MATEMATÝK 1. BÖLÜM. Kümeler

Transkript

1 MATEMATÝK. BÖLÜM Kümeler

2

3 KÜMELER ETKiNLiK KÜME KAVRAMINI PEKÝÞTÝRELÝM Kazaným: Bir kümeyi modelleri ile belirler, farklý temsil biçimleri ile gösterir. Aþaðýdaki gruplardan küme olanlarýn yanýna, küme olmayanlarýn yanýna çiziniz. Sýnýfýmýzdaki gözlüklü öðrenciler Hýzlý koþan hayvanlar Uçamayan kuþlar Lezzetli yemekler Uzun boylu futbolcular Yüzemeyen balýklar Güzel filmler Çiçekli bitkiler Aþaðýdaki kümeleri liste yöntemiyle gösteriniz. M = {Su aygýrý kelimesinin harfleri} M = {S, u, a, y, g, ý, r} SU AYGIRI N = {Mississippi kelimesinin harfleri} N = {M, i, s, p} MÝSSÝSSÝPPÝ O = {6846 sayýsýnýn rakamlarý} O = {, 6, 8,, 4} 6846 P = {Bin beþ yüz sayýsýnýn rakamlarý} P = {,, 0} YÜZ BEÞ BÝN BÝN BEÞ YÜZ 9

4 KÜMELER ETKiNLiK KÜME ÇEÞÝTLERÝNÝ GÖSTERELÝM Kazaným: Bir kümeyi modelleri ile belirler, farklý temsil biçimleri ile gösterir. a) A={Serbest, sýrt üstü, kurbaðalama, kelebek} kümesini Venn þemasý ve ortak özellik yöntemleriyle gösteriniz. A Serbest Sýrtüstü Kurbaðalama Kelebek A = {Yüzme stilleri} b) B={SÝLGÝ kelimesinin harfleri} kümesini Venn þemasý ve listeleme yöntemleriyle gösteriniz. B B = {s, i, l, g} s i l g c) C k ð ý a t C kümesini ortak özellik ve listeleme yöntemleriyle gösteriniz. C = {kaðýt kelimesinin harfleri} C = {k, a, ð, ý, t}! Alman matematikçi Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ( Mart 84-6 Ocak 98) kümeler kuramýnýn kurucusudur. Kümeler arasýnda birebir eþlemenin önemini ortaya koymuþ, sonsuz küme kavramýna matematiksel bir taným getirmiþtir. d) D = {Sýnýfýmýzdaki gözlüklü öðrenciler} kümesini Venn þemasý ve listeleme yöntemleriyle gösteriniz. D Ayþe Fatma Eren Hakan D = {Ayþe, Eren, Fatma, Hakan} e) E = {Teyzelerim} kümesini Venn þemasý ve listeleme yöntemleriyle gösteriniz. E Gönül Bahar E = {Gönül, Bahar} 0

5 KÜMELER ETKiNLiK ELEMANLARI ve ELEMAN SAYILARINI BULALIM Kazaným: Bir kümeyi modelleri ile belirler, farklý temsil biçimleri ile gösterir. A a g d c h z B Yandaki A ve B kümelerine göre aþaðýdaki boþluklara veya iþaretlerinden uygun olaný yazýnýz. y a A a B h A d B k A c B y B g B c A f B! Cantor dan önce sonsuzluk kavramý matematikte sadece sonlunun karþýtý olarak bilinirdi. Cantor sonsuzluk kavramýna gerçek boyutunu kazandýrmýþtýr. Örneðin; doðal sayýlar kümesinin elemanlarý sonsuza gittiði için sayýlabilir sonsuz kümenin temel örneðidir. Aþaðýdaki kümelerin eleman sayýlarýný bulunuz. C = {0 dan küçük doðal sayýlar} s(c) = 0 D = {Yaz aylarý} s(d) = E = {Haftanýn S harfi ile baþlayan günleri} s(e) = F = {Sýnýfýmýzdaki öðrenciler} s(f) = 8 G = {Uçan inekler} s(g) = 0 H = {Türkiye nin bölgeleri} s(h) = 7 I = { ile arasýndaki çift sayýlar} s(i) = 0

6 KÜMELER ETKiNLiK 4 BOÞ KÜME ve EVRENSEL KÜMEYÝ ÝNCELEYELÝM Kazaným: Kümelerle birleþim, kesiþim, fark ve tümleme iþlemlerini yapar ve bu iþlemleri problem çözmede kullanýr. Aþaðýdaki kümeler için yanlarýna birer evrensel küme yazýnýz. A = { KÜME kelimesinin harfleri } E = { Alfabemizdeki harfler } B = {, 0, 8 } E = { Doðal sayýlar } C = { Sahra Çölü } E = { Çöller } D = { Venüs, Mars } E = { Gezegenler } Boþ kümeye adet örnek veriniz. { Konuþan sinekler } { Uçan filler } { Beþ bacaklý insanlar } Küme olmayan gruplara adet örnek veriniz. { Uzun boylu aktörler } { Güzel kýzlar } { En zevkli dersler }! Günümüzde Cantor un fikirleri matematikçilerin büyük çoðunluðu tarafýndan doðru kabul edilmekte ve matematik tarihinin en önemli paradigma deðiþimlerinden biri olarak tanýnmaktadýr. E A E B E C Yukarýdaki Venn þemasýnda E A Yukarýdaki Venn þemasýnda E B Yukarýdaki Venn þemasýnda E \ C kümesini boyayýnýz. kümesini boyayýnýz. kümesini boyayýnýz.! David Hilbert Cantor un matematik cennetinden bizi kimse kovamayacaktýr. diyerek Cantor un matematik bilimine katkýlarýnýn önemini vurgulamýþtýr.

7 KÜMELER ETKiNLiK BOÞ KÜME ve EVRENSEL KÜME ÝLE ÝÞLEM YAPALIM Kazaným: Kümelerle birleþim, kesiþim, fark ve tümleme iþlemlerini yapar ve bu iþlemleri problem çözmede kullanýr. E evrensel küme, boþ küme ve A kümesi elemanlý bir küme olduðuna göre aþaðýdaki iþlemleri yapýnýz. E A = A A = E = E E A = E A = Δ E = ý = E E ý = \ E = s(a ) = s(a ) = Ο s(a A) = Aþaðýdaki evrensel kümeler için yanlarýna birer küme yazýnýz. E = {Aðaç türleri} M = { meþe, çam } E = {Kuruyemiþ çeþitleri} N = { fýndýklý, fýstýklý, badem } E = {Afrika kýtasý ülkeleri} O = { fas } E = {Türkiye nin gölleri} P = { Tuz gölü, Beyþehir gölü } E = {Meyveler} R = { Çilek, muz, kivi } E = {Köpek cinsleri} S = { kaniþ, labrador } Aþaðýdaki kümeler için birer evrensel küme yazýnýz A = {,, 7} E = { Rakamlar } B = {Kýzýlýrmak} E = { Türkiye nin akarsularý } C = {a, b, c} E = { Alfabemizdeki harfler } D = {Marmara Adasý} E = { Türkiye nin adalarý } E = {Venedik, Milano} E = { Ýtalya nýn þehirleri } F = {Üçgen, Kare, Yamuk} E = { Geometrik þekiller }

8 KÜMELER ETKiNLiK 6 VENN ÞEMASINDA GÖSTERELÝM Kazaným: Kümelerle birleþim, kesiþim, fark ve tümleme iþlemlerini yapar ve bu iþlemleri problem çözmede kullanýr. Aþaðýda ifade edilen kümeleri Venn þemalarýnda boyayýnýz. A C D E F B A Ç B C \ D E Ç F G J I K L H G È H I \ J L ý E E E M P N R S T U E \ (M È N) (PÇ R) ý (S Ç T) È (T È U) E E E V A B Y C D F (VÈY) ý (A \ B) È (C \ B) (F D) ý \ 4

9 KÜMELER ETKiNLiK 7 VENN ÞEMASINDAKÝ ÝÞLEMÝ YAZALIM Kazaným: Kümelerle birleþim, kesiþim, fark ve tümleme iþlemlerini yapar ve bu iþlemleri problem çözmede kullanýr. Aþaðýdaki kümelerin boyalý yerlerini örnekteki gibi ifade ediniz. A B D E F C A B D \ C... E Ç F G H I J L K M N O... (H \ I) È (I \ H)... (L Ç K) ý... [(M Ç N) È (N Ç O)] ý S U Z V R T X W Y... S \ (R È T)... (U Ç V) \ Y... X Ç (Z Ç W) A B C D E F G H... B \ A... E ý È (D Ç E)... (E Ç G) È H)

10 KÜMELER ETKiNLiK 8 BÝRLEÞÝM ve KESÝÞÝM ÝÞLEMLERÝNÝ UYGULAYALIM Kazaným: Kümelerle birleþim, kesiþim, fark ve tümleme iþlemlerini yapar ve bu iþlemleri problem çözmede kullanýr. K L Yandaki K ve L kümelerine göre aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz. K L = {, 4, 6, 8, 0, } s(k L) = 6 K L = {0} s(k L) = S = {0,, 4, 6, 8} T = {,,, 7, 9} Yukarýdaki S ve T kümelerine göre aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz. S T = {0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9} s(s T) = 0 S T = { } s(s T) = 0 V Y Yandaki V, Y ve Z kümelerine göre aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz. Z V Y = {,,,,, } V Z = {,,,,, } Y Z = {,,,,, } V Y Z = {,,,,,, } V Y = {, } V Z = {, } Y Z = {, } V Y Z = { } 6

11 KÜMELER ETKiNLiK 9 FARK ve TÜMLEME ÝÞLEMLERÝNÝ UYGULAYALIM Kazaným: Kümelerle birleþim, kesiþim, fark ve tümleme iþlemlerini yapar ve bu iþlemleri problem çözmede kullanýr. Ý S Yandaki kümelerde Ý \ S kümesini mor, S \ Ý kümesini kýrmýzý renkle boyayýnýz. Aþaðýdaki kümelerin belli bir evrensel kümeye göre tümleyenlerini ortak özellik yöntemleriyle yazýnýz. A = { Alfabemizdeki sessiz harfler } B = {,,, 7, 9} C = { Sýnýfýmýzdaki erkek öðrenciler } D = { Sarý renkli meyveler } A ý = {Alfabemizdeki sesli harfler} B ý = {Çift rakamlar} C ý = {Sýnýfýmýzdaki kýz öðrenciler} D ý = {Sarý renkli olmayan renkler} E F Yandaki E ve F kümelerine göre F ý kümesini boyayýnýz ve liste yöntemiyle yazýnýz. F ý = {,, } E G H Yandaki E, G ve H kümelerine göre G \ H kümesini sarýya, H \ G kümesini yeþile boyayýnýz. Bu kümeleri liste yöntemiyle yazarak eleman sayýlarýný belirleyiniz G \ H= {} s(g \ H) = H \ G= {} s(h \ G) = 7

12 KÜMELER ETKiNLiK 0 DENK KÜME, EÞ KÜME ve AYRIK KÜMELERÝ BULALIM Kazaným: Kümelerle birleþim, kesiþim, fark ve tümleme iþlemlerini yapar ve bu iþlemleri problem çözmede kullanýr. A = {Gökkuþaðýndaki renkler} kümesine denk, eþ ve ayrýk birer küme yazýnýz. B = {,,, 4,, 6, 7} C = {Kýrmýzý, Turuncu, Sarý, Mavi, Yeþil, Mor, Lacivert} D = {Üçgen, Kare} B Yandaki B kümesine denk, eþ ve ayrýk birer küme yazýnýz. C = {a, b, c, d} D = {,,, } E = {Marmara, Ege, Akdeniz} Aþaðýdaki cümlelerdeki boþluklarý uygun sözcüklerle doldurunuz. s(a B) = 0 ise bu kümeler ayrýk kümelerdir. A ve B kümelerinin tüm elemanlarý ayný ise bu kümeler eþ kümelerdir. s(a) = s(b) ise bu kümeler denk kümelerdir. C = {Marmara Bölgesi ndeki iller} kümesine denk olan bir kümeyi Venn þemasý, ortak özellik ve listeleme yöntemleriyle yazýnýz. D = {0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9, 0} D = { den küçük doðal sayýlar} D Ayrýk iki kümeye listeleme yöntemleriyle örnek veriniz. Örneðinizi Venn þemasýyla gösteriniz. G = {a, e, ý} H = {b, c, d} G a e H b c ý d 8

13 KÜMELER ETKiNLiK ALT KÜMELERÝ BULALIM Kazaným: Bir kümenin alt kümelerini belirler. A = {Kale kelimesinin harfleri} kümesinin alt kümelerini yazýnýz. 0 elemanlý elemanlý elemanlý elemanlý 4 elemanlý { } {k} {a} {l} {e} {k, a} {k, l} {k, e} {a, l} {a, e} {l, e} {k, a, l} {k, a, e} {k, l, e} {a, l, e} {k, a, l, e} Kaç tane alt küme buldunuz? 6 B= {,, } kümesinin alt kümelerini yazýnýz. 0 elemanlý elemanlý elemanlý elemanlý {s} {s, n} { } {n} {s, Æ} {s, n, Æ} {Æ} {n, Æ} Kaç tane alt küme buldunuz? 8 C = {Dünyadaki canlýlar} kümesine ait alt küme yazýnýz. {alabalýk, lüfer, hamsi} {kaplumbaða, kurbaða} {insan} D = {Asya ülkeleri} kümesine ait alt küme yazýnýz. {Çin, Japonya} {Hindistan} { } E = {Uçamayan kuþlar} kümesine ait alt küme yazýnýz. {devekuþu} {penguen} {devekuþu, penguen} F = {Çölde yaþayan hayvanlar} kümesine ait alt küme yazýnýz. {deve, akbaba, akrep, örümcek} {deve, akrep} {örümcek, akbaba} 9

14 KÜMELER ETKiNLiK ALT KÜMELERÝ BULALIM Kazaným: Bir kümenin alt kümelerini belirler.. A Yandaki Venn þemasýna göre aþaðýdaki ifadelerden doðru olanlara yanlýþ olanlara yapýnýz. B 4 A Ì B 7 {} Ì A {, 4, } Ì A B Ì A {} Ì B {, } Ì B 7 A Ì A {, 4, } Ì A {4, } Ì B 7. s(a) = 7 ve A B olduðuna göre s(b) en az kaç olabilir? 7. s(a) = 8, A B ve A B olduðuna göre s(b) en az kaç olabilir? 9 4. s(a) =, A B ve B A olduðuna göre s(b) en çok kaç olabilir?. A, B ve C farklý üç küme olmak üzere A B C olduðu bilindiðine göre aþaðýdaki boþluklarý doldurunuz. A Ç A = A B \ C = Æ A Ç C = A B È A = B A È B È C = C A \ C = Æ A È A = A B Ç C = B A \ B = Æ A È C = C C È B = C C \ C = Æ 40

15 KÜMELER ETKiNLiK KÜME PROBLEMLERÝ ÇÖZELÝM Kazaným: Kümelerle birleþim, kesiþim, fark ve tümleme iþlemlerini yapar ve bu iþlemleri problem çözmede kullanýr.. 4 arkadaþýn tümü müzik veya resimle ilgilenmektedir. Müzikle ilgilenen 9, resimle ilgilenen 8 kiþi olduðuna göre her iki sanat dalýyla ilgilenen kaç kiþi vardýr? M R = =. Bir apartmanda oturan 0 kiþinin tamamý bayram tatili için Kapadokya veya Pamukkale den en az birine gidecektir. Kapadokya ya gidecek 8 kiþi, Pamukkale ye gidecek 6 kiþi olduðuna göre her iki tatil beldesine gidecek kaç kiþi vardýr? K P = = 4. s(a \ B) = 7, s(b \ A) = ve s(a B) = 40 olduðuna göre s(a B) kaçtýr? A 7 B 7 + = = 40 A) Bir dil okulundaki öðretmenlerin tümü Ýngilizce bilmektedir. 9 öðretmen Fransýzca, öðretmen Ýtalyanca ve 4 öðretmen yalnýz Ýngilizce bilmektedir. Her üç dili de bilen öðretmen olduðuna göre bu dil okulunda kaç öðretmen vardýr? Ý F T = B) Bir yüzme takýmýndaki sporcularýn tümü kurbaðalama yüzebilmektedir. 4 sporcu kelebekleme, 8 sporcu sýrt üstü ve 9 sporcu yalnýz kurbaðalama yüzebilmektedir. 4 sporcu ise üç stilde de yüzebildiðine göre bu takýmda kaç sporcu vardýr? K E S = C) s(a B) = 4, s(b \ A) = 9 ve s(a B) = s(a \ B) olduðuna göre s(a B) kaçtýr? A B x + 9 = 4 x x 9 x = x = 6 4

16 KÜMELER ETKiNLiK 4 KÜME PROBLEMLERÝ ÇÖZELÝM Kazaným: Kümelerle birleþim, kesiþim, fark ve tümleme iþlemlerini yapar ve bu iþlemleri problem çözmede kullanýr. Sadece kuru fasülye ve pilav yapan bir lokantada yemek yiyen 6 kiþinin 0 u yalnýz kuru fasulye ve 0 si yalnýz pilav yemiþtir. Buna göre, hem kuru fasulye hem pilav yiyen kaç kiþi vardýr? F P 6 0 = s(a B) =, s(a B) = 8 ve s(a) = s(b) olduðuna göre, s(a\b) kaçtýr? A x x B x + = 8 x = 6 x = 0 kiþilik bir arkadaþ grubunda sadece gitar kursuna giden 7, sadece saz kursuna giden 8 ve iki kursa gitmeyen kiþi olduðuna göre, her iki kursa da giden kaç kiþi vardýr? = G 7 8 S Bir grup sporcu basketbol ve voleyboldan en az birini oynamaktadýr. Hem voleybol hem baskebol oynayan 0, voleybol oynayan ve basketbol oynayan 7 sporcu olduðuna göre, grupta kaç sporcu vardýr? V B = s(a\b) = 7, s(b\a) = ve s(a B) = olduðuna göre, s(a B) kaçtýr? A 7 B 9 4

17 MATEMATÝK. BÖLÜM Bölünebilme Kurallarý ve Kesirler

18

19 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK KALANSIZ BÖLÜNEN SAYILARI BULALIM Kazaným: Bölünebilme kurallarýný açýklar. Aþaðýdaki balonlardan üzerinde ye kalansýz bölünen sayý yazanlarý renkli kalemle boyayýnýz Aþaðýdaki tabelalardan üzerinde e kalansýz bölünen sayý yazanlarý renkli kalemle boyayýnýz Aþaðýdaki sayýlarý kalansýz bölünebildikleri sayýlarla eþleþtiriniz ile bölünebilen üç basamaklý üç sayý yazýnýz ile bölünebilen dört basamaklý dört sayý yazýnýz

20 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK KALANLI BÖLÜNEN SAYILARI BULALIM Kazaným: Bölünebilme kurallarýný açýklar Yukarýdaki sayýlardan ile bölündüðünde kalanýný veren sayýlarýn bulunduðu kutularý iþaretleyiniz. Aþaðýdaki sayýlardan 6 ya kalanlý bölünenlerin yanýna yapýnýz ile bölündüðünde 4 kalanýný veren beþ basamaklý üç sayý yazýnýz Bir sayýnýn 8 ile bölümünden kalabilecek sayýlar yazýnýz. 0,,,, 4,, 6, sayýsýnýn 9 ile bölümünden kalan kaçtýr? 7 76 sayýsýnýn ile bölümünden kalan kaçtýr? 87 sayýsýnýn 9 ile bölümünden kalan kaçtýr? 07 sayýsýnýn 4 ile bölümünden kalan kaçtýr? sayýsýnýn ile bölümünden kalan kaçtýr? sayýsýnýn 0 ile bölümünden kalan kaçtýr? 9 46

21 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK BÖLÜNEBÝLME SORULARINI ÇÖZELÝM Kazaným: Bölünebilme kurallarýný açýklar. 7a sayýsýnýn e bölümünden kalan sýfýr olduðuna göre, a yerine hangi rakamlar yazýlabilir? 0 + a = k 8 6a sayýsý 4 e tam bölünebildiðine göre, a yerine yazýlabilecek rakamlar kümesini yazýnýz.,,, 7, 9 78a sayýsýnýn e bölümünden kalan olduðuna göre, a yerine yazýlabilecek rakamlarý bulunuz., 8 6ab sayýsýnýn 0 a bölümünden kalan 4 ve 9 a tam bölünebildiðine göre, a kaçtýr? 6a4 + a 6 4aa sayýsýnýn e kalansýz bölünebilmesi için a nýn alabileceði deðerle kümesini yazýnýz? 7 + a = k {, 7} 7 67a sayýsýnýn 4 e bölümünden kalanýn olmasý için a nýn alabileceði deðerler toplamý kaçtýr? =0 9a8 sayýsýnýn 4 e tam bölünebilmesi için a yerine yazýlabilecek rakamlarýn toplamý kaçtýr? = 0 aaa sayýsýnýn 9 a tam bölünebilmesi için a yerine yazýlabilecek rakamlar kümesini yazýnýz. {, 6, 9} 47

22 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 4 ORTAK ELEMANLARI BULALIM Kazaným: Doðal sayýlarýn çarpanlarýný ve katlarýný belirler. A = { den 0 ye kadar olan 4 ün katlarý} B = { den 0 ye kadar olan ün katlarý} A ve B kümelerini Venn þemasýyla gösterip A B kümesinin eleman sayýsýný belirtiniz. A B s(açb) = C = { e kalansýz bölünebilen iki basamaklý sayýlar} B = { ye kalansýz bölünebilen iki basamaklý sayýlar} C ve D kümelerini Venn þemasýyla gösterip C D kümesinin eleman sayýsýný belirtiniz. C D s(cçd) = 9 E = { ile 4 arasýndaki 0 un katý olan sayýlar} B = { ile 68 arasýndaki ün katý olan sayýlar} Yukarýdaki bilgiye göre E F kümesini liste yöntemiyle yazýnýz. EÇF = {0, 60, 90, 0, 0} Aþaðýdaki cümlelerdeki noktalý yerleri doldurunuz. e bölünebilen sayýlar hem hem de ile bölünürler. 6 ya bölünebilen sayýlar hem hem de ile bölünürler. 0 a bölünebilen sayýlar hem hem de ile bölünürler. 48

23 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK ASAL ve ARALARINDA ASAL SAYILARI BULALIM Kazaným: Asal sayýlarý belirler. Aþaðýdaki kutulardan içinde asal sayý olanlarý renkli kalemle boyayýnýz ! Öklit ten beri asal sayýlarýn sonsuz tane olduðu kabul edilir. Asal sayýlarla ilgili pek çok soru günümüzde hala cevaplanamamýþtýr. Asýrlardýr asal sayýlar üzerinde bir çok teorem ve formül ortaya atýlmýþtýr. Fakat bunlarýn hepsinin yanlýþ olduðu kanýtlanmýþtýr. Aþaðýdaki sayýlarý iki asal sayýnýn toplamý þeklinde yazýnýz. 8 = = + = + 0 = = = + 7 Aþaðýdaki sayý çiftlerinden aralarýnda asal olanlarýn kutularýný boyayýnýz. 6 ve 0 4 ve 9 9 ve 7 ve 6 7 ve 8 40 ve 00 4 ve 4 60 ve ve 99 49

24 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 6 ÇARPAN AÐACI ÇÝZELÝM Kazaným: Doðal sayýlarýn çarpanlarýný ve katlarýný belirler.! Sayý, bir düþünce aracýdýr. Sayýlar sayma iþleminin arkasýndaki fikirdir. Fiziksel olarak bir þey sayýlarla ifade edilemiyorsa, bilimsel deðildir. Bugün kullandýðýmýz rakamlara Hint Arap rakamlarý denir. Aþaðýdaki sayýlarýn çarpan aðaçlarýný çiziniz Aþaðýdaki çarpan aðaçlarýndaki boþluklarý doldurunuz

25 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 7 BÖLEN LÝSTESÝ OLUÞTURALIM Kazaným: Doðal sayýlarýn çarpanlarýný ve katlarýný belirler.! Sýfýr sayýsýnýn hem Hindistan da hem de Mayalar tarafýndan icat edildiði sanýlýyor. M.Ö.. yüzyýla kadar sýfýr yerine boþluk býrakýyorlardý. Boþluk, sayýlarý ayýrmak için de kullanýldýðýndan akýl karýþtýrýcý yönü dolayýsýyla sýfýr yerine nokta koymaya baþladýlar. Bizim bildiðimiz sýfýrýn kullanýlmaya baþlanmasý M.S. 7. yüzyýla rastlar. Aþaðýdaki sayýlarýn bölen listelerini oluþturunuz Aþaðýda bölen listeleri verilen sayýlarý bulunuz

26 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 8 EBOB ve EKOK HESAPLAYALIM Kazaným: Doðal sayýlarýn ortak bölenleri ile ortak katlarýný belirler ve problemlere uygular. Aþaðýda istenen EBOB ve EKOK deðerlerini bulunuz. (8,4) ebob =. =6 8 4 * (8,4) ekok =. = 8.9 = 7 9 * 4 (60,00) ebob =. = * (60,00) ekok =. = * 40 0 * 0 * 4 4 (,7) ebob = 7 (,7) ekok =..7 = (8,, 6) ebob = = * (8,, 6) ekok = 4. = * 4 Aralarında asal iki sayının ebob değeri ekok değeri ise bu iki sayının çarpýmlarýdýr. 8 ve x sayýlarý aralarýnda asaldýr. (8, x) ekok = 40 olduðuna göre, x kaçtýr? 8.x = 40 x =

27 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 9 EBOB ve EKOK PROBLEMLERÝ ÇÖZELÝM Kazaným: Doðal sayýlarýn ortak bölenleri ile ortak katlarýný belirler ve problemlere uygular. Bir bakkal aldýðý 8 kg baldo ve kg osmancýk pirincini birbirine karýþtýrmadan eþit miktarda pirinç içeren poþetlere koyacaktýr. Bir poþet en fazla kaç kg pirinç içerir? En az kaç poþet kullanýlýr? 8 6 Ayný duraktan kalkan minibüs dakika, 48 dakika ve 6 dakikalýk seferler yapmaktadýr. Bu minibüsler ilk kalkýþtan kaç dakika sonra durakta buluþurlar? Bu minibüsler ilk kalkýþtan kaç dakika sonra. kez durakta buluþurlar?.88 = ekok(, 48, 6) =. = * =6+7= ebob(8, ) = Kýsa kenarý 0 m ve uzun kenarý 9 m olan dikdörtgen þeklindeki bahçenin etrafýna ve köþelerine eþit aralýklarla lamba takýlacaktýr. En az kaç lamba takýlýr? Lambalar en fazla kaç metre aralýklarla takýlýr? 6 * * abob(0, 9) =. = 6 Ç =.(0 + 9) = / 6 = 0 0, ve 48 e bölündüðünde her defasýnda kalanýný veren 600 den büyük en küçük sayý kaçtýr? ekok(0,, 48) = 4.. = = 400

28 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 0 KESÝRLERÝ SIRALAYALIM Kazaným: Kesirleri karþýlaþtýrýr, sýralar ve sayý doðrusunda gösterir. Aþaðýdaki kesirleri çiziniz ve hangisinin yarýma daha yakýn olduðunu bulunuz Aþaðýdaki kesirleri çiziniz ve hangisinin tama daha yakýn olduðunu bulunuz Aþaðýdaki sayý doðrularýnda çiçek açmýþ kesirleri altlarýna yazýnýz

29 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK ÞEKÝLLE VERÝLEN KESÝRLERÝ KARÞILAÞTIRALIM Kazaným: Kesirleri karþýlaþtýrýr, sýralar ve sayý doðrusunda gösterir. Aþaðýdaki þekillerde boyalý kýsýmlara karþýlýk gelen kesirleri yazýnýz. ( ) ( ) 4 ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 6 ( ) 8 Yukarýda bulduðunuz kesirlerle 0 kesrini karþýlaþtýrýnýz. > 0 < 4 0 > 8 0 < 8 0 > 0 > 0 > 6 0 > 8 0 Yanda modellenen ve harflerle adlandýrýlan kesirleri büyükten küçüðe doðru sýralayýnýz. A B C D 4 A= B= C= D= 6 4 (4) () (6) () A= B= C= D= D>B>C>A

30 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK KESÝRLERÝ SIRALAYALIM Kazaným: Kesirleri karþýlaþtýrýr, sýralar ve sayý doðrusunda gösterir. A B C D Yukarýda harflerle adlandýrýlmýþ kesirleri küçükten büyüðe doðru sýralayýnýz A= B= C= D= = A<B<D<C () () (4) () 8 6 A= B= C= D= Yukarýdaki arabalarý üzerlerinde yazan kesirlere göre küçükten büyüðe doðru park ediniz. 4 < < < 4 4,,, kesirlerini büyükten küçüðe doðru sýralayýnýz. 4 > > > n l s s 0 4 Yukarýdaki sayý doðrusunda kesirlerle eþleþtirilmiþ sembolleri büyükten küçüðe doðru sýralayýnýz = 4 = = = > > >

31 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK KESÝRLERLE TOPLAMA ÝÞLEMÝ YAPALIM Kazaným: Kesirlerle toplama ve çýkarma iþlemlerini yapar. Aþaðýdaki toplama iþlemlerini yapýnýz = + = = () () = + = = () = + = = () (4) = = () () 9+ + = = 4 6 () () = + = = () = + = (4) = = (7) () + 0 iþlemini modelleyiniz. + Yanda modellenen toplama iþlemini yazýnýz = Aþaðýdaki iþlemleri yapýnýz = () () () = 6 6 = = (4) () () = = () () = 7 4 7

32 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 4 KESÝRLERLE ÇIKARMA ÝÞLEMÝ YAPALIM Kazaným: Kesirlerle toplama ve çýkarma iþlemlerini yapar. Aþaðýdaki çýkarma iþlemlerini yapýnýz. 9 7 = = = 6 6 () () 4 = = = () = = = () (4) 4 7 = = (4) = = 6 () 8 6 = = () (7) 7 = 6 () 7 6 = = = = () (9) 4 iþlemini modelleyiniz. Yanda modellenen çýkarma iþlemini yazýnýz. 7 = 4 Aþaðýdaki iþlemleri yapýnýz = + = = = (6) () (0) + = = = = = 4 (6) () = 7 = = (4) () 8

33 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK KESÝRLERLE ÇARPMA ÝÞLEMÝ YAPALIM Kazaným: Kesirlerle çarpma iþlemini yapar. Aþaðýdaki çarpma iþlemlerini yapýnýz = = = = = = = = = = 0 = = = Yandaki kutunun içinde 4 iþlemini modelleyiniz. Yanda modellenen iþlemi yazýnýz. 7 Yandaki kutunun içinde 0 6 iþlemini modelleyiniz. A B 0 4 Yukarýdaki sayý doðrusuna göre A.B kaçtýr? 4 = 6 9 = 04 9

34 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 6 KESÝRLERLE BÖLME ÝÞLEMÝ YAPALIM Kazaným: Kesirlerle bölme iþlemini yapar. Aþaðýdaki bölme iþlemlerini yapýnýz. 6 = = = = 8 4 = 4 4 =6 4 = = = = = 4 = = = = 6 iþlemini modelleyiniz Yanda modellenen bölme iþlemini yazýnýz. = 4. 4 =8 Aþaðýdaki iþlemleri yapýnýz. + + = = = = = = = = = = () 60

35 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 7 KESÝRLERLE DÖRT ÝÞLEM YAPALIM Kazaným: Kesirlerle yapýlan iþlemlerin sonucunu strateji kullanarak tahmin eder. Aþaðýdaki iþlemleri sonuçlarýyla eþleþtiriniz = + = = = () () = = = = = 4 4 (4) () () = 4 = = =4+8 = = = = 7 (8) () () = 8 = 4 = = () () = + = = = 8! Kesir kelimesinin Ýngilizcesi olan fraction kelimesi Latincede kýrýlmýþ anlamýna gelen fractus kelimesinden gelmektedir. Ýlk kesirler tam sayýlarýn çarpmaya göre tersleriydi. Araplar ve Hintlilerde kesirleri öðrendiler ve kesir çizgisini ilk kez kullandýlar. 6

36 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 8 KESÝR PROBLEMLERÝ ÇÖZELÝM Kazaným: Kesirlerle iþlemler yapmayý gerektiren problemleri çözer ve kurar. Cengiz aldýðý pizzanýn önce 8 ini sonra ise yarýsýný yemiþtir. Cengiz pizzanýn kaçta kaçýný yemiþtir? = = (4) Hangi sayýnýn inin si 6 dýr? = 6 =8 8.=0 Berra 00 TL olan haftalýk harçlýðýnýn si ile çanta ve iyle kýrtasiye malzemesi almýþtýr. Berra toplam kaç TL 4 harcamýþtýr? Bir merdiven üreticisi bir haftada ürettiði merdivenlerin ünü Ankara ya, ini Konya ya, ünü 0 0 Nevþehir e ve kalanýný Eskiþehir e göndermiþtir. Üretici merdivenlerin kaçta kaçýný Eskiþehir e göndermiþtir? = = = (4) () 0 00 = 40 TL çanta 40 + = 6 TL 00 = TL malzeme 4 Hangi sayýnýn çeyreðinin 0 = = i 9 dur? Nihal in parasý, Serap ýn parasýnýn ine eþittir. Serap parasýnýn 0 TL sini Nihal e verirse paralarý eþit 6 olacaktýr. Buna göre, Nihal in parasý kaç TL dir? 6x x = 40 Nihal'in parasý: x Birinde 0 TL eksik, diðerin de 0 TL fazla olduðu için x = 40 x = 8 TL Serap'ýn parasý: 6x aralarýndaki fark 40 TL'di r. 6

37 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 9 KESÝR PROBLEMLERÝ ÇÖZELÝM Kazaným: Kesirlerle iþlemler yapmayý gerektiren problemleri çözer ve kurar. Elektrik malzemesi satan Süha Bey 400 m lik kablonun önce ünü, sonra ini satmýþtýr. Süha Bey in 8 geriye kaç m kablosu kalmýþtýr? = 0 m = 80 m = 0 m = 70 m Kaç sayfalýk bir kitabýn inin i 0 sayfadýr? 8 9 = 0 =.7=44sayfa Bir sýnýftaki öðrencilerin i voleybolla, i basketbolla ve geri kalan 8 kiþi ise futbolla ilgilenmektedir. Sýnýfýn mevcudu kaç 6 kiþidir? 6 () = = = 8 9 = 0. = 60 (6) litre limonatanýn ü limon suyu, þeker ve geri kalaný sudur. Buna göre, limonatanýn kaç ml si 0 sudur? litre = 000 ml 000 = 00 ml limon suyu 000 = 00 ml ºeker = = 7 00 ml su 0 7 Metin 600 km yolun önce ini sonra kalan yolun sini gidiyor. Buna göre, Metin in kaç km yolu 4 0 kalmýþtýr? = 0 km = 40 km 40 = km 40 = km L su litrelik þiþelere doldurulursa kaç þiþe kullanýlmýþ olur? 6 4 = 4 6 =

38 BÖLÜNEBİLME KURALLARI ve KESİRLER ETKiNLiK 0 KESÝR PROBLEMLERÝ ÇÖZELÝM Kazaným: Kesirlerle iþlemler yapmayý gerektiren problemleri çözer ve kurar. Aysun 60 sayfa olarak hazýrlamasý gereken tezinin önce çeyreðini sonra ini yazmýþtýr. Buna göre, Aysun un tezini tamamlamasý için kaç sayfa daha yazmasý gerekir? 60 = 60 = = 60 = sayfa 4 Ceyhun evlenmek için çektiði TL kredinin ünü ödemiþtir. Ceyhun kaç TL daha öderse kredisinin yarýsýný ödemiþ olur? 0000 = = = 4000 TL 0 0 Cem 800 TL maaþýnýn iyle ev kirasýný ödemiþtir. Maaþýnýn kalan kýsmýnýn iyle faturalarýný ödeyen Cem in kaç TL si kalýr? 800 = 600 TL = 00 TL 00 = 40 TL = 960 TL Bülent Bey 00 m olan arsasýnýn sine ev, ine havuz yaptýrmýþtýr. 6 Arsanýn geri kalan kýsmýna çim ektirecek olan Bülent Bey kaç m çim ektirir? 00 = 480 m 00 = 00 m = 680 m = 0 m 6 Neþe Haným ýn kýyafetlerinin yarýsýnýn 7 0 si tanedir. Buna göre, Neþe Haným ýn toplam kaç kýyafeti vardýr? 7=.0=0 0.=60 64

39 MATEMATÝK. BÖLÜM Ondalýk Kesirler

40

41 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK ONDALIK KESÝRLERÝ SIRALAYALIM Kazaným: Ondalýk kesirleri karþýlaþtýrýr ve sýralar. Aþaðýdaki tablodaki boþ alanlarý doldurunuz. 7, 8 4 Basamak adý Onlar Birler Onda Birler Yüzde Birler Binde Birler Basamak deðeri 0 7 0,8 0,04 0,00 Sayý deðeri Aþaðýdaki ondalýk kesirleri küçükten büyüðe doðru sýralayýnýz. 0,78 0,7 0,80 0,87 0,7 0,78 0,80 0,87 < < < ,64,46,4,06,06,4,46, < < <...,,,,,,,, < < < ,07 7,0 0,7 0,7 0,7 0,7,07 7,0 < < <

42 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK ONDALIK KESÝRLERÝ ÇÖZÜMLEYELÝM Kazaným: Ondalýk kesirleri çözümler. Aþaðýdaki ondalýk kesirleri örnekteki gibi çözümleyiniz.,64 = ,08 =.+8 00,64 = ,08 = ,04 = Aþaðýda çözümlemeleri verilen ondalýk kesirleri örnekteki gibi yazýnýz = , = 0, = 0 00 Aþaðýdaki ondalýk kesirleri örnekteki gibi çözümleyiniz. 6,7 = ,7 = = 0, =, ,8 = ,0 = ,07 = ,4 68

43 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK KESÝRLERÝ ONDALIK KESÝRLERE DÖNÜÞTÜRELÝM Kazaným: Kesirlerin ondalýk açýlýmlarýný belirler. Aþaðýdaki kesirleri ondalýk kesre dönüþtürünüz. = =0, 0 () 6 = =0,6 0 () 7 = =0, () = =0, () = =0, 0 () 84 = =0,84 00 (4) 7 4 = =,4 0 () 6 = =,6 0 () 4 = 6 = = 0, 4 00 () = =0, = =0, () = =0, () 7 = 8 = 4 = =0, 0 () 4 = =0,4 0 () Aþaðýdaki ondalýk kesirleri kesre dönüþtürünüz. 68 0,68 =,64 = , = 0,08 = 0, =,0 = ,7 =,00 = ,00 =,07 =

44 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK 4 DEVÝRLÝ ONDALIK KESÝRLERÝ ÝNCELEYELÝM Kazaným: Kesirlerin ondalýk açýlýmlarýný belirler. Aþaðýdaki kesirlerin devirli ondalýk açýlýmlarýný bulunuz. 8 =,6 = 0, 9 6 =,8 8 = 0, = 0,7 =,6 99 Aþaðýdaki sayýlarý devirli olarak yazýnýz., =,6 6, = 6,7 0,... =0, 9, = 9,9, =,4 8, = 8,8 Aþaðýdaki devirli ondalýk kesirlerle devreden sayýlarýný eþleþtiriniz. 0, 4 08,6 4 7,08 4 4,4 6 8,6,0 0,4 70

45 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK ONDALIK KESÝRLERÝ YUVARLAYALIM Kazaným: Ondalýk kesirleri belirli bir basamaða kadar yuvarlar. Aþaðýdaki ondalýk kesirleri istenen basamaklara göre yuvarlayýnýz. Tam Kýsma Göre Onda Birler Basamaðýna Göre Yüzde Birler Basamaðýna Göre,47,,47 4,608 4,6 4,6 7,9 7, 7,0,,, 4,44 4,4 4,4! 4. ve. yüzyýlda yaþamýþ ondalýk kesirleri ilk defa kullanan Türk matematikçi Gýyaseddin Cemþid tir. Ondalýk kesirler keþfedilmeseydi günlük alýþveriþ hesaplarýndan uzay teknolojisinin hesaplanmasýna kadar hemen her alanda sorunlar yaþanýrdý. Aþaðýdaki yuvarlamalardan doðru olanlarýn @,6 6,7 8 9,9 7

46 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK 6 ONDALIK KESÝRLERLE TOPLAMA ÝÞLEMÝ YAPALIM Kazaným: Ondalýk kesirlerle toplama ve çýkarma iþlemlerini yapar. Aþaðýdaki toplama iþlemlerini yapýnýz. 6,4 8,9 6,9,68 +,7 =... 7,8 +, =... 0,7 + 6,9 =...,7, 9,98,07 +,7 =... 4,6 +,4 =... 9,98 + 0,00 =... Aþaðýdaki toplama iþlemlerinde bilinmeyenleri bulunuz. + 7,n8, n9 0, 0 + 0, 7 n6 4, n9, 7 + n, n6 7, n6 8, 9 9, n 4 +, n6 n8 0, 7! 9,07,6 yerine 6 yazýlýrdý. Aþaðýdaki toplama iþlemlerini yapýnýz. Ondalýk iþaretinin kullanýmý M.Ö. 8. yüzyýlda Sümerler e kadar dayanýr. Sümerler de bir sayýnýn tam kýsmý kesirli kýsmýndan ayrý gösterilirdi. Çin matematiðinde bir sayýnýn kesirli kýsmý indirilmiþ rakamlarla gösterilirdi. Örneðin,4 + 0,8 =,7 + =... + =...,78,8 +,0 7

47 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK 7 ONDALIK KESÝRLERLE ÇIKARMA ÝÞLEMÝ YAPALIM Kazaným: Ondalýk kesirlerle toplama ve çýkarma iþlemlerini yapar. Aþaðýdaki çýkarma iþlemlerini yapýnýz.,49,67,8 =... 0, 4,69 =...,4 7,89 4, =... 0,7,69 0,96 =... 0,6, 4,64 =... 0, 8,68 =... Aþaðýdaki çýkarma iþlemlerinde bilinmeyenleri bulunuz. n, n n4, n 8 n7, n0, 7, 8 9, n, n0 6 n, n 8, 6, 9 6, 4, n7! Gýyaseddin Cemþid bir sayýnýn tam kýsmýný siyah, kesirli kýsmýný kýrmýzý renkte yazardý. Ondalýk noktasýnýn ilk kullanýldýðý kaynak olarak 49 yýlýnda Ýtalyan matematikçi Francesco Pellos un yazdýðý Campendio Del Abaco isimli eseri bilinmektedir. Aþaðýdaki çýkarma iþlemlerini yapýnýz. =...,6 0, =... 0,6,8,6 7

48 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK 8 ONDALIK KESÝRLERLE ÇARPMA ÝÞLEMÝ YAPALIM Kazaným: Ondalýk kesirlerle çarpma iþlemini yapar. Aþaðýdaki çarpma iþlemlerini yapýnýz.,6 x, ,00,08 x, ,48,6 x 6, ,40 x 0,00 0,006 x 7,6 x,6,7 6, ! François Viete 79 yýlýnda Canon adlý eserinde farklý yazýlýþlarý kullanýrken binlik iþareti olarak virgülü kullanmýþtýr. Aþaðýdaki çarpma iþlemlerini yapýnýz., x 0,6 = 0,08 x =..., x 0, ,08 x =... 0,7 x 0, = 0,87 0,7 x 0, ,87 74

49 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK 9 ONDALIK KESÝRLERLE BÖLME ÝÞLEMÝ YAPALIM Kazaným: Ondalýk kesirlerle bölme iþlemini yapar. Aþaðýdaki bölme iþlemlerini yapýnýz. 7, 0,0,64 0,8 00 0, , ,4 0, ,00 7, , ! John Napier 67 yýlýnda Rhabdologia adlý eserinde ondalýk iþareti olarak önce virgülü kullanýrken daha sonra noktayý kullanmýþtýr. Devam eden dönemlerde bilim adamlarý tarafýndan çoðunlukla ondalýk kesirler noktayla yazýlmýþtýr. Aþaðýdaki bölme iþlemlerini yapýnýz. 0, , = = 0 = = 0 = = 897 0, 0 0, 0, 00 7, 70, ,4 840 = =80 = = = =0 0, , 0, = 4 =... 4,64 0,04 7

50 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK 0 ONDALIK KESÝR ÝÞLEMLERÝNÝ YAPALIM Kazaným: Ondalýk kesirlerle yapýlan iþlemlerin sonucunu strateji kullanarak tahmin eder. Aþaðýdaki iþlemleri yapýnýz. (0, +,6),04 = 4,,04 =,06,6 0,0 +, = 47 +, = 476, (7, x 0,4) 0, =,88 0, = 4,4 7, 9,6 +,8 = 7,7 +,8 =, x 0,6 0,76 =,8 0,76 = 0,04 8 7,6 +, = 0,4 +, =,9! 8. yüzyýlýn Avrupa kýtasýnda Fransa nýn etkisiyle günlük kullanýmda ve derslerde ondalýk iþareti olarak virgül yaygýnlaþtý. Günümüzde Ýngilizce konuþan bölgeler noktayý, Fransýzca konuþan bölgeler ise virgülü kullanmaktadýr. Aþaðýdaki iþlemleri yapýnýz. 0,64 + 7, 64 7 = + =8+=0 0,08, , = 0, 0,4 40 =8 8=0 4 7,, = = 90 6 = 9 0,08 0,0 8, = =8 =6 0,7, 7 0,0 = 0, 0,0 0 =6 = 4, 8 + = 0,07 0, = =

51 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK ONDALIK KESÝR PROBLEMLERÝ ÇÖZELÝM Kazaným: Ondalýk kesirlerle iþlem yapmayý gerektiren problemleri çözer ve kurar. Tablo: Meyve birim fiyatlarý Meyve Fiyat (TL) Muz,7 Elma,8 Armut,6 Portakal,4 Yandaki tabloda verilen fiyatlarda kg elma, kg muz, 4 kg portakal ve kg armut alan Arife Haným kasaya kaç TL öder?,8. =,46,7. =,7,4.4 = 9,6,6. =,6 +,4 TL Her gün,7 L su içen biri bir haftada kaç L su içer?,7.7 =,9 L Bir restoranda yemek yiyen dört arkadaþa 87,48 TL hesap gelmiþtir. Buna göre, eþit miktarda para verecek olan bu arkadaþlardan her biri kaç TL hesap öder? 87, ,87 TL Kütlesi 76,8 kg olan Gül her hafta,08 kg verirse bir ayýn sonunda kaç kg olur? 4.,08 = 4, kg verir. 76,80 4, + 7,48 kg Naile bisikletiyle 7,6 km uzaklýkta bulunan arkadaþý Yasemin e gidecektir. Naile,06 km gidip yol üzerindeki bakkala, sonra,7 km daha gidip pastaneye uðruyor. Pastaneden sonra Naile nin gidecek kaç km yolu kalmýþtýr?,06 +,7 =,76 7,6,76 =,84 km 77

52 ONDALIK KESİRLER ETKiNLiK ONDALIK KESÝR PROBLEMLERÝ ÇÖZELÝM Kazaným: Ondalýk kesirlerle iþlem yapmayý gerektiren problemleri çözer ve kurar. Rejim yapan Hakan ilk ay, kg, ikinci ay,8 kg kaybetmiþtir. Hakan ýn toplam kg kaybetmesi için üçüncü ay kaç kg vermesi gerekir?, +,7 = 4, 4, = 0,9 kg Bir bankanýn faiz oraný 0,4 ten 0,07 ye düþmüþtür. Bu bankanýn faiz oraný ne kadar azalmýþtýr? 0,4 0,07 = 0,07 6, kg olan cevizin,4 kg ý ile baklava; 4,6 kg ý ile cezerye yapýlmýþtýr. Geriye kaç kg ceviz kalmýþtýr?,4 + 4,6 = 8,0 6, 8,0 = 8,48 kg litre limonatanýn,8 litresi içildiðine göre geriye kaç litre limonata kalýr?,8 =, 8 6,8 TL dört kardeþ arasýnda eþit olarak paylaþtýrýlýrsa her bir kardeþ kaç TL alýr? 6,8 4 = 4, TL Her biri 0,48 L su alan bardaklardan 8 tanesinin doldurmak için kaç L su gerekir? 0,48 8 x,84 L 78

53 MATEMATÝK 4. BÖLÜM Cebir ve Denklemler

54

55 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK CEBÝRSEL ÝFADE OLUÞTURALIM Kazaným: Belirli durumlara uygun cebirsel ifadeyi yazar. Aþaðýdaki cümleleri cebirsel ifadeleriyle eþleþtiriniz. Kardeþim benden yaþ küçüktür. b = k + Burak, Kaan dan yaþ büyüktür. k = b 4 Balýðýn fiyatý, kuþun fiyatýndan TL azdýr. k = b 0 Bidonun aðýrlýðý, kabýn aðýrlýðýnýn katýdýr. k = b Küçük kardeþim, büyük kardeþimden 4 yaþ küçüktür. b = k Kirazýn kalorisi, bezelyenin kalorisinden 0 kcal azdýr. b =.k Kese adedi, banyo havlusu adedinden 9 azdýr. k = b + 6 Kapý adedi, balkon adedinden 6 fazladýr. k = b 9 Aþaðýdaki cümleleri cebirsel ifade olarak yazýnýz. Benim boyum senden cm uzun.... c = b + Benim harçlýðým seninkinden 6 TL fazla.... c = b + 6 Benim yaþým seninkinden büyük.... c = b + Benim ayak numaram senden numara küçük.... b = c Benim Matematik sýnav puaným seninkinden fazla.... b = c + Benim annemin yaþý, senin annenin yaþýndan 4 küçük.... b = c 4 Cem Ali 8

56 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK KATSAYI ve TERÝM SAYILARINI BULALIM Kazaným: Belirli durumlara uygun cebirsel ifadeyi yazar. Cem 0 TL maaþýna ek olarak a TL prim almýþtýr. Cem in kazandýðý paranýn cebirsel ifadesini yazýnýz. 0 + a Bu cebirsel ifadenin terim sayýsý kaçtýr? 0 + = Bu cebirsel ifadenin katsayýlar toplamý kaçtýr?...! Cebir ile ilgili en eski bilgiler M.Ö den kalan eski Mýsýr papirüsleri üzerinde yazýlmýþ olarak bulunmuþtur. Eski Yunan matematikçileri cebir ile geometriyi ortak kullanmýþlardýr! Öklit ve ilk olarak cebirsel semboller kullanan Diophanteus xy = k, x + y = a, x y = a biçimindeki denklemlerin çözümlerini aramýþlardý. Aþaðýdaki tablodaki boþluklarý doldurunuz. Cebirsel Ýfade Terim Sayýsý Katsayýlar Toplamý 7x + x = 6 x + + = x 6 = 4 49x + 8x = 4 4x + 4x + 4 x + 8 x 00x + 00x + x x x 0 8

57 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK CEBÝRSEL ÝFADELERE UYGUN CÜMLE YAZALIM Kazaným: Belirli durumlara uygun cebirsel ifadeyi yazar. Aþaðýdaki cebirsel ifadelere uygun cümleler yazýnýz. x = 8 Paramýn iki katý 8 TL dir. x + y = 6 Armut ve eriklerin sayýlarý toplamý 6 dýr. x = y + Abim benden yaþ büyüktür. x 4 = y Babamýn yaþýnýn 4 eksiði annemin yaþýna eþittir. x = y Harçlýðýmýn iki katý, çantanýn fiyatýna eþittir. x 6 = y Boyum 6 cm kýsa olsaydý, Akýn ile ayný boyda olurdum. y = x + 8 Ablam benden 8 yaþ büyük. x = y Benim harçlýðým, kardeþimin harçlýðýnýn iki katýndan TL azdýr. 6x = y Benim mektuplarýmýn sayýsýnýn 6 katý, Zeynep in mektuplarýnýn sayýsýna eþittir. x = y + 8 Elektrik faturasý, su faturasýndan 8 TL fazla geldi. x y = Ablamla abimin yaþ farký tir. x = y + Gazete sayýsýnýn katý, dergi sayýsýndan fazladýr.! Cebir ismi Arap kökenli Ýslam Alimi El Cabir Bin Hayyam ýn isminden gelir. Bu alim cebirsel ifadeleri, denklemleri bulan ve ilk kullanan bilgindir. Ýngilizce de cebirin karþýlýðý Algebra dýr. Yani adýný El Cabir den almýþtýr. 8

58 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK 4 ÖRÜNTÜNÜN GENEL TERÝMÝNÝ BULALIM Kazaným: Sayý örüntülerini modelleyerek bu örüntülerdeki iliþkiyi harflerle ifade eder. Aþaðýdaki örüntülerin genel terimlerini bulunuz n 8 8 n n 0 0 n n Aþaðýda genel terimleri verilen örüntülerin istenen terimlerini bulunuz. Genel terimi n, 0. terimi.0 = 8 Genel terimi n+6, 9. terimi = 4 Genel terimi n, 6. terimi.6 = 80 Genel terimi 6n, 8. terimi 6.8 = 6 Genel terimi n,. terimi. = Aþaðýdaki þekil örüntülerinde oluþan þeklin sayýsýný veren genel terimi yazýnýz. n Genel terimi:... n Genel terimi:... n Genel terimi:... 84

59 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK ÖRÜNTÜNÜN GENEL TERÝMÝNÝ BULALIM Kazaným: Sayý örüntülerini modelleyerek bu örüntülerdeki iliþkiyi harflerle ifade eder.. Terim. Terim. Terim Yukarýda kibrit çöpleriyle oluþturulmuþ örüntüde kullanýlan kibrit sayýsýnýn genel terimini bulunuz. 6n Bir örüntünün. adýmýnda kaç adet kibrit kullanýlýr? 6. = 69 Bu örüntünün kaçýncý adýmýnda 47 adet kibrit kullanýlýr? 6n = 47 6n = 0 n = Yukarýda karelerle oluþturulmuþ örüntüde kullanýlan kare sayýsýnýn genel terimini bulunuz. n +. Terim. Terim. Terim Bu örüntüye göre aþaðýdaki tabloyu doldurunuz. Terim no Kare sayýsý

60 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK 6 ÜSLÜ SAYILARI KULLANALIM Kazaným: Doðal sayýlarýn kendisi ile tekrarlý çarpýmýný üslü nicelik olarak ifade eder ve üslü niceliklerin deðerini belirler.! Santranç ilk kez M.S. 70 yýllarýnda Hindistan da oynanmýþtýr. Hikayeye göre oyunu bulan rahip Þah a adamlarý ve vezirleri olmadan bir iþe yaramayacaðýný belirtmek istemiþtir. Þah ise bu küstahlýk karþýsýnda Dile benden ne dilersen demiþtir. Rahip, dersini almayan Þah tan oyunun. karesi için,. karesi için,. karesi için 4 ve her kare için bir önceki karenin iki katý kadar buðday istemiþ. Üslü sayýlarýn kuvvetini bilmeyen Þah, rahibe yani 8 kentilyon 446 katrilyon 774 trilyon 7 milyar 709 milyon bin 6 tane buðday ödemeliydi. Bu da bugünkü dünyamýzýn 00 yýllýk buðday üretimine eþit. Aþaðýdaki üslü sayýlarý hesaplayýnýz. 4 =... = 6 7 = 7.7 = 49 0 =.. = 9 = = 79 4 = = 64 4 =... = 8 6 = 6.6 = = = 0000 = =... = 8 = 8 =.. = Aþaðdaki iþlemleri yapýnýz + = = = = = 49 + = = 6 + = 9 = 8 7 = 4 6 = 6 = + 8 = = 7 4 = 64 = = =. Terim. Terim. Terim 4. Terim Yukarýdaki örüntünün genel terimi karesel sayýlardan oluþturulmuþtur. Bu örüntünün genel terimini yazýnýz. n Bu örüntünün. ve. terimlerinin toplamýný bulunuz. = = =6 86

61 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK 7 CEBÝRSEL ÝFADELERÝ MODELLEYELÝM Kazaným: Eþitliðin korunumunu modelle gösterir ve açýklar. + Yandaki cebirsel modelleri kullanarak aþaðýdaki cebirsel ifadeleri modelleyiniz. x x y y x x + y x y x + 8 y x + y x + y y x + 4 y 4 x y x 6 y! Platon (Eflatun) un bir arkadaþý Platon un kitaplarýný temize geçerken matematikte karþýlaþtýðý Yunan sembolleri yerine Avrupa da en az kullanýlan harfler olan x ve z den birini kullanmak istemiþ. Platon bu iki harf arasýndan x i seçmiþ ve kitaplarýnda bilinmeyen olarak hep x i kullanmýþtýr. 87

62 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK 8 DENKLEMLERÝ TANIYALIM Kazaným: Eþitliðin korunumunu modelle gösterir ve açýklar. Denklemi açýklar probleme uygun denklemleri kurar. Aþaðýdaki ifadelerden denklem olanlarýn yanýna, olmayanlarýn yanýna yapýnýz. x+y = 6 x y = 9 x + 6y 4x + x x 4 = 0 x + 6 = x y 6 = 0 y = 6 y = 4x x y = 0 Aþaðýdaki eþit kollu teraziler dengede olduðuna göre, bilinmeyen kütleleri bulunuz. kg kg kg x x x kg kg x x 6 = x = x x + = = x 4 kg 4 kg kg x kg x x x 6 kg 6 kg = x + = x x = x = 4! François Viete (40 60) 40 yýlýnda Fontenay le Comte da Fransa da doðmuþtur. Ýyi bir eðitim almýþ, hukuk öðrenimi görmüþtür. Viete, profesyonel bir matematikçi olmamasýna raðmen denklemlerde sayýlarý harflerle gösteren ilk matematikçilerdendir. Pozitif ve negatif nicelikler için (+) ve ( ) iþaretlerini kullanmýþtýr. Aþaðýdaki denklemleri çözünüz. x = 6 x = 4 x 4 = 6 x = x = x = x = 0 x + 8 = x = 0 x = 9 6 x = 0 x + 9 = x x 6 = 6 x = x = 6 9 = x x = 8 x = x 8 = 7 x = x + 8 = x x = x = 6 x = 6 x = 6 x = 4 x = 8 = x 88

63 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK 9 DENKLEMLERÝ ÇÖZELÝM Kazaným: Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer. Aþaðýda modellenen denklemleri yazýp bilinmeyenleri bulunuz. x x = x x x = x x x + 6 = 0 x = 4 x = 7 x = x + 6 x = 6 x x x x = x = x x 4 4 = 4x 8x = x x = x + 0 x = 0 Aþaðýdaki denklemlerin köklerini bulunuz. x = 0 x 0 = 60 x = x = 80 x = 6 x = 6 x 6 = 8 x = 4 x = x + 8 = 47 x + = 4 x = 9 x = x = x 6 = x x x = 6 x = 6 0. x = 400 x = 40 x = x = 0 x = 4x + = 60 x = x = 8 4x = 0 x = 60 x = 0 x = 89

64 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK 0 DENKLEM KURARAK PROBLEM ÇÖZELÝM Kazaným: Denklemi açýklar, problemlere uygun denklemleri kurar. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer. Hangi sayýnýn katý 0 dir? x = 0 x = Selin kitaplarýnýn 7 tanesini okuyunca geriye okunacak kitabý kalýyor. Buna göre Selin in kaç kitabý vardýr? x 7 = x = 9 Annemin yaþýnýn katý, 00 den 0 eksik olduðuna göre, annem kaç yaþýndadýr? a = 00 0 a = 70 a = Yaz baþýnda yaptýðý salçanýn katý kadar salça da yaz sonunda yapan Songül Haným ýn toplam 6 kg salçasý olduðuna göre, yaz baþýnda kaç kg salça yapmýþtýr? x + x = 6 x = 6 x = Her gün ayný sayýda soru çözen Serdar bir haftada toplam 7 soru çözmüþtür. Buna göre Serdar, bir günde kaç soru çözmüþtür? 7x = 7 x = Hangi sayýnýn fazlasýnýn yarýsý 0 dir? x + = 0 x + = 40 x = 7 90

65 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK DENKLEM KURARAK PROBLEM ÇÖZELÝM Kazaným: Denklemi açýklar, problemlere uygun denklemleri kurar. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer. Deniz kardeþinden yaþ büyüktür. Kardeþi 4 yaþýnda olduðuna göre, Deniz kaç yaþýndadýr? d = k + d = 4 + = 9 Bir düzine kalem 6 TL olduðuna göre, bir kalemin fiyatý kaç TL dir? k = 6 k = TL Efe nin boyu 68 cm, Halil in boyu ise Efe nin boyundan cm kýsadýr. Buna göre Halil in, boyu kaç cm dir? H = 68 = 6 cm Cenk in bankada 00 TL si vardýr. Cenk bankaya 4 ay boyunca eþit miktarda para yatýrdýktan sonra hesabýnda 640 TL birikmiþtir. Buna göre, Cenk hesabýna her ay kaç TL yatýrmýþtýr? x = 640 4x = 440 x = 0 Aylin istediði çizme için her hafta harçlýðýnýn 0 TL sini kenara koymuþtur. Annesinden de 40 TL alan Aylin 00 TL lik çizmeyi kaç hafta sonra alabilir? x = 00 0x = 60 x = 8 Bir kaptaki eriklerin üç katýnýn yarýsý 8 erik olduðuna göre, kapta kaç erik vardýr? x x = 6 x = = 8 9

66 CEBİR ve DENKLEMLER ETKiNLiK DENKLEM KURARAK PROBLEM ÇÖZELÝM Kazaným: Denklemi açýklar, problemlere uygun denklemleri kurar. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer. Süha Bey 4 yaþýndadýr. Süha Bey in yaþý kýzýnýn yaþýnýn katýndan 6 eksiktir. Buna göre Süha Bey in, kýzý kaç yaþýndadýr? 4 = k 6 60 = k 0 = k Songül Haným ýn maaþý ev kredisinin iki katýndan 400 TL eksiktir. Ev kredisi 00 TL olduðuna göre, Songül Haným ýn maaþý kaç TL dir? m = m = m = 000 TL Serdar üç matematik sýnavýndan toplam 40 puan almýþtýr. Serdar her sýnavýnda bir önceki sýnavýndan 0 puan yüksek not aldýðýna göre, ilk sýnavdan kaç puan almýþtýr? x + x x + 0 = 40 x + 0 = 40 x = 0 x = 70 Selin in kolyelerinin sayýsý, küpelerinin sayýsýnýn yarýsýndan 4 eksiktir. Selin in kolyelerinin sayýsý 0 olduðuna göre, kaç tane küpesi vardýr? k 0 = 4 k 4 = 48 = k Zeynep in boyu kardeþinin boyundan cm uzundur. Zeynep in boyu 74 cm olduðuna göre, kardeþinin boyu kaç cm dir? 74 = k + k = 6 cm 9

67 MATEMATÝK. BÖLÜM Sayýlarla Ýþlemler

68

69 SAYILARLA İŞLEMLER ETKiNLiK TOPLAMA ve ÇARPMA ÝÞLEMLERÝNÝN ÖZELLÝKLERÝNÝ KULLANALIM Kazaným: Doðal sayýlar kümesinde toplama ve çarpma iþlemlerinin özelliklerini uygular. Aþaðýdaki cümlelerde noktalý yerlere uygun sözcükleri yazýnýz. + 0 = 0 + = iþlemi toplama iþleminin etkisiz eleman özelliðine örnektir. (6 + 7) + 8 = 6 + (7 + 8) iþlemi toplama iþleminin birleþme özelliðine örnektir = iþlemi toplama iþleminin deðiþme özelliðine örnektir. 6. =.6 = 6 iþlemi çarpma iþleminin etkisiz eleman özelliðine örnektir..(6.8) = (.6).8 iþlemi çarpma iþleminin birleþme özelliðine örnektir.. =. iþlemi çarpma iþleminin deðiþme özelliðine örnektir olduðundan çýkarma iþleminin deðiþme özelliði yoktur olduðundan çýkarma iþleminin etkisiz eleman özelliði yoktur. 0 (6 ) (0 6) olduðundan çýkarma iþleminin birleþme özelliði yoktur. 0 : : 0 olduðundan çarpma iþleminin deðiþme özelliði yoktur. 4.( ) = iþlemi çarpma iþleminin çýkarma iþlemi üzerine soldan daðýlma özelliðine örnektir. 9

70 SAYILARLA İŞLEMLER ETKiNLiK TOPLAMA ve ÇARPMA ÝÞLEMLERÝNÝN ÖZELLÝKLERÝNÝ KULLANALIM Kazaným: Doðal sayýlar kümesinde toplama ve çarpma iþlemlerinin özelliklerini uygular. Aþaðýdaki eþitliklerde bilinmeyen iþlemleri bulunuz = 6. (6 ) = =0 (0 ). = (0 + ) = (7 + 0) +. (9.) = (.9). 4. (6 + 4) = ( 9) =..9 Aþaðýdaki eþitliklerde bilinmeyenleri bulunuz. + = 60 4 = = 8 8. = : = 4 6 = = = =. 6 7 : 6 =.4 Aþaðýdaki cümlelerde noktalý yerleri uygun sözcüklerle doldurunuz., çarpma iþleminin etkisiz elemanýdýr. 0, toplama iþleminin etkisiz elemanýdýr. 0, çarpma iþleminin yutan elemanýdýr. Bölme iþleminin etkisiz elemaný yoktur. Toplama iþleminin yutan elemaný yoktur. Çýkarma iþleminin etkisiz elemaný yoktur. 96

71 SAYILARLA İŞLEMLER ETKiNLiK ÝÞLEM ÖZELLÝKLERÝNÝ KULLANALIM Kazaným: Doðal sayýlar kümesinde toplama ve çarpma iþlemlerinin özelliklerini uygular. Aþaðýdaki eþitliklerde bilinmeyenleri bulunuz. 6 + ( + 0) = 6 + ( + 0). 4 = = = 9 9( + ) = = = = 0 (4 + 7). = (4 4).0 = (7.). 8 =7.(.8).(0 0) =.0.0 Yandaki eþitliði yazarak hangi özelliðin kullanýldýðýný belirtiniz. (.4).9 =.(4.9) = = Yukarýdaki eþitliði yazarak hangi özelliðin kullanýldýðýný belirtiniz..(4 + ) =.( + 4) 97

72 SAYILARLA İŞLEMLER ETKiNLiK 4 ÝÞLEM ÖZELLÝKLERÝNÝ MODELLEYELÝM Kazaným: Doðal sayýlar kümesinde toplama ve çarpma iþlemlerinin özelliklerini uygular iþlemini modelleyiniz. Yanda modellenen iþlemi yazýnýz. 8.. Yanda modellenen iþlemi yazýnýz. 4.(4 + ) Yanda modellenen iþlemi yazýnýz. 6.(9 ).(7 ) iþlemini modelleyiniz..( ) iþlemini modelleyiniz. 98

73 SAYILARLA İŞLEMLER ETKiNLiK ÝÞLEM SIRASINI KULLANALIM Kazaným: Doðal sayýlarla iþlemler yapmayý gerektiren problemleri çözer ve kurar. Aþaðýdaki iþlemleri yapýnýz. 6 : = = 4 : 7 = + 8. = 6 0 : 4 = = 7 7 : = 7 40 : 6 : = 0 4 : 4 = 4 4. = 7 8. = : =88 Aþaðýdaki levhalarý iþlem sýrasýna göre yukarýdan aþaðýya doðru çubuða takýnýz. Üslü sayý Parantez Toplama Bölme Üslü Sayý Çarpma Parantez Bölme Çýkarma Toplama Çarpma Çýkarma Aþaðýdaki iþlemleri yapýnýz. (0 4) : :.9 = [(0 ):] = 96 : :.9 = = 6 + (9 : ) = +. (8 ) : 4 +. : = 6 : : 0 : = 6 : : = = : = = 8 99

74 SAYILARLA İŞLEMLER ETKiNLiK 6 PROBLEM ÇÖZELÝM Kazaným: Doðal sayýlarla iþlemler yapmayý gerektiren problemleri çözer ve kurar. Serdar ýn amcasý ve 4 halasý vardýr. Doðum günü için amcalarýndan ikiþer ve halalarýndan üçer hediye alan Serdar, toplam kaç hediye almýþtýr? = 6 + = 8 Bir bakkal koli sabun almýþtýr. Her kolide kutu, her kutuda 8 adet sabun vardýr. Buna göre, bakkal toplam kaç adet sabun almýþtýr?..8 = 6.8 = 88 Bir taksinin açýlýþ ücreti TL dir. Taksimetre her 4 km de 6 TL yazmaktadýr. Taksiyle km yol giden biri kaç TL ödeme yapar? 4 =.6 = 8 TL 8 + = TL Bir gül TL ve bir lilyum TL dir. Bir düzine gül ve 4 adet lilyum alan Zeynep çiçekçiye kaç TL öder? = + = 4 TL Kilosu 6 TL den kg kestane, kilosu TL den kg ceviz ve kilosu 8 TL den 4 kg fýndýk alan Suha Bey kasaya 00 TL verirse kaç TL para üstü alýr? 6. = 8. = = = = 6 TL Yeni evlenen Aysun ve Hüseyin tanesi 0 TL den bir masa ve tanesi TL den 6 adet sandalye aldýklarýnda kaç TL öderler? = =99 TL 00

75 SAYILARLA İŞLEMLER ETKiNLiK 7 PROBLEM ÇÖZELÝM Kazaným: Doðal sayýlarla iþlemler yapmayý gerektiren problemleri çözer ve kurar. Bir servisteki 0 çocuðun her birinde kalem kutu ve her kalem kutunun içinde 4 kalem vardýr. Buna göre, serviste toplam kaç kalem vardýr? OKUL SERVÝSÝ 0..4 = 60.4 = 40 Bir bakkal eve teslim ettiði her sipariþ için TL hizmet bedeli almaktadýr. Eve sipariþ veren Songül Haným, tanesi, TL den iki margarin, paketi TL den iki paket pudra þekeri istiyor. Buna göre, Songül Haným kaç TL ödeme yapar?., =. = = TL Hakan Bey adet menü sipariþi vermiþtir. Her menüde TL olan içecek; TL olan patates kýzartmasý ve TL olan hamburger vardýr. Buna göre, Hakan Bey kaç TL ödeme yapar? + + = 0.0 = 0 TL SBS ye hazýrlanan Efe nin farklý matematik test kitabý vardýr. Bu kitaplarýn her bir testi 0 soru içermektedir. Efe her kitabýndan dörder test çözerse kaç soru çözmüþ olur? 4.0. = 80. = 40 Selin, Bolu ilinin Mudurnu ilçesinin meþhur masa örtülerinden almaya gidiyor. Tanesi 6 TL olan büyük boy masa örtülerinden 4 tane; tanesi TL olan küçük boy masa örtülerinden tane alan Selin, satýcýya 00 TL verirse kaç TL para üstü alýr? = = 00 TL = 00 TL 0