MATEMAT IK-I (SORULAR)

Transkript

1 Part I MATEMAT IK-I (SORULAR) SAYILAR. irrasyonel midir?. 7 say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan n z.) say s n n irrasyonel oldu¼gunu gösteriniz. (Gauss Teoremini kullan n z.). Aşa¼g daki denlem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) j j = 7 b) 3 < c) k3k < 3 d) j5 j < + e) k + 3k = kk 3 f) k 3k 5. (kk + ) (jj ) > 0 eşitsizli¼ginin çözüm kümesini bulunuz. 6. k + kkk = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 7. ( + + 9) + ( 3) = j 3j eşitli¼gini sa¼glayan reel say lar n n kümesini bulunuz = 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözim = m ve 9 = n denirse m ve n tam say lard r. Ayr ca m n = = oldu¼gundan m n 5 olur. m ve n tam say oldu¼gundan, m ile n aras ndaki fark veya 5 dir. Bu iki durumu ayr ayr inceleye.m n = 5 ise m = n + 5 olu bu m n = 6 denklemide yerine yaz l rsa n + 9n + 9 = 0 denklemi elde edilir ki bu neklemin kökleri tam say de¼gildir.m n = ise m = n+ olu bu yine m n = 6 denklemide yerine yaz l rsa (n + ) n = 6 veya n + 7n = 0 olur O zaman n = 0 veya n = 7 dir. Bu durumlar dikkate al nd ¼g nda = ve 9 = 0

2 denklemlerini sa¼glayan noktalar n n kümesi (ki bu [ 9 ; 3 )) ile = 3 ve 9 = 7 9 denlemlerini sa¼glayan noktalar n kümesi (ki bu [ ; 3 3 )) nin birleşimi verilen ana denlemin çözüm kümesi olur. Sonuç olarak çözüm 9 kümesi [ ; 3 3 )[ [ 9 ; 3 ) olur. Çözüm (ikinci yol) = m diye. Bu durumda = m =) m < m + =) m 7 3 < m () 3 olur. Ayr ca m 9 = 6 =) 9 = m 6 =) m 9 6 < m 5 =) m 55 < m 5 () bulunur. () ve () den m m 5 0 ve m m 9 0 elde edilir. Bu eşitsizliklerin tam say çözümleri m = 3 ve m = tür. m = 3 ise 6 3 < < 5 =) 9 < 3 3 m = ise O halde 5 3 < 3 9 < 3 Ç.K. = 9 ; 3 3 =) 9 < 3 9 [ ; 3 KARTEZYEN KOORD INAT S ISTEM I. Köşeleri P (; 0), Q(5; ) ve R( ; 3) olan üçgen bir dik üçgen midir?. Köşeleri P (; ), Q(; ), R(6; ) ve S(3; 3) olan aralel kenar n alan n hesalay n z. 3. y = + denklemli do¼gru üzerinde P (5; 5) noktas na en yak n noktan n koordinatlar n bulunuz.. y = 3 denklemli do¼gruya orijinde te¼get olan ve P (0; 6) noktas ndan geçen çemberin denklemini bulunuz.

3 5. Aşa¼g daki denlem ve eşitsizlikleri sa¼glayan (; y) noktalar n n kümesini düzlemde gösteriniz. a) + (y ) b) ( + ) + y c) k + yk = d) kk + kyk = e) jj + jyj = 3 FONKS IYONLAR VE GRAF IKLER I. Aşa¼g da verilen fonksiyonlar n tan m kümelerini bulunuz. a) f() = + b) f() = c) f() = jj d) f() = + e) f() = 5 f) f() = 3 kk g) f() = 3+jj h) f() = kk. Taban, bir kenar br olan bir kare, hacmi 5 br 3 olan dikdörtgensel bir kutunun yüzey alan n cinsinden ifade ediniz. Bulunan fonksiyonun tan m kümesi nedir? 3. Bir dikdörtgenin çevresi 0 m dir. Dikdörtgenin alan n, kenarlar ndan birinin uzunlu¼gunun fonksiyonu olarak yaz n z.. Bir küün yüzey alan n hacminin fonksiyonu olarak ifade ediniz. 5. Boyutlar cm ve 0 cm olan bir kartondan üstü aç k bir kutu, köşelerinden bir kenar uzunlu¼gunda olan kareler kesilerek ve kenarlar katlanarak ya lacakt r. Kutunun hacmini in fonksiyonu olarak ifade ediniz. 6. Aşa¼g daki fonksiyonlar n gra klerini çiziniz a) f() = kk b) f() = c) f() = kk d) f() = j 3j + j + j 3

4 e) f() = f) f() = kk g) f() = jj 7. y = fonksiyonunun gra ¼ginden yararlanarak, y = ; y =, y =, y =, y = fonksiyonlar n n gra ¼gini çiziniz.. y = fonksiyonunun gra ¼ginden yararlanarak y = fonksiyonunun gra ¼gini çiziniz. (y = ( + 3) + ) 9. Bir taraf duvar olan dikdörtgensel bir kümes yamak isteyen bir çifçiye duvar boyamak için lira ve di¼ger üç kenar n çitini çekmek için metresine 5 lira maliyet ç kar l yor. Öte yandan çiftçinin bu iş için ay rd ¼g ara 0 lirad r. Kümesin duvara yaslanan kenar metre ve di¼ger kenar y metre oldu¼guna göre en büyük alana sahi kümesin boyutlar ne olmal d r? 0. f() = + + ve g() = + olsun. f g; g f; f f; g g fonksiyonlar ile bunlar n tan m kümelerini bulunuz.. f R! R bir fonksiyon olsun. Bu durumda g() = g nin bir tek fonksiyon oldu¼gunu gösteriniz. f() f( ) ile verilen. [] numaral kaynak. Sayfa -, Problemler,, 5-, -9, [] numaral kaynak. Sayfa 6-7, Problemler -5.. [] numaral kaynak. Sayfa -3, Problemler 9-, 3-3, 37-5, [] numaral kaynak. Sayfa -3, Problemler 9-, -0, f() = cos + sin fonksiyonu eriyodik midir? Araşt r n z. Bu fonksiyonun çift veya tek olu olmad ¼g n araşt r n z. 7. f ve g verilen iki fonksiyon ve bileşkeleri h = f g olsun. (a) g çift fonksiyon ise h daima çift midir? Aç klay n z. (b) g tek fonksiyon ise h daima tek midir? Aç klay n z. q. f () = 3 ve g () = arcsin fonksiyonlar n n tan m kümesini bulunuz. 9. f() = ln( ) fonksiyonunun en geniş tan m kümesini bulunuz. 3 kk 0. f ( ; +tan )! R, f() = ln( tan ) ile tan ml fonksiyonun tek veya çift olu olmad ¼g n araşt r n z.. f() = arcsin(log ) fonksiyonunun en geniş tan m kümesini bulunuz.

5 L IM IT VE SÜREKL IL IK. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. a) h!0 5h+ h = 5 b)! = c)! 3 = 3 d)! = 3 e)! = 6. f() = kk fonksiyonunun = ve = 3 olmad ¼g n araşt r n z. noktalar nda itinin olu 3. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. a)!0 kk = b)! + kk = c)!0 + = d)!3 + k k 9 3 = 0 e)!0 (+) = f)! = 5 g) ++ +! = 0 h)! ( + + 5) = )! ksin k = 0 ksin k i)!0 + sin = 0 j) sin!0 + +sin = 0 k)!0 + cos = 0 l)!0 + sin sin = m)!0 sin( ) = 0 n)!0 cos( 3 ) = 0 o)!0 3 sin( ) = 0 ö)! sin = 0 )! (kk + k k) = r)!0 cos = 0 5

6 cos s)!0 = ş)!0 sin( cos ) = t) sin tan!0 = 3 3 +sin +tan = 3 u)!0 ü)!0 cos 3 3 cos 3 = 5 v)!0 sin 3 = 3 y)!0 tan sin 5 = 5 arcsin z) 6! = 3 3. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. sin a) sin y!y y = y Çözüm sin olaca¼g ndan sin y = t diye. O zaman! y ) t! 0 olur. Ayr ca = sin(t + sin y) = sin t cos(sin y) + sin(sin y) cos t = y sin t + y cos t!y sin sin y y = t!0 t y sin t + y cos t y = = y t!0 y sin t t + y cos t t bulunur. tan! = b) arctan arctan y!y y = y + c) tan d)! = sin( )! = e) sin f)!9 sin 3 9 = 6 cos 3 6

7 j j j + j g) =!0 cos ( + ) + h) = 0!0 cos () )! = 70 i)!0 arctan () = j)! cos = k)!0 sin () sin = 3 Çözüm Aşa¼g daki n ş kk nda sin!0 = 3 6 eşitli¼ginin sa¼gland ¼g gösterilmektedir. Bu bilgi kullan larak sin () sin!0 = bulunur. sin l)! + cos (3) = 9 m) 3 3 +! n)!0 csc = 3!0 sin () + sin sin () sin =!0 +!0 = (sin )(sin + ) t sin t!0 3 + t!0 t = sin t sin t!0 3 + t!0 t 3 t = ( 6 ) + 0 = 3 7

8 Çözüm!0 csc =!0 sin =!0 sin sin ( sin )( + sin ) =!0 sin sin =!0 3!0 sin!0 =!0 sin 3 + sin olur. Şimdi!0 sin 3 iti için = 3t diye. O zaman! 0 ) t! 0 olur. Ayr ca sin(3t) = 3 sin t sin 3 t oldu¼gundan!0 olur. Bu durumda olu bulunur. Sonuçta elde edilir. o)!0 cos 3 cot = ö)!0 tan(3 sin ) = 6 sin( +)!0 ) = sin 3t 3 sin t + sin 3 t 3 = t!0 7t 3 ( r)! ( 3 ) = e 6 s)!0 e = = 9 t t!0 = 9 t t!0 9 )!0!0 sin t sin 3 t t 3 + t!0 7t 3 sin t t sin 3 = 7 sin 3 = 6!0 csc sin =!0 3 = 3

9 Çözüm e = t diye. O zaman! 0 ) t! 0 olur. Ayr ca = ln(+t) olur. Böylece olur. e!0 ş)! ( ) tan = t) sin! tan( ) = = t!0 t ln( + t) = t!0 t = t!0 = ln( + t) ln( + t) t ln e = 5. a+b!0 = eşitli¼gini sa¼glayan a ve b de¼gerlerini bulunuz. 6. f R! R sürekli bir fonksiyon olsun. oldu¼guna göre f(0) nedir? f() = 3!0 7. f() = ( + ) sin olsun. f(c) = olacak şekilde bir c reel say s n n var oldu¼gunu gösteriniz.. f R! R sürekli bir fonksiyon olsun. 6= 3 için jg()j f() ve f(3) = 0 ise!3 g() itini hesalay n z. < a + b ; 0 9. f() = + 3a b 0 < şeklinde tan ml fonksiyonun her 3 5 ; > yerde sürekli olmas için a ve b ne olmal d r? sin a < ; > 0 0. f() = b ; = 0 şeklinde tan ml fonksiyonun 0 da sürekli cos c ; < 0 olmas için a; b ve c aras nda nas l bir ilişki olmal d r?. Aşa¼g da verilen fonksiyonlar n = 0 da sürekli olu olmad klar n araşt r n z. < sin ; 6= 0 a) f() = 0 ; = 0 9

10 < sin ; 6= 0 b) g() = 0 ; = 0 f(+) f() f(+) f( ).!0 = ise!0 =? < a kk ; > 3. f() = olsun. f nin = de sürekli olmas a cos ; < için f() nas l tan mlanmal d r. sin( ). f() = 3 olsun. 6= için f() = g() olmak üzere = noktas nda sürekli olan bir g fonksiyonu bulunuz. 5. f() = cos fonksiyonunun her yerde sürekli oldu¼gunu gösteriniz. 6. cos = denkelminin (0; ) aral ¼g nda bir kökünün var oldu¼gunu gösteriniz. 7. ln = e denkleminin (; ) aral ¼g nda bir kökünün var oldu¼gunu gösteriniz. < + ; < 0. f() = e ; 0 fonksiyonunun süreksiz oldu¼gu noktalar ; > bulunuz. Bunlar n hangisinde f soldan, sa¼gdan sürekli veya süreksizdir. f nin gra ¼gini çiziniz. 9.!9 5 = oldu¼gunu matematiksel tan m kullanarak gösteriniz. 0. f() = fonksiyonunu 0 noktas ndaki itinin olmad ¼g n uygun bir " > 0 seçi matematiksel tan m kullanarak gösteriniz.. Aşa¼g daki itleri hesalay n z. a)!0 n + = n b)!0 3 + = 3 c)! + = 0 d)! + ( ) = e) n! n + n + = 0 f)! + + = g)!0 ln(+) = h)!0 sin cos ln(tan ) = 0 h)! cos = 0

11 )!0 sin cos = i)! j)! k)! l)! sin sin cos = 0 tan cos = cos = cos tan = i)!0 (+) = j)!0 cos cos = k)!0 sin 3 = 6 L =!0 sin 3 = t!0 3t sin 3t 7t 3 = 3t 3t 3 sin t sin 3 t = t!0 7t 3 sin 3t = 3 sin t sin 3 t = 9 t t!0 = 9 L 7 =) L = 6 sin t t 3 7 t!0 sin 3 t t 3 l)!0 sin = 0 v)!0 tan 3 = 3!0 y)!0 sin tan =!0 tan tan 3 =!0 sin sin 3 + sin 3 tan sin sin =!0 3 +!0 {z 3 } = =6 = = tan =!0 6 +!0 6 + = 3 sin {z } =!0 sin 3 3 tan = cos {z } =!0 cos {z } = ( 3) = 6

12 l)!0 +cos + 3 sin = 6 m)!0 ( sin ) = 3 + n)! = e sin 6 o)!0 sin = 3 ö)!0 + = )!0 +sin = r)! + = 0 s)! + = 0 ş)!0 tan( cos ) = t) n! ( n ) ( n )3 = 3 ln(+) u)!0 = cos 3 cos ü)!0 tan = z)! tan = = oldu¼gunu gösteriniz. Bunu kullanarak aşa¼g daki it- cos.!0 leri hesalay n z. a)!0 cos(sin ) 3 = 6 b)!0 cos 3 sin = 3 c)!0 ( cos ) sin 3 = d)!0 cos 3 e)!0 + tan 3 = tan sin 3 ( cos ) = f)!0 sin sin 3 tan = 3 g)!0 tan( cos ) cos(sin ) = h)!0 sin cos = )!0 sin cos = i)! cos( ) cos( ) = j)!0 cos(sin ) sin (sin 3) = 9

13 3.!0 sin(3 ) = ln 3 oldu¼gunu gösteriniz. sin (3 )!0 =!0 sin ( 3 ) sin ( 3 ) 3 =!0 3 3 =!0 = 3!0 (3 = t) = t t!0 log 3 ( + t) = t!0 log 3 ( + t) t = log 3 e = ln 3 5 TÜREV VE UYGULAMALARI. Aşa¼g daki fonksiyonlar n türevlerini bulunuz. a) f () = cot (sin ) b) f () = tan +. y = = 3= e¼grisinin hangi noktas ndaki te¼get do¼grular ya yatay yada dikeydir? Aç klay n z. 3. Aşa¼g daki fonksiyonlar n e¼ger varsa karş lar nda yaz l noktalardaki türevlerini hesalay n z. Fonksiyonlar bu noktalarda sürekli midirler? f() = j j, a = f() = kk, a = f() = jj, a = 0 f() = kk, a = 0 < kk ; > 0 f() =, a = 0 ; 0 < sin( ) ; 6= 0 f() =, a = 0 0 ; = 0 < sin( ) ; 6= 0 f() =, a = 0 0 ; = 0 3

14 . Aşa¼g daki fonksiyonlar n karş lar nda yaz l noktalardaki türevlerini hesalay n z. f() = ( + ) 3, = f() = ( + ) 50, = f() = ( + )0, = 0 f() = +, = 0 q f() = +, = f() = +, = f() = 3 + 3, = 0 5. f() = 3 + fonksiyonu için (f ) 0 (5) =? f() 6. f(0) =,!0 = ve g() = ( + 3) f() olsun. g 0 (0) =? < g() cos 7. g(0) = g 0 ; 6= 0 (0) = 0 ve f() = olsun. f 0 (0) de¼gerini 0 ; = 0 bulunuz.. y = 3 + e¼grisi üzerinde te¼getin yatay oldu¼gu noktalar bulunuz. 9. Hangi de¼gerleri için f() = fonksiyonunun gra ¼ginin yatay te¼geti vard r? 0. y = e¼grisinin, e¼gimi olan bir te¼get do¼grusu olmad ¼g n gösteriniz.. y = + e¼grisinin hangi noktas ndaki te¼geti orijinden geçer?. y = arabolünün (0; ) noktas ndan geçen iki te¼get do¼grusu oldu¼gunu şekil çizerek gösteriniz. Bu iki te¼get do¼grusunun arabol ile kesişti¼gi noktalar n koordinatlar n bulunuz. 3. (; 3) noktas ndan geçen ve y = + arabolüne te¼get olan do¼grular n denklemini bulunuz.. Bir C e¼grisinin P noktas ndaki normal do¼grusu, P den geçen ve C nin P noktas ndaki te¼getine dik olan do¼gru olarak tan mlan r. Buna göre y = e¼grisinin (; 3) noktas ndaki normal do¼grusunu bulunuz. 5. y = arabolünün (; 0) noktas ndaki normal do¼grusu, arabol ile ikinci kez nerede kesişir? 6. Hangi a ve b de¼gerleri için + y = b do¼grusu y = a arabolüne = asisli noktada te¼gettir. 7. Gra ¼ginin ( ; 6) ve (; 0) noktalar ndaki te¼getleri yatay olan ve y = a 3 + b + c + d biçiminde verilen olinomu bulunuz.

15 . y-ekseni üzerinde kesişen iki do¼grunun, y = arabolüne te¼get oldu¼gu bir şekil çiziniz. Bu do¼grular hangi noktada kesişir. 9. Türev yard m yla 5 ve 7 nin yaklaş k de¼gerini hesalay n z. 0. d d f() = ise f 0 () =?. y =, e¼grisinin hangi noktadaki te¼geti ya yatay yada dikeydir.. f() = + e¼grisinin ( ; ) noktas ndaki te¼getini bulunuz. E¼gri ile te¼geti ayn düzlemde çiziniz. 3. h() =, h 0 () = 3 ise d h() d j = =?. f() = + e¼grisine te¼get olan do¼grulardan kaç tanesi (; ) noktas ndan geçer? Bu do¼grular e¼griye hangi noktada te¼gettir. 5. y = + e¼grisinin, y = do¼grusuna aralel olan te¼get do¼grular n n denklemini bulunuz. 6. y = + a + b ve y = c e¼grileri (; 0) noktas nda ortak te¼get do¼grusuna sahitir. a; b ve c say lar n bulunuz. < a + b ; > 7. f() = fonksiyonunun her yerde türevlenebilir b 3 ; olmas için a ve b ne olmal d r?. Aşa¼g daki fonksiyonlar n türevlerini hesalay n z. f() = tan f() = sin +cos f() = tan f() = sin +cos f() = tan sec f() = cos sin sin +cos 9. y = cos e¼grisinin (; ) noktas ndaki te¼getinin denklemini bulunuz. 30. y = sin(sin ) e¼grisinin (; 0) noktas ndaki te¼getinin denklemini bulunuz. 3. y = sec cos e¼grisinin ( 3 ; ) noktas ndaki te¼getinin denklemini bulunuz. 3. Hangi de¼geri için f() = + sin e¼grisinin yatay te¼geti vard r. 33. y = cos +sin e¼grisi üzerinde te¼getin yatay oldu¼gu noktalar bulunuz. 5

16 3. Zincir kural yard m yla aşa¼g daki fonksiyonlar n türevini hesalay n z. f() = sin 3 f() = tan 3 + cos( + ) f() = (tan ) 5 f() = cos(sin ) f() = tan(sin ) f() = sin(sin(sin )) q f() = + + f() = 3 tan3 f() = ( 3 cos ) 3 f() = sin ( ) 3 tan cos 6 yi yaklaş k olarak hesalay n z. (6 = olu = 90 al n z) 36. cos 3 ve sin 3 yi yaklaş k olarak hesalay n z. 37. Zincir kural n da dikkate alarak aşa¼g daki fonksiyonlar n türevini hesalay n z. f() = ln( 3 + ) f() = ln + f() = ln(sin ) f() = ln f() = ln jj cos 5 f() = q +cos cos f() = ln(e + e ) f() = e 3 ln f() = e arctan f() = ( + ) f() = sin f() = (ln ) ln f() = ln 3. ve y reel say lar olmak üzere f fonksiyonu denklemini sa¼glas n. Ayr ca, f ( + y) = f () + f (y) + y + y verilsin. f()!0 = 6

17 f (0) de¼gerini bulunuz. f 0 (0) de¼gerini bulunuz. f 0 () fonksiyonunu bulunuz. 39. f, g, f 0 ve g 0 fonksiyonlar için aşa¼g daki de¼gerler tablosu verilmiştir. f () g () f 0 () g 0 () h () = f (g ()) ise h 0 () de¼gerini bulunuz. H () = g (f ()) ise H 0 () de¼gerini bulunuz. 0. y = e¼grisi üzerinde ortak te¼get do¼grusuna sahi noktalar varsa bulunuz. Cevab n z n Aşamalar n z belirtiniz.. Aşa¼g daki sorular cevalay n z. f () = sin fonksiyonunun artan/azalan oldu¼gu aral klar bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. y = cos ( + y) ise kaal türevleme yard m yla y nin üçüncü türevi y 00 nin ; 0 noktas ndaki de¼gerini bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz.. y = arabolü üzerinde bulunan (; ) noktas na en yak n noktay bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 3. f () = =3 =3 fonksiyonu veriliyor. f () in [ ; 6] kaal aral ¼g ndaki mutlak ekstremum de¼gerlerini bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. f () = 0 denkleminin çözümleri say s n bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz.. sin (y) + = ise kaal türevleme yard m yla y nin üçüncü türevi y 000 nin (; 0) noktas ndaki de¼gerini bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 5. y = arabolü üzerinde bulunan (0; ) noktas na en yak n noktay bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 6. y = 3 =3 e¼grisinin gra ¼gini tüm aşamalar belirterek çiziniz. 7. y = a + b + c arabol e¼grisi (; 5) noktas ndan geçmektedir. Ayr ca, bu arabol e¼grisinin = noktas ndaki te¼getinin e¼gimi ve = noktas ndaki te¼getinin e¼gimi oldu¼gu biliniyor. a; b ve c sabitlerini bulunuz. 7

18 . a ve b sabitlerinin hangi de¼gerleri için (; 6) noktas y = 3 + a + b + e¼grisinin bir büküm noktas d r? Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 9. (5) ün yaklaş k de¼gerini türev yard m yla hesalay n z. 50. Aşa¼g daki şekilde aç s n maksimum yaabilmek için P noktas AB do¼gru arças üzerinde nereye yerleştirilmelidir? Aç klay n z. 5 A O 3 P B 5. f () = + 3 =3 e¼grisinin gra ¼gini çiziniz y 3 = y denklemi veriliyor. Önce kaal türevleme yöntemiyle dy=d bulunuz. Daha sonra bu denkleminin gra ¼ginin (; ) noktas ndaki te¼getinin denklemini yaz n z. 53. f () = arcsin fonksiyonu veriliyor. f fonksiyonunun tan m kümesini bulunuz. f fonksiyonunun türevini bulunuz. 5. Aşa¼g daki itleri bulunuz.!! sin + cos (3) y = e¼grisinin hangi noktalar ndaki te¼geti en küçük e¼gime sahitir? Aç klay n z. 56. f () = sin cos (), 0 fonksiyonunun artan, azalan oldu¼gu aral klar bulunuz. 57. c nin hangi de¼gerleri için P () = + c 3 + olinom fonksiyonu iki büküm noktas na sahitir? Aç klay n z. 5. Aşa¼g daki itleri bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz.

19 !0 csc! a b (a; b reel sabit) 59. f () = a 3 + b + c + d fonksiyonu ( ; 3) noktas nda yerel maksimuma ve (; 0) noktas nda yerel minimuma sahitir. a; b; c ve d reel sabitlerini bulunuz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. 60. y = ( ) =3 e¼grisinin gra ¼gini çiziniz. Cevab n z n aşamalar n belirtiniz. < kk ; 0 6. f() = fonksiyonu için f 0 (0) var m d r? Varsa bulunuz. ; < 0 < sin ; 0 < ; < 6. f() = ve g() = olsun. (f g) 0 () =? cos ; < 0 f(+) f() f(+) f( ) 63.!0 = ise!0 =? 3 3 ; 6. y = + e¼grisinin (; ) den geçen te¼getlerinin denklemlerini bulunuz. 65. y = 3 + e¼grisinin aşa¼g da verilen noktalardan geçen te¼geti var m d r? Varsa bulunuz. (0; ) (0; ) 66. f() = 5 + olsun. (f ) 0 () =? 67. y = 3 3 e¼grisinin orijinden geçen te¼geti var m d r? Varsa bulunuz. 6. y = e¼grisinin ( ; ) noktas ndan geçen te¼geti var m d r? Varsa bulunuz. 69. y = jj eşitli¼gi ile verilen y = f() e¼grisinin (; 3) noktas ndan geçen te¼geti varsa bulunuz. 70. y = ( )(kk + k k) eşitli¼gi ile verilen y = f() e¼grisinin (; 0) noktas ndan geçen te¼geti varsa bulunuz. 7. y = jj + jj 7. y = e¼grisini çiziniz., y = y = ( ) 3 e¼grisini çiziniz., y = e¼grilerini çiziniz. ( ) 9

20 7. f() = 3 ve g() = 3 e¼grilerinin artan, azalan oldu¼gu aral klar, konveks, konkav oldu¼gu aral klar bulunuz. < ; < f() = fonksiyonunun yerel etremum noktalar n bulunuz. Bu fonksiyonunu [ ; ] aral ¼g ndaki etremum de¼gerlerini hesalay n z. Ayn soruyu [ ; ] aral ¼g için cevalay n z. < ; < 0 < + ; < f() = ve f() = fonksiyonlar n n artan, azalan oldu¼gu aral klar, konveks, konkav oldu¼gu aral klar 0 0 bulunuz. Bu fonksiyonlar n yerel etremum noktalar var m d r? Varsa bulunuz. 77. f() = sin 3, f() = cos fonksiyonlar için f (n) () türevini hesalay n z. 7. f() = ve g() = jj olsun. Bu durumda (f g)() = ve (g f)() = dir. g fonksiyonu = 0 noktas nda türevlenemez olmas na ra¼gmen f g ve g f fonksiyonlar bu noktada türevlenebilirdirler. Bu durum zincir kural ile çelişir mi? Neden? 79. y = jj e¼grisinin (; ) noktas ndaki te¼getinin denklemini bulunuz. < sin ; 6= 0 0. f() = 0 = 0 fonksiyonu için f 00 (0) var m d r? Varsa hesalay n z y 3 + ( )y = 0 ile verilen y = f() için y 00 () var m d r? Varsa bulunuz.. Taban yar ça 6 cm yüksekli¼gi 0 cm olan bir koninin içine yerleştirilebilen maksimum hacimli silindirin hacmi ne olur? 3. Hiotenüsü 3 birim olan bir dik üçgen dik kenarlar ndan biri etraf nda döndürülüyor. Oluşan koninin hacmi en fazla ne olur?. (; 0) noktas n n y = e¼grisine olan uzakl ¼g n hesalay n z. 5. Yar ça 6 cm olan küre içine yerleştirilebilen bir dik koninin hacmi en fazla ne olur? 6. Taban yar ça 6 cm yüksekli¼gi cm olan bir koninin içine bir başka koni ters ve tabanlar aralel olacak şekilde yerleştiriliyor. Yerleştirilen koninin taban yar ça ve yüksekli¼gi ne olmal d r ki hacmi en fazla olsun. 7. Yar ça cm olan bir yar çemberin içine bir diktörtgen yerleştirilecektir. Bu dikdörtgenin alan en fazla ne olur. 0

21 References [] James Stewart, Kalkülüs. [] George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel R. Hass, Thomas Kalkülüs, Cilt.