Ders 4: Olasılık Aksiyomları ve Bazı Olasılık Kuralları
Olasılık aksiyomları Bazı olasılık kuralları Bağımsız olaylar Koşullu olasılık Bayes theoremi
Bir olayın gerçekleşme ihtimalinin sayısal değerine olasılık denir. Örnek uzayda N örnek nokta varsa, ve bunların her birinin gerçekleşme ihtimali aynı ise, her birinin olasılığı 1 Ndir. A olayı N örnek noktalı S örnek uzayındaki M örnek noktayı kapsıyorsa ve örnek noktaların her birinin gerçekleşme ihtimali aynı ise A olayının olasılığı olur P A = M N
Aksiyom (Belit): mantık yürütme sürecinin başında tartışılmaya gerek görülmeden kabul edilen önerme. Olasılık aksiyomları: 1. P A 0 2. P S = 1 3. A ve B ayrık olayları için: P A B = P A + P B
A 1 A 2 P A 1 P A 2 P A = 1 P A P = 0 P A B = P A + P B P A B
Aşağıdaki ifadelerdeki hataları bulunuz: Bir satış temsilcisinin bir gün içerisinde 0, 1, 2, veya 3 satış gerçekleştirme olasılığı sırasıyla 0,19, 0,38, 0,29 ve 0,15 tir Bir yazıcının günde 0, 1, 2, 3 veya 4 ve daha fazla hata yapma olasılığı sırasıyla 0,19, - 0,34, 0,25, 0,43 ve 0,15 tir Bir desteden rastgele çekilen kartın kupa olma olasılığı 1 4, siyah olma olasılığı 1 2, her ikisi birden olma olasılığı 1 8dir
İçinde 2 beyaz ve 3 yeşil boncuk bulunan bir kavanozdan birer birer çekilen 5 boncuk bir ipe diziliyor. İki yeşil boncuğun an yana gelmemesi olasılığı nedir? P = M N = 3! 2! 5! = 6 2 120 = 1 10
Bir A olayı olduğunda, B olayının olma olasılığına B nin koşullu olasılığı denir P B A şeklinde gösterilir P B A = P A B P A
Bir hapishanedeki mahkûmların 2 3 ü 25 yaşın altındadır. Toplamda mahkûmların 3 5 inin erkek, 5 8 inin de kadın ya da 25 yaşın altında olduğu bilinmektedir. Buna göre, rastgele seçilen bir mahkûmun kadın ve en az 25 yaşında olma olasılığı nedir? Kadın Erkek Toplam yaş<25 53 120 9 40 2 3 yaş 25 1 24 3 8 1 3 Toplam 2 5 3 5 1
(4.8.15) Bir kimya mühendisi bir petrol rafinerisinde özel bir proseste yöneticidir. Geçmiş deneyimlere göre tüm iş durdurmalarının, 0,15 i donanım arızasından, 0,05 i donanım arızası ve operatör hatasından, 0,40 ı operatör hatasından kaynaklanmaktadır. İşin tatil edilmiş olduğunu kabul edelim. Herhangi bir anda iş durdurulmuşsa, bunun a) Donanım arızası veya operatör hatasından kaynaklanması, b) Yanlız operatör hatasından kaynaklanması c) Ne operatör hatası ne de donanım arızasından kaynaklanması d)donanım arızası olduğu verilmişken, operatör hatasından kaynaklanması e) Donanım arızası olmadığı verilmişken, operatör hatasından kaynaklanması olasılıklarını bulunuz.
A olayı donanım arızası, B olayı operatör hatası olsun a) P A B = P A + P B P A B = 0,15 + 0,40 0,05 = 0,50 b) P B A = P B P A B = 0,40 0,05 = 0,35 c) P A B = 1 P A B = 1 0,5 = 0,5 d) P B A = e) P A B = P A B P A P A B P B = 0,05 = 1 0,15 3 = 0,05 = 1 0,40 8
İki olay bağımsız ise; birinin gerçekleşmesi, diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilemez: P A B = P A Dolayısıyla iki bağımsız olayın beraber gerçekleşme olasılığı: P A B = P B P A B = P B P A P A B = P B P A A ve B bağımsız
Bir emlakçının elinde kiralık 8 ev vardır. Kiralık evlerin %40 ının bir anahtarı komşuda ya da kapıcıda bulunduğuna göre, yanında rastgele 3 anahtar taşıyan emlakçının kiralık evlerden birisini müşteriye gösterebilme olasılığı nedir? A emlakçının doğru anahtarı yanında bulundurması B bir anahtarın komşu ya da kapıcıda olması olsun P A B = P A + P B P A P B = 3 8 + 0,4 3 8 0,4 = 0,625
B 1, B 2,..., B k örnek uzayın ayrık ve birlikte tüketici olayları olsun. P A 0 bir olay için: P B r A = P B r P A B r k i=1 P B i P A B i Örnek uzayın B ve B olarak bölündüğü durumda k = 2 ve: P B A = P B P A B P B P A B +P B P A B
Bir bölgede yaşayan insanların %5 inin belli bir hastalığa yakalanmış olduğu bilinmektedir. Basit bir kan testi ile hastaların %85 ini tesbit edebilmekte, hasta olmayanların da %3 üne yanlış tanı koymaktadır. Buna göre; a) kan testi pozitif çıkanların gerçekten hasta olma olasılığı nedir? b) kan testi negatif çıkanların hasta olma olasılığı nedir?
P A kan testinin pozitif çıkması P B kişinin hasta olması olsun P B P A B P B A = P B P A B + P B P A B 0,05 0,85 = 0,05 0,85 + 0,95 0,03 = 0,0425 0,071 0,599 P B A P B P A B = P B P A B + P B P A B 0,05 0,15 = 0,05 0,15 + 0,95 0,97 = 0,0075 0,929 0,0081