AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. ai ai i ai ai aii ai ai ai ai 0 ai a 0 olmalıdır. Cevap : E 8 in asal çarpanları ve 3 tür. 8.3 3 40 ın asal çarpanları ve 5 tir. 40.5 İkisinde de ortak asal çarpan olduğuna göre, ve y birbirinden farklı asal sayılar olduğuna göre hem hem de y değildir. 3 ve y 5 olmalıdır. z y 8 z y 6 z buluruz. 3 5 6 y z 3 5 9 buluruz. Cevap : B n ye bölünüp, 3'e bölünmeyen bir sayı ise; n n n3 0 0 n 0 dir. 0 sayısı 'ye bölünüp, 3'e bölünmeyen bir sayıdır. n 0 olabilir. n 3 e bölünüp, 'ye bölünmeyen bir sayı ise; n n n3 0 0 n 30 dur. 3 30 sayısı hem 'ye hem de 3'e bölünüyor. n 30 olamaz. n sayısı hem 'ye hem de 3'e bölünen bir sayı ise; n n 5n n n3 0 0 n dir. 3 6 sayısı hem 'ye hem de 3'e bölünüyor. n olabilir. Toplamları 0 3 buluruz. Cevap : C
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ Her seferde sonraki 3. kişi topu alıyor. 93 kere 3 kişi artacaktır. Grupta 5 kişi var. 99.3 çarpımının 5 ile bölümünden kalanı bulalım. 99.3 4.3 dir. mod 5 kalan 4 Buna göre; Ali Büşra Cem Deniz 0 Topu, Cem almıştır. 3 Ekin 4 "ise" önermesi sadece 0 durumunda 0'a denktir. p q r 0 ise p q r 0 r 0 dır. 0 p q ise p ve q dir. Buna göre; 0 yanlış olmalıdır. r 0 ab 0 doğru olmalıdır. p a c 0 doğru olmalıdır. q c Demek ki c sayısı pozitiftir. a c 0 ise a negatiftir. ab 0 ise b pozitiftir. a,b,c nin işaretleri sırasıyla,, dır. Cevap : C
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ Şıkları tek tek inceleyelim. A) sayısı ve 3'e tam bölünür. Ayrıca 3 4'e de tam bölünür. Önermeyi doğrular. B) 4 sayısı ve 4'e tam bölünür. Ayrıca 4 6'ya da tam bölünür. Önermeyi doğrular. C) 30 sayısı 3 ve 'ye tam bölünür. Ayrıca 3 5'e de tam bölünür. Önermeyi doğrular. D) 60 sayısı 4 ve 5'e tam bölünür. Ama 4 5 9'a da tam bölünmez. Önerme hatalı olur. E) 30 sayısı 5 ve 'e tam bölünür. Ayrıca 5 6'ya da tam bölünür. Önermeyi doğrular. Cevap : D b a b nin tersi dır. O halde; a b f dır. a b ab b f a ise a b dir. a a a b f dir. b 0 b b f 0 buluruz. b b f.g 0 inceleyelim. (,) aralığında f her zaman 0'ın altında yani negatiftir. f.g 0 olması için g fonksiyonu da 0 ın altında olmalıdır. g fonksiyonu da den küçük değerler için ve den büyük değerler için negatiftir. O halde;,, olmalıdır. g.h 0 inceleyelim. g ve h zıt işaretli olmalıdır., aralığında ikisi de negatiftir. Olmaz,0 aralığında zıt işaretliler. 0, aralığında ikisi de pozitiftir. Olmaz, aralığında zıt işaretliler. O halde;,0, olmalıdır. İki çözüm kümesinin kesişimini alırsak;, buluruz. Cevap : C
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ P P ise P P 0 P 3 P 3 0 dır. 4.dereceden bu polinomun dört kökü de belli ise bu polinomu rahatlıkla yazabiliriz. Başkatsayısı da olarak verilmiş. P 3 3 şeklinde bir polinomdur. 3 3 34 P 4 buluruz. Cevap : C log4 log8 ise log4 log8 log4 log8 log log 4 8 log log 3 log log 3 log 3 log 6 log 6 6 64 tür. 6 3 4 6 log6 log6 64 log 4 buluruz. Cevap : B 4 ile 33 arasındaki mesafe 8 ile mesafesi log 4 log 33 log8 log 4 8 log log 33 3 4 33 8 buluruz. Cevap : E
a a.a ise 6 4 a 5r a r a 3r a 3r yazalım. 3r 5r 3r r 3r 3r 8r 4r.6r 6r r tür. Buna göre; 3 a0 a 9r 3r 9r r 4 buluruz. 3 Cevap : D AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ p a b a a b b a b b a b Tepe noktası a,b noktasıdır. Koordinat düzleminde gösterelim. Tabanı b uzunlukta, yüksekliği a uzunlukta olan bir üçgen elde ediliyor. Alanı 6 br ise p = a b polinomu orjinden geçiyorsa, 0,0 noktası parabolün bir noktasıdır. 0= 0 a b 0 a b a b dir. Diğer poloinomların tepe noktasını bulalım. p a b a a b b b b dir. Tepe noktası 0,0 noktasıdır. p a b a a b b b b b dir. Tepe noktası 0, b noktasıdır. b.a 6 a.b 8 dir. a b bulmuştuk. a.a 8 a dir. b a 4 tür. ab 4 6 buluruz.
c nm Kökler çarpımı nm dir. a Köklerden biri m n ise diğer kök olmalıdır. b Kökler toplamı m dir. a m n m eşitliği sağlanmalıdır. m n m n n dir. Denklemin son hali; m m 0 olur. değeri bu denklemin bir kökü ise; m m 0 m m 0 m m dir. n buluruz. m AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ Sesli harfler A,A,A Sessiz harfler 3 4 3 Aynı 4 3 4 Aynı 3 B,B,B,B olsun. 3 4 5 harfli palindrom sayılar şu şekilde olabilir. A B A B A 3.4.3 36 B A B A B 4.3.4 48 Aynı harfi tekrar tekrar kullanabiliriz. 36 48 84 buluruz. Cevap : B K noktasından 3 ayrıt çıkıyor. L noktasından 3 ayrıt çıkıyor. İkisi de [KL] ayrıtından giderse, karşılaşırlar. Olasılık 3 3 9 İkisi de B köşesinde giderse, karşılaşırlar. Olasılık 3 3 9 İkisi de A köşesinde giderse, karşılaşırlar. Olasılık 3 3 9 Toplam: 9 9 9 3 buluruz.
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ Süreklilik için her noktada; Soldan limit Sağdan limit O noktadaki değer olmalıdır. Kritik değerler 0 ve 3. Bunlara detaylı bakalım. lim f 0 0 0 0 0 lim f a.0 b 0 olmalı. b 0 dur. Limit değeri, sağdan ve soldan yaklaşıldığında aynı bulunan değerdir. Fonksiyonun o noktadaki değeri farklı olabilir. Bu sebeple I.öncül her zaman doğrudur, diyemeyiz. lim f g limf limg f L L 0 dur. II.öncül doğru limf L lim olur ancak; limg 0 g limg L olmalıdır. Yani L 0 olursa bu durum geçerli değildir. 3 lim f 3 3 4 tür. lim f 3a b 4 olmalı. 3a 0 4 ab 0 8 buluruz. Cevap : E 0 3a 6 a dir. Cevap : B Grafiğe f' fonksiyonu hiç negatif değer almamış. Yani hiç azalmamış. 0 değeri hariç her noktada türevi pozitif olduğundan burada artış göstermiştir. Bu nedenle; f 0 f f diyebiliriz. Cevap: A
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ Sırayla türev alalım. e sin 3 4 e. cos 4e.cos olur. f e.cos idi. 4 8 f 4 f tir. f' e.cos e.sin e cos sin f'' e cos sin e. sin cos f e sin e cos e sin cos f e sin cos e cos sin O halde; f 4f tir. Buna göre; 3 6 4 f 4 f tir. f 4 f tir. 6 4 0 f 0 4 f 0 56.e.cos0 56 dır. y c doğrusunun eğimi dir. O halde; 8 8 a noktasında y' değeri olmalıdır. 8 a a a y' 8 4a 8 a aa a dir. 4a 8 y olur. P,b noktası bu eğrinin bir noktası ise; b dir. 4 P, notası doğrunun da bir noktasıdır. 3 c c c tür. 8 4 4 3 8 3 3 ab c buluruz. 4 4 4 Cevap : C Cevap : D 5 liralık artış sayısına diyelim. Ücret Kişi sayısı Gelir 40 5 000 50 Maksimum değer için türev alıp, 0'a eşitleyelim. 5 000 50 40 5 50 0 5000 50 000 50 0 3000 500 6 dır. Ücret 40 5 40 5.6 40 30 70 buluruz. Cevap : D
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ Sürekli ar tan bir fonksiyonu yukarıdaki gibi çizebiliriz. Eğrinin altında kalanlar A ve B alanları olsun. 0 f d A B dir. Ayrıca A ve B alanları için şunları diyebiliriz. A 3 ve 3 B 4 tür. Taraf tarafa toplarsak; 5 A B 7 dir. O halde; 0 5 f d 7 C şıkkı, 6 değeri uygundur. Cevap : C f f.g g.f' d d tir. g tir. g.f'.f' f' f ln c dir. f ise ln c c dir. f ln ise f e lne 4 buluruz. Cevap : B
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ c a h g f h d A A A A A 3 A 3 9 8 buluruz. Cevap : B b Doğru tarafından oluşturulan üçgenin alanı:.b b dir. Sarı bölge Buna göre kırmızı bölg e 3b olur. Parabolün altında kalan 4b olur. Bunu integralle eşitleyelim. 0 a 3 a b 4b olmalıdır. 3 b 0 4b 8a b 4b 3 4 8 a 3 4a a 3 b b 4a 3b tür. 3 b 4 Cevap : C a ve b pozitif tam sayılar olarak verilmiş. y a b parabolü ekseni üzerindedir ve tepe noktası 0,b noktasıdır. Kolları yukarı doğrudur.,0 ve 0,b notasından geçen doğruyu da aşağıdaki gibi çizebiliriz : cos34 sin44 sin34 cos34 sin44 sin.sin56 sin34.sin. sin56 cos34 sin56 dır. 90 ye tamamlayan açılar sin44 sin.cos sin34.sin sin34. sin cos sin34 cos sin68 dir. 90 ye tamamlayan açılar sin68.. sin34.cos34 4cos34 buluruz. sin34 sin34 Cevap : D
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ İçler dışlar çarpımı yapalım. sin.cos sin cos sin cos sin.cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos tan 3 7 tan ve tan dir. 4 4 3 3 dir. 4 8 7 7 dir. Buna göre; 4 8 3 7 0 5 buluruz. 8 8 8 4 Cevap : B OAB üçgenine göre; AB AB tan AB AB tan tir. OA OA cos OB tir. OB OB cos BC OB OC tir. cos ODC üçgenine göre; CD CD sin CD CD sin tir. OC OD OD cos OD cos tir. OC DA OD cos tir. Buna göre; sin AB BC tan cos cos cos CD DA sin cos sin cos sin cos cos sin cos sec buluruz. cos Cevap : E
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ Pusulaların konumlarını şekildeki gibi köşedeymiş gibi düşünebiliriz. Kırmızı oklar kuzeyi gösteriyor. BC kenarı ile kuzey arasındaki açı 0 ise, m ABC 0 dir. AB BC verilmiş. Buna göre diğer iki iç açı 80 0 80'er derecedir. A açısı 80 ise, AC kenarının kuzey ile yaptığı açı: 90 80 0 dir.
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ Kenarortayların kesim noktası ağırlık merkezidir. Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeden kenara doğru 'ye oranında böldüğü için; doğrusu üzerindeki Kenarlardan birinin orta noktası 3,6 noktasıdır. y noktaya a,a ve y doğrusu üzerindeki noktaya b,b dersek; ab 3 a b 6 b 9 ve a 3 bulunur. ab 6 a b Bu üçgenin köşeleri 3,3, 9,9 ve 0,0 ise Sarus yöntemi ile üçgenin alanı bulunabilir. İstenirse, üçgen bir yamuğa tamamlanıp gerekli alanlar çıkarılarak da alan hesabı yapılabilir. 3 3 9 9 Alan 7 0 0 7 0 0 0 0 3 3 54 7 bul uruz. Cevap : C Karenin alanı 00 br ise bir kenarı 0 br dir. Yeni durumda B köşesi, 6 birim aşağı inmişse burada bir 6-8 -0 üçgeni oluşturabiliriz. Eşkenar dörtgenin alanı AB.8 0.8 80 br dir. Duvarda kapladığı alan; 00 80 0 br azalmıştır. Cevap : B
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ Doğrunun eğimi ise tan tür. 4 4 tan80 tür. Buna göre, karenin içinde 4 şekildeki gibi bir dik üçgen oluşturursak; dik kenarlar 8 ve birim olur. Bu doğru, kareyi iki eş parçaya ayırıyorsa; Kenarlar üzerinde ayırdığı küçük kısımlar birbirine eşittir ve ikisini de t birim diyebiliriz. t t 8 olması gerektiğinden t 3 br dir. Daha sonra üçgen benzerliğinden a noktasını bulabiliriz. 5 a 0 buluruz. 8 a Cevap : E Çemberleri şekildeki gibi çizebiliriz. Tek bir noktada kesişiyorsalar, bu çemberlerin teğet değme noktasıdır. Bu nokta ile çemberlerin merkezleri arasındak mesafeyi hesaplayarak yarıçaplarını bulabiliriz. 0,9 merkezli çemberin yarıçapı; 0 4 9 6 5 br dir.,0 merkezli çemberin yarıçapı; 4 6 0 0 br dir. Buna göre; çemberlerin orjine en yakın noktaları 0,4 ve,0 noktalarıdır. Bu iki nokta arasındaki uzaklık; 0 4 0 5 br dir. Cevap : D
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ y doğrusu eksenini noktasında, y eksenini de noktasında keser. O halde; merkez ile odak noktaları arası mesafe 'er birimdir. Benzerlikten KF br bulabiliriz. KE br olur. 45 45 90 üçgeni Elips üzerindeki bir nok tanın odak noktalarına olan uzaklıkları toplamı asal ekseni verir. Buna göre; KE KF a dır. a a buluruz. İki vektörün iç çarpımı, uzunlukları ile aradaki açının kosinüsü çarpılarak bulunur. u. v u. v.cos Rastgele bir vektör seçelim. Örneğin a vektörü olsun. a vektörü ile diğer vektörler arasındaki açılara bakalım. a ile b arasındaki açı 7 dir. cos7 pozitiftir. a ile c arasındaki açı 44 dir. cos44 negatiftir. a ile d arasındaki açı 6 dir. cos6 negatiftir. a ile e arasındaki açı 7 dir. cos7 pozitiftir. 4 durumdan 'si pozitif; 'si negatiftir. Bu her vektör için geçerli bir durum olduğundan, Sadece birisi için olasılık hesabı yapabiliriz. Pozitif olma olasılığı buluruz. 4
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ 3 küp, bir araya getirilerek şekildeki gibi 8, 9, 0 ve uzunluklarında köşeler arası mesafe elde edilebilir. Sadece 7 elde edilemez. v vektörünü (a,b) şeklinde tanımlayıp, sırasıyla izdüşüm hesaplarıyla a ve b yi bulabiliriz. Ancak; u ve u vektörleri birbirine dik olduğundan bu hesabı yapmaya gerek yok. Dik olduğunu şu hesaptan anlayabiliriz. u.u 3,4. 8, 6 3.8 4. 6 4 4 0 İki dik vektörün iç çarpımı 0 dır. Soruda izdüşüm uzunlukları verilerek aslında bize v vektörünün birbirine dik iki bileşeni verilmiştir. Basit pisagor hesabıyla v'nin uzunluğunu bulabiliriz. v 3 0 birimdir. Cevap : B Soruda verilenlere göre, yukarıdaki şekil çizebiliriz. Pisagor yaparak; PA 4 5 PB 4 5 br buluruz. PA. PB 5. 5 0 br buluruz. Cevap : E