BOZULABİLEN ÜRÜNLER İÇİN STOKASTİK ENVANTER POLİTİKALARININ SİMÜLASYONLA OPTİMİZASYONU

Transkript

1 Endüstri Mühendisliği Dergisi Cilttll Sayı:2 Sayfa: (24-32) Makina Mühendisleri Odası BOZULABİLEN ÜRÜNLER İÇİN STOKASTİK ENVANTER POLİTİKALARININ SİMÜLASYONLA OPTİMİZASYONU Revan Erol l M. Caner Testik Çukurova Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü, Adana ÖZET Bozulabilen ürünler (yiyecek maddeleri, tıbbi ilaçlar) için kullanılan envanter politikalannın, stokastik çalışma koşullannda analitik olarak incelenmesi kısıtlı sayıdaki problem türleri için mümkündür. Bu çalışmada; ürün bozulma süresi, temin süresi, talep büyüklüğü ve talepler arası sürenin rassal olduğu bir ortamda çalışan (T,S) periyodik gözden geçirme stok kontrol politikasının beklenen toplam kârı simülasyon yardımıyla incelenmiştir. Araştırmanın bir sonraki aşamasında, optimum stok kontrol parametreleri, Tepki Yüzeyleri Yöntemi (Response Surface Methodology(RSM)) kullanılarak tahmin edilmiştir. Simülasyon deneylerinde Deneysel Tasarım ve Varyans Analizi teknikleri kullanılarak, bu tür envanter sistemlerinin davranıştan hakkında bazı genellemeler yapılmıştır. Anahtar Kelimeler envanter kuramı, benzetimle optimizasyon, tepki yüzeyleri Analytical analysis of inventory policies for perishable items (e.g., foods, medical supplies) under probabilistic conditions is limited to few types of problems. In this study, the total expected profit of a periodic review system (T,S) in which storage time, lead time, demand size and time between demand arrivals are assumed to be random is investigated by using simulation. Subsequently, an optimum inventory policy determination algorithm based on the Response Surface Methodology(RSM) is introduced. In addition, experimental design and variance analysis methods are employed to make inferences about the behavior of such inventory systems. Keywords: inventory theory, simulation optimization, response surface methodology GİRİŞ Bozulabilen ürünler için envanter sistemleri geniş uygulama alanlarından dolayı (yiyecek, kimyasal, radyoaktif maddeler, kan bankaları) birçok araştırmaya konu olmuştur. Envanter modellerinin büyük çoğunluğu ürünlerin süresiz olarak değer kaybına uğramadan saklanabileceğini varsayar. Dolayısıyla geleneksel envanter modellerinin bozulabilen ürünler için direkt kullanılması imkansızdır. Geleneksel model sonuçları, bu çalışmada yapıldığı gibi bozulabilen ürün envanter modelleri için yaklaşık başlangıç çözümü olarak kullanılabilir. Ürün bozulma süreleri, sabit ömürlü ve rasgele ömürlü olmak üzere iki kategoriye aynlabilir. Bu tür envanter sistemlerinde talep gelişleri, talep büyüklükleri ve temin süresi de rassal olabilmektedir. Problemdeki rassal parametrelerin çokluğu problemi karmaşıklaştırmakta ve analitik modellemeyi güç kılmaktadır. Bu durumlarda, bozulabilen ürünler için optimum envanter politikalarının belirlenmesinde simülasyona dayalı optimizasyon yaklaşımları alternatif olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu çalışmada, ürün bozulma süresi, temin süresi, talep büyüklüğü ve talepler arası sürenin rassal olduğu bir ortamda çalışan (T,S) periyodik gözden geçirme stok kontrol politikasının beklenen toplam kârı simülasyon yardımıyla incelenmiş ve optimum stok kontrol parametreleri Tepki Yüzeyleri Yöntemi (Response Surface Methodology (RSM)) kullanılarak 24

2 Bozulabilen Ürünler İçin Stokastik Envanter Politikalarının Simülasyonla Optimizasyonu tahmin edilmiştir. Envanter politikası olarak (T,S) tabanlı bir politikanın seçilmesinin sebebi, bozulabilen ürünlerde yaygın olarak sürekli kontrolden ziyade periyodik kontrolün kullanılmasıdır. Bu tür ürünlerin envanter seviyelerindeki sürekli ve sık değişimler sürekli kontrolü ekonomik kılmamaktadır. Diğer taraftan, bu çalışmada kullanılan simülasyon ile optimizasyon yaklaşımı sürekli kontrol politikaları için de kolayca adapte edilebilir. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Kısıtlı varsayımlar altında bozulabilen ürünler için analitik çözümler üreten modeller literatürde mevcuttur (bakınız Tablo ). Jagannathan ve Sen [99] önceden stoklamaya izin veren kan envanter problemi için çift aşamalı sistemi incelemişlerdir. Bu çalışmada temin süresi ve hazırlık maliyeti ihmal edilmiştir. Goh ve arkadaşları [993] iki tip talebin (taze ve daha az taze ürünler için) olduğu ve iki aşamadan oluşan bir envanter sisteminin yaklaşık modelini geliştirmişlerdir. Ravichandran [995] taleplerin Poisson sürecine göre ulaştığı ve tedarik süresinin pozitif olduğu durumun stokastik analizini yapmıştır. Bu modelde bozulma süresi sabittir. Chiu [995], beklenen ortalama maliyeti minimize eden {Q,r) sipariş politikasını belirleyen yaklaşık modeli geliştirmiş ve simülasyon sonuçları ile karşılaştırmıştır. Fujiwara ve arkadaşları [ 997], sonlu ömür süreli ürün ve iki aşamadan oluşan envanter sistemi için optimum sipariş politikalarını belirleyen modeli geliştirmişlerdir. Sıfır temin süresi modelin kullanım alanını sınırlamaktadır. Giri ve Chaudhuri [998], EOQ modelini bozulabilen ürünler için ve talebin eldeki stoğa bağlı olduğu durumu dikkate alarak genişletmiştir. Ancak, bu çalışmada temin süresi sıfır alınmıştır. Bu çalışmanın önceki çalışmalardan temel farkı, analitik çözümlerin mümkün olmadığı durumlarda kullanılabilecek simülasyona dayalı genelleştirilmiş bir optimizasyon algoritmasını önermesidir. MODELİN TANIMI Bu çalışmada, bozulabilen ürünler için (T,S) periyodik gözden geçirme stok kontrol politikası incelenmiştir. I(t), t anında elde bulunan envanter seviyesini göstersin. Bu politikaya göre her T zaman aralığından sonra eldeki envanter seviyesi gözden geçirilmekte ve S-I(t) miktarı kadar sipariş verilmektedir. Envanter sisteminin çalışmasıyla ilgili şu temel varsayımlar yapılmıştır: l)tedarik süresi rassaldır; 2) Siparişler toplu olarak ulaşmaktadır; 3) Model tek ürün için geçerlidir; 4) Talep gelişleri Poisson sürecine uymakta ve talep büyüklüğü rassaldır; 5) Karşılanmayan talep kaybedilmektedir; 6)Ürünlerin bozulma süresi tir. Modelde kullanılan diğer parametreler toplu halde aşağıda sıralanmıştır: Tablo : Literatürdeki analitik yöntemlerin karşılaştırılması Yazar Adı, Yılı Jagannathan, R. & Sen, T. (99) Temin Süresi sıfır Talep Fonksiyonu veya rassal Bozulma Süresi Tek veya Çift Aşamalı çift Açıklamalar Kan envanteri Goh, C. et al. (993) Poisson Poisson çift Kan envanteri Ravichandran, N. (995) rassal Poisson tek {S,s) sürekli Chiu, H.N. (995) rassal tek {Q,r) politikası Fujiwara,. et al. (997) GiriB. C. & Chaudhuri, K. S. (998) sıfır sıfır rassal stoğa bağlı çift tek Optimal sipariş politikası EOQ-türü model 25

3 Rizvan Erol, Caner Testik T t u L(t) t d = Deterministik ömür süresi [gün] = Planlanan kullanma süresi [gün] = Tedarik süresinin olasılık yoğunluk fonksiyonu = Ortalama talep geliş hızı [müşteri/gün] = Talepler arası süre [gün] D(n) Talep büyüklüğünün (n) olasılık yoğunluk fonksiyonu C s = Birim hazırlık maliyeti [$/sipariş] C, = Birim elde bulundurmama maliyeti [$/adet] C h = Birim elde bulundurma maliyeti [$/yıl/adet] C d = Birim bozulma maliyeti [$/adet] C = Birim değişken satın alma maliyeti[$/adet] p = Birim satış fiyaü[$/adet] Modelde t u ile gösterilen "planlanan kullanma süresi" terimi müşterinin ürünü satın aldıktan sonra ürünü muhafaza etmeyi (kullanmayı) düşündüğü süredir. Bu süre kişisel kullanım alışkanlıklanna bağlı olacağından bu çalışmada rastgele kabul edilmiş ve kesikli bir dağılımla ifade edilmiştir. Modelde en büyüklenmeye çalışılan amaç fonksiyonu ortalama günlük kâr (AP), elde edilecek satış gelirinden ( pn p ) hazırlık {C S N S ), saunalma (C p N p ), bozulma( C d N d ), elde bulundurma {C h I + ) ve elde bulundurmama maliyetleri {C t I_ ) düşülerek aşağıdaki şekilde hesaplanmaktadır. Denklem (l)'de N p ortalama sipariş miktarı, N s ortalama sipariş sayısı, N d ortalama bozulan ürün miktan, J ortalama eldeki envanter seviyesi, /_ ortalama karşılanamayan (kaybedilen) talep miktarı olup, geliştirilen simülasyon modeli tarafından tahmin edilmektedir. SİMÜLASYON İLE OPTİMİZASYON ALGORİTMASI Öngörülen envanter modelinin kesin analitik çözümünün çok güç ve takip edilemez olması nedeniyle, simülasyon ile optimizasyon alternatif bir yaklaşım olarak karşımıza çıkmaktadır. Geliştirilen simülasyon modelinin akış şeması Şekil l'de özetlenmiştir. Simülasyon ile optimizasyon son yıllarda bilgisayar teknolojisindeki hızlı gelişmeler sayesinde uygulanabilir hale gelmiştir. Bu çalışmada önerilen (D optimizasyon algoritmasının adımlan Şekil 2'deki akış şemasında özetlenmiştir. Algoritmanın ilk adımı, S ve T kontrol değişkenleri için bir başlangıç çözümünün belirlenmesidir. Başlangıç çözümünün optimuma yakın bir bölgede seçilmesi çözüm zamanını kısaltacaktır. Bu amaçla, ürün bozulması dikkate alınmadığı takdirde, Ekonomik Sipariş Aralığı (EOI) yöntemi kullanılabilir. Sipariş aralığı için başlangıç değeri (2) denkleminden elde edilir. Sipariş aralığı ve temin süresi boyunca talep miktarının dağılımı, bağımsız Poisson dağılımlarının toplamının yine Poisson kalması özelliğinden dolayı aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: Başlangıç sipariş seviyesi ( S ) verildiğinde T Q +L zaman aralığındaki talebin karşılanmama olasılığı (3) olacaktır. Dolayısıyla S, servis seviyesi kısıtını sağlayan en küçük değer olarak seçilmelidir. Başlangıç çözümünden başlayarak optimum çözüme ulaşmak için Tepki Yüzeyleri yöntemi kullanılacaktır. Gösterimi basitleştirme açısından bu noktadan itibaren x t ve x 2 değişkenleri, sırasıyla kodlanmış S ve T değerlerini göstersin. Elde edilen başlangıç çözümü, aşağıda verilen birinci mertebe modeli kurmak için gerekli ortogonal 2 2 faktoriyel tasarımın merkezi olacaktır. (4) Simülasyon deneylerinden elde edilen gözjemlerin en küçük kareler yönteminde kullanılması ile elde edilen ß l ve ß 2 parametre tahminleri amaç fonksiyonunu artıracak en dik yolun (steepest-ascent) belirlenmesinde kullanılabilir (Şekil 3). En dik yolun belirlenmesi: Adım : x;, için adım büyüklüğü seçilir. xj seçilirken mutlak değerce katsayısı en büyük olan değişkeninin seçilmesinde fayda vardır. Adım 2: Diğer değişkene ait adım büyüklüğü için formülü kullanılır. 26

4 Bozulabilen Ürünler için Stokastik Envanter Politikalarının Simülasyonla Optimizasyonu 27

5 Rızvan Erol, Caner Testik Birinci mertebe modelin yetersiz olması, ikinci mertebe veya ikili etkileşim etkilerinin anlamlı olduğu bir bölgeye ulaşıldığının bir işareti olacaktır. Aşağıda verilen ikinci mertebe modelin kurulması için en uygun deneysel tasarım, Şekil 4'de gösterilen Merkezi Kompozit tasanmdır (Central Composite Design). İkinci mertebe modelin anlamlı çıkması durumunda, deneysel tasarım bölgesinin içinde veya Şekil 2. Optimizasyon Algoritmasının Akış Şeması 28

6 Bozulabilen Ürünler îçin Stokastik Knvanter Politikalarının Simülasyonla Optimizasyonu Optimum Bölge Uygulanabilir Bölge ikinci mertebe modelin Denklem (7)'deki kanonik gösterime dönüştürülmesi gerekir; Burada, w s er dönüştürülmüş bağımsız değişkenleri ' er ise B matrisinin eigen değerlerini göstermektedir. Bütün 'lerin negatif olması durağan noktanın maksimum olduğunu, pozitif olması ise minimum olduğunu gösterir. Aksi takdirde, durağan nokta bir eyer noktası olacaktır. SAYISAL SONUÇLAR Şekil 3. En Dik Yol Yönteminin Şematik Gösterimi Algoritmanın çalışmasını göstermek için şu verilere sahip örneği ele alalım: T 4 gün, t ~ Discrete(.,2,.,3,.2,5,.2,7,.4,), X =6 müşteri/gün, L~Discrete(.2,l,.6,2,.2,3), talep büyüklüğü= adet/müşteri, Cs = $/sipariş, C,=5.27$/adet, C ft =.5$/adet/gün, C d =5 $/adet, C =5 $/adet, p=55.27$/adet ve servis seviyesi = %9. Denklemler (2) ve (3) kullanılarak başlangıç çözümü S =25 ve T =5 olarak elde edilir. Birinci mertebe model için tasarımın merkezi (25,5) etrafındaki alt ve üst limitler sırasıyla S için 22, 28 ve T için 4.7, 5.3 alındığında Tablo 2'deki tam faktoriyal tasarım elde edilir. SIMAN dilinde hazırlanan simülasyon modeli tasarımın her noktasında adet bağımsız replikasyon için çalıştırılmıştır. Şekil 4. İkinci Mertebe Model İçin Merkezi Tablo 2. Birinci Mertebe Model İçin Simülasyon Deney Sonuçlan dışında bulunan durağan noktanın belirlenmesi gerekir. Bu amaçla, aşağıda matris gösterimi verilen doğrusal denklem sisteminin çözümü gerekir: Burada, (6) Doğal değişkenler S T Kodlanmış değişkenler x x z - - Tepki değişkeni AP 664,5 558,8 357,3 23,9 456,6 matrisleridir. Elde edilen durağan noktanın maksimum, minimum veya eyer noktası olup olmadığının belirlenmesi için Oluşturulan ANOVA tablosu incelendiğinde (Tablo 3) doğrusal etkilerin anlamlı olduğu (pdeğeri=.) ve Kuadratik etkilerin anlamlı olmadığı (p-değeri=.347) görülmektedir. Uyum eksikliği testi (p-değeri=.347) ve düzeltilmiş r 2 29

7 Rızvan Erol, Caner Testik Tablo 3. ANOVA Tablosu Kaynak Ortalama Doğrusal Kuadratik Kübik Rezidü Toplam SS df MS F-değeri p-değeri..347 Tablo 4 r. En Dik Yol Üzerinde Iterasyon Sonuçları Adım S 25, T 5, Kar 456,554 Elde Bulundurmama Mal. 23,674 Bozulma Mal. 82,582 Elde Bulundurma Mal. 892,74 Hazırlık Mal , 2, 5, 4,93 4,85 4,63 575, ,38 862,388 99,986 92,95 74,692 47,334 7, ,24 843, ,224 68,33 68,33 648, , 7, 5,, 4,48 4,33 4,25 4, 937,42 98,52 997,538 7,25 67,594 59,868 58,776 57,452 7,25 7,334,82,82 723,8 679, ,348 68, ,33 75,83 73, , 7;OD 95, 4,3 3,95 3,88 34,792 38,262 29,874 59,3 7,864 75,358,75,5 586,262 56,84 542, ,7 774,7 6 93, 3,8 23,88 86, , ,7 Şekil 5. En Dik Yol Üzerindeki Iterasyonlarda Maliyetler Ve Beklenen Kâr Grafiği 3

8 Bozulabilen Ürünler İçin Stokastik Envanter Politikalarının Simülasyonla Optimizasyonu Ortalama Kar Tepki Yüzeyi Şekil 6. Durağan Nokta Komşuluğunda Ortalama Kar Tepki Yüzeyinin Grafiği Ortalama Kar Contour Grafiği Şekil 7. Durağan Nokta Komşuluğunda Ortalama Kar Tepki Yüzeyinin İzdüşüm Grafiği değeri (.946), birinci mertebe modelin yeterli olduğunu göstermektedir. En küçük kareler yöntemiyle elde edilen model y = Xt JC 2 şeklindedir. Bu modelden yola çıkarak, en dik yol üzerindeki adım büyüklükleri kodlanmış değerler cinsinden Ax t = 2/3, Ax 2 =.25 ve doğal değişkenler cinsinden AS = -2, AT = -.75 olacaktır. Tablo 4 ve Şekil 5'de görülebileceği gibi, 5. adımdan itibaren amaç fonksiyonundaki artış durmaktadır. Bu durumda, artışın durduğu noktanın komşuluğunda birinci mertebe model için yeni 3

9 Rızvan Erol, Caner Testik simülasyon deneylerinin yapılması gerekir. Deneyler yapıldığında bu bölgede ikinci mertebe etkilerin de anlamlı olduğu (p-değeri=.) ve uyum eksikliği testinden birinci mertebe modelin tek başına yeterli olmadığı (p-değeri =.) görülmüştür. İkinci mertebe modelin kurulabilmesi için mevcut deneysel tasarımın, merkezi kompozit tasarıma genişletilmesi gerekir. Şekil 4'de gösterilen tasarıma ait simülasyon deneyleri sonucunda elde edilen Denklem (5)'deki ikinci mertebe modelin katsayıları aşağıdaki matrislerde özetlenmiştir: çözüldüğünde durağan nokta X 5 = elde edilir. Durağan nokta deneysel tasarım bölgesinin içerisindedir, ikinci mertebe model kanonik gösterime dönüştürüldüğünde = ve =-3.45 bulunur. İki değerinin de negatif olması durağan noktanın bir maksimum olduğunu gösterir. Sonuç olarak, optimum politika ( S * = 98, T* ) ve karşı gelen maksimum kâr ise 58$/gün. Ortalama kârın tepki yüzeyi ve izdüşüm grafiği sırasıyla Şekil 6 ve 7'de verilmiştir. Şekil 7'de de görüldüğü gibi (T, S) tipi geleneksel envanter modellerinde kâr ya da maliyet fonksiyonlarının yaklaşık olarak T değişkeninden bağımsız olması, T değişkeninin (2) nolu denklem kullanılarak sabitlenmesi ve simülasyon optimizasyonu için sadece S değişkenin kullanılması yaklaşımını alternatif olarak karşımıza çıkarabilir. SONUÇ Bu çalışmada, analitik yöntemlerin yetersiz kaldığı bozulabilen ürünler için stokastik (T,S) periyodik gözden geçirme stok kontrol politikası için simülasyonla optimizasyon yöntemi önerilmiştir. Beklenen kâr fonksiyonu simülasyon yardımıyla tahmin edilmiş ve tepki yüzeyleri yöntemiyle de optimum T ve S parametreleri belirlenmiştir. Önerilen yöntem, rassallığm mevcut olduğu diğer envanter modellerine de kolaylıkla adapte edilip optimum envanter politikalarının belirlenmesinde kullanılabilir. KAYNAKÇA. Chiu, H. N., 995, "An Approximation to the Continuous Review Inventory Model with Perishable Items and Lead Times", European Journal of Operational Research, No. 87, Fujiwara, O., Soewandi, H., Sedarage, D., 997, "An Optimal Ordering and Issuing Policy for a Two-Stage Inventory System for Perishable Products", European Journal of Operational Research, No. 99, Giri, B. C. & Chaudhuri, K. S 998, "Deterministic Models of Perishable Inventory with Stock-Dependent Demand Rate and Nonlinear Holding Cost", European Journal of Operational Research, No. 5, Goh, C, Greenberg, B. S., Matsuo, H., 993, "Two-Stage Perishable Inventory Models", ManagementScience.Vol. 39, No.5, Jagannathan, R., Sen, T., 99, "Storing Crossmatched Blood: A Perishable Inventory Model with Prior Allocation", Management Science,Vol. 37, No. 3, Montgomery, D. C, 997, Design and Analysis of Experiments(4 th edition), John Wiley&Sons Inc. New York, NY. 7. Ravichandran, N, 995, "Stochastic Analysis of a Continuous Review Perishable Inventory System with Positive Lead Time and Poisson Demand", European Journal of Operational Research, No.84, DAHA ETKÎN, DAHA GÜÇLÜ BÎR ODA İÇİN ÜYELİK AİDATIMIZI ADRESİMİZİ YATIRALIM GÜNCELLEYELÎM 32