ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 010 ) 1) Dar açılı ABC üçgeninde BB 1 ve CC 1 yükseklikleri H noktasında kesişiyor. CH = C H, BH = B H ise BAC açısını bulunuz. 1 1 A)0 0 B)45 0 C) arccos D)60 0 E) arcsin 4 ) 8x 1 y 17 denkleminin tamsayılarda kaç tane çözümü vardır. A)0 B)1 C) D) E)HİÇBİRİ Q x x k x k ) P(x) polinomu kübik bir polinomdur. 9 1 Q x x k x k 4 polinomları P(x) polinomunun çarpanları olduğuna göre k nın alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 0 B) 1 C) D) E) 5 ve 4) d1d dd4d5d6d 7 sayısı 7 rakamlı bir telefon numarasını göstermek üzere, d1dd üçlüsü, d4d5d 6 veya d5d6d 7 üçlüsü ile aynı ise, bu telefon numarasına iyi numara diyelim. d i değerleri 0,1,,,9 rakamlarından herhangi biri olabildiğine göre, kaç tane iyi numara telefon numarası vardır? A)0 000 B)19 900 C)19 990 D)19 099 E) 19 909 1
0 5) PQR üçgeninde m QRP 60.Yarıçapı birim olan iç teğet çemberin ve yarıçapı birim olan aynı zamanda PQ ve PR kenarlarının uzantılarına teğet olan çemberin QR kenarıyla olan teğet noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz. A) B) C) D) 5 E) 6) Kendisini oluşturan rakamların toplamının 1 katına eşit olan kaç tane üç basamaklı sayı vardır? A)0 B)1 C) D) E)4 7) Katsayıları reel sayı olan f x polinomu için f f f x ler için f x f x f x x ise 5 f kaçtır? 0 1, 15 ve bütün A) 65 B) 676 C) 79 D) 784 E) 841 8) S kümesi beş elemanlı bir küme olsun. Birleşimleri S olan ve ayrık olması gerekmeyen iki küme kaç değişik şekilde seçilebilir? A) 11 B)1 C)18 D) 11 E) HİÇBİRİ
0 9) ABC üçgeninde AC 7, m BCA 60, BC kenarındaki E noktası ile B köşesi arasındaki uzaklık 6, AE doğrusu BD kenarortayını F noktasında kesiyor. BF : FD : olduğuna göre AB kenarının uzunluğu kaçtır? A) 1 B) 147 C) 1 D) 151 E) 14 10) a1, a, a,..., a pozitif tamsayıları 49 a1 a a... a49 540 denklemini sağladığına göre bu sayıların en büyük ortak böleninin alabileceği maksimum değer kaçtır? A)5 B)8 C)10 D)15 E)0 11) n N a a a a a olan dizi veriliyor. için 0 1 ve n 1 n 1 n 007 ifadesinden küçük veya eşit en büyük tamsayıyı bulunuz. a a a a 007 006 007 006 A) 11 B) 188 C)4 D) 6 E) 76 1) ERGENEKON kelimesinin harfleri, rastgele sıralandığında son E harfinin son N harfinden sonra gelme olasılığı nedir? A) /5 B)/5 C)1/7 D) /7 E) /7
1) AC tabanlı ABC ikizkenar üçgeninde D noktası BC kenarını B köşesinden :1 oranında bölüyor.ad doğru parçasının orta noktası E, BE 7, CE ise ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapının uzunluğunu bulunuz. A)7/ B)1/6 C) 0/9 D)/9 E) 8/ 14) 1 x x x y denkleminin tamsayılarda kaç tane çözümü vardır. A)0 B)1 C) D) E)HİÇBİRİ 15) x x x 4 11 0 denkleminin kökleri a,b ve c ve denkleminin kökleri a+b, b+c ve a+c sayıları olduğuna göre t kaçtır? A) 17 B) 19 C) 1 D) E) 5 x rx sx t 0 16) ve 5 rakamlarının bulunduğu,, 7 ve 9 rakamlarının bulunmadığı 8 basamaklı kaç çift sayı vardır? A) 6 6 4.7 40.6 B) 6 6 18.7 40.5 C) 6 6 6 D) 4.7 40.6 16.5 E) HİÇBİRİ 6 6 6 7 6 5 4
17) AC doğru parçası üzerinde B noktası alınıyor ve AB, BC, CA doğru parçaları çap olacak şekilde ve AC kenarının aynı tarafında sırasıyla S 1, S, S yarıçemberleri çiziliyor.merkezinin AC doğrusuna olan uzaklığı a birim olan ve bütün yarıçemberlere teğet olan çemberin yarıçapının uzunluğunu bulunuz. A)a/ B) a/ C) 4a/7 D) 9a/17 E)9a/19 18) x x mod10000 denklemini sağlayan kaç tane dört basamaklı sayı vardır? A)0 B)1 C) D) E)4 19) x1, x, x,..., x 100 dizisinde şu özellik vardır: 1 den 100 e kadar olan k tamsayıları için m x k x sayısı diğer 99 sayının toplamından k kadar küçüktür. 50 n, m ve n aralarında asal pozitif tamsayılar olduğuna göre m+n kaçtır? A) 17 B)177 C)19 D) 191 E) 18 0) 40 kg ağırlığındaki bir taş her birinin ağırlığı tamsayı olan en az kaç parçaya bölünürse, 1 kg ile 40 kg arasındaki tüm tamsayı ağırlıklar, çift kollu bir terazide tartılabilir? A) 4 B) 6 C) 9 D) 7 E) HİÇBİRİ 5
1) Yamuğun taban uzunlukları a ve b dir.yan kenarlarından bir tanesinin orta noktasından geçen bir doğru yamuğu iki tane teğetler dörtgenine ayırmaktadır.yamuğun diğer yan kenarının uzunluğunu bulunuz. A)a+b B) a-b C)b-a D) a+b E)a-b ) 1 1 1 a a Z ve 1...! ise a sayısının 1 e bölümünden kalan kaçtır? A) 0 B) C) 5 D)7 E)9 ) y x ax b şeklindeki bütün fonksiyonların grafikleri çiziliyor. Bu grafiklerden en fazla kaç tanesi bir noktada kesişir? (a ve b, 80 den küçük veya eşit doğal sayılar) A) 0 B)5 C) 40 D) 80 E) HİÇBİRİ 4) Tahtaya bir,, herhangi a a a sayı üçlüsü yazıldıktan sonra, her adımda bu sayılardan 1 a i ve a j, i j ikilisini seçerek, bunların yerine, 0, 6a 0,8 a ve 0,8a 0, 6a sayılarını yazıyoruz. i j i i, 4,1 sayıları tahtaya yazıldıktan sonra, belirtilen işlemler ile aşağıdaki sayı üçlülerinden hangisi elde edilemez? A),8,10 B) 1,,9 C) 5,8,16 D) 11,1,18 E) HİÇBİRİ 6
5) Çemberin KN kirişinin belirlediği yayın üzerinde L ve M noktaları alınıyor.klm ve LMN açılarının açıortayları KN kirişi üzerindeki P noktasında kesişiyor. KL olduğuna KN 5 göre KLP üçgeninin alanının MPN üçgeninin alanına oranı kaçtır? A) 4/7 B) 7/10 C) 1/ D) /4 E) / 6) p +11 sayısının tam olarak altı tane farklı pozitif böleni (1 ve kendisi dahil) olmasını sağlayan bütün p asal sayıları kaç tanedir? A)0 B)1 C) D) E)4 7) x x eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif sayıyı oluşturan rakamların toplamı kaçtır? ( x : xsayısının tam kısmı, x : xsayısının ondalık kısmı yani x- x ) A) 16 B)17 C) 18 D) 19 E)0 8) 4 4 tipindeki bir satranç tahtasında, her satır, her kolon ve temel köşegenler üzerindeki sayıların değerleri 010 ise, dört köşedeki sayıların toplamı kaçtır? A) 1004 B) 1005 C) 008 D) 009 E) HİÇBİRİ 7
9) ABC üçgeninde AB c AB kenarı üzerinde bir M noktası alınıyor öyle ki m CMA AMC ve BMC üçgenlerinin yüksekliklerinin kesişme noktaları arasındaki uzaklık kaçtır? A) c cot B) c tan C) c sin D) c cos E) c cos 0) n! + 5 ifadesini tam küp yapan kaç tane pozitif n tamsayı değeri vardır? A)0 B)1 C) 5 D)SONSUZ E)HİÇBİRİ x y 1) xy z 1 denklem sisteminin kaç tane reel çözümü vardır? A) 0 B) 1 C) D) SONSUZ E) HİÇBİRİ ) Art arda gelen herhangi iki sayının aralarındaki fark veya olacak şekilde 00 farklı sayı bir çember etrafına diziliyor. Çemberin etrafındaki en büyük sayıyla en küçük sayı arasındaki fark en fazla kaç olabilir? A) 00 B) 001 C) 000 D) 998 E) 996 8
) ABC üçgeninde BC kenarının orta noktası E, D noktası AC kenarı üzerinde, 0 0 0 0 AC 1, m BAC 60, m ABC 100, m ACB 0, m DEC 80 olduğuna göre A ABC A CDE kaçtır? A) 1/4 B) /7 C) 7 D) 8 E) /9 4) OKEK(a,b)=1000, OKEK(b,c)=000, OKEK(c,a)=000, şartını sağlayan (a,b,c) sıralı üçlülerinin sayısını bulunuz. A)40 B)50 C) 60 D)70 E)80 5) x 4 x 1 x 8 6 x 1 1 denkleminin reel çözüm aralığının uzunluğu kaç birimdir? A) 1 B) C) D)4 E) 5 6) Tersten ve düzden okunuşları aynı olan sayılara Palindrom Sayı denir. Buna göre, 008 inci palindrom sayının rakamları toplamı kaçtır? A) 10 B) 11 C) 1 D) 1 E) 15 9