleri içi jf () f (y)j! f (j yj) M j yj olup, f Lip (a; b) elde edilir. E¼ger f Lip (a; b) ise j yj içi jf () f (y)j M j yj M elde edilir. Ii de¼gişeli fosiyolar içi sürelili modülleri, Büyüyaz c (003a, b), Büyüyaz c vd. (004) ve Izgi (004) maaleleride yararla lara verilmiştir. Ta m..3 D R s rl bir bölge ve f : D! R ta ml, s rl bir fosiyo olsu. K D ompat bir bölge ve = ( ; ) ; y = (y ; y ) olma üzere q! (f; ) = sup jf ( ; y ) f ( ; y )j : ; y K; ( ) + (y y )

17 fosiyoua f fosiyouu tam sürelili modülü deir.! () (f; ) = sup fjf ( ; y) f ( ; y)j : ( ; y) ; ( ; y) K; j j g! () (f; ) = sup fjf (; y ) f (; y )j : (; y ) ; (; y ) K; jy y j g fosiyolar a f fosiyouu e göre smi sürelili modülü ve y ye göre smi sürelili modülü deir. Tam sürelili modülüü öemli ola baz özellilerii verelim. Özelli.. > 0 içi! (f; ) 0 d r. Ta m..3 te ispat aç t r. Özelli..! (f; ) mooto artad r. Ispat: 8 ; > 0, < içi jf ( ; y ) f ( ; y )j : ; y K; q( ) + (y y ) jf ( ; y ) f ( ; y )j : ; y K; q( ) + (y y ) oldu¼guda! (f; ) = sup jf ( ; y ) f ( ; y )j : ; y K; q( ) + (y y ) sup jf ( ; y ) f ( ; y )j : ; y K; q( ) + (y y ) =! (f; ) elde edilir.

18 Özelli..3 f : K! R süreli bir fosiyo ise lim! (f; ) = 0!0 gerçeleir. Ispat: f fosiyou K bölgeside süreli oldu¼guda her " > 0 içi j olma üzere her ; y K içi yj jf ( ; y ) f ( ; y )j < " eşitsizli¼gii sa¼glaya e az bir > 0 say s vard r. Burada sup p ( ) +(y y ) jf ( ; y ) f ( ; y )j < " =)! (f; ) < " yaz labilir. < içi! (f; ) < " olup, istee ifade elde edilir. Özelli..4 m N olma üzere! (f; m) m! (f; ) gerçeleir. Ispat: olma üzere! (f; m) = p ma jf ( ; y ) f ( ; y )j ( ) +(y y ) m q ( ) + (y y ) m =) ( ) + (y y ) m =) ( ) m ve (y y ) m =) j j m ve jy y j m 3

19 olara elde edilir. Burada j j m =) m m =) m + m + ve jy y j m =) m y y m =) m + y y m + y şelide yaz labilir. 8h > 0 içi = + mh ve y = y + mh olsu. Bu durumda! (f; m) = ma jf ( + mh; y + mh) f ( ; y )j +mh; ;y +mh;y K jhj m X = ma f ( jhj + ( + ) h; y + ( + ) h) f ( + h; y + h) = ma jhj =0 jf ( + h; y + h) f ( ; y ) + f ( + h; y + h) f ( + h; y + h) + ::: + f ( + mh; y + mh) f ( + (m ) h; y + (m ) h)j ma jf ( + h; y + h) f ( ; y )j jhj + ma jhj jf ( + h; y + h) f ( + h; y + h)j +::: + ma jhj jf ( + mh; y + mh) f ( + (m ) h; y + (m ) h)j =! (f; ) +! (f; ) + ::: +! (f; ) = m! (f; ) olara elde edilir. 4

20 Özelli..5 > 0 içi! (f; ) ( + )! (f; ) d r. Ispat: m N olma üzere! (f; m) m! (f; ) oldu¼gu biliiyor. R + = [0; ) ise! (f; ) ( + )! (f; ) olur. R içi [jj] [jj] + + olma üzere! (f; )! (f; ([jj] + ) ) ([jj] + )! (f; ) ( + )! (f; ) olara elde edilir. Özelli..6 ( ), lim = 0! oşuluu sa¼glaya pozitif terimli bir dizi ve C f, f fosiyou ve ( ) dizisie ba¼gl bir sabit olma üzere! (f; ) C f eşitsizli¼gi gerçeleir. Ispat: Sürelili modülüü..5 özelli¼gide! (f; ) =! f; 5

21 = +! (f; ) +! (f; ) elde edilir. Burada! (f; )! (f; ) + yaz labilir. ( ) s f ra ya saya bir dizi oldu¼guda + C olaca şeilde C > 0 say s vard r. Bu durumda + C olaca¼g da! (f; ) C! (f; ) eşitsizli¼gi sa¼gla r.! (f;) C = C f deirse! (f; ) C f elde edilir. Bu da istee eşitsizlitir. Aç ca görülebilir i tam sürelili modülü içi geçerli ola özelliler smi sürelili modülleri içi de geçerlidir..3 S rl Sal ml Fosiyolar f : [a; b]! R fosiyou verilsi ve [a; b] aral ¼g bir parçalamas = f i g 0 (a = 0 < < ::: < = b) olsu. toplam oluştural m. V (f) = X jf ( ) f ( )j = 6

22 Ta m.3. [a; b] aral ¼g her parçalamas içi V b a (f) = sup V (f) ifadesie f i total sal m deir. E¼ger V b a (f) M olaca şeilde bir M = M (f) say s varsa f fosiyou [a; b] üzeride solu veya s rl sal ml d r, deir. [a; b] de s rl sal ml fosiyolar ümesi BV [a; b] ile gösterilebilir (Nataso 96). Ta m.3. f fosiyou diferesiyelleebilir ve türevi itegralleebilir olsu. Bu durumda ifadesi gerçeleir (Kaa et al. 996). Z b Va b (f) = f 0 () d a Teorem.3. Kapal ve s rl [a; b] aral ¼g üzeride f fosiyou s rl sal ml bir fosiyo ise s rl d r. Ispat: a b içi olma üzere X V = jf ( + ) f ( )j =0 V = jf () f (a)j + jf (b) f ()j V b a (f) olup, jf ()j jf (a)j + V b a (f) elde edilir. Bu durumda [a; b] aral ¼g üzeride jf ()j M 7

23 olaca şeilde M > 0 say s vard r. Bu da ispat tamamlar..4 Solu Aral ta Süreli Fosiyolara Poliomlar Ile Yalaş m 885 de Weierstrass, apal ve s rl [a; b] aral ¼g üzeride ta ml, reel de¼gerli her süreli f fosiyoua poliomlar ile yalaş labilece¼gii aşa¼g dai teorem ile ifade etmiştir. Teorem.4. (Weierstrass): f fosiyou [a; b] aral ¼g da süreli ise her " > 0 içi [a; b] aral ¼g üzeride jp () f ()j < " eşitsizli¼gii gerçeleye az bir P () poliomu vard r (Korovi 960). Berstei (9) taraf da [0; ] aral ¼g üzeride Weierstrass Teoremi i gerçeleye poliomlar tipi ile ilgili bir teorem ispatlam şt r. Berstei poliomlar olara adlad r la bu poliomlar tipleri ve yalaş m özellileri, Groetsch et al. (973), Bleima et al. (980), Martiez (989), Kampiti et al. (994) gibi birço maalede araşt r lm şt r. Ta m.4. f : [0; ]! R ta ml, süreli bir fosiyo olsu. B (f; ) = X f =0 C ( ) ile ta ml poliomlara Berstei poliomlar ad verilir. B : C (0; )! C (0; ) bir döüşüm oldu¼gu aç t r. Burada C = =!! ( )! (.4.) şelidedir. Her belirli do¼gal say s içi B (f; ), : mertebede bir poliomdur. 8

24 Bu poliomlar temel yap s ; a ve b pozitif say lar ve bir do¼gal say olma üzere X (a + b) = C ( ) =0 Biom formülüe ba¼gl d r. Bu formülde [0; ] olma üzere a = ve b = al rsa eşitli¼gi elde edilir. X C ( ) = (.4.) =0 Lemma.4. 8 [0; ] içi X ( ) C ( ) = ( ) =0 gerçeleir (Nataso 964). Lemma.4. [0; ] ve > 0 olsu. = ; ; = 0; ; :::; olma üzere eşitsizli¼gi gerçeleir. X C ( ) 4 Ispat: içi oldu¼guda =) =) ( ) X C ( ) X ( ) C ( ) 9

25 X ( ) C ( ) =0 eşitsizli¼gi yaz labilir. Lemma.4. ulla lara elde edilir. Burada X C ( ) ( ) X C ( ) olur. Bu da istee eşitsizlitir. = ma ( ) [0;] 4 (.4.3) Teorem.4. [0; ] aral ¼g üzeride f fosiyou süreli ise lim B (f; ) = f ()! bu aral ta düzgü olara gerçeleir. Ispat: f : [0; ]! R fosiyou [0; ] aral ¼g üzeride süreli oldu¼guda s rl d r. Yai; [0; ] aral ¼g üzeride jf ()j M olaca şeilde M > 0 say s vard r. Kapal ve s rl aral üzeride süreli bir fosiyo, bu aral üzeride düzgü sürelidir. Yai; her " > 0 içi j j < olma üzere her, [0; ] içi jf ( ) f ( )j < " eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir = (") > 0 say s vard r. 0

26 (:4:) eşitli¼gii her ii ya f() ile çarp l rsa f() = X f()c ( ) =0 olur. B (f; ) f () far gözöüe al rsa B (f; ) f () = = X X f C ( ) f()c ( ) =0 X f f () C ( ) =0 =0 eşitli¼gi yaz labilir. = 0; ; :::; idis ümesi = = ; ; < olaca şeilde ii s fa ayr ls. Bu durumda B (f; ) f () = X f + X f f () C ( ) f () C ( ) olup, jb (f; ) f()j = X + X f f f () C ( ) f () C ( ) olara yaz labilir. Üçge eşitsizli¼gi ulla lara jb (f; ) f ()j X f f () C ( ) (.4.4) + X f f () C ( )

27 elde edilir. f fosiyou süreli oldu¼guda içi f f () <" eşitsizli¼gi sa¼gla r. f fosiyou s rl oldu¼guda içi f f () M eşitsizli¼gi sa¼gla r. Bulua bu ii eşitsizli (:4:4) ifadeside ulla l rsa jb (f; ) f ()j " X X C ( ) +M C ( ) " X C ( ) +M X C ( ) =0 = " + M X C ( ) (.4.5) eşitsizli¼gi elde edilir. (:4:5) eşitsizli¼gii sa¼g taraf dai toplam ifadesi, Lemma.4. de verile (:4:3) eşitsizli¼gii gerçeler. Bu durumda jb (f; ) f ()j " + M elde edilir. Yeterice büyü de¼gerleri içi M <"

28 olup, 8" > 0 say s içi istee jb (f; ) f ()j < " +" = " ifadesi gerçeleir. Key [a; b] aral ¼g üzeride de Berstei poliomlar Weierstrass Teoremi i gerçeler. Buu aşa¼g dai teorem ile ifade edelim. Teorem.4.3 f C (a; b) ise [a; b] aral ¼g üzeride lim B (f; ) = f ()! düzgü olara gerçeleir. Ispat: f fosiyou [a; b] aral ¼g üzeride süreli olsu. [0; ] aral ¼g da ta ml, süreli ' (y) = f (a + y (b a)) fosiyouu ve X (y) = c y poliomuu gözöüe alal m. Teorem.4. gere¼gice; 8y [0; ] içi X f (a + y (b a)) c y < " oşuluu sa¼glamas gereir. =0 =0 8 [a; b] içi b a a esri [0; ] aral ¼g dad r. Bu esir yuar da y yerie yaz l rsa f a+ a (b a) b a X c b =0 a a <" 3

29 olur. Burada f () olup, bu da P () = X c b =0 X c b =0 a a <" poliomuu f fosiyoua ola ya sal ¼g d r. Böylelile isteile elde edilmiş olur. a a.5 Lieer Pozitif Operatörler ve Yalaş m Özellileri Haciyev vd. özellileri verilmiştir. (995) taraf da lieer pozitif operatörleri ta m ve baz öemli Ta m.5. X ve Y fosiyo uzaylar olsu. L : X! Y bir döüşüm olma üzere 8f X fosiyoua arş l gele bir g Y fosiyou varsa, L g () = L (f; ) şelide bir operatördür, deir. L operatörüü ta m bölgesi X = D (L), de¼ger ümesi ise R (L) olma üzere L (f; ) = L (f (t) ; ) ile gösterilir. Ta m.5. X lieer bir uzay olsu. 8f; g X içi, a; b R ve af + bg X olma üzere L operatörü L (af + bg; ) = al (f; ) + bl (g; ) oşuluu gerçeliyor ise L operatörüe lieer operatör ad verilir. 4

30 c 6= 0 içi L lieer bir operatör oldu¼guda L (0; ) = L (c:0; ) = cl (0; ) olara yaz labilir. Burada L (0; ) = 0 oldu¼gu görülür. Lieer operatörler s f ço öemli bir alt s f lieer pozitif operatörlerdir. Ta m.5.3 X + = ff X : f 0g, Y + = fg Y : g 0g olsu. E¼ger X uzay da ta mlam ş L lieer operatörü X + ümesidei herhagi bir f fosiyouu pozitif fosiyoa döüştürüyorsa o tatirde bu lieer operatöre lieer pozitif operatör deir. L lieer operatörü içi f 0 oldu¼guda L (f; ) 0 gerçeleir. Şimdi lieer pozitif operatörleri öemli baz özellilerii verelim. Özelli.5. Lieer pozitif operatörler mootodur. Gerçete; 8 R içi f () g () ise f () g () 0 d r. L operatörü pozitif oldu¼guda L (f g; ) 0 olur ve L operatörüü lieerli özelli¼gide L (f; ) L (g; ) 0 elde edilir. Bu da isteedir. Özelli.5. L lieer pozitif operatör olsu. Bu durumda jl (f; )j L (jfj ; ) 5

31 eşitsizli¼gi gerçeleir. Gerçete; 8t [a; b] içi jf (t)j f (t) jf (t)j eşitsizli¼gi sa¼gla r. L operatörüü mooto olma özelli¼gide L (jfj ; ) L (f; ) L (jfj ; ) yaz labilir. Dolay s yla jl (f; )j L (jfj ; ) elde edilir. Ta m.5.4 L : X! Y lieer döüşüm olsu. E¼ger 8f X içi L (f; ) Y C f X olaca şeilde C > 0 say s varsa L operatörüe s rl lieer operatör ad verilir. Bu C sabitlerii e üçü¼güe L operatörüü ormu deir. L = if fc : L (f; ) Y C f X g şelide gösterilir. L lieer operatörü içi eşitlileri sa¼gla r. L = L (f; ) sup Y f X 6=0 f X L = sup f X = L (f; ) Y 6

32 X = C (R) ve Y = B (R) oldu¼guu abul edelim. Bu durumda L C!B = sup f = sup f = L (; ) L (f; ) jfj L ; olur. Di¼ger yada = oldu¼gu içi L C!B = sup L (f; ) f = L (; ) yaz labilir. Bu ii eşitsizlite L C!B = L (; ) (.5.) elde edilir. Bu eşitli, C da B ya döüşüm yapa lieer operatörleri s rl oldu¼guu gösterir. Çüü C içi L (; ) B olur. Operatörü ormuu ta m da s rl lieer operatörler içi L (f; ) L f eşitsizli¼gi geçerlidir. Özel durumda L : C! B oldu¼guda L (f; ) L C!B f olup, (:5:) ifadeside L (f; ) L (; ) f eşitsizli¼gi sa¼gla r. 7

33 Korovi (953) taraf da [a; b] aral ¼g üzeride ta ml reel de¼gerli süreli f fosiyoua lieer pozitif operatörler dizisi ile yalaş m yap labilece¼gii aşa¼g dai teorem ile ifade ve ispat etmiştir. Teorem.5. (Korovi 953): (L ) lieer pozitif operatörler dizisi, [a; b] aral ¼g da! ie L (; ) (.5.) L (t; ) (.5.3) L t ; (.5.4) oşullar gerçeliyorsa, [a; b] aral ¼g üzeride süreli ve tüm reel esede s rl herhagi bir f fosiyou içi! ie a b olma üzere L (f; ) f () gerçeleir. Ispat: f fosiyou reel esede s rl oldu¼guda 8 R içi jf ()j M (.5.5) olaca şeilde M > 0 say s vard r. f C (a; b) oldu¼guda her " > 0 içi jt j < olma üzere her t R ve [a; b] içi jf (t) f ()j < " (.5.6) eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir > 0 say s vard r. Di¼ger yada jt j içi (t ) =) M (t ) M 8

34 sa¼gla r. (:5:5) ; (:5:6) eşitsizlileri ve üçge eşitsizli¼gi ulla lara 8" > 0 içi jf (t) f ()j < M (t ) + " (.5.7) buluur. Lieer pozitif operatörleri özellileride L (f; ) f () C(a;b) = L (f (t) f () ; ) + f () (L (; ) ) C(a;b) L (f (t) f () ; ) C(a;b) + f C(a;b) L (; ) C(a;b) L (jf (t) f ()j ; ) C(a;b) + f C(a;b) L (; ) C(a;b) eşitsizli¼gi yaz labilir. ya sar. Yai! ie Bu eşitsizli¼gi iici terimi (:5:) ifadeside dolay s f ra f C(a;b) L (; ) C(a;b) " (! ie "! 0) eşitsizli¼gii sa¼glaya "! 0 dizisi vard r. Bu durumda L (f; ) f () C(a;b) L (jf (t) f ()j ; ) C(a;b) + " (.5.8) gerçeleir. (:5:8) eşitsizli¼gii sa¼g dai il terimi gözöüe alal m. (:5:7) eşitsizli¼gi ve lieer pozitif operatörleri özellileri ulla lara M L (jf (t) f ()j ; ) L (t ) + "; = "L (; ) + M L (t ) ; = "L (; ) + M L t ; L (t; ) + L (; ) 9

35 = " [L (; ) ] + " + M L t ; [L (t; ) ] + [L (; ) ] = " + " + M [L (; ) ] + M L t ; 4M [L (t; ) ] elde edilir. olsu. 8 [a; b] içi " + M = g () ve 4M = h () g () sup jg ()j = b ve h () sup jh ()j = c [a;b] [a;b] olma üzere L (jf (t) f ()j ; ) " + b [L (; ) ] + M L t ; +c [L (t; ) ] L (jf (t) f ()j ; ) C(a;b) " + b L (; ) C(a;b) + M L t ; C(a;b) + c L (t; ) C(a;b) elde edilir. (:5:), (:5:3) ve (:5:4) ifadeleride dolay lim L (jf (t) f ()j ; )! C(a;b) = 0 olur. Bu durumda (:5:8) ifadesii lim L (f (t) ; ) f ()! C(a;b) = 0 oldu¼gu görülür. Bu da ispat tamamlar. 96 y l da Basaov, [a; b] aral ¼g üzeride süreli ve M f, f fosiyoua ba¼gl bir sabit olma üzere jf ()j M f + (.5.9) 30

36 oşuluu sa¼glaya f fosiyou içi Korovi Teoremi i gerçeledi¼gii ispatlam şt r. Gerçete; f C (a; b) oldu¼guda her " > 0 içi jt ve [a; b] içi jf (t) f ()j < " j < oldu¼guda her t R eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir > 0 say s vard r. jt j oldu¼guda 8 [a; b] içi f fosiyou (:5:9) oşuluu sa¼glad ¼g da jf (t) f ()j M f + + M f + t = M f + t + şelide yaz labilir. Bu eşitsizlite = M f + (t + ) + = M f + (t ) + (t ) + (t ) M f + (t ) (t ) + = M f (t ) M f (t ) + + sup [a;b] + sup [a;b] c = M f + + sup [a;b] + sup [a;b]!! (t ) +! al rsa jf (t) f ()j c (t ) elde edilir. Bu durumda 8 [a; b] ve 8t R içi jf (t) f ()j " + c (t ) 3

37 yaz labilir. Ayr ca L (jf (t) f ()j ; ) L " + c (t ) ; = "L (; ) + c L t ; L (t; ) + L (; ) = " [L (; ) ] + " + c L t ; [L (t; ) ] + [L (; ) ] olup, = c sup j [a;b] j ve l = c sup j j olma üzere [a;b] L (jf (t) f ()j ; ) C(a;b) " + (" + l) L (; ) C(a;b) + L (t; ) C(a;b) +c L t ; C(a;b) eşitsizli¼gi sa¼gla r. (:5:), (:5:3) ve (:5:4) ifadeleride dolay lim L (jf (t) f ()j ; )! C(a;b) = 0 olur. Bu durumda (:5:8) eşitsizli¼gide istee lim L (f; ) f ()! C(a;b) = 0 elde edilir. O halde Korovi Teoremi sa¼glam ş olur. Di¼ger yada s rs z bölgelerde ta mlam ş C (R) C (R) uzay da ey L lieer pozitif operatörler yard m yla yalaş m gerçelemedi¼gii aşa¼g dai teorem ile verelim. Teorem.5. L olsu. Bu dizi : C (R)! C (R) ta ml bir lieer pozitif operatörler dizisi lim L (; )! = 0 (.5.0) lim L (; )! = 0 (.5.) lim L ; = 0 (.5.)! 3

38 oşullar sa¼glar, faat lim L f f! > 0 ifadesii gerçeleye f C (R) fosiyou buluur (Gadjiev ve Ibili 999, Ibili 003). Ispat: Geelli¼gi bozmada (0) = 0 olsu. l (; ; f) = otasyouu ullaal m. () ( + ) f ( + ) f () + () f ( + ) ( + ) (L ) operatörler dizisi 8 >< L (f; ) = >: f () + () l (; ; f) ; 0 4() f () + l (; ; f) ; 4 f () () f () ; 0 ile ta mlas. (L ) dizisii bir lieer pozitif operatörler dizisi oldu¼guu gösterelim. 8 R içi f () 0 olmas oşuluyla L (f; ) 0 oldu¼gu aç t r. 8f ; f C (R) ve 8a ; a R içi 0 olma üzere, L (a f + a f ; ) = (a f + a f ) () + () 4 () l(; ; a f + a f ) = a f () + a () 4 () l (; ; f ) +a f () + a () 4 () l (; ; f ) = a L (f ; ) + a L (f ; ) 33

39 olara yaz labilir. olma üzere, L (a f + a f ; ) = (a f + a f )() + 4 l (; ; a f + a f ) = a f () + a 4 l (; ; f ) + a f () + a 4 l (; ; f ) = a L (f ; ) + a L (f ; ) olara yaz labilir. 0 olma üzere, L (a f + a f ; ) = (a f + a f ) () () (a f + a f ) () = a f () a () f () + a f () a () f () = a L (f ; ) + a L (f ; ) olara yaz labilir. Bu durumda 8 R içi (L ) operatörler dizisii lieer oldu¼gu görülür. L i C (R) de C (R) ye bir döüşüm oldu¼guu gösterelim. Buu içi L (; ) M () olaca şeilde M > 0 say s varl ¼g gösterme yeterlidir. 0 içi, L (; ) = () + () () 4 () ( + ) ( + ) () + () ( + ) () ( + ) ( + ) + ( () + ) ( + ) ( + ) + = () + () () 4 () ( + ) + () ( + ) = () + () 4 () + () ( + ) (.5.3) 34

40 olara yaz labilir. fosiyou mooto arta oldu¼guda () ( + ) olup, bu eşitsizli (:5:3) ifadeside ulla l rsa L (; ) () eşitsizli¼gi elde edilir. içi, L (; ) = () + () 4 ( + ) ( + ) () + () ( + ) ( + ) olma üzere bu ifadede () fosiyou yerie yaz l p, fosiyouu artal ¼g ulla l rsa ifadesi elde edilir. L (f; ) () 0 içi, L (; ) = () () () () = () () olup, () () oldu¼guda L (; ) () ifadesi elde edilir. Bu durumda 8 R içi L (f; ) () ifadesi sa¼gla r. (L ) lieer pozitif operatörler dizisii C (R) de C (R) ye bir döüşüm oldu¼gu ispatlam ş olur. 35

41 (L ) lieer pozitif operatörler dizisii Teorem.5. i oşullar gerçeledi¼gii gösterelim. 0 içi, L (; ) = + () () + () 4 () ( + ) ( + ) jl (; ) j () () 4 () ( + ) + () ( + ) + olup, fosiyouu mooto artal ¼g da jl (; ) () j () olara yaz labilir. Burada () = + () olma üzere sup 0 lim sup! 0 jl (; ) () jl (; ) () j j + () lim! + () = 0 olup, lim L (; )! = 0 elde edilir. içi, L (; ) = + () 4 ( + ) jl (; ) j () 4 () () ( + ) () ( + ) () ( + ) olup, fosiyouu mooto artal ¼g da jl (; ) () j () 36

42 olara yaz labilir. Burada sup lim sup! jl (; ) () jl (; ) () j j = = sup () () + () lim! + () = 0 olup, lim L (; )! = 0 elde edilir. 0 içi, sup 0 olara yaz labilir. Burada L (; ) = () jl (; ) j () () jl (; ) j () () lim sup! 0 jl (; ) () j lim! () = 0 olup, lim L (; )! = 0 elde edilir. Bu durumda 8 R içi (:5:0) oşulu gerçeleir. 37

43 0 içi, olup, L (; ) = () + () () () + () 4 () ( + ) ( + ) jl (; ) ()j () () + j ()j + () 4 () j ( + )j j ( + )j jl (; ) ()j () + j ()j + () () 4 () j ( + )j j ( + )j () = j ()j 4 () ( + ) + () ( + ) + j ()j () sup 0 lim sup! 0 jl (; ) () jl (; ) () ()j ()j = j ()j sup 0 () j ()j () j ()j lim! ( + ()) = 0 oldu¼guda lim L (; ) ()! = 0 elde edilir. içi, L (; ) = () + () () + () 4 ( + ) ( + ) jl (; ) ()j 4 j ()j () ( + ) + + () ( + ) jl (; ) ()j j ()j () () 4 () ( + ) + + () ( + ) j ()j () 38

44 olup, sup lim sup! jl (; ) () jl (; ) () ()j ()j = j ()j sup () j ()j () j ()j lim! () = 0 oldu¼guda lim L (; ) ()! = 0 elde edilir. 0 içi, sup L (; ) = () jl (; ) ()j = () () j ()j () jl (; ) ()j sup () j ()j () () () () () j ()j () olup, oldu¼guda lim sup jl (; ) ()j! () lim! j ()j () = 0 lim L (; ) ()! = 0 elde edilir. Bu durumda 8 R içi (:5:) oşulu gerçeleir. 39

45 0 içi, L ; () = () () 4 () ( + ) ( + ) + () ( + ) ( + ) = () () 4 () = 0 () () olup, lim! L ; () = 0 elde edilir. içi, L ; () = () 4 ( + ) ( + ) + () ( + ) ( + ) = () () 4 () = 0 olup, lim! L ; () = 0 elde edilir. 0 içi, L ; () = jl ( ; ) ()j = () () () () () () () () 40

46 sup 0 jl ( ; ) ()j () () = sup 0 () (0) () = 0 olup, lim! L ; () = 0 elde edilir. Bu durumda 8 R içi (:5:) oşulu gerçeleir. (L ) operatörler dizisii lieer pozitif ve (:5:0) ; (:5:) ; (:5:) oşullar sa¼glad ¼g gösterilmiştir. Burada (L ) operatörler dizisi yard m yla yalaş m gerçelemeye C (R) uzay a ait ola f fosiyou buluur. f () = () cos fosiyouu gözöüe alal m. jf ()j = () jcosj () oldu¼guda f C (R) olur. 0 içi L (f ; ) f () = () 4 () = () 4 () () ( + ) f ( + ) f () + () () ( + ) ( + ) cos ( + ) () cos + ( + ) f ( + ) () ( + ) ( + ) cos ( + ) 4

47 = () () (cos cos si si ) () cos 4 () + () (cos cos si si ) = () 4 () () cos () cos + () cos = () () () cos olup, jl (f ; ) () f ()j = () jcos j () sup 0 jl (f ; ) () f ()j () jcos j = sup 0 () () () () = ( + ()) oldu¼guda lim L (f ; ) f () ()! lim! ( + ()) = elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Lemma.5. E¼ger L : C (R)! B (R) lieer pozitif operatörler dizisi lim L ( ; ) ()! = 0; = 0; ; ifadesii sa¼glarsa f C (R) içi herhagi bir solu [a; b] aral ¼g da lim L (f; ) f! C(a;b) = 0 gerçeleir (Haciyev ve Hac saliho¼glu 995). Aşa¼g dai teorem, C (R) C (R) uzay da ey (L ) lieer pozitif operatörler dizisi ile yalaş m mümü oldu¼guu gösterir. 4

48 Teorem.5.3 L : C (R)! B (R) lieer pozitif operatörler dizisi lim L ( ; ) ()! = 0; = 0; ; (.5.4) ifadesii sa¼glarsa ey f C (R) içi lim L f f! = 0 (.5.5) gerçeleir (Gadjiev 974, Haciyev ve Hac saliho¼glu 995). Ispat: Bu teoremi C 0 (R) uzay içi ispatlama yeterlidir. Buu içi (:5:5) ifadesii C 0 (R) de al a ey bir fosiyo içi geçerli oldu¼guu abul edelim ve f C (R) herhagi bir fosiyo olsu. Bu durumda C 0 (R) uzay ta m a göre F () = f () f () fosiyou C 0 (R) uzay a aittir. Burada f () = F () + f () olma üzere L f f L F F + f L eşitsizli¼gi sa¼gla r. Bu eşitsizlite birici terim F C 0 (R) oldu¼guda s f ra ya sar. Iici terim ise (:5:4) oşuluda dolay s f ra ya sar. Bu durumda lim L f f! = 0 olur. Dolay s yla ispat C 0 (R) uzay içi yapma yeterlidir. f C 0 (R) olsu. C 0 (R) uzay ta m gere¼gice; f () lim jj! () = f = 0 43

49 olur. O halde her " > 0 içi jj > 0 0 olma üzere jf ()j < " () eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir 0 0 otas buluabilir. Ayr ca lim () =! oldu¼guda her " > 0 içi jj > 00 0 ie () > " eşitsizli¼gi gerçeleye e az bir 00 0 otas vard r. E¼ger 0 = o ma 0 0; 00 0 << olara belirleirse tüm jj > 0 içi jf ()j < " () ve () > " oşullar gerçeleir. Kabul edelim i > 0 olsu. 8 >< g () = >: f () ; jj 0 dogrusal ; [ ; 0 ] [ [ 0 ; ] 0 ; jj > şelide süreli bir g fosiyou ta mlayal m. L f f = L (f; ) f L (g; ) + L (g; ) g + g L (f; ) L (g; ) + L (g; ) g (.5.6) + f g 44

50 olara yaz labilir. (:5:6) eşitsizli¼gii sa¼g taraf dai ifadeleri teer teer iceleyelim. L : C (R)! C (R) döüşüm yapa bir operatör dizisi oldu¼guda s rl d r. Ayr ca (L ) operatörler dizisi lieer oldu¼guda L (f; ) L (g; ) = L (f g; ) L (; ) f g (.5.7) sa¼gla r. (:5:7) eşitsizli¼gii sa¼g dai ifadeleri gözöüe alal m. L (; ) = L + ; = L (; ) + L ; + + () () L (; ) + L ; () + + () = L (; ) + L ; () + şelide yaz labilir. (:5:4) ve = ifadesi gözöüe al ara 8" > 0 içi L (; ) < " + " + = " + yaz labilir. " ey oldu¼guda " = seçilebilir. O halde L (; ) < 3 (.5.8) elde edilir. Bu da (L ) lieer pozitif operatörler dizisii düzgü s rl oldu¼guu gösterir. 45

51 E = [ ; 0 ] [ [ 0 ; ] olma üzere g fosiyouu ta m gere¼gice; f g = jf () g ()j sup R () jf () g ()j jf () g ()j jf () g ()j sup + sup + sup jj 0 () E () jj> () = jf () f ()j jf () g ()j jf () 0j sup + sup + sup jj 0 () E () jj> () jf () g ()j jf()j = sup + sup E () jj> () jf()j + jg ()j jf()j sup + sup E () jj> () jf()j sup E () + sup jg ()j E () + sup jf()j jj> () yaz labilir. oldu¼guda E jj 0 ve jj > jj 0 f g jf()j sup jj 0 () + sup jg ()j E () + sup jf()j jj 0 () = jf()j sup jj 0 () + sup jg ()j E () olup, G ( 0 ) = ma E jg ()j = ma ff ( 0) ; f ( 0 )g deirse f jf()j g sup jj 0 () + G ( 0) sup E () elde edilir. f C 0 (R) oldu¼guda jf()j sup jj 0 () < " gerçeleir. Ayr ca 8" > 0 içi () < " 46

52 oldu¼guda G ( 0 ), " a ba¼gl olma üzere olara yaz labilir. () < " G ( 0 ) " f g " + G ( 0 ) G ( 0 ) = 3" (.5.9) elde edilir. (:5:8) ve (:5:9) ifadeleri (:5:7) eşitsizli¼gide yerie yaz l rsa L (f; ) L (g; ) 9" buluur. g fosiyouu ta m gere¼gice; L (g; ) g () = jl (g; ) g ()j sup R () jl (g; ) g ()j sup jj () olur. Lemma.5. ulla lara jl (g; )j + sup jj> () jl (g; ) sup jj () g ()j = o () gerçeleir. O halde L (jgj ; ) L (g; ) g () o () + sup jj> () o () + sup jj> L sup jgj ; t () L (; ) = o () + G ( 0 ) sup jj> () 47

53 L (; ) + = o () + G ( 0 ) sup jj> () jl (; ) o () + G ( 0 ) sup jj> () jl (; ) < o () + G ( 0 ) sup jj> () jl (; ) = o () + G ( 0 ) sup jj> () elde edilir. (:5:4) ifadeside dolay 8" > 0 içi j + G ( 0 ) sup jj> () j " + G ( 0 ) G ( 0 ) j + " jl (; ) sup jj> () j < " sa¼glad ¼g da lim L (g; ) g ()! = 0 (.5.0) buluur. (:5:8), (:5:9) ve (:5:0) ifadeleri ulla lara L f f L (f g; ) + L (g; ) g + g f f g L + L (g; ) g + g f = f g L + + L (g; ) g < 3" (3 + ) + " = 3" elde edilir. Bu da (:5:5) ifadesii gerçeledi¼gii gösterir. 48

54 3. TEK DE ¼G IŞKENL I FONKS IYONLAR IÇ IN BERNSTEIN-CHLODOWSKY POL INOMLAR D IZ IS I ILE YAKLAŞIM Chlodowsy (937) taraf da s rs z bir aral üzeride Berstei poliomlar geelleştirilmiş ve bu poliomlar baz yalaş m özellileri araşt r lm şt r. Berstei- Chlodowsy poliomlar olara adlad r la bu poliomlar, Loretz (953), Gadjiev (995), Gadjiev (998), Gadjiev vd. (999), Ibili (00) ve buu gibi birço ayada ta m ve yalaş m özellileri verilmiştir. Ayr ca s rs z bir aral ü- zeride Berstei tipi poliomlar dizisie öre poliomlar Toti (984) ve Kha (988) taraf da ta mlam ş ve yalaş m özellileri araşt r lm şt r, faat burada bu poliom tipie yer verilmemiştir. Ta m 3.0. ( ) dizisi lim b = ve lim!! = 0 oşullar sa¼glaya mooto arta reel terimli pozitif bir say dizisi olma üzere 0 içi B (f; ) = X f =0 C (3.0.) şelide ta ml poliomlara Berstei-Chlodowsy poliomlar ad verilir. f (t) = olma üzere, B (; ) = X =0 C = (3.0.) şelidedir. 49

55 f (t) = t olma üzere, X B (t; ) = C =0 X ( )! = ( )! ( )! = X = =0 C = (3.0.3) şelidedir. f (t) = t olma üzere, B t ; = = X C X b ( )! ( )! ( )! X ( )! =0 = = ( )! ( )! = = X ( )! ( ) ( )! ( )! = + X ( )! ( )! ( )! = X = ( )! ( )! ( )! = X + =0 = = C = X C =0 = + ( ) X ( )! ( )! ( )! + + (3.0.4) 50

56 şelidedir. Berstei-Chlodowsy poliomlar, ta ml oldu¼gu [0; ] aral ¼g! ie [0; ) aral ¼g a döüşmeside dolay Korovi Teoremi i gerçelemez. Öre¼gi; s rs z aral üzeride f () = C (0; ) fosiyoua (3:0:) poliomlar dizisi ile yalaş m mümü de¼gildir. Çüü (3:0:4) ifadesi gözöüe al d ¼g da B t ; C(0;b) = b 4 olup, lim! B t ; = C(0;b) elde edilir. Bu ise ya sama gerçelemedi¼gii gösterir. Aşa¼g dai teoremler ile s rs z aral üzeride ta mlam ş fosiyo uzaylar da (3:0:) poliomlar dizisi ile yalaş m oşullar ortaya oyulmuştur. Teorem f C (0; ) fosiyou lim f () = f <! olma oşuluu ve ( ) dizisi b lim! = 0 (3.0.5) oşuluu sa¼glas. Bu durumda lim! B (f; ) f () = 0 C(0;b) gerçeleir. Ispat: f = 0 olmas durumuda teoremi ispat yapma yeterlidir. Bu durumda lim f () = 0 olur. Yai; her " > 0 içi 0 ie jf ()j < " eşitsizli¼gii! 5

57 gerçeleye e az bir 0 otas vard r. 8 >< g () = >: f () ; 0 0 lieer ; ; 0 + şelide süreli bir g fosiyou ta mlayal m. Bu durumda g fosiyouu ta m gere¼gice; sup jf () g ()j sup jf () g ()j + sup jf () g ()j sup 0 + jf () g ()j = sup jf () g ()j + sup 0 + jf ()j sup jf ()j + sup jg ()j + sup jf ()j olara yaz labilir. Bu eşitsizlite oldu¼guda elde edilir. Bu durumda ma jg ()j = jf ( 0 )j ve lim f () = ! sup jf () g ()j < " + " + " = 3" 0 sup jb (f; ) f ()j = sup jb (f; ) B (g; ) + B (g; ) 0 0 g () + g () f ()j sup jb (f g; )j + sup jb (g; ) sup jg () f ()j 0 sup 0 B + sup 0 jg () sup 0t jf f ()j g ()j gj ; + sup jb (g; ) 0 g ()j 5

58 3"B (; ) + sup jb (g; ) g ()j + 3" 0 6" + sup jb (g; ) g ()j 0 olup, lim sup jb (f; )! 0 f ()j 6" + lim! sup 0 jb (g; ) g ()j (3.0.6) yaz labilir. (3:0:6) eşitsizli¼gide yer ala lim sup jb (g; )! 0 g ()j ifadesii gözöüe alal m. g fosiyou 0 + ; aral ¼g da s f r oldu¼guda s rl d r. Yai; jg ()j M oşuluu sa¼glaya M > 0 say s vard r. Ayr ca apal ve s rl 0; 0 + aral ¼g üzeride g fosiyou düzgü sürelidir. O halde düzgü sürelili ta m gere¼gice; her " > 0 içi < ie [0; ] içi g g () < " (3.0.7) gerçeleye e az bir = (") > 0 say s vard r. oldu¼guda g fosiyou s rl oldu¼guda g g () M gerçeleir. Ayr ca =) M M yaz labilece¼gide g g () M (3.0.8) 53

59 elde edilir. (3:0:7) ve (3:0:8) eşitsizlileride g g () " + M gerçeleir. Burada olup, jb P (g; ) g ()j = g =0 C P g () C =0 P g =0 b g () C " + M P =0 C = " + M P C M =0 P =0 C = " + M + ( ) = " + M ( ) + sup jb M ( ) (g; ) g ()j " + ma 0 0 " + M b 4 elde edilir. ( ) dizisi (3:0:5) oşuluu sa¼glad ¼g da lim sup jb M b (g; ) g ()j " + lim! 0! 4 = 0 + M olur. 54

60 Bu ifade (3:0:6) ifadeside gözöüe al rsa buluur. Bu da ispat tamamlar. lim sup jb (f; ) f ()j = 0! 0 Teorem.5.3, 8 < B(f; ) ; 0 L (f; ) = : f () ; = [0; ] şelide ta ml operatörler dizisie uygula rsa aşa¼g dai teorem elde edilir. Teorem 3.0. () = + olma üzere 8f C (R) içi lim! B (f; ) f() = 0 (3.0.9) gerçeleir. Ispat: (3:0:) ; (3:0:3) ve (3:0:4) ifadeleri Teorem.5.3 ü oşullar sa¼glamal d r. 0 içi (3:0:) eşitli¼gi ulla lara jb (; ) L (; ) = sup 0 () = sup = 0 0 j j () j olup, lim L (; )! = 0 olur. 55

61 (3:0:3) eşitli¼gi ulla lara jb (t; ) L (t; ) = sup 0 () = sup = 0 0 j j + j olup, lim L (t; )! = 0 olur. (3:0:4) eşitli¼gi ulla lara L t ; jb (t ; ) = sup 0 () = sup 0 + (b ) + sup 0 ( ) = buluur. Berstei-Chlodowsy poliomlar ta m da ulla la ( ) pozitif say dizisi lim! = 0 olma oşuluu sa¼glad ¼g da lim! L t ; = 0 j elde edilir. Bu durumda Teorem.5.3 gere¼gice; lim L f f! = 0 sa¼gla r. (L ) lieer pozitif operatörler dizisii ta m da lim! B f f = 0 56

62 gerçeleir. Bu da ispat tamamlar. Teorem.5. ye göre (3:0:9) ifadesi ey f C (R) fosiyou içi geel olara sa¼glamaz. Faat (3:0:) poliomlar dizisi içi özel bir durumda Teorem.5. i gerçeledi¼gii aşa¼g dai teorem ile verelim. Teorem () = + olma üzere 8f C (R) ise lim! p b B (f; ) f () = 0 gerçeleir. Ispat: Süreli bir f fosiyou s rl ve apal bir aral ta düzgü süreli oldu¼guda her " > 0 içi jt j < ie her [0; ] ve her t [0; ) olma üzere jf (t) f ()j < " eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir (") > 0 say s vard r. f C (R) oldu¼guda jt j oşuluu sa¼glaya 8 [0; ] ve 8t [0; ) içi jf(t) f()j jf(t)j + jf()j M f ( + t )+M f ( + ) M f ( + t + ) eşitsizli¼gi geçerli olup, jf(t) f()j M f + (t + ) + = M f + (t ) + (t ) + = M f + + (t ) + (t ) 57

63 M f + + (t ) + + jt j = M f + (+ jt j) + (t ) olara yaz labilir. jt j oldu¼guda jf (t) f ()j M f + jt = M f + jt M f + jt j + jt j + (t ) j + + (t ) j + + (t ) + = M f + + jt j + (t ) olur. M f + = C f () ile gösterilirse jf (t) f ()j C f () (t ) + + jt j elde edilir. Bu durumda 8 [0; ] ve 8t [0; ) içi jf (t) f ()j < " + C f () (t ) + + jt j (3.0.0) eşitsizli¼gi gerçeleir. Şimdi jb (f; ) f ()j ifadesii gözöüe alal m. (3:0:0) eşitsizli¼gi ve B poliomlar mootolu ve lieerli özelli¼gi ulla lara jb (f; ) f ()j B (jf (t) f ()j ; ) < B " + C f () (t ) +C f () + jt j ; 58

64 = "B (; ) +C f () B (t ) ; + + q C f () B (t ) ; = "B (; ) + C f ()B (t ; ) C f ()B (t; ) +C f () B (; ) + ( + )C f ()B ( p (t ) ; ) elde edilir. (3:0:) ; (3:0:3) ; (3:0:4) ifadeleri ve Cauchy-Schwartz eşitsizli¼gi ulla lara jb (f; ) f ()j < " + C f () ( ) + + C f () r! (b ) buluur. Bu ifadei her ii ya + ile çarp l rsa jb (f; ) f ()j < " + C + f () ( ) + +C f () r! (b ) olur. Burada jb (f; ) f()j (b sup 0 + < " + C f () sup ) 0 + +C f () sup yaz labilir. 0 r (b ) ( ) sup 0 + ve sup 0 r (b ) = r b 4 oldu¼guda jb (f; ) f()j sup 0 + < " + C f () b r b +C f () 4 elde edilir. Bu ifadei her ii ya p b ile çarp l rsa p b jb (f; ) f()j sup 0 + < < " pb " p +C f () b " p b +C f () + " pb + r b r b # # 59

65 olara yaz labilir. lim! p b " pb jb (f; ) f()j sup 0 + < " lim p +C f () lim! b! + r # b olup, ( ) dizisii özellileri gözöüe al rsa lim! p b jb (f; ) f()j sup 0 + = 0 elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Ta m 3.0. ( ) dizisi lim b = ve lim!! = 0 oşullar sa¼glaya mooto arta reel terimli pozitif bir say dizisi olma üzere P eb (f; ) = f =0 p b C p b p b ; 0 p (3.0.) şelide Berstei-Chlodowsy tipi poliomlar dizisi ta mlaabilir ( Ibili 003). (3:0:) ; (3:0:3) ve (3:0:4) ifadeleride olara elde edilir. eb (; ) = eb (t; ) = eb t ; = + p S rs z aral üzeride f () = fosiyoua (3:0:) poliomlar dizisi yard m yla yalaş m mümü olmad ¼g öre olara vermişti. Şimdi s rs z aral üzeride f () = fosiyoua (3:0:) poliomlar dizisi ile yalaş m yapal m. 60

66 f (t) = içi, lim! B e (; ) p = 0 C(0; b) f (t) = t içi, f (t) = t içi, lim! B e (t; ) p = 0 C(0; b) ma 0 p e B t ; = p b = 4 pb p b olup, lim! B e t ; C(0; p = 0 b) elde edilir. Bu durumda s rs z aral üzeride f () = fosiyoua (3:0:) poliomlar dizisi ile yalaş m mevcuttur. Lemma 3.0. a > 0 say s de ba¼g ms z olma üzere a; p üzeride s f r ola her süreli f fosiyou içi lim! B e (f; ) f () p = 0 C(0; ) gerçeleir. Ispat: Kapal ve s rl her aral ta süreli ola fosiyo s rl oldu¼guda f fosiyou s rl d r. a; p aral ¼g da fosiyo s f r de¼gerii ald ¼g da 0 a içi jf ()j M olaca şeilde M > 0 say s vard r. Ayr ca f fosiyou, [0; a] apal ve s rl aral üzeride düzgü sürelidir. Dolay s yla 0; p olma üzere her " > 0 içi 6

67 p b < oldu¼guda f p b f () < " (3.0.) eşitsizli¼gii gerçeleye e az bir = (") > 0 say s vard r. p b ie f s rl oldu¼guda f p b f () M gerçeleir. Ayr ca p b =) M p b M yaz labilece¼gide f p b f () M p b (3.0.3) elde edilir. O halde (3:0:) ve (3:0:3) ifadeleri gözöüe al rsa f p b f () < " + M p b eşitsizli¼gi gerçeleir. Burada e B (f; ) f () = P f =0 p b C p b P f () C =0 P f p b =0 < " + M P =0 = " + M P =0 p b p b f () C C p b p b p b p b p b C p b p b p b p b 6

68 M P p b C p p =0 b b " = " + M + p # + = " + M p + M olup, sup 0 p e B (f; ) M f () < " + ma 0 p p b lim sup! 0 p e B (f; ) < " + M 4 f () < " + lim = 0 M! 4 buluur. Bu da ispat tamamlar. Teorem f C (0; ) fosiyou lim f () = f <! oşuluu sa¼glas. Bu durumda lim! B e (f; ) f () p = 0 C(0; ) gerçeleir. Ispat: f = 0 olmas durumuda teoremi ispat yapma yeterlidir. Bu durumda lim f () = 0 olur. Yai; her " > 0 içi 0 ie jf ()j < " eşitsizli¼gii sa¼glaya! e az bir 0 otas vard r. 8 f () ; 0 >< 0 g () = lieer ; >: 0 ;

69 şelide süreli bir g fosiyou ta mlayal m. g fosiyouu ta m gere¼gice; sup jf () g ()j sup jf () g ()j + sup jf () g ()j 0 p sup 0 + jf () g ()j = sup jf () g ()j + sup 0 + jf ()j sup jf ()j + sup jg ()j + sup jf ()j olara yaz labilir. Bu eşitsizlite ma jg ()j = jf ( 0 )j ve lim f () = ! oldu¼guda elde edilir. O halde sup 0 p e B (f; ) sup jf () g ()j < " + " + " = 3" 0 p f () = sup 0 p e B (f; ) e B (g; ) + e B (g; ) g () + g () f ()j sup B e (f g; ) + 0 p + sup 0 p jg () f ()j sup 0 p e B (g; ) sup B e sup jf gj ; 0 p 0t p + sup e B 0 p (g; ) g () + sup jg () 0 p 3" B e (; ) + sup B e (g; ) g () + 3" 6" + sup 0 p 0 p B e (g; )! g () g () f ()j 64

70 olup, lim sup! 0 p e B (f; ) olur. Lemma 3.0. ulla l rsa f () 6" + lim sup! 0 p e B (g; ) g () lim sup! 0 p e B (f; ) f () = 0 elde edilir. Bu da ispat tamamlar. 3. I. Tip Geelleşmiş Berstei-Chlodowsy Poliomlar Dizisi ve Yalaş m Ibili (00) taraf da I. tip geelleşmiş Berstei-Chlodowsy tipi poliomlar dizisii ta m ve yalaş m özellileri araşt r lm şt r. Ta m 3.. ( ) dizisi lim b = ve lim!! = 0 oşullar sa¼glaya mooto arta reel terimli pozitif say dizisi ve 0 olma üzere P S (f; ) = f =0 + + C (3..) ile I. tip geelleşmiş Berstei-Chlodowsy tipi poliomlar dizisi ta mlaabilir (Stacu 983). (3:0:) ifadesi gözöüe al rsa, (:4:) eşitli¼gide S (; ) = P C =0 = (3..) olara buluur. 65

71 (3:0:3) ifadesi gözöüe al rsa P S (t; ) = + =0 + C P = ( + ) C + =0 ( P = C + olara buluur. = = = + P + =0 C =0 ( P + =0 + + C =0 P ) + ) C (3..3) (3:0:4) ifadesi gözöüe al rsa S t ; = P = = = =0 + + C b ( + ) b ( + ) + P + P P ( + ) C =0 ( P C =0 C =0 C =0 b ( + ) + P =0 ( P =0 C C ) ) + 66

72 = + P =0 + ( + ) C P C =0 = + b ( + ) + (b ) + + ( + ) (3..4) + b ( + ) olara buluur. jf ()j M f ( + ) eşitsizli¼gii sa¼glaya f C (R) fosiyou içi (3::) poliomlar ile ya sal gerçelemeyebilir. Öre¼gi; [0; ] aral ¼g üzeride sosuz mertebede diferesiyelleebilir ola f () = fosiyoua (3::) poliomlar dizisi ile yalaş m yapal m. f (t) = t içi S t ; = olma üzere, + + (b ) + ( + ) + b + S t ; S t ; = ( ) ( + ) + ( + ) + ( + ) b + ( + ) b sup S t ; sup ( ) 0 0 ( + ) + sup 0 ( + ) + sup 0 ( + ) b + sup 0 ( + ) b 67

73 = b b ( + ) + ( + ) 4 + ( + ) b + ( + ) b elde edilir. b b ( + ) + ( + ) 4 b 4 ( + ) + b 4 eşitsizli¼gii gerçeledi¼gii gösterelim ( + ) + 4 ( + ) 4 ( + ) + ( + ) olup, eşitsizli geçerlidir. Burada ( + ) ( + ) sup S t ; b 0 4 ( + ) + b 4 + ( + ) b olara yaz labilir. Bu durumda olup, ya sama gerçeleşmez. lim sup S t ;! 0 (3::) poliomlar dizisi gözöüe al d ¼g da, aşa¼g dai teorem Lemma.5. i bir soucu olara verilebilir. Teorem 3.. () = + olma üzere f C (0; ) ise s rl ve apal [0; A] aral ¼g üzeride düzgü olara gerçeleir. lim S (f; ) = f ()! 68

74 Ispat: Ispat yapma içi Lemma.5. i oşullar sa¼glad ¼g gösterelim. (3::) ifadesi gözöüe al rsa S (; ) = 0 sup js (; ) j = 0 0A olup, lim S (; )! C(0;A) = 0 olur. (3::3) ifadesi gözöüe al rsa S (t; ) = = js (t; ) j sup js (t; ) j A + [0A] + + olup, lim S (t; )! C(0;A) = 0 olur. (3::4) ifadesi gözöüe al rsa S t ; = + (b ) + + ( + ) + b ( + ) 69

75 S t ; ( + ) + ( + ) + ( + ) sup S t ; A [0;A] ( + ) + ( + ) +A b + b + olup, lim! S t ; C(0;A) = 0 elde edilir. Bu durumda Lemma.5. i tüm oşullar sa¼gla r. O halde Lemma.5. gere¼gice istee ya sal gerçeleir. Di¼ger yada aşa¼g dai teorem, (3::) poliomlar dizisi gözöüe al d ¼g da Teorem.5. i bir soucu olara verilebilir. Teorem 3.. () = + olma üzere f C (R) ise lim S (f; ) f ()! = 0 gerçeleir. Ispat: (3::) ifadesi ulla lara js (; ) j = + + = 0 olup, lim sup js (; ) j = 0! 0 + lim S (; )! = 0 elde edilir. 70

76 (3::3) ifadesi ulla lara S (t; ) olup, ; ; > 0 oldu¼guda = js (t; ) j js (t; ) j + js (t; ) j sup b yaz labilir. Burada lim sup js (t; ) j! 0 + lim = 0! + lim +! + olup, lim S (t; )! = 0 elde edilir. (3::4) ifadesi ulla lara S t ; = S t ; ( + ) ( ) + ( + ) + ( + ) b + ( + ) b ( + ) + ( + ) ( ) + ( + ) b + ( + ) b 7

77 js (t ; ) j + js (t ; ) j sup 0 + = ( + ) + + ( ) ( + ) ( + ) b + ( + ) + ( + ) ( ) + ( + ) + ( + ) b + ( + ) b ( + ) + ( + ) sup ( ) 0 + ( + ) + ( + ) b ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) b buluur. Burada lim sup js (t ; ) j lim! 0 +! b ( + ) + lim! + + olup, ( ) dizisii özellileride lim! + lim! b + lim + +! + + S t ; = 0 elde edilir. Bu durumda olup, Teorem.5. gere¼gice; buluur. Bu da ispat tamamlar. lim sup js (t ; ) j = 0; = 0; ;! 0 + lim sup js (f; ) f ()j = 0! 0 + 7

78 Şimdi (3::) ile ta ml poliomlar dizisii türevleri içi ya sal özellilerii araşt ral m. Ta m 3.. h f () = f ( + h) f () ; h 0 (3..5) ifadesi f fosiyouu otas dai birici far olara ta mlaabilir. Ayr ca her m pozitif tamsay s içi m h f = h m h f olsu. Teorem 3..3 Diferesiyelleebilir bir f fosiyou içi m h f () = h m f (m) ( + mh) ; 0 < < (3..6) gerçeleir. Ispat: Ispat tümevar m metodu ile verelim. f fosiyou (; + h) aral ¼g da diferesiyellebilir oldu¼guda, Ortalama De¼ger Teoremi gere¼gice; f 0 ( + h) = f ( + h) f h () ; 0 < < gerçeleir. Burada f ( + h) f () = hf 0 ( + h) olup, h f () = hf 0 ( + h) ; 0 < < oldu¼guda m = içi ifadei do¼grulu¼gu aç t r. 73

79 m = içi (3::6) ifadesi do¼gru olsu. Yai; hf () = h f () ( + h) ; 0 < < gerçelesi. m = + içi (3::6) ifadesii do¼gru oldu¼guu gösterelim. + h f () = h hf () = h h f () ( + h) olma üzere g () = h f () ( + h) ile ta mla rsa + h f () = h (g ()) = hg 0 ( + h) = h h f () ( + h + h) 0 = h + f (+) ( + ( + ) h) elde edilir. O halde diferesiyelleebilir bir f fosiyou içi (3::6) ifadesi gerçeleir. Not. E¼ger h f () > 0 ise f fosiyou belirtile aral ta artad r. E¼ger hf () > 0 ise f fosiyou ovestir. Teorem 3..4 (3::) poliomlar dizisi içi d m d m S (f; ) = ( ) ::: ( m + ) m b f + b m + + P m C =0 m m (3..7) eşitli¼gi geçerlidir. 74

80 Ispat: d S d (f; ) ifadesi d d S (f; ) = d d =0 P f =0 + + C " d P = + Cf =0 + d P " = + Cf + b #! # P = + Cf =0 + b P + Cf =0 + b = I I (3..8) olara yaz labilir. I ifadesii gözöüe alal m. P I = + Cf =0 + b = P C + f + =0 şelide yaz labilir. ( + )C + ifadesi gözöüe al rsa ( + )C + = ( + ) + =! ( + ) ( + )! ( )! = ( )!! ( )! = C (3..9) 75