42
Bölüm 6 Ders 06 147 /6 y-ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anında (zaman sn, uzaklık cm cinsinden olsun) bulunduğu noktanın ordinatı f (x) = 2x 4 8x 3 7 olarak veriliyor. a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz. c) Hızın 0 olduğu anları bulunuz. Çözüm: a) Anlık hız fonksiyonu f (x) = 8x 3 24x 2 dir b) x = 2 deki hız: f (2) = 8.2 3 24.2 2 = 64 96 = 32 ve x = 5 anında hız: f (5) = 8.5 3 24.5 2 = 1000 600 = 400 bulunur. c) Hızın 0 olduğu anlar türevin 0 olduğu yerlerdir. Öyleyse, f (x) = 0 x1, x2 = 0, x3 = 3 dir. 147 /7 f (a+h) f (a)h+ f (a) yaklaşım formülünü kullanarak aşağıdakiler için yaklaşık değerler bulunuz: 7a) f (x) = x, f (x) = 1 2 x dersek 125 = 121 + 4 biçiminde yazabiliriz. Yaklaşım formülünü uygularsak, 121 + 4 4 2 + 121 olur. Burdan 121 125 4 22 + 11 = 11 + 0.1818 = 11.1818 bulunur. 43
44 BÖLÜM 6. DERS 06 7b) f (x) = 3 x = x 1 3, f (x) = 1 3 x 2 3 = 1 formülü kullanılırsa, 3 3 730 = 729 + 1 f (729) 1 + 3 729 1 = 3 3 + 3 9 3 (9 3 ) 2 = 1 3.81 + 9 = 9.00411 3 3 x 2, f (a + h) f (a) h + f (a) 7d) f (x) = 3 x = x 1 3, f (x) = 1 3 x 2 3 = 1 formülü kullanılırsa, 3 3 x 2, f (a+h) f (a) h+f (a), a = 1000, a+h = 1000 1, h = 1 3 3 999 = 1000 1 f (1000) ( 1) + 3 1000 1 = 3 3 ( 1) + 3 10 3 (10 3 ) 2 = 1 3.100 + 10 = 9.9967
147 /8 Bir şirket otomobiller için vites kutusu üretmektedir. Ayda x adet vites kutusu üretildiği takdirde toplam gider M(x) = 50000+600x 0.75x 2 olarak veriliyor. Buna göre; a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz b) M (200) ü bulunuz ve bulduğunuz sonucu yorumlayınız. c) 201.vites kutusunu üretmek için gerçek gideri hesaplayınız ve bulduğunuz sonucu bundan önceki şıkta bulduğunuz marjinal gider ile karşılaştırınız. 45 Çözüm: Şekil 6.1: Maliyet fonksiyonu a) Marjinal gider fonksiyonu gider fonksiyonun türevidir: M (x) = 600 1.50x olur. b) M (200) = 600 (1.50)(200) = 300 olur. Bu değer 200 vites kutusu üretildikten sonra 201. vites kutusunun üretimi için gereken giderin yaklaşık değeridir. c) Gerçek gider: M(201) = 50000 + (600)(201) (0.75)(201 2 ) = 50000 + 120600 30300.8 = 140299.2
46 BÖLÜM 6. DERS 06 M(200) = 50000 + 600(200) 0.75(200 2 ) = 50000 + 120000 30000 = 140000 M(201) = 50000 + 600(201) 0.75(201 2 ) = 50000 + 120600 30300.8 = 1400299.2 201. malın üretimi için gerçek gider: M(201) M(200) = 140299.2 140000 = 299.2
147 /9 x adet radyo satılırsa elde edilen gelir G(x) = 100x 0.025x 2 TL olarak veriliyor. 47 Şekil 6.2: Gelir fonksiyonu a) G(1600) = 160000 64000 = 96000 Marjinal gelir fonksiyonu: G (x) = 100 0.50x dir. b) G (1600) = 100 (0.50)(1600) = 100 80 = 20 ve G (2500) = 100 (0.050)(2500) = 100 125 = 25 olur. G(1601) G(1600) = 20 ve G(2501) G(2500) = 25 1600 üründe gelirde 25 TL artma olur 2500 üründe gelirden 25 TL azalma olur.
48 BÖLÜM 6. DERS 06 147 /10 x adet fotoğraf makinesi satılırsa elde edilen kâr K (x) = 800 + 10x 0.925x 2 TL olarak veriliyor. Şekil 6.3: 6-10. Kâr fonksiyonu a) Kâr fonksiyonu: K (x) = 800 + 10x 0.025x 2 Marjinal kâr fonksiyonu: K (x) = 10 0.05x dir. b) K (150) = 10 (0.05)(150) = 2.5 ve K (250) = 10 (0.05)(250) = 2.5 olur. Kâr ın max olduğu yer K (x) = 0 = 10 1.85 5.40541 noktasıdır. Bu nok-
tanın sağında ve solunda köklere kadar kâr pozitif, sonra negatif olur. x = 150 ve x = 250 noktaları kökler dışında olduğu için her iki noktada kâr negatiftir. 49
50 BÖLÜM 6. DERS 06 147 /11 Dizüstü bilgisayar üreten bir şirketin bir ayda her biri p TL den x adet bilgisayar satılabileceğini varsayarak üretim yapması durumunda fiyattalep denklemi x = 300 0.2p olarak belirliyor. x adet bilgisayarın üretimi için aylık toplam gider M(x) = 15000 + 1000x TL olarak veriliyor. Şekil 6.4: Maliyet fonksiyonu a) Fiyat-talep fonksiyonunu ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz: b) x adet bilgisayar satılması durumund elde edilecek gelir G(x) ve kâr K (x) fodeğerlerini hesaplayınız. c) Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz. ç) M (x),g (x),k (x) değerlerini bulunuz. Çözüm: a) Fiyat-talep fonksiyonu x = 300 0.2p olarak verilmiştir. x bağımlı, p bağımsız değişken olarak düşünüldüğünde, bu fonksiyon her gerçel p değeri için tanımlıdır. x = 300 0.2p 0.2p = 300 x p(x) = 1500 5x, 0 < x < 300 bulunur. p(x) fiyat-talep fonkiyonu 0 < x < 300 için tanımlıdır.
51 b) G(x) = xp(x) = x(1500 5x) = 1500x 5x 2 K (x) = G(x) M(x) K (x) = 1500x 5x 2 (15000 + 1000x) = 15000 + 500x 5x 2 c) M (x) = 1000, G (x) = 1500 10x ç) max gelir G (x) = 0 olduğu x = 150 noktasında oluşur: G(150) = 112500 olur. Maksimum kâr K (x) = 0 olduğu x = 50 nokrasında oluşur. K (50) = 0 ve K (50) = 15000 + 25000 5.2500 = 2500 olur.
52 BÖLÜM 6. DERS 06 147 /12 Bir şirket üreteceği x adet ürünün tamamını satacağını varsayarsa, fiyattalep ve gider fonksiyonlarının, sırasıyla, p(x) = 2000 10x ve M(x) = 24000 + 1200x 5x 2 olacağını tesbit ediyor. a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz b) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz. Gelir fonkiyonunun grafiğini çiziniz. c) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz..kâr fonkiyonunun grafiğini çiziniz. c) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyesinde ortaya çıkar? d) 101.üründen sağlanacak gelirin ve kârın yaklaşık değerlerini bulunuz. Şekil 6.5: Maliyet fonksiyonu Çözüm:
Şekil 6.6: Gelir fonksiyonu 53
54 BÖLÜM 6. DERS 06 Şekil 6.7: Kar fonksiyonu a)m (x) = 1200 10x b)g(x) = xp(x) = x(200 10x) = 2000x 10x 2 G (x) = 2000 20x x = 100 G (100) = 0 c)k (x) = G(x) M(x) = 2000x 10x 2 24000 1200x = 24000 + 800x 5x 2 cc)g (x) = 0 x = 100 G (100) = 200000 10(100 2 ) = 100000 G(100) = 1000 K (x) = 0 800 10x = 0 x = 80 K (80) = 800 20( 40) = 0, K ( 40) = 15000 800( 40) 10(1600) = 1000 d)g(80) = 5(80 2 ) + 1200(80) 24000 = 155995 G (101) = 200 10(101) = 20 K (100 = 80 10(100) = 920 G(x + 1) g (x) = g 8x) yaklaşık gelir K (x + 1) K (x) = K (x) kâr farkı K (101) = 800 10(101) = 210 zarar
147 /13 Bir şirketin ayda her biri p TL denx adet ürün satılabileceğini varsayarak üretim yapması durumunda fiyat-talep fonksiyonu p(x) = 1000 5x, 0 < x < 200 ve x adet ürünün üretimi için toplam gider M(x) = 30000+50x TL olarak veriliyor. 55 a) Marjinal gider fonksiyonunu belirleyiniz: b) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz; gelir fonksiyonunun grafiğini çiziniz. c) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz; kâr fonksiyonunun grafiğini çiziniz ç) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim düzeylerinde ortaya çıkar? d) M (90), G (90), K (90) değerlerini bulunuz. Çözüm: Şekil 6.8: Kâr fonksiyonu Şekil 6.9: Kâr fonksiyonu
56 BÖLÜM 6. DERS 06 Şekil 6.10: Kâr fonksiyonu a) M(x) = 30000 + 50x b) G(x) = xp(x) = x(1000 5x) = 1000x 5x 2 M (x) = 50 G (x) = 1000 10x = 0 x = 100 c) K (x) = G(x) M(x) = 1000x 5x 2 (30000 + 50x) = 30000 + 950x 5x 2 ç)g8100) = 50000, G (x) = 0 x = 100 G (100) = 1000 10(100) = 0 G(100) = 1000(100) 5(10000) = 50000 K (x) = 950 10x, 0 < x < 200 800 20x = 0 x = 95 K (95) = 950 10(95) = 0 K (95) = 30000 + 950(95) 5(95 )=15125 d) M (90) = 50 G (90) = 1000 10(90) = 100 K (90) = 950 10(90) = 50 Demekki 101-inci üründe zarar ediyor.
130 BÖLÜM 6. DERS 06