İÇİNDEKİLER Ön Söz... Saymanın Temel Kuralları... Permütasyon (Sıralama)... 8 Kombinasyon (Gruplama)... 6 Binom Açılımı... Olasılık... 9 İstatistik... 8... Dağılımlar... 5 Genel Tarama Sınavı... 6
RASTGELE DEĞİŞKENLER Bir deney sonucu ile değeri belirtilen değişkene rastgele değişken denir. Rastgele değişkenler X, Y, Z,... gibi büyük harflerle, belirtilen değerleri ise, y, z gibi küçük harflerle gösterilir. X rastgele değişken olmak üzere, PX i olarak tanımlanan f i fonksiyonuna olasılık yoğunluk fonksiyonu ya da kısaca olasılık fonksiyonu denir.. Sürekli Rastgele Değişken: Rastgele değişken bir ya da birden fazla aralıkta her değeri alabiliyorsa buna sürekli rastgele denir. X sürekli rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu f() ise, i) f dır. ii) f d dir.. Kesikli Rastgele Değişken: Bir rastgele değişkenin alabileceği değerlerin sayısı sonlu veya sayılabilir sonsuzlukta ise buna kesikli rastgele değişken denir. Not: X kesikli rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu f ise, i) f dır. N ii) f i i dir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde, X sürekli rastgele değişkeninin a ile b arasında bulunma olasılığı b P a X b f d a tir. için f 6 6 f i f f... f 6 i... 6 6 6 Dağılım Fonksiyonu: X rastlantı değişkeninin e eşit yada ten küçük olma durumlarında olasılık dağılım fonksiyonu kullanılır ve dağılım fonksiyonu F() ile gösterilir. X kesikli rastgele değişkeni için dağılım fonksiyonu F f n n dir.
X sürekli rastgele değişkeni için dağılım fonksiyonu Örnek: dir. F f tdt f,, diğer ler için Özellikleri F F i) lim f, lim f ii) P X F F iii) X sürekli ya da kesikli rastlantı değişkeni olsun. PX PX iv) Kesikli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu da kesiklidir. v) Sürekli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu da süreklidir. X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() ve dağılım fonksiyonu da F() olsun. Bu durumda tüm değerlerinde diferansiyellenebilir bir F fonksiyonu için, d f F d tir. fonksiyonunun olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu gösterelim. i), için f dır. ii) f d d Örnek: X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, 8 f, diğer ler için olduğuna göre, a) P X b) P X c) P X olasılıklarını bulalım.
a) P X d 8 6 b) P X d 8 6 9 6 c) P X d 8 6 Örnek: X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,,,,...,8 6 f, diğer durumlarda a) F fonksiyonunu b) P X, P X, P 5 ve P 5 n a) F n6 7 b) PX F 7 6 PX F 7 8 P X 5 P X 5 F 5 F 5 5 7 7 P X 5 P X F 7 5 8 Örnek: X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f,, diğer ler için olduğuna göre dağılım fonksiyonunu bulalım. olasılıklarını bulalım. 5
F f t dt Örnek: Hilesiz bir zarın atılması deneyinde üst yüze gelen sayıların beklenen değerini bulalım. t dt t t, ise, ise, ise. f i E X 6 i.... 5. 6 6 6 6 6 6 6 7 Rastgele Değişkenin Beklenen Değeri Örnek: Olasılık yoğunluk fonksiyonu X rastgele değişkeninin beklenen değeri denemenin her yinelenmesinde ortalama sonucu vermesi bakımından yararlıdır ve E X ile gösterilir. X kesikli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f( i) olmak üzere, beklenen değeri, n E X i i dir..f i X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() olmak üzere, beklenen değeri,, f, diğer ler için olan X rastgele değişkeninin beklenen değerini bulalım. E X d E X.f d tir. X rastgele değişkeninin ortalaması beklenen değere eşittir. E X 6
Teorem: X rastlantı değişkeninin beklenen değeri E(X) ve a, b olsun. n n mn E X f i i) E g X h X E g X E h X ifadesine X in n. mertebeden momenti denir. ii) E ax a.ex iii) E X b E X b iv) E ax b a.e X b Örnek: X rastgele değişkeninin beklenen değeri E(X) = 5 olduğuna göre, Y X rastgele değişkeninin beklenen değerini bulalım. E Y E X E X.5 t t m t E e e f ifadesine X in moment çıkaran fonksiyonu denir. X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() olsun. n n mn E f d ifadesine X in n. mertebeden momenti denir. t t m t Ee e f d Momentler Terimlerin belli değerden sapmalarının farklı kuvvetlerinin beklenen değerine moment denir. Beklenen değere göre momentlere merkezi momentler denir ve X rastgele değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu E n m t olsun. r d m dt r t t, E t dt t dm t d m t E dt n Mn E X E X İle gösterilir. Ortalamaya göre alınan momentlerde = alınırsa orijine göre moment bulunmuş olur. X kesikli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() olsun. 7
Örnek: X rastlantı değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu, X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() olmak üzere, varyansı m t t e Var X f d olduğuna göre, beklenen değerini bulalım. tir. dm E dt t t t t e e. t Teorem: X rastgele değişken ve a olsun. i) Var X E X E X a.var X ii) Var ax iii) Var X a Var X Varyans ve Standart Sapma Beklenen değere göre momentlere merkezi momentler denir ve n mn E X E X ile gösterilir. İkinci mertebeden merkezi momente X rastgele değişkeninin varyansı denir ve Var (X) ya da ile gösterilir. Varyansın kareköküne de standart sapma denir. X kesikli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() olmak üzere, varyansı Örnek: X rastlantı değişkenine ait varyans Var X olduğuna göre, Y X 5 değişkeninin varyansını ve standart sapmasını bulalım. Var Y Var X 5 Var X.Var X 6. 8 8 i Var X f i tir. 8
Kovaryans ve Korelasyon Örnek: X ve Y rastlantı değişkenlerinin bileşik dağılımı Kovaryans X ile Y rastlantı değişkenleri arasındaki değişimi ifade eder ve Cov X, Y ile gösterilir. Cov X, Y E XY E X.E Y X Y 5 Toplam Korelasyon katsayısı iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve gücünü gösterir. Korelasyon katsayısı X, Y ile gösterilir. Cov X, Y X, Y. y Toplam Teorem: X ve Y bağımsız rastlantı değişkenleri olsun. i) EX.EY E XY biçiminde veriliyor. Buna göre Cov X, Y yi bulalım. ii) Var X Y Var X Var Y iii) Cov X, Y 5 EX.. EY. 5. EX.Y...5....5. Cov X, Y E XY E X.E Y 5. 9
KONU TESTİ. X rastgele değişkenin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir.. X rastlantı değişkeninin aritmetik ortalaması M ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) E X M B) E X M P X 5 Buna göre, E X kaçtır? 5 C) E X M E X D) E) E X M EX E X M M A) B) 5 C) 7 6 D) E) 5. X rastgele değişkeninin beklenen değeri olduğuna göre, Y X değişkeninin beklenen değeri kaçtır?., 5, 8, değerlerini alan bir z değişkeninin aldığı tüm değerlere eklenirse beklenen değeri kaç olur? A) B) C) D) 8 E) A) 7 B) 8 C) D) 5 E) 9 6. X rastlantı değişkeninin varyansı olduğuna göre, Y 5 değişkenin varyansı kaçtır?. a, b A) B) C) 5 D) 5 E) 5 I. E X E X II. E ax b a.e X b III. E b b Yargılarından hangileri daima doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III 7. X rastgele değişkenin varyansı olduğuna göre, Y 5 değişkenin standart sapması kaçtır? A) B) 5 C) 8 D) 5 E) 5
KONU TESTİ 8. X rastgele değişkeninin ortalaması M ve varyansı olduğuna göre, X M Y değiş- keninin beklenen değeri ve varyansı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?. X in beklenen değeri kaçtır? A),6 B),9 C) D), E), A) C) M, B) M, M, D) M, E) M, M. X in varyansı kaçtır? A),5 B),6 C),9 D),6 E),8 9. X rastgele değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, a, ise f, diğer ler için. X in standart sapması kaçtır? A),5 B),6 C),7 D),8 E),9 olduğuna göre a kaçtır? A) 6 B) C) D) E). X sürekli rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu f() ve dağılım fonksiyonu F() olmak üzere, I. P X F II. P X P X.. Soruları aşağıdaki bilgiden yararlanarak çözünüz. X kesikli rastgele değişkeni,, değerlerini, ve 5 olasılıklarıyla almaktadır. d III. f F d yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III 5
KONU TESTİ. Bir X rastgele değişkeni için, Y X E X Var X olduğuna göre, Y rastgele değişkeninin ortalaması (beklenen değeri) kaçtır? A) 5 B) 55 C) 58 D) 6 E) 6 7. X rastgele değişkeninin ortalama etrafındaki ikinci momenti aşağıdakilerden hangisidir? A) M B) EX M C) E X M D) E) E M E M 5. Bir X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu, f,, biçiminde tanımlanıyor. 8. X rastlantı değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu, m t t e olduğuna göre beklenen değeri kaçtır? Buna göre P,5 X olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) A) 8 B) C) 5 D) E) 6. X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,, f, diğer ler için olduğuna göre varyansı kaçtır? A) B) C) D) 7 9 9 9 E) CEVAP ANAHTARI. E. C. E. A 5. C 6. D 7. E 8. A 9. D. B. C. C. E. B 5. C 6. A 7. E 8. D 5
KONU TARAMA SINAVI. X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir. P X Buna göre Var(X) kaçtır?. X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu,,,,,...,6 f, diğer ler için olduğuna göre, P 5 olasılığı kaçtır? A) B) C) 7 D) 7 E) 7 A) B) C) D) 5 E) 5. Bir X rastgele değişkeni için,. X rastgele değişkeninin beklenen değeri 5 olduğuna göre, Y X değişkeninin beklenen değeri kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) E) Y X E X Var X 5 olduğuna göre, Y rastgele değişkeninin beklenen değeri kaçtır? A) 7 B) 9 C) D) E) 6. I. X rastlantı değişkeni için PX PX tir. II. Kesikli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu da kesiklidir.. X ve Y bağımsız rastgele değişkenleri olsun. Bu durumda, I. E X.Y E X.E Y II. Var X Y Var X Var Y III. Cov X, Y Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III III. Sürekli rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu da süreklidir. Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III CEVAP ANAHTARI.B.E.E.E 5.B 6.E 5