13. Olasılık Dağılımlar Mühendislik alanında karşılaşılan fiziksel yada fiziksel olmayan rasgele değişken büyüklüklerin olasılık dağılımları için model alınabilecek çok sayıda sürekli ve kesikli fonksiyon bulunmaktadır. Ne var ki seçilen fonksiyon yani teorik dağılım ilgili rasgele değişkene ilişkin deneysel dağılımı (histogram) olabildiğince gerçekçi biçimde yansıtmalıdır Bu bağlamda, örneğin bir sürekli X rasgele değişkenine ilişkin f(x) fonksiyonunun yalnızca biçiminin tahmin edilmiş olmasının, fonksiyona ilişkin eğrinin altında kalan alanlarla belirlenen olasılıkların hesaplanmasını sağlamayacağı göz önünde bulundurulmalıdır. Çünkü söz konusu alanların hesaplanabilmesi için anılan eğrinin denkleminin de belirlenmiş olması gerekir. Olasılıksal problemlerin çözümünde ise. model (fonksiyon) belirlendikten sonra. modele ilişkin parametreler, örnekleme sonucu sağlanan istatistiksel verilerle tahmin edilir: örnek ortalama değeri, örneğin standart sapması gibi. Bu bağlamda en uygun modelin seçimi, varolan fonksiyonların özelliklerinin çok yakından bilinmesini gerektirir. Özetle model konusunda en uygun kararın verilmesi, mühendisin bu konudaki bilgisine, deneyimine ve mühendislik sezgisine bağlıdır. Mühendislik alanında karşılaşılan rasgele değişkenlerin deneysel dağılımlarının çoğunu çok yakından betimleyen çözümsel modellerin başlıcaları; Normal dağılım Lognormal dağılım Binom dağılımı Poisson dağılımı Üssel dağılım Gamma dağılımı 2
Khi-kare dağılımı Geometrik dağılım t tağılımı F dağılımı Üniform dağılım Beta dağılım Weibull dağılımı Normal dağılım (Gauss dağılımı) İstatistiğin tüm alanlarında rastlanan geniş ölçüde kullanılan en önemli sürekli olasılık dağılımı normal dağılımdır. Doğada, sanayide, bilimsel araştırmalarda ve tüm mühendislik alanlarında karşılaşılan rasgele değişkenlerin deneysel dağılımlarının pek çoğunun yapısına uyar. Dağılımın normal eğri terimiyle adlandırılan grafiği çan biçimindedir. Normal değişkenin olasılık dağılımını tanımlayan matematiksel bağıntı iki parametreye bağlı değişir: ortalama değer.ve standart sapma. Normal dağılımın Özellikleri: 3
X ekseni ile normal eğri arasında kalan alan bire eşittir. Normal dağılım ortalamaya göre simetriktir. Normal dağılımda: değerlerin % 68.26 sı aralığında, % 95.44 ü aralığında ve % 99.74 ü aralığında yer almaktadır. 4
Normal dağılım simetrik olduğundan çarpıklık katsayısı sıfırdır Normal dağılımın basıklık katsayısı 3 dür. Eklenik dağılım fonksiyonu doğrusal bir çizgidir. Dağılım simetrik olduğundan ortalama, mod ve medyan değerleri eşittir. Standart Normal Dağılım Standart normal dağılım, normal dağılımın µ=0 ve σ=1 olduğu özel bir durumdur. Standart normal dağılımda rassal değişken z ile gösterilmektedir. Standart normal dağılımın birimi olan z değerlerine z skorları, standart birimler ya da standart skorlar da denir. z Değerleri Standart normal eğrinin yatay ekseni üzerinde işaretlenmiş birimlere z değerleri ya da z skorları denir. Yatay eksen üzerindeki bir noktanın z değeri, ortalamayla o nokta arasındaki uzaklığın standart sapma cinsinden değeridir. Örneğin, z=2 nin anlamı, sağ tarafta o noktanın ortalamaya iki standart sapma uzaklıkta olduğudur. Aynı biçimde z=-2 nin anlamıyla sol tarafta yine iki standart sapma uzaklıkta olduğudur. Tablo 13.1 de verilmiş olan standart normal dağılım tablosu, standart normal eğri altında; z=0 ile 0.00 dan 3.4 e kadar olan z değerleri arasındaki alanları vermektedir. Bu tablonun okunmasına, standart normal dağılımın ortalaması olan z=0 noktasından başlanmaktadır. Daha önce de söz edildiği gibi, normal dağılım eğrisi altındaki toplam alan 1.0 dir ve simetrik nedeniyle ortalamanın her iki tarafındaki alan da 0.5 yani % 50 dir. 5
Normal dağılımın parametreleri olan ve değerlerinin tanım aralıklarının gereği olarak. teorik olarak, sonsuz sayıda normal dağılım düşünülebilir. İstatistikte normal dağılıma sahip bir X değişkeninin belirli bir değere eşit veya daha küçük, belirli bir değere eşit veya daha büyük yada belirli iki değer arasındaki değerleri alma olasılıklarının hesaplanması sık gereksinim duyulan bir durumdur. Sözü edilen bu olasılıkların hesaplanması için integral işlemi gereklidir. Ancak teorik olarak sonsuz sayıda olan normal dağılımlardan sadece bir tanesi için integral değerlerinden bazıları hesaplanarak tablo halinde yayınlanmıştır. Bu tablolar ortalaması sıfır ve standart sapması bir olan normal dağılım için hazırlanmıştır. ve olan normal dağılım standart normal dağılım olarak bilinir. Standart normal dağılmış olan Z sürekli değişkenine ait olasılıkların standart normal dağılım tablosundan bulunması: Örnek 1: Z standart normal değişkeninin 1.06 ya eşit veya daha küçük değerler alma olasılığı nedir? Örnek 2; Z standart normal değişkeninin 3.25 değerine eşit veya daha büyük değerler alma olasılısı nedir? 6
Örnek 3; Z standart normal değişkeninin -0.19 değerine eşit veya daha küçük değerler alma olasılığı nedir? Örnek 4; Z standart normal değişkeninin 1.02 ve 2.12 veya bu aralıktaki değerlen alması olasılığı nedir? Örnek 4; Z standart normal değişkeninin 1.02 ve 2.12 veya bu aralıktaki değerleri alması olasılığı nedir? Tablo 13.1: Standart normal dağılım tablosu ve z değerleri 7
8
Standart normal dağılım dışındaki normal dağılımlar için alan hesaplamalarında kullanılacak hazır tablolar yoktur. Ancak her normal dağılım, doğrusal dönüştürmesi ile standart normal dağılıma dönüşür. Bu dönüştürmeden olasılık hesaplarında standart normal dağılım tablosundan faydalanılır. Örnek 5; X değişkeni ortalaması 100 ve varyansı 144 olan bir normal dağılım göstermektedir. Rassal olarak seçilecek bir birimin değerinin 112 yada daha küçük olma olasılığı nedir? Örnek 6; Bir beton kütlesini göz önüne alalım. X betonun basınç mukavemeti olsun. İstatistiksel deneyler sonucu normal dağılım parametreleri 32 MPa ve MPa tahmin edilmiş bulunsun. Bu bilgilere göre aşağıdaki soruları cevaplandıralım. a) Beton basınç mukavemetinin 25 MPa ile 40 MPa arasında değer alması olasılığı ne olur? P(25< X < 40) = P(Z < (40-32)/3) - P(Z < (25-32)/3) = P(Z < 2.67) - P(Z < -2.33) Tablodan; P(Z < 2.67) - [1- P(Z < 2.33)] = P(25< X < 40) = 0.0062 -[1-0.9900] = 0.9863 9
b) mukavemetin en az 20 MPa olması ihtimali nedir? P(X> 20) = 1 - P(Z< (20-32)/3) = 1 - P(Z< -4) = 1- [1- P(Z<4)]= 0.9999 Kaynaklar BAÜ Müh-Mim Fak. İstatistik Dersi Dr. Banu Yağcı 10