Mtemtik SINIF FEN LİSESİ. FASİKÜL Üstel ve Logritmik Fonksiyonlr Diziler Tmmı Çözümlü Öğretmen Seti Koly Erişilebilir Dijitl İçerikler Ücretsiz Öğretmen Üyeliği Yeni Müfredt Uygun 0 soru nılgılrı ışı Konu Müfredt D Uyrılrı olojileri Bilgi Tekn Uyrlmlrı Sorulr Pis Trzı mış ÖSYM Çık Sınv Sorulrı mler Video Çözü Kvrm Y f Diğer mizi setleri.com sikül itht kill.cp w den w w dresin iz. ilirsin si teyeb
Teşekkürler Değerli öğretmenimiz ZferDeğerli AĞBULUT, Bhri GÜÇLÜER, öğretmenlerimiz Ertuğrul BAŞ ve Burk KIRKDEVELİ'ye Hlil???????ELİ ve Hüseyin GÜNEŞ'e ktkılrındn dolyıederiz. ktkılrındn dolyı teşekkür teşekkür ederiz. Bu kitp MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI TALİM VE TERBİYE KURULU BAŞKANLIĞI nın.0.08 trih ve syılı krrı ile belirlenen ORTAÖĞRETİM FEN LİSESİ MATEMATİK DERS PROGRAMINA GÖRE HAZIRLANMIŞTIR. GENEL YAYIN YÖNETMENİ Bu kitbın her hkkı Çp Yyınlrın ittir. 86 ve 6 syılı Fikir ve Snt Eserleri Yssın göre Çp Yyınlrının yzılı izni olmksızın, kitbın tmmı vey bir kısmı herhngi bir yöntemle bsılmz, yyınlnmz, bilgisyrd depolnmz, çoğltılmz ve dğıtım ypılmz. İLETİŞİM Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Gülten YILDIRIM - Hzl ÖZNAR DIZGI ÇAP Dizgi Birimi SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ. BASKI Ağustos 08 ÇAP YAYINLARI«Ostim Mh. 0 Sokk No: /C D Ostim / Ankr Tel: 0 6 F: 0 0 0 www.cpyyinlri.com.tr bilgi@cpyyinlri.com.tr twitter.com/cpyyinlri fcebook.com/cpyyinlri instgrm.com/cpyyinlri
Gelecek için hzırlnn vtn evlâtlrın, hiçbir güçlük krşısınd yılmyrk tm bir sbır ve metnetle çlışmlrını ve öğrenim gören çocuklrımızın n ve bblrın d yvrulrının öğreniminin tmmlnmsı için hiçbir fedkârlıktn çekinmemelerini tvsiye ederim.
ÖN SÖZ Değerli Meslektşlrımız, Çp Yyınlrı olrk, 0, ve. sınıf fen lisesi fsikül setlerimizi "Tmmı Çözümlü" öğretmen seti (her sorunun hemen ltınd çözümü olck şekilde) ve öğrenci seti (soru çözümleri çıkrılrk) olmk üzere iki frklı şekilde hzırldık. Çok yoğun oln fen lisesi müfredtını yetiştirebilmeniz ve bu rd dersleri verimli bir şekilde geçirebilmenizi sğlmk için fsiküllerimizi şu şekilde oluşturduk: Kznım Syfsı: Bir konunun fen lisesi müfredtın uygun sıryl ve toplm kç kznımd nltılcğı belirtildi. Anhtr kelimeler ile semboller ve okunuşlrı gösterildi. Bilgi ve iletişim teknolojileri kullnımı bşlığı ltınd derslerde kullnılbilecek internet sitesi tvsiye edilmiştir. Özellikle www.desmos.com internet sitesini, kullnım kolylığı çısındn önermekteyiz. Bilgi Syfsı: Her lt konu ile ilgili gerekli bilgilerin, kıs örneklerin verildiği ve öğrencilerin kendi notlrını yzbileceği sütunun yer ldığı syflrdn oluşturuldu. Kvrm ynılgılrı ve yeni müfredtt yer lmyn konulr belirtildi. Konu Kvrm Syflrı: İlgili lt konuyu ilgilendiren bütün soru türleri "kznım" bşlığı ltınd verildi. Her kznımın ltınd kolydn zor doğru, öğrenciyi her sorud bir bsmk yukrıy tşıyck şekilde Bloom un tksonomisi dikkte lınrk titizlikle oluşturuldu. Bu sorulr durum göre çık uçlu y d çoktn seçmeli olrk plnlndı. Konu Pekiştirme Testleri: Anltıln konulrın öğrenci trfındn iyice pekiştirilmesini sğlmk için öğrencilere ödev olrk düşünüldü. PISA: Ünite bitiminde öğrencilerin okuld öğrendikleri bilgi ve becerileri günlük yşmd kullnm, okuduğunu nlm ve yorumlm becerisini ölçmek için hzırlndı. Tm Tur: Krm testlere geçmeden önce öğrencilerin ünitede öğrendikleri tüm bilgileri toplu hâlde bulbilmeleri ve konu tekrrı ypbilmeleri mcıyl eklendi. Acemi, Amtör, Uzmn ve Şmpiyon Testleri: Ünite bitiminde dört yrı zorluk seviyesine göre oluşturuln TAMA- MI VİDEO ÇÖZÜMLÜ krm sorulrdn hzırlndı. ÖSYM Sorulrı: Üniversite giriş sınvlrınd sorulmuş sorulr, en son ypıln sınvdn geriye doğru ve yine TAMAMI VİDEO ÇÖZÜMLÜ bir şekilde sunuldu. Bu videolr yyınevimize it oln kıllı telefon uygulmsı ile (capp) ulşılbilmektedir. Hepimizin ortk mcı oln eğitimli ve vicdnlı bir toplum için dh verimli eğitim mteryllerinin oluşturulmsınd görüş ve önerilerinizi pylşcğınızı düşünerek sğlıklı ve bşrılı bir öğretim yılı dileriz. Oğuz GÜMÜŞ Devrim ÖZATA Volkn GÜNEŞ 0 06 66 0 0 88 6 86 0 0 ogumus@cpyyinlri.com.tr dozt@cpyyinlri.com.tr vgunes@cpyyinlri.com.tr
İÇİNDEKİLER. BÖLÜM: ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR (6 DERS SAATİ) Ünite Kznımlrı...8 Üslü İfdeler ve Özellikleri... Konu Kvrm (Kznım,,,,, 6)...0 Konu Pekiştirme... Üstel Fonksiyon... Konu Kvrm (Kznım, 8)...6 Konu Pekiştirme... Logritm Fonksiyonu...8 Konu Kvrm (Kznım, 0,, )... Konu Pekiştirme... Logritm Fonksiyonunun En Geniş Tnım Arlığı... Konu Kvrm (Kznım,,, 6)... Konu Pekiştirme...6 Logritm Fonksiyonunun Grfiği...8 Konu Kvrm (Kznım )...0 Konu Pekiştirme... Logritm Fonksiyonunun Tersi... Konu Kvrm (Kznım 8,, 0)... Konu Pekiştirme 6...6 Onluk ve Doğl Logritm Fonksiyonu...8 Konu Kvrm (Kznım,,, )... Logritm Fonksiyonunun Özellikleri... Konu Kvrm (Kznım, 6,, 8,, 0, )... Konu Pekiştirme...6 Tbn Değiştirme...8 Konu Kvrm (Kznım,,,, 6,, 8,, 0,, )...8 Konu Pekiştirme 8... Bir Syının Logritmsının Yklşık Değeri...6 Konu Kvrm (Kznım,,, 6)... Konu Pekiştirme... Üstel Denklemler...6 Konu Kvrm (Kznım, 8, )...6 Logritmik Denklemler...6 Konu Kvrm (Kznım 0,,,,,, 6,, 8)...6 Konu Pekiştirme 0...6 Logritmik Eşitsizlikler... Konu Kvrm (Kznım, 60, 6, 6, 6, 6, 6)... Konu Pekiştirme... İÇİNDEKİLER PISA... TAM TUR...8 Acemi Testi...8 Amtör Testleri,...8 Uzmn Testleri,...8 Şmpiyon Testleri,,... ÖSYM Sorulrı...
. B Ö L Ü M ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
KAZANIMLAR Kznım,,,,, 6 : Üstlü ifdeler ve özelliklerini kvrr. Kznım, 8 : Üstel fonksiyonu kvrr. Kznım, 0,, : Logritm fonksiyonunu kvrr. Kznım,,, 6 : Logritm fonksiyonunun en geniş tnım rlığını bulur. Kznım : Logritmik ve üstel fonksiyonlrın grfiklerini çizer. Kznım 8,, 0 : Logritm fonksiyonunun tersini bulur. Kznım,,, : Onluk ve doğl logritm fonksiyonunun kvrr. Kznım, 6,, 8,, 0, : Logritm fonksiyonunun özelliklerini kvrr ve özelliklerle ilgili uygulmlr ypr. Kznım,,,, 6,, 8, : Tbn değiştirme kurllrını kvrr., 0,, Kznım,,, 6 : Bir syının logritmsının yklşık değerini bulur. Kznım, 8, : Üstel denklemleri çözer. Kznım 0,,,,,, 6, : Logritmik denklemleri çözer., 8 Kznım, 60, 6, 6, 6, 6, 6 : Logritmik eşitsizlikleri çözer. Anhtr Kelimeler Logritm Üslü Fonksiyonlr Logritmik Fonksiyonlr Fonksiyonun Tersi Onluk Logritm Doğl Logritm Tbn Değiştirme Üstel Denklem Logritmik Denklem KAZANIMLAR Bilgi ve İletişim Teknolojisi Kullnımı Bilgisyr, tblet, cep telefonu vb. cihzlrınızdn www.desmos.com https://phet.colordo.edu/tr www.wolfrmlph.com www.geogebr.org sitelerinden herhngi birine girerek, öğrendiğiniz konulrl ilgili dh detylı ve görsel bilgilere ulşbilirsiniz.
Üslü İfdeler ve Özellikleri BİLGİ Œ R {0} ve m, n Œ Z+ olmk üzere,. m. n m+n. ; n n y n y n b l ; b l b l y y. m m n n. m. ym (y)m. m m b l y ym 6.. n + b. n c. n ( + b c)n. (m)n (n)m mn 8. ( )n ; ( )n+ ( )n n ; ( )n+ n+. Œ R {, 0, } i. m n olduğun göre, m n ii. n yn iii. y y, n tek olduğun göre, y vey y, n çift olduğun göre, olbilir. ve y çift olbilir. iv. n ym yb olduğun göre, n m dir. b BİLGİ 0 ve y 0 olbilir.
KA KONU KAVRAMA Z ANIM Aşğıd verilen üslü ifdelerin eşitlerini bulunuz... +.. 0 +0. ( + b). ( + b). ( + b) 6 ( + b) ++6 ( + b).. 6. k 6 ( m+ n) ( m+ n) ^m+ nh ^m+ nh. ( ) 8 ( ) 6 8. ( +y ) y (+y)( y) y. ( ) ( ) 0. + KA Z ANIM ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? B) 0 C) 6 D) 6 0 E) 6 + ( + ).... + ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? B) C)... + c + m. +. + D) + E)... + +. + ifdesinin eşiti şğıdkilerden hngisidir? 6. B) 8. C) 0. D). E) 8... + +. +. ( + ). 8. KAVRAMA 0 0. +. ++. + e o. + 8. y. z 6. y. z + z z 6+ 0. y y... (+b).. 6 6. ^m+ nh. + +.. olduğun göre, kçtır? B) C) + +. +.. ^ h + & + D) E). 8. y. 0.. 8. z 0. y. A. C. E. E
. KONU PEKİŞTİRME Üstlü İfdeler. ( ). ( ). ( ) işleminin sonucu kçtır?.. B) 6 ^ h. ^ ^ h. C) 8 eşitliğini sğlyn değeri kçtır? D) 6 E) 6 C) D) E) 8 D) E) m & 6 B) C) 0 ( ). ( ) C) D), b ve c olduğun göre, 80 ifdesinin, b, c türünden. 8 syısı, 8 syısının kç ktıdır? B) E) ifdesinin eşiti kçtır?. D) ( ) n ( n). ( ) ( ) n + ^ 8n + 6 h. C) 6. n Z olmk üzere, h B) B) c + ifdesinin eşiti hngisidir? + + E) eşiti şğıdkilerden hngisidir? bc B) bc D) bc 8 6 8 C) bc E) bc 80 (). (). bc PEKİŞTİRME. TEST 8. olmk üzere, + m +. m 6 m.8 m. ifdesinin değeri kçtır? ifdesinin eşiti hngisidir? B) C) 6m +. 6 m m. m D) E) B). 6. 6 C) D) E)
PISA Deprem ve Logritm ABD'li sismolog (deprem bilimci) Richter (Rihter) günümüzde de kullnıln "Rihter Ölçeği"ni oluşturdu. Bu ölçek, çeşitli bölgelere yerleştirilen sismogrflr (deprem yzr) yrdımıyl, srsıntının merkezi, etki lnı, büyüklüğü, şiddeti ve çığ çıkrdığı enerjinin mtemtiksel ifdesidir. Bir depremin şiddeti 0 un kuvvetleri ile, büyüklüğü ise şiddetin onluk logritmsı ile ifde edilir. Örneğin, Ağustos İzmit depreminin şiddeti 0, tür. Büyüklüğü ise log0,, tür. Türkiye'deki Büyük Depremler Düny'dki En Büyük 0 Deprem Merkez Üssü Yıl Büyüklüğü Merkez Üssü Yıl Büyüklüğü Hkkri 0, Şili 60, Erzincn, Niksr (Tokt),0 Alsk (ABD) 6, Ldik (Smsun), Endonezy 00, Gerede (Bolu), Kmçtk (Rusy) Vrto (Muş) 66 6, Gediz (Küthy) 0, Şili 868 Erzurum 8 6,8 Jpony 0 Erzincn 6,8 Şili 00 8,8 Gölcük (İzmit), Düzce, Ekvdor 06 8,8 Bingöl 00 6, Portekiz 8, Erciş (Vn) 0 6, Tibet 0 8,6. yılınd Erzincn'd meydn gelen depremin şiddeti, 00 yılınd Bingöl'de meydn gelen depremin şiddetinin kç ktıdır? PISA 0,, - 6, 0 0, 8. 6 ktı 06,. 00 yılınd Endonezy'd meydn gelen depremin şiddeti, 00 yılınd Bingöl'de meydn gelen depremin şiddetinin kç ktıdır? 0,, - 6, 0 0 000 ktı 06,
Üstel ve Logritmik Fonksiyonlr Logritm Fonksiyonu TAM TUR f() log fonksiyonu Üstel fonksiyonunun ters fonksiyonun logritm fonksiyonu denir. I. > 0 II. > 0 ve için tnımlıdır. R+ {} olmk üzere; f : R+ R, f() log şeklinde gösterilir. Not: Logritm fonksiyonunun içinde ve tbnınd ikinci dereceden ifde vrs işret tblosu ypılır. y y log i) > olmk üzere y y y y log Onluk Logritm Fonksiyonu f : R+ R, f() log fonksiyonund tbn 0 0 olduğun göre, bu logritm fonksiyonun onluk lo- gritm fonksiyonu (byğı logritm y d Npier logritm) denir. Not: Onluk logritmd çoğu zmn tbn yzılmz. dır. > olduğun göre, y log fonksiyonu rtn- log log 0 ii) 0 < < olmk üzere y y y Doğl Logritm Fonksiyonu f : R+ R, f() log fonksiyonund tbn e olduğun göre, bu logritm fonksiyonun doğl lo- y log 0 < < olduğun göre, y log fonksiyonu zlndır. Not: Üstel ve logritmik fonksiyonlr birbirinin tersi olduğu için, y ve y log fonksiyonlrının grfikleri y doğrusun göre simetriktir. Not: Doğl logritmd log yerine ln kullnılır. e log In e TAM TUR gritm fonksiyonu denir. 8
. İyi bir bşlngıç, yrı yrıy bşrı demektir. Andre Gıde ACEMİ.. f() fonksiyonunun tersi şğıdkilerden hngisidir? log B) log D) log ( + ) y log y. f () C) log ( + ) log log + işleminin sonucu kçtır? 8 B) 6 C) D) E) D) E) D) E) D) E) log E) log ( ) log + / + +6 log log y 6. log 8 log log işleminin sonucu kçtır?. olduğun göre, kçtır? B) C) D) 6 E) 6 B) 6 C) log log. log.. 6 log. log. log 6 6 6 + + log log log.. log ( ) > işleminin sonucu kçtır? eşitsizliğini sğlyn en büyük tm syı değeri kçtır? B) C) D) E) 0 B) C) log + log + log log (.. ) >0 <. ACEMİ log ( ) > log c m > < 8. log olduğun göre, + ifdesinin değeri kçtır? B) C).. D) E) 0 log (log + ) olduğun göre kçtır? B) 8 log + log C) 8
. Ypmkt ısrr ettiğimiz şey giderek kolylşır. İşin doğsı değiştiğinden değil, bizim ypm yeteneğimiz geliştiğinden. AMATÖR (Rlph Wldo Emerson) + + 0 0. denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir? C) log B) {} D) log t t log 6. log + log( + ) log0 B) C) D) E) 0 + 0 + 0 0 olmz. B) log. C) 0 log D) E) c B) log m >c m > > 0 D) E) E) syısının eşiti nedir? 6 l C) D) m < 0 & log c m > log syı değeri kçtır? log c. olduğun göre, in lbileceği en büyük tm 0. log. log m+ <. log log (0, ) > b.log log c log. C) > log ) + < log B) olduğun göre, kçtır? bilir? log + log 0 ( + )( ) 0 E) log ( ) log log ( log(( + )) log0 D) olduğun göre, şğıdkilerden hngisi ol- olduğun göre, kçtır? C) > tne t + t 0 0 (t + ) (t ) 0 B) >0. eşitsizliğini sğlyn kç tne tm syı değe 0 E) log ri vrdır? {} t log ( ) $ 8. B) / log C) E) D) E) D) AMATÖR. 8 olduğun göre kçtır? B) / log / C) 8/ 8 / (/) / / 8
. Azim ph biçilmezdir: "Çok zeki olduğumdn değil, sorunlrl uğrşmktn vzgeçmediğimden bşrıyorum." ALBERT EINSTEIN UZMAN. f () log fonksiyonunun en geniş tnım. log b l, b log b l, c log b l 6 rlığı hngisidir? olduğun göre, şğıdki sırlmlrdn hn- (, 0) gisi doğrudur? < c < b B) < b < c D) b < c < log, < <, < b < 0 b>>c log 0 log log 6 c log 6, < c < denkleminin çözüm kümesi hngisidir? D) B) {log } D) {log, log } log, E) C) {log } log f () g() + 0 f() log ( + ). y y y f() 0. log 0,00 ve log 0, 0 B) C) D) E) 8 olduğun göre, 0 syısı kç bsmklıdır? E) {log } ( ) ( ) 0 f () g() eşitliğini sğlyn değeri kçtır? C) 6. 6 + + + 6 0. f() log( + ) g() + 0 olmk üzere, B) 6 {, } E) (, ) > 0, C) (, ) D) (0, 6] C) b < < c E) c < < b b log B) (0, ) y g() Grfikleri verilen f() log ( + b) ve g() log ( + m) k 0 fonksiyonlrı için f(0) g() çrpımı kçtır? log 0. log B) C) f() log ( ),6 f() bsmklı E) g() log ( ) k g() g() k f(0) D). ( ) UZMAN 0 (. log + log). log @ 0,00, log @ 0, ve log @ 0,8 olduğun göre, 0 syısı kç bsmklıdır? B) C) D) 0 E) 8. log eşitsizliğinin çözüm kümesi hngisidir? [, ] 0 (0,00 + 0, + 0,8) + bsmklı B) [, ] D) [, ] {} log 0 [log + log + log],6 log log [, ] {} C) [ 6, ] E) [, ] 8
. Kznnlr yptıklrı işi seyredip keyif lmy zmn yırırlr. Çünkü dğın zirvesinden bktıklrı mnzryı o kdr heyecn verici ypnın dğın yüksekliği olduğunu bilirler. Denis Witley ŞAMPİYON. log log b ve b B) C) 6 D) b. b/ log log b b/ b. logb E) den eşiti nedir? b ifdesinin c cinsin- C) c + D) c + 6. B) log C) 8 + log + E) c + D) 6 log B) C) 6 D) olduğun göre, log b ifdesinin cinsin b den eşiti nedir? D) + + + + C) E) + + +. log 6, ifdesinin değeri şğı dkilerden hngisidir? olduğun göre, log,0 b log. log +. + + +. E) 8 B) log ^ h + log ^ + h & 6 + + log + log b E) + log ( + ) log ^ h log ^ h + log b c + log b c +. 6 eşitliğini sğlyn kçtır? B) c + log + log.. ^log h ^log h^log h 0 & 8.88 c c + b olduğun göre, log 6 tır?.log. log b eşitliğini sğlyn değerlerinin çrpımı kç- olduğun göre, b kçtır? log + log log log B),0 D), log. y +, log z b + C), E), ( 6,0). log,0 ŞAMPİYON. olduğun göre, log (yz) ifdesinin ve b cinsinden eşiti nedir? b 8. B) b D) + b log + log y+ log + log z b + log +b + b C) + b E) b y b z log( + ). ( log) olduğun göre, kçtır? B) C) log( + ) ( ( log)) log( + ) log + D) E)
ÇIKMIŞ SINAV SORULARI Ö S Y M. Üzerinde den 0 ye kdr oln tm syılrın yzılı olduğu bir cetvel türünde her n tm syısının e oln uzklığı log n birimdir. ln. 6. ln + 8 0 denklemini sğlyn değerlerinin çrpımı kçtır? e 6 B) e C) e e D) E) e 0 / LYS Bu özellikteki özdeş iki cetvel şekildeki gibi lt lt getirildiğinde üstteki cetveldeki syısı lttkinde 8 syısın, üstteki cetveldeki syısı ise lttkinde syısın denk gelmektedir. Bun göre, kçtır? 8 B) C) 0 D) E). log velog dir.. 8 08 / AYT syılrının ritmetik ortlmsı Bun göre, log 6 ifdesinin değeri kçtır? B) C) D) E) log + log log log işleminin sonucu kçtır? B) C). ln + lny ln lny D) 6 olduğun göre, log y değeri kçtır? 08 / AYT E) 6 0 / LYS B) C) D) E) 0 / LYS 6. t bir gerçel syı olmk üzere, e cost y e sint eşitlikleri veriliyor. Bun göre, her t gerçel syısı için sğlnn ile y rsındki bğıntı şğıdkilerin hngisinde verilmiştir? ln + ln y B) ln + ln y C) ln + ln y D) ln + ln y 8 E) ln + ln y 6. log 8 işleminin sonucu kçtır? 8 D) 6 B) 8 C) E) 6 06 / LYS 8 06 / LYS 8. k pozitif bir gerçel syı olmk üzere, f() log ( k) fonksiyonu için f(k) olduğun göre, k kçtır? 8 D) B) 8 E) C) 8 0 / LYS ÖSYM
. B Ö L Ü M DİZİLER
KAZANIMLAR Kznım,,,, : Diziler ve dizinin özelliklerini kvrr. Kznım 6,, 8 : Eşit ve sbit dizileri kvrr. Kznım, 0,,,,,, 6 : Dizilerin terimleriyle ilgili uygulmlr ypr. Kznım, 8,, 0,,,, : Aritmetik dizi ve ritmetik dizinin özelliklerini kvrr. Kznım, 6 : Aritmetik dizide ilk n terimin toplmı ile ilgili uygulmlr ypr. Kznım, 8,, 0,,,, : Geometrik dizi ve geometrik dizinin özelliklerini kvrr. Kznım : Fiboncci dizisini kvrr. Kznım 6 : Toplm sembolünü kvrr ve uygulmlr ypr. Anhtr Kelimeler Dizi Genel terim Eşit diziler Sbit dizi Fiboncci dizisi Aritmetik dizi Ortk frk Geometrik dizi Ortk orn Toplm sembolü KAZANIMLAR Bilgi ve İletişim Teknolojisi Kullnımı Bilgisyr, tblet, cep telefonu vb. cihzlrınızdn https://phet.colordo.edu/tr http://www.eb.gov.tr/ sitelerinden herhngi birine girerek, öğrendiğiniz konulrl ilgili dh detylı ve görsel bilgilere ulşbilirsiniz.
Gerçek Syı Dizileri BİLGİ Diziler Pozitif doğl syılr kümesinden gerçek syılr kümesine tnımlnn her fonksiyon gerçek syı dizisi vey dizi denir. f: N+ R ve f(n) n ise f() (. terim) f() (. terim) f(n) n (n. terim vey Genel terim) olur. Genel terim n oln dizi, (n) (,,,..., n, n+,...) şeklinde gösterilir. Dizinin Özellikleri ) Her dizinin mutlk genel terimi vrdır. Genel terimi olmyn dizi olmz. ) Bir dizide genel terim n, genel terimi n oln dizi ise (n) şeklinde gösterilir. ) (n) (,,,..., n,...) dizisinde,,,..., n dizinin terimleridir. ) Bir dizinin tnımlı olbilmesi için tüm pozitif doğl syılr için tnımlı olmlıdır. Sonlu Dizi Tnım kümesi A {,,,..., k}, k N+ oln diziye sonlu dizi denir. Sonlu olmyn BİLGİ dizilere sonsuz dizi denir. 0
8) log (n+) KONU KAVRAMA Her n için tnımlı olduğu için dizidir. KA Z ANIM ) log (n ) n ve n tnımsız olduğundn dizi değildir. Aşğıd verilen ifdelerden hngileri bir gerçek syı dizisinin genel terimi olbilir? n + ) n + Her n için tnımlı olduğu için dizidir. 0) cos(n. π) Her n için tnımlı olduğu için dizidir. ) n n + n ve n için tnımsız olduğundn dizi değildir. ) n +n+ Her n için tnımlı olduğu için dizidir. ) n n + Her n için tnımlı olduğu için dizidir. n ) n + n + Her n için tnımlı olduğu için dizidir. ) n n n için tnımsız olduğundn dizi değildir. n ) n n n için tnımsız olduğundn dizi değildir. ) n + n + Her n için tnımlı olduğu için dizidir. ) log (n + ) (n + ) Her n için tnımlı olduğu için dizidir. KAVRAMA 6) sin(n ) Her n için tnımlı olduğu için dizidir. n, ntek ) * n, nçift Her n için tnımlı olduğu için dizidir. 0 ) tn(n ) n 0 için tnımsız olduğundn dizi değildir.,,, 6, 8, 0,,,, dizinin genel terimidir, diğerleri genel terimi değildir.
. KONU PEKİŞTİRME Gerçek Syı Dizileri r (n) (( )n) ve (bn) b sin (n ) l. dizileri için b kçtır? B) 6 C) b. sin D) 8 E) b. I. B) dizilerinin kçıncı terimleri birbirlerine eşittir? C) D) E) n m n+ ( n) b 6. C) 0 D) E) n l n dizisinin kç terimi 'ten büyüktür? ^ h. ^ h 8 8 B) C) n n >& >0 n n n (bn) () n (cn) n II. B) 0 n + n & n + n n dizileri için b kçtır? n+ n ^ n h b l ve ^b n h b l. r 8 (n) (( )n. (n )) ve (bn) c. TEST + III. (dn) cos [(n + ) π] D) E) + ve ( terim) (n) ( )n+ dizisi yukrıdki dizilerden hngisi vey hngilerine eşittir? B) Ylnız II D) I ve II C) Ylnız III (n) c. dizisi sbit dizi ise + b toplmı kçtır? E) I ve III (n) (,,,,...) B) (bn) (,,,...), (cn) (,,,...) 0, (dn) (,,,,...) (n) (dn) dir.. (n (n) n ) n 8. dizisinin kç terimi negtiftir? B) 6 + + C) D) 8 n bn + m n + E) n > 0 ( n N+) ise n dizisinin ilk 6 terimi negtiftir. C) D) E) b & b (n) (( + y ) n + ( y ) n + y) dizisi sbit dizi ise 0 kçtır? 0 +y y B) C), y n 0 D) E) PEKİŞTİRME Ylnız I
PISA Diziler Özlem Öğretmen, thty üç tne reel syı dizisi yzmış ve rdışık terimler rsındki frklrı öğrencilerine sormuştur. Ardışık terimler rsındki frklr sbit çıkmzs, bulunn dizinin bir kez dh rdışık terimleri rsındki frklrı, sbit frkı buln kdr devm ettirmelerini istemiştir.. Dizi. Dizi. Dizi (,,,,,...) (, 0,, 6,,...) (,, 0, 88, 6,...) 8 8 8 8 0 6 8 6. frklr 6 8. frklr 6. frklr 6. dizide. frklr,. dizide. frklr ve. dizide. frklrın sbit olduğunu görmüşlerdir. Özlem Öğretmen, thty üç tne reel syı dizisinin genel terimlerini yzmış ve yukrıdki şekilde tbloyu doldurmlrını söylemiştir.. Dizi n n + b n n n n Terimler +b + b + b + b. Frklr. Dizi n n + bn + c n n n n Terimler +b+c + b + c + b + c 6 + b + c. Frklr + b PISA. Frklr + b + b. Dizi n n + bn + n + d n n n n Terimler +b+c+d 8 + b + c + d + b + c + d 6 + 6b + c + d. Frklr. Frklr. Frklr + b + c + b + c + b + b + c 8 + b 6
TAM TUR Diziler Diziler Aritmetik Dizinin Özellikleri Pozitif doğl syılr kümesinden gerçek syılr kümesine tnımlnn her fonksiyon gerçek syı dizisi vey dizi denir. Genel terim n oln dizi, ) Birinci terimi, ortk frkı d oln ritmetik dizinin genel terimi ) Bir ritmetik dizide bir terim kendisinden eşit uzklıkt bulunn iki terimin toplmının yrısın (n) (,,,..., n, n+,...) şeklinde gösterilir. eşittir. n + n + + n +, n n ) Bir ritmetik dizide ile n terimin toplmı Sn ise; n n S n ^ + n h vey S n _ + (n ) d i dir. Sonlu Dizi Tnım kümesi A {,,,..., k}, k N+ oln diziye sonlu dizi denir. Sonlu olmyn dizilere sonsuz dizi denir. n + (n ) d dir. n Geometrik Dizi Eşit Diziler Ardışık herhngi iki teriminin ornı sbit oln diziye geometrik dizi denir. n N+ için n bn ise (n) ve (bn) dizileri eşit di- r syısın ortk çrpn vey ortk orn denir. zilerdir. ((n) (bn)). Sbit Dizi Bütün terimleri birbirine eşit oln diziye sbit dizi denir. (... n...) n + b b ^ n h b cn + d l dizisi sbit dizi ise c d dir. n. r n (Genel Terim) Geometrik Dizinin Özellikleri ) İlk terimi, ortk çrpnı r oln geometrik dizinin genel terimi n. r n dir. ) Bir geometrik dizide bir terimin kresi kendisinden eşit uzklıkt bulunn iki terimin çrpımın eşittir. (n) n. n+ Aritmetik Dizi ) Bir geometrik dizide ilk n terimin toplmı Sn ise; Ardışık herhngi iki terimi rsındki frkı sbit oln dizilere ritmetik dizi denir. n N+ için n+ n d, d R d syısın ortk frk denir. n + (n ) d (Genel Terim) Sn. rn (r ) dir. r Toplm Sembolü (S) m, n Z ve k R olmk üzere m / k n + n + + n + +...m şeklinde yzılır. TAM TUR kn Fiboncci Dizisi Her terimi kendisinden önce gelen iki terimin toplmı şeklinde yzılbilen dizilere Fiboncci dizisi denir.,,,, 8,,,... Fiboncci dizisinin terimleri
. Dehnın 0'd 'i yetenek 0'd 'u d çlışmktır. ALBERT EINSTEIN ACEMİ. Genel terimi n n oln dizinin ilk üç teriminin toplmı kçtır? B) C) D) E),, + +. ^ nh b n l n + tir? dizisinin kçıncı terimi B) 6 C) D) 8 E) n & n n + 0 n + n n. (n) ritmetik dizisinde, S ve S 8 olduğun göre, kçtır? 6 B) S S S C) 8 D) E) 0 6. ^ nh c^ hn m n dizisinin. terimi kçtır? 6 B) ^ h. C) D) E) 6 6. Aşğıd verilen dizilerden hngisi vey hngileri geometrik dizidir? I. II. (,,,,,...) b,,,,... l 6 6. ^ nh * III. (0,, 0,8, 0,8, 0,8,...) Ylnız I B) Ylnız II D) I ve II I.! C) Ylnız III E) I, II ve III 6 II. n - ; n'nin ile bölümünden kln ise dizisi için + 6 toplmı kçtır? III. n + ; n, ile tm bölünürse B) 8 8 D) E) D) E) + 6 6 6 + 0, 8 0, 8! 0, 0, 8 C) ACEMİ Ylnız II., +, ritmetik bir dizinin rdışık üç terimi olduğun göre, kçtır? + B) 0 C) + &0 D) E) 8. ^ nh c + + +... + n m dizisinin. terimi kçtır? + B) + C)
. Y rüylrınızı değiştirmeli y d yeteneklerinizi rtırmlısınız. Jim Rohn AMATÖR. ^ nh b n + l dizisi için şğıd verilen bilgin lerden kç tnesi doğrudur? I. Sbit dizidir. II. tür. III. > 0 dır. C) D) B) C) D) E), & r. E) (sbit dizi değil) II. (Doğru) III. & < 0 (Ynlış) IV. n + 6., m, n, k, 0 syılrı bir ritmetik dizinin rdışık terimleridir. Bun göre m.n.k çrpımı kçtır? (n + ) + n + (Doğru) (n + ) n +. Bir geometrik dizide 6, 8 B) n $ rn r 8 C) 6 D) E) 8 m, k m.n.k 8 dir. Bun göre 0 kçtır? olduğun göre, kçtır? B) C) D) E) + & C) 8 0 D) E) + & 0 + d +. $ $ & n + (k ) n o n + dizisi sbit bir dizi olduğun göre, k kçtır? B) 6 B) 6, 0 & d &, $ $ E). Bir ritmetik dizide, 0 ve.... 0. ` n j e D) 8 ^ hn $ & 0. (n) bir geometrik dizidir. C) 0 m+k & m + k 8 n, m,, k, 0 n olduğun göre, 0 kçtır? B) 8 C) + k & k 6 k AMATÖR I. B) n + IV. ^ n + h b l n + 0 oln geometrik dizinin n + ortk çrpnı kçtır?. Genel terimi n D) E) 8. Bir ritmetik dizide Sn n + 8n dir. Bun göre 0 kçtır? 6 B) 0 0 S0 S. 0 6 C) 8 0 D) + 8. 0. E) 0 8.
. Bşrı bir yolculuktur, bir vrış noktsı değil. Ben Sweetlnd UZMAN. +,, + gerçek syılrı bir geometrik. ^ nh f n n p ^ nh n + ^ h dizinin rdışık ilk terimidir. dizisinin kç terimi pozitiftir? B) C) (n ) (n + ) ( n)(n + ) Bu koşulu sğlyn (n) dizisinin genel terimi D) E) +. n B) + şğıdkilerden hngisi olbilir?,, ( terim).. Bir konveks (dış bükey) beşgenin iç çılrının ölçüleri bir ritmetik dizinin rdışık beş terimidir. Bu beşgenin en büyük çısının ölçüsü 8 ise n C) n 6 D) + +,, r n+ n E) b l n. n 6. 6 ile rsın ritmetik dizi oluşturck şekilde syı yerleştiriliyor. en küçük çısının ölçüsü kç derecedir? Bu syılr şğıdkilerden hngisidir? 8 6,,, 8 B) 0,, 60, C), 6, 6, 6 D) 6,, 6, B) C) 88 D) 86 E) 8 + 8 d + 8 d + 8 d + 8 d 0 0d 0 d E),, 68, 6, 6 6 + d d 8 0 8, 6, 6, 6. Pozitif terimli bir geometrik dizinin ilk teriminin çrpımı ve. terimi dir.. (n) (n + n ) Bu dizinin ilk teriminin toplmı kçtır? B) 0 C) D) 0 E) 8.. den büyüktür? B) C) D) E) 6,, 0,,,, + + + 0. terimden itibren UZMAN 6 dizisinin terimleri kçıncı terimden itibren n. Bir ritmetik dizide ve 0 tır. Bu dizinin kçıncı terimi sıfırdır? B) 6 C) + 6d + d d 0 + (n ). c m 0 n 6 D) E) 6 8. ^ nh d / k k + n k dizisinin ilk iki teriminin toplmı kçtır? B) C) D) + k+ k k k k+ + k k k / + + 6 / E) 6
. Rstgele bir doğruy ulşmktns, yöntemli bir çbyl ynlış ulşmyı yeğlerim. Descrtes n / ^ hk + (k + ) dizisi için 0 kçtır? k 0 B) 8 C) D) 8 E). n N+ için ve n olduğun göre, (n) dizisinin genel terimi şğı- dkilerden hngisidir? 0 / ^ hk +.^k + h k 0 8 + +.... 00 den küçük kç tne hem üçgensel hem de kresel pozitif tm syı vrdır? B) C) D) E) Üçgensel:,, 6, 0,,, 8, 6,,, 66, 8, Kresel:,,, 6,, 6,, 6, 8 dkilerden hngisidir? D) n + n + C) n + E) n + n + n & + b_bb bb + + +... + n n & + bbbb n n ^n + h n + n `bb h bbb n bb n n & n n + n bb. n N+ için ve n n + n olduğun göre, (n) dizisinin genel terimi şğı- dkilerden hngisidir? n B) n+ D) n C) n E) n + n b_bb bbb n & + bbbb bbb n + + +... + n n & + `bb bbb n n bbb n h bbb n n n & n + n bb n & + n + n + C) n+ E) n n n 6., 8 oln bir ritmetik dizide ilk 0 terimin toplmı kçtır? 00 B) 0 C) 0 D) 0 E) 0 0 ^. +. h 0. İlk üç teriminin toplmı 0, çrpımı 60 oln olduğun göre, (n) dizisinin genel terimi şğın + n D) n n+ b_bb + bbb bbb bbb bbb + n & b`bb n n + n (n + ) n n + bbb h bbb bb + n bbbb n n n+ S 0. n N+ için ve n n + n B) B) 8 + d & d tne vrdır. n + n n tne 0 + n n (n + ) rtn bir ritmetik dizide 8 kçtır? B) C) 6 D) 8 E) 0 + + 0 0 0.. 60. 6 + 0 8, 8 + d 8 + 8. (n) pozitif terimli bir geometrik dizi olmk üzere ve + + dir. Bun göre 0 kçtır? D) B) ^ h ^ h E) C) ^ h ^ h + r + r ( + r + r) ( + r + r) r + r 0 (r + ) (r ) 0 r r r vey r (n) dizisi pozitif terimli olduğun göre r ^ h bulunur. 0 r ŞAMPİYON. ^ nh ŞAMPİYON tür.
ÇIKMIŞ SINAV SORULARI. Terimleri birbirinden frklı ve ortk frkı r oln bir ( n ) ritmetik dizisi için.r 6. eşitlikleri veriliyor. Bun göre, 0 kçtır? 0 B) 8 C) 6 D) E) 08 / AYT Ö S Y M. ( n ) bir geometrik dizi olmk üzere, ( ) ( ) eşitliği veriliyor. olduğun göre, kçtır? B) C) 6 D) 8 E) 06 / LYS. ( n ) bir ritmetik dizi olmk üzere, 0 + 6 6 eşitlikleri veriliyor. Bun göre, kçtır? B) C) D) 6 E) 0 / LYS. n, den büyük bir tm syı olmk üzere, n nin en büyük sl böleni n ile gösteriliyor. ( n ) dizisinin terimleri n için, * n < 0 n, n > 0 biçiminde tnımlnıyor. 0 Bun göre, / toplmı kçtır? n n B) C) D) E) 6 0 / LYS. Her gerçel syısı için A syısı cos(k) A k şeklinde tnımlnıyor. Bun göre, cos (k) k ifdesinin A türünden eşiti nedir? A + B) A + C) A + D) A + E) A + 0 / LYS 6. Gerçel syılr kümesi üzerinde f fonksiyonu her gerçel syısı için +, < 0 f( ) ), 0 biçiminde tnımlnıyor. Bun göre, / f( k) toplmının değeri kçtır? k 8 B) 0 C) D) E) 6 0 / LYS ÖSYM