Akademik Sosyal Araştırmalar Dergisi, Yıl: 6, Sayı: 77, Eylül 2018, s

Akademik Sosyal Araştırmalar Dergisi, Yıl: 6, Sayı: 77, Eylül 2018, s. 80-97 Yayın Geliş Tarihi / Article Arrival Date Yayınlanma Tarihi / The Publication Date 31.07.2018 15.09.2018 Doç. Dr. Dilek SEZGİN MEMNUN Uludağ Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Temel Eğitim Bölümü Matematik Eğitimi dsmemnun@uludag.edu.tr Merve BERBER Mümtaz Turhan Ortaokulu m.berber_@hotmail.com Prof.Dr. Bünyamin AYDIN Alanya Alaaddin Keykubat Üni, Eğitim Fakültesi, Matematik ve Fen Bilimleri Eğt.B. Mat.Eğt. bunyamin.aydin@alanya.edu.tr Sevgi ARSUK Köroğlu Ortaokulu sevgiarsuk@gmail.com YEDİNCİ VE SEKİZİNCİ SINIF ÖĞRENCİLERİNİN DOĞRUSAL DENKLEMLER KONUSUNDAKİ BİLGİ VE BECERİ DÜZEYLERİNİN İNCELENMESİ ÜZERİNE BİR ÇALIŞMA Öz Cebirsel konular, gerektirdiği soyut düşünme becerisinden dolayı öğrenciler için öğrenilmesi güç konular arasında yer almaktadır. Özellikle ortaokul seviyesindeki öğrencilerin soyut düşünme becerileri yeni geliştiği için, bu durum cebir öğrenimini zorlaştırmaktadır. Ortaokul matematik müfredatında geniş yer kaplayan doğrusal denklemler, cebirsel konuların öğrenilmesi için temel yapıtaşı olarak bilinmesi gereken konular arasındadır. Bu konu, ülkemizde ortaokul yedinci sınıf seviyesinde derslerde yer almaya başlamaktadır. Bu sınıf düzeyindeki öğrencilerin doğrusal denklemler konusunu anlamlandırarak öğrenmesi sonucunda, ilerleyen süreçte diğer cebir konularını öğrenmeleri kolaylaşacaktır. Bu nedenle, bu araştırmada Türkiye'de Erzurum ilinde bulunan okullar arasından rastgele olarak belirlenen bir ortaokulun yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve beceri düzeyleri ile bu konudaki hata ve eksikliklerinin belirlenmesi amaç-

lanmıştır. Bu amaçla, araştırmaya katılan öğrencilere araştırmacılar tarafından açık uçlu olarak hazırlanmış olan bir doğrusal denklem testi uygulanmıştır. Elde edilen verilerin analizi, betimsel analiz aracılığı ile gerçekleştirilmiştir. Elde edilen bulgular ışığında, araştırmaya katılan öğrencilerin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve becerileri ile hata ve eksiklikleri rapor edilmiştir. Anahtar kelimeler: Denklem, denklem çözme, doğrusal denklem, ortaokul öğrencisi. RESEARCH ON THE KNOWLEDGE AND SKILLS ABOUT LINEAR EQUATIONS OF SEVENTH AND EIGHTH GRADE STUDENTS Abstract Algebraic issues are among the difficult topics to learn for students due to the abstract thinking structure they require. This makes it difficult to learn algebra, especially since the students in secondary school develop new abilities of abstract thinking. Linear equations that cover a large part in the secondary school mathematics curriculum are among the subjects that should be known as the basic building stone for learning algebraic subjects. This issue is beginning to take place in the seventh grade of junior high school in our country. As a result of learning the meaning of linear equations in this class level students, it will become easier to learn other algebraic subjects in the process. Therefore, it was aimed to determine the knowledge and skill levels on linear equations Erzurum seventh and eighth grade students of a secondary school designated as random among schools in the province in Turkey with errors and omissions on this issue in this investigation. With this aim, a linear equation test was applied to the students participating in the research. The analysis of the obtained data was carried out through descriptive analysis. In the obtained findings, the knowledge and skills, errors and deficiencies of the linear equations of students participating in the research were reported. 81 Keywords: Equation, solving of equation, linear equation, middle school student. GİRİŞ Matematik, çok sayıda soyut bilginin yer aldığı bir derstir. Matematikte, bu soyut bilgilerin yer aldığı alt öğrenme alanlarından biri de cebirdir. Cebir, pozitif ve negatif sayılar ile bunların yerine kullanılan harfler ve notasyonlar aracılığıyla nicelikler arasında ilişkiler kuran, matematiğin temel alanlarından biridir (Türk Dil Kurumu, 2017). Sayılar arasındaki ilişkileri ve özellikleri açıklamak için tasarlanmış olan matematiksel dilin bir parçası olarak tanımlanabilir (Akkan, 2009). Cebir yalnızca matematik dersinde değil, aynı zamanda hayatın her alanında önemli bir konuma sahiptir. Günlük yaşamda karşılaşılan problemlerin çözümlerinden farklı bilim dallarındaki problemlerin çözümlerine kadar her yerde kullanılmaktadır (Dede, Yalın ve Argün, 2002). Bununla birlikte, yapılan araştırmalarda (Akçay, 2015; Akkaya ve Durmuş, 2006; Bağdat, 2013; Çavuş-Erdem, 2013; Dede ve Peker, 2007; Erbaş, Çetinkaya ve Ersoy, 2009; Kalaç, 2016; Kaya ve Keşan, 2014; Palabıyık ve Akkuş-İspir, 2011) gerektirdiği soyut düşünme yapısı nedeniyle, cebirsel konuların öğrenciler için öğrenilmesi güç konular arasında yer aldığı görülmüştür. Cebir kavramlarının öğrenilmesindeki sıkıntıların birçok araştırma konusunda yer bulması, öğrencilerin cebirsel düşünme ve muhakeme becerilerinde de sıkıntılarının olduğu

anlamına gelmektedir (Kaya ve Keşan, 2014). Özellikle de, ortaokul seviyesindeki öğrencilerin soyut düşünme becerileri yeni geliştiği için, bu durum cebir öğrenimini zorlaştırmaktadır. Cebir denildiğinde, akla ilk gelen konulardan biri denklemler konusudur. Doğrusal denklemler konusu da, cebirsel konuların öğrenilmesi için temel yapıtaşı olarak bilinmesi gereken konular arasındadır. Bu konunun iyi öğrenilmesi için, doğrusallık kavramının anlamlandırılması ve doğrusal düşünebilme becerisinin geliştirilmesi gerekmektedir. Doğrusallık kavramının önemi, matematik öğretim programlarında belirtilmekte ve farklı sınıf seviyelerinde farklı düzeylerde öğretilmektedir (Yıldırım ve Albayrak, 2016). Ayrıca, doğrusal denklemlerin iyi öğrenilmesi diğer cebirsel konuların öğrenilmesine önemli ölçüde katkı sağlayabilir. Başka bir ifadeyle, ortaokul düzeyindeki öğrencilerin doğrusal denklemler konusunu anlamlandırarak öğrenmesi sonucunda, ilerleyen süreçte diğer cebir konularını öğrenmeleri kolaylaşacaktır. Ülkemizdeki matematik öğretim programları incelendiğinde, doğrusal denklemler konusunun ortaokul matematik öğretim programının yedinci ve sekizinci sınıf düzeyinde kazanımları bulunduğu belirlenmiştir. Ortaokul yedinci sınıf düzeyinde; koordinat sistemini özellikleriyle tanıma ve sıralı ikilileri gösterme, aralarında doğrusal ilişki bulunan iki değişkenden birinin diğerine bağlı olarak nasıl değiştiğini tablo, grafik ve denklem ile ifade etme, doğrusal denklemlerin grafiğini çizme kazanımlarının öğretilmesi hedeflenmiştir. Ortaokul sekizinci sınıf düzeyinde ise; doğrusal ilişki içeren gerçek yaşam durumlarına ait tablo, grafik ve denklemi oluşturma ve yorumlama, doğrunun eğimini modellerle açıklama, doğrusal denklemleri, grafiklerini ve ilgili tabloları eğimle ilişkilendirme, doğrusal denklemlerde bir değişkeni diğeri cinsinden düzenleyerek ifade etme, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözme kazanımlarının öğretimi amaçlanmıştır (Milli Eğitim Bakanlığı, 2013). Her iki sınıf düzeyindeki kazanımlar incelendiğinde; doğrusallık kavramına ve dolayısıyla da doğrusal denklemlere müfredatta geniş bir yer verildiği görülmüştür. Bu bağlamda, var olan öğretim programının doğrusallık kavramının ortaokul düzeyinde iyi öğretilmesini hedef aldığı söylenebilir. Ayrıca, 2018-2019 yılında uygulamaya konulacak olan güncelleştirilmiş yeni matematik dersi öğretim programı ile bazı kazanımlar mevcut programdan çıkarılmış ya da sınıf düzeyleri değiştirilmiştir (MEB, 2018). Yapılan değişlikler incelendiğinde; yedinci sınıf düzeyinde bulunan doğrusal denklemler alt öğrenme alanına ait tüm kazanımların bu sınıf düzeyinden çıkartılıp, sekizinci sınıf düzeyine eklendiği görülmüştür. Böylece, doğrusal denklemler alt öğrenme alanına ait kazanımların aynı yıl içerisinde öğretilmesi hedeflenmiştir. Denklemler ile ilk defa karşılaşan ortaokul düzeyindeki öğrencilerin denklemleri anlama düzeylerinin ve yaptıkları hataların belirlenmesi ve buna uygun olarak eğitim-öğretimin planlanıp yapılması önem arz etmektedir. Ayrıca, ortaokul düzeyindeki öğrencilerin doğrusal denklemler konusunu anlamlandırarak öğrenmesi sonucunda, ilerleyen süreçte diğer cebir konularını öğrenmeleri de kolaylaşacaktır. Buradan yola çıkılarak, bu araştırmada özellikle de son yıllarda yapılan matematik dersi program değişikliklerinin ardından ortaokul öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve becerilerinin incelenmesine yer verilecektir. 82 Ortaokul matematik dersi cebir alanında son yıllarda yapılan birçok farklı araştırma (Akçay, 2015; Bike-Kalkan, 2014; Çavuş-Erdem, 2013; Erbaş, Çetinkaya ve Ersoy, 2009; Gür ve Kobak-Demir, 2015; Kalaç, 2016; Kutluca, Bulut ve Kılıç, 2016; Palabıyık ve Akkuş-İspir, 2011; Tekay ve Doğan, 2012; Yıldırım ve Albayrak, 2016) bulunmaktadır. Bu araştırmalardan Akçay (2015) tarafından yapılan çalışmada, Keller Planı kullanımının yedinci sınıf öğrencilerinin denklemler konusundaki başarılarına etkisini ortaya koymak amaçlanmıştır. Nitel araştırmanın kullanıldığı bu çalışma, toplam dokuz yedinci sınıf öğrencisi ile gerçekleştirilmiş ve araş-

tırma verileri toplam 10 açık uçlu soru üzerinden betimsel analiz aracılığı ile yapılan incelemeler sonucunda elde edilmiştir. Öğrencilerle üç hafta boyunca her ders süresince her bir hatayı gidermeye yönelik hazırlanmış etkinliklere dayalı bir öğretim gerçekleştirilmiştir. Yapılan incelemeler sonucunda, araştırma kapsamında etkinliklerin uygulanması ile öğrencilerin birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler konusundaki hatalarının azaldığı belirlenmiştir. Bike- Kalkan (2014), cebir öğrenme alanında yer alan doğrusal denklemler alt öğrenme alanından doğrusal ilişki ve eğim kavramlarına ilişkin sekizinci sınıf öğrencilerinin kavramsal anlama ve cebirsel muhakeme yapılarının belirlenmesi amacıyla bir çalışma yapmıştır. Çalışmaya katılan sekizinci sınıf öğrencilerine açık uçlu cebir testi uygulayarak ve öğrencilerle klinik görüşmeler yaparak araştırmanın verilerini toplamıştır. Elde edilen veriler incelendiğinde, öğrencilerin çoğunun doğrusal ilişki, doğrunun grafiği ve eğimi hakkında zorluk yaşadıkları ve kavram yanılgıları bulunduğu anlaşılmıştır. Ayrıca, öğrencilerin kavramları daha çok işlemsel boyutta algıladıkları ve benimsedikleri kavramların çoğunun ise ezber bilgi olduğu sonucu da ortaya çıkmıştır. Kalaç (2016) tarafından da, yedinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklem sistemleri konusunda hangi kavram yanılgılarına ve öğrenme güçlüklerine sahip olduklarını nicel anlamda ortaya çıkarmak amacıyla bir çalışma yapılmıştır. Test sonuçları ayrıntılı olarak soru bazında incelenip, öğrencilerin kavram yanılgıları ile öğrenme güçlükleri ortaya çıkarılmıştır. Kutluca, Bulut ve Kılıç (2016) ise, yaptıkları çalışma ile ortaokul yedinci sınıf doğrusal denklemler ve koordinat sistemi konusunda çoklu zeka kuramına göre hazırlanmış etkinlikleri tanıtmış ve öğrenci görüşlerini değerlendirmişlerdir. Bu kapsamda, yedinci sınıf öğrencilerine çoklu zeka kuramına uygun olarak geliştirdikleri etkinlikleri uygulamış ve öğrenci görüşlerini almak için anket oluşturmuşlardır. Çalışmanın sonucunda, öğrenciler genel olarak çoklu zeka etkinlikleri ile ders işlenişinin eğlenceli olduğunu, konunun etkinlikler ile öğretiminin daha kalıcı olacağını düşündüklerini belirtmiş ve ders işlenişinden memnun olduklarını da ifade etmişlerdir. Tekay ve Doğan (2012), yaptıkları çalışmada ilköğretim yedinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklem grafiklerini koordinat sistemine aktarma becerilerini incelemek istemiştir. Bu kapsamda, araştırmaya katılan öğrencilere bir test uygulanmış ve bu testin uygulanması sonucunda belirli kriterlere göre yapılmış olan değerlendirme sonucunda toplam üç öğrenci ile çalışma yapılmıştır. Çalışmanın sonucunda, denklemde yer alan değişkenlerin ifade ettiği anlamı kavramış bir öğrencinin denkleme ait grafiği çizerken zorlanmadığı, değişken kavramını tam olarak öğrenememiş veya ezberlemiş bir öğrencinin ise grafiği çizerken güçlükler yaşadığı raporlanmıştır. Yıldırım ve Albayrak (2016) da, ortaokul yedinci sınıf öğrencilerinin tablo, grafik ve denklem gibi farklı temsil biçimlerine göre iki değişken arasında doğrusal ilişki olup olmadığını belirleme ve doğrusal ilişki içeren gerçek yaşam durumlarına uygun farklı temsil biçimleri oluşturabilme becerilerini incelemek amacıyla bir çalışma yapmışlardır. Bu amaçla, çalışmaya katılan toplam 93 yedinci sınıf öğrencine açık uçlu sorulardan oluşan bir test uygulanmıştır. Elde edilen bulgular sonucunda, öğrencilerin doğrusal ilişki belirlemede, grafik temsilinde denklem ve tablo temsillerine göre anlamlı düzeyde daha başarılı olduğu açıklanmıştır. Ayrıca, doğrusal ilişki bulunan gerçek yaşam durumlarına ait tablo temsilini oluşturma becerilerinin, grafik ve denklem temsil biçimlerini oluşturma becerilerine göre anlamlı düzeyde daha yüksek olduğu da belirlenmiştir. 83 Literatür incelendiğinde, ortaokul cebir alanında yapılan çalışmaların genellikle yedinci sınıf düzeyinde gerçekleştirildiği ve veri toplamak için çoğunlukla çoktan seçmeli testlerin kullanıldığı görülmüştür (Çavuş-Erdem, 2013, Gür ve Kobak-Demir, 2015; Kutluca, Bulut ve Kılıç, 2016; Palabıyık ve Akkuş-İspir, 2011 vb.). Bu çalışmalardan farklı olarak, bu araştırma yedinci ve sekizinci sınıf düzeylerinde yapılmış bir çalışmadır ve verilerin toplanmasında açık

uçlu sorulardan yararlanılmıştır. Böylece sınıfsal karşılaştırma yapılarak, açık uçlu sorular yardımıyla konu ile ilgili detaylı analizler yapılmıştır. Bu yönleriyle, bu çalışmanın literatüre katkı getirebileceği düşünülmüştür. Bu kapsamda, bu araştırmada Türkiye'de Erzurum ilinde bulunan okullar arasından rastgele olarak belirlenen bir ortaokulun yedinci ve sekizinci sınıflarında öğrenim görmekte olan öğrencilerin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve beceri düzeyleri ile bu konudaki hata ve eksikliklerinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Bu amaçla, aşağıda yer alan araştırma sorularına cevap aranmıştır: 1. Yedinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve becerileri ne düzeydedir? 2. Sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve becerileri ne düzeydedir? 3. Yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve beceri düzeyleri arasında anlamlı bir farklılık var mıdır? 4. Yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusunda ortak olarak yaptıkları hatalar ve bu konudaki eksiklikleri nelerdir? YÖNTEM Yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki temel bilgi ve beceri düzeyleri ile bu konudaki hata ve eksikliklerinin belirlenmeye çalışıldığı bu araştırmanın deseni, çalışma grubu, veri toplama araçları, verilerin toplanması ve analizi aşamalarına ilişkin detaylı bilgilere bu kısımda yer verilmiştir. 84 Araştırma Deseni Var olan durumların ortaya çıkarılması amaçlandığından, bu araştırma nitel araştırma yöntemlerinden tarama türünde gerçekleştirilmiş bir araştırmadır. Tarama araştırmalarında, genel olarak incelenen grupların özellikleri sunulmakta ve ulaşılan araştırma bulguları detaylı olarak açıklanmaktadır. Aynı zamanda, tarama araştırması bir grubun özelliklerini belirlemek için verilerin toplanmasını amaçlayan çalışmalardır (Büyüköztürk ve diğerleri, 2009). Var olan bir durumu var olduğu şekliyle betimlemeyi amaçlarlar (Karasar, 2008). Çalışma Grubu Bu araştırmaya, 2017-2018 eğitim-öğretim yılı bahar döneminde Erzurum ilinde yer alan bir devlet okulu olan Mümtaz Turhan Ortaokulu'nda öğrenim görmekte olan 50'si yedinci sınıf öğrencisi ve 50'si de sekizinci sınıf öğrencisi olmak üzere toplam 100 öğrenci katılmıştır. Öğrencilerin araştırmaya katılma konusunda istekli olmalarına da özen gösterilmiştir. Verilerin Toplanması Bu çalışmada, öğrencilerin temel olarak doğrusal denklemleri anlama beceri düzeylerini ve denklem çözmedeki hatalarını tespit etmek amacıyla, araştırmacılar tarafından hazırlanan toplam sekiz tane açık uçlu soru içeren test öğrencilere yöneltilmiştir. Bu testin oluşturulmasında ilk olarak konu ile ilgili kazanımlar ele alınarak belirtke tablosu hazırlanmıştır. Hazırlanan belirtke tablosu yardımıyla, testin kapsam geçerliliği sağlanmaya çalışılmıştır. İkinci olarak uygulama öncesinde, hazırlanan soruların geçerlilik ve güvenirliğini arttırmak için dört adet ortaokul matematik öğretmeninin soruların uygunluğu konusundaki görüşüne başvurulmuştur.

Bu aşamada, uzmanlardan testteki soruların ifade ediliş biçimi ve zorluk derecesi ile Matematik Dersi Programı'nda yer alan kazanımlara uygunluğu açısından incelenmesi istenmiştir. Bu uzman görüşleri doğrultusunda sorular yeniden düzenlenmiş ve böylelikle teste son şekli verilmiştir. Hazırlanan test, araştırmaya katılan yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerine kendi sınıf ortamlarında bir ders saati süresince sınıf öğretmenleri tarafından uygulanmıştır. Verilerin Analizi Elde edilen verilerin analizinde betimsel analiz yöntemi kullanılmıştır. Betimsel analizde elde edilen bulgular düzenlenip, yorumlanmış bir biçimde okuyucuya sunulmaktadır. Veriler sistematik ve açık bir biçimde betimlenir, açıklanır, yorumlanır ve neden-sonuç ilişkileri irdelenerek birtakım sonuçlara ulaşılır. Ulaşılan sonuçlar temalar açısından ilişkilendirilip anlamlandırılır (Yıldırım ve Şimşek, 2005: 224). Bu araştırma kapsamında, uygulama yapıldıktan sonra elde edilen verilerin analizinde öncelikle öğrencilerin vermiş oldukları cevaplar sınıf seviyelerine göre doğru, hatalı ve eksik cevap olacak şekilde frekans ve yüzde değerleri olarak tablolaştırılmıştır. Boş bırakılan veya tamamen hatalı çözülen sorular hatalı, yarım bırakılan veya çözüm yolu doğru ama tam sonuca ulaşamayan cevaplar eksik ve tamamı doğru ya da ufak işlemsel hatalar yapılan cevaplar da doğru olarak kabul edilmiştir. Ardından, bu öğrenci cevap kağıtları Tablo1 de görüldüğü gibi sınıflandırılarak, puanlandırılmıştır. Tablo1. Öğrenci Cevaplarına Göre Puanlama Puan Öğrenci Cevaplarında Gözlenen Durumlar 2 Doğru cevabı verme 1 Eksik cevap verme/ Yarım bırakma 0 Boş veya hatalı cevap verme Araştırma kapsamında, öğrenciler tarafından alınabilecek en düşük puan 0 iken, en yüksek puan da 16'dır. Elde edilen puanlar; 0-5 arası düşük, 6-10 arası orta, 11 ve üzeri yüksek puan olarak gruplandırılmıştır. Öğrencilerin aldıkları puanlarla belirlenen başarı durumlarının sınıf seviyelerine göre değişip değişmediği, ki-kare testi ile analiz edilmiştir. Bu test ve analizler SPSS 22.0 programı aracılığı ile gerçekleştirilmiştir. Ayrıca, öğrencilerin tamamının yapmış olduğu hatalar ortak özellikler bakımından sıralı ikililerin (x,y) yerini karıştırma, denklem çözme güçlüğü ve grafik çizme güçlüğü alt başlıklarında toplanmıştır. 85 BULGULAR ve YORUMLAR Bu bölümde, araştırmaya katılan ortaokul yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklem konusundaki temel bilgilerini ve anlama düzeylerini ölçmek, uygulama yapılan sınıf seviyeleri arasında denklemler konusundaki başarı durumlarına göre farklılık olup olmadığını belirlemek ve yapılan ortak hataları tespit etmek amacıyla gerçekleştirilen incelemeler sonucunda elde edilen bulgular ve yorumlara yer verilmiştir. Birinci Araştırma Problemine İlişkin Bulgular Bu araştırma kapsamında ilk araştırma problemi "Yedinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve becerileri ne düzeydedir?" biçiminde verilmişti. Bu araştırma problemine cevap aranırken, araştırmaya katılan yedinci sınıf öğrencilerinin denklemler konusundaki bilgi ve becerilerini ölçmek için uygulanan açık uçlu sorulardan elde edilen verilere ilişkin doğru, eksik veya hatalı cevaplı çözümler değerlendirilmiş ve bu kısımda raporlanmıştır. Bu aşamada, boş bırakılan veya tamamen hatalı çözülen sorular hatalı, yarım bırakılan veya

çözüm yolu doğru ama tam sonuca ulaşamayan cevaplar eksik ve tamamı doğru ya da ufak işlemsel hatalar içeren cevaplar doğru olarak kabul edilerek aşağıdaki tabloda sunulmuştur. Tablo 2. Yedinci Sınıf Öğrencilerinin Cevaplarına İlişkin Betimsel Analiz Sonuçları Doğru Cevap Eksik Cevap Hatalı Cevap Sorular f % f % f % 1. soru 20 40.0 29 58.0 1 2.0 2. soru 18 36.0 9 18.0 23 46.0 3. soru 13 26.0 0 0.0 37 74.0 4. soru 35 70.0 6 12.0 9 18.0 5. soru 18 36.0 7 14.0 25 50.0 6. soru 32 64.0 3 6.0 15 30.0 7. soru 17 34.0 2 4.0 31 62.0 8. soru 10 20.0 8 16.0 32 64.0 Tablo 2 incelendiğinde, araştırmaya katılan yedinci sınıf öğrencilerinin en çok dördüncü (%70) ve altıncı (%64) sorulara doğru cevap verdiği görülmüştür. Öğrencilerin bu sorulara verdikleri doğru cevaplardan örneklere aşağıda yer verilmiştir. 86 Şekil 1. Yedinci Sınıf Öğrencilerinin Doğru Cevaplarından Örnekler Yedinci sınıf öğrencilerinin bu sorulara verdikleri cevaplar incelendiğinde, dördüncü soruda öğrencilerden koordinat sistemi üzerinde verilen noktaların koordinatlarını yazmaları istenmiştir. Bu aşamada, öğrencilerin çoğunluğunun bu soruyu doğru bir şekilde çözdükleri ve noktalardan eksenlere çizgiler çekerek koordinatları belirledikleri görülmüştür. Bu soruda öğrencilerin bir kısmı da, x ve y ikililerinin yerini karıştırdıkları için hata yapmışlardır. Altıncı soru ise, denklemde verilen bir değer için verilmeyen değeri hesaplama sorusudur. Öğrenciler bu soruyu başarılı bir şekilde cevaplayabilmiştir. Bu soruda, basit işlemsel hatalar göz ardı edilmiştir. Soruda hata yapan öğrencilerin çoğunluğunun denklem çözme konusunda zorluk çektikleri belirlenmiştir. Benzer şekilde Tablo 2 incelendiğinde, yedinci sınıf öğrencilerinin en çok birinci (%58) ve ikinci (%18) sorulara eksik cevap verdikleri görülmüştür. Öğrencilerin bu sorulara verdikleri eksik cevaplardan örneklere de aşağıda yer verilmiştir.

Şekil 2. Yedinci Sınıf Öğrencilerinin Eksik Cevaplarından Örnekler Bu sorulardan birincisinde, öğrencilerden koordinat sistemini çizmeleri ve açıklama yapmaları istenmiştir. Öğrencilerin büyük çoğunluğu yalnızca koordinat sistemini çizmiştir, bir kısmı ise sadece açıklama yazmıştır. Bu durum, öğrencilerin dikkatli okuma ve anlama becerilerinin yeterli olmadığına işaret etmektedir. Bu nedenle, bu soruyu öğrencilerin yarısından fazlası eksik olarak cevaplandırmıştır. İkinci soruda ise, öğrencilerden koordinat sistemini çizip verilen noktaları koordinat sistemi üzerinde göstermeleri istenmiştir. Öğrencilerin bir kısmı, soruda verilen dört noktadan birkaç tanesini gösterip soruyu yarım bırakmıştır. Gösterilmeyen noktaların genellikle eksen üzerinde olan noktalar olduğu tespit edilmiştir. Bu durum ise, öğrenciler sıfır koordinatlı noktaları yerleştirme konusunda sıkıntı çektiklerine işaret etmektedir. 87 Benzer şekilde, yedinci sınıf öğrencilerinin en çok üçüncü (%74) ve sekizinci (%64) sorulara hatalı cevap verdiği görülmüştür (Tablo 2). Öğrencilerin bu sorulara verdikleri hatalı cevaplardan örneklere aşağıda yer verilmiştir. Şekil 3. Yedinci Sınıf Öğrencilerinin Hatalı Cevaplarından Örnekler

Yüksek oranda hata yapılan bu sorular incelendiğinde, araştırma kapsamına alınan üçüncü soruda öğrencilerin x ekseni üzerinde bir nokta verildiğinde, bu noktanın y eksenindeki değerinin sıfır olduğunun farkında olup olmadıklarının incelenmesi istenilmiştir. Öğrencilerin büyük çoğunluğu bu soruda y değerini direkt 5 ya da -5 olarak almışlardır. Buradan da, araştırmaya katılan yedinci sınıf öğrencilerinin soruyu dikkatli okumadıkları ve eksenler üzerindeki noktalar hakkında bir fikre sahip olmadıkları anlaşılmıştır. Sekizinci soru, doğrusal denklem grafiği çizmeyi gerektiren bir sorudur. Öğrencilerin bu soruyu hatalı cevaplamaları da, grafik çizme konusunda oldukça güçlük çektiklerini gösterir niteliktedir. Bazı öğrenciler de, bu soruda sadece koordinatları belirlemiş fakat çizime devam etmemişlerdir. İkinci Araştırma Problemine İlişkin Bulgular Bu araştırma kapsamında yer alan ikinci araştırma problemi "Sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve becerileri ne düzeydedir?" biçimindedir. Bu araştırma problemine cevap aranırken, araştırmaya katılan sekizinci sınıf öğrencilerinin denklemler konusundaki bilgi ve becerilerini ölçmek için uygulanan açık uçlu sorulardan elde edilen verilere ilişkin doğru, eksik veya hatalı cevaplı çözümler değerlendirilmiş ve bu kısımda yüzde ve frekans değerleri ile birlikte aşağıdaki tabloda sunulmuştur. Tablo 3. Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Cevaplarına İlişkin Betimsel Analiz Sonuçları Doğru Cevap Eksik Cevap Hatalı Cevap Sorular f % f % f % 1. soru 21 42.0 23 46.0 6 12.0 2. soru 26 52.0 8 16.0 16 32.0 3. soru 17 34.0 3 6.0 30 60.0 4. soru 42 84.0 5 10.0 3 6.0 5. soru 19 38.0 4 8.0 27 54.0 6. soru 32 64.0 2 4.0 16 32.0 7. soru 12 24.0 5 10.0 33 66.0 8. soru 23 46.0 13 26.0 14 28.0 Yukarıda yer verilen Tablo 3 incelendiğinde, araştırmaya katılan sekizinci sınıf öğrencilerinin en çok dördüncü (%84) ve altıncı (%64) sorulara doğru cevap verdiği görülmüştür. Öğrencilerin bu sorulara verdikleri doğru cevaplardan örnekler aşağıda verilmiştir. 88 Şekil 4. Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Doğru Cevaplarından Örnekler

Dördüncü soruda, öğrencilerin koordinat sistemi üzerindeki noktaların konumlarını rahatlıkla bulabildikleri görülmüştür. Bu soruda, genellikle x ve y ikilisinin yerini karıştırma sonucunda bazı öğrencilerin hata yaptıkları belirlenmiştir. Altıncı soruda, denklemde yerine koyup bilinmeyeni bulma konusunda öğrenciler lise sınavlarına hazırlandıkları için pratik şekilde çözüme ulaşmışlardır. Bununla birlikte, öğrenci çözümlerinin birçoğunda çeşitli işlemsel hatalara da rastlanmıştır. Tablo 3 incelendiğinde, sekizinci sınıf öğrencilerinin en çok birinci (%46) ve sekizinci (%26) sorulara eksik cevap verdiği görülmüştür. Öğrencilerin bu sorulara verdikleri eksik cevaplardan örnekler de aşağıda sunulmuştur. Şekil 5. Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Eksik Cevaplarından Örnekler 89 Birinci soruda, yedinci sınıf öğrencilerinde olduğu gibi sekizinci sınıf öğrencileri de soruyu okuyup tam anlamadan çözüme geçmişlerdir. Bu nedenle de, soruda istenilen çözümü tam olarak yapamayıp soruyu eksik cevaplamışlardır. Bu durum, öğrencilerin bir kavrama ilişkin tanım yazma ve bir ifadeyi açıklama becerilerinin zayıf olduğuna işaret etmektedir. Sekizinci soruda, birçok öğrencinin grafik için x ve y değerlerini bulup, koordinat sistemi üzerinde gösterdikleri, fakat grafiği çizemedikleri görülmüştür. Tablo3 incelendiğinde, sekizinci sınıf öğrencilerinin en çok 7.(%66) ve 3.(%60) sorulara hatalı cevap verdiği görülmüştür. Öğrencilerin bu sorulara verdikleri hatalı cevaplardan örnekler aşağıda verilmiştir. Şekil 6. Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Hatalı Cevaplarından Örnekler

Yedinci soruda, öğrencilerden verilen bir noktanın doğru üzerinde olmasıyla, verilmeyen bir değeri bulmaları istenmiştir. Öğrencilerin bazıları x ve y ikililerinin yerini karıştırdıkları için soruyu hatalı cevaplamıştır. Bazıları ise, bir fikri olmadığı için soruyu boş bırakmıştır. Öğrencilerin doğru üzerindeki bir noktanın koordinatlarının, bu doğru denklemine yazıldığında bu denklemi sağlayacağını unuttukları ya da bazı kavram karışıklıklarının olduğu düşünülmektedir. Üçüncü soruda da, x ekseni üzerinde verilen bir noktanın y değerinin sıfır olacağı özelliği ile ilgili bir sorudur. Öğrencilerin çoğunluğu, x ve y değerlerini karıştırmış ve çeşitli hatalar yapmışlardır. Bazı öğrenciler de, yedinci sınıf öğrencilerine benzer şekilde b değerini görmezden gelmiş, y değerini 5 ve -5 olarak almıştır. Bu durum da, öğrencilerin okuduklarını anlama ve dikkat becerilerinin zayıf olduğuna işaret etmektedir. Bununla birlikte, bazı öğrenciler tam sayılar konusunu baz alarak 7-5 ya da 7-(-5) şeklinde işlemler yapmışlardır. Bu durum da, bu öğrencilerin kavram yanılgılarını tam sayılar konusuyla birleştirdiklerine işaret etmektedir. Üçüncü Araştırma Problemine İlişkin Bulgular Bu araştırma kapsamında yer alan üçüncü araştırma problemi "Yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve beceri düzeyleri arasında anlamlı bir farklılık var mıdır?" biçimindedir. Bu araştırma problemine cevap aranırken, araştırmaya katılan yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin denklemler konusundaki bilgi ve becerilerini ölçmek için uygulanan açık uçlu sorulardan elde edilen başarı puanları üzerinden istatistiksel analizler yapılmıştır. Bu kapsamda, yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin denklemler konusundaki bilgi ve beceri düzeyleri arasında anlamlı bir farklılık olup olmadığını analiz etmek için ki-kare testi gerçekleştirilmiştir (Tablo 4 ve 5). 90 Tablo 4. Öğrencilerin Aldıkları Puanlara Göre Başarı Durumları Başarı Durumu Düşük Orta Yüksek Toplam Sınıf Düzeyi f % f % f % f % Yedinci sınıf 18 36 20 40 12 24 50 100 Sekizinci sınıf 24 48 13 26 13 26 50 100 Toplam 42 84 33 66 25 50 100 200 Tablo 4 incelendiğinde, yedinci sınıf öğrencilerinin başarı düzeylerinin %36 oranında düşük, %40 oranında orta ve %24 oranında ise yüksek düzey başarı olarak sıralandığı görülmektedir. Sekizinci sınıf başarı düzeyleri ise, %48 oranında düşük, %26 oranında orta ve %26 oranında yüksek düzey başarı olarak sıralanmıştır. Öğrencilerin sınıf düzeylerine göre doğrusal denklem konusundaki başarı durumları arasında anlamlı bir farklılık olup olmadığı ki-kare testi ile analiz edilmiş ve analiz sonuçları da Tablo 5'te sunulmuştur. Tablo 5. Başarıların Sınıf Düzeylerine Göre Değişimine İlişkin Ki-Kare Testi Sonuçları Df P Pearson Ki-Kare Testi 2.382 2.304 Olabilirlik Oranı 2.396 2.302 N 100 1

Elde edilen ki-kare testinin sonucunda; anlamlılık değeri p=.304>.05 bulunduğundan, sınıf düzeyleri arasında doğrusal denklemler konusundaki sorulara verdikleri cevaplardan elde edilen başarı puanları yönünden anlamlı bir farklılık bulunmamıştır. Dördüncü Araştırma Problemine İlişkin Bulgular Bu araştırma kapsamında yer alan dördüncü araştırma problemi "Yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin ortak olarak yaptıkları hatalar nelerdir?" biçimindedir. Bu araştırma problemine cevap aranırken, araştırmaya katılan yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin kendilerine yöneltilen sorulara verdikleri hatalı cevaplar incelenmiş ve ortak yapılan hatalar belirlenerek bu kısımda sunulmuştur. Yapılan incelemeler sonucunda, bu araştırmanın yapıldığı öğrencilerin temel olarak doğrusal denklemler konusunda öğrenme zorlukları bulunduğu anlaşılmıştır. Öğrencilerin sürekli tekrarlayarak yapmış oldukları hatalar da ortak özellikler bakımından üç alt başlıkta toplanmıştır. Bu başlıklar; sıralı ikililerin (x,y) yerini karıştırma, denklem çözme güçlüğü ve grafik çizme güçlüğü olarak ifade edilebilir. Bu başlıklar aşağıda sırasıyla incelenmiştir. 1. Sıralı İkililerin (x,y) Yerini Karıştırma Koordinat sistemindeki x ve y ikililerinin yerini karıştıran öğrencilerin yapmış oldukları hatalar bu başlık altında incelenmiştir. Öğrencilerin testte vermiş oldukları cevaplar incelendiğinde, en çok hatanın x ve y ikilisinin sırasını karıştırmaları sonucunda gerçekleştiği görülmüştür. Bu konuda öğrencilerin yapmış oldukları hatalardan örnekler de aşağıda sunulmuştur. 91 Şekil 7. İkililerin Yerini Karıştırmaya İlişkin Hatalı Cevaplardan Örnekler Yukarıda yer verilen bu örnekler incelendiğinde, öğrencilerin x ve y ikililerinin yerini karıştırmaları sonucunda koordinat bulma, denklem çözme, grafik çizme gibi birçok konuda hata yaptıkları görülmüştür. Denklemler konusunda koordinat sistemi temel bir kavramdır. Bu nedenle, sıralı ikili kavramının iyi öğrenilmesi ileride oluşacak birçok hatayı engelleyebilir.

2. Denklem Çözme Güçlüğü Yapılan incelemelerde, öğrencilerin x ve y ikililerinden birinin değeri verildiğinde, verilmeyenin değerini bulmada zorluk yaşadığı ve hatalar yaptığı belirlenmiştir. Aşağıda, bu konuda öğrencilerin yapmış oldukları hatalardan örnekler verilmiştir. 92 Şekil 8. Denklem Çözme Güçlüğüne İlişkin Hatalı Cevaplardan Örnekler Yukarıda yer alan örnekler incelendiğinde, öğrencilerin bazılarının işlem yapma becerilerinin gelişmemesi ve dikkatsizlik nedenleri ile hatalar yaptıkları görülmüştür. Öğrencilerin x ve y değerlerini yerine koymada sıkıntı yaşadıkları tespit edilmiştir. Hataların bir kısmının da, tam sayılar konusunun iyi öğrenilmemesinden kaynaklı hatalar olduğu görülmüştür. Bunun sonucunda, öğrencilerin tam sayılar konusuna yönelik işlemsel hatalarda bulundukları da bu kısımda belirlenmiştir. 3. Grafik Çizme Güçlüğü Bu araştırma kapsamında yapılan incelemelerde, verilen bir doğrusal denkleme ait grafiği çizmede birçok hata yapıldığı tespit edilmiştir. Bu konuda öğrencilerin yapmış oldukları hatalardan örnekler ise aşağıda sunulmuştur. Şekil 9. Grafik Çizme Güçlüğüne İlişkin Hatalı Cevaplardan Örnekler-I

Şekil 10. Grafik Çizme Güçlüğüne İlişkin Hatalı Cevaplardan Örnekler-II Yapılan hatalar incelendiğinde; öğrencilerin grafiğin ne anlama geldiğini bilmedikleri, grafik çizmek için öncelikle hangi değerlerin bulunması gerektiğini bilmedikleri, aynı zamanda denklem değerlerini bulmak için denklemi çözerken öğrencilerin işlemsel olarak çok fazla hata yaptıkları tespit edilmiştir. Bu hataların çoğunluğunun tam sayılar konusunun iyi öğrenilmemesinden kaynaklı hatalar olduğu da yapılan incelemelerden anlaşılmıştır. Aynı zamanda, sıralı ikilileri koordinat sistemi üzerine yerleştirmede de hatalar yapıldığı ve bundan dolayıda grafiğin hatalı çizildiği tespit edilmiştir. Birçok öğrencinin bu soruyu boş bırakmış olması da, öğrencilerin grafiğe dair hiçbir fikirleri olmadığına ve grafiği çizemediklerine işaret etmektedir. SONUÇ ve ÖNERİLER 93 Bu araştırmada, Erzurum ilinde bulunan okullar arasından rastgele olarak belirlenen bir ortaokulun yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki bilgi ve beceri düzeyleri incelenmiş ve bu konudaki hata ve eksiklikleri belirlenmiştir. Bu kısımda, öğrenci cevapları değerlendirilmiş ve araştırmadan elde edilen sonuçlar bu kısımda sorular açısından tek tek ele alınarak açıklanmıştır. Bu araştırma kapsamında yer alan ilk soruda, öğrencilerden koordinat sistemini çizip açıklamaları istenilmiştir. Yapılan incelemeler, öğrencilerin çoğunluğunun bu soruya eksik cevap verdiğini göstermiştir. Bu aşamada, bazı öğrenciler yalnızca koordinat sistemini çizmiş, bazıları ise yalnızca açıklama yazmıştır. Bu durum, öğrencilerin dikkat etme ve okuduğunu anlama becerilerinin yetersiz olduğuna işaret etmektedir. İkinci soruda, öğrencilerden verilen noktaların koordinat sistemi üzerinde gösterilmesi istenmiştir. Bu soruda, öğrencilerin çoğunluğunun x ve y ikililerinin yerini karıştırdıkları için hata yaptıkları görülmüştür. Bu sorunun tam tersi olan dördüncü soruda ise, öğrencilerden koordinat sistemi üzerinde verilen noktaların koordinatlarını yazmaları istenmiştir. Bu soru, ikinci soruya göre daha fazla oranda çözülmüştür. Bununla birlikte, yine x ve y ikililerinin yerini karıştırmaktan kaynaklı çeşitli hatalar yapılmıştır. Üçüncü soruda, öğrencilerin eksenler üzerindeki noktaların özelliğini bilip bilmemeleri ölçülmüştür. Yapılan incelemeler de, birçok öğrencinin bu soruyu tam sayılar konusu ile birleştirdikleri ve çeşitli işlemsel hatalar yaptıkları belirlenmiştir. Aynı işlemsel hatalar, altıncı (denklemde verilen bir değer ile verilmeyen değeri hesaplama sorusu) ve yedinci (bir noktanın denklem üzerinde olup, denklemi sağlama sorusu) sorularda da tekrar etmiştir. Bununla birlikte, altıncı ve yedinci sorularda öğrenciler eşitliklerin bir tarafındaki ifadeyi, eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirmeden geçirme biçiminde hatalar yapmışlardır. Ulaşılan bu sonuç, Çavuş-Erdem (2013) tarafından gerçekleştirilen çalışma sonucunda elde edilen birinci dereceden denklemler

konusuna ilişkin sonuçlarla benzerlik göstermektedir. Son olarak da, sekizinci soruda öğrencilerden bir denkleme ait grafiği çizmeleri istenmiştir. İncelemeler de, çok sayıda öğrencinin grafiğin ne anlama geldiğini bilemediği rapor edilmiştir. Aynı şekilde, birçok öğrencinin bu soruyu boş bıraktığı ve soruya dair fikirlerinin olmadığı da açıklanmıştır. Ulaşılan bu sonuç, Kalaç (2016)'ın denklemler üzerine yapmış olduğu çalışmanın sonucunda elde edilen hataların tam sayılar, denklemler, grafik okuma gibi konuların ön öğrenmelerinde oluşan kavram yanılgılarından ve öğrenme güçlüklerinden kaynaklandığı sonucu ile benzerlik göstermektedir. Bununla beraber, Akçay (2015) tarafından yapılan bir çalışmanın sonucunda da, yedinci sınıf öğrencilerinin denklemler konusundaki başarılarının düşük olduğu ve öğrencilerin bu konudaki soruları çözmede zorluk çektikleri sonucu ile de örtüşmektedir. Bu hataların önüne geçmek için, doğrusal denklemler konusuna geçiş yapmadan önce öğrencilerin tam sayılar, grafik okuma, denklemler konularındaki eksik ve hatalı öğrenmeleri ile kavram yanılgıları ve öğrenme güçlükleri tespit edilip düzeltilebilir. Sınıf seviyelerine göre, öğrencilerin başarı durumlarındaki farklılıkların incelenmesine yönelik olarak yapılan analiz sonuçları da, yedinci ve sekizinci sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemlere ilişkin olarak kendilerine yöneltilen sorulara verdikleri cevaplardan elde edilen başarı puanlarının anlamlı bir düzeyde farklılaşmadığını göstermiştir. Başka bir ifadeyle, araştırmaya katılan öğrencilerin doğrusal denklemler konusuna ait temel bilgilerinin birbirine yakın seviyede olduğu belirlenmiştir. Her iki sınıf düzeyinde de düşük başarıya sahip olan çok sayıda öğrenci bulunduğu ve bu öğrenci hatalarının sıralı ikililerin (x,y) yerini karıştırma, denklem çözme güçlüğü ve grafik çizme güçlüğü başlıkları altında toplanabileceği de bu araştırmada raporlanmıştır. Bu başlıklar altında, öğrencilerin yapmış oldukları hataları farklı araştırmalarla analiz ederek, eğitim ve öğretim sürecine katkı sağlanabilir. Farklı öğretim yöntemleri ile öğrencilerin bu güçlük ve hataları düzeltilebilir. Ayrıca, denklemlerin soyut yapısı dikkate alındığında, kavramların somutlaştırılması ve günlük hayat ile ilişkilendirilmesinin motivasyonu, merakı ve matematik başarısının arttırılmasında etkili olduğu söylenebilir (Cinislioğlu, 2017). Buradan hareketle, öğrencilerin özellikle x ve y ikililerini karıştırmalarında, günlük hayattan verilecek çeşitli örneklerle kavramlar anlamlandırılarak öğretilebilir. Öğrencilerin denklem çözme konusundaki işlemsel hatalarının önüne geçilmesi için de, tam sayılar konusu gibi temel işlemsel özelliklerin yer aldığı konuların iyi öğretilmesinin bu konudaki hataları engelleyebileceği düşünülmektedir. Buna ilave olarak, öğrencilerin x ve y değişkenlerinin yerlerini ezbere öğrendikleri için çeşitli hatalar yaptıkları ve bu değişkenlerin yerlerini karıştırdıkları düşünülmektedir. Eğer bu kavramlar, ezberlenmeden anlamlandırılarak öğrenilirse kalıcı öğrenmeler gerçekleşebilir. Öğretmenler derste öğrencilere konuya ilişkin açık uçlu sorular yönelterek, öğrencilerin kuralları nasıl algıladıklarını belirleyip, öğretimi buna göre planlayarak olası yanılgıların önüne geçebilirler (Çavuş-Erdem, 2013). Farklı matematik konuları için benzer çalışmalar yapılarak, öğrencilerin belirlenen konu üzerindeki en çok tekrar ettikleri hatalar ortaya koyulabilir ve çözüm önerileri sunulabilir. 94

KAYNAKLAR Akçay, E. (2015). Keller Planına uygun tasarlanmış bir öğrenme ortamının 7. sınıf öğrencilerinin denklemler konusundaki başarılarına etkisi (Yayımlanmamış Yüksek Lisans Tezi). Marmara Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, İstanbul. Akkan, Y. (2009). İlköğretim Öğrencilerinin Aritmetikten Cebire Geçiş Süreçlerinin İncelenmesi. (Yayımlanmamış Doktora Tezi). Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Trabzon. Akkaya, R. ve Durmuş, S. (2006). İlköğretim 6-8. sınıf öğrencilerinin cebir öğrenme alanındaki kavram yanılgıları. Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 31, 1-12. Bağdat, O. (2013). İlköğretim 8. sınıf öğrencilerinin cebirsel düşünme becerilerinin solo taksonomisi ile incelenmesi (Yayımlanmamış Yüksek Lisans Tezi). Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Eskişehir. Bike-Kalkan, D. (2014). Sekizinci sınıf öğrencilerinin kavramsal anlama ve cebirsel muhakeme yapıları (Yayımlanmamış yüksek Lisans Tezi). Anadolu Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Eskişehir. 95 Büyüköztük, Ş., Akgün, Ö.E., Karadeniz, Ş., Demirel, F. ve Kılıç-Çakmak, E. (2009). Bilimsel araştırma yöntemleri. Ankara: Pegem Akademi Yayınları. Cinislioğlu, B. (2017). Matematiksel modelleme yöntemi ile doğrusal denklemler konusunun öğretiminin ortaokul üçüncü sınıf öğrencilerinin akademik başarısına etkisi. Atatürk Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Erzurum. Çavuş-Erdem, Z. (2013). Öğrencilerin denklem konusundaki hata ve kavram yanılgılarının belirlenmesi ve bu hata ve yanılgıların nedenleri ve giderilmesine ilişkin öğretmen görüşleri (Yayımlanmamış Yüksek lisans Tezi). Adıyaman Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Adıyaman. Dede, Y. ve Peker, M. (2007). Öğrencilerin cebire yönelik hata ve yanlı anlamaları: matematik öğretmen adaylarının bunları tahmin becerileri ve çözüm önerileri. İlköğretim Online Dergisi, 6(1), 35-49. Dede, Y., Yalın, H.İ. ve Argün, Z. (2002). İlköğretim 8. sınıf öğrencilerinin değişken kavramının öğrenimindeki hataları ve kavram yanılgıları. V. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi kitapçığında yayınlanmış bildiri (s. 16-18), Ankara.

Erbaş, A.K., Çetinkaya, B. ve Ersoy, Y. (2009). Öğrencilerin basit doğrusal denklemlerin çözümünde karşılaştıkları güçlükler ve kavram yanılgıları. Eğitim ve Bilim Dergisi, 34(152), 44-59. Gür, H. ve Kobak-Demir, M. (2015). 7. Sınıf Matematik Ders Kitapları Cebir Kazanımlarının Ön Örgütleyiciler Açısından İncelenmesi. Bartın Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 4(1), 83-100. Kalaç, S. (2016). 7. Sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemler konusundaki kavram yanılgıları ve güncel çözüm önerileri (Van ili örneği). Yüzüncü Yıl Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Van. Karasar, N. (2008). Bilimsel araştırma yöntemi: Kavramlar-ilkeler-teknikler. Ankara: Nobel Akademik Yayınları. Kaya, D. ve Keşan, C. (2014). İlköğretim seviyesindeki öğrenciler için cebirsel düşünme ve cebirsel muhakeme becerisinin önemi. International Journal of New Trends in Arts, Sports & Science Education, 3(2), 38-48. Kutluca, T., Bulut, İ. ve Kılıç, Z. (2016). Çoklu Zekâ Kuramının Kullanılabilirliğine İlişkin Öğrenci Görüşlerinin Değerlendirilmesi: Doğrusal Denklemler ve Koordinat Sistemi. Batman Üniversitesi Yaşam Bilimleri Dergisi, 6(2), 245-257. 96 Milli Eğitim Bakanlığı (2013). İlköğretim Matematik Dersi 5., 6., 7.ve 8. Sınıf Öğretim Programı. Ankara: Milli Eğitim Bakanlığı Talim Terbiye Kurulu Başkanlığı. MEB (2018). Matematik Dersi Öğretim Programı (İlkokul ve ortaokul 1, 2, 3, 4, 5, 7 ve 8. sınıflar). Ankara: Milli Eğitim Bakanlığı Talim Terbiye Kurulu Başkanlığı. Palabıyık, U. ve Akkuş-İspir, O. (2011). Örüntü temelli cebir öğretiminin öğrencilerin cebirsel düşünme becerileri ve matematiğe karşı tutumlarına etkisi. Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 30, 111-123. Tekay, T. ve Doğan, M. (2015). İlköğretim 7. sınıf öğrencilerinin doğrusal denklemlerin grafikleri ile ilgili soruları çözme becerilerinin değerlendirilmesi. Matematik Eğitim Dergisi, 2(1). Türk Dil Kurumu (2017). Türkçe Sözlük. Ankara. Yıldırım, Z. ve Albayrak, M. (2016). Ortaokul öğrencilerinin farklı temsil biçimlerine göre doğrusal ilişki konusunu anlama düzeylerinin incelenmesi. Adnan Menderes Üniversitesi Eğitim Bilimleri Dergisi, 7(2), 11-26.

Yıldırım,A. ve Şimşek, H. 82005). Sosyal bilimlerde nitel araştırma yöntemleri(beşinci Basım). Ankara: Seçkin Yayıncılık. 97