11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK

Transkript

1 G O M T R İ ÖÜM Prlelkenr ve şkenr örtgen. PRNR rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgenlere prlelkenr denir. [] // [] [] // [] = =. PRNRIN ÖZ İRİ. rşılıklı çılr eş ve rdışık çılr ütünlerdir. 0. Prlelkenrın lnı (i) (ii) ().h. h ().. sin (iii) = e, = f olmk üzere e f ( ) () e f sin h h G ve prlelkenrının yükseklikleri ynı olduğundn lnlrının ornı tnlrının ornıdır. u durumd 0 k = k ynı şekilde (G) = () = olur. () = = + = = 90 =, cm ÖRN ir prlelkenr = 0 r = r m( ) m( ) G k k k k evp dir. un göre, prlelkenrının lnı kç irim kredir? ) 0 ) 90 ) 0 ) 0 ) 0 ÖRN prlelkenrı, şekildeki gii kenrlrın prlel doğru prçlrıyl dört ölgeye yrılmıştır. ölgelerden ikisinin cm türünden lnlrı içlerine yzılmıştır. // olduğundn m() m() = (İç ters çılr) m( ) = göre, trlı ölgenin lnı kç cm dir? prlelkenrının lnı cm olduğun ), ) 0 ), ) ), İki iç çının toplmı komşu olmyn ir dış çıy eşit olduğundn; + = m() = olduğu çıktır. un göre, () = () =..sin 0 = 0 r dir. evp dir. Ö Z R İ T Ğ R M İ T T M İ İ

2 . Prlelkenrd köşegenler iririni ortlr ve köşegenler lnı dört eşit prçy öler. PRNR V ŞNR ÖRTGN ÖRN prlelkenrının G lnı 0 cm ve =. [] olmk üzere G = () () olduğun göre, G dörtgeninin lnı kç cm dir? ) ) ) 9 ) ). P noktsı prlelkenrın içinde herhngi ir nokt ve, y, m, n it olduklrı üçgenlerin lnlrı ise m n P y = ve = G = 0k G k y m n dir.. [] köşegeni, [] ve [] doğru prçlrı iririni ve prlelkenrın lnını şekildeki gii ölerler.. Prlelkenrd ir. köşeyi, krşı kenrlrın ort noktlrı ile irleştirdiğimizde lnlr şekildeki gii ölünür. () () = =. =. G dir. k 0k un göre = = 0k olduğund = k ve G = k olur. prlelkenrınd ve G ymuğund tnlr it yükseklikler eşit olduğundn lnlrı ornı tnlr toplmının ornın eşittir. () 0 0k (G) G (G) 9k (G) = cm ulunur. evp dir. ÖRN ir prlelkenr [] [] = [] [] = r == r 9.,, ve,,, noktlrı ise, doğrusl dir. 0. noktsındn [] ve [] ye çizilen prlel dik üçgeninde hipotenüse it kenrortyın uzntısıdır. G O M T R İ O N U N T I M I O R U N I Yukrıdki verilere göre, () kç irim kredir? ) ) ) ) ) 0 Prlelkenrd, kö- şegenlerin yırdığı üçgenlerin lnlrı iririne eşittir. un göre, prlelkenrınd köşegenlerin yırdığı üçgenlerden irinin lnı olsun.

3 G O M T R İ un göre, () = olur. ().. 9 r O hlde () = =.9 = r ulunur. evp dir. ÖRN ir prlelkenr = cm = cm Yukrıdki şekilde trlı üçgeninin lnı cm olduğun göre, prlelkenrının lnı kç cm dir? [] yi irleştirdiğimizde üçgeninin lnı prlelkenrının lnının yrısın eşittir. O hâlde (. ) = = r ise () = 9 r olur. ÖRN ir prlelkenr = = evp dir. ) ) 9 ) ) ) ln() Yukrıdki verilere göre, ln() ornı kçtır? olduğundn, prlelkenr ==cm dır. ve üçgenlerinin enzerliğinden = dersek, = olur. üçgeninde, () = () () cm () =.() () = = cm ulunur. evp dir. ) ) ) üçgeni ile üçgeni rsındki enzerlik ornı olduğun göre lnlrı ornı olur. u durumd ( ) = dersek ( ) = olur. Prlelkenrın lnı d üçgeninin lnının ktıdır. O hlde, ln() ln() olur. ) ) evp dır. ÖRN prlelkenr [] [] = irim = irim ÖRN ir prlelkenr [] çıorty M = cm M = cm un göre, prlelkenrının lnı kç irim kredir? ) ) ) 9 ) 0 ) Yukrıdki verilere göre, üçgeninin lnı kç cm dir? ) ) ) 0 ) ) Ö Z R İ T Ğ R M İ T T M İ İ

4 ir prlelkenr olduğundn = = cm dir. [] çıorty olduğundn dn [] ye indirilen dikme uzunluğu M uzunluğun eşittir. = cm dir. O hlde,. ln() =.. ŞNR ÖRTGN ört kenrı d eşit oln prlelkenr dörtgen denir. eşkenr = cm olur. evp dir. Prlelkenrın ütün özellikleri eşkenr dörtgen için de geçerlidir.. ŞNR ÖRTGNİN ÖZİRİ. (). h h h ÖRN = = cm PRNR V ŞNR ÖRTGN Şekildeki eşkenr dörtgeninin lnı kç cm dir? ) ) 0 ) ) 0 ) == cm ve üçgenleri eş üçgenlerdir. == cm olur. dik üçgeninde pisgor teoremini uygulrsk, + = = = cm olur. () =. =. cm olur. ÖRN ir eşkenr dörtgen [O] çıorty [O] çıorty O = cm = evp dir. Yukrıdki şekilde eşkenr dörtgeninin lnı 9 cm olduğun göre, = kç cm dir? O. öşegenler çıortydır ) 0 ) ) ) ) ve iririni dik keser.. (. = e, = f olmk üzere, e f dir. şkenr dörtgende köşegenler dik kesişir. = dersek, eşkenr dörtgenin lnı =.. 9 = 9 = cm O G O M T R İ O N U N T I M I O R U N I O dik üçgeni,, 0 üçgeni ise = 0 cm olur. evp dır.

5 G O M T R İ eşkenr Ç Ö Z Ü M Ü T T dörtgen ve it olduklrı kenrlrın ort noktlrıdır.. // // [ ve [ çıortydır. = r = r olduğun göre, uzunluğu kç irimdir? ) ) 9 ) 0 ) ) un göre, eşkenr dörtgeninin lnı dörtgeninin lnının kç ktıdır? ) ) ) ) 9 ). // // = = r un göre, uzunluğu kç irimdir?. prlelkenr [ ve [ çıorty [] [] = 0 r = r = r un göre, prlelkenrının lnı kç irim kredir? 0 ) ) ) 0 ) ) ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0. Şekilde eşkenr dörtgen m() = 0 = r = r un göre, = kç irimdir? ) ) ) ) ). prlelkenr, [] [] = = Yukrıdki şekilde trlı ölgenin lnı 0 irim kre olduğun göre, prlelkenrının lnı kç irim kredir? ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0. prlelkenr ve ort nokt Yukrıdki verilere göre, trlı ln prlelkenrının lnının kç ktıdır? ) ) ) ) ). prlelkenr = = m() =90 = r = r Ö Z R İ T Ğ R M İ T T M İ İ Yukrıdki verilere göre, dörtgeninin lnı kç irim kredir? ) ) 0 ) ) )

6 9. ir prlelkenr, = = [] [] = {} Yukrıdki şekilde prlelkenrının lnı r Δ Δ olduğun göre, () () toplmı kç irim kredir? ) ) 9 ) ) ) PRNR V ŞNR ÖRTGN. prlelkenr, [ çıorty = (+) r = ( + ) r = r Yukrıdki verilere göre, nin değeri kçtır? ) ) ) 9 ) 0 ) 0. prlelkenr, m( ) = 90 m() = m( ), = irim. prlelkenr [ çıorty m() = 90 m() = 90 = r = = r Yukrıdki verilere göre, prlelkenrının lnı kç irim kredir? = r Yukrıdki verilere göre, = kç irimdir? ) ) ) 0 ) ) 9 ) ) ) ) ). prlelkenr [] [] m() = m() = Yukrıdki verilere göre, kç derecedir? ) ) ) ) ). prlelkenr,, ve,, noktlrı kendi rlrınd doğrusldır. = r () = r () = r olduğun göre, uzunluğu kç irimdir? ) ) ) ) 0 ). prlelkenr [ çıorty [] [] = r = r = r G O M T R İ O N U N T I M I O R U N I Yukrıdki verilere göre, = kç irimdir? ) ) ) ) ) 0. prlelkenr = = = r olduğun göre, uzunluğu kç irimdir? ) ) 0 ) 9 ) )

7 G O M T R İ Prlelkenrın Ç Ö Z Ü M R köşegenlerini irleştirdiğimizde üçgeninde noktsının ğırlık merke- zi olduğu çıktır.. // ve // olduğundn, = ve = = r m() m() (iç ters çılr) = = r = = r olur. m() m() (iç ters çılr) = = r olur. O hlde = = + + = r ulunur. evp dır.. // // olduğundn ve köşegenleri iririni ortlr. = ve = dir. üçgeninde = ve = olduğundn noktsı ğırlık merkezidir. un göre, = r ise = r olur. O hlde = = r ise = r ulunur. evp dir Trlı lnın üçgeninin ktı olduğu d görülmektedir. O hlde trlı ln prlelkenrının ktın eşittir.. [] yrdımcı doğru prçsını çizdiğimizde dik üçgeni oluşur. ve ort nokt olduğundn () = ise () () = ve ( ) = olur. un göre, () olrk ulunur. () evp dir. evp dir.. eşkenr dörtgeninde köşegenler iririni dik keser ve ortlr. = = irimdir. m() = 0 dir. 0 0 dik üçgeni (0-0-90) üçgeni olduğundn 0 yi gören = irim ise 0 yi gören = irim ve hipotenüs = = irim olur. evp dir.. ve [ ile [ çıorty olduğundn öklit üçgeni olur. m() = 90 dir. 0 noktsındn [] ve [] ye indirilen dikmeler [] ye eşittir. öklit üçgeninde; =. = ise = irimdir. () =.h = 0. 0 r olur. evp dır. Ö Z R İ T Ğ R M İ T T M İ İ

8 . Yükseklikleri ynı tnlrı frklı oln üçgenlerin lnlrı y ornı tnlrı ornın eşittir. [] doğru prçsını irleştirdiğimizde, () olur. () y () olur. y () () () olduğundn, = dir. Trlı ölgenin lnı = + = 0 = = r dir. un göre, () = 0 = 0 r olrk ulunur. evp dir. y 0. PRNR V ŞNR ÖRTGN prlelkenr olduğundn, = = ve = = m() = m( ) = dır. // olduğundn, m() = m( ) = 90 (iç ters çılr) m() = m( ) = ise üçgeni ikizkenr dik üçgen olur. ikizkenr dik üçgende = r ise = r olur. = + r ulunur. evp dır.. ve it olduklrı kenrlrın ort noktlrı olduğundn; () () () () orntısı vrdır. un göre, ln( ) = = r olur. = r ise () = = 0 r ulunur. evp dir.. prlelkenr olduğundn, // dir. Zik - zk çılrdn = + 90 = dir. evp dir. 9. prlelkenrınd [] köşegeni prlelkenrı lnlrı eş iki üçgene öler. G O M T R İ O N U N T I M I O R U N I N () = () = r üçgeninde [] ve [] irer kenrorty ise üçüncü köşeden çizilen [N] doğru prçsı d kenrortydır. enrortylr ir üçgeni lnlrı eşit ltı üçgene öler. un göre; () = = = r dir. = r ise, () () = = r olur. evp dir.. Şekildeki prlelkenrınd [ çıorty ve m( ) = 90 [ çıorty olur. prlelkenr olduğundn; = = r dir. İç ters çılrdn m() m( ) ve = + = 0 ise = 0 r dir. O hlde dik üçgeninde pisgor ğıntısındn = = r ulunur. evp dir. 0

9 G O M T R İ +. n prlelkenrd = = ( + ) r ve = = + r dir. m() m() (iç ters çılr) + un göre, = + = + = r dir. O hlde, = + = 9 r olrk ulunur. evp dir. n n prlelkenr olduğundn // dir. ~ enzerliğinden () k () 9 = k k = dir. = n ise = n ve = n olur. = = n olduğundn; ~ enzerliğinden 0 0 r ulunur. evp dir.. [ çıorty ve m( ) = 90 ise [ ışını d çıortydır. noktsındn kenrlr indirilen dikmeler eşittir. = = dik üçgeninde, öklit ğıntısındn; =. = irimdir. ln() =. =. = r ulunur. evp dır.. [] // [] olck şekilde [] yi çizdiğimizde ve ort nokt olduğundn = olur. = = olduğundn üçgenlerinin enzerliğinden, ve r dir. = = + = r ise = r ulunur. evp dir. 9 Ö Z R İ T Ğ R M İ T T M İ İ

10 O N U T R R T T İ. prlelkenr = = [] [] = r = r Yukrıdki verilere göre, prlelkenrının lnı kç irim kredir? PRNR V ŞNR ÖRTGN. prlelkenr = = G () = 9 r olduğun göre, G ve G üçgenlerinin lnlr toplmı kç irim kredir? ) ) ) ) ) ) 0 ) 0 ) 0 ) 0 ) 0. prlelkenr = = m() = 0 = r = 0 r Yukrıdki verilere göre, () + () toplmı kç irim kredir?. prlelkenr, [ ve [ çıorty [] [] = irim = irim = irim olduğun göre, prlelkenrının lnı kç irim kredir? ) ) ) 0 ) ) ) ) ) ) ). prlelkenr. prlelkenr, () r () 0r 0 m() = r m() = r olduğun göre, ornı kçtır? olduğun göre, ornı kçtır? ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). prlelkenr = irim = irim G O M T R İ O N U N T I M I O R U N I Yukrıdki verilere göre, = kç irimdir? ) ) ) ) ) 0. prlelkenr, [] [] m() = r () r Yukrıdki şekilde = irim ise, = kç irimdir? ) 9 ) ) ) )

11 G O M T R İ 9. prlelkenr. prlelkenr = [] [] = = irim () = r = 9 irim olduğun göre, çokgeninin lnı kç irim kredir? ) ) ) 0 ) ) =. Yukrıdki verelere göre, üçgeninin lnı kç irim kredir? ) ) ) ) ) 0. ir prlelkenr [ çıorty = irim = irim = irim Yukrıdki verilere göre, kç irimdir? ) ) ) 9 ) 0 ). prlelkenr [] [] ve ort nokt = 9 irim = irim Yukrıdki verilere göre, prlelkenrının lnı kç irim kredir? ) ) ) ) 0 ). ir prlelkenr [ ve [ çıorty = irim = irim = 0 irim Yukrıdki verilere göre, prlelkenrının lnı kç irim kredir? ) ) ) ) ) 0. prlelkenr,, ve,,, noktlrı doğrusldır. = irim = irim Yukrıdki verilere göre, = kç irimdir? ) ) ) ) ). prlelkenr = = Yukrıdki şekilde trlı lnlr toplmı prlelkenrının lnının kç ktıdır?. prlelkenr =. =. Yukrıdki verilere göre ornı kçtır? N (N) (N) () ) ) ) ) ) 9 ) ) 0 ) ) 0 ) Ö Z R İ T Ğ R M İ T T M İ İ