VĐSKOELASTĐK KOMPOZĐT MALZEMEDEN YAPILMIŞ DĐKDÖRTGEN KALIN PLAKLARIN DELAMĐNASYONUNUN ĐNCELENMESĐ

Transkript

1 YILDIZ TEKNĐK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ VĐSKOELASTĐK KOMPOZĐT MALZEMEDEN YAPILMIŞ DĐKDÖRTGEN KALIN PLAKLARIN DELAMĐNASYONUNUN ĐNCELENMESĐ Đş. Yük. Müh. Esra Eyem KARATAŞ FBE Đşaat Mühedsğ Aabm Daı Mekak Programıda Hazıraa DOKTORA TEZĐ Tez Savuma Tarh : 0 Mart 0 Tez Daışmaı : Prof. Dr. Nazmye YAHNĐOĞLU (YTÜ) Jür Üyeer : Prof. Dr. R. Faruk YÜKSELER (YTÜ) : Prof. Dr. Neca KADIOĞLU (ĐTÜ) : Prof. Dr. Surkay D. AKBAROV (YTÜ) : Prof. Dr. Mehmet BAKĐOĞLU (ĐTÜ) ĐSTANBUL, 0

2 ĐÇĐNDEKĐLER Sayfa SĐMGE LĐSTESĐ... KISALTMA LĐSTESĐ... v Sayfa...v ÇĐZELGE LĐSTESĐ...v ÖNSÖZ... ÖZET... ABSTRACT.... GĐRĐŞ.... Vskoeastk Komozt Mazemeere At Gee Bger.... Tez Kousua At Mevcut Çaışmaar Kouu Gerekğ ve Güceğ Yaıa Araştırmaı Amaçarı ve Kasamı KENAR ÇATLAK ĐÇEREN VĐSKOELASTĐK KOMPOZĐT KALIN PLAĞIN DELAMĐNASYONU.... Probem Matematkse Mode.... Sou Eema Formüasyou Sayısa Çözüm..... Kear Çatak Đçere Ortotro Dkdörtge Pağı Deamasyo Burkuması..... Kear Çatak Đçere Vskoeastk Dkdörtge Pağı Deamasyo Burkuması 9. ĐÇ ÇATLAK ĐÇEREN VĐSKOELASTĐK KOMPOZĐT KALIN PLAĞIN DELAMĐNASYON BURKULMA PROBLEMĐ Probem Matematkse Mode Sou Eema Formüasyou Sayısa Çözüm DEĞERLENDĐRME ve SONUÇLAR... 5 KAYNAKLAR ÖZGEÇMĐŞ... 59

3 SĐMGE LĐSTESĐ σ j σ& σ j ( q) j Germe tasörü beşeer Germe tasörüü zama göre türev Laace uzayıdak germe tasörü beşeer σ q. yakaşıma at germe tasörü beşeer ε j ε& ε j ( q) j Şek değştrme tasörü beşeer Şek değştrme tasörüü zamaa göre türev Laace uzayıdak şek değştrme tasörü beşeer ε q. yakaşıma at şek değştrme tasörü beşeer u u q ( ) Yer değştrme vektörü beşeer Laace uzayıdak yer değştrme vektörü beşeer u q. yakaşıma at yer değştrme vektörü beşeer Youg modüü ( ) Matrs (Güçedrc) mazemes Eastste modüü Vskoeastk mazeme aık Eastste modüü 0 Laace uzayıda eer vskoeastk mazeme Eastste modüü,, Mazeme sırasıya O, O ve O doğrutuarıdak Eastste modüü ν Laace uzayıda eer vskoeastk mazeme Posso katsayısı ν ( ν ) Matrs (Güçedrc) mazeme Posso oraı ν Vskoeastk mazeme aık Posso oraı 0 ν, ν, ν Mazeme,G, G O, O ve O düzemerdek Posso oraı G Mazeme O, O ve O düzemerdek kayma modüü µ Lame sabt µ 0 Lame sabt aık değer η Matrs (Güçedrc)mazeme hacm oraı ( η ) ω 0 ( ) Vskoeastk mazeme 0( t ) ω t dak reoojk arametre değer ω Boyutsuz reoojk arametre α Vskoeastk mazeme reoojk arametres ε Çatak yüzeyerdek ö eğt dereces göstere boyutsuz küçük arametre * R α Rabotov oeratörü t, τ Zama k Zama boyutuda br sabt c Đtegrasyo sabt Γ ( ) Gamma foksyou Ω Çatak çermeye kaı ağı kasadığı böge Ω Çatağı oduğu böge ( ) Pağı O ( O ) doğrutusudak uzuuğu 0 ( 0 ) Yaıdak dkdörtge çatağı O ( O ) doğrutusudak uzuuğu h A Çatak e ağı serbest at yüzey arasıdak mesafe h U Çatak e ağı serbest üst yüzey arasıdak mesafe h Pak kaıığı

4 (, ) f Çatak yüzeyerdek ö eğt foksyou j δ A j Çatak yüzeyere at dış brm orma vektörüü beşeer Düzgü yayıı basıç yük yoğuuğu Kroecker semboü Mazeme ormaze edmş mekak sabter A j0 Mazeme ormaze edmş mekak sabter aık değer ( 0) C jrs Azotro mazeme mekak sabter t 0 dak aık değerer s Laace döüşüm arametres Π Foksyoe ( k ) u k. sou eema ç araa yer değştrme foksyou ( k ) a k. sou eemaı odarda bmeye yerdeğştrme değerer çere vektör ( k ) N k. sou eemada şek foksyou matrs K Katsayıar (stffess) matrs r Düğüm oktaarıa etkye kuvveter göstere vektör t 0 ç krtk deamasyo burkuma kuvvet 0 t ç krtk deamasyo burkuma kuvvet v

5 KISALTMA LĐSTESĐ LEÜBST Leerze Edmş Üç Boyutu Stabte Teors v

6 ŞEKĐL LĐSTESĐ Sayfa Şek. Mawe mode... Şek. Kev-Vogt mode Şek. Ee aıa dkdörtge kaı ak ve ağı bazı geometrk verer.... Şek. Çatak yüzeyerdek ö eğt formu; a) ayı faz durumu, b) zıt faz durumu... 4 Şek. Ö eğt a) ayı-faz, b) zıt faz ( 0 > 0 4 ) ve c) zıt faz ( ) oması durumarıa at deamasyo burkuma modarı Şek. Ö eğrğ a) ayı-faz, b) zıt faz ( 0 > 0,80. 0 ) ve c) zıt faz ( 0 0,80. 0 ) oması durumarıa at deamasyo burkuma modarı v

7 ÇĐZELGE LĐSTESĐ Sayfa Çzege. Farkı kayma modüü ( G j ) ç zıt faz/ayı faz (ay/ayda) durumuda E değerer ( 0. 5, 0., 0. 5, 0. 5) Çzege. Farkı G ve 0 ç zıt faz/ayı faz (ay/ayda) durumuda E değerer ( 0., 0., 0. 5, 0., G G 0.5 ) Çzege. Farkı G ve 0 ç zıt faz/ayı faz (ay/ayda) durumuda değerer ( 0., 0., 0. 5, 0., G G 0.5) Çzege.4 Farkı G ve h U ç zıt faz/ayı faz (ay/ayda) durumuda değerer ( 0., 0., 0. 5, 0., G G 0.5, 0. 5 ) Çzege.5 Farkı γ ve E E0 ç 0 0 değerer ( h 0. 5, 0.5) Çzege.6 Farkı γ ve 0 ç 0 değerer ( h 5 0., ω, α 0.5, 50 )... 0 Çzege.7 Farkı, 0 0 ve ö eğt formu ç 0 değerer ( h 0.5, γ, ω ve α 0. 5)... Çzege.8 Farkı ω ve 0 ç buua t değerer ( h 0.5, γ,, 0. 5 ve α 0. 5 )... 0 Çzege.9 Farkı, ve ö eğrk formu ç 0 değerer ( h 0. 5, γ, 0. 5, ω ve α 0. 5 )... 0 Çzege.0 Farkı 0, ve ö eğrk formu ç 0 0 değerer ( h 0. 5, γ, 0. 5, ω ve α 0. 5 ) Çzege. Farkı h u ve ç 0 0 değerer ( h 0. 5, γ, 0. 5, ω, α 0. 5 ) Çzege. Farkı 0 ve E0 ç t değerer ( 0, ω, α 0. 5, 0 v

8 0.5 ) Çzege. Farkı ω ç t değerer ( h 0. 5, γ, 0, 0 0.5, 0. 5 ve α 0. 5 ) Çzege.4 Farkı α ç t değerer ( h 0. 5, γ, 0, 0 0.5, 0. 5 ve ω ) Çzege. Farkı 0 ve E E0 ç zıt faz ve ayı faz durumuda 0 değerer ( h h h, 0. 5, ω, α 0. 5) A u 0 Çzege. Farkı 0 ve E E0 ç zıt faz ve ayı faz durumuda 0 değerer ( h h h, 0. 5, ω, α 0. 5) A u 0 Çzege. Farkı h U ve E E0 ç zıt faz ve ayı faz durumuda 0 değerer ( h h h, 0. 5, ω, α 0. 5) A u 0 Çzege.4 Farkı 0 ve E0 ç t değerer ( h A h u h, E E 0, ω, α 0. 5, 0. 5 ) Çzege.5 Farkı ω ç t değerer ( h A h u h, α 0. 5, E E 0, 0.5, 0. 5 ) Çzege.6 Farkı α 0. 5 ç t değerer ( h h h, ω, γ, A u 0 0.5, , E E 0 ) v

9 ÖNSÖZ Bu çaışmaı hazırama sürecde bmse ve sa katkıarıda doayı brkte çaışmakta büyük our duyduğum değer hocaarım Sayı Prof. Dr. Nazmye YAHNĐOĞLU ve Sayı Prof. Dr. Surkay D. AKBAROV a e der şükraarımı sumayı br borç brm. Çaışmaarım esasıda maev desteker hçbr zama esrgemeye aeme ve tez yazıması aşamasıda doayı veya doaysız destek ve yardımarıı gördüğüm Yrd. Doç. Dr. Murat ALTEKĐN ve Yrd. Doç. Dr. Nhat ĐLHAN e araştırma görevs arkadaşarım Arş. Gör. Ayfer TEKĐN, Arş. Gör. Şeref Doğuşca AKBAŞ, Arş. Gör. Ükü BABUŞCU ve Arş. Gör. Çğdem ÖZÇELĐK e teşekkür ederm. Ayrıca Yıdız Tekk Üverstes Bmse Araştırma Projeer Koordatörüğü e de Doktora Tezm destekemesde ötürü teşekkür ederm.

10 ÖZET VĐSKOELASTĐK KOMPOZĐT MALZEMEDEN YAPILMIŞ DĐKDÖRTGEN KALIN PLAKLARIN DELAMĐNASYONUNUN ĐNCELENMESĐ Bu çaışmada, eer vskoeastk komozt mazemede yaımış dkdörtge br kaı ağı deamasyo burkuma robem ceemştr. Pağı dkdörtge br çatak çerdğ ve bu çatak yüzeyer doğa durumda başagıçta çok küçük ö eğrğe sah oduğu kabu edmektedr. Çatakar doğrutusuda etkye orma dış basıç kuvvet etksde (eastk ak ç) veya sabt dış basıç kuvvet ç zama ererke (vskoeastk ak ç) çatak yüzeyerde vere ö eğrğ geşm ceemese dayaa br yakaşım uyguaarak krtk arametre değerer beremştr. Dkkate aıa başagıç eğrer geşm matematkse mode, azotro csmer ç vskoeastste teors geometrk oarak eer omaya üç boyutu kes aa dekemer çerçevesde yaımıştır. Leer omaya sıır değer robem çözümü ç sıır t ertürbasyo yötem, üç boyutu sou eemaar yötem ve sayısa ters Laace döüşümü ç Shaery yötem kuaımıştır. Tez dört kısımda ouşmaktadır. Tez brc kısmıda, vskoeastk kaı akarı deamasyo burkuma robemere at teme kavramar, Tez amacı, kasamı ve özeker vermştr. Tez kc kısmıda, yaısıda dkdörtge kear çatak buua eer vskoeastk kaı ağı deamasyo burkuma robem ee aımıştır. Ee aıa robemer matematkse mode, sou eemaar mode, sayısa souçar ve sayısa souçarı yorumarı vermştr. Tez üçücü kısmıda, yaısıda dkdörtge ç çatak buua eer vskoeastk kaı ağı deamasyo burkuma robem ee aımıştır. Ee aıa robemer matematkse mode, sou eema formüasyou ve ak mazemes çeşt geometrk, mekak ve reoojk arametre değerer ç krtk deamasyo burkuma kuvvet ve krtk zama değerere at sayısa souçar vermştr. Tez so kısmı dördücü kısmıda se, Tez çerçevesde ee aıa robemer sayısa souçarı ve bu souçarı değeredrmes özetemştr. Aahtar Kemeer: Deamasyo, Çatak, Sou Eemaar Yötem, Dkdörtge kaı ak.

11 ABSTRACT THE INVESTIGATION OF THE BUCKLING DELAMINATION OF RECTANGULAR THICK PLATES MADE FROM VISCOELASTIC COMPOSITE MATERIAL I ths study, the deamato buckg robem for a rectaguar thck ate made from ear vscoeastc comoste matera s studed. It s suosed that the ate has a rectaguar crack ad edge surfaces of that have sgfcat ta merfectos the atura state. The crtca vaues of the arameters are determed by emoyg the aroach whch s based o the vestgato of the deveomet of ths ta merfectos of the crack s edge surfaces wth a etera comressve oadg actg aog the cracks (for the eastc ate) or wth durato of a tme at the certa vaues of the etera comressve force (for the vscoeatc ate). Mathematca modeg of the evouto of the oted ta merfectos are formuated wth the framework of the eact three dmesoa geometrcay o-ear fed equatos of the theory of vscoeastcty for asotroc bodes. For the souto of the corresodg o-ear boudary vaue robem the boudary form erturbato method, Laace trasformato wth resect to tme, three dmesoa fte eemets method ad Shaery method for the umerca verse Laace trasform are aed. Thess cotas four chaters. I the frst chater of that, the fudameta cocets o the deamato buckg robems of the vscoeastc thck ates, the objectve, cotet ad roertes of the thess are gve. I the secod chater, the deamato buckg robem of a ear vscoeastc thck ate wth a rectaguar edge crack s cosdered. The mathematca modeg of the cosdered robems, the fte eemets modeg, umerca resuts ad the dscusso of the umerca resuts are gve. I the thrd chater, the deamato buckg robem of the ear vscoeastc thck ate wth a rectaguar embedded crack s cosdered. The mathematca modeg of the cosdered robem, the fte eemet formuato ad the umerca resuts o the vaues of the crtca force ad crtca tme are gve for varous vaues of the geometrca, mechaca ad rheogca arameters of the ate s matera. I the fourth fa chater, the umerca resuts of the robems cosdered the thess ad the dscussos of the resuts are summarzed. Keywords: Deamato, Crack, Fte Eemets Method, Rectaguar thck ate.

12 . GĐRĐŞ Bu kısımda Doktora Tez e ceeme ve hesa kousu oa vskoeastk komozt mazemeer e Tez çerçevesde ee aıa robemer hakkıda gee bger verecektr.. Vskoeastk Komozt Mazemeere At Gee Bger Güümüzde heme heme mühedsğ her daıda (öreğ sor aeter, mutfak araç gereçer, dış cehe kaamaarıa vb.) komozt mazemeer kuaımıa yaygı oarak rastaımaktadır. Bu mazemeer, ber br amaca yöek oarak e az k farkı mazeme braraya getrmes e meydaa gee mazeme grubudur. Bu braraya getrmede amaç, beşeer hçbrde tek başıa mevcut omaya br özeğ ede edmesdr. Dğer br değşe, amaçaa doğrutuda beşeer daha üstü özekere sah br mazeme üretmes hedefemektedr. Bu mazemeer, geeekse mazemeere göre ek çok üstü özekere sah oması sebeb e kuaımıı yaygı oması söyeebr. Komozt mazemeer keds ouştura her br mazeme tek başıa sah omadığı üstü özekere sah ourar. Üstü özekere örek oarak, mekak dayaım, basıç, çekme, eğme, çarma dayaımı, yoruma dayaımı, aşıma/korozyo drec, kırıma tokuğu, yüksek sıcakığa dayaıkıık, ısı etkeğ veya ısı dreç, eektrk etkeğ veya eektrkse dreç, akustk etkek, ses tutucuuğu veya ses yutucuuğu, rjtk, düşük ağırık ve bezer özeker verebr. Komozt mazeme, güçedrc ve matrs mazeme omak üzere k beşede ouşur. Komozt mazemeerde matrs mazeme gee oarak üç teme foksyou vardır. Buar güçedrcer brarada tutmak, yükü güçedrcere dağıtmak ve güçedrcer çevrese faktörerde korumaktır. Matrs mazeme çersde yer aa güçedrcer se, komozt mazeme çersde yük taşıma görev sağarar. Yaıarıda çok sayıda farkı mazeme kuaıabe komozt mazemeer sııfadırımasıda kes sıırar çzmek ek mümkü değdr. Lteratürde bu mazemeer ek çok açıda sııfadırıması yaımıştır. Öreğ, komozt mazeme mkro yaısıa göre: Seyrek, küçük taeck takvye komozter, taeck takvye komozter, f komozter; güçedrc mazeme geometrk formua göre: Küre şek güçedrc komozter, sdr şek güçedrc komozter, ak şek güçedrc komozter vb. oarak verebr. Komozt mazemeer sııfadırımasıa at daha kasamı bg Crstese (979), Yahoğu (996), Ersoy (00) kayakarıda yer amaktadır.

13 Mühedsk uyguamaarıda karşıaşıa komozt mazemeer bazıarı zamaa bağı mazeme özekere sahtrer, öreğ beto. Ye, uyguamaarda yaygı şekde matrs mazemes oarak kuaıa reçeer de (öreğ eoks vb.) mekak özeker zamaa bağıdır. Bu aamda zamaa bağı mekak özeker göz öüe aıabmes daha gerçekç ve doğru hesaamaar ç gerek oabmektedr. Bu edee ee aıa Tez kasamıda mekak özeker zamaa bağı komozt mazemeer ya vskoeastk veya omer t komozt mazemeer seçmştr. Komozt mazeme beşeerde her ks de vskoeastk mazemede yaımış seçebeceğ gb br (matrs veya güçedrc) de vskoeastk mazemede yaımış seçebmektedr. Tez kasamıda sadece matrs mazemes vskoeastk mazeme özekere sah oduğu kabu edmştr. Etk ede kuvvet sebebye şek değştrebe ve bu kuvvet değşmedğ sürece mevcut şek değştrmes koruya ve kuvvet kadırıdığıda tekrar k hae döebe mazemeer eastk mazemeer oarak adadırıırar. Vskoeastk mazemeer de se, uyguaa dış kuvvet etksye başagıçta eastk br şek değştrme gözerke, bu kuvvet değştrmese be yeter kadar uzu br süre gözedğde şek değştrme sabt kamayı yavaş da osa devam ettğ görüür k bu durum süme (cree) oayı oarak br. Ayı zamada, yükeme etksye mazeme sah oduğu mevcut şek değştrme, ye yeter kadar uzu br süre gözedğde bu durumu sabt kaabmes ç yükeme zamaa azatıması gerekmektedr. Bu durum da gevşeme (reaato) oarak taımaır. Yaıa deeyer, dış kuvvet etks atıdak vskoeastk br mazeme sah oduğu şek değştrme durumuu, hem yükeme so değere hem de yükeme hızıa bağı oduğuu göstermştr. Bu durum vskoeastk mazemeerde büye bağıtıarıı yükeme so değere ave oarak ayı zamada yükeme hızıda da etkedğ gösterr. Bu sebee hesaamaarda zama arametres dkkate aımaıdır. Lteratürde vskoeastk mazemeer büye dekemer matematk modeemese at br çok mode ou buarda e öem k taes Mawe ve Kev-Vogt modeerdr. Bu modeerde mazeme eastk özeker tems ç eastk br yay ve vskoz davraışı tems ç de vskoz dashot kuaıır. Eastk yay e dashotu ser oarak brbrere bağamasıda ede ede vskoeastk mode Mawe mode oarak adadırıır (Şek.) ve bu modee at büye dekem se; σ ε + µε& (.)

14 . dε şekde fade edr. (.) de ε, küçük şek değştrme beşe, ε ou şek dt değştrme hızıı gösterr. katsayısı Youg modüüe karşı ge µ se vskozte katsayısıdır. Mawe mode, vskoeastk br mazeme ç süme (cree) oayıı açıkamakta yetersz kamaktadır. σ E µ σ ε Şek. Mawe mode. Kev-Vogt mode ç, büye dekemde eastk yay ve dashotu brbre arae bağadığı kabu edr (Şek.), ve germe tasörüü zamaa göre türev, germe tasörü e şek değştrme tasörüü zamaa göre türeve bağıdır. Ya, Kev-Vogt mode büye dekem σ & + k σ ε& (.) dferasye bağıtısı e verr. k zama boyutuda br sabttr. (.) dekeme, ε ( t) verdğde σ germes bereye br dferasye dekem oarak bakıırsa, σ ( t) kt ce + kt kt e ( t) e dt ε & (.) oarak yazıabr. (.) de c tegrasyo sabtdr. Fakat bu mode deeyerde test ede süme oayıı açıkamak e brkte, gevşeme oayıı ya, şek değştrme sabt kaabmes ç yükeme zamaa azatıması gerekğ açıkayamamaktadır. Burada, bu k oguu farkı modeer çıktısı oduğua dkkat edmedr. Bu k mode vskoeastk mazeme gerçek davraışıı tam oarak fade etmekte yetersz kadıkarı ç her k mode geştrmes gerekmektedr.

15 4 E σ σ µ ε Şek. Kev-Vogt mode. Bu k modee göre daha karmaşık oa ve vskoeastk mazeme davraışıı daha y fade ede başka modeerde teratürde mevcuttur (Şuhub (994), Ersoy (00), Sadowsk ve Borst (008)). Eğer vskoeastk csm büye bağıtıarıda, şek değştrme hızı tasörüe bağıık eer aıırsa, bu mode çerçevesde eer vskoeastste ede edmş ouur ve bu tür mazemeer eer vskoeastk mazeme oarak adadırıır. Bu durumda ede ede mode, şek değştrme zamaa çok yavaş değştğ ortamarı tems eder. Tez kasamıda ee aıa vskoeastk mazeme, eer vskoeastk mazeme ou bu mazemeye at büye bağıtıarı deeyse çaışmaar soucuda ede ede verer formüasyou soucuda çıkarımıştır. Bua göre eer vskoeastk br mazeme Eastste modüü ve Posso katsayısı, * [ ω ( ω )] 0 0R α 0 ω ν0 * ν ν0 + ω0r α ( ω0 ω ) (.4) ν0 e verr (Akbarov ve Rzayev (00), Akbarov ve Yahogu (00) ve dğerer). Burada E 0 ve ν 0 sırasıya aık Youg modüü ve aık Posso katsayısıdır. α, ω 0 ve ω er vskoeastk mazeme reoojk arametreer, * R α Rabotov oeratörüdür (Rabotov (977)). Bu oeratör t α 0 ( t) R ( β, t τ) φ( τ)dt * R α φ (.5) ve

16 5 ( +α ) α β t R ( β, t) t α, α 0 (.6) Γ( ( + )( + α) ) 0 dr. (.6) da Γ () Gamma foksyoudur (Akbarov ve Yahogu (00), Akbarov, Yahogu ve Kutug (00)).. Tez Kousua At Mevcut Çaışmaar Çok katı komozt mazemeerde karşıaşıa öem ve güce robemer arasıda, komozt mazemey ouştura beşeer/katmaar arasıda buua çatakar ve bu çatakar e g araştırmaardır. Berte kusurar esas yükeme esasıda, yaı eemaıı mukavemet öem öçüde etkedğ ç yaı eemaıda ouşabecek oumsuz durumarı öcede test edmes ve gerek öemer aıması mühedsk açısıda öem ve zarur br ceeme sahasıı ouşturmaktadır. Yaı eemaıda mevcut oabe çatakarı büyüküğü eğer yaı eemaı boyutarı mertebesde se makro çatakar, yaı eemaı boyutarı mertebesde daha küçük se mkro çatakar oarak adadırıır. Makro veya mkro çatakar, çok katı komozt mazeme üretm esasıda veya bu mazemede stee yaı eemaı düzeerke çeşt tekoojk uyumsuzukar, katmaarı breştrmesdek kusurar ve bezer edeere kaçıımaz oarak ouşabmektedr. Doayısıya, berte çatakarı yaı eemaı mukavemete etker öcede beremes ve tasarımı bu verere göre yaıması çok öemdr. Çatakar e g çaışmaar ek çok mühedsğ g aaıa grer ve bu çaışmaarı bütüü Kırıma Mekağ ouşturmaktadır. Ee aıa Doktora Tez kasamıda, dkdörtge çatak çere eer vskoeastk komozt kaı ağı, çatak doğrutusuda etkye statk dış basıç kuvvet etksde deamasyo burkuması robem ee aıacaktır. Burkuma robemer k oarak Kachaov (976) tarafıda ceemştr. Kachaov u çaışmaarıda deamasyo robem, yaı eemaıda öcede var oduğu kabu ede çatak e yaı eemaıı serbest üst yüzey arasıda kaa böge, çatak doğrutusuda etkye statk dış basıç kuvvet etksye burkuması stabte kaybı krter oarak ee aımış ve bu robemerde bazıarı yakaşık ak teorer çerçevesde ceemştr. Bu çaışmaı özet Nsso vd. (99), Wag vd. (995) ve Boot (996) çaışmaarıda vermştr. Çatak çere yaı eemaıdak, çatak doğrutusuda vere dış basıç kuvvet etks beremese yöek robemer modeemes kask omaya robemer-o-cassca

17 6 robems oarak smedrr. Berte robemer kask eastste teors çerçevesde modeemes ve çözümü etcesde herhag br etk aıamamaktadır. Ya, çatak ucuda ouştuğu be germe yoğuuğu veya mazeme kırımasıa sebe oa krtk arametreer değerer bereememektedr. Çatak çere yaı eemaıı kırıma e g krtk değerer beremese yöek robemer, Guz ve öğrecer tarafıda, yaı eemaıı br bütü oarak ee aıması durumuda ede ede stabte kaybı değerer e eşdeğer aıarak ee aımıştır. Kask omaya robemer bu şekde modeeme yaıarak çözümüde yaı eemaıı kırıma e g değerer beremes mümkü omaka beraber yaıda ouşa germe yayıımı veya yaı eemaıda öcede var oduğu kabu ede çatağı, ucuda ouşa germe yığımasıı beremek mümkü oamamaktadır. Kırımaı mekazması, kask omaya robemer detayı açıkaması ve bazı örek robemere uyguaması Guz (00), Babch vd. (00), Guz vd. (00) ve Guz vd. (004) çaışmaarıda ve bu çaışmaarı kayakarıda yer aa çaışmaarda vermştr. Burkuma deamasyo robemer br kısmı se bazı araştırmacıar tarafıda deeyse oarak ee aımıştır. Bu çaışmaarda bazıarı Evas ve Hutchso (995), Goa ve Ortz (997), Hutchso vd. (99), Thouess vd. (994) ve Moo vd. (00) şekde verebr. Bu çaışmaarda, uyguaa dış basıç kuvvet etksde ce tabaka e örtüü (fm şert) yaı eemaarı ç kaamada (örte tabakada) meydaa gee burkuma oayarı, burkumaı ouşma mekazmaarı ve burkuma mod şeker yaıa gözem ve deeyere dayaıarak açıkamaya çaışımıştır. Söz kousu yazararı yukarıda vere çaışmaarıda (öreğ, Hutchso vd. (000)) ce tabaka e örtüü yaı eemaarıda kaamada meydaa gee burkuma oayıı geşm, kaama e at (örtümüş) tabaka arayüzeydek arayüzey kırıma eerjs e açıkamaktadır. Bu mode çerçevesde, kaamaardak deamasyo burkuma oayıa, ortamdak sıcakık değşm etker, yaı eemaıda öcede var oduğu kabu ede çatağı büyüküğüü, çatağı koumuu (kear çatak veya ç çatak) ve kaamaı kaıığıı etker ayrıtıı oarak ceemş ve yakaşık matematkse modeer vermştr. Bu çaışmaara bezer br çaışma Crosby ve Bradey (999) tarafıda yaımıştır. Bu çaışmada, üzer ce fm tabakası e örtüü rjd br yüzeyde uyguaa dış basıç kuvvet etksye ce fm şertte gerçekeşe deamasyo burkuması oayı ceemştr. Yaı eemaıda öcede var oduğu kabu ede çatak e yaı eemaıı serbest yüzey arasıda kaa kısmı kaıığıı çatak boyutuda veya daha büyük oması durumarıda yukarıda vere araştırmaarı souçarı uyguaamaz. Bertmek gerekr k, çatağı

18 7 geometrk boyutarı deamasyo burkuma oayıı etkeye e öem arametreerde brsdr. Hwag ve Mao (999), Short vd. (00), Arma vd. (006) çaışmaarıda, çatak e serbest yüzey arasıda kaa kısmı geometrk boyutarıı deamasyo kuvvete etker ceemştr. Yukarıda vere çaışmaarı tamamıda ee aıa deamasyo burkuma robemer ceemesde kes teor çerçevesde modeemeer yaımamış yakaşık matematkse modeer vermştr. Brçok mühedsk robem ç komozt mazemeerde yaımış yaı eamaarıı stabte robemer ceemes Leerze Edmş Üç Boyutu Stabte Teors (LEÜBST) dekemer yardımıya ceemştr. LEÜBST dekemer Noeer Eastste Teors kes dekemer eerze edmes you e beremes Bot (94, 99) tarafıda yaımıştır. Bu çaışmaarda stabte kaybı öces şek değştrmeer küçük oması durumu ee aımıştır. Buda başka, Bot (965), Guz (97, 999) ve dğerer araştırmaarı e LEÜBST geştrmese çok öem katkıar yaımış ve bu teor çerçevesde çok sayıda somut robemer ceemştr. Şek değştrebe csmer mekağe at üç boyutu oeer dekemere dayaa, öreğ Leerze Edmş Üç Boyutu Stabte Teors (LEÜBST) gb teme stabte teorer, çatak çere csmerde yere burkuma robemer ç geştrmes Guz ve öğrecer tarafıda yaımıştır. (Guz (999), Guz ve Nazareko (985b)). Guz ve Nazareko (989b) ve Bogdaov vd. (009) çaışmaarıda se bu çaışmaarı daha kasamı özet vermştr. Bu teor çerçevesde ee aıa dğer çaışmaar se Guz ve Degret (008,009b), Degret (008a,b) oarak verebr. Yukarıda vere bütü çaışmaarda ee aıa robemerde, yaı eemaıı mazemes zamada bağımsız oarak seçmştr. Deamasyo burkuma robemer, mekak özeker zamaa bağı ya, vskoeastk mazemede yaımış yaı eemaarıa uyguaabmes LEÜBST mekak özeker zamaa bağı mazemeer ç geştrmes e mümkü omuştur. Vskoeastk mazemede yaımış yaı eemaarıı deamasyo burkuma robemer Akbarov ve öğrecere kadar ee aıamamıştır Akbarov vd. (997). Bu aada bazı çaışmaar, Akbarov ve Tekercogu (007), (Akbarov (994, 998, 007), Akbarov ve Yahogu (999, 00) ve dğerer) şekde verebr. Vere bu çaışmaarda, ee aıa deamasyo burkuma veya stabte kaybı robemer LEÜBST çerçevesde ceemş ve yaı eemaıı kırımasıa at krtk arametreer (eastk durumda krtk deamasyo burkuma kuvvet veya vskoeastk durumda sabt dış kuvvet etksde krtk zama) beremesde stabte kaybı krter oarak başagıç eğt krter kuaımıştır (Hoff, 954). Akbarov ve Yahogu (999), Akbarov, Yahogu ve Kutug (00), Akbarov, Sem ve Demrz (004), Kutug (009),

19 8 Kutug, Yahogu ve Akbarov (00), Yahogu (000), Yahogu ve Akbarov (00) ve Yahogu ve Kutug (000) çaışmaarıda, k veya üç boyutu deamasyo burkuması veya stabte kaybı robemer ye LEÜBST çerçevesde ee aımıştır. Akbarov ve Rzayev (00b,c, 00) çaışmaarı da ye LEÜBST başarıı br şekde uyguadığı dğer çaışmaardır. Yukarıda vere bütü çaışmaarı detayı özet se Akbarov (007) kayağıda vermştr. Vere bu çaışmaarda çatak çere şert-ak ve darese çatak çere darese akar ç yaı eemaı mazemes hem eastk hem de vskoeastk oması durumarıda deamasyo burkuma robemer LEÜBST çerçevesde ee aıı ceemş ayrıca çeşt mazeme ve geometrk arametreer ee aıa yaı eemaıı kırıma e g krtk değerere etks araştırımıştır. Dkdörtge akar ç deamasyo burkuma robemer LEÜBST çerçevesde modeeerek ceemes ve örek robemere uyguaması Akbarov, Yahogu ve Karatas (009, 00a,b,c) çaışmaarıda vermştr. Bu çaışmaarda yaısıda dkdörtge çatak buua vskoeastk dkdörtge komozt kaı ağı deamasyo burkuması robemer, LEÜBST çerçevesde modeemş ve örek robemere uyguamıştır. Bu robemer Sadvch kaı akar ç ee aıı ye LEÜBST çerçevesde modeemese at çaışmaar Akbarov, Yahogu ve Tek (00a,b) çaışmaarıda vermştr.. Kouu Gerekğ ve Güceğ Mazeme üretmde ye tekoojer veya üstü özekere sah ye mazemeer kuaıması ek çok avataj sağasa da bu yeker ked çersde ye soruarı çerdğ uutumamaıdır. Bu aamda üretmde veya motajda ortaya çıkabecek ek çok edeerde doayı (öreğ tekoojk uyumsuz gb) mazemeerdek veya yaı eemaarıdak çeşt kusurarı (çatak, yarık vb.) ouşumuu egeemes mümkü oamamaktadır. Mühedsk uyguamaarıı brçoğuda yukarıda vere sebeerde doayı deamasyo, kırıma vb. gb stemeye oayar e sık sık karşıaşımaktadır (Erdoğa 000). Ee aıa Tez kasamıda, güümüz tekoojsde kuaım aaı çok geş oa çok katı komozt mazemeer kuaımıda karşıaşıa ve cdd aamda br robem yarata deamasyo burkuma oayı araştırıacaktır. Berte robemer, mühedsk açısıda güce robemer ou, berte robemer çözümü hem teork hem de uyguama açısıda öemdr.

20 9 Lteratürdek mevcut çaışmaarı çoğu k boyutu robemer e sıırı ou, bu çaışmaarı büyük br kısmıda yaı eemaıı mazemes eastk seçmş ve kes teor çerçevesde modeemeer yaımayı, yakaşık ak teorer kuaımıştır. Mühedsk robemer sadece çok öze durumar söz kousu oduğuda (düzem germe, düzem şek değştrme) k boyutu robemer oarak modeeebr. Bu sebete doayı ee aıa robemer çözümerde ede edecek sayısa souçar, acak kısıtı aaardak soruara ceva verebr. Đk boyutu çözümer yeter omadığı durumarda ya, düzem germe veya düzem şek değştrme durumarıı sağaamadığı sıırsız sayıdak mühedsk robemde gerçeğe daha yakı souçarı ede edebmes ç kes teorer çerçevesde üç boyutu robem modeemes ve çözümü yaıması gerekmektedr. Tez kasamıda ee aıa çaışma, teratürde bu aamda ceee çaışmaara kıyas e robemer hem kes teor çerçevesde üç boyutu oarak modeemes hem de yaı eemaı mazemes eastk ve vskoeastk aıması sebeb e öem üstüükere sahtr. Ee aıa Tez kasamıda, ceee deamasyo burkuma robemer üç boyutu oarak modeeecek ve çözümü sou eemaar yötem yardımı e sayısa oarak yaıacaktır. Çözüm ç üç boyutu sou eema modeemes uyguadığıda bazı açıarda çözüm yötem (sou eemaar yötem) geştrmes gerekmektedr. Bertmek gerekr k, Tez kasamıda ee aıa robemer çözümü çerçevesde gerek oa bütü agortma ve rogramar tarafımızda yaımış ou, ede ede souçarı bu aada buda sora yaıacak oa çaışmaar ç öem br referas teşk edebeceğ ögörümektedr..4 Yaıa Araştırmaı Amaçarı ve Kasamı Tez amacı; eer vskoeastk komozt mazemeerde yaımış dkdörtge kaı ağı deamasyo burkuma robemer, LEÜBST çerçevesde formüasyou ve bazı örek robemer araştırımasıa uyguamasıdır. Bu amaça yaısıda dkdörtge kear veya dkdörtge ç çatak buua eer vskoeastk komozt mazemede yaımış dkdörtge kaı ağı, çatak doğrutusuda uyguaa statk dış basıç kuvvet etksde deamasyo burkumasıa sebe oa krtk arametreer (krtk deamasyo burkuma kuvvet veya krtk zama değer) ve bu krtk arametreere çeşt mazeme ve geometrk arametreer etks araştırıacaktır. Ayrıca, ceemeer esasıda komozt mazeme vskozte özeker Rabotov (977) de vere oeratörer yardımıya ee aıacak ve bu oeratöre dah oa ormaze edmş reoojk arametreer krtk zama değerere etks araştırıacaktır. LEÜBST çerçevesde şmdye kadar ee

21 0 aıa robemer şert-ak veya darese akar ç yaımıştır. Bu robemer formüasyou ve çözümüde k boyutu robem formüasyou yeter omaktadır. Açıktır k, k boyutu robem formüasyou e tems edebecek robem sayısı çok kısıtı ve bu modeeme çerçevesde ede edecek sayısa souçar acak öze durumar (öreğ, düzem şek değştrme veya düzem germe durumarı) ç geçerdr. Dkdörtge kaı akar ç LEÜBST çerçevesde kısıtı sayıda çaışma buumaktadır. Çükü bu robemer ceemes üç boyutu robem formüasyouu ve çözüm tekker gerektrmektedr. Bu robemer ceemes tekk ve mühedsğ gerektrdğ daha gerçekç yakaşım ve çözümer ede edmes açısıda gerekdr. Bu edee Tez kasamıda teratürdek bu boşuğu doduruması, LEÜBST bazı açıarda geştrmes ve örek robemerde uyguaması ögörümektedr. Tez çerçevesde ee aıa robemer, üç boyutu azotro eer vskoeastk csm ç eer omaya kes aa dekemer çerçevesde modeemş br sıır değer robem tems etmektedr. Ee aıa mazeme büye dekemer zamaa bağı oduğuda robem matematkse modede yer aa yöetc dekem takımı yer değştrmeere göre yazımış adet tegro-dferasye dekemde ouşmaktadır. Laace döüşümü, sıır t ertürbasyo tekğ ve üç boyutu sou eemaar yötem yardımı e vere sıır koşuarı çerçevesde bu dekem takımıı çözümü yaıacaktır. Đk oarak çözüm ç araa büyüküker, ee aıa sıırdeğer robem eer omadığı ç çatak yüzeyer başagıçta sah oduğu kabu ede ö eğt dereces fade ede boyutsuz küçük arametreye göre ser formda tems edr. Bu fadeer aa dekemerde ve sıır koşuarıda kuaıır ve küçük arametre kuvvetere göre gruaştırıırsa, küçük arametre her br kuvvete göre kaaı dekemer takımı ya, ser-sıırdeğer robemer ede edr. Ede ede her br ser-sıırdeğer robem, küçük arametre kuvvete göre; sıfırıcı, brc vb. derecede yakaşım (sıırdeğer robem) oarak adadırıır. Berte ser-sıırdeğer robemerde acak, sıfırıcı ve brc yakaşıma at sıırdeğer robemer çözümüde, deamasyo burkumasıa at krtk arametre değerer ede edecektr. Ee aıa yakaşımar ç ortaya çıka sıırdeğer robemer yer değştrme esası sou eemaar yötem yardımıya sayısa oarak çözüecektr. Çözüm böges ayrıkaştırımasıda 8 odu stadart dkdörtge rzmatk sou eemaar kuaımıştır. Çatak çere vskoeastk kaı ağı deamasyo burkumasıa sebe oa krtk arametre değerer beremes ç stabte kaybı krter oarak Hoff (954) tarafıda vere başagıç eğt krter kuaıacaktır. Bu krtere göre, ee aıa yaı

22 eemaarıda, başagıçta dea durumda çok küçük samaarı oduğu varsayıarak bu samaarı dış basıç yüker atıda veya sabt dış yük ç zamaa bağı oarak büyümes ve sosuza gtmes durumu stabte kaybı krter oarak kabu edmektedr.

23 . KENAR ÇATLAK ĐÇEREN VĐSKOELASTĐK KOMPOZĐT KALIN PLAĞIN DELAMĐNASYONU Bu kısımda ee aıa robemde, O 0; ve O keararıda düşey doğrutuda yer değştrme yaamayacak şekde mesetemş ve yaısıda dkdörtge kear çatak çere komozt dkdörtge ağı, O 0; düzemere orma doğrutuda etkye düzgü yayıı dış basıç kuvvet etksde deamasyo burkuması robem ceemes ögörümektedr. Ee aıa ağı deamasyo burkuma robem ceemesde, ağı çerdğ çatak yüzeyer başagıçta çok küçük eğrğe sah oduğu kabu edmektedr. Bu eğrker, ee aıa dış basıç kuvvet etksde büyüyerek sosuza gtmes, burkuma (stabte kaybı) krter oarak seçmştr (Hoff, 954). Bu kısımda ceee robemerde yaı eemaıı mazemes hem eastk (trasversa zorto ve/veya ortotro) hem de vskoeastk oacak şekde ee aımış ve ayrı ayrı ceemştr. Acak, ee aıa robemer matematkse mode, gee oması bakımıda, yaı eemaı mazemes vskoeastk oması durumu ç vermştr. Bua göre aşağıda vere matematkse mode, eer vskoeastk csm teors üç boyutu geometrk eer omaya aa dekemer yardımıya yaımıştır. Sayısa ceemeer sou eemaar yötem (FEM) kuaıarak yaıacaktır.. Probem Matematkse Mode Bu kısımda, vskoeastk mazemede yaımış, yaısıda dkdörtge kear çatak çere dkdörtge kaı ağı deamasyo burkuma robem ceemese at matematkse mode verecektr. Ee aıa robem matematkse mode, yaı eemaı mazemes vskoeastk oması durumu ç verecektr. Ayı robemer yaı eemaı mazemes eastk oması durumuda da ceemş ou; yaı eemaı mazemes eastk oması durumuda ee aıa robemer matematkse mode, burada vere matematkse mode öze durumu oarak koayca ede edebdğde, ayrıca vermeyecektr.

24 Şek. Ee aıa dkdörtge kaı ak ve ağı bazı geometrk verer. Ee aıa robem çözüm böges (Şek.), ( Ω Ω ) (.) burada, Ω { 0, 0 h, 0 } {( ) ( + ), h 0, 0 } Ω 0 0 A 0 (.) dr. (.) de 0 ( 0 ) yaıdak kear çatağı O ( O ) doğrutusudak uzuuğuu göstermektedr. Çatak yüzeyer öcede çok küçük eğrğe sah oduğu ve bu eğrğ düzeme göre smetrk oduğu kabu edmektedr. Çatak yüzeyer dekem h A + εf (, ), 0 0 (.), ( ) ( + ) 0 0 oarak verebr. Burada ε ( ε << ), çatak yüzeyer başagıçta sah oduğu kabu ede eğrğ dereces göstere boyutsuz küçük br arametre ve f (, ) foksyou se bu eğrğ formuu göstermektedr. (.) dek f (, ) foksyouu keyf omadığıı bertmek e beraber aşağıdak özeker sağadığı kabu edmedr.

25 4 f (( ), ) f (( + ), ) df (( ), ) df (( + ), ) d 0 0 d f (, ) 0 ( ) ( ) df (, ) d 0 ( ) ( + ) (.4) Pak ve çatak geometrs Şek. de göstermektedr. Matematkse modeemede geometrk oeer kes aa dekemerde yararaıacaktır. Bertem k, bu aa dekemer küçük şek değştrme durumarıda ya, germeer hesaamasıda şek değştrmede öcek ve şek değştrmede sorak aa ve hacm farkarıı hma edebecek kadar küçük oduğu durumarda geçer omaktadır. Bua göre geometrk oeer durumda bu bögede sağaa aa dekemer, vskoeastk mazeme ç büye dekemer ve şek değştrme-yer değştrme şker sırası e, j σ j δ u + 0 ( 0) ε ( t) + C ( t τ) ε ( t)dt σj Cjrs rs t 0 jrs rs ε j u j u + j u + u j, ;j,, (.5) ve sıır koşuarı 0; u u u 0, σ δ + 0;

26 5 u σ j δ + j 0 0; j ç σ j δ u + j 0 u 0 ; σ j δ + j 0 j ç (.6) u j σ δ + j ha+εf (, ) 0 ( ) ( + ) ;j;,, ç (.7) şekde verebr. Yukarıda vere dekem veya bağıtıarda beşeer; ε j şek değştrme tasörü beşeer; u er (, j,, ) σ j germe tasörü yer değştrme vektörü beşeer ve j çatak yüzeyere at brm orma vektörü beşeer göstermektedr. Ayrıca, t ve τ zamaı göstermektedr. C jrs( 0) azotro ortamar ç mekak sabter başagıçtak ya, t0 aıdak değerer, C jrs (t) foksyoarı se, vskoeastk azotro ortamarı "gevşeme-reaato" er tems ede tegra oeratörü çekrdeğ göstermektedr. Yukarıda vereer çerçevesde çözümü ögörüe robem; sabt dış basıç kuvvet etksde, ee aıa dkdörtge kaı aktak ö eğrğ (başagıç samasıı) zamaa göre değşm (.)-(.7) formüasyou çerçevesde ceemes, oarak verebr. Bu durumda, sabt dış basıç kuvvet ç aktak söz kousu ö eğrğ, zama arametres arttıkça büyüyerek sosuza yakaşması kaı ağı stabte kaybı oarak kabu edr ve bu duruma karşı gee zama değer krtk zama oarak berer (Hoff, 954). (.) dekem kuaıarak, j ç: + ε f ε f (, ) (, ) f (, ) + ε + ε f (, ) f (, ) + ε

27 6 + ε f f ε (, ) (, ) + ε f (, ) (.8) f (, ) f (, ) ede edr. ε << + oduğu kabu edrse, bua dayaıarak, (.8) dek dekemer ε csde kuvvet sers yardımı e aşağıdak gb verebr. k+ ε k (, ) k 0, + k k ε k (, ) k+ ε k (, ) k 0 (.9) (.9) dak ( ) k ve ( ) k katsayıarıa at fadeer uzu oduğuda burada yer vermemştr. Akbarov (998), Akbarov ve Guz (000), Akbarov vd. (997, 00), Akbarov ve Yahogu (00) ve Akbarov ve Rzayev (00,00b,c) çaışmaarıda verdğ gb araa büyüküker küçük arametre ε a göre ser formuda yazıabr; q (q) (q) (q) { σ ε ;u } ε { σ ; ε ; u } j j q 0 ; (.0) j j (.0) fadeer, (.5) ve (.6) da yere yazıır, ayrıca (.0) dak büyüküker (,h 0, ) ve (,h 0, ) A A + cvarıda serye açıır, bu serer (.9) e brkte (.7) fadesde yere kour (sıır ertürbasyou) ve ε arametres kuvvetere göre gruaştırıırsa, bu arametre kuvvetere göre kaaı dekemer sstem ve sıır koşuarı ede edr. Ede ede ser-sıırdeğer robemer her br kedsde öce gee sıırdeğer robemere at büyüküker çermektedr. Koay aaşıır oması açısıda, her br sıırdeğer robem ede eddğ ε u derecese göre smedrecektr, öreğ, sıfırıcı, brc vb. sıırdeğer robem (veya yakaşım). Kear çatak çere vskoeastk dkdörtge kaı ağı deamasyo burkuması robeme at sıfıcı yakaşım ç ede ede sıırdeğer robem oeer sıırdeğer robemdr.

28 7 Bertem k, Tez de ee aıacak ceemeer, sbete katı vskoeastk komozt mazemeerde ouşa yaı eemaarıa uyguaacaktır. Bu durumarda sıfırıcı yakaşıma at dekem ve sıır koşuarıa dah oa oeer termer küçük oduğuda hma edebecektr. Ya sıfırıcı yakaşıma at oeer robem eer robem e yer değştrmes res açısıda br öem taşımaz. Geede stabte robemerde adı geçe sıfırıcı yakaşımdak germe durumu, ak-krş, dkdörtge ak, rzmatk çubukar vb. gb yaı eemaarıı keararıda düzgü yayıı orma basıç yükü atıda ouşa germe durumua karşı gemektedr. Bu durumarı beremesde yaı eemaarıı mazemes sbete rjd oduğu haerde geometrk eer veya geometrk oeer dekemer uyguaması (bu yaı eemaıda başagıç samaar omadığı haerde) heme heme hç br sayısa fark göstermez. Bu edeerde doayı oeer robem eer robem e yer değştrmes, souçarı yeterğ açısıda hç br kuşku yaratmaz. Böyece sıfırıcı yakaşımı ede edmesde, kask eer teorer uyguaabdğ haerde (0) u j << oduğuda brc ve daha sorak yakaşımara dah oa (0) ( + u ) δ aıması mümküdür. Bertem k, her br yakaşımı dekem ve bağıtıarı zama arametrese bağı oduğuda, çözüme geçmede öce, zamaa göre her br yakaşımdak dekem ve fadeer Laace döüşümü aıır. Ya, 0 0 s > arametrese göre, ϕ( ) ϕ( t) s e st dt Laace döüşümü uyguaır. Bu döüşüm ve Kovoüsyo teoreme göre her br ser-sıırdeğer robem, uygu büyüküker Laace döüşümere göre düzeemş dekem ve fadeere döüşür. Ee aıa ser-sıırdeğer robemerde uygu büyüküker Laace döüşümere göre düzeemş sıfırıcı yakaşımı LEÜBST çerçevesde çözümü, brçok araştırmada da görüebeceğ üzere yüksek hassasyete, σ ve (0) σ 0, j (.) (0) j oarak varsayıabr (Akbarov, Ssma ve Yahogu, 997). Br çok sayısa araştırmada da görüdüğü üzere, dış basıç kuvvet değer zamaa göre sabt tutuduğuda, germeer yüksek hassasyete zamada bağımsız oduğu kabuüe mka sağamaktadır (Akbarov, Ssma ve Yahogu, 997). ( 0) σ j

29 8 Brc yakaşıma at dekem ve bağıtıar: j σ () j + σ (0) j u () 0, ε () j u () j u j + () (.) u () 0; () () () () (0) u () (0) u 0, u 0, 0 σ + σ σ + σ 0; 0; σ ( ) ( ) ( ) σ σ 0 () 0, σ 0,,, (.) 0;h σ σ δ ( ) ha 0 ( ) ( + ) f ( 0),,, ç (.4) buuur. (.) de (0) σ j sıfırıcı yakaşıma at germeer göstermektedr. Bertem k (.5)- (.4) de be otasyoar kuaımıştır. Bezer şekde kc ve sorak yakaşımar ede edebr. Ee aıa yaı eemaıı mazemes ormaze edmş mekak özek, homoje, smetr ekseer O, O ve O oa vskoeastk mazeme oarak seçmştr. Bua göre büye dekemer, σ (q) A ε j (q) jj, ;j,,, σ, σ (q) (q) A 66ε (q) (q) A 55ε σ ε, q0,,, (.5) (q) A 44 (q) our. (.5) de vere A,, A 66 mazeme sabter t A ϕ(t) A ϕ(t) + A (t τ) ϕ( τ) dτ, j;;;;;;44;55;66 (.6) j j0 0 j şekde oeratörerdr. Ee aıa deamasyo burkuma robem ceemesde ve robeme at krtk arametre değerer beremesde, çatak yüzeyer başagıçta sah oduğu kabu ede küçük eğrker, vere dış basıç kuvvet etksde büyüyerek sosuza gtmes

30 9 krterde yararaıacaktır. Krtk arametreer değerer beremesde, yukarıda vere ser-sıırdeğer robemerde sadece sıfırıcı ve brc yakaşıma at sıırdeğer robemer çözümü yeter omuştur. Çükü, her br yakaşım ç buua aa dekemer homoje kısmı brbrye aye çakışmakta, sadece homoje omaya kısımarı (dekem sağ tarafarı) brbrde farkıaşmaktadır. Araa krtk değer, dekem takımıı katsayıar matrs tek yaa değer oarak beredğde,. ve sorak yakaşımar krtk arametreer değer değştrmemektedr.. ve sorak yakaşımarı göz öüe aıması, germe yayıımıı hassasaştırımasıda etkdr. Amacımız burkumaya sebe oa krtk arametre değerer beremes oduğuda hesaamaar, sıfırıcı ve brc yakaşım çerçevesde sııradırımıştır. Sıfırıcı yakaşımı çözümü (.) e verdğe göre, (-)-(.4) e vere brc yakaşımı çözümü yaımaıdır. Brc yakaşımdak her br büyükük de zama arametrese bağı oduğuda, brc yakaşıma at bütü dekem ve bağıtıara, (.4) ve kovoüsyo teorem kuaıarak Laace döüşümü uyguaır. Brc yakaşıma at dekem ve bağıtıarı Laace döüşümer, bu yakaşımdak dekem ve bağıtıarda () ε j, () u ve A j er sırasıya () σ j, () ε j, () σ j, () u ve A j, ya Laace döüşümer e değştrerek Laace uzayıdak brc yakaşıma at uygu dekem fadeer ede edebr. Bertem k, brc yakaşımı dekem ve bağıtıarıa sıfırıcı yakaşıma at büyüküker dah omaktadır. Sıfırıcı yakaşıma at büyüküker zamaa göre değşm, Akbarov, Ssma ad Yahogu (997) de gösterdğ gb çok düşük oduğuda, brc yakaşımı Laace döüşümü kovoüsyo yardımıya koayıka buuabmektedr. Sorak kısımda Laace uzayıda beremş brc yakaşımı çözümü ee aıacaktır.

31 0. Sou Eema Formüasyou Ee aıa robem brc yakaşımıı Laace uzayıdak formua at sou eema formüasyou, Π σ () Ω Ω σ () + σ (0) u () u () + σ () + σ (0) u () u () () () () u () u () (0) u u + σ + σ + σ () () () () () u () u () u () u + σ + σ + σ + σ dd d () + ( + 0 ) ( + 0 ) + (0) f () (0) f () σ u d d σ u d d s 0 ( 0 ) s 0 ( h A 0 0 ) h A + 0 (.7) foksyoe ve Rtz tekğ yardımıya yaımıştır. Sou eema çözümü ç, çözüm böges sou adet at bögeye ya, sou eemaa ( Ω ( k ), k,,,m) ayrıkaştırıır. Ya, U M k Ω Ω (.8) k dr. Sou eema ayrıkaştırmasıda sekz düğüm oktaı dkdörtge rzmatk sou eemaar kuaımıştır (Zekewcz ve Tayor, 989). Çözüm ç yer değştrme esası sou eemaar yötem kuaıdığıda, her br sou eemada araa yer değştrme foksyou oom kabu edr. Bu foksyou, düğüm oktaarıdak yer değştrme ve şek foksyoarı e fades; u ( k ) ( k ) ( k ) Ν a, k,,,m (.9) seçr. (.9) da, ( k ) a, ( k ) Ν ve ( k ) u matrser T ( ) ( a k ) { u (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) },u,u,u,u,u,...,u 8,u 8,u 8

32 (k) (k) (k) N 0 0 N N8 0 0 T k (k) (k) (k) 0 N 0 0 N N8 0 (k) (k) (k) 0 0 N 0 0 N N8 ( ) ( N ) T ( k ) (k) (k) (k) ( u ) { u (,, ),u (,, ),u (,,) } (.0) dr (Akbarov, Yahogu ve Kutug, 00; Zekewcz ve Tayor, 989 ). (.0) de ( k ) üst ds uygu büyüküker Ω k eemaıa at oduğuu, eemaı odarıdak araa yer değştrmeer göstermektedr. (k) a vektörüü beşeer se Ω k (.9) fades, (.7) foksyoede yere yazıır ve gerek şemer yaıırsa; Ka r (.) cebrse dekem sstem ede edr. Bertem k, (.) dekemdek K katsayıar (Stffess) matrs ve r sağ taraf matrs beremesde ortaya çıka tegra fadeer hesaamasıda, 0 Gauss oktası yardımıya Gauss kareemes metodu kuaımıştır. (.) cebrk dekem sstem çözümüde düğüm oktaarıdak yer değştrmeer buuur. Bua göre, O 0; yüzeyerde vere düzgü yayıı orma dış basıç kuvvet etksde, çatak yüzeyerdek küçük eğt (veya yüzey oktaarıı düşey yer değştrmes) büyüyerek sosuza gtmes durumua karşı gee krtk deamasyo burkuma kuvvet değer (eastk durumda) veya sabt dış basıçta krtk zama arametres değer (vskoeastk durumda), sıfırıcı ve brc yakaşımı brkte ee aımasıda ouşa ardışık terasyoar soucuda berer (Akbarov, Yahogu ve Kutug, 00). (.) çözümes e araa büyüküker Laace döüşümer değerer buudukta sora ayı büyüküker ke (orja) değerer beremes ç ters Laace döüşümüü sayısa oarak beremesde Schaery (966) yötemde yararaıır. Bu yötem, araa büyüküker Laace döüşümer, döüşüm arametres s bazı s s dek değererde yararaıarak keer beremese dayamaktadır. Öreğ, ( O ) doğrutusudak yer değştrme ( ) u, { 0, 0, 0} oktasıdak değer zamaa bağı oarak değşm beremes stes. Bu amaça k öce ( (0,0,0,s) ı s s (,,..., N) erdek değer sou eemaar yötem yardımıya u )

33 () ede ederek, su (0,0,0,s) e og s arasıdak bağıtıı grafğ çzr. Eğer bu grafk Schaery (966) aamıda küçükse, u ( ) (0,0,0, t) değerer u ( ) ( ( ) ),,, t su (,,, s) s ( t ) (.) formüüde ede edr. Eğer bu koşu sağamaz se (.) fades geçersz our ve bu durumda daha farkı br yo zer (Akbarov ve Guz, 000). Tez kasamıda, yukarıda vere şk sağadığıda ters Laace döüşümüü beremesde (.) bağıtısıı kuaıması yeter omuştur. Bertem k, ee aıa robem sayısa çözümüü gerektrdğ bütü agortma ve rogramar tarafımızca yaımıştır.. Sayısa Çözüm Ee aıa dkdörtge kear çatak çere dkdörtge kaı ağı mazemes eastk ve/veya vskoeastk omak üzere k ayrı robem sayısa souçarı bu kısımda ayrı ayrı ceeecektr... Kear Çatak Đçere Ortotro Dkdörtge Pağı Deamasyo Burkuması Bu durumda ee aıa dkdörtge kaı ağı mazemes smetr ekseer sırasıya, O, O ve O oa ortotro mazeme oarak seçmştr. Bu mazemeye at büye dekemer ε (q) E σ (q) ν E σ (q) ν E σ (q) ε (q) ν E σ (q) + E σ (q) ν E σ (q) ε (q) ν E σ (q) ν E σ (q) + E σ (q) (q) ε (q) σ, (q) ε (q) σ, (q) ε (q) σ q0,,, G G G

34 ν ν, ν ν, ν ν (.) oarak aıır. (.) de üst ds (q) yakaşımı umarasıı, E, E ve E sırasıya O, O ve O doğrutuarıdak eastste modüer, ν, ν ve ν, sırasıya O, O ve O düzemerdek Posso oraarıı ve G, G ve G, sırasıya O, O ve O düzemerdek kayma modüer göstermektedr. Bertem k, bu kısımda vere sayısa hesaamaarda h 0. 5, γ ve ν ν ν 0. oarak aımıştır. Dğer arametre değerer çzegeer üzerde göstermştr. Ayrıca (.) de vere ve çatak yüzeyer başagıçtak ö eğts fade ede foksyo, k farkı fade oarak ee aımıştır. Buarda brcs ayı faz durumu ya, çatak yüzeyer ayı yöde çok küçük ö eğrğe sah oması (Şek..a); kcs se zıt faz durumu ya, çatak yüzeyer brbre göre zıt yöde çok küçük ö eğrğe sah oması (Şek..b) durumudur. Her k duruma karşı gee foksyo aşağıda ayrı ayrı vermştr: ayı faz durumu, f π 0 π ( ) 0, f (, ) h + As s ( ( )) + A 0 0 (.4) zıt faz durumu, f π 0 π 0 (, ) h As s ( ( )) A 0 0 (.5) şekde seçmştr. Bertem k Şek. de vere grafker, (.4) ve (.5) kuaıarak (.) dekem çözümüde, düzemdek oktaarı düşey yer değştrmeer değerer yardımıya çzmştr.

35 4 (a) (b) Şek. Çatak yüzeyerdek ö eğt formu; a) ayı faz durumu, b) zıt faz durumu. Probem ye göre smetr özeğde yararaıarak, çözüm böges O doğrutusuda 0, O doğrutusuda, O doğrutusuda 0 dkdörtge rzmatk sou eema oacak şekde toam, 4800 dkdörtge rzmatk sou eemaa ayrıkaştırımıştır. Ee aıa durumda, sou eema modeemes 58 düğüm oktası (od) ve 6.68 serbestk dereces (NDOF) çermektedr. Bertem k, çözüm böges sou eema ayrıkaştırması, ek çok sou eema ağı ç buua çözümerde teratürdek uygu değerere e y yakaşımı sağaya çözüm ç kuaıa sou eema ağı oarak seçmştr. Ayrıca, çatak ucu cvarıda sgüer sou eemaarı kuaıması, krtk arametreer değer değştrmedğde (Akbarov, Yahogu ve Rzayev, 007), ee aıa robemer sou eema ayrıkaştırmasıda sgüer sou eemaar kuaımamıştır. Aşağıda vere çzegeerde seçe arametre değerer ç ee aıa ortotro dkdörtge kaı ağı deamasyo burkumasıa sebe oa E (krtk deamasyo burkuma kuvvet) değerer vermştr. Çzege. de ortotro mazeme brbrere dk üç ayrı düzemdek kayma modüer değşm, zıt faz/ayı faz (ay/ayda) durumarıda dkdörtge ağı krtk deamasyo burkuması değere etks, 0. 5, 0., 0. 5 ve 0. 5 ç 0 0 vermektedr. Çzegedek vererde kayma modüerde G değşm E

36 5 değere etks, dğer k kayma modüü ( G ve G ) değşme göre daha faza oduğu görümektedr. Ayrıca her br kayma modüü değer azaması, E değer düşürmektedr. Çzege. Farkı kayma modüü ( G j ) ç zıt faz/ayı faz (ay/ayda) durumuda E değerer ( 0. 5, 0., 0. 5, 0. 5) 0 0 G G G Çzege. de, G e 0 ( O doğrutusudak dkdörtge çatak uzuuğu) değerer değşm E değere etks, zıt faz/ayı faz (ay/ayda) ç G 0., G 0., 0. 5, 0. ve durumuda vermştr. Çzegedek değererde G kayma modüü değer azaırka E değerer azamakta, O doğrutusudak dkdörtge çatak uzuuğu ( 0 ) küçüürke, E değerer öem öçüde artmaktadır. Berte etker, zıt faz ve ayı faz ö eğrk modarıı her ks ç de geçerdr. Çzege. e at satırıda, dkdörtge ağı mazemes zotro oması durumua karşı gee krtk deamasyo burkuma değerer de vermştr. Bu değerere kıyasadığıda ak mazemes zotro oması durumuda ede ede E değerer, ak mazemes ortotro oması durumuda buua uygu E değererde dama büyük kadığı görümektedr.

37 6 Çzege. Farkı G ve 0 ç zıt faz/ayı faz (ay/ayda) durumuda E değerer ( 0., 0., 0. 5, 0., 0. 5 ) G G 0 G zotro mazeme Çzege. de, G ve 0 ( O doğrutusudak dkdörtge çatak uzuuğu) değerer değşm değere etks, zıt faz/ayı faz (ay/ayda) ç G 0., G 0., 0. 5, 0. ve durumuda vermştr. Çzege. de vere O doğrutusudak çatak uzuuğu değşm E değerere etks e Çzege. de vere O doğrutusudak çatak uzuuğu değşm ( 0 ), E değerere etks bezerdr. Buua beraber, 0 arametres değer azaması, ya O doğrutusudak çatak uzuuğuu azaması ve 0 k. 0 ( k R ) ouşması durumuda, zıt faz durumu ç dkdörtge ağı deamasyo burkuma modu, çatak yüzeyere vere ö eğt formu e uyum göstermemekte, farkı br burkuma modu ouşmaktadır. Bu bağıtıdak k değer çatak geometrse bağı br büyüküktür. Ee aıa robem ç k 0. 5 ede edmştr (Akbarov, Yahogu ve Karatas, 009). Buu aamı; çatak yüzeyere vere zıt faz ö eğrğ ç dış basıç doğrutusudak çatak uzuuğuu ( 0 ), bua dk doğrutudak çatak uzuuğuda ( 0 ), 4 kat veya daha büyük oması durumuda, dkdörtge kear çatak çere kaı ağı deamasyo burkuma moduu, çatak yüzeyere vere ö eğt formu dışıda farkı br burkuma modua sah omasıdır. Sayısa hesaamaar soucuda, çatağı üst yüzey çde buuduğu düzemdek oktaarı buua düşey doğrutudak yer değştrmeer grafğ çzerek, ( ) krtk deamasyo burkuma kuvvete yakı ( ) değererde 0 ağı burkuma modu Şek. de vermştr. Bertem k, Şek. de koordat ekseer O ( ) ve O z( ) O e göstermştr. Şek.a da görüdüğü üzere, çatak O yüzeyere ö eğrğ formu ayı faz (dekem (.4)) verdğde, ağı burkuma modu ö eğrğ formua bezer oarak gerçekeşmektedr. Acak çatak yüzeyer ö

38 7 eğrğ formu zıt faz (formü (.5)) verdğde, çatak kear uzuukarıı oraıa bağıı oarak; burkuma modu, 0 k. 0 ( k R ) ç çatak yüzeyer ö eğrk formua bezer acak, 0 k. 0 oması durumuda se ağı burkuma modu, çatak yüzeyere vere ö eğrk formu e keske uyum göstermemektedr (Şek.c). Bertem k, Şek. grafker ede edmesde, Şek.a ç 0. 6, 0. 5 ve h 0 0 h h ; Şek.b ç 0. 5, 0. 7 ve h h h ve Şek.c A u 0 0 A u ç 0. 85, 0. ve h h h arametre değerer kuaımıştır. 0 0 A u Bu durum, vere dış basıç yükü dkdörtge ağı krtk burkuma yüküe yakaştıkça, çatak yüzeydek yer değştrmeer geşm e ede edmştr. Çatak e kaı ağı üst serbest yüzey arasıdak bögeye, karşııkı k kearıda eastk oarak mesetemş dkdörtge ak oarak bakıırsa, dğer br değşe ee aıa robem, bu dkdörtge ağı burkuması oarak aıabr. Dkdörtge akarı burkuma robemerde, ağı geometrk boyutarıa bağı oarak bezer burkuma modarı Vomr (967) tarafıda da deeyse oarak ede edmştr. Çzege. Farkı G ve 0 ç zıt faz/ayı faz (ay/ayda) durumuda değerer ( 0., 0., 0. 5, 0., 0. 5) G G G zotro mazeme Çzege.4 de, G ve h U (çatak e dkdörtge ağı serbest üst yüzey arasıdak mesafe) değerer değşm değere etks, zıt faz/ayı faz (ay/ayda) ç G 0., G 0., 0. 5, 0., ve durumuda vermştr. Çzegedek vererde h U arametres değer azadıkça ya, çatak kedse arae kaacak şekde dkdörtge ağı serbest üst yüzeye yakaştırıırsa, değerer azamaktadır. Bu etk hem zıt faz (çzegedek oraı ayı) ve hem de ayı

39 8 faz (çzegedek oraı aydası) burkuma modarı ç geçerdr. G arametres değşm çzegede vere değerere öcek çzegeerde açıkadığı gbdr. Çzege.4 Farkı G ve h U ç zıt faz/ayı faz (ay/ayda) durumuda değerer ( 0., 0., 0. 5, 0., 0. 5 G G 0 0., 5 ) 0 h U G (a) (b)

40 9 (c) Şek. Ö eğt a) ayı-faz, b) zıt faz ( 0 > 0 4 ) ve c) zıt faz ( durumarıa at deamasyo burkuma modarı. ) oması.. Kear Çatak Đçere Vskoeastk Dkdörtge Pağı Deamasyo Burkuması Bu kısımda, ak mazemes O düzeme arae oacak şekde yereştrmş brbr tekraraya, çok sayıda k zotro, homoje evhada ouşmuş çok katı komozt mazeme oduğu kabu edmektedr. Komozt mazeme beşeerde güçedrc evhaı, mekak sabter (Youg Modüü) ve ν (Posso oraı) oa eastk br mazemede yaıdığı; dğer beşe matrs mazemes se, eer vskoeastk br mazemede yaıdığı kabu edmektedr. Matrs mazeme mekak sabter, Kısım de vere Rabotov oeratörer e tems edmektedr. Bu kısımda öceke, ee aıa robem öze br durumua ( 0 oması durumua) at sayısa souçar ya, dkdörtge ağı bat çatak çermes durumua at sayısa souçar Çzege (.5)-(.8) de, h h h, h 0. 5, γ, ν ν 0., A U 0 η η 0.5 değerer ve sadece çatak yüzeyerdek ö eğt zıt faz oması durumu 0 ç verecektr. Dğer arametre değerer çzegeer üzerde göstermştr. Bertem k, bu kısımda vere 0 ve ν 0 büyüküker eer vskoeastk matrs mazemes aık Eastste modüü ve aık Posso oraıı göstermektedr (Kısım ). Sayısa hesaamaarda boyutsuz reoojk arametre ω ω ω0 ve boyutsuz zama (+α ) t ω t kuaımıştır. Ee aıa arametre değererde öceke t 0 ve t ç 0

41 0 ceemeer yaımıştır. t 0 ( t ) durumua at krtk dış basıç kuvvet 0 0 ( 0 ) e gösterecektr. Çzege.5 de farkı γ ve E E0 ç 0 0 değerer h 0. 5 ve 0.5 durumu ç vermştr. Çzegedek değererde görüdüğü üzere 0 γ değer arttıkça, ya dkdörtge ağı O doğrutusudak uzuuğu ( ), O doğrutusudak uzuuğua ( ) göre çok büyüdükçe, buua 0 0 değerer br asmtoda yakaşmaktadır. Bu asmtod, düzem şek değştrme durumudak uygu robem çözümüde ede ede 0 0 değererdr. Bu değerer Çzege.5 so satırıda vermştr. Buu dışıda çzegedek değererde, ee aıa dkdörtge ak mazemes azotro oraı ya, E E0 oraı büyüdükçe 0 0 değer arttığı görümektedr. Bu çzegede vere sayısa souçar be fzkse ve mekakse görüşere uyum göstermektedr. Doayısıya sayısa souçarı buumasıda kuaıa ve tarafımızda yaıa agortma ve rogramara güve teyt edmektedr. Çzege.5 Farkı γ ve E E0 ç 0 0 değerer ( h 0. 5, 0. 5) γ 0 E E Çzege.6 da farkı γ ve 0 ç 0 değerer h 0. 5, ω, α 0.5 ve 50 durumu ç vermştr. Çzegedek değererde görüdüğü üzere, 0 γ değer arttıkça, farkı çatak uzuukarıda buua 0 değerer br asmtoda yakaşmaktadır ve O doğrutusudak çatak uzuuğuu ( 0 ) küçümes 0 değerer büyütmektedr. Bertem k ede ede bu sayısa souçar zıt faz durumu ç hesaamıştır.

42 Çzege.6 Farkı γ ve 0 ç 0 değerer ( h 0. 5, ω, α 0. 5, 50 ) 0 γ Çzege.7 de, 0 0 ve ö eğrk formu değşm 0 değerere etks h 0.5, γ, ω ve α 0. 5 durumu ç vermştr. Çzegedek vererde 0 değer (ya, O doğrutusudak çatak uzuuğuu) büyümes, 0 değerer küçütmekte; 0 oraıı değer artması cr değerer büyütmektedr. Ayı arametre değererde, çatak yüzeyer ayı faz ö eğrk modu ç ede ede 0 değererde dama küçük kamaktadır. 0 değerer e uygu durumdak zıt faz ç buua.0

43 Çzege.7 Farkı 0, 0 ve ö eğt formu ç 0 değerer ( h 0.5, γ, ω ve α 0. 5) Ö eğrk 0 0 formu zıt faz ayı faz zıt faz ayı faz zıt faz ayı faz Çzege.8 de ( ) ve ω değerer değşm t değerer etks h 0. 5, γ,, 0. 5, α 0. 5 e ayı faz ö 0 0 eğrk durumu ç vermştr. E0 değerer küçüdükçe ya E0 değere yakaştıkça veya ω değerer büyüdükçe 0 t değerer artmaktadır. Çzege.8 Farkı ω ve 0 ç buua t değerer ( h 0.5, γ,, 0. 5 ve α 0. 5 ) 0 ω E Aşağıda vere çzegeerde, ee aıa dkdörtge ağı kear çatak çermes ( 0 ) durumua at sayısa souçar, çatak yüzeyer ayı faz/zıt faz ö eğrğe sah oması durumarı ç ayrı ayrı verecektr. Buda sora ede edecek sayısa souçarı 0 ç Çzege.5-Çzege.7 dek uygu değerere yakısayacağı aşkardır. Çzege.9 da, 0 0 ve ö eğt formu değşm 0 değerer etks, h 0.5, γ, 0. 5, ω ve α 0. 5 durumu ç vermştr. 0 Çzegedek vererde 0 arametres ya, O doğrutusudak çatak uzuuğuu

44 küçümes ve 0 oraıı artması, 0 değerer büyütmektedr. Ayı arametre değererde, çatak yüzeyer ayı faz ö eğrk modu ç buua 0 değerer, zıt faz durumuda buua uygu küçük kadığı test edmştr. değererde öem öçüde 0 Çzege.9 Farkı 0, 0 ve ö eğrk formu ç 0 değerer ( h 0. 5, γ, 0. 5, ω ve α 0. 5 ) Ö eğrk formu zıt faz ayı faz Çzege.0 da, 0 0 ve ö eğrk formu değşm 0 değerer etks h 0.5, γ, 0. 5, ω ve α 0. 5 durumu ç vermştr. 0 Çzegedek vererde 0 arametres ya O doğrutusudak çatak uzuuğuu küçümes, 0 değerer büyütmekte ve 0 oraıı artması cr.0 değerer büyütmektedr. Ayı arametre değererde çatak yüzeyer ayı faz ö eğrk modua karşı gee durumda buua 0 değerer, uygu durumdak zıt faz

45 4 ç buua 0 değererde öem öçüde küçük kamaktadır. Çzege.0 Farkı 0, 0 ve ö eğrk formu ç 0 değerer ( h 0. 5, γ, 0. 5, ω ve α 0. 5 ) Ö eğrk formu zıt faz ayı faz Çzege. de, e 0 h U değerer değşm 0 değerere etks, h 0.5, γ, 0. 5, ω ve α 0. 5 durumuda vermştr. 0 Çzegedek vererde h U arametres değer azadıkça ya, çatak kedse arae kaacak şekde dkdörtge ağı serbest üst yüzeye yakaştırıdıkça, 0 değerer azamaktadır.

46 5 Çzege. Farkı h u ve 0 ç 0 değerer ( h 0. 5, γ, 0. 5, ω, α 0. 5 ) h u Ö eğrk formu zıt faz ayı faz Çzege. de bazı 0, ( ) ve farkı ö eğrk formarı ç t değerer 0, ω, α 0. 5 ve 0. 5 durumuda vermştr. 0 0 E 0 değerer küçüdükçe ya E0 değere yakaştıkça t değerer artmaktadır.

47 6 Çzege. Farkı 0 ve E0 ç t değerer ( 0, ω, α 0. 5, 0. 5 ) 0 Ö eğrk formu zıt faz ayı faz 0 E t Çzege. E0 ve ω değerer değşm t değerer etks, h 0. 5, γ, 0, 0. 5, 0. 5 ve α durumuda vermştr. Çzegede görüdüğü üzere ω değerer arttıkça, Çzege. Farkı ω ç ω 0 t değerer de artmaktadır. t değerer ( h 0. 5, γ, 0, 0.5, 0. 5 ve α 0. 5 ) 0 E (zıt faz) t E (ayı faz) Çzege.4 de, farkı α ç t değerer, h 0. 5, γ, 0, 0 0.5, 0. 5 ve ω durumuda 0 0 vermştr. α mutak değerce büyüdükçe t değerer küçümektedr.

48 7 ( h 0. 5, γ Çzege.4 Farkı α ç t değerer, 0, 0. 5, 0. 5 ve ω ) 0 t 0 α E (zıt faz) E (ayı faz)

49 8. ĐÇ ÇATLAK ĐÇEREN VĐSKOELASTĐK KOMPOZĐT KALIN PLAĞIN DELAMĐNASYON BURKULMA PROBLEMĐ Bu kısımda, dkdörtge ç çatak çere komozt kaı ağı deamasyo burkuma robem ceemştr. Ee aıa kaı ağı O 0; ve O 0; keararıda düşey doğrutuda yer değştrme yaamayacak şekde mesetedğ ve yaısıdak ç çatağı yüzeyer başagıçta çok küçük ö eğrğe sah oduğu kabu edmektedr. Çatak yüzeyerdek berte ö eğrker, O 0; yüzeyerde vere düzgü yayıı orma dış basıç kuvvet etksde büyüyerek sosuza gtmes krterde, ee aıa kaı ağa at krtk arametreer bereecektr.. Probem Matematkse Mode Bu kısımda, vskoeastk mazemede yaımış, ç çatak çere dkdörtge kaı ağı deamasyo burkuma robem ceemese at matematkse mode verecektr. Bertem k, burada ee aıa robem, Kısım de vere robemde sadece yaıdak çatak formuu farkıaşması e değşmektedr. Kısım. de oduğu gb bu kısımda da matematkse mode acak, ee aıa yaı eemaıı mazemes vskoeastk oması durumu ç verecektr. Bertem k ee aıa robem, yaı eemaı mazemes eastk oması durumuda da ceemş ou, bu durumara at matematkse mode ayrıca vermeyecektr. Şek. Ee aıa dkdörtge kaı ağı geometrs ve yükeme durumu.

50 9 Ee aıa robem çözüm böges (Şek.), ( Ω Ω ) (.) burada, Ω { 0, 0 h, 0 } {( ) ( + ), h 0, ( ) ( + ) } Ω (.) 0 0 A 0 0 dr. Çatak yüzeyer öcede çok küçük eğrğe sah oduğu ve bu eğrğ ve düzemere göre smetrk oduğu kabu edmektedr. Çatak yüzeyer dekem ( ) ( + ), ( ) ( + ) h A + εf (, ), (.) e verebr. (.) dek f (, ) foksyouu, ( 0 ) ( ) ( + ) f, (( 0 ) ) ( ) ( + ) f +, df (( ), ) d 0 ( ) ( + ) 0 0 df (( + ), ) d 0 ( ) ( + ) (,( ) ) ( ) < < ( + ) 0 f (,( + ) ) ( ) < < ( + ) 0 f 0 0 0

51 40 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 d, df d, df (.4) özeker sağadığı kabu edmektedr. Pak ve çatak geometrs Şek. de göstermektedr. Bu bögede sağaa aa dekemer, vskoeastk mazeme ç büye dekemer ve şek değştrme-yer değştrme şker sırasıya, 0 u j j + δ σ ( ) τ τ ε τ + ε σ t 0 rs jrs rs jrs j d ) ( ) (t C (t) 0 C + + ε j j j j u u u u, ;j,, (.5) ve sıır koşuarı, 0 u u, 0 0; 0; u δ + δ σ, 0 u ; 0 + δ σ (.6) ( ) ( ) 0 u ) ( ) ( ), ( f h j j A + δ σ + < < + < < +ε ;j;,, (.7) şekde verebr. (.) dekem kuaıarak, j ç: ), ( f ), ( f ), ( f + ε + ε ε

52 4 + ε f (, ) f (, ) + ε + ε f f ε (, ) (, ) + ε f (, ) (.8) f (, ) f (, ) ede edr. ε << + oduğu kabu edrse, bua dayaarak, (.8) dek dekemer ε a bağı kuvvet sers oarak fade edebr, k+ ε k (, ) k 0, + k k ε k (, ) k+ ε k (, ) k 0 (.9) our. Dğer tarafta, Kısım de oduğu gb, araa büyüküker küçük arametre ε a göre ser formuda yazıırsa, q (q) (q) (q) { σ ε ;u } ε { σ ; ε ; u } j j q 0 ; (.0) j j our. Kısım de fade eddğ gb burada da (.0) fadeer, (.5) ve (.6) da yere yazıır, ayrıca (.0) dak büyüküker (,h 0, ) ve (,h 0, ) A + cvarıda serye açıırsa ve A bu serer (.9) e brkte (.7) fadesde yere kour (sıır ertürbasyou) ve ε arametres kuvvetere göre gruaştırıırsa, her br yakaşım ç ser-sıırdeğer robemer ede edr. Bu ser-sıırdeğer robemer matematkse mode, Kısım. de vere ser sıırdeğer robemer matematkse modee bezerdr. Dkdörtge ç çatak çere vskoeastk dkdörtge kaı ağı deamasyo burkumasıa at sıfıcı yakaşım ç ede ede sıırdeğer robem göz öüe aıdığıda, ee aıa sıır koşuarı ve δ + u δ ç çözüm koayca yazıabr. Bua göre sıfırıcı (0)

53 4 yakaşıma at çözümde germe foksyoarı; (0) σ ve σ 0, j (.) (0) j buuur. Brc yakaşıma at dekem ve bağıtıar: j σ () j + σ (0) j u () 0, ε () j u () j u j + () (.) u () 0; () 0, u 0 0; σ u () () (0) + σ 0; 0 σ ( ) () () () σ 0 σ σ 0 () 0, σ 0,,, (.) 0;h σ () f (0) h 0 m σ δ A ( 0 ) < < ( + 0 ) 0 ) < < ( + 0 ),,, (.4) buuur. Bezer şekde kc ve sorak yakaşımar ede edebr. Ee aıa yaı eemaıı mazemes ormaze edmş mekak özek, homoje, smetr ekseer O, O ve O oa vskoeastk mazeme oarak seçmştr. Bua göre büye dekemer, σ (q) A ε j (q) jj, ;j,,, σ, σ (q) (q) A 66ε (q) (q) A 55ε σ ε, q0,,,. (.5) (q) A 44 (q) our. (.5) de vere A,, A 66 mazeme sabter, t A ϕ(t) A ϕ(t) + A (t τ) ϕ( τ) dτ, j;;;;;;44;55;66 (.6) j j0 0 j

54 4 şekde oeratörerdr. Ee aıa deamasyo burkuma robem ceemesde ve robeme at krtk arametre değerer beremesde, çatak yüzeyer başagıçta sah oduğu kabu ede küçük eğrker, vere dış basıç kuvvet etksde büyüyerek sosuza gtmes krterde yararaıacaktır. Amacımız burkumaya sebe oa krtk arametre değer beremes oduğuda hesaamaar, sıfırıcı ve brc yakaşım çerçevesde sııradırımıştır. Sıfırıcı yakaşımı çözümü (.) e verdğe göre, (-)-(.4) e vere brc yakaşımı çözümü yaımaıdır. Acak, brc yakaşımdak her br büyükük zama arametrese bağı oduğuda, brc yakaşıma at bütü dekem ve bağıtıara, (.4) ve kovoüsyo teorem kuaıarak Laace döüşümü uyguaır. Brc yakaşıma at dekem ve bağıtıarı Laace döüşümer, bu yakaşımdak dekem ve bağıtıarda () ε j, () u ve A j er sırasıya () σ j, () ε j, () σ j, () u ve A j, ya Laace döüşümer e yer değştrerek Laace uzayıdak brc yakaşıma at uygu dekem ve fadeer ede edebr (Kısım ). Aşağıda Laace uzayıda beremş brc yakaşımı çözümü ee aıacaktır.. Sou Eema Formüasyou Ee aıa robem brc yakaşımıı Laace uzayıdak formua at sou eema formüasyou, Π σ u u + σ u u () () () () () (0) () (0) + σ + σ Ω Ω + + σ () u () + σ () u () + σ () + σ (0) u () u () + σ u u u u () () () () () () () () + σ + σ + σ dd d ( + 0 ) ( + 0 ) ( + 0 ) ( + ) + 0 (0) f () (0) f () σ σ ( ) ( ) 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) u d d u d d s 0 s ha h A + 0 (.7) foksyoe ve Rtz tekğ yardımıya yaımıştır.

55 44 Çözüm ç yer değştrme esası sou eemaar yötem kuaıdığıda, her br sou eemada araa yer değştrme foksyou oom kabu edr. Bu foksyou, düğüm oktaarıdak yer değştrme ve şek foksyoarı e fades; u ( k ) ( k ) ( k ) Ν a, k,,,m (.8) seçr. (.8) fades, (.7) foksyoede yere yazıır ve gerek şemer yaıırsa, Κ a r (.9) cebrse dekem sstem ede edr. (.9) cebrk dekem sstem çözümüde, düğüm oktaarıdak araa yer değştrmeer buuur. Bua göre O 0; yüzeyerde etkye düzgü yayıı orma dış basıç kuvvet etksde, çatak yüzeyerdek küçük eğrğ (veya yüzey oktaarıı yer değştrmes) büyüyerek sosuza gtmes durumua karşı gee krtk deamasyo burkuma yüküü değer (eastk durumda) veya sabt dış basıçta krtk zama arametres değer (vskoeastk durumda), sıfırıcı ve brc yakaşımı brkte ee aımasıda ouşa ardışık terasyoar soucuda berer (Akbarov, Yahogu ad Kutug, 00). (.9) u çözümes e araa büyüküker Laace döüşümer değerer buudukta sora, ayı büyüküker ke (orja) değerer Schaery metodu yardımıya ede edr (Kısım.).. Sayısa Çözüm Bu kısımda, ak mazemes O düzeme arae oacak şekde yereştrmş brbr tekraraya, çok sayıda k zotro, homoje evhada ouşmuş çok katı komozt mazeme oduğu kabu edmektedr. Komozt mazeme beşeerde güçedrc evhaı, mekak sabter E (Youg Modüü) ve ν (Posso oraı) oa eastk br mazemede yaıdığı; dğer beşe, matrs mazemes se mekak sabter Rabotov oeratörer e taımaa (Kısım ) eer vskoeastk br mazemede yaıdığı kabu edmektedr. Bu oeratörerde göstere E 0 ve ν 0, sırasıya aık Eastste modüü ve aık Posso katsayısıdır. Aşağıda vere sayısa hesaamaarda boyutsuz reoojk arametre ω ω ω0 ve boyutsuz zama t 0 ( + α ) t ω kuaımıştır. Bu kısımda vere sayısa hesaamaarda h 0. 5,

56 45 γ, ν ν 0., η η 0. 5 aımıştır. Dğer arametre değerer 0 çzegeer üzerde göstermştr. 0 Ee aıa arametre değererde öceke t 0 ve t ç sayısa hesaamaar yaımıştır. t 0 ( t ) durumua at krtk deamasyo burkuma kuvvet 0 0 ( 0 ) e gösterecektr. Bu böümde de çatak yüzeyer başagıçtak ö eğrğ fade ede (.) foksyouu, ayı faz ve zıt faz omak üzere (bakıız Şek.) farkı k durumu ç ceemeer yaımıştır. Ee aıa robem ç çatak yüzeyer başagıçtak ö eğrk formuu tems ede bu foksyoar, (.4) ve (.5) fadeerde koayca ede edebrer (Kısım ). Probem ve düzemere göre smetr özeğde yararaıarak, dörtte br çözüm böges O doğrutusuda 0, O doğrutusuda, O doğrutusuda 0 dkdörtge rzmatk sou eema oacak şekde toam, 4800 dkdörtge rzmatk sou eemaa ayrıkaştırımıştır. Ee aıa durumda, sou eema modeemes 58 düğüm oktası (od) ve serbestk dereces (NDOF) çermektedr. Bu kısımda yer aa çzegeerde, seçe arametre değerer ç O 0; yüzeyerde etkye düzgü yayıı orma dış basıç kuvvet etksde, çatak yüzeyer başagıçta sah oduğu kabu ede küçük eğrker (veya yüzey oktaarıı yer değştrmes) büyüyerek sosuza gtmes durumua karşı gee krtk deamasyo burkuma yüküü değer (eastk akar ç) veya krtk zamaı değer (vskoeastk akar ç) vermştr. Bu çzegeer açıkaması ayrı ayrı ee aıacaktır. Çzege. de, dkdörtge ç çatağı O doğrutusudak uzuuğuu değşm ), ak mazemes zotro ( E E0 ) ve azotro ( E E0 0) ( 0 oması durumarıı her ks ç, krtk deamasyo burkuma kuvvet değere etks 0 h h h, 0. 5, ω ve α 0. 5 arametre değerer ç vermektedr. A u 0 Çzegedek sayısa vererde, E E0 değer artarke, 0 değerer artmakta ve O doğrutusudak dkdörtge ç çatak uzuuğu ( 0 ) artarke, 0 değerer öem öçüde azamaktadır. Berte etker zıt faz ve ayı faz burkuma modarıı her ks ç de geçerdr.

57 46 Çzege. Farkı 0 ve E E0 ç zıt faz ve ayı faz durumuda 0 değerer ( h h h, 0. 5, ω, α 0. 5) A u 0 E E 0 0 Ö eğrğ formu zıt faz ayı faz zıt faz ayı faz Çzege. de, E E0 e 0 ( O doğrutusudak dkdörtge ç çatak uzuuğu) değerer değşm değere etks, zıt faz ve ayı faz ç h h h, 0 A u 0 0.5, ω ve α 0. 5 durumuda vermştr. Çzege. de, O doğrutusudak çatak uzuuğu değşm 0 değerere etks e Çzege. de vere O doğrutusudak çatak uzuuğu değşm ( 0 ) 0 değerere etks bezerdr. Buua beraber, 0 arametres değer azaması, ya O doğrutusudak uzuuğuu azaması ve 0 k. 0 ( k R ) ouşması durumuda, zıt faz durumu ç dkdörtge ağı deamasyo burkuma modu, çatak yüzeyere vere çok küçük öeğrk formu e uyum göstermemekte, farkı br burkuma modu ouşmaktadır. Bu bağıtıdak k değer çatağı geometrse bağı br büyükük ou bu kısımda ee aıa robem ç k ede edmştr (Akbarov, Yahogu ve Karatas, 00b). Bezer durum Kısım de vere, yaı eemaıı kear çatak çermese at deamasyo burkuma robemde de karşıaşımış ve detayı açıkamaar yaımıştır. Yaıda ç çatak oması durumuda, ee aıa dkdörtge ağı deamasyo burkuma robem çözümes soucuda, çatağı üst yüzey çde buuduğu düzemdek oktaarı düşey doğrutudak yerdeğştrmeer grafğ çzmş ve krtk deamasyo ( ) burkuma kuvvete yakı ( ) ç ağı burkuma modu Şek 0. de vermştr. Bu grafker çzmde, Şek.a ç 0. 6, 0. 5 ve h 0 0 h h ; Şek.b ç 0., 0. 5 ve h h h ve Şek.c A u 0 0 A u ç 0. 7, 0. 4 ve h h h arametre değerer kuaımıştır. 0 0 A u

58 47 (a) (b) (c) Şek. Ö eğrğ a) ayı-faz, b) zıt faz ( 0 > 0,80. 0 ) ve c) zıt faz ( 0 0,80. 0 ) oması durumarıa at deamasyo burkuma modarı.