Normal Dağılımlılık EKK tahmincilerinin ihtimal dağılımları u i nin ihtimal dağılımı hakkında yapılan varsayıma bağlıdır. b tahminleri için uygulanan testlerin geçerliliği u i nin normal dağılmasına bağlıdır. Çünkü u i normal dağılıyorsa, EKK b ve b nin tahmincileri de normal dağılır. Normal dağılmış değişkenleri olan bir doğrusal fonksiyonun kendisi de NORMAL DAĞILIR.
Normal Dağılımlılık - E(u i )=0 + u i değerleri
4.Aşama JB > c a,sd H 0 hipotezi reddedilebilir Jarque-Bera Normallik Testi.Aşama.Aşama a =? 3.Aşama H 0 : u i ler normal dağılımlıdır H : u i ler normal dağılımlı değildir JB Sd=? E n 6 ( B 3) 4 c a,sd =?? JB n 6 4 ( 3) 4 3?
Jarque-Bera Normallik Testi n e 3 n e 3 4 n e 4 E 3 B 4 3 4
Jarque-Bera Normallik Testi 7.0545 4.709-3.6364.08-4.37-7.677 4.988-3.3636-7.709 8.9455 Se = 0 e e e 3 e 4 49.77.8 3..40 05.7 3.3 4.8.3 59.43 358.93 Se = 78.66 35.0 04.43-48.09 337.6-940.99-559.6 3.6-38.06-458.5 6800.5 Se 3 = -87.99 476.65 49.76 74.86 4738.4 436.40 97546.48 65.95 8.00 353.95 883.6 Se 4 = 9067.35
3 4 Jarque-Bera Normallik Testi n n n E 3 3 e e 3 e 4 78.66 =7.866 0 87.99 =-8.799 0 3 9067.35 0 =9067.35 = 8.799 =-0.03 (7.866)(0.857) B 4 4 4 9067.35 =.09 (7.866)(7.866)
.Aşama Jarque-Bera Normallik Testi.Aşama a = 0.05 3.Aşama H 0 : u i ler normal dağılımlıdır H : u i ler normal dağılımlı değildir JB E n 6 Sd= ( B 3) 4 c a,sd =5.99? JB ( 0.03) 0 6 (.09 4 3) 0.3459 4.Aşama JB < c a,sd H 0 hipotezi reddedilemez.
NORMAL DAĞILIM UYGULAMASI On ülkede günlük gazete satış adedi (Y), nüfus (X) ve gayrisafi milli hasıla (X3) verilerden elde edilen doğrusal modelin hata terimlerinin normal dağılıp dağılmadığını test etmek için: i) H0: Hatalar normal dağılıma sahiptir H: Hatalar normal dağılıma sahip değildir. ii) JB test istatistiği hesaplanır: 4 3 6 B E n JB 4 3 6 n JB 4 3 3 978.93 n e 509.73 n e 34.78 n e 4 4 3 3
JB 0 509.738 6 34.78 3 978.93 34.78 4 3 9 iii) c, a0.05 5.99 iv) JB =9 > 5.99 H0 red Hatalar normal dağılıma sahip değildir.
Eviews ile normal dağılımı test edilirse 0 8 6 4 0-5 0 5 0 5 0 Series: Residuals Sample 0 Observations 0 Mean -3.46E-5 Median -.5789 Maximum 7.37865 Minimum -4.54498 Std. Dev. 6.6577 Skewness.48507 Kurtosis 7.58755 Jarque-Bera 9.069 Probability 0.000073 iv) JB =9.06 > 5.99 ya da prob= 0.000< 0.05 H0 red Hatalar normal dağılıma sahip değildir.
ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI
ÇOKLU DOĞRUSALLIĞIN ANLAMI Çoklu doğrusal bağlantı; Bağımsız değişkenler arasında doğrusal (yada doğrusala yakın) ilişki olmasıdır... r xx i j parametreler belirlenemez hale gelir. Her bir parametre için ayrı ayrı sayısal değerler bulmak zorlaşır. rxx 0 ise bu değişkenlere ortogonal değişkenler denir ve i j katsayıların tahmininde çoklu doğrusal bağlantı açısından hiçbir sorun yoktur. r 3. xx ise tam çoklu doğrusal bağlantı yoktur. i j
Çoklu Doğrusal Bağlantı 5 X 3 0 5 0 0 4 6 8 X r X X3 = Tam Çoklu Doğrusal Bağlantı
ÇOKLU DOĞRUSALLIĞIN NEDENLERİ İktisadi değişkenlerin zaman içerisinde birlikte değişme eğiliminde olmaları Bazı açıklayıcı değişkenlerin gecikmeli değerlerinin ilişkide ayrı birer etmen olarak kullanılmasıdır. Genellikle zaman serilerinde görülür.
Çoklu Doğrusal Bağlantı Y = b + b X + b 3 X 3 + u y = b x + b 3 x 3 + u yx yx 3 X 3 = X bˆ bˆ x x bˆ x 3 3 bˆ 3 x x x 3 3 y( x ) bˆ x ( x ) b ˆ ( x ) 3 yx bˆ x b ˆ ( x )x 3
Çoklu Doğrusal Bağlantı Araba Bakım Masrafları Model Tahminleri Değişkenler Model A Model B Model C Sabit -66.4-796.07 7.9 (-5.98) (-5.9) (0.06) 7.35 7.58 Yas (.6) (9.58) 53.45-5.5 Km (8.7) (-7.06) s.d. 55 55 54 Düzeltilmiş-R 0.897 0.856 0.946
ÇOKLU DOĞRUSALLIĞIN DOĞURDUĞU SONUÇLAR r xx i j a) Katsayıları tahminleri belirlenemez. Y b0 bx bx u 7 X kx b b b)tahminlerin standart hataları sonsuz büyük olur. b b xyx xyxx x x xx xyx xyxx x x xx k x x xx k x y x x y x x k x x k xx k x y x k x y x x 0 0
İspat a) Y b0 bx bx u X kx b xyx xyxx x x xx b k x x xx k x y x x y x x b xyx xyxx x x xx b k x x k xx k x y x k x y x x 0 0 8
İspat b) var b var b u x x xx x u x x xx x X yerine kx konursa var b k x x u u k x 0 x k xx 9
Çoklu Doğrusal Bağlantının Ortaya Çıkardığı Sonuçlar Regresyon Katsayılarının Değerleri Belirsiz Olur, Regresyon Katsayılarının Varyansları Büyür, t-istatistikleri azalır, Güven Aralıkları Büyür, R Olduğundan Büyük Çıkar, Katsayı Tahmincileri ve Standart Hataları Verilerdeki Küçük değişmelerden Önemli Ölçüde Etkilenirler, Katsayıların işaretleri beklenenlerin aksi çıkabilir.
ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTININ VARLIĞININ BELİRLENMESİ Varyans Büyütme Modeli Yardımcı Regresyon Modelleri için F testi Klein Kriteri Şartlı Sayı Kriteri Theil-m Ölçüsü
ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTININ BELİRLENMESİ.Varyans Büyütme Modeli: Varyans büyütme faktörü; parametre tahminlerinin ve varyanslarının çoklu doğrusal bağlantı nedeni ile gerçek değerlerinden ne derece uzaklaştığını belirlenir. Var b u Xi X R i VIF kriteri VIF R i
Yi b0 bxt bx t... bkxkt t R Y.X X...X k Çoklu doğrusal bağlantı etkisini araştırabilmek için k tane VIF eğeri VIF RX,X...X k.. VIF RX,X,X...X 3 k 5Çoklu doğrusal bağlantı önemlidir. VIF 3 k RX,X,X...X k k
Yi b0 bxt bx t... bkxkt t R Y.X X...X k Çoklu doğrusal bağlantı etkisini araştırabilmek için k tane VIF eğeri VIF RX,X...X k.. VIF VIF 4 R 5 X,X,X 3...X Çoklu doğrusal bağlantı k önemlisizdir. k RX,X,X...X k k
ÖRNEK: 990-00 dönemi için Türkiye nin GSMH(milyar TL), Para Arzı(PA, milyar TL), Dış Ticaret Açığı (DT, milyar TL) ve Toptan Eşya Fiyat Endeksi (TEFE,987=00) değerleri verilmiştir. Yıllar GSMH PA DT TEFE 990 0.39778 0.0745-0.044 45.6 99 0.634393 0.78-0.038 66.6 99.03605 0.90736-0.0568 07.5 993.99733 0.844-0.5573 70.6 994 3.887903 0.630348-0.544 3757.4 995 7.854887.5663-0.64664 7065. 996 4.97807.94893 -.6688 335.4 997 9.3936 5.6588-3.4079 366. 998 53.5833.43-4.96864 38067. 999 78.897.408-5.9456 58599. 000 5.596 3.9-6.7507 8939.7 00 79.480 47.408 -.393 4486. 00 65.4756 6.87976-3.445 67.5 Varyans Büyütme Faktörü ile çoklu doğrusal bağlantı sorununu araştırınız. 5
Bu verilerden elde edilen model; GSMHt 0.6708.0473PA t.3636dtt 0.00078TEFE t R 0.9997 Bağımsız değişkenleri sırası ile bağımlı değişken yaparak diğer bağımsız değişkenlerle regresyon modeli tahmin edilir. PAt 0.9 0.304DTt 0.0007TEFE t R 0.987 VIF 76.9 0.987 5 çoklu doğrusal bağlılık önemlidir DTt 0.34 0.59PAt 0.00008TEFE t R 0.98 VIF.95 0.98 5 çoklu doğrusal bağlılık önemlidir TEFE t 57.59 379.96DTt 30.99PAt R 0.986 VIF 6 3 7.49 0.986 5 çoklu doğrusal bağlılık önemlidir
.Yardımcı Regresyon Modelleri için F testi Bu yöntemde varyans büyütme faktöründe hesapladığımız belirlilik katsayılarından hesaplanır. Sırası ile incelenen modelde yer alan her bir bağımsız değişken ayrı ayrı bağımlı değişken olmak üzere kalan diğer bağımsız değişkenlerle regresyona tabi tutulur. Oluşturulan söz konusu yeni regresyon modellerine yardımcı regresyon modelleri denir. Oluşturulan yardımcı regresyon modellerinin belirlilik katsayıları hesaplanarak F test istatistiği hesaplanır. Bu yöntem için temel hipotez bağımsız değişkenler arasında ilişki yoktur şeklindedir. 7
Yi b0 bxt bx t... bkxkt t Xt f Xt, X 3t,...,Xkt X.. f X X,...,X t t, 3t kt X f X X,...,X kt t, t (k )t Test istatistiği yukarıdaki her denklem için hesaplanır. F 8 R /(k ) X i,xx...x k: incelenen modelin tahmin edilen k i X,X X...X ( R ) /(n k ) i k katsayı sayısı
UYGULAMA: Aynı örnek için yardımcı regresyon modeli ile çoklu doğrusal bağlantı sorununu inceleyiniz..aşama: H 0 : Çoklu doğrusal bağlantı yoktur. H : Çoklu doğrusal bağlantı yoktur..aşama: F 0.05,(k-),(n-k+) =4.0 3.Aşama: PAt 0.9 0.304DTt 0.0007TEFE t R 0.987 0.987 /(4 ) Fi 379.6 ( 0.987) /(3 4 ) 4.Aşama: F hes > F tab H 0 reddedilir. 9
DTt 0.34 0.59PAt 0.00008TEFE t R 0.98 0.98/(4 ) Fi 55.98 ( 0.98) /(3 4 ) F hes > F tab H 0 reddedilir. TEFE t 57.59 379.96DTt 30.99PAt R 0.986 0.986 /(4 ) Fi 35.4 ( 0.986) /(3 4 ) F hes > F tab H 0 reddedilir. 30
ÇOKLU DĞRUSAL BAĞLANTI PROBLEMİNİ ORTADAN KALDIRMA YOLLARI. Ön Bilgi Yöntemi ile;. Kesit ve Zaman Serisi Verilerinin Birleştirme Yöntemi ile; 3. Bazı değişkenlerin Modelden Çıkarılması Yöntemi ile; 4. Değişkenleri Dönüştürme Yöntemi ile; 5. Ek veya Yeni Örnek Verisi Temini Yöntemi ile; 3
ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI PROBLEMİNİ ORTADAN KALDIRMA YOLLARI.Ön Bilgi Yöntemi Y = b + b X + b 3 X 3 +b 4 X 4 + u b 3 = 0.b Y = b + b X + 0.b X 3 +b 4 X 4 + u Y = b + b (X + 0. X 3 )+b 4 X 4 + u Y = b + b X*+ b 4 X 4 + u Yukarıdaki hesaplama bağımsız değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantıdan etkilenmemektedir. Katsayılara sınır koyarak iki değişken arasında çoklu doğrusal bağlantı problemi ortadan kaldırılmış oluyor.
.Kesit ve Zaman Serilerinin Birleştirilmesi Y:Talep P:Malın fiyatı I:Tüketici geliri t:yıl lny = b + b lnp t + b 3 lni t + u b ve b 3 fiyat ve gelir elastikiyetidir. Zaman serisi P ve I (fiyat ve gelir) değişkenleri arasında genellikle yüksek dereceli ilişki vardır. Çoklu doğrusal bağlantı var. b 3 gelir elastikiyeti (eğer varsa) anket verilerinden ayrıca tahmin edilir. ˆb 3
Yukarıdaki regresyon modelinden aşağıdaki gibi yararlanırız: lny - b 3 lni t = b + b lnp t + u lny* = b + b lnp t + u Burada * Y t ln Y bˆ 3 ln I Gelir değişkeninin etkisi giderildikten sonraki Y değeridir. Bu yöntemde katsayı tahminlerinin yorumu sorundur. Zaman serisi verisi ve kesit serisi verisindeki gelir elastikiyetinin aynı olduğunu kabul ediyoruz.
3.Bazı Değişkenlerin Modelden Çıkarılması Modelden bir bağımsız değişken çıkarılırsa spesifikasyon hatası yapma olasılığı artar: Katsayı tahminleri gerçek değerinin üstünde veya altında tahmin edilebilir. 4.Değişkenleri Dönüştürme Yöntemi, Fark denklemi yaratılır: t t t t t u X b X b X b b Y 4 4 3 3 4, 4 3, 3, t t t t t u X b X b X b b Y t t t t t t t v X X b X X b b Y Y... ) ( ) ( 3, 3 3,
Dönüşümlü modelde çoklu doğrusal bağlantı önemli ölçüde azalmış olur. 5.Ek veya Yeni Örnek Verisi Temin Etme, 6.Diğer Yöntemler
Örnek Konut Talebi Model Tahminleri Değişkenler Model A Model B Model C Sabit Faiz Nüfus -38.93 (-.40) -98.40 (-3.87) 33.8 (3.6) 687.90 (.80) -69.66 (-3.87) -35.75 (-0.7) -84.75 (-3.8) 4.90 (0.4) GSMH 0.9 (3.64) 0.5 (0.54) s.d. Düzeltilmiş-R 0 0.37 0 0.375 9 0.348 r(gsmh,nüfus)=0.99 r(gsmh,faiz)=0.88 r(nüfus,faiz)= 0.9
Örnek s.d. Düzeltilmiş-R Otomobil Bakım Harcamaları Model Tahminleri Değişkenler Model A Model B Model C -66.4 Sabit -796.07 7.9 (-5.98) (-5.9) (0.06) Yas 7.35 7.58 (.6) (9.58) Km 53.45-5.5 (8.7) (-7.06) 55 0.897 55 0.856 54 0.946
ÖRNEK ülkenin 995 yılı ekonomik büyüme oranlarını, para arzındaki büyüme oranlarını sermaye stokundaki büyüme oranları ile nüfüs büyüme oranları verilmektedir. Söz konusu ülkelerin ekonomik performanslarındaki farklılığın nedenini araştırmak için aşağıdaki regresyon modeli oluşturulmuştur.tahin edilen denklemde çoklu doğrusal bağlantı olup olmadığını araştırınız.
Dependent Variable: BUYOR Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: :47 Sample: Included observations: Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C.883 0.858583 3.357054 0.0 NUFUSBUYOR -.55668 0.45038 -.788005 0.070 PARARZOR.408794 0.5799.46964 0.0433 SERMSTOKORAN.54.3597.06467 0.0779 R-squared 0.85068 Mean dependent var 4.300000 Adjusted R-squared 0.786689 S.D. dependent var.79884 S.E. of regression 0.794338 Akaike info criterion.65673 Sum squared resid 4.468 Schwarz criterion.79736 Log likelihood -0.58970 F-statistic 3.933 Durbin-Watson stat.84943 Prob(F-statistic) 0.0085.Varyans Büyütme Modeli: Bağımsız değişkenleri sırası ile bağımlı değişken yaparak diğer bağımsız değişkenlerle regresyon modeli tahmin edilir.
. nolu yardımcı regresyon modeli Depent Variable: NUFUSBUYOR Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: :53 Sample: Included observations: Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C.345055 0.4776.8657 0.06 PARARZOR 0.950993 0.97604 3.95500 0.07 SERMSTOKORAN 0.9956 0.9687 0.30374 0.769 R-squared 0.9076 Mean dependent var 5.0888 Adjusted R-squared 0.876470 S.D. dependent var.77458 S.E. of regression 0.6356 Akaike info criterion.06 Sum squared resid 3.069 Schwarz criterion.8778 Log likelihood -8.66437 F-statistic 36.47588 Durbin-Watson stat 0.974770 Prob(F-statistic) 0.000095
. nolu yardımcı regresyon modeli VIF R =3.73 i Dependent Variable: PARARZOR Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: :54 Sample: Included observations: Variable Coefficien t Std. Error t-statistic Prob. C -0.60064 0.48639 -.3846 0.507 NUFUSBUYOR 0.589605 0.845 3.95500 0.07 SERMSTOKORAN.4048 0.64996.7380 0.7 R-squared 0.9779 Mean dependent var 3.600000 Adjusted R-squared 0.909099 S.D. dependent var.68496 S.E. of regression 0.490988 Akaike info criterion.6408 Sum squared resid.98557 Schwarz criterion.75075 Log likelihood -6.0346 F-statistic 5.00486 Durbin-Watson stat.80077 Prob(F-statistic) 0.00008
R-squared 0.836345 Mean dependent var.0777 Adjusted R-squared 0.79543 S.D. dependent var 0.50464 S.E. of regression 0.8030 Akaike info criterion 0.083 Sum squared resid 0.4598 Schwarz criterion 0.6838 Log likelihood.40435 F-statistic 0.4467 Durbin-Watson stat.03465 Prob(F-statistic) 0.00077 3. nolu yardımcı regresyon denklemi =6.087 VIF R Dependent Variable: SERMSTOKORAN Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: :55 Sample: Included observations: i VIF kriterleri 5 ten buyuk çoklu doğrusal bağlantı var diyebiliriz. Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 0.00490 0.4647 0.006046 0.9953 NUFUSBUYOR 0.039043 0.855 0.30374 0.769 PARARZOR 0.445 0.40050.7380 0.7
.Yardımcı Regresyon Modelleri için F testi F X,X X...X i k X i,xx...xk i R /(k ) ( R ) /(n k ). nolu yardımcı regresyon modeli R =0.9076. nolu yardımcı regresyon modeli R =0.9779 3. nolu yardımcı regresyon modeli R =0.836345 k:4 n:
ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTININ BELİRLENMESİ-Örnek.Yardımcı Regresyon Modelleri için F testi Dependent Variable: HOUSING Method: Least Squares Sample: 963 985 Included observations: 3 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 5087.434 045.79 0.460577 0.6506 GNP.756353.39984 0.8073 0.45 INTRATE -74.698 6.00066 -.863769 0.003 POP -33.43369 83.07564-0.40449 0.69 UNEMP 79.7988.5794 0.650353 0.537 R-squared 0.449950 Mean dependent var 60.00 Adjusted R-squared 0.3776 S.D. dependent var 345.475 S.E. of regression 83.6 Akaike info criterion 4.308 Sum squared resid 44474. Schwarz criterion 4.5673 Log likelihood -59.683 F-statistic 3.68069 Durbin-Watson stat 0.793569 Prob(F-statistic) 0.0374
.Aşama: H 0 : Çoklu doğrusal bağlantı yoktur. H : Çoklu doğrusal bağlantı vardır..aşama: F 0.05,(3),(9) =3.3 3.Aşama: R 0.996 GNP 50.49.99INTRATE 38.53POP 50.79UNEMP 0.996 /(5 ) Fi 577 ( 0.996) /(3 5 ) 4.Aşama: F hes > F tab H 0 reddedilir.
.Aşama: H 0 : Çoklu doğrusal bağlantı yoktur. H : Çoklu doğrusal bağlantı vardır..aşama: F 0.05,(3),(9) =3.3 3.Aşama: INTRATE 93.8 0.68POP 0.509UNEMP 0.04GNP R 0.873 0.873/(5 ) Fi 43.55 ( 0.873) /(3 5 ) 4.Aşama: F hes > F tab H 0 reddedilir.
.Aşama: H 0 : Çoklu doğrusal bağlantı yoktur. H : Çoklu doğrusal bağlantı vardır..aşama: F 0.05,(3),(9) =3.3 3.Aşama: POP 3.87.3UNEMP 0.05GNP 0.368INTRATE R 0.997 0.997 /(5 ) Fi 04.77 ( 0.997) /(3 5 ) 4.Aşama: F hes > F tab H 0 reddedilir.
.Aşama: H 0 : Çoklu doğrusal bağlantı yoktur. H : Çoklu doğrusal bağlantı vardır..aşama: F 0.05,(3),(9) =3.3 3.Aşama: UNEMP 80.3 0.05GNP 0.6INTRATE 0.606POP R 0.94 0.94 /(5 ) Fi 77 ( 0.94) /(3 5 ) 4.Aşama: F hes > F tab H 0 reddedilir.