PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları"

Kelebek Heper
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi? İcelediğimiz kayaklarda z = 1 içi verilmiş kökler toplamıı sıfır olduğuu gördük. Buu geelleştirme yoluda çalışmalara başladık. Geelleştirmemizi ispatladıkta sora, bir karmaşık sayıı elde ettiğimiz köklerideki cosiüs ve siüs foksiyolarıı açısal değerideki aritmetik artışı kullaabileceğimiz trigoometrik deklemleri çözümlerie eskiside farklı bakmaya başladık. Bu tarz trigoometrik deklemleri var ola çözümlerii kullamada doğru souca ulaşmayı amaçladık. GİRİŞ: Matematik derside bir karmaşık sayıı kareköklerii icelerke(w0 ile w1 i kökler olarak ifade edersek) w0+w1= 0 olduğuu gördük. Daha sora 3.derecede kökler içi de w0+w1+w=0 mıdır? diye düşüdük. Buu da rahatlıkla sağladığıı gördükte sora w0+w1+ +w-1=0 mıdır? Sorusua cevap aramak içi araştırmaya başladık. Araştırdığımız kitaplarda z = 1 içi kökler toplamıı sıfır olduğu gösterilmiştir [, s.8-9] [7, s. 6-7]. Buu görmek araştırmamızı devam ettirmemiz kousuda bize ışık tuttu. Araştırmalarımızda öcelikle özel bir durum içi değil, bütü sıfırda farklı karmaşık sayılar içi kök toplamıı sıfır olduğuu bulmaya çalıştık. Daha sora ters döüşüm formülleriyle ispatlamış bir formül dikkatimizi çekti. Bu formül yardımıyla sıfırda farklı her karmaşık sayı içi kökler toplamıı sıfır olduğuu ispatlamayı hedefledik. Hedefimize ulaştıkta sora da trigoometrik deklemleri çözümüde kullaıp kullaamayacağımızı araştırmaya başladık. YÖNTEM: z = a + ib yi sağlaya tae kök buluabilir. Bu kökler k = 0,1,,, 1 içi ( z = r, r 0 ve Arg(z) = θ) olmak üzere z k = r 1 (cos θ+kπ + isi θ+kπ ) dir. Burada x = θ olarak taımlarsak k = 0,1,,, 1 içi; z k = r 1 [cos (x + kπ kπ ) + isi (x + )]

Geelleştirmemizi ispatladıkta sora, bir karmaşık sayıı elde ettiğimiz köklerideki cosiüs ve siüs foksiyolarıı açısal değerideki aritmetik artışı kullaabileceğimiz trigoometrik deklemleri çözümlerie

2 elde edilir. Bu deklemde tüm k değerleri içi taraf tarafa toplarsak elde edilir. Eğer π z 0 + z 1 + z + + z = r 1 [ cos (x + jπ jπ ) + i si (x + ) ] =: α olarak taımlarsak (α = π) ve kökler toplamıı da sadelik içi S ile gösterirsek; Yukarda elde ettiğimiz toplamı aşağıdaki şekilde yazabiliriz. S = r 1 [ cos(x + jα) + i si(x + jα) ] Amacımız S toplamıı sıfır olduğuu göstermektir. Araştırmalarımız da [6, s ] ters döüşüm formülleri ile ispatlamış aşağıdaki temel formüllere ulaştık : si θ 0 olmak üzere; 1. si(θ. si(θ θ ). si[α+() )] si θ θ ).cos[α+() )] si θ = siα + si(α + θ) + si(α + θ) + + si[α + ( 1)θ] = cosα + cos(α + θ) + cos(α + θ) + + cos[α + ( 1)θ] 1. ve. formüllere uyguluk açısıda S de x ve α yerie sırasıyla α ve θ yazarsak Re(S ) = r 1 cos(α + jθ) Im(S ) = r 1 si(α + jθ) olur. Ayrıca θ = π olduğuu göz öüe alarak 1. ve. Formüllerde bulua si (θ ) = 0 olduğu ortaya çıkar. O halde Re(S ) = 0 ve Im(S ) = 0 elde edilir. Böylece S = 0 olduğu ortaya çıkarak isteilei elde etmiş oluruz.

şekilde yazabiliriz. S = r 1 [ cos(x + jα) + i si(x + jα) ] Amacımız S toplamıı sıfır olduğuu göstermektir. Araştırmalarımız da [6, s.

3 O halde.α=π olmak üzere; cosx + cos(x + α) + cos(x + α).. + cos(x + ( 1)α) = 0 six + si(x + α) + si(x + α).. + si(x + ( 1)α) = 0 Şimdi bu tarzda bulduğumuz soruları ve uyguladığımız çözümleri iceleyelim. ÖRNEK 1: ( [6], Kaada M. Soc. MOCP ) S =cos5 +cos77 +cos149 +cos1 +cos93 toplamıı hesaplayıız. Terim Sayısı ; =5 Artış Miktarı ; α=7. α=5.7=360 olduğuda cevap 0 dır. ÖRNEK : (Estoia Math Competitios, 004) x ve y reel sayıları; six + cosy = 1 cosx + siy = -1 deklem sistemii sağladığıa göre cosx = cosy olduğuu ispatlayıız. Deklemleri alt alta toplarsak; cosx+cosy+six+siy= 0 deklemii elde ederiz. Toplamı 0 olmasıda yola çıkarak cosx+cosy ifadesi bir karmaşık sayıı kareköklerii toplamıı reel kısmı ve six+siy ifadesi de ayı karmaşık sayıı kareköklerii toplamıı imajier kısmı şeklide düşüerek cosx+cosy= 0 six+siy= 0 olarak yazabiliriz.

Terim Sayısı ; =5 Artış Miktarı ; α=7. α=5.7=360 olduğuda cevap 0 dır.

4 Terim sayısı = Artış Miktarı α=y-x olur. Ayrıca; α =.(y-x) = 360 =y-x=360 =y=360+xtir. cosy=cos(360+x)=cosx olduğuda cosx=cosy dir. ÖRNEK 3: (Özdemir,013,sayfa 15) cos7 +cos144 +3cos16 +4cos88 toplamıı -5 olduğuu gösteriiz. =5 ve α=7, 5.7 =360 olduğuda; cos0+cos7+cos144+cos16+cos88=0 dır. O halde cos0 ı eşitliği karşısıa atarsak; cos7+cos144+cos16+cos88= -1 dir. (1) cos16=cos144, cos88=cos7 olduğuda ; () cos7+cos144=-1 cos7+cos144= -1 dir. (3) cos7+c0s144+3cos16+4cos88=x olmak üzere; -1+cos144+cos16+3cos88=x tir. () kullaılarak; -1+3cos(cos7+cos144)=x tir. (3) kullaılarak -1+3(-1 )=x

7 =360 olduğuda; cos0+cos7+cos144+cos16+cos88=0 dır. O halde cos0 ı eşitliği karşısıa atarsak; cos7+cos144+cos16+cos88= -1 dir.

5 -5 =x tir. PROJEDE ELDE EDİLEN SONUÇLAR: 1. Sıfırda farklı bir karmaşık sayıı. derecede kökler toplamı sıfırdır.. Sıfırda farklı bir karmaşık sayıı kökler toplamıı sıfır olmasıda dolayı yazdığımız kök toplamıı hem reel hem imajier kısmı sıfırdır. 3. Sıfırda farklı bir karmaşık sayıı. derecede kökler toplamıda faydalaarak matematik olimpiyatlarıda da yer ala bu tarzdaki trigoometrik deklem sorularıa farklı bir bakış açısı getirerek kısa ve doğru çözüme ulaştık. Koumuza ilgi duyacak araştırmacılara hem karmaşık sayıı. derecede köklerii toplamıı sıfır olduğuu başka bir yolla ispatlamaları veya kökler toplamıı sıfır olma durumuu başka hagi alalarda kullaabilecekleri kousuda yol göstermesii diliyoruz. Sadece aklımıza gele bir soru ile içie girdiğimiz araştırmada matematik düyasıı zegiliğii görmemiz, araştırmaı asıl yapılacağıı deeyimlememiz, bakış açımızı geişletmemiz bizim kedi adımıza çıkardığımız souçtur. KAYNAKLAR 1. Aydı,N.,Erbaş,K.,(01),Ortaöğretim Matematik 11 Ders Kitabı,Aydı Yayıcılık,sayfa Dömez,A.,(1999),Karmaşık Foksiyolar Kuramı,Beta Yayıevi,sayfa Duş,M.,Çakır,S.,(007),ÖSS Matematik 4,Karekök Yayıları, sayfa Estoia Math Competitios, (004), so erişim Iteratioal Mathematical Olympiad,(196), so erişim Özdemir,M.,(013), Matematik Olimpiyatlarıa Hazırlık 5, sayfa Shakarchi,R.,(000), Problems ad Solutios for Complex Aalysis, sayfa Trigoometry Erichmet Program, (01), So erişim

kökler toplamıı sıfır olmasıda dolayı yazdığımız kök toplamıı hem reel hem imajier kısmı sıfırdır. 3. Sıfırda farklı bir karmaşık sayıı.

Benzer belgeler

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı