1 Ozan Eksi, TOBB-ETU

Transkript

1 Ex: S = [1; 2; 3; 4; 5; 6] A = [2; 4; 6] B = [4; 5; 6] Complements: A = [1; 3; 5] B = [1; 2; 3] Intersections: A \ B = [4; 6] A \ B = [5] Unions: A [ B = [2; 4; 5; 6] A [ A = [1; 2; 3; 4; 5; 6] = S 1

2 Ex: E¼ger 2 tane iş pozisyonu için 3 tane aday varsa (Bu adaylar A, B, C diye gösterelim) Iş da¼g l m n n kaç farkl şekilde yap labilece¼gi permutasyondur. Ilk işi üç kişiden herhangi birine, ikinci işi ise geri kalan iki kişiden birine verebilirsiniz. Sonuncusu için ise tek seçenek kal r. Yani 3*2*1=6 şekilde bu işler da¼g t labilir (AB, AC, BC, BA, CA, CB) Ama sorumuz iki iş için üç kişi aras ndan kaç farkl grup oluşturulabilece¼gi olursa cevab m z 3 tür (AB, AC, BC) 2

3 Örnek 1: 5 işi 5 kişiye kaç farkl şekilde da¼g t labiliriz: P 5 5 = 5! (5 5)! = Yani birinci iş 5 kişiden herhangi birine, ikinci iş geri kalan 4 kişiden herhangi birine,... Örnek 2: 5 işi 2 kişiye kaç farkl şekilde da¼g t labilir: P2 5 = 5! (5 2)! = =

4 Permütasyon de¼gerini, işi alan 5 kişinin tüm olas s ralamalar na bölersek, s ralaman n önemli olmad ¼g kombinasyon de¼gerini bulmuş oluruz C5 5 = P 5 5 5! = 5! (5 5)!5! = = 1 0! 5! Yani e¼ger beş işçi varsa, beş iş ancak bir gruba verilebilir Ikinci örnekte is yine permütasyon de¼gerini işi alan iki kişinin tüm s ralamalar na bölüyoruz C 5 2 = P 5 2 2! 4 = 5 4 2! = 10

5 Örnek: Bir zar at m n n sonucunda örnek uzay n z (Sample space) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Zar n 4 ten büyük gelme olay n (event) E olarak adland ral m. Dolay s yla E = {5, 6} P (E) = n(e) n(s) = 2 6 = 1 3 For more complicating examples, you can use combinations formula C1 2 2!=[(2 1)! 1!] = 6!=[(6 1)! 1!] = 2 6 = 1 3 C 6 1 5

6 Örnek 1: Metal bir paray bir çok kere havaya atma deneyini ele alal m. Yeteri kere havaya atarsak toplam at ş say s n n yaklaş k yar s defetura (ya da yaz ) geldi¼gini gözlemleyebiliriz. Bu gözleme dayanarak tura gelme ihtimalinin 0.5 oldu¼gunu ç karabiliriz, P(T)=.5 The law of large numbers is a theorem in statistics that states that as the number of trials of the experiment increases, the observed empirical probability will get closer and closer to the theoretical probability 6

7 Örnek 2: The New England Journal of Medical Stu da yay nlanm ş bir makale, kovboylar n 63% ünün eyer yaras na sahip oldu¼gu, geri kalan 52% sinde ise ayak e¼gilmesi gözlemlendi¼gini, %40 nda ise her iki hastal ¼g nda gözüktü¼günü bildirmiştir E olay "Rastgele seçilen bir kovboyun eyer yaras na sahip olmas olsun". Dolay s yla şu ç kar m yapabiliriz: P(E)=.63 7

8 Some Examples for Classical Probability Örnek 1: Iki zar n birlikte at ld ¼g nda toplamlar için tüm olas sonuçlar (sample space) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 }. Di¼ger yandan her bir sonucun meydana gelme ihtimali bu sefer eşit de¼gil. Örne¼gin toplam n 2 olmas için her bir zar n 1 gelmesi laz m, ama 3 toplam n ilk zar 1 ve ikinci zar 2 gelirse, ya da bunun tam tersi olacak şekilde elde edebiliriz. Bu durumda tüm örnek uzay gösteren bir tablo sonuç olas l klar n hesaplamada yararl olabilir 8

9 2d Dice st Dice Sum Freq. Prob / / / / / / / / / / /36

10 Örnek 2: Dört tane benzer iş pozisyonu için 3 ü kad n, 5 i erkek olmak üzere toplam 8 aday olsun. Bu kişilerden her birinin pozisyonlar için seçilme ihtimalini ayn kabul edelim. Bu dört pozisyondan hiç birine kad n seçilmemesinin ihtimali nedir 8 iş için mümkün olan 4 lü kombinasyonlar: C4 8 = 8! (4 4)! 4! = ! 4! ! = 70 10

11 Kad nlar n işe seçilememesi, 4 işin 5 erke¼ge verilmiş olmas demek olur ki 5 erkek aras ndan 4 kişi şu kadar karkl kombinasyonda seçilebilir: C 5 4 = 5! 1! 4! = 5 Böylece soruda ilgilendi¼gimiz olay n olas l ¼g : C 5 4 C 8 4 = 5 70 =

12 Ayn sonucu şu şekilde de elde edebiliriz Birinci aday n erkek olma ihtimali: 5=8 Ikinci aday n da erkek olma ihtimali: 4=7 Çünkü 7 kişi içinde sadece 4 tane erkek kald Böylece soruda ilgilendi¼gimiz olay n olas l ¼g : = 1 14 This is how you may calculate probability in the case of draw without replacement. 12

13 Örnek 3: Bir kesenin içinde 5 tane mavi, 3 tane de k rm z bilye olsun. Ihtimaliyle ilgilendi¼gimiz olay ise kesenin içine bakmadan ard arda 4 tane mavi bilye çelmemiz olsun E¼ger bilyeleri çektikten sonra onlar tekrar kesenin içine koymazsak, ilgilendi¼gimiz olas l k = 1 (= C C4 8 ) olarak bulunabilir (draw without replacement.) Another example would be lotteries, as each 13

14 time we buy a lottery ticket the number of remaining tickets declines E¼ger bir bilyeyi çektikten sonra ve di¼ger bilyeyi şekmeden önce ilk çekti¼gimiz bilyeyi tekrar keseye koyarsak, ilgilendi¼gimiz olas l k bu sefer (= C5 1 C 8 1 C5 1 C 8 1 C5 1 C 8 1 C5 1 C1 8 ) şeklinde hesaplan r. Burada dikkat edilirse her bir mavi bilye çekme ihtimali bir öncekinden ba¼g ms zd r (draw with a replacement) 14

15 Örnek 4: Varsayal m ki 3 tane bilgisayar, içinde 10 tane Gateway, 5 tane Compaq, ve 5 tane Acer marka bilgisayar bulunan bir yerden rastgele seçilecek. Bu 3 biligiyardan 2 sinin Gateway, 1 inin de Compaq marka olma ihtimali nedir? 15

16 20 biligisayardan 3 tane seçilmesine dair tüm olas sonuçlar (sample space) N = C 20 3 = 20! (20 3)! 3! = tane Gateway bilgisayar içinden kaç farkl şekilde 2 tane bilgisayar seçilebilece¼gi C2 10 = 10! (10 2)! 2! = 45 16

17 5 tane Compaq bilgisayar içinden kaç farkl şekilde 1 tane bilgisayar seçilebilece¼gi C 5 1 = 5! (5 1)! 1! = 5 Son olarak, ilgilendi¼gimiz olay n ihtimali P A = N A N = C10 2 C5 1 C3 20 = = = 0:197 17

18 Yine ayn ihtimal şu şekilde de hesaplayabiliriz Ilk bilgisayar n Gateway olma ihtimali: 10=20 Ikinci bilgisayar n Gateway olma ihtimali: 9=19 Üçüncü bilgisayar n Compaq olma ihtimali: 5=18 Dolay s yla ilgilendi¼gimiz olay n ihtimali: = 0:197 3 say s Compaq bilgisayar n ilk, son, ya da ortada seçilme ihtimallerine karş l k geliyor (C 3 1 ) 18

19 Örnek: A: Zar n 5 gelme ihtimali büyük olma ihtimali B: Zar n 3ten P (B) = 3=6 A \ B = 5 P (A \ B) = 1=6 P (AjB) = 1=6 3=6 = 1=3 A and B are then de ned independent if and only if P (AjB) = P (A) then P (A \ B) = P (A) P (B) 19

20 Örnek: Kullan lm ş araba park ndaki arabalar n 70% inin klimas (AC), 40% n n CD çalar (CD), 20% sinin de her ikisi de olsun 20

21 (Conditional Probability - Şartl Olas l k) Klimas olan bir arac n CD sinin de olma ihtimali nedir? yani P(CD j AC)=? CD No CD Total AC Not AC Total P (CDjAC) = P (CD \ AC) P (AC) = 0:2 0:7 = 0:

22 (Statistical Independence - Istatistiki ba¼g ms zl k) AC ve CD olaylar istatistiksel olarak ba¼g ms zlar m d r? P (AC \ CD) = 0:2 P (AC) = 0:7 & P (AC) = 0:4 P (AC\CD) = 0:2 6= P (AC)P (CD) = 0:28 Dolay s yla hay r, ba¼g ms z de¼gillerdir 22

23 Using a Tree Diagram Given AC or no AC: Has AC P(AC)=.7 Has CD Does not have CD.5.7 P(AC n CD) =.2 P(AC n CD) =.5 Does not have AC P(AC)=.3 Has CD.2.3 P(AC n CD) =.2 Does not have CD 23

24 Marginal Probability: P (A) = P (A \ B 1 ) + P (A \ B 2 ) + ::: + P (A \ B k ) where B 1, B 2,..., B k are k mutually exclusive and collectively exhaustive events Ex: In the above gure: P (AC) = P (AC \CD)+P (AC \CD) = 0:7 24

25 Örnek: If in a game of chance the odds of A is 3 to 1 odds = 3 1 = P (A) 1 P (A) Now multiply both sides by 1 P(A) and solve for P(A) 3(1 P (A)) = P (A) 3 3P (A) = P (A) P (A) = 0:75 25

26 Ex: A aşç s n n lezzetli yemek yapma ihtimali %80 olsun. B aşç s için bu de¼ger %30 diyelim. A aşç s tüm yemeklerin %40 n pişiriyor olsun, geri kalanlar ise B aşç s taraf ndan pişirilsin Burada yedi¼giniz bir yeme¼gin lezzetli olma ihtimali nedir? :) 0:8 0:4 + 0:3 0:6 = 0:5 Bu yeme¼gin A aşç s taraf ndan pişirilmiş olma ihitimali: 0:8 0:4 0:8 0:4 + 0:3 0:6 = 0:6 26

27 Örnek: Uyuşturucunun varl ¼g n test eden medikal bir cihaz düşünelim. Bu cihaz uyuşturucu kullanan birini %99 ihtimalle belirleyebiliyor olsun (böylece %1 ihtimalle kullanan birini kullanm yor olarak ç kar cakt r ki bu Type I error dur). Yine ayn test uyuştuturucu kullanmayan birini %99 oran nda belirleyebililsin (yine ayn test %1 ihtimalle kullanmayan birini kullan yor olarak ç kar cakt r ki yapt ¼g testi reddedemedi¼ginden (reject) bu Type II error dur) 27

28 Bu test %0.5 oran nda uyuşturucu kullanan insanlar n bulundu¼gu bir işyerindeki çal şanlar a yap lm ş olsun. Testi pozitif ç km ş (kullanan olarak bulunan) bir çal şan n gerçekten kullan c olma ihtimali nedir? 28

29 U kullan c y (user), N temiz kişiyi, + da testin pozitif ç kma olay n göstersin P (U) çal şan kişinin (test edilmeden önce) kullan c olma ihtimali olsun. Bunun oldu¼gu veriliyor. Buna önceki olas l k, prior probability, diyoruz P (N) de çal şan n temiz (non-user) olma ihtimalini göstersin, ki bu da 1 P (U)=0.995 olur 29

30 Bu bilgiler dahilinde bize sorulan P (Uj+) yi, yani testi pozitif ç kan birinin gerçekten kullan c olma olas l ¼g n (buna şartl olas l k, ya da olaylar zamanla gelişti¼ginden sonraki olas l k, posterior probability de denir) hesaplayal m 30

31 P (Uj+) = = P (+ju)p (U) P (+ju)p (U) + P (+jn)p (N) 0:99 0:005 0:99 0: :01 0:995 = 0:3322!!! Yukar da, testi pozitif ç kan tüm kişilerin (ya da bunlar n ihtimalinin) içinde (ki bu kişiler kullan c olabilir ya da olmayabilir), kullan c olup testi pozitif ç kanlar n oran n hesaplad k 31