ÖRNEK PROBLEMLERLE BETONARME

Transkript

1 ÖRNEK PROBLEMLERLE BETONARME A 18. m Çatı Açıklığı Çift T kesitli öşeme kirişleri L Kirişi A 9.15 m 9.15 m 9.15 m 9.15 m 40x40 m 400 mm 815 mm mm 05 mm 18. m Elastomer mesnet Prof. Dr. Cengiz Dünar Arş. Gör. Serkan Tokgöz Prof. Dr. A. Kamil Tanrıkulu ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ ADANA, 00

2 İÇİNDEKİLER 1 TAŞIMA GÜCÜ YÖNTEMİ Çözüme yapılan varsayımlar 1 EKSENEL KUVVET ALTINDAKİ ELEMANLAR.1 Etriyeli Kolonlar.1.1 Boyuna Donatı İle İlgili Koşullar.1. Enine Donatı İle İlgili Koşullar. Fretli Kolonların Taşıma Güü..1 Birini Tepe Noktasına Göre Taşıma Güü Hesabı 4.. İkini Tepe Noktasına Göre Taşıma Güü Hesabı 4. Örnekler 5.4 Çalışma Soruları 9 BASİT EĞİLME ETKİSİNDEKİ ELEMANLAR 11.1 Kesit Taşıma Güünün Hesabı (Kesit Kontrolü) Tek Donatılı, Dikörtgen Kesitli, Dengeli Kirişlerin Taşıma Güü Tek Donatılı, Dikörtgen Kesitli Kirişlerin Taşıma Güü 1.1. Örnekler Çalışma Soruları Çift Donatılı Dikörtgen Kesitler 1.1. Örnekler Çalışma Soruları Tablalı Kesitler Örnekler.1.10 Çalışma Soruları Değişik Geometriye Sahip Kirişler Örnekler Çalışma Soruları 9. Betonarme Kirişlerin Tasarımı Tek Donatılı Dikörtgen Kesitler 41.. Çift Donatılı Dikörtgen Kirişler 41.. Tablalı Kesitler 4..4 Mesnette Moment Azaltma 4..5 Kirişler İçin Minimum Koşullar 4.. Örnekler Çalışma Soruları 54 4 EKSENEL BASINÇ VE EĞİLME ALTINDAKİ ELEMANLAR Tek Eksenli Eğilme ve Eksenel Basınç Altınaki Elemanların Taşıma Güü İki Yüzü Donatılı Dikörtgen Kesitler Dengeli Durum Çekme Kırılması Basınç Kırılması 58 i

3 4.1. Örnekler Çalışma Soruları 8 4. İki Eksenli Eğilme ve Eksenel Basınç Altınaki Elemanların Taşıma Güü Bresler Yöntemi İngiliz Betonarme Yönetmeliği (CP110) Örnekler Çalışma Soruları 7 4. Kolonlara Narinlik Etkisi Genel Yöntem Yaklaşık Yöntem (Moment Büyütme Yöntemi) Örnekler Çalışma Soruları 9 5 KESME KUVVETİ ETKİSİNDEKİ ELEMANLAR Kesme Kuvveti Etkisi Kesme Kuvveti Hesabı Eğik Çatlama Dayanımı Kesme Dayanımı Gevrek Kırılmanın Önlenmesi Kesme Kuvveti Üst Sınırı Türk Deprem Yönetmeliğine Göre Kirişlerin Kesme Güvenliği Süneklik Düzeyi Yüksek Çerçeve Sistemlerine Kolon-Kiriş Birleşim Bölgeleri Kolon Kiriş Birleşim Bölgelerinin Kesme Güvenliği Kolon-Kiriş Birleşim Bölgesi Minimum Enine Donatı Koşulları Zımbalama Etkisi Zımbalama Dayanımı Kısa Konsollar Kayma Sürtünme Dayanımı TS 500 e Kısa Konsol Hesabı Örnekler Çalışma Soruları 119 BURULMA ETKİSİNDEKİ ELEMANLAR 1.1 Eğik Çatlama Sınırı 1. Tasarım Kuvvetlerinin Belirlenmesi 14. Dayanım 14.4 Gevrek Kırılmanın 15.5 Donatı Detayları 15. Örnekler 1.7 Çalışma Soruları 1 7 TEMELLER Tekil Temeller Tasarım İlkeleri 15 ii

4 7.1. Zımbalama Kontrolü Örnekler Birleşik Temeller Örnekler Sürekli Temeller Örnekler Çalışma 155 KAYNAKLAR 15 iii

5 1 TAŞIMA GÜCÜ YÖNTEMİ Yapılara analiz ve tasarımın temel amaı, yapının kullanım süresi boyuna yapı güvenliğine ve kullanım amaına uygun avranmasını sağlamaktır. Dolayısıyla yapı taşıyıı sistemi ve bu sistemi oluşturan elemanlar, yapım ve kullanım süresi içine yapıyı etkileyebileek tüm yük ve şekil eğiştirmeler altına öngörülen yapı güvenliğini sağlayaak ve kullanımı bozmayaak biçime tasarlanmalıır. Betonarme kesit hesaplarına taşıma güü yöntemi kullanılmaktaır. Bu yönteme çözüm için gerekli enge ve uygunluk enklemleri beton ve çelik malzemelerin gerçek avranışları temel alınarak yazılmaktaır. 1.1 Çözüme Yapılan Varsayımlar (i) Şekil eğişiminen öne eleman eksenine ik olan üzlem kesitler, şekil eğişiminen sonra çubuk eksenine ik ve üzlem kalır. (ii) Betonun çekme ayanımına katkısı ihmal eilir. (iii) Beton ve onatı arasına tam aerans varır. Yani onatı çubuğunaki birim boy eğişimi, çubuğu saran beton liflerineki birim boy eğişimi ile özeştir. (iv) Taşıma güüne erişiliğine, beton basınç bölgesinin en çok zorlanan lifineki beton birim kısalması ( u ) 0.00 tür (TS500). (v) Donatı çeliğinin gerilme-birim eformasyon ilişkisi elasto-plastiktir ( si = si E s f y ). Tüm onatı çelikleri için elastisite moülü E s =x10 5 MPa ve kopma birim uzaması su =0.1 alınır. Taşıma güüne erişiliği ana beton basınç bölgesineki gerilme ağılımı için, geçerliliği eneysel verilerle kanıtlanmış herhangi bir ağılım kullanılabilir (Şekil 1.1). Anak, hesaplara kolaylık sağlamak amaıyla, gerçek basınç gerilmesi ağılımı yerine, aşağıaki özellikleri taşıyan eşeğer ikörtgen basınç bloğu kullanılabilir. Blok genişliği olarak, eşeğer basınç şieti olan 0.85f alınır. Blok erinliği, tarafsız eksen erinliğinin, k 1 ile çarpılmasıyla bulunur, a=k 1. Bu ifaee kullanılaak olan k 1 eğerleri, çeşitli beton sınıfları için aşağıaki çizelgee verilmekteir. Çizelge 1.1 Beton sınıflarına göre k 1 eğerleri Beton Sınıfı C1 C18 C0 C5 C0 C5 C40 C45 C50 k Basınç bölgesineki gerilme ağılımı kesite ait kuvvet ve moment enge enklemlerine yer almaktaır. Bu enklemler için önemli olan, basınç gerilmesi ağılımının geometrisi eğil bu ağılımın altınaki alan ve alanın ağırlık merkeziir. Bu neenle TS500 e beton basınç bölgesineki gerilme ağılımı için, geçerliliği eneysel verilerle kanıtlanmış herhangi bir ağılım kullanılabilir. k 1 : Ortalama basınç gerilmesi ve max. gerilme arasınaki oran. k : Beton basınç bileşkesi erinliğinin tarafsız eksen erinliğine oranı. k : Max. beton basınç gerilmesi ile betonun silinir mukavemeti arasınaki oran. 1

6 b k f 0.85f k F =k 1 (k f )b a=k 1 F =0.85f k 1 b Gerçek ağılım Eşeğer ikörtgen ağılım Şekil 1.1 Gerilme ağılımı EKSENEL KUVVET ALTINDAKİ ELEMANLAR.1 Etriyeli Kolonlar t0 m t1 Boyuna onatı ()14 mm b50 mm A mm A N max /(0.5 f k ) b A st h Şekil.1 Etriyeli kolon.1.1 Boyuna Donatı İle İlgili Koşullar Kolonlara boyuna onatı, kesit brüt alanının %1 inen az, %4 ünen fazla olmamalıır t 0.04, t =A st /A (.1) Diörtgen kesitli kolonlara en az 41 veya 14, airesel kesitli kolonlara en az 14 boyuna onatı kullanılmalıır..1. Enine Donatı İle İlgili Koşullar Etriyenin çapı boyuna onatı çapının 1/ ünen az olmamalıır. Enine onatı aralıkları 0 m en büyük ve boyuna onatı çapının 1 katınan büyük olmamalıır. Etriyenin başlıa ört görevi varır; 1- Etriyeler kolon göbeğine bulunan beton kütlesini sararak bir çemberleme etkisi uygulaığınan, betonun mukavemetini ve sünekliliğini arttırır. - Burkulma boyunu azaltarak erken burkulmayı önlerler. - Kolon eksenine paralel yöne oluşabileek çatlakların genişlemesini önler.

7 4- Boyuna çubukları birbirine bağlayarak kalıp içine ik ve üzgün urmalarını sağlar Etriyelerin taşıma güüne katkısı olmaığı kabul eilirse, kolonun salt eksenel yük taşıma kapasitesi N or, (.) ifaesinen hesaplanır. N or =0.85 f k A n +f yk A st (A n =A -A st A ) t = A st A N or =0.85 f k A + t A st f yk (.) Kolonun kesit alanı, A aşağıaki ifaeen ele eilebilir. Nor A = 085. f f k t yk (.). Fretli Kolonların Taşıma Güü Dairesel kesitli göbek betonu helezon şekline enine onatı ile kuşatılan kolonlara fretli kolon enir. Fretli kolonlara boyuna onatı en az 14, max boyuna onatı ise beton brüt kesit alanının % sını geçmemeliir. A 0, fret kesit alanını göstermek üzere, fret onatısına eşeğer boyuna onatı alanı A sp fretin bir halkasının hami, boyu s ile sınırlanan eşeğer boyuna onatı hamine eşitlenerek bulunabilir. D A 0 =A sp (s) ; A sp = DA 0 s (.4) Fret onat yüzesi, (.5) ifaesi ile belirlenir. s = A A sp k DA0 / s 4A D / 4 Ds 0 (.5) Fret mukavemeti: 1.7 A sp f ywk şekline hesaplanmaktaır. Buraa f ywk ; Fret onatısı karakteristik akma ayanımıır. s D

8 Şekil. Fretli kolon Fretli ve etriyeli kolonlara ait yük-eformasyon grafiği Şekil. te görülmekteir. Yük altına etriyeli ve fretli kolonların 1. tepe noktasına kaar avranışları aynıır. Bu noktaan sonra fretli kolonlar, fret onatısı yüzesine bağlı olarak kırılmaan öne önemli miktara eformasyon yaparak ikini bir tepe noktası oluştururlar. Yük A Fretli kolon s (büyük) s (min.) s (küçük) Etriyeli veya fretli kolon Etriyeli kolon Birim kısalma Şekil. Kolon yük-eformasyon eğrisi Her iki tür kolonuna taşıma güü için birini tepe noktası esas alınığına göre, fret alanı ve aralığın bulunmasına normal fret yüzesine göre hesap yapılır. Taşıma güü iki şekile hesaplanır:..1 Birini Tepe Noktasına Göre Taşıma Güü Hesabı Fretin katkısı olmaığınan taşınabileek yük etriyeli kolonun taşıığı yükün aynısıır. N or =0.85 f k A +f yk A st (.) N or1 =A (0.85 f k + t f yk ), t = A st (.7) A l K l.. İkini Tepe Noktasına Göre Taşıma Güü Hesabı İkini tepe noktasına beton parçalanmış oluğunan mukavemete katkısı yoktur, buna karşılık fret tam kapasite ile çalışır. O hale taşıma güü beton göbek alanı (A k ) boyuna onatı ve fret onatısı mukavemetlerinin toplamı olaaktır. N or =0.85 f k A k +A st f yk +1.7 A sp f ywk (.8) = A st Ak, s = A sp Ak (.9) N or =A k (0.85 f k + f yk +1.7 s f ywk ) (.10) 4

9 Bu enklem iki tepe noktasının eşit üzeye oluğu varsayımınan bağımsızır. İki tepe noktasına oluşan yükün yaklaşık olarak aynı olmasını sağlayaak fret onatısı, fret mukavemetini beton kabuk mukavemetine eşitlemekle ele eilir f k (A -A k )=1.7 f ywk A sp (.11) f f k A sp =0.50 A A ywk (.1) k A A sp k f A s k f A (.1) ywk k s f k A (.14) f A ywk k TS500 e fret yüzesi: s =0.45 f A k 1 en az ve 0.0 en fazla olmamalıır. f A ywk k. Örnekler Örnek 1 D a) Şekil.4 te verilen fretli kolon için ieal fret alanını veren enklemi çıkarınız. b) Boyuna onatı 81, D=450 mm, =500 mm, fret 8/50 mm ve malzeme C0, S0 oluğuna göre fretli kolon kesitinin taşıma güünü 1. ve. tepe noktasına göre hesaplayınız. Fret onatısını (a) şıkkına buluğunuz enklem ile hesaplanan ieal fret onatısı ile karşılaştırınız. Şekil.4 Çözüm: a) Beton kesit alanı: A = D Göbek betonu alanı: A k = 4 Kabuk mukavemeti: 0.85 f k (A -A k )= 0.85 f k ( - 4 Fret mukavemeti: 1.7 (A sp ) f ywk D ) 5

10 0.85 fk ( A sp = 1.7 f D 4 ywk fk D A sp =0.50 ( ) f 4 ywk D A ( ) sp fk s Ak f ywk D 4 b) Birini tepe noktasına göre taşıma güü: ) f 0.50 f k ywk ( D 4 1) 1 A st =81= mm, A =(500) =50000 mm 4 N o1 =0.85 f A +A st f y =( )10 - N o1 =09.7 kn İkini tepe noktasına göre taşıma güü: DA A sp = o 141 mm s 50 D A k = = mm N o =0.85 f A k +A st f y +1.7 A sp f yw N o =( ) 10 - =5.05 kn İeal fret onatısı: A -A k = - 4 D fk D A sp =0.50 ( ) f 4 ywk = mm 4 0 A sp = mm s = olarak bulunur f min s =0.5 f k yk A A k Asp 141 s = olarak ele eilmekteir. A k

11 Örnek Çözüm: D=550 mm =00 mm Boşluk 00 Fret onatısı 10/8 m, boyuna onatı 84 ve malzeme C0, S40 oluğuna göre fretli kolonun; a) 1. ve. tepe noktasına göre salt eksenel yük taşıma kapasitelerini (N o ) bulunuz. b) İeal fret onatı yüzesini bularak fret onatısı çap ve aralığını belirleyiniz. Şekil.5 Beton kesit alanı: A = 4 (00-00 )=517.4 mm Göbek betonu alanı: A k = 4 ( )=017 mm Toplam onatı alanı: A st =84 /4=19 mm Ast 19 t >0.01 A a) Birini tepe noktasına göre taşıma güü: N o1 =0.85 f A +A st f y =( )10 - N o1 = kn İkini tepe noktasına göre taşıma güü: DA A sp = o s 80 4A o s D(s) f min s =0.5 f k yk A A k mm < s N o =0.85 f A k +A st f y +1.7 A sp f yw N o =( )10 - =451.1 kn b) İeal fret, fret mukavemetinin beton kabuk mukavemetine eşitlenmesi ile ele eilir. 1.7 A sp f yw =0.85 f (A -A k ) 1.7A sp 5=0.851 ( ) A sp =804. mm ele eilir. D A A sp = o, 10 için A o =78.5 mm s DAo s= 18 mm bulunur. 10/17 m ieal fret onatısı ele eilir. A 804. sp 7

12 Örnek Çözüm: =400 mm D= Beton alanı: A = mm 4 a) Birini tepe noktası göre N o1 =940 kn oluğuna göre fretli kolonun boyuna onatı alanını (A st ) bulunuz. b) A st =8 ve İkini tepe noktasına göre N o =940 kn temel alarak fret onatısını (A sp ) belirleyiniz ve ieal fret onatısı ile karşılaştırınız. Malzeme C0, S40, fret onatısı S0. Şekil. a) b) 40 Göbek betonu alanı: A k = 9079 mm 4 N o1 =0.85 f A +A st f y = A st 5 A st =450 mm A st =8=8 4 =447.4 mm N o =0.85 f A +A st f y +1.7 A sp f yw = A sp 191 A A sp =1190 mm sp 1190, s = = 0.011<min s A 9079 k fk A 0 min s 0.5 = f ywk Ak A sp = =145 mm A sp = DA , 10 için s=, s=58.8 mm, Fret 10/ m. s 145 Örnek D=450 mm Şekil.7 e verilen fretli kolonun fret onatısı 10/ m oluğuna göre; a) İkini tepe noktasınaki eksenel kuvvet taşıma güünü (N o ), birini tepe noktası eksenel kuvvet taşıma güüne göre (No 1 ) %10 aha büyük yapaak boyuna onatıyı (A st ) hesaplayınız. b) İeal fret onatısını belirleyiniz. Malzeme C0, S40. Şekil.7 8

13 Çözüm: a) Toplam kesit alanı: A = =0000 mm 450 Göbek beton alanı: A k = = mm 4 DA A sp = o s 0 N o1 =0.85 f A +A st f y N o =0.85 f A k +A st f y +1.7 A sp f yw Probleme; 1.1 N o1 = N o mm 1.1 ( A st f y )= A st f y Denklemin üzenlenmesinen; 0.1 A st f y = ifaesi ele eilmekteir. Buraan; A st =014.8 mm olarak hesaplanır. Seçilen onatı 8=041 mm b) İeal fret: 0.85 f (A -A k ) =1.7 A sp f yw ( )=1.7A sp 5 A sp =1. mm olarak ele eilmekteir..4 Çalışma Soruları Soru 1 D Boşluk Şekil.8 e verilen fretli kolonun; a) İeal fret onatı yüzesini, D,, f, f yw insinen ifae einiz. b) Boyuna onatı, 80 ve spiral onatı 8/40 mm ve malzeme C0, S0 oluğuna göre fretli kolonun taşıma güünü birini ve ikini tepe noktasına göre bulunuz. Fret onatı yüzesini (a) şıkkına bulunan ieal fret onatı yüzesi ile karşılaştırınız. D=450 mm, =500 mm ve =00 mm. Şekil.8 9

14 Soru D=40 =480 mm Şekil.9 a verilen fretli kolona, fret 14/8, boyuna onatı 80 ve malzeme C5, S40, fret S0 oluğuna göre; a) Fretli kolonun 1. ve. tepe noktasına göre salt eksenel kuvvet taşıma güünü (N o ) bulunuz. b) İeal fret onatısını belirleyiniz. Soru Şekil.9 A st 00 mm Şekil.10 a verilen kolonun toplam onatı alanı, A st =1 oluğuna göre kolonun eksenel yük taşıma kapasitesini bulunuz. Malzeme C0, S mm Şekil.10 10

15 BASİT EĞİLME ETKİSİNDEKİ ELEMANLARIN TAŞIMA GÜCÜ.1 Kesit Taşıma Güünün Hesabı (Kesit Tahkiki) Kirişlere kırılma türü onatı oranına bağlı oluğunan, engeli kırılmayı sağlayan onatı oranı '' engeli onatı oranı '' olarak alanırılır ve b ile gösterilir. Donatısı engelien fazla olana ( b ) enge üstü, az olana ise ( b ) enge altı enir..1.1 Basit Donatılı, Dikörtgen Kesitli, Dengeli Kirişlerin Taşıma Güü u = f A b k 1 b b a b F =0.85f b w k 1 b h A sb s = sy - b z b =j b b w a b =k 1 b sy =f y /E s z b =j b =(-k 1 b /) F s =A sb f y Şekil.1 Dikörtgen kesitli, engeli kiriş Denge: F=0 F -F s = f b b w k 1 b -A sb f y =0 (.1) M=0 F s (j b )=F s (- k 1 b )=M b M b = A sb f y (j b )= A sb f y (- k 1 b ) (.) Uygunluk: Benzer üçgenleren; sy veya b b b sy. (.a) Donatı için kuvvet eformasyon ilişkisi: fy sy yazılır ve uygunluk enklemi gerilme insinen ifae eilebilir. E s 11

16 b E f s y E s (.b) Boyutları ve malzeme özellikleri bilinen ikörtgen kesitli bir kiriş için engeli A sb urumu belirleyen en önemli inex, engeli onatı yüzesiir ( b ). Ayrıa engeli b urum için moment kolu katsayısının belirlenmesine e yarar varır. Betonarme kirişlerin hesabına, fiziksel bir anlamı olmayan ve tanımlanan K eğerine e ihtiyaç varır. w b w M olarak.1. Basit Donatılı, Dikörtgen Kesitli Kirişlerin Taşıma Güü Yönetmeliklere saee enge altı kirişlere izin verilir. Denge altı kirişte en ış lifteki beton birim kısalması ezilme sınırına erişmeen öne çekme onatısı akaağınan ( = u için s > sy ), kırılma anı temel alınarak yapılan taşıma güü hesabına s =f y alınır (Şekil.) ve enge enklemleri yarımı taşıma güü ele eilir. u= 0.00 k f F h T. E. A s s F s b w Şekil. F =F s 0.85 f b b w k 1 =A s f y M r =F s (j) =A s f y (j), (j=0.8) (.4).1. Örnekler Örnek 1 P=0. kn/m L=? A s h=500 Şekil. b w =00 mm '=0 mm Şekil. te verilen kirişin; a) Dengeli onatı yüzesini ( b ) 1

17 b) Donatı alanı A s =18 mm oluğuna göre kesitin taşıma güü momentini bularak geçebileeği maksimum açıklığı (L) bulunuz. Malzeme C1, S40. Çözüm: a) Kesitin engeli onatı yüzesi: f Uygunluk enkleminen; b b b 470 b sy sy f E y s 5 10 Şekil b =91.9 mm bulunmaktaır. Kuvvet enge enklemi yazılarak; F b =F sb 0.85 f k 1 b b w =A sb f y =A sb 5 buraan A sb =190.7 mm ele eilir. b) Asb b b =0.015 olarak bulunur. b w As < b kiriş enge altıır. ( s > sy, s =f y ) b w İç kuvvetlerin engesinen (Şekil.); F =F s 0.85 f k 1 b w =A s f y =185 enklem üzenlenerek =85 mm ele eilir. k M r = A s f y ( )=185 (470- )10 - M r =7.1 knm olarak taşıma güü momenti ele eilir. Kiririşin geçebileeği maksimum açıklığı bulabilmek için kiriş taşıma güü momenti kiriş momentine eşitlenmeliir. Bu uruma; P L M r = 8 A s 00 mm buraan 500 L 8Mr 87.1 ve L=7.91 m olarak bulunmaktaır. P 0. b s= sy k 1 b T. E. F sb F b 1

18 Örnek p =? Şekil.5 b w =00 mm Şekil.4 te verilen kirişin; a) Dengeli onatı alanını (A sb ) bulunuz. b) A s =150 mm oluğuna göre kirişin taşıyabileeği tasarım yükünü (p ) bulunuz. Malzeme C0, S40, paspayı=5 mm. Çözüm: a) Dengeli uruma (Şekil.4) uygunluk enkleminen; b f y 0.1, b =0.1415=58.0 mm olarak bulunur. Kuvvet enge enklemi yazılarak; F b =F sb 0.85 f k 1 b b w =A sb f y =A sb 5 buraan A sb = mm ele eilir. b) Asb b b =0.01 bulunur. b w A b w s L=5 m < b kiriş enge altıır İç kuvvetlerin engesinen (Şekil.); F =F s 0.85 f k 1 b w =A s f y =1505 =1.7 bulunur. Taşıma güü momenti; k M r = A s f y ( )=1505 (415- )10 - M r =195. knm ele eilir. M M r P L /8 195., P.47 kn/m bulunur. A s h=450 14

19 Örnek A s b w =50 mm h=450 Şekil. a verilen basit mesnetli kirişte onatı alanı, A s =1700 mm oluğuna göre taşıma güü momentini bulunuz. Malzeme C1, S40, paspayı=5 mm ve b = Şekil. Çözüm: As > b oluğunan kiriş enge üstüür ( s < sy, s f y ) bw f 50 mm Şekil.7 Donatı gerilmesi ( s ) uygunluk enklemi yarımı ile hesaplanır buraan s 0.00( ) s s =E s s (E s =10 5 N/mm ), s 00( ) olur. İç kuvvetlerin engesinen; F =F s 0.85 f k 1 b w =A s s = ( ) Denklem üzenlenirse; =0 formunu alır. Denklemin çözümünen tarafsız eksen erinliği =71.4 mm ele eilir. Donatı gerilmesi; s 00( ) =17. N/mm olarak hesaplanır. Taşıma güü momenti; 71.4 k M r = A s s ( )= (415- )10 - M r =11. knm olarak bulunur. s 15 k 1 T. E. F F s =A s s

20 .1.4 Çalışma Soruları Soru 1 h=500 Soru A s b w =00 mm p =0 kn/m Şekil.8 e verilen ikörtgen kesitin onatı alanı A s =1175 mm, paspayı=40 mm ve malzeme C0, S40 oluğuna göre kiriş kesitinin; a) Dengeli onatı oranını ( b ) b) Taşıma güü momentini (M r ) bulunuz. Şekil.8 h=500 mm L=? Şekil.9 A s b w =00 mm A s =1475 mm Malzeme C0, S0 Paspayı=40 mm Şekil.9 a verilen betonarme kirişin geçebileeği maksimum açıklığı (L) bulunuz. Soru h=550 A s b w =00 mm Şekil.10 a verilen ikörtgen kiriş kesitinin onatı oranı =0.009, malzeme C0, S40 ve paspayı=40 mm oluğuna göre; a) Kiriş kesitinin engeli onatı oranını ( b ) b) Kesit taşıma güü momentini (M r ) bulunuz. Şekil.10 Soru 4 h=500 A s b w =00 mm Şekil.11 e verilen ikörtgen kesitin onatı alanı A s =17. mm, paspayı=5 mm ve malzeme C0, S40 oluğuna göre kiriş kesitinin; a) Dengeli onatı alanını (A sb ) b) Taşıma güü momentini (M r ) bulunuz. Şekil.11 1

21 .1.5 Çift Donatılı Dikörtgen Kesitler Betonarme kirişlerin bir çoğuna konstrüktif neenle basınç bölgesine e onatı bulunur. A s ' ile gösterilir ('= A s ' ). b w A s1 A s ' A s1 ' Etriye A s Şekil.1 Çift onatılı kiriş Sürekli kirişin açıklık ve mesnet basınç onatısı A s ' ve A s1 ' olarak gösterilmiştir. A s ' ' 0.00 s ' k f F 0.85 f s ' F F T.E. = j + A s ' F s ' -' A s b w s > sy Şekil.1 Çift onatlı kiriş kesiti ve iç kuvvetler (1) ile gösterilen kuvvet ağılımını iki kuvvet çifti ile ifae etmek mümkünür. Birini kuvvet çifti (I) beton bileşkesi ve ona eşit olan çekme kuvvetinen, ikini kuvvet çifti ise basınç onatısınaki kuvvet ile çekme onatısının artan bölümüneki çekme kuvvetinen oluşur. Şekil.1 te gösterilen (1) kuvvet ağılımı ile aşağıaki temel enklemler yazılabilir. F= f b w k 1 +A s ' s '-A s f y =0 (.5) Çekme onatısının bulunuğu noktaya göre moment yazılır. F s A s1 A s F s1 (1) (I) (II) F s M=0 M r = 0.85 f b w k 1 (- k 1 )+ A s' s ' (-') (.) 17

22 Uygunluk şartı: Basınç onatısı için '-' ilişkisi: s '= 0.00 ' s '= s ' E s f y (.7a) Basınç onatısının akıp akmaığını belirleyen sınır urum en ış lifteki betonun ezilme birim kısalmasına ulaştığı ana, basınç onatısınına akma birim kısalmasına ulaşması olarak tanımlanır ( =0.00 iken s '= sy ). Bu urum için birim eformasyon ağılımınan yararlanılır. s ' = sy = f y E s =0.00 ' (.7b) Denklem / için çözülürse; E ' s, Bulunan / eğeri ile s '=f y alınarak sınır urumu yansıtan 0. 00E f s onatı bulunur. ' A s -A s '= f 0. 00E s b w k1 f 0. 00E f w y w y s y olur. Denklemin her iki tarafı b w ye bölünür ve = A s, '= A s ' alınırsa sınır urumu belirleyen onatı ineksi bulunur. b b f 0. 00E y s ' ' 0. 85k1 (.8) f 0. 00E f s y Basınç onatısının aktığı sınır urumu belirleyen onatı ineksi oranına göre eğişmekteir. Çift onatılı bir kesitin taşıma güü hesaplanırken ; Donatı ineksi hesaplanır. ise basınç onatısının akmış oluğu varsayılabilir. s '=f y alınarak enge enklemleri yazılabilir. k 1 = A s A ' b w s f y 0. 85f, fy ve '/ (.9) M r =0.85 f k 1 (- k 1 )+A s' f y (-') (.10) 18

23 Çift onatılı kirişlerin enge altı olup olmaığı 1 = A b w s1 eğeri b eğeri ile karşılaştırılarak bulunur. Pratikte rastlanan kirişlerin büyük çoğunluğuna basınç onatısı akaağınan, A s '=A s ve A s1 =A s -A s =A s -A s 'olur ve enge altı, 1 =-' (-')< b koşulu ile sağlanır..1. Örnekler Örnek 1 h=00 mm A s '=774 mm A s =580.mm 75 mm Şekil.14 te verilen basit eğilmeye maruz çift onatılı kesitin taşıma güü momentini hesaplayınız. Paspayı=75 mm, =55 mm ve malzeme C0, S mm Şekil.14 Çözüm: A s ' f s ' k 1 F s ' F 0.85 f F A s ' F s ' 00 T. E. + (-') A s 50 mm s F s Şekil.15 A s1 F s1 A s F s Tanım gereği çekme onatısı akma konumuna gelmiştir ( s > sy ). Basınç onatısının akıp akmaığını kontrol etmek gerekir. Kesitin onatı oranları: As b 5055 w As ' 774 ' b 5055 w f y 5 =(-') ( ) f E =0.85 k s ' E f s y > Basınç onatısı akma konumuna gelmiştir. s '=f y alınaaktır. 19

24 İkini kuvvet çifti enge enkleminen; F s '=F s A s ' f y =A s f y buraan A s '= A s =774 mm A s1 =A s -A s = =180. mm ele eilir. Birini kuvvet çifti enge enkleminen tarafsız eksen erinliği ele eilir. F =F s f k 1 b w =A s1 f y =180.5 buraan =80.9 mm ele eilir. Çekme kuvvetinin oluğu noktaya göre iç kuvvetlerin momenti alınarak kesit taşıma güü momenti; M r =F (- k 1 )+Fs ' (-') k M r =0.85 f k 1 b w (- 1 )+ As 'f y (-') M r =[ (55- )+7745 (55-75)]10 - M r =94.7 knm olarak bulunur. Örnek g, q h=50 A s =110 mm 5.5 m A s '=40 mm b w =50 mm Malzeme C5, S40 Paspayı=5 mm Şekil.1 Şekil.1 a verilen çift onatılı kiriş üzerineki yükleri güvenle taşıyabilir mi? g=0 kn/m, q=10 kn/m ve malzeme C5, S40. A s ' A s Çözüm: A s ' f s ' k 1 F s ' F 0.85 f F A s ' F s ' 50 T. E. + (-') A s s 50 mm Şekil.17 F s F s1 A s F s 0

25 Tanım gereği çekme onatısı akma konumuna gelmiştir. Basınç onatısının akıp akmaığını kontrol etmek gerekir. Kesitin onatı oranları: As b 5015 w As ' 40 ' b 5015 w (-')< b, onatı ineksi; f y 5 =(-') ( ) 0. f E =0.85 k s ' E f s y > Basınç onatısı akma konumuna gelmiştir. s '=f y alınaaktır. İkini kuvvet çifti enge enkleminen; F s '=F s A s ' f y =A s f y buraan A s '= A s =40 mm A s1 =A s -A s =110-40=80 mm Birini kuvvet çifti enge enkleminen tarafsız eksen erinliği ele eilir. F =F s f k 1 b w =A s1 f y =805 buraan =97.47 mm ele eilir. Çekme kuvvetinin oluğu noktaya göre iç kuvvetlerin momenti alınarak kesit taşıma güü momenti; M r =F (- k 1 )+Fs ' (-') k M r =0.85 f k 1 b (- 1 )+ As 'f y (-') M r =[ (15- M r =11. knm olarak bulunur. Kesitin yükleri taşıyabilmesi için; M M r olmalıır. P L M = 8 P =1.4g + 1.q= =44 kn/m M = 1. 7 bulunmaktaır. 8 M >M r oluğunan kiriş bu yükleri güvenle taşıyamaz. )+405 (15-5)] 10-1

26 Örnek g, q A s '=50 mm h=450 L=? A s =100 mm Şekil.18 b w =00 mm Şekil.18 e verilen basit mesnetli kiriş, g=5 kn/m ölü, q=15 kn/m hareketli karakteristik yüklerin etkisi altına oluğuna göre kirişin geçebileeği maksimum açıklık (L) eğerini bulunuz. Malzeme C5, S40 ve paspayı=50 mm. Çözüm: Kesitin onatı oranları: As b w As ' 50 ' 0.004, onatı ineksi; b w f y 5 =(-') ( ) f E =0.85 k s ' E f s y < oluğunan basınç onatısı akma konumuna gelmemiştir ( s '< sy, s '<f y ). Bu uruma iki kuvvet çifti yaklaşımı kullanılamaz, temel enklemler ile çözüme giilir. A s ' 0.00 s ' (-') k f F s '=A s ' s ' F 450 T. E. A s s 00 mm Uygunluk enkleminen; ' s ' 0.00 ' s '=00( ) Şekil.19 s '=E s s ' oluğunan; olarak basınç onatısınaki gerilme ifae eilir. F s =A s f y

27 Kuvvet enge enkleminen; F +F s '-F s = f k 1 b w +A s ' s '-A s f y = ( ) -1005=0 ifaesi ele eilir. Denklem ye bağlı olarak üzenlenirse; =0 formunu alır. Denklemin çözümünen =111.7 mm bulunur Basınç onatısınaki gerilme; s '=00( ) 1. 4 N/mm olarak ele eilir Çekme onatısının oluğu noktaya göre moment alınırsa; k M r =0.85 f k 1 b w (- 1 )+ As ' s ' (-') M r =[ (400- ) (400-50)]10 - M r =05.4 knm olarak taşıma güü momenti hesaplanır. Kesitin geçebileeği maksimum açıklık, taşıma güü momentinin kiriş momentine eşitlenmesi ile ele eilir. P L M r =M = 8 59L 05.4= 8, P =1.4g+1.q= =59 kn/m buraan L=5.8 m ele eilir. Örnek 4 p =5 kn/m A s ' h=500 L=5.8 m Şekil.0 A s b w =50 mm A s =080 mm A s '=740 mm Şekil.0 e verilen kiriş üzerineki yükü güvenle taşır mı? Malzeme C5, S40 ve paspayı=40 mm. Çözüm: A s ' 0.00 s ' k f F s ' F 0.85 f F A s ' F s ' 500 T. E. + (-') A s s 00 mm F s Şekil.1 F s1 A s F s

28 Basınç onatısının akıp akmaığını kontrol etmek gerekir. Kesitin onatı oranları: As b 5040 w As ' 740 ' b 5040 w (-')< b, onatı ineksi; f =(-') y f 0.00 E =0.85 k s ' E f s y > Basınç onatısı akma konumuna gelmiştir. s '=f y alınaaktır. İkini kuvvet çifti enge enkleminen; F s '=F s A s ' f y =A s f y buraan A s '= A s =740 mm A s1 =A s -A s = =140 mm olarak bulunur. Birini kuvvet çifti enge enkleminen tarafsız eksen erinliği ele eilir. F =F s f k 1 b=a s1 f y =1405 buraan =11.8 mm ele eilir. Çekme kuvvetinin oluğu noktaya göre iç kuvvetlerin momenti alınarak kesit taşıma güü momenti: M r =F (- k 1 )+Fs ' (-') k M r =0.85 f k 1 b (- 1 )+ As 'f y (-') M r =[ (40- M r =14.8 knm olarak ele eilir. M r M P L M = 8 olmalıır. )+7405(40-40)] = 7. knm <14.8 oluğunan kiriş yükü güvenle taşır. 8 4

29 .1.7 Çalışma Soruları Soru 1 h=550 Soru A s ' Şekil. e verilen çift onatılı kirişte, A s =1750 mm, As'=585 mm, Malzeme C0, S40 ve paspayı=50 mm oluğuna göre kirişin taşıma güü momentini (M r ) A s bulunuz. b w =00 mm p =? L=4.8 m Şekil. h=550 A s ' A s Şekil. b w =00 mm Şekil. te verilen çift onatılı kirişte, A s =1885 mm, As'=0 mm, malzeme C0, S40 ve paspayı=50 mm oluğuna göre kirişin taşıma güü momentini (M r ) ve taşıyabileeği yükü (p ) bulunuz. Soru h=500 A s ' A s Şekil.4 te verilen kiriş kesitinin çekme onatısı alanı A s =185 mm, basınç onatısı alanı A s '=10 mm, malzeme C5, S40 ve =40 mm oluğuna göre kirişin taşıma güü momentini (M r ) bulunuz. b w =50 mm Şekil Tablalı Kesitler Betonarme elemanlara kirişler ile öşemeler monolitik çalıştığınan, kesit hesabı yapılırken öşeme parçası basınç bölgesi içine kalıyorsa genellikle bu kirişler T kesit olarak göz önüne alınırlar. Bu şekile ele eilen kesite tablalı kesit aı verilir. Tablalı kirişlerin kesit hesabına, yapısal çözümleme ve kesit hesapları için gerekli eylemsizlik momentlerinin hesabına göz önüne alınaak tabla genişliği, aşağıa gösteriliği gibi hesaplanmalıır. b b t b 1 b w a n Şekil.5 Tablalı kiriş kesit boyutları 5 b w

30 Simetrik kesitlere (T-kesiti), b=b w +0.(l p ) Simetrik olmayan kesitlere (L-kesiti vb), b=b (l p ) Anak, göve ışına taşan tabla genişliği, herbir yana, tabla kalınlığının altı katınan ve komşu kiriş göve yüzüne olan uzaklığın yarısınan fazla olamaz. Yukarıa kullanılan l p, kirişin iki moment sıfır noktası arasınaki uzunluğuur. Kesin hesap yapılmayan urumlara, l p = 0.1(l) (tek açıklıklı, basit mesnetli kiriş) l p = 0.8(l) (Sürekli kiriş kenar açıklığı) l p = 0.(l) (Sürekli kiriş iç açıklığı) l p = 1.5(l) (Konsol kiriş) alınabilir. Buraa (l) kirişin hesap açıklığıır. Eşeğer basınç gerilme bloğu erinliği (k 1 ),tabla erinliğinen (h f ) küçük olması urumuna, betonun çekme bölgesine kalan kısmının önemli olmamasınan olayı basınç bölgesi b genişliğine ikörtgen kesit olur. Bu uruma taşıma güü ikörtgen kesitler için önerilen ilke ve yöntemlere göre hesaplanır. Bazı kesitlere, k 1 > h f olabilir. Bu uruma T biçimineki alanı (A ) ve bu alanın ağırlık merkezini ( x ) hesaplamak gerekir. Basınç ağılımı ikörtgen oluğunan, beton basınç bileşkesi, hesaplanan alan, gerilme şieti 0.85f ile çarpılarak bulunur. F =0.85 f A (.11) Donatıaki kuvvet; F s =A s f y (.1) Bu alanın ağırlık merkezinen fayalanılarak moment kolu (- x ) kolaya hesaplanabilir. Tablalı kesitin taşıma güü; M r = F (- x ) = F s (- x ) (.1) olarak hesaplanabilir..1.9 Örnekler Örnek 1 h=500 b=800 mm A s h f =10 Şekil. a verilen T kesitli kirişin çekme onatısı alanı, A s =15 mm, malzeme C0, S40 ve paspayı=40 mm oluğuna göre; a) Dengeli onatı alanını (A sb ) b) Taşıma güü momentini (M r ) bulunuz. b w =50 Şekil.

31 Çözüm: a) k 1 b b=800 mm A b h f =10 b f F b A sb - b sy T. E. F sb b b w =50 00, 00 f y b 40 Şekil.7 A b =80010+(4.1-10)50 A 00 b =1775 mm, buraan b =8 mm bulunur k 1 b =0.858=4.1 mm>10 mm oluğunan basınç bölgesi tablanın ışınaır. İç kuvvetlerin engesinen; F b =F sb 0.85 f A b =A sb f y =A sb 5 buraan A sb =88 mm ele eilir. A s < A sb oluğunan kiriş enge altıır. k 1 b) Kesitin çalışma biçimi tayini; k 1 =h f kabul eelim; F =0.85 f k 1 b=( )10 - =100.8 kn F s =A s f y =(155)10 - =498. kn F > F s bulunmaktaır. İç kuvvetlerin engesinen F =F s olması gerekmekteir. Bu uruma k 1 <h f ir (Şekil.8). Tarafsız eksen tabla içerisine kalmakta olup, ikörtgen kesit hesabı yapılaaktır. b=800 mm A s h f =10 F =F s 0.85 f k 1 b=a s f y =15 5 =. mm ele eilir. k M r =A s f y ( )=155 (40- )10 - b w =50 M r =15.14 knm bulunur. Şekil.8 7

32 Örnek h=450 b=700 mm h f =110 Şekil.9 a verilen T kesitli kirişin çekme onatısı alanı, A s =00 mm ir. Malzeme C1, S40 ve paspayı=0 mm oluğuna göre, kesitin taşıma güü momentini (M r ) bulunuz. A s b w =00 Çözüm: Kesitin çalışma biçimi tayini; k 1 =h f kabul eelim; Şekil.9 F =0.85 f k 1 b=( )10 - = kn F s =A s f y =(005)10 - =80 kn F < F s oluğunan k 1 >h f ir. Tarafsız eksen tabla ışına çıkmaktaır. b=700 mm f k 1 A h f =110 x F A s - s T. E. b w =00 Şekil.0 F s A =80010+(k 1-110)00 A =00 k İç kuvvetlerin engesinen; F =F s 0.85 f A =A s f y (00 k ) = 005 buraan k 1 =19. mm ele eilir. Beton basınç bölgesi ağırlık merkezi; x. mm olarak bulunur Taşıma güü momenti; M r =A s f y (- x )=005 (40-.)10 - M r =87. knm olarak bulunur. 8

33 Örnek 500 mm Şekil.1 e verilen kirişin çekme onatısı alanı, A s =100 mm ir. Malzeme C0, S40 ve paspayı=5 mm oluğuna göre, taşıma güü momentini bulunuz. 50 mm Çözüm: Kesitin çalışma biçimi tayini; k 1 =110 mm kabul eelim; Şekil.1 F =0.85 f k 1 b=( )10 - =07.75 kn F s =A s f y =(1005)10 - =48 kn F > F s oluğunan k 1 <110 mm olmalıır. Tarafsız eksen tabla içine kalmaktaır. İç kuvvetlerin engesinen; F =F s 0.85 f k 1 b=a s f y 0.851k 1 500=1005 buraan k 1 =79.8 mm bulunur. Kesitin taşıma güü momenti: k M r =A s f y ( )=1005(415- ) M r =14.4 knm Örnek 4 b=00 mm =450 A s bulunur. h f =15 Şekil. e verilen T kesitli kirişin çekme onatısı alanı, A s =00 mm ve malzeme C1, S40 oluğuna göre; a) Dengeli onatı alanını b) Taşıma güü momentini bulunuz. b w =00 Şekil. Çözüm: b=00 mm f 15 x k 1 F =450 A s - s T. E. b w =00 Şekil. F s 9

34 a) Dengeli onatı alanı; b b b 450 b sy sy f E y s b =79.5 mm bulunmaktaır. k 1 b =7. mm>h f Beton basınç bölgesi alanı: A b =1500+(7.-15)00= mm Kuvvet enge enkleminen F b =F sb 0.85 f A b =A sb f y =A sb 5 buraan A sb =78.5 mm bulunur. A s >A sb oluğunan kiriş enge üstüür, olayısıyla taşıma güü sınır urumuna erişiliğine onatı henüz akma konumuna gelmemiştir. b) Uygunluk enkleminen; 0.00 s 00 ( ) Kuvvet Denge Denklemi s F b =F sb A =0015+k 1 00= f A =A s s ( ) ( ) =0 İfae üzenleniğine; =0 enklemi ele eilir. Bu enklemin çözümünen; =94 mm ve k 1 =49.9 mm ele eilmekteir s 00( ) 18.4 N/mm 94 Beton basınç bölgesi ağırlık merkezinin kesit üst noktasına olan uzaklığı: x mm Kesitin taşıma güü momenti: M r =A s s (- x )=0018.5( )10 - M r =.5 knm olarak bulunur. 0

35 .1.10 Çalışma Soruları Soru 1 h=550 b=750 mm A s h f =10 Şekil.4 te verilen tablalı kirişin onatı alanı A s =50 mm oluğuna göre; a) Dengeli onatı alanını (A sb ) b) Taşıma güü momentini (M r ) bulunuz. Malzeme C0, S40 ve paspayı=40 mm Soru b w =00 Şekil.4 A s Şekil.5 te verilen kutu kesitli kirişin onatı alanı A s =80 mm oluğuna göre; a) Dengeli onatı alanını b) Taşıma güü momentini bulunuz. Malzeme C5, S40 ve paspayı=50 mm Şekil.5 Soru p =55 kn/m 10 mm L=? 15 A s 500 mm 10 mm Şekil. b=400 mm Şekil. a verilen simetrik (I) kesit için A s =170 mm oluğuna göre kirişin geçebileeği maksimum açıklık eğerini bulunuz. Malzeme C5, S40 ve paspayı=50 mm. Soru mm Şekil.7 e verilen kirişin çekme onatısı alanı, A s =80 mm ir. Malzeme C0, S40 ve paspayı=40 mm oluğuna göre kirişin taşıma güü momentini bulunuz. 50 mm Şekil.7 1

36 .1.11 Değişik Geometriye Sahip Kirişler Değişik geometriye sahip kirişlerin taşıma güü hesabı, ikörtgen ve tablalı kesitler için önerilen yöntemlere göre yapılır. Bu tür kirişlerin hesabına önemli olan beton basınç bölgesinin alanı (A ) ve ağırlık merkezinin ( x ) hesabıır. Taşıma güü momenti Tablalı kesitler için e önerilen yöntemlere göre yapılır (Bkz. Denklem.1)..1.1 Örnekler 500 Örnek 1 A 15 A p.7 m Şekil.8 15 A-A Kesiti mm Şekil.8 e verilen kesitin onatı alanı A s =804.5 mm oluğuna göre; a) Dengeli onatı alanını bulunuz. b) Basit kirişin güvenle taşıyabileeği üniform yayılı yükün hesap eğerini bulunuz. Malzeme C0, S40 ve paspayı=5 mm. Çözüm: 500 a) f 15 x k 1 b k 1 b F b 50 mm - b s = sy T. E. Dengeli onatı alanı: b b b b sy sy f E y s Şekil.9 b =0. mm bulunmaktaır. k 1 b =17 mm>15 mm Beton basınç bölgesi alanı: A b = =7450 mm Kuvvet enge enkleminen; F b =F sb 0.85 f A b =A sb f y =A sb 5 buraan A sb =48.8 mm bulunur. A s <A sb oluğunan kırılma biçimi çekme kırılmasıır ( s =f y ). F sb

37 b) Kesitin taşıma güü momentini bulabilmek için önelikle tarafsız eksen erinliğinin belirlenmesi gerekmekteir. k 1 =15 mm olsun; F =0.85 f k 1 b=( )10 - =90. kn F s =A s f y =(804.55)10 - =9.55 kn F >F s olayısıyla k 1 <15 mm olmalıır. Bu uruma beton basınç bölgesi 500 mm genişliğine ve k 1 erinliğine ikörtgen kesittir.beton basınç bölgesi alanı; A =500k 1 Kuvvet enge enkleminen; 0.85 f A =A s f y k 1 = k 1 = 5.1 mm bulunur. Beton basınç bölgesi ağırlık merkezinin kesit üst noktasına olan uzaklığı: 5.1 x.5 mm olarak bulunur. Taşıma güü momenti; M r =A s f y (- x )= (5-.5) 10 - M r =87. knm ele eilmekteir. Kesitin taşıyabileeği maksimum yük kesitin taşıma güü momentinin kiriş momentine eşitlenmesi ile ele eilir. P L M r =M = 8 87.= 8 P.7 buraan p =51. kn/m ele eilir. Örnek P =7. kn/m 10 mm mm L=? A s 10 mm Şekil.40 Şekil.40 a verilen simetrik (I) kesit için; b=80 mm a) Dengeli onatı alanını (A sb ) b) A s =05.7 mm oluğuna göre kirişin geçebileeği maksimum açıklık eğerini bulunuz. Malzeme C1, S40 ve paspayı=50 mm.

38 Çözüm: 80 A f 10 x k 1 F =710 A s - s T. E. F s a) Dengeli onatı alanı: b b b 710 b sy sy f E y s Şekil b =44.1 mm bulunmaktaır. k 1 b =75.8 mm ve A b =1080+( ) 10 A b =8154 mm Kuvvet enge enkleminen; F b =F sb 0.85 f A b =A sb f y =A sb 5 buraan A sb =084 mm >A s kiriş enge altıır. b) Beton basınç bölgesi alanı: A =1080+( ) 10 A = Kuvvet enge enkleminen; F =F s ( )=05.75, =45.05 mm olarak bulunur. Beton basınç bölgesi ağırlık merkezinin kesit üst noktasına olan uzaklığı: x 1. mm M r =A s f y (- x )=05.75 (710-1.)10 - M r =48.5 knm olarak taşıma güü momenti ele eilir. Kiririşin geçebileeği maksimum açıklığı bulabilmek için kiriş taşıma güü momenti kiriş momentine eşitlenmeliir. Bu uruma; P L M r = 8 buraan L 8M P L=.7 m olarak bulunmaktaır. r

39 Örnek p =? L=.8 m 15 mm 400 mm Şekil mm Şekil.4 e verilen kirişin; a) Dengeli onatı alanını (A sb ) b) Donatı alanı A s =15 mm oluğuna göre taşıyabileeği maksimum yükü (p ) bulunuz. Malzeme C0, S0 ve paspayı=40 mm. Çözüm: f F =0.85 f A k mm - T. E. s 400 mm Şekil.4 F s a) Birim eformasyon ağılımının benzerliğinen fayalanılarak engeli tarafsız eksen erinliği b ele eilir ( s = sy ). b f y 191 buraa sy E 10 b sy s Buraan b =7.1 mm bulunur. k 1 b = =. mm ir. Beton basınç bölgesi alanı A b,. k 1 b ile sınırlı üçgen alanı olaağınan; (k1 b ) A b = mm olarak bulunur. Kuvvet enge enklemi yazılarak; F sb =F b A sb f y =0.85 f A b A sb 191= buraan A sb =1559. mm ele eilir. b) A s =15 mm engeli onatı alanınan küçük oluğunan kiriş enge altıır ve kırılma türü çekme kırılmasıır. (k1) Beton basınç bölgesi alanı A = ir. Kuvvet enge enklemi yarımı ile kiriş tarafsız eksen erinliği ele eilir. F s =F, A s f y =0.85 f A (k1) 15191=0.851 buraan k 1 =08.7 mm 5 ele eilir.

40 Beton basınç bölgesi ağırlık merkezinin kiriş üst noktasına olan uzaklığı x = k mm ir. Bu uruma kiriş kesitinin taşıma güü momenti: M r =A s f y (- x )=15191 (0-18.9)10 - M r =5.04 knm ele eilir. Kiririşin taşıyabileeği maksimum yükü bulabilmek için kiriş taşıma güü momenti kiriş momentine eşitlenmeliir. Bu uruma; P L M r = 8 buraan P 8Mr kn / m olarak bulunmaktaır. L.8 Örnek 4 10 A s 10 mm Şekil.44 te verilen basit eğilmeye maruz eşkenar üçgen kesitin a) Dengeli onatı alanını bulunuz. b) A s =14.5 mm oluğuna göre tarafsız eksenin yerini () bulunuz ve kesit taşıma güü momentini hesaplayınız. Paspayı=75 mm ve malzeme C0, S40. Şekil.44 Çözüm: 10 mm Şekil.45 a) Birim eformasyon ağılımının benzerliğinen fayalanılarak engeli tarafsız eksen erinliği b ele eilir ( s = sy ). b f y 5 buraa sy ele eilir. 5 E 10 b sy Buraan b =.71 mm bulunur. k 1 b = =8.8 mm ir. Beton basınç bölgesi alanı A b,. k 1 b ile sınırlı üçgen alanı olaağınan; 10 mm (k1b ) A b = 9988 mm olarak bulunur. Kuvvet enge enklemi yazılarak; F sb =F b A sb f y =0.85 f A b A sb 5= buraan A sb =110. mm ele eilir. A s >A sb Kesit enge üstüür. - s 0.00 s k f T. E. F s F =0.85 f A

41 b) Uygunluk bağıntısınan; 0.00 ve s =E s s (E s =10 5 N/mm ) s 55 s =00( ) Kuvvet enge enklemi yarımı ile kiriş tarafsız eksen erinliği () ele eilir. F s =F A s s =0.85 f A 55 (k ( )= ) enklem () ye bağlı olarak üzenlenirse; =0 Denklemin çözümünen; =5.75 mm k 1 =85.4 mm olarak bulunmaktaır. 55 s =00( )=5 N/mm Kesitin beton basınç bölgesi ağırlık merkezinin üst noktaya olan uzaklığı; x k mm olarak bulunur. Taşıma güü momenti: M r =A s f y (- x )=14.55( )10 - M r =155. knm ele eilir. Örnek A s 550 Basit eğilme etkisi altınaki kesitin; a) Dengeli onatı alanını (A sb ) b) A s =80 mm oluğuna göre kesitin taşıma güü momentini bulunuz. Paspayı=50 mm ve malzeme C0, S40 Çözüm: 500 mm A Şekil k f F A s s F s 500 mm Şekil.47 7

42 a) Dengeli onatı alanı ( s = sy ); b f sy E b b 500 b sy y s b =10.9 mm bulunmaktaır. k 1 b =4. mm Dengeli uruma beton basınç bölgesi alanı: 1 15 A b = (4.) +504.=95181 mm 00 Kuvvet enge enkleminen; F b =F sb 0.85 f A b =A sb f y =A sb 5 buraan A sb =881.5 mm bulunur. A s <A sb oluğunan kırılma biçimi çekme kırılmasıır. Kiriş enge altı kiriştir. b) Taşıma güü momentini bulabilmek için önelikle kesitin tarafsız ekseninin yerinin belirlenmesi gerekir. k 1 ile sınırlı beton basınç bölgesi alanı: 1 15 A = (k1 ) +50k 1 =0.41(k 1 ) +50k 1 00 Kuvvet enge enkleminen; F =F s 0.85 f A =A s f y 0.851[0.41(k 1 ) +50k 1 ]=805 Denklem k 1 eğerine bağlı olarak üzenleniğine (k 1 ) +00.9(k 1 )-18109=0 enklemi ele eilir. Denklem çözülüğüne; k 1 =0.4 mm bulunmaktaır. Beton basınç bölgesi ağırlık merkezinin kesit üst noktasına olan uzaklığı: x mm bulunmaktaır. Taşıma güü momenti: M r =A s f y (- x )=805( )10 - M r =1.17 knm olarak ele eilir. 8

43 Örnek 0 00 mm 40 mm a) Şekil.48 e verilen kesitin engeli onatı alanını hesaplayınız. b) A s =108.5 mm oluğuna göre kesit taşıma güünü hesaplayınız. Malzeme C0, S40, paspayı=0 mm. 150 Şekil.48 Çözüm: k 1 00 mm f x F 40 mm T. E. a) Dengeli onatı alanı: b b 400 b 0 b sy sy Beton basınç bölgesi alanı: f E y s 5 10 A b =00k 1 b - 1 k1 b 0.1k 1 b 5 s Şekil b =48.7 mm ve k 1 b =11.4 mm bulunmaktaır. F s A b =k 1 b (00-0.1k 1 b ) Kuvvet enge enkleminen; F b =F sb 0.85 f A b =A sb f y ( )=A sb 5 A s <A sb oluğunan kiriş enge altıır. buraan A sb =199.4 mm bulunur. b) Beton basınç bölgesi alanı; A =k 1 (00-0.1k 1 ) 0.85 f A =A s f y ( )= İfae ye bağlı olarak üzenlenirse; =0 enklemi ele eilmekteir. Denklemin çözümünen =.5 mm ve k 1 =198.5 mm. bulunur. 9

44 Beton basınç bölgesi ağırlık merkezinin kesit üst noktasına olan uzaklığı: x 95.5 mm M r =A s f y (- x )= ( )10 - M r =178.9 knm olarak taşıma güü momenti ele eilir..1.1 Çalışma Soruları Soru b=00 =500 Şekil.50 e verilen kesitin onatı alanı A s =090 mm oluğuna göre; a) Dengeli onatı alanını b) Taşıma güü momentini bulunuz. Malzeme C0, S40. b w =50 Şekil.50 Soru A s 500 mm 4 Şekil.51 e verilen eşkenar üçgen kesitli kirişin onatı alanı A s =170 mm oluğuna göre a) Dengeli onatı alanını b) Taşıma güü momentini bulunuz. Malzeme C1, S0 ve paspayı=0 mm. Şekil.51 Soru A s =700 mm Şekil.5 e verilen kirişin; a) Dengeli onatı alanını (A sb ) b) Taşıma güü momentini bulunuz. Malzeme C0, S40 paspayı=40 mm. 00 mm Şekil.5 40

45 750 mm Soru 4 p =? h=500 L=.5 m Şekil.5 Şekil.5 te verilen kirişin; a) Dengeli onatı alanını (A sb ) b) A s =900 mm oluğuna göre taşıyabileeği maksimum yükü (p ) bulunuz.malzeme C0, S40 ve paspayı=40 mm. 10 Soru 5 L=.8 m p =? kn/m Şekil =400 Soru Şekil.54 te verilen kirişin; 00 mm a) Dengeli onatı alanını (A sb ) bulunuz. b) A s =1885 mm oluğuna göre kesitin taşıma güü momentini bularak kirişin taşıyabileeği yayılı yükü (p ) hesaplayınız. Malzeme C5, S40. g=7.5 kn/m q=1. kn/m L=? h=00 Şekil.55 te verilen kirişin; Şekil a) Dengeli onatı alanını (A sb ) b) Kirişin geçebileeği maksimum açıklığı (L) bulunuz. Malzeme C5, S40 ve paspayı=5 mm. 00 A s =1900 mm 10 41

46 . Betonarme Kirişlerin Tasarımı..1 Basit Donatılı Dikörtgen Kesitler Basit onatılı ikörtgen kesitlerin ön tasarım aşamasına boyutların saptanması bw =K l M ifaesi yarımıyla olur. M : Gerekli yük katsayıları ile çarpılmış hesap momenti, K l : Denklemen veya çizelgeen alınır. K l = 4.95 f b w K= M (.14) (.15) (.15) enklemi ile K hesaplanır. K, K l ile karşılaştırılır. K<K l ise izleneek iki yol varır. a) Deformasyon limiti aşılarak K m e göre kontrol yapılır (K>K m ) olmalıır veya b) Basınç onatısı yerleştirilerek çift onatılı kiriş oluşturulur. Böylee (') l tutularak eformasyon koşulu sağlanığı gibi süneklikte arttırılmış olur... Çift Donatılı Dikörtgen Kirişler Kirişlere büyük momentlerin karşılanamaığı urumlara kesiti büyütmek yerine basınç bölgesini kuvvetlenirmek için çift onatılı kiriş tasarımına giilebilir. Şekil.5 a açıklıkta T kesitli kirişte, basınç bölgesi tablaya rastlaığınan b genişliğine tek onatılı ikörtgen kesit gibi avranır. Yönetmelik gereğine onatının en az 1/ ü mesnetten mesnete uzatılığınan kiriş kesiti mesnette çift onatılı kesite önüşür. Bu tür kesitler için; b w K o '= eğerinin hesaplanması boyutlanırmaa yararlı olur. (K o ' K eğeri ile M aynıır fakat bu eğer hesaplanırken basınç onatısı a ikkate alınmıştır). '= ve kesitin eformasyon sınırlaması içine kalığı varsayılırsa '=0.5 j=0.8 buraan '=0.117 olur. s '=f y alınarak ve s ', j, ('), ' eğerleri çift onatılı ikörtgen kesit enge enklemlerine yerine konularak K o ' hesaplanır K o '= ' f (.7 ) (.1) 4

47 Ön tasarım için K o ' eğeri temel alınarak kesit boyutları bulunabilir. Kesin tasarıma ise A s ve A s ' hesaplanır. Eğer K<K l ise çift onatılı kirişe giilir. Açıklık Mesnet b A s A s b w Açıklık kesiti b w A s ' Mesnet kesiti Şekil.5 Çift onatılı kiriş Çift onatılı kesit hesabına iki tür problemle karşılaşılır. Birini tür probleme moment, kesit geometrisi ve malzeme ayanımları bilinmekteir. Kesitteki çekme ve basınç onatısı (A s, A s ') istenmekteir. Çözüme; (i) K hesaplanır (K= ) (ii) K l bulunur. (iii) K, K l ile karşılaştırılır. K>K l ise basınç onatısına gerek yoktur. (iv) K<K l ise basınç onatısı gerekir. Çözüme; s '=f y kabul eilir ve aşağıa anlatılığı şekile çift onatılı kesit hesabı yapılarak onatı miktarları belirlenir. A s ' ' 0.00 s ' k f T.E. j F + A s ' s ' (-') A s s > sy A s1 F s1 =A s1 f y A s A s f y b w 4

48 Şekil.57 Çift onatılı ikörtgen kesit ve iç kuvvetler M 1 =, M =M -M 1 A s1 =, A s '=A s =, A s =A s1 +A s İkini tür probleme ise moment, kesit geometrisi, malzeme ayanımları ve basınç onatısı (A s ') bilinmekte olup çekme onatısı (A s ) istenmekteir. Çözüme; (i) Basınç onatısının akmış oluğu ( s '=f y ) kabulü yapılarak onatı miktarı aşağıaki şekile belirlenir. (ii) M =A s ' f y (-') A s '=A s ve M 1 =M -M (iii) A s1 = ve A s =A s1 +A s =A s1 +A s ' Hesaplanan onatılar ile başlangıçta yapılan kabulün oğruluğu kontrol eilir; (iv) = (') hesaplanıp ile karşılaştırılır. (v) Eğer > ise basınç onatısı akmıştır. s '=f y çözüm oğruur. (vi) Eğer < ise yukarıaki hesap geçerli eğilir. s ' uygunluk enkleminen ifae eilerek temel enklemler yarımıyla çözüme giilir... Tablalı Kesitler Tablalı kesitlere moment kolu katsayısı (j) fazla eğişmeiğinen yaklaşık olarak ele eilmesi uygun olur. Yaklaşık eğer olarak aşağıa gösterilen ilişkileren ele eilenin büyük olanı kullanılmalıır. J=0.9 veya J=- A s =..4 Mesnette Moment Azaltma 44

49 Yapısal çözümlemee hesaplanan mesnet momentleri mesnet ortasına etkiyen momentlerir. Hesaplara ise mesnet yüzüneki moment eğeri alınır. M=V ( ) V : Hesap kesme kuvveti a: Mesnet genişliği Yapılan hesaplar ve eneyler sonuu, moment azaltmasının aşağıa verilen bağıntıya göre yapılması aha emniyetli yöne olaağını göstermiştir. M=, M f : M -..5 Kirişler İçin Minimum Koşullar Hesap eksenel basınç eğeri N 0.1 f k A sınırını aşmayan elemanlar eğilme elemanı olarak tanımlanırlar. Kiriş toplam yüksekliği, 00 mm en ve öşeme kalınlığının üç katınan aha küçük olmamalıır. Kiriş göve genişliği 00 mm en az, kiriş toplam yüksekliği ile kolon genişliği toplamınan fazla olmamalıır. 45

50 ' h f h h 00 mm t b w 00 mm b w (a+h) a Kolon veya pere b w Şekil.58 Kiriş kesit boyutları Kirişlere net beton örtüsü, özel yapılar ışına, ıştaki elemanlara 5 mm en, içteki elemanlara 0 mm en az olmamalıır. Kirişlere sıra içine veya sıralar arasına onatı çubukları altına kalan net aralık, 0 mm en ve onatı çapınan ve en büyük agrega boyutunun 4/ ünen az olmamalıır. Demet onatı kullanılığına anma çapı esas alınmalıır. Biren fazla sıra oluşturuluğuna, üst üste çubuklar aynı hizaya getirilmeliir. Kirişlere pilye büküm noktaları, kuramsal kesim noktasınan ilerie üzenlenmeliir. Bu uzaklık, fayalı yüksekliğin üçte birinen ve onatı çapının 8 katınan az olmamalıır. Gerekli olmayan çubukların kesilme noktaları ile kuramsal kesim noktası arasınaki uzaklık ise fayalı yükseklikten ve nervürlü çubuklara onatı çapının 0 katınan, üz yüzeyli çubuklara ise onatı çapının 40 katınan az olmamalıır. Ayrıa, TDY 97 ye göre; b w 50 mm, h 00 mm, h h f, h l n /4, h.5 b w (l n : Kiriş serbest açıklığı). Kirişlere çekme onatısı oranı, aşağıaki eğeren az olamaz. As f t = min = 0.8 (.17) b f w y Kirişlere çekme ve basınç onatı oranları farkı, engeli onatı oranının 0.85 katınan fazla olmamalıır. -' max =0.85 b (.18) 4

51 Ayrıa, kiriş mesnetlerineki çekme onatısı ü Kiriş mesnetlerineki alt onatı: a 0.5 ü (TDY, I. ve II. eree eprem bölgesine) f f t y (TDY, 7.8) a 0. ü (TDY, III. ve IV. eree eprem bölgesine). Kirişlere boyuna onatı olarak 1 mm en küçük çaplı çubuklar kullanılmamalı, göve yüksekliği 00 mm en büyük olan kirişlere en az A sl =0.001b w kaar göve onatısı bulunurulmalıır.. Bu onatı gövenin iki yüzüne eşit olarak, en az 10 mm çaplı çubuklaran ve çubuk aralığı 00 mm yi geçmeyeek biçime üzenlenir. Ayrıa, açıklıkta çekme onatısının, en az üçte birinin mesnete kaar uzatılıp kenetlenmesi gerekliir... Örnekler Örnek 1 g=17. kn/m, q= kn/m m. m h Şekil.59 Şekil.59 a verilen kirişin; a) Ön tasarımını b) b w =50 mm ve h=500 mm alarak kesin tasarımını yapınız. Paspayı=50 mm ve malzeme C5, S40. Çözüm: Kiriş üzerineki yükler servis (karakteristik) yükleri oluğunan bu yüklerin yük katsayıları ile büyütülmesi gerekmekteir. Bu uruma; P =1.4g+1.q= =59.84 kn/m Bu tasarım yükü için moment iyagramı aşağıaki gibi olmaktaır. p =59.84 kn/m b w m. m 0. knm (M ) M max =177. Şekil.0 47