ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLME METOTLARI VE İTERASYON. Rüya YEĞİN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TOPLANABİLME METOTLARI VE İTERASYON Rüya YEĞİN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2011 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi TOPLANAB ILME METOTLARI VE ITERASYON Rüya YE ¼G IN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Prof.Dr. Cihan ORHAN Bu tez beş bölümden oluşmaktad r. Ilk bölüm giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde; iterasyon yöntemi, sabit nokta kavram ve Schauder sabit nokta teoremi verilmiştir. Iterasyon metoduyla elde edilen iterasyon dizisi yak nsak ise limit noktas n n dönüşümün sabit noktas oldu¼gu gösterilmiştir. Iterasyon dizisinin yak nsak olmamas durumunda toplanabilme metotlar n n yararl olabilece¼gi gösterilmiştir. Üçüncü bölümde; Mann iterasyon yöntemi incelenmiştir. Hilbert uzay nda bu dönüşümlerle elde edilen Mann tipi iterasyon dizisinin dönüşümün sabit noktas na kuvvetli yak nsak oldu¼gu ispatlanm şt r. Dördüncü bölümde; Cesàro ortalamas n n Mann iterasyonu verilmiştir. Bu iterasyon dizisinin, dönüşümün sabit noktas na kuvvetli ve zay f yak nsak oldu¼gu gösterilmiştir. Son bölümde; A-istatistiksel yak nsakl k, istatistiksel yak nsakl k ve istatistiksel regüler matris kavramlar çal ş lm şt r. Istatistiksel regüler matrisler arac l ¼g yla elde edilen Mann iterasyon dizisinin dönüşümün sabit noktas na istatistiksel ve A- Istatistiksel yak nsak oldu¼gu gösterilmiştir. Haziran 2011, 47 sayfa Anahtar Kelimeler : Toplanabilme Metodu, Sabit Nokta, Mann Iterasyonu, Istatistiksel Regüler Matris. i

3 ABSTRACT Master Thesis SUMMABILITY METHODS AND ITERATION Rüya YE ¼G IN Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof.Dr. Cihan ORHAN This thesis consists of ve chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. In the second chapter; iteration method, the concept of xed point and Schauder xed point theorem has been given. If iteration sequence obtained by iteration method converges, it has been shown that its limit point is a xed point of transformation. It has been shown that if the iteration sequence is not convergent then use of the summability methods may be bene cal. In the third chapter; Mann iteration method has been examined. It has been proved that the Mann iteration sequence obtained by these mappings converges strongly to their xed point in a Hilbert space. In the fourth chapter; Mann iteration of Cesàro means has been given. It has been shown that this iteration sequence converges strongly and weakly to xed point of transformation. In the last chapter; the concept of A-statistical convergence, statistical convergence and statistical regular matrix have been studied. It has been shown that the Mann iteration sequence obtained via the statistical regular matrix converges statistically and A-statistically to xed point of transformation. June 2011, 47 pages Key Words: Summability Methods, Fixed Point, Mann Iterations, Statistically Regular Matrix. ii

4 TEŞEKKÜR Bu çal şma konusunu bana vererek çal şmalar m boyunca yak n ilgi ve yard mlar n esirgemeyen hocam, Say n Prof. Dr. Cihan Orhan (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) a en içten sayg ve minnetlerimi sunar m. Yüksek lisans tezim boyunca haftal k seminerlerimizde benimle birlikte olan arkadaşlar ma en içten teşekkürlerimi sunar m. Bu tez "TÜB ITAK-2210 Yüksek Lisans Burs Program " taraf ndan desteklenmiştir. TÜB ITAK a en içten teşekkürlerimi sunar m. Hayat m n tüm aşamalar nda beni yaln z b rakmayan ve destekleyen aileme sonsuz teşekkürler ederim. Rüya YE ¼G IN Ankara, Haziran iii

5 IÇ INDEK ILER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER D IZ IN I v 1. G IR IŞ BANACH UZAYLARINDA ITERASYON YÖNTEM I Sabit Nokta Iterasyon Yöntemi Iterasyonda Toplanabilme Metotlar H ILBERT UZAYLARINDA MANN ITERASYONU Dönüşümler Mann Iterasyon Yöntemi Iterasyon Dizisinin Kuvvetli Yak nsak Olmas AS IMPTOT IK GEN IŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER IÇ IN CESÀRO ANLAMINDA MANN ITERASYONU Asimptotik Genişlemeyen Dönüşüm Cesàro Ortalamas n n Mann Iterasyonu Iterasyon Dizisinin Kuvvetli Yak nsak Olmas Iterasyon Dizisinin Zay f Yak nsak Olmas ISTAT IST IKSEL REGÜLER MATR ISLER ARACILI ¼GIYLA MANN ITERASYONU Istatistiksel Yak nsakl k A- Istatistiksel Yak nsakl k Istatistiksel Regüler Matris Iterasyon Dizisinin A- Istatistiksel Yak nsak Olmas Iterasyon Dizisinin Istatistiksel Yak nsak Olmas KAYNAKLAR ÖZGEM IŞ iv

6 S IMGELER D IZ IN I N Do¼gal say lar R Reel say lar K Skaler cisim st(a; X) X de¼gerli A-istatistiksel yak nsak diziler uzay bst(a; X) X de¼gerli A-istatistiksel yak nsak ve s n rl diziler uzay (D) D kümesinin asimptotik yo¼gunlu¼gu jdj D kümesinin eleman say s D c A C 1 h:h:k `1 k:k 1 s f(ax) n g bst 0 (A; X) st 0 (A; X) m(x) A (K) M(:; :; :) D kümesinin karakteristik fonksiyonu A matrisinin toplanabilirlik alan Cesàro matrisi Hemen her k S n rl diziler uzay `1 uzay n n al ş lm ş supremum normu Reel ya da kompleks terimli tüm diziler uzay x dizisinin A matrisi alt ndaki dönüşüm dizisi X de¼gerli s f ra A-istatistiksel yak nsak ve s n rl diziler uzay X de¼gerli s f ra A-istatistiksel yak nsak diziler uzay X de¼gerli s n rl diziler uzay K kümesinin A yo¼gunlu¼gu Mann iterasyon yöntemi (:; :; :) Iterasyon yöntemi v

7 1. G IR IŞ Ilk defa 1953 y l nda Robert Mann raksak iterasyon dizilerinin yak nsakl ¼g n gösterebilmek için toplanabilme metotlar na başvurmuştur. Iterasyon dizisi yak nsaksa limit noktas n n dönüşümün sabit noktas oldu¼gunu göstermiştir. Aksi halde, yani iterasyon dizisi raksak iken toplanabilme metotlar n kullanman n yarar sa¼glayaca¼g n düşünmüştür. Cesàro matrisinin tan m n vermiş ve Cesàro matrisi ile elde edilen iterasyon dizisinin klasik anlamda yak nsak oldu¼gunu göstermiştir. Arif Ra q, 2007 y l nda yay nlad ¼g makalesinde farkl dönüşümler tan mlam şt r. Ayn zamanda bu dönüşümlerle elde edilen Mann iterasyon dizisinin, dönüşümün sabit noktas na kuvvetli yak nsak oldu¼gunu göstermiştir y l nda yay nlanan Yisheng Song un çal şmas nda ise Cesàro anlam nda Mann iterasyonu tan mlanm şt r. Bu iterasyon dizisinin Banach uzay nda sabit noktaya kuvvetli ve zay f yak nsak olmas durumlar verilmiştir y l nda yay nlanan Enno Kolk un makalesinde istatistiksel regüler matris tan mlanm şt r. Kolk bu matris arac l ¼g yla elde etti¼gi Mann iterasyon dizisinin dönüşümün sabit noktas na istatistiksel ve A istatistiksel yak nsak oldu¼gunu göstermiştir. Bu yüksek lisans tezi yukar daki çal şmalar n bir derlemesinden oluşmaktad r ve bu yüksek lisans tezinin amac iterasyon yöntemlerinde toplanabilme metotlar n n kullan lmas d r. Ayn zamanda sabit noktan n varolma durumundan da bahsedilmiştir. Bu amaçla teze sabit nokta, iterasyon yöntemi gibi kavramlar tan t larak başlanacakt r. Ard ndan farkl uzaylarda farkl iterasyon dizileri elde edilecektir. Elde edilen iterasyon dizilerinin dönüşümün sabit noktas na yak nsakl klar incelenecektir. 1

8 2. BANACH UZAYLARINDA ITERASYON YÖNTEM I Bu bölümde öncelikle sabit noktan n tan m verilecek ard ndan Cesàro matrisi ile elde edilen iterasyon dizisinin yak nsakl ¼g incelenecektir. 2.1 Sabit Nokta Bu k s mda sabit noktan n tan m ve oldukça yayg n bir şekilde kullan lan Schauder sabit nokta teoremi verilecektir. Tan m (Sabit Nokta) X key bir küme olmak üzere; T : X! X dönüşümünün sabit noktas, kendi üzerine dönüştürülen yani, T x = x olacak şekilde T taraf ndan sabit b rak lan bir x 2 X noktas d r (Kreyszig 1989). Aşa¼g daki teorem ispats z verilecektir. Teorem (Schauder Sabit Nokta Teoremi) Bir Banach uzay n n kapal, s n rl, konveks bir M altkümesini kendisine dönüştüren sürekli T dönüşümünün M kümesinde en az bir sabit noktas vard r (Conway 1990). Günümüzde Schauder sabit nokta teoremi varl k teoremlerini ispatlamak için Matematikçilerin kulland ¼g önemli teoremlerdendir. 2.2 Iterasyon Yöntemi Bu k s mda iterasyon yöntemi tan mlanarak iterasyon dizisinin nas l oluşturulaca¼g na de¼ginilecektir. Tan m Bir A kümesinin konveks olmas için gerek ve yeter koşul x 1; x 2 ; : : : ; x n 2 A ve t 1; t 2 ; : : : ; t n 2 [0; 1] olmak üzere t j = 1 iken t j x j 2 A olmas d r (Conway 1990). j=1 j=1 2

9 Tan m Sabit noktaya en iyi yaklaş m elde etmek için inşaa esas na dayanan yönteme iterasyon yöntemi denir (Kreyszig 1989). Key bir Banach uzay üzerinde konveks kompakt E kümesi al nm ş olsun. T, E kümesini kendi içine dönüştüren sürekli bir dönüşüm yani, T : E! E olsun. O halde Schauder sabit nokta teoreminden T dönüşümünün en az bir sabit noktas olmal d r. E de öyle bir fx n g dizisi inşaa etmeliyiz ki T dönüşümünün bir sabit noktas na yak nsak olsun. Bunun içinde E de key bir x 1 noktas seçip, T dönüşümünün ard ş k iterasyonlar ile elde edilen fx n g dizisini gözönüne alal m. T (x 1 ) = x 2 T (x 2 ) = x 3. T (x n ) = x n+1 x n+1 = T (x n ) (2.1) E¼ger (2:1) ifadesindeki bu dizi yak nsaksa bunun limit noktas T dönüşümünün bir sabit noktas d r. Bunu göstermek için iterasyon dizisinin yak nsak oldu¼gunu örne¼gin lim x n = p oldu¼gunu kabul edelim. T sürekli dönünüşüm oldu¼gundan lim T (x n) = T (p) lim x n+1 = T (p) elde edilir. x n! p iken x n+1! p oldu¼gunu biliyoruz. Bu durumda x n+1! p ve x n+1! T (p) oldu¼gu görülür. Limit noktas n n bir tek olmas nedeniyle T p = p gerçeklenir. Yani p; T dönüşümünün sabit noktas d r. Bu da ispat tamamlar. 3

10 Yak nsak bir iterasyon dizisinin T dönüşümünün bir sabit noktas na yak nsak oldu¼gu görüldü. Yak nsak olmayan iterasyon dizileri için ise matris toplanabilme metotlar n kullanmak yarar sa¼glar. Bu yöntem bir sonraki k s mda incelenecektir. 2.3 Iterasyonda Toplanabilme Metotlar Bu k s mda yak nsak olmayan iterasyon dizileri için toplanabilme metotlar n n kullan m incelenecektir. Önce matris toplanabilme metotlar ile ilgili biraz bilgi verelim. Tan m X ve Y birer dizi uzay olsun. x = (x k ) 2 X ve her n 1 için 1X y n := (Ax) n = a nk x k mevcut ise, yani sa¼gdaki seri her n 2 N için yak nsak ise y = (y n ) = f(ax) n g dönüşüm dizisi mevcuttur denir. E¼ger her x 2 X için y = f(ax) n g dönüşüm dizisi mevcut ve y 2 Y ise A = (a nk ) matrisi X uzay ndan Y uzay içine bir matris dönüşümü tan mlar denir. E¼ger bir x dizisi için Ax := f(ax) n g dönüşüm dizisi mevcut ve bir L de¼gerine yak nsak ise x dizisi A-toplanabilirdir denir ve A lim x = L ile gösterilir. X dizi uzay n Y içine dönüştüren bütün matrislerin s n f (X; Y ) ile gösterilir ve e¼ger A, X uzay ndan Y uzay içine bir matris dönüşümü ise A 2 (X; Y ) yaz l r. Toplam ya da limiti koruyan matrislerin s n f (X; Y ; p) ile gösterilir. Özel olarak X = Y = c olmak üzere A 2 (c; c) ise A matrisine konservatif matris ve A 2 (c; c; p) ise bu durumda A matrisine regüler matris denir. A matrisinin regüler olmas aşa¼g daki teoremle karakterize edilir. Teorem (Silverman-Toeplitz) A 2 (c; c; p) olmas için gerek ve yeter koşul (i) k A k= sup n 1X j a nk j< 1 (ii) Her k için lim a nk = 0 (iii) lim 1X a nk = 1 koşullar n n gerçeklenmesidir (Boos 2000). 4

11 Yak nsak olmayan bir iterasyon dizisinin T (x n ) = x n+1 (2.2) ile tan mland ¼g n kabul edelim. Üçgen sonsuz bir A = (a nk ) matrisi ; 2 A = : : : 0 0 : : : a 21 a 22 0 : : : 0 0 : : : : : : : : : : a n1 a n2 : : : a nn 0 0 : : : : : : : : : : şeklinde tan mlans n ve a ij 0 ; 8 i; j a ij = 0 ; j i i lim i a ij = 0 ; 8 j ix a ij = 1 ; 8 i j=1 (2.3) şartlar n sa¼glas n. O halde A matrisinin regüler bir matris oldu¼gu kolayca görülür. Konveks kompakt E kümesi üzerinde key bir x 1 eleman n alal m. Iterasyon yöntemini düzenleyerek; x n+1 = T (v n ) (2.4) v n = a nk x k (2.5) şeklinde ifade edelim.(2.3) ifadesindeki s n rlamalar alt nda yukar daki (v n ) dizisinin E kümesine ait olaca¼g aç kt r. Çünkü (2:3) ifadesinde key n; k için a nk 0 ve a nk = 1 verilmiştir. Böylece a nk 2 [0; 1] elde edilir. E kümesi konveks küme oldu¼gundan konvekslik tan m ndan v n = a nk x k 2 E bulunur. A matrisiyle elde edilen genelleştirilmiş iterasyon dizisini (x 1 ; A; T ) biçiminde ifade 5

12 edebiliriz. Bu iterasyon dizisi key bir x 1 noktas, A matrisi ve T sürekli dönüşümü seçilerek oluşturulur. A matrisi birim matris al n rsa; (x 1 ; I; T ) iterasyon dizisi elde edilir. Teorem (2.4) ve (2.5) ifadesindeki koşullar sa¼glayan fx n g ve fv n g dizilerinden herhangi biri bir p noktas na yak nsak olsun. O halde di¼ger dizi de ayn de¼gere yak nsakt r ve bu ortak limit noktas T dönüşümünün sabit noktas d r (Mann 1953). Ispat. fx n g dizisinin yak nsak oldu¼gunu varsayal m. Yani; lim x n = p olsun. v n = a nk x k ve A regüler matris oldu¼gundan lim v n = p elde edilir. T sürekli oldu¼gundan lim T (v n) = T (p) lim x n+1 = T (p) gerçeklenir. x n! p oldu¼gunudan x n+1! p olur. Bu durumda x n+1! p ve x n+1! T (p) oldu¼gu görülür. Limit noktas n n bir tek olmas nedeniyle T p = p gerçeklenir. Yani p, T dönüşümünün sabit noktas d r ve lim v n = p elde edilir. Şimdi de; fv n g dizisi yak nsak olsun. Yani; lim v n = q 6

13 olsun. T sürekli oldu¼gundan gerçeklenir. A regüler matris oldu¼gundan lim T (v n) = T (q) lim x n+1 = T (q) lim x n = T (q) T (q) = lim x n = lim v n = q olacakt r. O halde; T (q) = q gerçeklenir. Yani q, T dönüşümünün sabit noktas d r ve lim x n = q elde edilir. Bu da ispat tamamlar. fx n g ve fv n g dizilerinin yak nsak olmad ¼g n kabul edelim. O halde birden fazla limit noktas na sahip olmal d r. Çünkü diziler E kompakt kümesine ait oldu¼gundan s n rl d r. Ayr ca; E kümesi kompakt oldu¼gundan kapal d r. Yani, limit noktalar n içerir. O halde dizi birden fazla limit noktas na sahip olacakt r. x dizisinin limit noktalar n n kümesi X, v dizisinin limit noktalar n n kümesini V ile gösterelim. Teorem fs n g bir metrik uzayda s n rl kompleks dizi olsun. E¼ger; lim d(s n;s n+1 ) = 0 sa¼glan yorsa dizinin limit noktalar n n kümesi irtibatl d r (Barone 1939). Teorem (2.3) ifadesindeki şartlar gerçekleyen A matrisi ek olarak lim lim a n;n = 0 ja n+1;k a n;k j = 0 (2.6) şartlar n da sa¼glas n. O halde X ve V kapal ve irtibatl d r (Mann 1953). 7

14 Ispat. V, fv n g dizisinin limit noktalar n n kümesi olsun. V, E kompakt kümesine ait oldu¼gundan kapal d r. Kapal l k topolojik bir özellik oldu¼gundan sürekli dönüşümler alt nda korunur. O halde X = T (V ) oldu¼gundan X de kapal d r. v n = a nk x k ile verildi¼ginden; v n+1 v n = = kv n+1 v n k = kv n+1 v n k kv n+1 v n k Xn+1 a n+1;k x k a n;k x k (a n+1;k a n;k ) x k + a n+1;n+1 x n+1 (a n+1;k a n;k ) x k + a n+1;n+1 x n+1 a n;k ) x k + a n+1;n+1 x n+1 k k(a n+1;k k(a n+1;k a n;k ) x k k + ka n+1;n+1 x n+1 k elde edilir.fx n g dizisi E kompakt kümesinden al nd ¼g için s n rl d r. kv n+1 v n k sup kx k k k kv n+1 v n k kxk 1 ja n+1;k ja n+1;k a n;k j + ka n+1;n+1 x n+1 k a n;k j + ja n+1;n+1 j sup kx n+1 k n bulunur. kxk 1 < 1, (2:6) ifadesinden ja n+1;k lim a n+1;n+1 = 0 oldu¼gu biliniyor. O halde; a n;k j! 0 (n! 1) ve kv n+1 v n k! 0 (n! 1) gerçeklenir. lim (v n+1 v n ) = 0 oldu¼gundan Teorem den V kümesi ba¼glant l d r. Ba¼glant l l k topolojik bir özellik olup sürekli dönüşüm alt nda korunur. Tek parçadan oluşan kümenin sürekli dönüşüm alt nda iki parçal bir küme haline dönüştürülemeyece¼gi aç kt r. O halde X = T (V ) oldu¼gundan X de kapal ve ba¼glant l d r. 8

15 Tezin tamam nda Cesàro matrisi C 1 ile gösterilecektir. Cesàro matrisi olarak tan mlan r. O halde; 8 < 1 ; 1 k n n c nk = : 0 ; k > n 2 C 1 = : : : 0 0 : : : 1=2 1=2 0 : : : 0 0 : : : : : : : : : : 1=n 1=n : : : 1=n 0 0 : : : : : : : : : : elde edilir. (x 1 ; C 1 ; T ) ; Cesàro matrisi ile elde edilen iterasyon dizisini ifade etmektedir. E de key bir x 1 eleman n alal m. A matrisi yerine Cesàro matrisi al n rsa; v n = a nk x k = 1 n x k biçiminde elde edilir. Ifade düzenlenirse; v n+1 v n = 1 Xn+1 1 x k n + 1 n x k 1 = n + 1 fx x n+1 g = x n+1 1 x k n + 1 n(n + 1) = T (v n) n + 1 = T (v n) n n(n + 1) 1 n + 1 v n x k 1 n fx x n g Yani; elde edilir. v n+1 v n = T (v n) v n n + 1 (2.7) 9

16 Banach uzay yerine reel eksen, konveks kompakt E kümesi yerine de kapal ve s n rl aral k al n rsa aşa¼g daki özel durum elde edilir. Teorem T : [a; b]! [a; b] tan mlanm ş sürekli bir fonksiyon olsun. T fonksiyonu tek bir p sabit noktas na sahip ise [a; b] aral ¼g ndaki bir x 1 eleman n n her seçimi için (x 1 ; C 1 ; T )! p gerçeklenir (Mann 1953). Bu teoremin ispat n vermek yerine daha genel bir teorem verilecektir. Ispat kolaylaşt rmak için [0; 1] aral ¼g al nm şt r. Teorem T : [0; 1]! [0; 1] tan mlanm ş sürekli bir fonksiyon olsun. T fonksiyonu bir tek p sabit noktas na sahip ise [0; 1] aral ¼g ndaki bir x 1 eleman n n her seçimi için (x 1 ; C 1 ; T )! p gerçeklenir (Franks ve Marzec 1971). Ispat. (2.7) ifadesinden v n+1 v n = T (v n) v n n + 1! 0; (n! 1) oldu¼gu biliniyor. Çünkü tan m kümesi ve de¼ger kümesi [0; 1] aral ¼g na ait oldu¼gundan ft (v n )g ve fv n g s n rl d r. O halde jv n+1 v n j 1 ; n = 1; 2; ::: (2.8) n + 1 olarak bulunur. Ilk olarak fv n g dizisinin yak nsakl ¼g n inceleyelim. fv n g dizisi s n rl bir aral kta tan ml oldu¼gu için Bolzano-Weierstrass teoreminden en az bir limit noktas vard r. fv n g dizisinin birbirinden farl 1 < 2 olacak biçimde iki limit noktas n n varoldu¼gunu kabul edelim. Ispat iki aşamada tamamlayabiliriz. a) Öncelikle 1 ; 2 iki limit noktas olmak üzere her v 2 ( 1 ; 2 ) için T (v) = v oldu¼gunu göstermeliyiz. Key v 2 ( 1 ; 2 ) aral ¼g nda al ns n ve T (v ) > v olsun. g(v ) = T (v ) v dersek g(v ) > 0 bulunur. T fonksiyonu [0; 1] aral ¼g nda sürekli oldu¼gundan g fonksiyonuda 10

17 [0; 1] aral ¼g nda süreklidir. O halde bir > 0 vard r öyle ki 2 0; v 1 seçilirse 2 jv v j < koşulunu sa¼glayan her v için Işaret koruma özelli¼ginden g(v) > 0 bulunur. Yani T (v) > v elde edilir. Bu durumda jv n v j < iken T (v n ) > v n (2.9) elde edilir. (2.8) ifadesinden öyle bir N say s vard r ki jv n+1 v n j < ; n = N; N + 1; ::: (2.10) bulunur. Ayn zamanda v 2 ( 1 ; 2 ) oldu¼gunda 2 > v gerçeklenir. 2, fv n g dizisinin limit noktas oldu¼gundan öyle bir N say s vard r ki (2.9) ifadesinden v < v n < v + ; her n N elde edilir. Yani; v 2 ( 1 ; 2 ) ve 2 0; v 1 olmak üzere 2 v n > v > v v 1 2 > v > 1; n = N; N + 1; :: (2.11) eşitsizli¼gi elde edilir. O halde (11) ifadesinden 1 noktas n n fv n g dizisi için limit noktas olamayaca¼g görülür. Şimdi de T (v ) < v olsun. Bu durumda da 2 noktas n n fv n g dizisi için limit noktas olamayaca¼g görülür. Öyleyse T (v ) < v ve T (v ) > v olmas limit noktalar n n varl ¼g yla çelişmektedir. O halde her v 2 ( 1 ; 2 ) için T (v ) = v elde edilir. b) Ikinci aşamada 1 ve 2 gibi iki farkl limit noktas olamayaca¼g gösterilecektir. v n =2 ( 1 ; 2 ) ; her n = 1; 2; ::: (2.12) oldu¼gu görülür. Çünkü T (v n ) = v n olsayd (2.7) ifadesinden her m = n + 1 n için 11

18 v m = v n olurdu. Yani belli bir yerden sonra sabit dizidir. Bu yüzden 1 ve 2 iki fakl limit noktas olamaz. (2.8) ve (2.12) ifadesinden bir M say s vard r öyleki e¼ger v M 2 ise her n > M için v n 2 1 elde edilir. Bu eşitsizlikten görülüyor ki 1 ; fv n g dizisi için limit noktas olamaz. E¼ger v M 1 ise her n > M için v n < 1 < 2 eşitsizli¼gi elde edilir. Bu eşitsizlikten görülüyor ki 2 ; fv n g dizisi için limit noktas olamaz. Yani; fv n g dizisinin iki farkl limit noktas olamaz. En az bir tane limit noktas oldu¼gu bilindi¼gi için fv n g dizisinin gibi bir tek limit noktas vard r. O halde lim v n = elde edilir. Teorem den lim x n = gerçeklenir. Hatta yine Teorem den eleman T fonksiyonunun bir sabit noktas olmak zorundad r. Hipotezden T fonksiyonunun yegâne sabit noktas p oldu¼gundan demek ki = p olmal d r. Bu da ispat tamamlar. 12

19 3. H ILBERT UZAYLARINDA MANN ITERASYONU Bu bölümde key bir Hilbert uzay nda konveks kompakt bir küme al nacakt r. T fonksiyonu yerine, yeni tan mlanacak dönüşümlerden birini al n p iterasyon dizisinin dönüşümün sabit noktas na kuvvetli yak nsak oldu¼gu gösterilecektir. Konuya baz dönüşümlerin ve ihtiyac m z olacak kavramlar n tan m vererek başlayal m. 3.1 Dönüşümler Bu k s mda sözde büzülme dönüşümü, kuvvetli büzülme dönüşümü ve yar büzülme dönüşümleri ile iççarp m uzay n n tan mlar verilecektir. Tan m ( Iççarp m Uzay, Hilbert Uzay ) Bir iççarp m uzay ; üzerinde bir iççarp m tan mlanm ş bir X vektör uzay d r. Bir Hilbert uzay ise üzerinde iççarp mla tan mlanm ş metri¼ge göre tam olan bir iç çarp m uzay d r. Burada sözü edilen iççarp m < : ; : >: X X! K X X den K skaler cismi içine yap lan bir dönüşümdür. Key x; y, z vektörleri ve skaleri için aşa¼g daki özellikleri gerçekleyen bir skalerle eşleşmektedir. i) < x + y; z >=< x; z > + < y; z > ii) < x; y >= < x; y > iii) < x; y >= < y; x > iv) < x; x > 0; < x; x >= 0, x = 0 (Kreyszig 1989). Tan m (Kompakt Metrik Uzay ) X = (X; d) bir metrik uzay olsun. X deki her dizi yak nsak bir altdiziye sahipse (X; d) uzay na kompakt metrik uzay denir. 13

20 Tan m H key bir Hilbert uzay ; T : H! H bir dönüşüm olsun. E¼ger; her x; y H için kt x T yk 2 kx yk 2 + k(i T )x + (I T )yk 2 (3.1) eşitsizli¼gi sa¼glan yorsa T dönüşümüne sözde büzülme dönüşümü denir (Ra q 2007). E¼ger; her x; y H için kt x T yk 2 kx yk 2 + k k(i T )x + (I T )yk 2 olacak biçimde k 2 (0; 1) varsa T dönüşümüne kuvvetli sözde büzülme dönüşümü denir (Ra q 2007). F (T ) = fx H : T x = xg olarak tan mlans n. Yani, T dönüşümünün Hilbert uzay ndaki sabit noktalar n n kümesi F (T ) olsun: Bu kümenin elemanlar x biçiminde gösterilecektir.? 6= G H olmak üzere T : G! G bir dönüşüm olsun. E¼ger; her x H, x F (T ) için kt x x k 2 kx x k 2 + kx T xk 2 eşitsizli¼gi sa¼glan yorsa T dönüşümüne yar büzülme dönüşümü denir. Kolayca görülebilir ki sabit noktaya sahip sözde büzülme dönüşümü yar büzülme dönüşümünün bir alt s n f d r. Gerçekten de; T : H! H sözde büzülme dönüşümü olsun. O halde; her x H; y H için kt x T yk 2 kx yk 2 + k(i T )x + (I T )yk 2 sa¼glan r. Key bir x 2 H ve y F (T ) H alal m. y F (T ) oldu¼gundan T y = y = y 14

21 sa¼glan r. (3.1) de yerine koyup düzenlenirse; her xh; y F (T ) için kt x T yk 2 kx yk 2 + kx T x y T yk 2 kt x T yk 2 kx yk 2 + kx T xk 2 olarak bulunur. Böylece kt x y k 2 kx y k 2 + kx T xk 2 elde edilir. Bu da sabit noktaya sahip her sözde büzülme dönüşümünün yar büzülme dönüşümü oldu¼gunu gösterir. Günümüze kadar birçok matematikçi de¼gişik iterasyon yöntemleri tan mlam ş ve bu yöntemlerle elde edilen iterasyon dizilerinin yak nsakl klar ile ilgilenmiştir. Bunlar içinde en çok kullan lan ve üzerinde araşt rma yap lan iterasyon yöntemlerinden biri Mann tipi iterasyon yöntemidir. 3.2 Mann Iterasyon Yöntemi Bu k s mda Mann iterasyon dizisinin tan m verilecektir. Tan m Bir E Banach uzay n n konveks altkümesi D olmak üzere T : D! D bir dönüşüm olsun. Key bir x 1 2 D için fx n g dizisi; x n+1 = c n T x n + (1 c n )x n ; n 1 biçiminde tan ml olsun ve de fc n g reel dizisi 1X (i) 0 c n 1, (ii) lim c n = 0, (iii) c n = 1 n=1 şartlar n sa¼glas n. Bu şekilde tan mlanan yönteme Mann iterasyon yöntemi denir. Aşa¼g daki iki lemma ispats z olarak verilecektir (Ra q 2007). Lemma Kabul edelim ki; f n g ve f n g negatif olmayan say lar n iki dizisi 15

22 ve N 0 1 koşulunu sa¼glayan bir reel say s için n+1 n + n ; 8n N 0 şart n sa¼glas n. O halde a)e¼ger X n n < 1 ise lim n n vard r. b)e¼ger X n n < 1 ve f n g s f ra yak nsak bir altdiziye sahipse lim n n = 0 olmal d r (Ra q 2007). Lemma Key x; y 2 H ve 2 [0; 1] için ; k(1 )x + yk 2 = (1 ) kxk 2 + kyk 2 (1 ) kx yk 2 özdeşli¼gi sa¼glan r (Ra q 2007). 3.3 Iterasyon Dizisinin Kuvvetli Yak nsak Olmas Bu k s mda yar büzülme dönüşümüyle elde edilen Mann iterasyon dizisi üzerinde çal ş lacakt r. Bu iterasyon dizisinin sabit noktaya kuvvetli yak nsak olmas durumu incelenecektir. Teorem D, reel bir H Hilbert uzay n n konveks kompakt altkümesi olsun. T : D! D bir yar büzülme dönüşümü olsun. f n g ; [0; 1] de reel bir dizi ve bir 2 (0; 1) için f 2 ng [; 1 ] sa¼glans n. Key x 0 2 D için fx n g dizisi; x n = n x n 1 + (1 n )T x n biçiminde tan ml olsun. O halde fx n g dizisi T dönüşümünün bir sabit noktas na kuvvetli yak nsakt r (Ra q 2007). Ispat. T dönüşümünün bir sabit noktas olan x 2 D al ns n. T yar büzülme 16

23 dönüşümü oldu¼gundan; kt x n x k 2 kx n x k 2 + kx n T x n k 2 (3.2) eşitsizli¼gi gerçeklenir. Ayr ca hipotezde verilen x n ve x yerine yaz l rsa; kx n x k 2 = k n x n 1 + (1 n )T x n x k 2 eşitli¼gi elde edilir. kx n x k 2 = k n x n 1 + (1 n )T x n x k 2 = k n x n 1 n x + n x + (1 n )T x n x k 2 = k n (x n 1 x ) + (1 n )(T x n x )k 2 elde edilir. Lemma den kx n x k 2 = n kx n 1 x k 2 + (1 n ) kt x n x k 2 n (1 n ) kx n 1 T x n k 2 bulunur. (3.2) ifadesi (3.3) ifadesinde yerine yaz l rsa; (3.3) kx n x k 2 n kx n 1 x k 2 + (1 n ) kx n x k 2 + (1 n ) kx n T x n k 2 eşitsizli¼gini elde ederiz. Ayn zamanda; n (1 n ) kx n 1 T x n k 2 (3.4) kx n T x n k 2 = k n x n 1 + (1 n )T x n T x n k 2 = k n x n 1 + T x n n T x n T x n k 2 = k n x n 1 n T x n k 2 kx n T x n k 2 = 2 n kx n 1 T x n k 2 (3.5) 17

24 bulunur. (3.5) eşitli¼gi (3.4) ifadesinde kullan l rsa; kx n x k 2 n kx n 1 x k 2 + (1 n ) kx n x k 2 +(1 n ) 2 n kx n 1 T x n k 2 n (1 n ) kx n 1 T x n k 2 = n kx n 1 x k 2 + (1 n ) kx n x k 2 (1 n ) 2 n kx n 1 T x n k 2 n kx n x k 2 n kx n 1 x k 2 (1 n ) 2 n kx n 1 T x n k 2 bulunur. Her n için n 6= 0 oldu¼gundan kx n x k 2 kx n 1 x k 2 (1 n ) 2 kx n 1 T x n k 2 (3.6) elde edilir. Bir 2 (0; 1) için f n g [; 1 ] oldu¼gundan n = 1 al ns n. O halde; kx n x k 2 kx n 1 x k 2 2 kx n 1 T x n k 2 (3.7) bulunur. Böylece 2 elde edilir. Ayr ca 2 kx n 1 T x n k 2 kx n 1 x k 2 kx n x k 2 X 1 1X kx j 1 T x j k 2 kx j 1 x k 2 kx j x k 2 j=1 j=1 S n = j=1 kx j 1 x k 2 kx j x k 2 = kx 0 x k 2 kx n 1 x k 2 kx 0 x k 2 olup her n 2 N için S n kx 0 x k 2 gerçeklenir. fs n g dizisi monoton artan ve s n rl oldu¼gundan yak nsakt r. Öyleyse, 1X kx j 1 T x j k 2 < 1 (3.8) j=1 olur. Yak nsak bir serinin genel teriminin limiti s f ra yak nsar. O halde lim kx n 1 T x n k = 0 18

25 olup (3.5) ifadesinden lim kx n T x n k = 0 (3.9) bulunur. D kümesi kompakt oldu¼gundan fx n g dizisinin yak nsak bir x nj altdizisi vard r. (3.9) ifadesinden bu dizi T dönüşümünün bir sabit noktas na yak nsakt r. Bu limit noktas y olsun. O halde (3.7) eşitsizli¼gi T dönüşümünün tüm sabit noktalar için sa¼gland ¼g ndan y için de sa¼glan r ve kx n y k 2 kx n 1 y k 2 2 kx n 1 T x n k 2 kx n 1 y k kx n 1 T x n k 2 kx n y k 2 kx n 1 y k kx n 1 T x n k 2 (3.10) eşitsizli¼gi elde edilir. (3.10) ve (3.8) sa¼gland ¼g ndan Lemma den kx n y k! 0; (n! 1) bulunur. Yani; fx n g dizisi T dönüşümünün sabit noktas na kuvvetli yak nsakt r. Bu da ispat tamamlar. Tan m H reel Hilbert uzay n n konveks D altkümesini alal m. E¼ger; kt x T yk kx yk eşitsizli¼gi sa¼glan yor ise T dönüşümü genişlemeyendir denir (Ra q 2007). Sonuç D, reel bir H Hilbert uzay n n konveks kompakt altkümesi ve T : D! D bir yar büzülme dönüşümü olsun. f n g, [0; 1] de reel dizi ve en az bir 2 (0; 1) için f n g [; 1 ] sa¼glans n. P D : H! D izdüşüm operatörü olsun. fx n g dizisi ; x n = P D ( n x n 1 + (1 n )T x n ); n 1 olacak biçimde tan mlans n. O halde fx n g dizisi T dönüşümünün bir sabit noktas na kuvvetli yak nsakt r (Ra q 2007). 19

26 Ispat. T dönüşümünün bir sabit noktas olan x 2 D al ns n. Hipotezde verilen x n ve x yerine yaz l rsa; kx n x k 2 = kp D ( n x n 1 + (1 n )T x n ) x k 2 (3.11) bulunur. Şimdi P D izdüşüm operatörü hakk nda biraz bilgi verelim. P D ; D ü- zerindeki izdüşüm operatörü yani P D : H! D ve T : D! D olmak üzere P D x = x gerçeklenir. Gerçekten de D H olup her x 2 H için; P 2 Dx = P D (P D x) = P D x; P D x 2 D P D x = x elde edilir. Yani P D izdüşüm operatörü özdeşlik operatörü gibi davran r. O halde P D x = x eşitli¼gi (3.11) ifadesinde yerine yaz l rsa kx n x k 2 = kp D ( n x n 1 + (1 n )T x n ) P D x k 2 eşitli¼gi elde edilir. P D dönüşümü genişlemeyen bir dönüşümdür (Browder, Petryshyn 1967). O halde kx n x k 2 k n x n 1 + (1 n )T x n x k 2 = k n x n 1 n x + nx + (1 n )T x n x k 2 = k n (x n 1 x ) + (1 n )(T x n x)k 2 elde edilir. Lemma den kx n x k 2 n kx n 1 x k 2 + (1 n ) kx n x k 2 (1 n ) 2 n kx n 1 T x n k 2 bulunur. Bir önceki teoremdekine benzer şekilde gerekli ifadeler yerine konulursa. kx n x k 2 kx n 1 x k 2 (1 n ) 2 kx n 1 T x n k 2 bulunur. Ayn zamanda D [ T (D) kümesi kompakt oldu¼gundan s n rl kümedir. O 20

27 halde bir D 1 > 0 ve D 2 > 0 sabitleri vard r öyleki her n 2 N için kx n T x n k kx n k + kt x n k D 1 + D 2 < 1 gerçeklenir. Buyüzden ; fkx n T x n kg dizisi s n rl d r. Bundan sonraki k s m Teorem deki gibi devam ettirilerek ispat elde edilir. 21

28 4. AS IMPTOT IK GEN IŞLEMEYEN DÖNÜŞÜMLER IÇ IN CESÀRO ANLAMINDA MANN ITERASYONU Bu bölümde key düzgün konveks bir Banach uzay üzerinde kapal, konveks küme al nacakt r. T dönüşümü asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm olmak üzere bu dönüşüm yard m yla elde edilen iterasyon dizisinin dönüşümün sabit noktas na zay f ve kuvvetli yak nsak olma durumlar incelenecektir. Ilk k s mda daha sonra kullanaca¼g m z bu kavramlar tan t lacakt r. 4.1 Asimptotik Genişlemeyen Dönüşüm Bu k s mda asimptotik genişlemeyen dönüşüm, düzgün konvekslik, kuvvetli ve zay f yak nsakl k tan mlar na de¼ginilecektir. Tan m D 6=? olmak üzere E Banach uzay nda konveks, kapal bir küme ve T : D! D bir dönüşüm olsun. E¼ger her n 1 olmak üzere negatif olmayan n reel say s için lim n = 0 ve her x; y 2 D için kt n x T n yk (1 + n ) kx yk gerçekleniyorsa T dönüşümüne asimptotik genişlemeyen dönüşüm denir. = 0 al n rsa genişlemeyen dönüşüm elde edilir (Song 2010). Asimptotik genişlemeyen dönüşümler genişlemeyen dönüşümlerin daha genel halidir. Ilk defa 1972 y l nda Goebel Kirk taraf ndan tan mlanm şt r. Günümüze kadar birçok matematikçi bu dönüşümler üzerinde çal şm ş ve çal şmaktad r. Tan m E¼ger; her " 2 [0; 2] için kxk = kyk = 1; kx yk " iken kx + yk =2 < 1 " gerçeklenecek biçimde " > 0 varsa E Banach uzay na düzgün konveks denir (Song 2010). 22

29 Tan m X, bir normlu uzay ve fx n g, X de bir dizi olsun. E¼ger, lim kx n xk = 0 olacak şekilde bir x 2 X varsa bu fx n g dizisi x eleman na kuvvetli yak nsakt r (veya norma göre yak nsakt r) denir ve bu durumda x n! x yaz l r (Kreyszig 1989). Tan m X normlu uzay ve fx n g de X de bir dizi olsun. E¼ger, her f 2 X 0 için, lim f(x n ) = f(x) olacak şekilde bir x 2 X varsa fx n g dizisi x e zay f yak nsakt r denir ve bu durumda x n! x(z) (Kreyszig 1989). 4.2 Cesàro Ortalamas n n Mann Iterasyonu E düzgün konveks Banach uzay, T : D! D asimptotik genişlemeyen dönüşüm olsun. Cesàro ortalamas n n Mann iterasyonu, her x 0 2 D için 1 x n+1 = n x n + (1 n ) n + 1 T j x n ; n 0 j=0 biçiminde tan mlans n. b n = 1 n+1 aşa¼g daki şartlardan biri sa¼glas n; j olmak üzere j=0 1X b n < 1, n 2 (0; 1) ve n=0 i) lim n = 0; ii) 1X n (1 n ) = 1; n=0 iii)0 < lim inf n lim sup n < 1. Bu durumda iterasyon dizisinin T dönüşümünün sabit noktas na kuvvetli ve zay f 23

30 yak nsak olma durumlar incelenecektir. 4.3 Iterasyon Dizisinin Kuvvetli Yak nsak Olmas Bu k s mda iterasyon dizisinin hangi koşullar alt nda kuvvetli yak nsak oldu¼guna de¼ginilmiştir. Lemma Düzgün konveks bir E Banach uzay üzerinde D 6=? kapal, konveks bir küme olsun. Kabul edelim ki; T : D! D asimptotik genişlemeyen dönüşüm ve k n = 1 + n olsun. fx n g ; D de s n rl dizi ve fx n g dizisinin her z 2 D için i) lim k!1 x 1 Xn k n k n k + 1 j=0 ii) lim k!1 x 1 Xn k n k+1 n k + 1 j=0 T j x nk = 0 ve h(z) = lim sup kx nk zk 2 k!1 T j x nk = 0 ve h(z) = lim sup xnk+1 z 2 k!1 şartlar ndan birini sa¼glayan bir fx nk g altdizisinin varoldu¼gunu kabul edelim. durumda h(x) = inf z2d h(z) ve T x = x eşitliklerini sa¼glayacak bir tek x 2 D vard r (Song 2010). Bu Tan m (Opial durumu) fx n g dizisi E Banach uzay üzerinde herhangi bir dizi olsun. E¼ger x n! x (z) (n! 1) ve her y 2 E için x 6= y olmak üzere lim sup n kx n xk < lim sup n kx n yk koşulu sa¼glan yorsa E Banach uzay Opial koşulunu sa¼glar, denir (Song 2010). Sonuç Düzgün konveks bir E Banach uzay üzerinde D 6=? kapal, konveks bir küme olsun. Kabul edelim ki; T : D! D asimptotik genişlemeyen dönüşüm ve 24

31 k n = 1 + n olsun. fx n g ; D de s n rl dizi ve fx n g dizisinin i) lim k!1 x 1 Xn k n k T j x nk = 0 n k + 1 j=0 ii) lim k!1 x 1 Xn k n k +1 T j x nk = 0 n k + 1 şartlar ndan birini sa¼glayan bir fx nk g bir altdizisinin varoldu¼gunu kabul edelim. E¼ger x nk! x ya da x nk! x (z) ve E Opial koşulunu sa¼gl yorsa T x = x gerçeklenir (Song 2010). j=0 Lemma Düzgün konveks bir E Banach uzay üzerinde D 6=? kapal, konveks bir küme olsun. Kabul edelim ki; T : D! D asimptotik genişlemeyen dönüşüm ve k n = 1 + n olsun. Her x 0 2 D ve her n 0 için; 1 x n+1 = n x n + (1 n ) n + 1 T j x n j=0 olarak tan mlans n. E¼ger b n = 1 n+1 reel dizi ise j olmak üzere j=0 1X b n < 1 ve n 2 (0; 1) de n=0 i) Her bir p 2 F (T ) için ; lim kx n pk limiti mevcuttur. Ek olarak; T n = 1 n+1 T j olarak al n rsa; j=0 ii) lim n = 0 olacak biçimde bir f n g dizisi var ise lim kx n+1 T n x n k = 0 gerçeklenir. 1X iii) n (1 n ) = 1 olacak biçimde bir f n g dizisi var ise n=0 lim inf kx n T n x n k = 0 gerçeklenir. iv) 0 < lim inf n lim sup n < 1 olacak biçimde bir f n g dizisi var ise 25

32 lim kx n T n x n k = 0 gerçeklenir (Song 2010). Teorem Düzgün konveks bir E Banach uzay üzerinde D 6=? kapal, konveks bir küme olsun. Kabul edelim ki; T : D! D asimptotik genişlemeyen bir dönüşüm ve k n = 1 + n olsun. fx n g dizisi her n 0 için 1 x n+1 = n x n + (1 n ) n + 1 T j x n j=0 olarak tan mlans n. b n = 1 n+1 dizi olsun. O halde j olmak üzere j=0 1X b n < 1 ve n 2 (0; 1) de reel n=0 i) lim n = 0 ise fx n g dizisi T dönüşümünün sabit noktas olan bir z de¼gerine kuvvetli yak nsakt r. 1X ii) n (1 n ) = 1 ise (n! 1) fx n g dizisi T dönüşümünün sabit noktas olan n=0 bir z de¼gerine kuvvetli yak nsakt r iii) 0 < lim inf n lim sup n < 1 ise fx n g dizisi T dönüşümünün sabit noktas olan bir z de¼gerine kuvvetli yak nsakt r Ispat. i) D kümesi kompakt oldu¼gundan fx n g dizisinin kuvvetli yak nsak olan bir fx nk g altdizisi vard r. Bu dizinin limit noktas na z diyelim.yani; lim x n k = z olsun. lim n = 0 oldu¼gundan Lemma (ii) ifadesinden lim kx n k +1 T nk x nk k = 0 (4.1) 26

33 elde edilir. (4.1) ve x nk! z sa¼gland ¼g ndan Sonuç den z = T z bulunur. Yani z 2 F (T ) dir. O halde Lemma (i) ifadesinden her bir z 2 F (T ) için de¼geri mevcuttur. lim kx n zk Yani fx n g dizisi T dönüşümünün bir sabit noktas na kuvvetli yak nsak oldu¼gu elde edilir. Bu da ispat tamamlar. 1X ii) n (1 n ) = 1 oldu¼gundan Lemma (iii) ifadesinden n=0 lim inf kx n T n x n k = 0 O halde fx n g dizisinin aşa¼g daki koşulu sa¼glayan yak nsak bir fx nk g altdizisi vard r. lim kx n k T nk x nk k = 0 (4.2) D kümesi kompakt oldu¼gundan fx n g dizisinin kuvvetli yak nsak olan bir fx nk g altdizisi vard r. Bu dizinin limit noktas na z diyelim. Yani; lim x n k = z olsun. O halde (4.2) ifadesinden ve x nk! z oldu¼gundan Sonuç den z 2 F (T ) bulunur. Bu yüzden Lemma (i) ifadesinden de¼geri mevcuttur. lim kx n zk Yani fx n g dizisi T dönüşümünün bir sabit noktas na kuvvetli yak nsak oldu¼gu elde edilir. Bu da ispat tamamlar. iii) D kümesi kompakt oldu¼gundan fx n g dizisinin kuvvetli yak nsak olan bir fx nk g altdizisi vard r. Bu dizinin limit noktas na z diyelim. 0 < lim inf n lim sup n < 1 27

34 oldu¼gundan Lemma (iv) ifadesinden lim kx n k T nk x nk k = 0 (4.3) bulunur. (4.3) ve x nk! z oldu¼gundan Sonuç den z 2 F (T ) elde edilir. Lemma (i) ifadesinden her bir z 2 F (T ) için lim kx n zk de¼geri mevcuttur. Bu da ispat tamamlar. 4.4 Iterasyon Dizisinin Zay f Yak nsak Olmas Bu k s mda iterasyon dizisinin hangi koşullar alt nda zay f yak nsak oldu¼guna de¼ginilmiştir. Teorem Bir H Banach uzay için aşa¼g daki ifadeler denktir. i) H yans mal uzay ii) H birim yuvar zay f kompaktt r (Conway 1990). Teorem Bir E Banach uzay düzgün konveks ise yans mal uzayd r (Plubtieng, Ungchittrakool 2010). Teorem Düzgün konveks ve Opial şart n sa¼glayan bir E Banach uzay üzerinde D 6=? kapal, konveks bir altküme olsun. T : D! D asimptotik genişlemeyen dönüşüm ve k n = 1 + n olsun. fx n g dizisi ; 1 x n+1 = n x n + (1 n ) n + 1 T j x n ; n 0 j=0 olarak tan mlans n. b n = 1 n+1 dizi ve j olmak üzere j=0 1X b n < 1, n 2 (0; 1) de reel n=0 lim n = 0 (4.4) 28

35 ise fx n g dizisi T dönüşümünün bir sabit noktas na zay f yak nsar. Ispat. Düzgün konveks E Banach uzay Teorem den yans mal uzayd r. E yans mal uzay oldu¼gundan Teorem den E birim yuvar zay f kompaktt r. E zay f kompakt oldu¼gundan E deki fx n g dizisinin zay f yak nsak bir fx nk g altdizisi vard r. Bu limit noktas na y diyelim. Yani; x nk! y(z) gerçeklensin. lim n = 0 oldu¼gundan Lemma (ii) ifadesinden lim kx n k +1 T nk x nk k = 0 (4.5) k!1 bulunur. (4.4) ve (4.5) sa¼gland ¼g na göre Sonuç den y 2 F (T ) bulunur. fx n g dizisinin y eleman na zay f yak nsak oldu¼gunu ispatlamak istiyoruz. Aksini kabul edelim. Yani fx n g dizisinin fx nk g dan başka bir x mj altdizisini ele alal m ve t 6= y olmak üzere x nj! t (z) olsun. O halde Sonuç den t eleman n da sabit nokta oldu¼gu görülebilir. t 2 F (T ) oldu¼gundan Lemma (i) ifadesinden lim kx n tk ; lim kx n yk mevcuttur. Yak nsak bir dizinin her alt dizisi de ayn de¼gere yak nsak oldu¼gundan; lim kx n yk = lim kx nk yk k!1 gerçeklenir. E Opial şart n sa¼glad ¼g ndan; lim kx n yk = lim k!1 kx nk yk < lim k!1 kx nk tk = lim j!1 x mj t < limj!1 xmj y = lim kx n yk gerçeklenir. O halde t = y olmak zorundad r. Bu ise varsay mla çelişir. Öyleyse fx n g dizisi y eleman na zay f yak nsakt r. 29

36 Teorem Düzgün konveks ve Opial şart n sa¼glayan bir E Banach uzay üzerinde D 6=? kapal, konveks bir altküme olsun. T : D! D asimptotik genişlemeyen dönüşüm ve k n = 1 + n olsun. fx n g dizisi ; 1 x n+1 = n x n + (1 n ) n + 1 T j x n ; n 0 j=0 olarak tan mlans n. b n = 1 n+1 dizi ve j olmak üzere j=0 1X b n < 1, n 2 (0; 1) de reel n=0 0 < lim inf n lim sup n < 1 ise n! 1 iken fx n g dizisi T dönüşümünün bir sabit noktas na zay f yak nsar. Ispat. Düzgün konveks E Banach uzay Teorem den yans mal uzayd r. E yans mal uzay oldu¼gundan Teorem den E birim yuvar zay f kompaktt r. E zay f kompakt oldu¼gundan E deki fx n g dizisinin zay f yak nsak bir fx nk g altdizisi vard r. Bu limit noktas na y diyelim. Yani; x nk! y(z) gerçeklensin. 0 < lim inf n lim sup n < 1 oldu¼gundan Lemma (iv) ifadesinden lim kx n k T nk x nk k = 0 (4.6) k!1 elde edilir. x nk! y(z) ve (4.6) sa¼gland ¼g ndan Sonuç den y 2 F (T ) elde edilir. Ispat n geri kalan Teorem deki gibi devam ettirilerek sonuçland r l r. 30

37 5. ISTAT IST IKSEL REGÜLER MATR ISLER ARACILI ¼GIYLA MANN ITERASYONLARI Bu bölümde istatistiksel regüler matrisin tan m verilecektir. Bu matris arac l ¼g yla elde edilen iterasyon dizisinin dönüşümün sabit noktas na istatisitiksel ve A-istatistiksel yak nsak olma durumlar incelenecektir. 5.1 Istatistiksel Yak nsakl k Bu k s mda bir dizinin istatistiksel yak nsakl k tan m verilecektir. Tan m K N kümesini alal m. 1 (K) = lim jfk n : k 2 Kgj n limiti mevcut ise bu limite K kümesinin asimptotik yo¼gunlu¼gu denir (Niven, Zuckerman 1980). Burada N do¼gal say lar kümesi olmak üzere A N için j A j ile A kümesinin kardinal say s gösterilmektedir. Örne¼gin do¼gal say lar n sonlu bir altkümesi s f r yo¼gunluklu oldu¼gu gibi, fm 2 : m 2 Ng kümesi de s f r yo¼gunlukludur. Tan m x = (x k ) dizisi bir P özelli¼gini yo¼gunlu¼gu s f r olan bir küme d ş ndaki her k için gerçekliyorsa x dizisi P özelli¼gini hemen her k için gerçekliyor denir (Fridy 1985). Tan m x = (x k ) reel ya da kompleks terimli bir dizi olsun. E¼ger her " > 0 için, 1 lim n j fk n :j x k L j "g j= 0 31

38 yani j x k L j< " (h.h.k) olacak şekilde bir L say s varsa x dizisi L say s na istatistiksel yak nsakt r denir ve st lim x = L ile gösterilir (Steinhaus 1951, Fast 1951, Salát 1980, Fridy 1985). st ile tüm istatistiksel yak nsak diziler uzay gösterilecektir. Şimdi bir " > 0 için E " = fk :j x k L j "g dersek E" bu kümenin karakteristik fonksiyonu olmak üzere st lim x = L olmas için gerek ve yeter koşul her " > 0 için lim(c 1 E" (k)) n = 0 olmas d r. Örnek < p k ; k = m 2 x k = (m = 1; 2; 3; :::) : 5 ; k 6= m 2 şeklinde tan mlanan x = (x k ) dizisini inceleyelim. Her " > 0 için oldu¼gundan j fk n :j x k 5 j "g j j fk n : x k 6= 5g j p n 1 lim j fk n :j x n k 1 5 j "g j lim j fk n : x 1 n k 6= 5g j lim np n = 0 elde edilir. O halde st lim x = 5 bulunur. Klasik anlamda yak nsak olan her dizi istatistiksel yak nsakt r. Yani; c(x) st(x) gerçeklenir. Çünkü yak nsak bir dizinin " komşulu¼gu d ş nda en fazla sonlu adette eleman bulunur. Sonlu elemanl bir kümenin do¼gal yo¼gunlu¼gu s f r oldu¼gundan yak nsak her dizi istatistiksel yak nsakt r. Fakat Örnek den görülebilece¼gi gibi s n rs z raksak baz diziler de istatistiksel yak nsak olabilir. 32

39 Tan m s(x), tüm X de¼gerli dizilerin uzay n göstersin. O halde key " > 0 için fk : kx k lk > "g = 0 ise X Banach uzay nda x = (x k ) 2 s(x) dizisi l 2 X eleman na istatistiksel yak nsakt r denir. 5.2 A- Istatistiksel Yak nsakl k Bu bölümde A-istatistiksel yak nsakl k tan m verilecek ve istatistiksel yak nsak ile aralar ndaki ilişki incelenecektir. Tan m A = (a nk ) negatif olmayan regüler bir matris olmak üzere; her " > 0 için lim X k: jx k Lj" a nk = 0 olacak biçimde bir L say s varsa x = (x k ) dizisi L say s na A-istatistiksel yak nsakt r denir ve st(a; X) lim x = L ile gösterilir. (Connor 1989, Kolk 1993, Miller 1995). st(a; X); X de¼gerli tüm A istatistiksel yak nsak dizilerin uzay n temsil etmektedir. Şimdi key bir " > 0 için E " = fk 2 N :j x k L j "g dersek E" bu kümenin karakteristik fonksiyonu olmak üzere st(a; X) koşul her " > 0 için lim (A E" (k)) n = 0 olmas d r. lim x = L olmas için gerek ve yeter Aç kça görülüyor ki A-istatistiksel yak nsakl k tan m nda A matrisi yerine Cesàro matrisi al n rsa, istatistiksel yak nsakl k elde edilir. Böylece yo¼gunluk tan m da A- yo¼gunluk tan m na genişletilebilir. Dolay s yla A (E) = lim X a nk mevcut ise E k2e kümesi A-yo¼gunlu¼ga sahiptir diyece¼giz. (Freedman and Sember, 1981). O halde st(a; X) lim x = L olmas için gerek ve yeter koşul her " > 0 için A (E " ) = 0 olmas d r. Ayn zamanda c(x) st(a; X) 33

40 gerçeklenir. Key bir fx k gdizisinin yak nsak oldu¼gunu varsayal m. A (E) = lim X k2e X a nk = lim a nk k: jx k Lj" fx k g dizisi yak nsak oldu¼gundan " > 0 komşulu¼gu d ş nda en fazla n 0 tane eleman vard r. O halde limit ve toplam operatörleri yer de¼gişitirir. Yani; X A (E) = lim a nk = k: jx k Lj" X k: jx k Lj" lim n a nk yaz labilir. A matrisi regüler oldu¼gundan Teorem den lim n a nk = 0 oldu¼gunu biliyoruz. Böylece A (E) = X lim a nk = 0 n k: jx k Lj" elde edilir. O halde her yak nsak dizi A-istatistiksel yak nsakt r. E¼ger A-istatistiksel yak nsakl k tan m nda A matrisi yerine birim matris al n rsa, klasik anlamda yak nsakl k elde edilir. Tan m Key " > 0 için A fk : kx k lk > "g = 0 ise X Banach uzay nda x = (x k ) 2 s(x) dizisi l 2 X eleman na A-istatistiksel yak nsakt r denir. bst(a; X); X de¼gerli tüm s n rl ve A-istatistiksel yak nsak dizilerin uzay n temsil etsin. Yani, bst(a; X) = st(a; X) \ m(x) olarak ifade edilebilir. bst 0 (A; X); X de¼gerli tüm s n rl ve s f ra A-istatistiksel yak nsak dizilerin uzay n temsil etsin. Yani, bst 0 (A; X) = m(x) \ st 0 (A; X) biçiminde yaz labilir. st 0 (A; X) s f ra A-istatistiksel yak nsak tüm X de¼gerli dizilerin uzay n, m(x) ise s n rl diziler uzay n temsil etsin. 34

41 5.3 Istatistiksel Regüler Matris Bu k s mda istatistiksel regüler matrisin tan m verilecektir. Tan m (X) ve (X); s(x) uzay n n iki lineer altuzaylar olsun. E¼ger key x = (x k ) 2 (x) olmak üzere her n 2 N için (Ax) n = X a nk x k ; X içinde k yak nsak ve Ax = f(ax) n g dönüşüm dizisi (x) uzay na aitse sonsuz skalar terimli A = (a nk ) matrisi (X) uzay n (X) uzay na dönüştürüyor denir ve A 2 ((X), (X)) biçiminde gösterilir. (X) ve (X) uzaylar s ras yla lim ve lim ile donat lm ş ve A 2 ((X), (X) ) olsun. E¼ger; lim n (Ax) n = lim k x k sa¼glan yorsa A matrisi (X) uzay n (X) uzay na regüler olarak dönüştürüyor denir ve A 2 ((X), (X)) reg olarak gösterilir. A 2 (c(x), c(x)) reg ise X içinde regüler denir. Önerme Bir A = (a nk ) matrisinin X Banach uzay nda regüler olmas için gerek ve yeter koşul 1X (i) k A k= sup j a nk j< 1 n (ii) Her k için lim a nk = 0 1X (iii) lim a nk = 1 koşullar n n gerçeklenmesidir (Kolk 2010). Önerme Bir X Banach uzay için A 2 (m(x); c 0 (X)) olmas için gerek ve yeter koşul her n 2 N için X X ja nk j serisinin yak nsak ve lim n ja nk j = 0 olmas d r k k (Kolk 2010). Tan m B = (b nk ) sonsuz skaler bir matris olsun. E¼ger ; B 2 (bst(a; X); bst(a; X)) reg ise yani key x = (x k ) 2 bst(a; X) olmak üzere her 35

42 n 2 N için (Bx) n = X k b nk x k serisinin yak nsak ve X içinde st(a; X) lim n (Bx) n = st(a; X) lim k x k sa¼glan yorsa B = (b nk ) matrisi X Banach uzay nda A-istatistiksel regüler denir. Önerme Bir (x k ) dizisinin X Banach uzay nda l de¼gerine A-istatistiksel yak nsak olmas için gerek ve yeter koşul A (K) = 1 olacak biçimdeki bir K = fk i g indis kümesi üzerinde (x ki ) altdizisinin l 2 X eleman na yak nsak olmas d r (Kolk 2010). Bir B = (b nk ) matrisi için key bir K N kümesi ele al ns n. B [K] = (d nk ) olmak üzere her n 2 N için 8 < b B [K] nk ; k 2 K = (d nk ) = : 0 ; k =2 K (5.1) olarak tan mlans n. B = (b nk ) matrisi negatif olmayan üçgen matris ve b nk = 1; (n 2 N) olsun. D, bir X Banach uzay n n konveks, kompakt altkümesi oldu¼gunu varsayal m ve her x 1 2 D için T : D! D bir dönüşüm olsun. Mann iterasyon dizisi M(x 1 ; B; T ) olmak üzere x n+1 = T (v n ) ve v n = b nk x k (n 2 N) (5.2) olarak tan mlanm ş olsun. Bu bölümdeki amac m z Teorem deki sonucu istatistiksel yak nsakl k için elde etmektir. Önerme Bir X Banach uzay nda bir B = (b nk ) matrisinin A-istatistiksel regüler yani; B 2 (bst(a; X); bst(a; X)) reg olmas için gerek ve yeter koşul B 2 (c(x); bst(a; X)) reg ve B [K] 2 (m(x); bst 0 (A ; X)); ( A (K) = 0) olmas d r (Kolk 2010). 36

43 Teorem E¼ger kbk < 1, A (N) = 1 olacak biçimde N = (n j ) indis kümesi mevcut ve lim j b nj ;k = 0 (k 2 N) (5.3) X lim j b nj ;k = 1 (5.4) X lim j k2k bnj ;k k = 0, (A (K) = 0) (5.5) şartlar n sa¼gl yorsa B = (b nk ) matrisi A istatistiksel regülerdir (Kolk 2010). Ispat. kbk < 1 oldu¼gundan key x 2 m(x) için Bx = f(bx) n g dönüşüm dizisi anlaml d r. Çünkü; X X X j(bx) n j = b nk x k kxk 1 jb nk j kxk 1 sup jb nk j = kxk 1 kbk < 1 n k k k elde edilir. c(x) m(x) oldu¼gundan ayn zamanda B 2 (c(x); m(x)) bulunur. Kolayca (5.1) ifadesinden B [K] 2 (m(x); m(x)) oldu¼gu görülür. Önerme den ispat tamamlayabilmek için A (K) = 0 olacak biçimde bir K N altkümesinde B 2 (c(x); st(a; X)) reg ve B [K] 2 (m(x); st 0 (A; X)) oldu¼gu gösterilmelidir. x = (x k ) 2 c(x) olsun. O halde; lim k x k = l gerçeklenir. (5.3) ve (5.4) sa¼gland ¼g na göre Önerme den B (N) = (b nj ;k) gibi X de regüler bir alt matris vard r. Bu nedenle B (N) x dizisi de l de¼gerine yak nsakt r. O halde Önerme den A (K 0 ) = 1 olacak biçimde K 0 indis kümesi vard r öyleki st(a; X) limbx = l elde edilir. Sonuç olarak; B 2 (c(x); st(a; X)) reg 37

44 elde edilir. K N, A (K 0 ) = 0 alal m. B [K] = (d nk ) oldu¼gundan kbk < 1 ve (5.5) ifadesinden X X < 1 (j 2 N) ve limj = 0 oldu¼gu aç kt r. Önerme den k dnj ;k k2k dnj ;k B [K] 2 (m(x); c 0 (X)) ve c 0 (X) st 0 (A; X) oldu¼gundan B [K] 2 (m(x); st 0 (A; X)) elde edilir. Bu da ispat tamamlar. B (N) = (b nj ;k) matrisi negatif olmas n. O halde ; A (K) = 0 iken B(N) (K) = 0 (5.6) bulunur. Çünkü X A (K) = lim n b nk = 0 oldu¼gundan X lim j b nj ;k = 0 k k ve böylece B(N) (K) = 0 oldu¼gu görülür. Teorem den aşa¼g daki sonuçlar kolayca elde edilir. Sonuç B = (b nk ) negatif olmayan matris ve kbk < 1, A (N) = 1 olacak biçimde bir N indis kümesi var olsun. Bu durumda B (N) regüler ve (5.6) gerçeklenirse B = (b nk ) matrisi X de A-istatistiksel regülerdir (Kolk 2010). Ispat. B = (b nk ) matrisi X de A-istatistiksel regüler olmas için Teorem şartlar n sa¼glamas gerekmektedir. B (N) regüler oldu¼gundan regülerlik şartlar ndan (5.3) ve (5.4) gerçeklenir. (5.6) ifadesinden B(N) (K) = 0 elde edilir. Bu da ispat tamamlar. Sonuç Bir B = (b nk ) matrisi için kbk < 1 ve A (N) = 1 olacak biçimde bir N indis kümesi mevcut olsun. Bu durumda B (N) = A oluyorsa B; X de A- istatistiksel regülerdir. Ispat. B (N) = A, A matrisi de regüler oldu¼gundan (5.3), (5.4) ve (5.5) sa¼glan r. 38

45 Tan m D; bir X Banach uzay n n altkümesi ve T : D! X bir dönüşüm olsun. E¼ger herhangi bir x = (x k ) 2 s(d) için st(a; X) limx = l iken ft (x k )g dizisi T (l) de¼gerine A-istatistiksel yak nsak ise T dönüşümü l 2 D noktas nda A- istatistiksel süreklidir denir (Kolk 2010 ). Teorem D; bir X Banach uzay n n altkümesi ve T : D! X bir dönüşüm olsun. O halde her sürekli dönüşüm A-istatistiksel süreklidir (Kolk 2010). Ispat. T dönüşümünü sürekli ve l 2 D olmak üzere key bir x = (x k ) 2 s(d) için st(a; X) limx = l olsun. Önerme den A (K) = 1 olacak biçimde K = fk i g indis kümesi vard r ve lim i x ki = l gerçeklenir. T dönüşümü l 2 D de sürekli oldu¼gundan lim i T (x ki ) = T (l) elde edilir. Önerme den A (K) = 1 olacak biçimde K = fk i g gibi bir indis kümesi var ve lim i T (x ki ) = T (l) oldu¼gundan ft (x k )g dizisi T (l) de¼gerine A istatistiksel yak nsakt r. O halde T; A istatistiksel süreklidir. 5.4 Iterasyon Dizisinin A- Istatistiksel Yak nsak Olmas A = (a nk ) negatif olmayan regüler bir matris olsun. Varsayal m ki ; B = (b nk ) üçgen negatif olmayan bir matris ve b nk = 0 ; (k > n) b nk = 1 ; (n 2 N) 39