MTRİS İŞLEMLER LEMLERİ
Temel matris işlemlerinin doğrudan matematik açılımını 2 yapmadan önce, bir eşanlı denklem sisteminin matris işlemleri kullanılarak nasıl daha kolay ve sistematik bir çözüm verdiğini, basit bir piyasa modeliyle görmeye çalışalım. Bu modeli tanımlayalım ve ilk olarak sıradan denklem çözüm yöntemiyle (yerine koyma ya da yok etme yollarından biriyle) sonuca ulaşalım, daha sonra da aynı modeli matris yoluyla çözelim.
Tek mallı basit bir piyasa modeli düşünelim. Bu piyasaya ilişkin 3 talep ve arz denklemlerinin şöyle olduğunu varsayalım: Q = a bp a, b> 0 d Q = c+ dp c, d > 0 s Piyasa Dengesi: Q d = Q s
Şekil 2.a. İki Ürünlü Piyasa Modeli 4 Q a S Q = a bp d Q = c+ dp s * Q E 0 c cd * P D ab P
Şekil 2.b. İki Ürünlü Piyasa Modeli 5 P ab * P E S P P a = b b c = + d Q d d Q s cd D c 0 * Q a Q
Buna göre piyasa dengesini sağlayan (yani piyasanın arz ve 6 talep miktarını eşitleyen) denge fiyatı ve denge miktarını basitçe bulabiliriz: Q = Q a bp = c+ dp d s P * a+ c = b + d * * * * * a+ c Qs = Qd = Q = a bp Q = a b b + d Q * = ad b bc + d
7 Şimdi bu çözümü, matris işlemleriyle yapalım: Q = a bp Q+ bp = a d Q = c+ dp Q dp = c s b Q a = d P c
8 Cramer yöntemiyle denge fiyatı ve miktarını çözebiliriz: Q * bc ad ad bc = = = ( ) b+ d b+ d b = = b+ d d ( ) a b = = bc ad c d
9 P * ( ) a+ c a+ c 2 = = = ( ) b+ d b+ d b = = b+ d d ( ) a 2 = 2 = a+ c c ( )
0 Buna bir sayısal örnek verelim: Q d = 53 3P Q s = 0 + 6P Bu örneği ilk olarak yok etme yöntemiyle çözelim: Q = Q 53 3P = 0 + 6P d s P = 7, Q = 32 * *
Şimdi bu çözümü, matris işlemleriyle yapalım: Q = 53 3P Q+ 3P = 53 d Q = 0 + 6P Q 6P = 0 s 3 Q 53 = 6 P 0
2 Cramer yöntemiyle denge fiyatı ve miktarını çözebiliriz: Q * 288 = = = 9 32 3 = = [()( 6) (3)()] = 9 6 53 3 = = [(53)( 6) (3)( 0) ] = 288 0 6
3 P * 63 2 = = = 9 7 3 = = 9 6 53 = = 63 0 2 2
Yukarıda incelediğimiz tek ürüne ilişkin piyasa modelini iki ürüne genişletelim ve piyasanın denge fiyatları ve miktarlarını bulalım. Bu çözümlemeyi yerine koyma yöntemiyle ya da matris yöntemiyle yapabiliriz. Bu andan itibaren matrisleri kullanarak çözümlemeyi yapalım. Modelimiz şöyledir: 4 Q = a + a P + a P d 0 2 2 Q = b + b P + b P s 0 2 2 Q =α +α P +α P d 2 0 2 2 Q =β +β P +β P s2 0 2 2. piyasa 2. piyasa
Her iki piyasada da arz ve talep eşit olduğunda, piyasa dengesi kurulmuş olacaktır. 5 Q = Q a + a P + a P = b + b P + b P d s 0 2 2 0 2 2 ( a b ) P ( a b ) P ( b a ) + = 2 2 2 0 0 Q = Q α +α P +α P =β +β P +β P d2 s2 0 2 2 0 2 2 ( ) P ( ) P ( ) α β + α β = β α 2 2 2 0 0
6 ( a b ) P + ( a b ) P = ( b a ) 2 2 2 0 0 ( α β ) P + ( α β ) P = ( β α ) 2 2 2 0 0 ( a ) ( ) ( ) b a2 b 2 P b0 a 0 = ( α β ) ( α β ) P ( β α ) 2 2 2 0 0 Her iki piyasanın denge fiyatını, Cramer yöntemiyle bulabiliriz.
7 ( a ) ( ) b a2 b2 ( α β ) ( α β ) 2 2 ( )( ) ( )( ) = = a b α β a b α β 2 2 2 2 ( b ) ( ) 0 a0 a2 b2 ( β α ) ( α β ) ( )( ) ( )( ) = = b a α β a b β α 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 ( a ) ( ) b b0 a0 ( α β ) ( β α ) ( )( ) ( )( ) = = a b β α b a α β 2 0 0 0 0 0 0
8 P = = ( b )( ) ( )( ) 0 a0 α2 β2 a2 b2 β0 α0 ( )( α β ) ( )( α β ) a b a b 2 2 2 2 P 2 2 = = ( a )( ) ( )( ) b β0 α0 b0 a0 α β ( )( α β ) ( )( α β ) a b a b 2 2 2 2 Q = a + a P + a P ve Q = α +α P +α P 0 2 2 2 0 2 2
9 Bu modeli çözerken, öncelikle denge fiyatlarını eşanlı olarak (matris biçimiyle) çözdük, ardından arz-talep miktarlarını belirledik. Modelin tümünü matris biçimde ifade ederek, tüm denge miktar ve fiyatları aynı anda belirleyebiliriz. Bunun için modeli Q ları da içerecek şekilde matris biçiminde yazalım.
20 Q = Q = Q ve Q = Q = Q d s d2 s2 2 Q = a + ap+ ap Q+ 0Q ap ap = a 0 2 2 2 2 2 0 Q = b + bp+ bp Q + 0Q bp bp = b 0 2 2 2 2 2 0 Q =α +α P +α P 0Q + Q α P α P =α 2 0 2 2 2 2 2 0 Q =β +β P +β P 0Q + Q β P β P =β 2 0 2 2 2 2 2 0
2 0 a a2 Q a0 0 b b Q b 2 2 = 0 0 α α2 P α0 0 β β P β 2 2 0 0 a a a a a a 2 2 2 0 b b2 ( ) 3+ 2 ( ) 4+ 2 = = b b2 + b b2 0 α α2 0 β β2 0 α α2 0 β β2
22 ( ) + ( ) ( ) 2+ = b ( ) β2 b2β + aβ2 a 2β + + 2+ ( ) ( bα b α ) + ( ) ( a α a α ) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = a β +α a α +β + b β +α b β +α 2 2 2 2 2 2
0 a a2 Q a0 0 b b Q b 2 2 = 0 0 α α2 P α0 0 β β P β 2 2 0 23 a 0 a a 0 2 0 2 b0 0 b b2 ( ) 3+ 2 = = 0 2 α0 α α2 β0 β β2 β0 β β2 ( ) 4+ 2 a a a b b b a a a 0 2 + b b b 0 2 α α α 0 2
24 + 2+ 3+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = a bβ bβ + b aβ a β +β a b a b 0 2 2 0 2 2 0 2 2 + 2+ 3+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + a bα b α + b a α a α +α a b a b 0 2 2 0 2 2 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) = a 0 b α2 β2 b2 α β + b 0 a2 α 2 +β2 a α +β ( ab ab) ( ab ab) +α +β 0 2 2 0 2 2
25 Q = = a ( ) ( ) ( ) ( ) 0 b α2 β2 b2 α β + b 0 a2 α 2 +β2 a α +β ( ) ( ) 0 ab 2 ab 2 0 ab 2 ab 2 ( β +α ) ( α +β ) + ( β +α ) ( β +α ) +α +β a a b b 2 2 2 2 2 2 Q =, P =, P = 2 3 4 2 2
26 Örnek : Q = 0 2P + P Q d 2 = 2+ 3P s. piyasa Q = 5 + P P Q d 2 2 = + 2P s2 2 2. piyasa
27 Q = Q = Q ve Q = Q = Q d s d2 s2 2 Q + 0Q + 2P P = 0 2 2 Q + 0Q 3P + 0P = 2 2 2 0Q + Q P + P = 5 2 2 0Q + Q + 0P 2P = 2 2
0 2 Q 0 0 3 0 Q 2 2 = 0 P 5 0 0 2 P2 28 0 2 2 2 0 3 0 ( ) 3+ 2 ( ) 4+ 2 = = 3 0 + 3 0 0 0 0 2 0 0 0 2 3+ 3 + 2+ ( ) ( )( ) ( ) ( 3) ( ) ( ) = 2 3 2 + + 2 = 4
29 0 0 2 0 2 0 2 2 0 3 0 ( ) 3+ 2 ( ) 4+ 2 = = 2 3 0 + 2 3 0 5 0 2 5 0 2 2+ 2+ 2 = + ( ) ( 2)( 4) ( ) ( 3)( 2) ( ) 2+ 2 ( )( ) ( ) 2+ 2 + 2 + ( 3)( 25) = 28
30 Q 28 = = = 4 64 7 2 85 3 26 4 46 Q2 = =, P = =, P2 = = 7 7 7
Yukarıda incelediğimiz piyasa modeline benzer şekilde, Keynesyen bir basit makro model dikkate alalım ve bu modeli her iki yöntemle de çözelim. 3 Y = C + I + G 0 0 C = C + cy 0 İlk olarak yerine koyma yöntemini kullanarak denge ulusal gelir ve denge tüketim düzeylerini belirleyelim.
32 Y = C + I + G C = C + cy 0 0 0 ( ) C = C + c C + I + G 0 0 0 C = C + c I + G c ( ) 0 0 0 Y = C+ I0 + G0 Y = C + c( I + G ) + I + G c Y = C + I + G c 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0
Şimdi bu modeli matris işlemlerini kullanarak çözelim. 33 Y = C + I + G 0 0 Y C = I + G 0 0 C = C + cy 0 cy + C = C 0 Y I + G 0 0 = c C C 0
Cramer yöntemiyle ulusal gelir ve tüketim denge değerlerini belirleyelim. I0 + G0 = = c = = C + I + G c C 0 0 0 0 34 I0 + G0 = = C + c I + G c C ( ) 2 0 0 0 0 Y 0 0 0 2 = = = = ( ) C + I + G C + c I + G C c c 0 0 0
35 Matrisler ve Vektörler: Genel olarak n değişkenli, m sayıda denklemli bir doğrusal denklem sistemini şöyle yazabiliriz: a x + a x +... + a x = d 2 2 n n a x + a x +... + a x = d 2 22 2 2n n 2... a x + a x +... + a x = d m m2 2 mn n m
36 Yukarıdaki genel doğrusal denklem sisteminin üç temel öğesi vardır: a ij katsayıları kümesi x j değişkenler kümesi d i sabit terimler kümesi Bu öğeleri matris biçimde şöyle ifade edebiliriz: a a2... an x d a2 a22... a 2n x 2 d 2 = x = d =............ a a... a x d n n2 nn n m
37 Örneğin aşağıdaki doğrusal denklem sistemini, matris biçimde ifade edelim. 6x + 3x + x = 22 2 3 x + 4x 2x = 2 2 3 4x x + 5x = 0 2 3 6 3 x 22 4 2x 2 = 2 ya da x = d 4 5 x 3 0 x d
Bir matriste bulunan sütun ve sıra sayısı, matrisin boyutunu 38 belirler. Yukarıda genel olarak yazdığımız doğrusal denklem sistemi m tane sıraya, n tane de sütuna sahiptir. Dolayısıyla bu denklem sisteminden oluşan katsayılar matrisi (), mxn boyutundadır. Katsayılar matrisinde yer alan her bir elemanı, a ij ile gösteriyoruz. i satır sayısını, j sütun sayısını ifade etmektedir. Satır ve sütun sayısının eşit olduğu matrise, kare matris diyoruz.
39 Yalnızca bir sütuna sahip matrise, vektör diyoruz. Örneğin x ve d, birer vektördür. x in boyutu nx, d nin boyutu mx dir. x x 2 x = x = x x2... xn x n
Matrislerde EşitlikE 40 İki matris ancak ve ancak aynı boyuta sahiplerse ve karşılıklı elemanları özdeş ise eşittirler. 4 3 4 3 2 0 = 2 0 2 0 4 3
Matrislerde Toplama ve Çıkarma 4 İki matris ancak ve ancak aynı boyuta sahiplerse toplanabilirler. Çıkarma işlemi de aynı özelliklere sahiptir. a a2 a3 b b2 b3 a + b a2 + b2 a3 + b3 + = a a a b b b a + b a + b a + b 2 22 23 2 22 23 2 2 22 22 23 23 a ij b ij cij
Örnek 2: 42 0 5 3 3 6 3 + 0 7 = 3 6 4 2 2 2 Örnek 3: 0 5 3 3 4 3 0 7 = 3 8 4 2 0 6
Matrislerde Skaler Çarpımı 43 Bir matrisi bir sayı (skaler) ile çarpma işlemi, bu matrisin her bir elemanı bu skaler ile çarpılarak yapılır. a a ka ka k = a a ka ka 2 2 2 22 2 22 3 2 7 7 = 0 5 0 35
Matrislerde Çarpma 44 İki matrisin çarpımın yapılabilmesi için, ilk yazılan matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gerekir. b b2 a a2 a3 ab + a2b2 + a3b3 ab2 + a2b22 + a3b32 b b = 2 22 a2 a22 a 23 a2b + a22b2 + a23b3 a2b2 + a22b22 + a23b 32 c b b 3 32 B C n i =,2,..., m = a b j =, 2,..., n ij ik kj k=
Örnek 4: 45 2 5 0 5+ + 0 0 + 0 6 9 = = 3 2 3 6 2+ 3+ 4 8 9 3 2 Örnek 5: 6 3 x 6x + 3x + x 2 3 4 2 x2 = x+ 4x2 2x3 4 5 x 4x x + 5x 3 2 3
Vektörlerde Çarpma 46 mx boyutlu u sütun vektörü ile xn boyutlu v satır vektörünün çarpımı, mxn boyutlu bir matris verir. a a = =... a m 2 u, v b b2... b n a ab aa2... ab n a a b a b... a b uv = b b... b = 2 2 2 2 2 n 2... n............ a m amb amb2... ambn 3 u=, v = [ 4 5 ] uv = 2 3() 3(4) 3(5) 2() 2(4) 2(5) 3 2 5 uv = 2 8 0
Birim Matris 47 na köşegen elemanlarının, diğer elemanlarının da 0 olduğu kare matrise, birim matris diyoruz. I 0 = I = 0 2 3 0 0 0 0 0 0
I = I = 48 2 3 = 2 0 3 I 0 2 3 2 3 = = = 0 2 0 3 2 0 3 I 0 0 2 3 2 3 = 0 0= = 2 0 3 2 0 3 0 0
Boş Matris 49 Tüm elemanlarının sıfır olduğu matrise, boş matris diyoruz. 0 0 0 0 0 0= 0= 0 0 0 0 0 + 0= 0+ = 0= 0 ve 0= 0
Devrik (Transpose( Transpose) ) Matris 50 Bir matrisin satırlarının sütunlara ve sütunlarının da satırlara dönüştüğü matrise, devrik matris diyoruz. a a a a a a a a a 2 2 3 = = 2 22 a2 a22 a 23 3 23
Devrik Matrislerin Özellikleri 5 ( ) = + B = + B ( ) ( B) = B
52 Ters Matris Bir matris kare matris ise tersi alınabilir. Bir matrisinin tersini - biçiminde gösteririz. Bir kare matrisinin, tersiyle çarpımı birim matrise eşittir. = = I
53 Ters Matrislerin Özellikleri ( ) = ( ) B = B ( ) ( = )
54 Ters Matris ve Doğrusal Denklem Sisteminin Çözümü x = d x= d Ix = d x = d
55 Bir Matrisin Tekil Olmama Koşullar ulları Bir matrisin tersinin alınabilmesi için, kare matris olmasının yanında tekil olmama koşulunu da sağlaması gerekir. Bir kare matrisin satırları ya da sütunları arasında bir doğrusal bağımlılık yoksa, buna tekil olmayan kare matris diyoruz. Bu tür bir matrisin tersi alınabilir. şağıdaki gibi bir kare matrisini dikkate alarak, tekil olmama koşuluna bakalım.
56 a a2... an v a2 a22... a 2n v 2 = =............... a a... a v n n2 nn n n i = kv = i i 0 (x n)
Örnek 6: 57 3 4 5 0 2 v v = = 2 6 8 0 v 3 n i = kv = i i 0 (x n) 2v + 0v v = 6 8 0 + 0 0 0 6 8 0 2 3 [ ] [ ] [ ] = [ 0 0 0]
58 Determinant Yoluyla Tekil Olmamanın n SınanmasS nanması Bir kare matrisinin determinantı sıfıra eşitse, o matris tekildir. Bu durumda matrisinin tersi belirlenemez. Bir matrisinin determinantının nasıl bulunacağını, basit bir 2x2 matristen başlayarak görelim.
59 a a2 = a 2 a 22 a a2 ( ) + ( ) + 2 = = a a + a a = a a a a a a 2 22 0 4 = = 0( 5) 4( 8) = 8 8 5 22 2 2 22 2 2
a a a a a a 2 3 = 2 22 23 a a a 3 32 33 60 a a2 a3 a a a a = a2 a22 a ( ) 23 = a a a + ( ) a2 a a a a a 3 32 33 + 22 23 + 2 2 23 32 33 3 33 ( ) + + 3 a a 2 22 a3 a 3 a 32 ( ) ( ) ( ) = a a a a a a a a a a + a a a a a 22 33 23 32 2 2 33 23 3 3 2 32 22 3
6 2 3 = 4 5 6 7 8 9 2 3 5 6 4 6 4 5 ( ) + ( ) + 2 ( ) + 3 = 4 5 6 = 2 + + 3 8 9 7 9 7 8 7 8 9 ( ) ( ) ( 5) = 2 45 48 36 42 + 3 32 3 = 9
n x n matrisine genelleştirme: 62 a a... a a a... a a a... a a a... a = =........................ a a... a a a... a 2 n 2 n 2 22 2n 2 22 2n n n2 nn n n2 nn + + 2 + n ( ) ( )... ( ) = a M + a M + + a M 2 2 n n n ( ) + j = a M, = a C j j j j j= j= n
63 a a... a a a... a a a... a a a... a = =........................ a a... a a a... a 2 n 2 n 2 22 2n 2 22 2n n n2 nn n n2 nn + 2 2+ 2 n+ 2 ( ) ( )... ( ) = a M + a M + + a M 2 2 22 22 n2 n2 n ( ) i + 2 = a M, = a C i2 i2 i2 i2 i= i= n
64 Örnek 8: 2 3 0 2 3 0 4 5 4 5 = = 3 2 0 4 3 2 0 4 8 3 5 8 3 5
65 4 5 2 0 + 3 2+ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 3 2 4 + 3 2 4 8 3 5 8 3 5 2 0 2 0 3+ 3 4+ 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 5 + 4 5 8 3 5 3 2 4
66 5 4 5 4 ( ) ( ) 3+ ( ) ( ) 3+ 2 ( ) ( ) 3+ 3 = 3 8 + 3 + ( 5) 2 4 3 4 3 2 3 2 2 2 ( ) + 3 ( ) ( ) 2+ 3 ( ) ( ) 3+ 3 0 + 4 + ( 5) 8 3 8 3 3 2 4 2 2 ( ) + 3 ( ) ( ) 2+ 3 ( ) ( ) 3+ 3 0 + 5 + ( 4) 3 2 3 2 4
67 = ( 3) ( 8)( 4) ( 3)( ) + ( 5)( ) ( 4)( 9) + ( 5)( 8) 5 8 + 4 7 ( ) ( )( ) = 382
Örnek 9: 68 7x 3x 3x = 7 2 3 2x + 4x + x = 7 2 3 2x 3x = 2 2 3 denklem sisteminin çözümü tek midir? Bu soruya yanıt verebilmek için, bu sistemin katsayılar matrisinin determinantının sıfırdan farklı olup olmadığına bakarız.
69 = 7 3 3 2 4 0 2 3 + 2+ ( ) ( ) ( ) ( ) = (7) 2+ 2 + (2) 9 6 = 76 0 matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan, denklem sistemindeki tüm içsel değişkenlerin tek çözümü vardır.
Ters Matrisin Bulunması 70 Bir matrisin tersi bulunurken, şu işlemler yapılır.. Tersi bulunacak matris bir kare matris olmalıdır. 2. Kare matris tekil olmamalıdır. Yani determinantı sıfırdan farklı olmalıdır. 3. Matrisin kofaktör matrisi bulunarak, devriği determinantına oranlanır. Yukarıdaki aşamaları, bir örnek matrisle görelim. Bunun için öncelikle kofaktör kavramını inceleyelim.
Kofaktör 7 a a2... an a2 a22... a 2n, ( ) i+ j = Cij = M............ an an2... a nn ij a a... a 22 23 2n C + + ( ) M ( ) = = a a... a 32 33 3n............ a a... a n2 n3 nn
72 a a... a 2 23 2n C + 2 + 2 ( ) M ( ) = = 2 2 a a... a 3 33 3n............ a a... a n n3 nn a a... a 2 3 n C 2+ 2+ ( ) M ( ) = = 2 2 a a... a 32 33 3n............ a a... a n2 n3 nn
73 C C C2... C n C2 C22... C 2n =............ Cn Cn... C nn
Örnek 0: 74 şağıdaki matrisinin, kofaktör matrisini bulalım. 4 3 = 2 0 3 5 0 2 + + 2 C = ( ) M = =, C2 = ( ) M2 = = 7 5 3 5 2 0 4 + 3 3+ 3 C3 = ( ) M3 = = 2, C33 = ( ) M33 = = 3 2 0 8
75 75 0 2 2 0 5 3 5 3 4 3 3 4 5 3 5 3 4 3 3 4 0 2 2 0 C =
76 7 2 C = 7 4 3 ve = 2 4 7 8 7 4 C = 7 4 7 2 3 8
7 4 = C = 7 4 7 2 2 3 8 77 7 4 2 2 2 7 4 7 = 2 2 2 2 3 8 2 2 2
Cramer Kuralı 78 x = d x = d x = C d x C C2... C n d x 2 C2 C22... C n2 d 2 =.................. x C C... C d n n n 2n nn
x d C + d C +... + d C x... 2 d C + d C + + d C =...... x d C + d C +... + d C 2 2 n n 2 2 22 n n2 n n 2 2n n nn 79 x x 2 =... x n n n di C x = d i 2 i C i = i =...... n n d C x = d C i = i = n n di C x i = di C i i = i = 2 i2 i in n i in
80 n n n d C =, d C =,..., d C = i i i i2 2 i in n i= i= i= x = x 2 j x 2 2 x2 = x j = =......... j =,2,..., n x n n n xn =
8 j x j = = a a... d... a 2 n a a... d... a 2 22 2 2n.................. a a... d... a n n2 n nn j. sütunun yerine d vektörü geldi.
Örnek : 82 7x x x = 0 2 3 0x 2x + x = 8 2 3 6x + 3x 2x = 7 2 3 denklem sisteminin çözümünü yapalım.
83 x = d 7 x 0 0 2 x 2 = 8 6 3 2 x 3 7 x d
84 7 0 = 0 2 = 6 = 8 2 = 6 6 3 2 7 3 2 7 0 7 0 = 0 8 = 83 = 0 2 8 = 244 2 3 6 7 2 6 3 7
85 x 6 = = = 6 x 2 83 2 = = = 6 3 x 3 244 3 = = = 6 4
IS-LM Modeli 86 Matris işlemlerinin ekonomi uygulamasında IS-LM modelini inceleyelim. Bu model mal piyasaları (reel kesim) ve para piyasasından (parasal kesim) oluşmaktadır. Reel kesimde ulusal gelir tüketim, yatırım ve kamu harcamaları tarafından belirlenmekte; parasal kesimde para arz ve talep dengesi, bir yandan para arzı merkez bankası tarafından dışsal olarak, diğer yandan para talebi de işlem amaçlı ve spekülatif amaçlı olarak içsel biçimde belirlenmektedir. macımız, her iki kesimi de dengede tutacak olan ulusal gelir, tüketim, yatırım düzeylerinin ve faiz oranının belirlenmesidir.
Modelin denklemleri ve kısıtlamaları şöyledir: 87 Reel Kesim Parasal Kesim Y = C + I + G M = L C = C + c( t) Y M = M 0 0 0 I = I er L= fy gr G = G f, g > 0 0 0< c <, 0< t < e > 0
Bu modelin içsel değişkenleri Y, C, I ve r ; dışsal değişkenleri C 0, 88 I 0, G 0 ve M 0 dır. Modeli bir bütün olarak oluşturduktan sonra, matris biçime dönüştürebilmek için içsel değişkenleri eşitliğin sol yanına, dışsal değişkenleri de sağ yanına toparlarız. Y = C + I + G Y C I + 0r = G 0 0 C = C + c( t) Y c( t) Y + C + 0I + 0r = C 0 0 I = I er 0Y + 0C + I + er = I 0 0 fy gr = M fy + 0C + 0I gr = M 0 0
89 0 Y G0 c( t) 0 0 C C 0 = 0 0 e I I0 f 0 0 g r M 0 x d Y =, C =, I =, r = 2 3 4
90 G 0 0 Y = = C 0 0 0 0 I 0 e M 0 0 0 g 0 G 0 0 c( t) 0 0 =, = 0 0 e C I 0 0 0 0 0 e f 0 0 g M 0 0 0 g
9 = 0 c( t) 0 0 0 0 e f 0 0 g c( t) 0 0 ( )( ) ( )( ) + 3 3+ 3 = 0 0 e + c( t) 0 f 0 g f 0 g
92 0 e ( )( ) + 2 ( )( ) 3+ 3 = + g f g c( t) ( [ ( )]) = ef + g c t
93 G 0 0 = C I 0 0 0 0 0 e M 0 0 0 g 0 G 0 2+ 2+ 2 ( )( ) ( )( ) = C 0 e + I e 0 0 0 0 g M 0 g 0 0
94 0 ( C )( )( ) = + 0 e g 0 + 0 + e 3+ 3+ 3 ( M )( ) ( g)( ) G I 0 0 = gc em g I + G = em + g C + I + G ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0
95 Y = = ( ) em + g C + I + G ef + g c t 0 0 0 0 ( [ ( )]) Y = ( ) [ ( )] em + g C + I + G 0 0 0 0 ef + g c t
Şekil 2.2. IS-LM Modeli 96 r LM * r E 0 Y * IS Y
Dışsal değişkenlerde meydana gelebilecek değişmelerin, denge 97 gelir düzeyi (Y*), tüketim düzeyi (C*), yatırım düzeyi (I*) ve faiz oranı (r*) üzerindeki etkilerini, karşılaştırmalı durağanlık analiziyle görebiliriz. Örneğin para arzını artıran bir para politikasının, ulusal gelir denge düzeyini nasıl etkileyebileceğine bakalım. Bunun için, matris işlemleriyle çözümünü yaptığımız ulusal gelir denge değerinin, para arzı değişkenine (M 0 ) göre türevini alırız.
98 Y = ( ) [ ( )] em + g C + I + G 0 0 0 0 ef + g c t Y e = > M ef + g c t 0 ( + ) [ ( )] ( + ) ( + ) ( + ) 0
Şekil 2.3. IS-LM Modelinde Para Politikası 99 r LM 0 LM * r 0 * r E 0 E IS * Y 0 * Y Y
00 Ya da vergi oranını azaltan bir maliye politikasının, ulusal gelir denge düzeyini nasıl etkileyebileceğine bakabiliriz. Bunun için, matris işlemleriyle çözümünü yaptığımız ulusal gelir denge değerinin, ortalama gelir vergisi oranına (t ) göre türevini alırız.
0 Y = ( ) [ ( )] em + g C + I + G 0 0 0 0 ef + g c t ( em g ( C I G ))( gc) Y 0 + 0 + 0 + 0 = < 2 t ef + g c t ( [ ( )]) 0
Şekil 2.4. IS-LM Modelinde Maliye Politikası 02 (Vergi Oranındaki ndaki zalış ış) r IS 0 IS LM * r E * r 0 E 0 * Y 0 * Y Y
IS-LM Modeli İçin Sayısal Örnek: 03 Bir ekonomi için şu bilgilere sahip olduğumuzu düşünelim: Marjinal tüketim eğilimi, 0.75; ortalama gelir vergisi oranı, 0.30; yatırımların faize olan duyarlılık katsayısı, 60.0; işlem amaçlı para talebi katsayısı, 0.20; spekülatif amaçlı para talebi katsayısı, 50; kamu harcamaları, 000; otonom tüketim harcamaları, 600; otonom yatırım harcamaları, 200; para arzı, 700. Bu ekonomini denge ulusal gelir düzeyi, tüketim düzeyi, yatırım düzeyi ve faiz oranını belirleyelim.
Modeli, yukarıdaki verileri dikkate alarak yeniden yazalım. 04 c = 0.75, t = 0.30, e = 60, f = 0.20, g = 50 G = 000, C = 600, I = 200, M = 700 0 0 0 0 = + + = + + Y C I G0 Y C I 000 0 ( ) C = C + c t Y C = 600 + 0.75( 0.3) Y I = I er 0 fy gr = M 0 I = 200 60r 0.2Y 50r = 700
Y C I 0r = 000 05 0.525Y + C + 0I + 0r = 600 0Y + 0C + I + 60r = 200 0.2Y + 0C + 0I 50r = 700 0 Y 000 0.525 0 0 C 600 = 0 0 60 I 200 0.2 0 0 50 r 700
06 0 0.525 = 0 0 = 35.75 0 0 60 0.2 0 0 50 000 0 = 600 0 0 = 82000 200 0 60 700 0 0 50
07 Y * 82000 = = = 35.75 5090.9 * * * C = 3272.7, I = 88.2, r = 6.36 Bu denge ulusal gelir düzeyinde yatırım-faiz esnekliği nedir? * Ir 6.36 ε ( 60) Ir = = ε 0.47 * Ir = r I 88.2
Basit Bir Duopol Modeli 08 Bu uygulamada, iki firmanın yer aldığı ve homojen bir ürünün üretildiği bir oligopol piyasa dikkate alalım. macımız, eşanlı olarak her iki firmanın da kârını maksimize eden firma üretim düzeylerinin ve dolayısıyla piyasa fiyatının belirlenmesidir. Öncelikle her iki firma için kâr fonksiyonlarını kuralım, ikinci aşamada kâr maksimizasyonu için birinci sıra koşulları elde edelim ve denge üretim miktarları için çözelim.
09 ( ) P = a bq = a b q + q, Q = q + q, a, b> 0 2 2 TC = cq, i =,2 i π = Pq cq = a b( q + q ) q cq 2 π = Pq cq = a b( q + q ) q cq 2 2 2 2 2 2
0 Bu aşamada şöyle bir varsayım yapalım: Firmalar, rakibinin üretim davranışını dikkate almadan kendi kârını maksimize eden üretim düzeyini belirlemektedir. Bu varsayıma, COURNOT varsayımı diyoruz. Bu varsayıma dayalı duopol modeli, COURNOT DUOPOL MODELİ olarak adlandırıl-maktadır. Bu varsayımın matematik olarak anlamı şudur: Bir firma üretim düzeyini değiştirirken, rakibinin üretim düzeyi kendisi için dışsaldır (sabittir).
π = a bq bq c = q 2 2 0 π 2 = a bq bq c = q 2 2 ( ) P = a b q + q 2 2 0
2 0P + 2bq + bq = a c 2 0P + bq + 2bq = a c 2 P+ bq + bq = a 2 0 2b b P a c 0 b 2b q = a c b b q 2 a
3 P = 0 2b b a c 2b b = 0 b 2 b, = a c b 2b b b a b b
2b b = ( )( ) = 3b b 2b 3+ 2 4 b 2b 2b b + 2+ = ( a c)( ) + ( a c)( ) b b b b ( a)( ) + 3+ 2b b b 2b ( )( 2 2) ( )( 2 2) ( )( 2 2 2 2 4 ) = a c b b + a c b b + a b b ( )( ) ( )( ) ( ) = 2 a c b + a 3b = a+ 2c b 2 2 2
5 P ( + 2 ) a c b 2 = = = 2 3b ( 2 ) a+ c a c P =, q = q2 = 3 3b Q = q + q = D 2 2 ( a c) 3b
Tam rekabet piyasası durumunda P fiyatı içsel değil, dışsal 6 (veri) olacaktır. Tam rekabetteki bir firmanın denge üretim düzeyinde P=MC olacağını dikkate alalım ve tam rekabetçi piyasanın toplam üreteceği miktarı belirleyelim. P = MC a bq = c Q = C C a b c
7 Piyasa tekel olsaydı: MR = MC a 2bQ = c Q = M M a c 2b Şimdi her üç piyasanın toplam üretim miktarlarını bir arada yazalım: 2( a c) a c a c QM =, QD =, QC = 2b 3b b
Genel olarak, Cournot varsayımı altında piyasadaki firma sayısıyla (n) toplam üretim miktarı (Q) arasındaki şu ilişkiyi yazabiliriz: 8 Q n a c = ( n+ ) b Firma sayısı sonsuza giderse, toplam piyasa üretimi tam rekabetçi piyasa üretimine yaklaşır: n a c a c lim Q = lim n n ( n ) = b + b L Hospital kuralını uygulayarak
Şekil 2.5. Cournot Duopol Modelinde Denge 9 P P M P D B PC = c E M E C MC ( ) P = a b q + q 2 QM QD QC MR = a 2bq Q
20 Cournot varsayımı altında duopoldeki firmaların eşanlı dengesini bir de tepki fonksiyonları adını verdiğmiz bir araçla ve geometrik olarak görelim. Tepki fonksiyonlarını, kâr maksimizasyonu birinci sıra koşulundan elde ediyoruz. π q a c = a 2bq bq c = 0 q = q 2b 2 2 2 π q 2 2 a c = a bq 2bq c = 0 q = q 2b 2 2 2
Şekil 2.6. Duopolde Cournot-Nash Dengesi 2 q 2. Firmanın tepki fonksiyonu: q a c = q 2b 2 2 Cournot-Nash Dengesi q 2 E 2. Firmanın tepki fonksiyonu: q a c = q 2b 2 2 q q
Cournot Duopol Modeli İçin Bir Sayısal Örnek: 22 Şimdi yukarıdaki Cournot varsayımına dayalı duopol modeline sayısal bir örnek yapalım. Piyasaya ve firmalara ilişkin talep ve toplam maliyet fonksiyonları aşağıda verilmiştir. Bu fonksiyonlardan yararlanarak, ilk olarak kâr fonksiyonlarını oluşturalım ve birinci sıra koşulları elde edelim. P = 00 2 Q, Q = q + q, a, b> 0 TC = 5 q, i =,2 i 2
23 π = Pq cq = a b( q + q ) q cq 2 π = 00 2( q + q ) q 5q 2 π = Pq cq = a b( q + q ) q cq 2 2 2 2 2 2 π = 00 2( q + q ) q 5q 2 2 2 2
24 π = q q2 = q 00 4 2 5 0 π 2 = q q2 = q2 00 2 4 5 0 0P+ 4q + 2q = 95 2 0P+ 2q + 4q = 95 2 P+ 2q + 2q = 00 2
0 4 2 P 95 0 2 4 q = 95 2 2 q 2 00 25 440 = = = 36.7, = = 5.8 2 P q q2 0 4 2 95 4 2 = 0 2 4 = 2, = 95 2 4 = 440 2 2 00 2 2
Yukarıda incelediğimiz duopol modeli Cournot varsayımına dayanmaktaydı. Yani firmalar, rakiplerinin üretim miktarını veri (dışsal) alarak kendi kârlarını maksimize etmeye çalışıyorlardı. Şimdi bu varsayımı kaldıralım, yerine her bir firmanın rakibinin üretim davranışını izlediğini ve buna tepki vererek kendi kârını maksimize etmeye çalıştığı varsayımını getirelim. 26 Bu varsayım matematik olarak, kâr fonksiyonlarında kısmi türevler alınırken, rakip firma üretim miktarını bir değişken gibi dikkate almamızı gerektirir.
Yukarıdaki varsayım değişikliği dışında, modelimizin yapısı önceki incelememizle aynıdır. 27 ( ) P = a bq = a b q + q, Q = q + q, a, b> 0 2 2 TC = cq, i =,2 i π = Pq cq = a b( q + q ) q cq 2 π = Pq cq = a b( q + q ) q cq 2 2 2 2 2 2
Kâr maksimizasyonu için gereken birinci sıra koşulları oluşturalım: 28 π q ( ) q 2 = a b q + q 2 b + q c = q q q 0 π 2 q ( ) q 2 = a b q + q 2 b + q2 c = q 2 q2 q2 0
macımız, kârı maksimize eden üretim miktarları ve fiyatı aynı anda belirlemektir. Bunu elde edebilmek için, üç bilinmeyen (q, q 2, P) yanında üç denklem gereklidir. Denklemlerden ikisi birinci sıra koşullardan, üçüncüsü de piyasa talep denkleminden gelmektedir. q ( ) 2 a b q + q 2 b + q c = 0 q q ( ) a b q + q 2 b + q2 c = 0 q2 P = a bq bq 2 29
30 q 2 a c 0P+ 2+ q + q2 = q b q a c 0P+ q + 2+ q2 = q2 b P+ q + q = 2 a b
3 q a c 2 0 2+ q P b q a c 0 2+ q = q 2 b q2 a b
32 q q 2 0 2 q =, = 0 2+ 2 + q q 2
33 a c 0 b 2 a c = 0 2+ b q q 2 a b
34 q 2 q q a c = 2+ 2+, 2 = + q q2 q 2 b q q a c + q b 2 2 = = q2 q 2+ 2+ q q 2
Şimdi üç firmalı (triopol) bir sayısal örneği yapalım. Firmaların maliyetlerinin farklı olduğu varsayımını da ekleyelim. Piyasa talep fonksiyonu, firmaların maliyet fonksiyonları ve varsayımsal değişimler aşağıda verilmiştir. 35 P = 00 2Q TC = 2 q, TC = 5 q, TC = 0q 2 2 3 3 q q q q q q = = = = = = q q q q q q 2 2 3 3, 0.5, 0.8, 0.5,,.2 2 3 3 2
Kâr fonksiyonları: 36 ( ) π = 00 2 q + q + q q 2q 2 3 ( ) π = 00 2 q + q + q q 5q 2 2 3 2 2 ( ) π = 00 2 q + q + q q 0q 3 2 3 3 3
37 Kâr maksimizasyonu için birinci sıra koşullar: π q ( ) q2 q 3 = 00 2 q + q2 + q 3 2 + + q 2 = 0 q q q q π 2 q ( ) q2 q 3 = 00 2 q + q2 + q 3 2 + + q2 5 = 0 q 2 q2 q2 q2 π 3 q ( ) q2 q 3 = 00 2 q + q2 + q 3 2 + + q3 0 = 0 q 3 q3 q3 q3
38 Varsayımsal değişim değerlerini ilgili yerlere yazalım: ( ) ( ) 00 2 q + q2 + q3 2 + 0.8 + q 2 = 0 00 2( q ) ( ) + q2 + q 3 2 + +.2 q2 5= 0 ( ) ( ) 00 2 q + q2 + q3 2 0.5 + 0.5 + q3 0 = 0
Talep denklemini de dikkate alarak, yukarıdaki denklemleri düzenleyelim: 39 0P+ 7.6q + 2q + 2q = 98 2 3 0P+ 2q + 8.4q + 2q = 95 2 3 0P+ 2q + 2q + 6q = 90 2 3 P + 2q + 2q + 2q = 00 2 3
40 Yukarıdaki denklemleri matris biçimde tanımlayalım: 0 7.6 2 2 P 98 0 2 8.4 2 q 95 = 0 2 2 6 q 90 2 2 2 2 q 00 3
0 7.6 2 2 4 0 = 2 8.4 2 = 3.04 0 2 2 6 2 2 2 0 7.6 2 98 4 0 = 2 8.4 95 = 3067.2 0 2 2 90 2 2 00
42 q 3 3067.2 4 = = = 3.04 9.86 q 2 3 = = 8.47, q2 = = 6.94 P = = 49.4
Leontief Girdi-Çıkt ktı Modeli 43 Wassily W. Leontief tarafından ortaya konulan girdi-çıktı modeli, nihai talebin karşılanabilmesi için bir ekonomide yer alan n tane sektörün her birinin ne kadar üretim yapması gerektiğine yanıt vermektedir. sektörlerin bazıları, kendi aralarında girdi alış-verişi yaparlar. Örneğin tekstil sektörü mobilya, otomobil sektörleri gibi çok sayıda endüstriye girdi sağlar. şağıda matris işlemlerini kullanarak bu modeli anlatacağız. Öncelikle varsayımlarımızı belirleyelim ve bazı kavramları tanıyalım.
44 Varsayımlar: Her bir sektör yalnızca bir türdeş mal üretmektedir. Her bir sektörün çıktısını elde edebilmek için, girdiler sabit bir oranda kullanılmaktadır. Her bir sektör ölçeğe göre sabit getiriyle çalışmaktadır.
Girdi Katsayılar ları Matrisi: 45 Girdi katsayıları matrisi, belirli bir ürünün bir liralık üretimi için, diğer sektörlerden ne kadar girdi alması gerektiğini tanımlar. a ij, j. maldan bir birim üretmek için gerekeli olan i. girdi miktarını göstermektedir. Girdi-çıktı matrisinin her sütunu, belirli bir sektörün bir birim üretim için ne kadar girdilere gereksinimi olduğunu gösterir. Örneğin a 23, üçüncü sektörün bir birim üretim yapabilmek için ikinci sektörden ne kadar girdi alacağını gösterir. Kapalı model durumunda sütun toplamı e eşittir.
46 GİRDİ ÇIKTI [ I II III... N ] I II III... N a a a... a a a a... a a a a... a............... a a a... a 2 3 n 2 22 23 2n 3 32 33 3n n n2 n3 nn
Bir sektör, girdi-çıktı sektörleri dışındaki bir sektörün çıktısına 47 da (örneğin işgücüne) gereksinim duyuyorsa, girdi-çıktı modeli açık k modele dönüşmüş olacaktır. Bu durumda ilgili sektörün bir birimlik üretim için gereksindiği girdileri gösteren sütun toplamı den küçük olur. n i = a <, j =,2,..., n ij
Şimdi her bir için toplam arz ve toplam talebi eşitleyerek 48 yazalım. çık sektörün talebini de ( d i ) dikkate alalım. x = a x + a x + a x +... + a x + d 2 2 3 3 n n x = a x + a x + a x +... + a x + d 2 2 22 2 23 3 2n n 2... x = a x + a x + a x +... + a x + d n n n2 2 n3 3 nn n n
macımız, her bir sektörün girdi gereksinimini tam olarak karşılanması için sektörlerin denge üretim düzeylerini belirlemektir. Yani x, x 2,,x n için eşanlı çözüm yapacağız. Bunun için, yukarıdaki denklemleri matris biçimine uygun olarak düzenleyelim ve daha sonra ters matris yoluyla çözelim. x a x a x a x... a x = d 2 2 3 3 n n 49 x a x a x a x... a x = d 2 2 22 2 23 3 2n n 2... x a x a x a x... a x = d n n n2 2 n3 3 nn n n
50 ( ) a x a x a x... a x = d 2 2 3 3 n n ( ) a x + a x a x... a x = d 2 22 2 23 3 2n n 2... ( ) a x a x a x... + a x = d n n2 2 n3 3 nn n n
5 ( a ) a2... a n x d a ( ) 2 a22... a2n x2 d2 =.................. a ( ) n an2... ann xn dn
52 0 0 0 a a2... an x d 0 0 0 a2 a22... a2n x2 d2 = 0 0 0.................. 0 0 0 an an2... a nn xn dn I x d ( I ) x = d
53 ( ) = ( ) ( ) = ( ) I x d I I x I d I ( ) ( ) Ix = I d x = I d
Leontief girdi-çıktı modeline sayısal bir örnek verelim ve 54 çözümü ters matris yoluyla yapalım. Ekonominin girdi-çıktı matrisi ve nihai talep şöyledir: a a2 a3 0.2 0.3 0.2 = a2 a22 a23 = 0.4 0. 0.2 a3 a32 a 33 0. 0.3 0.2 d = 0, d = 5, d = 6 2
55 I II III 0.2 0.3 0.2 = 0.4 0. 0.2 0. 0.3 0.2 0.7 0.7 0.6 0.3 0.3 0.4
( ) x = I d 56 0 0 0.2 0.3 0.2 = 0 0 0.4 0. 0.2 0 0 0. 0.3 0.2 ( I ) 0.8 0.3 0.2 = 0.4 0.9 0.2 0. 0.3 0.8 ( I )
Şimdi (I-) matrisinin tersini bulalım. 57 ( ) I = C ( I ) ( I ) 0.8 0.3 0.2 = 0.4 0.9 0.2 = 0.384 0. 0.3 0.8
58 C 0.66 0.34 0.2 0.66 0.30 0.24 = 0.30 0.62 0.27 C = 0.34 0.62 0.24 0.24 0.24 0.60 0.2 0.27 0.60 0.9 0.2 ( ) + ( ) + C = M C = = 0.66 0.3 0.8 0.8 0.3 ( ) 2+ 3 ( ) 2+ 3 C23 = M23 C = = 0.27 0. 0.3
59 I = C = 0.384 ( ) ( I ) 0.66 0.30 0.24 0.34 0.62 0.24 0.2 0.27 0.60.72 0.78 0.63 = 0.89.62 0.63 0.55 0.70.56 ( I )
( ) x = I d 60 x.72 0.78 0.63 0 x2 = 0.89.62 0.63 5 x 3 0.55 0.70.56 6 x x 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) =.72 0 + 0.78 5 + 0.63 6 = 24.84 ( )( ) ( )( ) ( )( ) = 0.89 0 +.62 5 + 0.63 6 = 20.68