Mekanik Titreşimler ve Kontrol Prof.Dr. Selim Sivrioğlu s.selim@gtu.edu.tr 03.10.2018
Ders Ön şartları ve Yükümlülükleri Temel Dinamik MATLAB/Simulink bilgisine sahip olmak. Derse devam zorunluluğu yoktur. (Ders notları dersin tüm içeriğini kapsamayabilir) Yıl İçi Sınavı Ödev ( ders içi ödev ve yıl sonu proje ödevi) Final Sınavı Değerlendirme: Vize (%40) + Final(%40) + Ödev(%20)
Dersin Amaçları Titreşim sistemlerinin matematiksel olarak modellenmesi Analiz ve simülasyon Titreşim sistemlerine uygulanan Temel Kontrol yaklaşımları ve uygulamaları Ödevler maille gönderilecek. Ödev gönderme formatı: İsimSoyad_ÖdevNo.doc veya pdf Ders notları ve duyurular ders web de bulunabilir. http://anibal.gyte.edu.tr/hebe/w/ac.asp?/view/109/565/63288041/downloads
Kaynaklar Vibration with Control Daniel J. Inman, WILEY, 2006. Mechanical Vibrations, S. S. Rao, 5th ed., Prentice Hall 2010 Fundementals of Mechanical Vibrations, S.G.Kelly, McGraw Hill, 2000. Active Control of Structures A. Preumont, K. Seto, WILEY, 2008. Tek bir kaynaktan takip yapılmıyor. Değişik kaynaklardan faydalanılıyor.
Titreşimin tanımı Titreşim dinamik sistemlerin salınım hareketi olarak tanımlanabilir. Dinamik bir sistem göreceli olarak hareket eden parçaların oluşturduğu bir yapıdır. Kütleye ve elastikliğe sahip olan bütün yapılar titreşim yapma kabiliyetine sahiptir. Titreşim genelde istenmeyen bir durumdur. Çoğu durumda titreşim kontrolü amaçlanmaktadır. Titreşimin kullanıldığı yani istendiği makine sistemleri de vardır. Titreşimin bir sonucu olarak makine elemanlarının kırılması söz konusu olabilir. Bir çok cihazın performansı titreşimin kontrolüne bağlıdır.
Titreşimin en basit formu Yerdeğiştirme Genlik zaman Frekans Periyot T [ s ] 1 Frekans f n = [ Hz = 1/s ] T n = 2f = n k m Titreşim Doğal frekansı
Doğada Titreşim Bilezik titreşim(ring vibration)hareketi esaslı kanat çırpma hareketi. Haşerelerin kanat çırpma mekanizması Göğüs kafesi ve kasların rezonans titreşimi(büzülme/genişleme) Dairesel titreşim(ring vibration)hareketi
The first wireless flying robotic insect takes off http://www.washington.edu/news/2018/05/15/robofly/
Engineers at the University of Washington have created RoboFly, the first wireless flying robotic insect.
Newton s second law Newton s second law states that when an unbalanced force acts on a particle, the particle will accelerate in the direction of the force with a magnitude that is proportional to the force. F F a 1 1 a 2 2 F m (+) a F F F a a a 1 2 n = = = 1 2 n m The verification & justification of Newton s second law is purely eperimental F n a n 10/3/2018 10
Titreşimin esasları Bir titreşim sisteminin elemanları: (1) kütle, (2) yay, (3) damper, (4) tahrik m kütlesi katı bir cisim olarak düşünülmektedir. Kütle titreşimi yapan elemandır ve esas olarak cismin hızının değişimine bağlı olarak kinetik enerjisi artar veya eksilir. Statik denge konumu 0 Yay k m Yerdeğiştirme Sönüm c Tahrik Kuvveti Ft ( ) Newton kanununa göre kütlenin ivme ile çarpımı kütleye uygulanan kuvvete eşittir ve ivme kuvvetin etkidiği yöne doğrudur. İş, kuvvet ile yerdeğiştirmenin çarpımıdır ve iş kuvvetle aynı yöndedir. Titreşim hareketinde iş kütlenin kinetik enerjisine dönüşür. Eğer iş pozitif ise kinetik enerji artar ve iş negatif ise kinetik enerji azalır.
Titreşimin esasları J k t c t
Titreşimin esasları m+m 1 m n = 2f = n k m+ m 1 Kütlenin artması titreşim frekansının azalmasına neden olur(yay sabiti değişmediği durumda).
Titreşimin esasları k yayı elastikliğe sahiptir ve kütlesi ihmal edilmektedir. Yay kuvveti yay açıldığında veya sıkıştırıldığında oluşmaktadır. Bu nedenle yay kuvveti yayın iki ucu arasında göreceli yerdeğiştirme varsa oluşmaktadır. Bir yayı deforme etmekle yapılan iş potansiyel enerjiye dönüşmektedir yani yay içinde enerji depo edilmektedir. Lineer bir yay için Hooke kanunu geçerlidir yani kuvvet yay deformasyonu ile orantılıdır ve k katılık veya yay sabiti olarak isimlendirilir.
Titreşimin esasları Bir çok sistemde yay etkisi oluşturan elastiklik vardır.
Titreşimin esasları c damperi ne kütledir nede elastiklik. Damper kuvveti sadece damperin iki ucu arasında göreceli bir hareket varsa oluşur. Dampere iş veya enerji girişi ısıya dönüştürülür. Sönüm elemanı konservatif değildir. Sönüm kuvvetinin hız ile orantılı olduğu durum viskoz sönümdür ve lineer sönüm olarak isimlendirilmektedir. Mühendislikte genellikle viskoz sönüm düşünülmektedir. Viskoz sönüm katsayısı c birim hız başına kuvvet olarak ölçülmektedir. f c
Titreşimin esasları Sönümün artması titreşim genliğini azaltır.
Titreşimin esasları Tahrik. Bir sisteme enerji tahrik uygulanması ile girer. Makinelerde tahrik genellikle dönen elemanların balansızlıklarından dolayı oluşur. e m Feq sint t m t 0 k /2 c k /2
Titreşimin esasları Eğer sisteme uygulanan dış kuvvet sinüzoidal ise sistem dış kuvvetle aynı frekansta kuvveti takip edecektir. Genlik ve faz farklı olabilir. Bir sisteme etki eden dış tahrik sistemin doğal frekansını değiştirmez.
Titreşimin esasları Birçok sistemde yay ve sönüm sisteme ait bir özellik olarak bulunur. Trambolin etkisi Tenis, golf, beyzbol gibi oyunlarda topun rakete çarpma sonrasındaki hareket trambolin etkisine iyi bir örnektir. Topun dinamiği bu tip bir çarpma hareketinde hem esnekliğe hem de sönüme sahiptir. Yani top kütlesi, yay ve sönüm özellikleri modelleme içinde birlikte ele alınır.
Titreşimin esasları Basit sarkaç salınım hareketi m kütlesinin potansiyel ve kinetik enerjisinin salınım hareketi esnasında değişimi ile oluşmaktadır.
Titreşimin esasları-serbestlik derecesi Zamanın herhangi bir anında bir sistemin bütün kısımlarının konumunu tamamıyla tanımlamak için gerekli minimum bağımsız koordinatların sayısı(değişken sayısı) sistemin serbestlik derecesini tanımlar.
Titreşimin esasları-modelleme Taşıt titreşimleri Araç kütlesi M, şok obserber yay katsayısı k ve sönüm katsayısı c olan araç fiziksel modelini düşünelim. Yol pürüzlülüğünün sisteme tahrik olarak etkidiği düşünülerek modelleme ve analizler yapılabilir.
Titreşimin esasları-modelleme Bir sistem için birden çok model oluşturulabilir. Burada serbestlik derecesi oluşturulan modelin gerçek sistem davranışını verecek şekilde yansıtır. Serbestlik derecesi arttıkça çözüm zorlaşmaktadır. Tek serbestlik dereceli sistem İki serbestlik dereceli sistem
Titreşimin esasları-modelleme Sürücü dinamiğini hesaba katan model
Titreşimin esasları-modelleme Tornalamada kesici takım ile parça arasındaki etkileşimin titreşim modeli M. U. Jen and E. B. Magrab, The dynamic interaction of the cutting process, work piece, and lathe s structure in facing, ASME Journal of Manufacturing Science and Engineering, Vol. 118, pp. 348 358 (1996).
Titreşimin esasları Titreşimin sınıflandırılması: 1. -Serbest titreşimler -Zorlanmış titreşimler 2. -Sönümsüz titreşimler -Sönümlü titreşimler 3. -Lineer titreşimler -Nonlineer titreşimler 4. -Deterministik titreşimler -Random titreşimler
Titreşim kontrolü Titreşim kontrolü genel olarak 3 başlıkta gruplandırılabilir: Pasif kontrol Yarı aktif kontrol Aktif kontrol 28
Titreşim kontrolü Ders içeriğinde aktif geri beslemeli kontrol yapısı esas alınacak ve kontrol tasarımı anlatılacaktır. Gürültü d Referans r + - e Kontrolör + + Sistem Ölçüm y 29
Titreşim kontrolü Taşıtlarda aktif veya yarı aktıf titreşim kontrolü çalışmaları süspansiyon sistemleri ile yapılmaktadır.
Titreşim kontrolü Smart Material manufactures and develops advanced piezoceramic composites. https://www.smart-material.com/inde.html
Titreşim kontrolü Kontrol edilebilir aktif veya yarı aktif yapılar konsepti bir çok mühendislik sistemini değiştirecektir. https://www.smart-material.com/inde.html
Matlab A A A = [ ] 00 = 1 = [1] 11 1 2 = 3 4 22 A a a a a a a 11 12 1m 21 22 2m = a a a n1 n2 nm nm 33
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü d = dt f (, t) [, t] = ode23(odefun, tspan,0) [, t] = ode45(odefun, tspan,0) tspan = [t0, tfinal] 34
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü Dinamik sistemler için genel denklem: d = f (, t) + u( t) dt y = g(, t) u(t) dış girişler y(t) ölçülen çıkışlar 35
36 f M M C M K + = 1 0 1 0 2 1 2 1 = 2 1 0 1 y ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t C t y t Bu t A t = + = ), ( ) ( ), ( t g y t u t f dt d = + = Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü d = dt f (, t) 1 2 = 2 = K M 1 C M 2 Sistemde u(t)=0 sadece başlangıç şartları esas alınarak çözüm. 0 = 0.05 0 t = 0 5 37
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü %Diferansiyel denklem cozumu %stpod.m t0=0; tf=5; 0=[0.05 0]; tspan=[t0 tf]; 0.06 [t,]=ode23(@stspode,tspan,0); plot(t,) label(' Zaman [ s ]'); ylabel(' Yerdegistirme '); % function dosyasi % stspode.m function [dot]=stspode(t,) M=2; C=8; K=20; dot=[(2); -(K/M).*(1)-(C/M).*(2)]; Yerdegistirme 0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06-0.08 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Zaman [ s ] 38
39 1 2 1 2 2 1 1 y u M M C M K = + = = = 0 0 0 5 0 = t ), ( ) ( ), ( t g y t u t f dt d = + = Diferansiyel Denklemlerin Çözümü Sistemde başlangıç şartları sıfır iken u(t) adım giriş ve çıkış değişkeni y(t)= 1 durumunda çözümün bulunması.
Yerdegistirme Diferansiyel Denklemlerin Çözümü %Diferansiyel denklem cozumu %stpod2.m t0=0; tf=5; 0=[0 0]; tspan=[t0 tf]; [t,]=ode23(@stspode2,tspan,0); y=(:,1); plot(t,y) label(' Zaman [ s ]'); ylabel(' Yerdegistirme '); 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 % function dosyasi % stspode.m function [dot]=stspode2(t,) M=2; C=8; K=20; 0.01 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Zaman [ s ] dot=[(2); -(K/M).*(1)-(C/M).*(2)]+[0; (1/M)];
Simulink Modeli Oluşturma 41
42 Diferansiyel Denklemlerin Çözümü 0 1) ( 2 = + + Van der Pol Equation 1 2 = = 1 2 2 1 2 2 1 ) 1 ( = =
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü % Vanderpol denkleminin cozumu % vdpe.m % function dosyasý % vdpm.m t0=0; % baþlangıç zamanı function dot=vdpm(t,) tf=20; % bitiþ zamanı 0=[0.25 0]; % ilk şartlar dot=[(2);(2).*(1-(1).^2)-(1)]; tspan=[t0 tf]; [t,]=ode45('vdpm',tspan,0); plot(t,) label(' t [ s ]'); ylabel(' '); 3 2 1 0-1 -2-3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t [ s ] 43
Simulink Modeli Oluşturma 1 2 = 2 = ( 1 ) 2 1 2 1 44
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü lsim komutu ile çözüm 1 0 1 0 1 0 = 0 0 1 + 0 u 2 2 3 24 26 9 3 1 y = 1 1 0 1 2 3 1 (0) = 0, u = e 2 t Bu sistemin analitik çözümü: y( t) = 6.5e + 19e 11.5e 2t 3t 4t 45
Diferansiyel Denklemlerin Çözümü t=[0:0.01:5]; 0=[ 1 ; 0; 2]; a=[ 0 1 0; 0 0 1; -24-26 -9]; b=[0; 0 ; 1]; c=[1 1 0]; d=0; u=ep(-t); [yn,]=lsim(a,b,c,d,u,t,0); ya=-6.5*ep(-2*t)+19*ep(-3*t)-11.5*ep(-4*t);%analitik cozum plot(t,yn,'b--',t,ya,'r-'); label('t [ s ]'); ylabel('y_n, y_a'); grid; title('forced responses with initial states using analytical and numerical solutions'); 46