ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 PRİZMA 1. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 3,5,7 ile orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 568 cm 2 olduğuna göre hacmi kaç cm 3 dür? A) 440 B) 540 C) 840 D) 740 E) 640 6. Bir dikdörtgenler prizmasının x, y, z boyutları 2, 3, 4 sayıları ile doğru orantılıdır. Bu prizmanın hacmi 3000 cm 3 olduğuna göre, alanı kaç cm 2 dir? A) 1100 B) 1200 C) 1300 D) 1400 E) 1500 2. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 1, 3, 5 sayıları ile orantılıdır. Bu dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni 70 cm olduğuna göre hacmi kaç cm 3 tür? A) 120 B) 92 C) 30 2 D) 15 E) 15 6 3. 10 cm boyunda 1 cm çapında silindir biçimindeki 10 kalem beşerli iki sıra halinde, dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutuya konulacaktır. Bu kutunun hacmi en az kaç cm 3 olmalıdır? A) 300 B) 200 C) 150 D) 100 E) 50 7. Kare tabanlı kapalı bir dik prizmanın hacmi 30 cm 3 tür. Karenin bir kenarı x cm olduğuna göre, prizmanın tüm alanını veren y=f(x) fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir? 2x 60 A) y B) y 2 x C) E) 2 x 120 y D) x 2x y KÜP 3 120 x x x y 2 2 30 x 60 x 2 4. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları x, x, h cm dir. Bu prizmanın hacmi 75 cm 3 olduğuna göre yüzlerinin toplam alanının x cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? A) 300 2x 2 B) x 2 +4x C) x 2 +75 x D) x 2 4x 2 E) x 2 300 2 x 8. Bir küpün alanı b cm 2 dir. İkinci bir küpün hacmi bu küpün hacminin c katıdır. İkinci küpün alanı kaç cm 2 dir? A) 3 2 b c B) D) b 2 c E) c 3 b 9. 3 2 c b C) b 2 c 5. Boyu eninin iki katı uzunluğunda olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun tümü kullanılarak 16 cm 3 hacminde, kare prizma şeklinde kapaksız bir kutu yapıyorlar. Kare prizmanın taban kenarı, verilen kartonun enine eşit olduğuna göre kullanılan kartonun alanı kaç cm 2 dir? A) 128 B) 96 C) 64 D) 32 E) 16 3 A) 3 3 B) 2 3 C) 3 D) 2 E) 4 3

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 10. 14. Bir kenarı a cm olan içi dolu tahta bir küpün Küp biçimindeki tahta bir bloktan küçük bir küp alınmıştır. Kalan tahtanın hacmi 208 cm 3 olduğuna göre BC kaç cm dir? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 11. köşesinden, bir kenarı 3 a cm olan bir küp kesilerek çıkartılıyor. Geriye kalan büyük küp parçasının alanının, küçük küpün alanına oranı kaçtır? A) 9 B) 12 C) 18 D) 27 E) 36 PRAMİD 15. Hacmi 28 cm 3 olan bir kesik piramidin alt tabanının alanı 12 cm 2, üst tabanının alanı 3 cm 2 olduğuna göre yüksekliğe kaç cm dir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Şekildeki ABCD ve ADEF kareleri birbirine dik ve eşittir. AB =4 birim olduğuna göre, FC =x kaç birimdir? A) 2 3 B) 4 2 C) 3 5 D) 4 3 E) 2 5 16. Tabanın bir kenarı 8 cm, yüksekliği 3 cm olan düzgün kare piramidin bütün alanı aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) 224 cm 2 B) 144 cm 2 C) 112 cm 2 D) 80 cm 2 E) 64 cm 2 12. Kenarları 3 cm, 6 cm ve 12 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmine eşit hacimde olan küpün bir kenarı kaç cm dir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 13. Tabanının boyutları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kapta bir miktar su vardır. Bir ayrıtının uzunluğu 5 cm olan kapalı bir küp, tabanı kabın tabanına değecek biçimde suya batırılınca su seviyesi küpün yarısına kadar yükseliyor. Buna göre, suyun ilk yüksekliği kaç cm dir? 17. Tabanı 12 cm 2, yüksekliği 6 cm olan bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Düzlem tepeden 2 cm uzaklıktadır. Kesit alanı aşağıdakilerden hangisidir (cm 2 boyutunda) A) 4 cm 2 B) 3/2 cm 2 C) 2/3 cm 2 D) 4/3 cm 2 E) 3 cm 2 115 A) 96 113 B) 94 111 109 C) D) 92 90 103 E) 90

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 18. 21. üzerindedir. Üstte kalan küçük piramidin yüksekliği 3 cm, hacmi 9 cm 3 olduğuna göre, büyük piramidin taban kenarlarından biri kaç cm dir? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 19. ABCD kare tabanlı ABCDA'B'C'D' dikdörtgenler prizmasında D' noktası A ve B ile D noktasın da B ile birleştirilirse, hacmi 300 cm 3 olan (D',ABD) piramidi elde ediliyor. ABCDA'B'C'D' prizmasının yüksekliği 15 cm olduğuna göre, tabanının bir kenarı kaç cm dir? A) 15 B) 2 15 C) 3 15 D) 2 30 E) 3 30 22. Taban kenarı 10 cm olan bir düzgün kare piramidinin bütün alanı 360 cm 2 dir. Buna göre piramidin yüksekliği kaç cm dir? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 20. Yukarıda, ABCDEF üçgen tabanlı dik prizması ile, köşeleri bu prizmanın ayrıtları üzerinde olan MLEK piramidi verilmiştir. [ML]//[DF], ME 1 EK 1, olduğuna göre, DE 3 EB 3 Hacim(MLEK) Hacim(ABCDEF) oranı kaçtır? 1 A) 81 1 B) 64 1 C) 49 D) 36 1 1 E) 27 A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 DÖRTYÜZLÜ Şekildeki ABCD dörtyüzlüsünün ABC yüzü bir kenarının uzunluğu a olan bir eşkenar üçgen, BDC yüzü ise D açısı dik olan bir üçgendir. AD ayrıtı BDC düzlemine dik olduğuna göre, bu dörtyüzlünün hacmi ne kadardır? 23. a 3 A) B) 24 D) a 3 6 E) 24 a 3 2 C) 24 a 3 3 48 a 3 3 24 24. Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alanı 256 3 birim karedir? Bu dörtyüzlünün yanal yüksekliği kaç birimdir? A) 6 3 B) 7 3 C) 8 3 D) 9 3 E) 10 3 1-C 1979 ÜSS 2-C 1981 ÖYS 3-D 1984 ÖSS 4-A 1985 ÖYS 5-D 1988 ÖYS 6-C 1996 ÖSS 7-E 1998 ÖYS 8-A 1981 ÖSS 9-D 1987 ÖYS 10-D 1989 ÖYS 11-D 1994 ÖYS 12-E 1995 ÖSS 13-A 1997 ÖSS 14-A 2002 ÖSS 15-C 1967 ÜSS 16-B 1969 ÜSS 17-D 1970 ÜSS 18-D 1986 ÖSS 19-C 1987 ÖYS 20-B 1996 ÖYS 21-D 1998 ÖSS 22-A 2001 ÖSS 23-B 1980 ÜSS 24-C 1995 ÖYS

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-2 SİLİNDİR 1. Hacimleri eşit iki silindirin yan alanları arasındaki oran aşağıdakilerden hangisidir? A) h h B) r r C) r r r 2 D) r E) h 2 h Şekildeki dik silindirde AB anadoğru, BD doğru parçası taban çapıdır. C taban çevresi üzerinde bir nokta, AB =8 cm BD =10 cm CD =8 cm olduğuna göre ACD üçgeninin alanı kaç cm 2 dir? A) 32 B) 36 C) 40 D) 44 E) 48 2. Bir silindirin yanal alanı 20 ve yüksekliği 10 birim olduğuna göre hacmi kaç birim küptür? 5. A) 2 B) 20 C) 10 D) 40 E) 200 3. Yukarıdaki I. şekil taban çapı 4 cm, yüksekliği 10 cm olan bir silindir. Bu silindirdeki suyun yüksekliği h dır. Bu kap 45 0 lik açı yapacak biçimde eğildiğinde su düzeyi şekildeki gibi kabın ağzına dayanmaktadır. Buna göre h kaç cm dir? Taban çapı 2R=20 cm olan silindir biçimindeki bir kapta, başlangıçta 200 cm 3 su vardır. Bu kaba yeniden su konmakta ve kaptaki suyun h yüksekliği, t zamanına göre h=at+b bağıntısı ile değişmektedir. Bu kaba su konmaya başladıktan 2 sn sonra suyun yüksekliği 8 cm olduğuna göre, 3 sn daha sonra (beşinci saniye sonunda) suyun yüksekliği kaç cm olur? A) 9 B) 8 C) 7 D) 8 E) 5 6. A)32 B) 23 C) 19 D) 17 E) 14 4. İç içe girilmiş ve yükseklikleri eşit, dik silindir biçimindeki iki kaptan dıştakinin çapı içtekinin çapının iki katıdır. İçteki kap ağzına kadar su ile dolu iken tabanına çok yakın bir delik açılırsa, ikisi arasındaki boşlukta su hangi yüksekliğe çıkar? (İçteki kabın kalınlığı önemsenmeyecektir.) A) 2 h B) 4 h C) 3 h 2h D) 3 E) 3h 4

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-2 7. Yukarıdaki düzenekte, dikey doğrultudaki kalın silindirik boruların kesitleri s, sağ kola eklenmiş olan ince silindirik borunun kesiti ise 4 s tür. Piston 20 cm aşağı indirildiğinde, öteki kolda su yüzeyi kaç cm yükselir? A) 52 B) 50 C) 46 D) 42 E) 38 8. Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 24 olan dik silindir biçimindeki bir kutunun alt tabanı üzerindeki A noktası ile üst tabanı üzerindeki B noktası aynı düşey doğru üzerindedir. Şeklideki gibi, A dan hareket edip kutunun yalnızca yanal yüzeyi tek bir dolanım yaparak en kısa yoldan B ye giden bir karıncanın aldığı yol kaç cm dir? A) 26 B) 25 C) 24 2 D) 25 3 E) 25 2 KONİ 12. Taban yarıçapı 1 ve 2, yüksekliği 3 olan kesik koninin hacmi nedir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 9. Yüksekliği 60 cm ve taban kenar uzunluğu a cm olan kare prizma su ile doludur. Yarıçapı a cm olan bir silindirin prizmadaki suyun tamamını alabilmesi için yüksekliği en az kaç cm olmalıdır? ( =3 alınız) 13. Bir dönel koni, tabana paralel üç düzlemle kesilerek, yükseklikleri eşit olan dört parçaya ayrılıyor? Tepeden birinci parçanın hacminin ikinci parçanın hacmine oranı nedir? A) 7 1 B) 6 1 C) 4 1 D) 3 1 E) 2 1 A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 15 14. 10. Kenarları, 60 cm ve 80 cm olan dikdörtgen biçimindeki karton, bükülerek dik silindir biçiminde bir boru haline getirilecektir. Bükme işlemi uzun kenar ve kısa kenar üzerine yapıldığında elde edilecek iki farklı boru silindirin yan alanları oranı kaçtır? A) 1 B) 2 1 11. C) 3 2 D) 4 3 E) 5 4 Taban alanı S olan yandaki dik konide, alanları S 1, S 2 olan tabana paralel iki kesit ve bu kesitlerin merkezleri verilmiştir. TC =2 cm,

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-2 TA =1 cm ve S=S 1 +S 2 olduğuna göre, AB kaç cm dir? A) 5 B) 2 C) 3 1 D) 2 1 E) 3 2 15. Taban yarıçapı 8 cm, yanal yüzeyinin alanı 96 cm 2 olan bir dönel koninin, yüksekliğinin bir ana doğrusuna oranı kaçtır? KÜRE 19. Çapı d olan kürenin hacmi çap cinsinden yazılsa, aşağıdakilerden hangisi elde edilir? 4 3 2 3 A) v d B) v d 3 3 1 3 1 3 C) v d D) v d 6 3 1 3 E) v d 2 A) 4 6 B) 3 5 C) 4 3 D) 3 2 E) 2 1 16. Yanal alanı 135 cm 2 olan bir dik koninin taban yarıçapı 9 cm dir. Bu koninin hacmi kaç cm 3 tür? A) 282 B) 292 C) 302 D) 312 E) 324 20. Ayrıtlarından biri s uzunluğunda olan bir küpün içine, teğet bir küre çiziliyor. Küpün bir köşesinin, kürenin yüzüne olan uzaklığı aşağıdakilerden hangisidir? A) D) s( s 2 2 3 1) 2 E) B) s 3 2 s( 3 3) 3 C) 3 s 1 17. 21. Bir kürenin, merkezinden 4 cm uzaklıktaki kesitlerin çevresi 6 olduğuna göre bu kürenin yarıçapı kaç cm dir? Yukarıdaki şekil, ana doğrusunun uzunluğu a cm olan bir dik koninin açılımıdır. Dik koninin hacmi 96 cm 3 ve m(aôb) 216 olduğuna göre, OA = OB =a kaç cm dir? 0 A) 5 B) 22 C) 6 D) 52 E) 8 22. A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 18. Yukarıdaki şekil, dik koni biçiminde idealleştirilmiş bir dağı; A ve B noktaları ise bu dağ eteğindeki iki köyü temsil etmektedir. Bu iki köyü birleştiren, dağ yüzeyi üzerindeki en kısa yol kaç km dir? A) 3 B) 3 2 C) D) 3 E) 3 Yukarıdaki şekilde P düzlemi üzerine konmuş kürenin çapı 10 cm, tabanı P üzerinde bulunan dik dönel koninin taban çapı da 16 cm dir. P düzleminden 8 cm uzaklıktaki bir Q düzleminin küre ve koni ile arakesit dairelerinin alanları eşit olduğuna göre, koninin yüksekliği kaç cm dir? A) 32 B) 24 C) 20 D) 16 E) 12

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-2 23. Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden R uzaklıkta bir düzlemde kesiliyor. Elde 3 edilen kesitin alanı kaç R 2 dir? Şekilde, taban yarıçapı 6 cm olan dik koninin tepe noktası ve taban çemberi, O merkezli kürenin yüzeyindedir. Dik koninin hacmi 216 cm 3 olduğuna göre, kürenin yarıçapı kaç cm dir? A) 9 8 B) 2 C) 3 4 D) 9 4 E) 3 8 A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15 24. 1-B 1967 ÜSS 2-C 1976 ÜSS 3-D 1981 ÖSS 4-C 1982 ÖYS 5-B 1982 ÖYS 6-B 1983 ÖSS 7-B 1982 ÖSS 8-C 1983 ÖYS 9-B 1987 ÖSS 10-A 1995 ÖSS 11-A 2000 ÖSS 12-C 1966 ÜSS 13-A 1978 ÜSS 14-C 1990 ÖYS 15-B 1995 ÖSS 16-E 1998 ÖSS 17-D 1998 ÖYS 18-E 2002 ÖSS 19-C 1968 ÜSS 20-A 1974 ÜSS 21-A 1977 ÜSS 22-D 1984 ÖYS 23-A 1982 ÖYS 24-B 1999ÖSS1

UZAY GEOMETRİ Başlıktan korkmayın. Oturduğumuz yerden Dünya ile Mars arasındaki uzaklığı filan ölçecek değiliz. İstersek ölçeriz ama konumuz bu değil. Çünkü bu uzay, o uzay değil. O uzaysa bile, işimiz gücümüz gezegenlerle değil, noktalar, doğrular ve düzlemlerle olacak. P Geometride tüm noktalar kümesine uzay denir. Uzayın bir alt kümesi olan düzlem de yine bir noktalar kümesi gibi düşünülebilir. Masanın yüzeyi, duvarın yüzeyi, kitabın yüzü gibi. Düzlem genel olarak bir paralelkenar çizerek ve P, E, F gibi büyük harflerle gösterilir. Yalnız çizime aldanıp düzlemin sonlu olduğu zannedilmesin, düzlem sınırlı olmayıp, burada sadece çizim olarak gösterilmiştir. P düzlemi ile notlarımızın bu sayfası aynı düzlemi göstermektedir.

d P A Bir doğru ile bir düzlemin sadece bir ortak noktası varsa doğru düzlemi kesiyordur. Şeklimizde d doğrusu ile P düzleminin ara kesiti şekilde gösterildiği üzere A noktasıdır. Zaten bir doğru ile bir düzlem arasında üç ilişki olabilir, ya doğru düzlemin içindedir ya kesiyordur ya da dışındadır. 2

P A B Eğer bir doğru ile bir düzlemin ortak iki noktası varsa, doğru düzlemin içindedir. Doğru düzlemi kesseydi eğer, tek noktada keserdi. İki ortak noktaları varsa, kesmiyor da olamaz. Dolayısıyla ortak iki nokta varsa, tek bir şans kalıyor, doğrunun o düzlemde olması. Sonuç olarak, ortak iki nokta varsa, aslında ortak sonsuz nokta vardır. 3

P E arakesit doğrusu İki düzlem eğer kesişiyorlarsa bir doğru boyunca kesişirler. Bu doğruya arakesit doğrusu denir. Gazetelikleri ve Kur an-ı Kerim rahlelerini hayal edebilirsiniz. Fakat, bu örnekler sınırlı olduğundan arakesit doğru parçası gibi olur. Buna aldanmayın. Gerçek düzlemler sınırsız olduğundan kesişim de sınırsızdır. 4

l d P Aynı düzlem içinde bulunmayan ve birbirini kesmeyen doğrulara aykırı doğrular denir. Şeklimizde d l = olup d ile l aykırı doğrulardır. Küpün ayrıtlarından kaç çiftin aykırı olduğunu hesaplamaya çalışınız. 5

P A B C Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir. Aynen tek bir üçgen belirttikleri gibi Bunları şöyle düşünmekte fayda olabilir: Bir kağıda doğrusal olmayan üç farklı nokta çizin. O noktaları köşe kabul eden üçgeni kim gelirse gelsin aynı çiziyorsa, demek ki o noktalar tek bir üçgen belirtir. Ayrıca bir kağıda kondurulmuş 3 nokta, o kağıdın yüzeyi dışında bir düzlem belirtemez. Her üç noktayı içeren bir başka düzlemi gösteremeyeceğinize ikna oluncaya kadar çizmeye çalışınız. Zira bir aksiyom olduğundan kanıtı yoktur. 6

P d k Kesişen iki doğru bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir. Doğruların üzerindeki tüm noktaları içeren başka bir düzlem olmadığına ikna olana kadar araştırmaya devam ediniz. Sonunda hidayete ereceksiniz. 7

P A d Bir doğru ile dışındaki bir nokta, bir düzlem (sadece tek bir düzlem) belirtir. Hem bu noktayı hem de doğrunun üzerinde bulunan tüm noktaları içeren başka bir düzlem çizmeye veya hayal etmeye çalışınız, başaramayacaksınız. 8

P d k Paralel iki doğru da diğerleri gibi sadece tek bir düzlem belirtir. Aslında bu üstteki kuralın bir versiyonudur. Üst şekildeki A noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstünde farzederseniz, bahsi geçen şartları sağlayan P düzleminden başka düzlem olmadığını göreceksiniz. 9

T C A B Dördü aynı düzlemde olmayan birbirinden farklı en az dört nokta uzay belirtir. Uzay belirtmeyi aklınızda şöyle canlandırabilirsiniz. Verilen tüm noktaları ya da doğruları içeren bir düzlem bulamayınca, yani bu verileri bir düzleme sığdıramayınca anlıyoruz ki, hepsini içine alan bir şey ancak üç boyutlu olabilir. Örneğin, yandaki şekilde ABC düzlemi T yi içermiyor, BCT düzlemi A yı içermiyor, ACT düzlemi B yi içermiyor, ABT düzlemi de C yi içermiyor. 10

P Bir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir. A Zaten kanıt teoremin içinde gibi. A noktası P düzleminin içinde olmadığından, hem düzlemdeki sonsuz noktayı hem de A noktasını içeren bir düzlem çizmenin mümkünatı yoktur. Var diyorsanız gösterin. 11

P Bir düzlem ile dışındaki bir doğru uzay belirtir. Bu da üstteki kuralın bir başka versiyonudur. Üst şekildeki A noktasını, bu şekildeki d doğrusunun üstündeymiş gibi düşününüz. Aynı çıkarım kurallarını burada da uygularsınız. d 12

E P Kesişen ya da paralel olan iki düzlem uzay belirtir. Her ikisinin de sebebi aşikar sanırım. Hem P deki, hem de E deki tüm noktaları içine alan tek bir düzlem olmasına imkan olmaması. 13

E P A S Bir noktadan birden fazla düzlem geçer. Geçer dediysek geçebilir manasında dedik. Mesela şekildeki E, P ve S düzlemlerinin ortak noktası A noktasıdır. Bu noktadan geçen başka bir düzlemi de siz gösteriniz. 14

T S P Bir doğruyu barındıran 1 den çok düzlem vardır. E Yani, bu doğruyu içeren sonsuz farklı düzlemin varlığından sözediliyor. Şekilden de açıkça görüldüğü üzere doğrunun noktalarının tümü T, S, E ve P düzlemlerinin hepsinde de bulunuyor. Düzlem sayısını istediğimiz kadar arttırabileceğimizi çoktan anlamış olmalısınız. 15

d P A B E Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa, bu noktalardan geçen doğru, her iki düzlemin arakesit doğrusudur. Zaten o olmayacaktı da ben mi olacaktım? Arakesit doğrusu iki düzlemin tüm ortak noktalarını barındırdığından A ve B noktalarını da mecburen içerir. 16

A B C E P İki düzlemin doğrusal olmayan, ortak üç noktası varsa bu iki düzlem çakışıktır. Doğrusal olmayan üç değişik noktanın sadece tek bir düzlem belirteceğini sezgisel de olsa kanıtlamıştık. O halde bu P ve E düzlemleri aynı düzlemdir aslında, biz de böyle aslında aynı olan şeylere matematikte çakışık deriz. 17

l d P E Bir d doğrusu P ve E düzlemlerinin arakesit doğrusuna paralel ise her iki düzleme de paraleldir. Şeklimizden bakınız: d // l ise d // (P) ve d // (E) olur. Hatta bu arakesit doğrusunu içeren başka düzlemler de çizersek, o düzlemlere de paralel olur. Birinin de içinde olur. 18

P Bir doğru ile bir düzlemin ortak noktası yoksa, doğru düzleme paraleldir. Bunu zaten daha önce olabilecek üç şıktan biri olarak açıklamıştık. Yineleyelim: Tek bir ortak nokta doğru düzlemi kesiyordur, en az iki ortak nokta varsa, doğru düzlemin içindedir. d 19

P d k Aynı düzlemde bulunan iki doğrunun ortak noktaları yoksa, bu iki doğru paraleldir. Bu zaten direkt olarak düzlem geometrinin tanımlarından biridir. Kesişmeyen doğrulara paralel doğrular denir. 20

P E A Bir düzleme, dışında alınan bir noktadan yalnız bir paralel düzlem çizilebilir. Açıklayalım: Düzlemimiz her zamanki gibi P, noktamız da A olsun. A noktasından, P düzleminde kaç farklı paralel doğru çizebiliriz? Sonsuz değil mi? İşte o sonsuz doğrunun oluşturduğu tek düzlem olan E düzlemi istenen düzlemdir. Başka böyle bir düzlem yoktur. 21

S E P Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine de paraleldir. Düzlemlerde paralellik bağıntısının geçişken olduğunu söylüyor. (P) // (E) ve (E) // (S) ise (P) // (S) dir. Haklı da. Aksi düşünülebilir mi? E düzlemi ile P düzlemi arasındaki uzaklık sabittir. E ile S düzleminin de. O halde sonuç olarak P ile S düzlemleri arasındaki uzaklık da sabit çıktı. Bu da istediğimize kavuştuk demek! 22

S P E İki düzlem ya paraleldir ya da kesişir. Bir de çakışık olabilirlerdi hani? E, çakışıklarsa paralellerdir zaten. Unutma, her şey kendine paraleldir. Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem, diğerini de keser. P ile S düzlemleri paralel olsun. E düzlemi P düzlemini kesiyormuş, o halde P ye paralel değil, o halde mecburen S ye de paralel değil. Paralel değilse keseceğini söylemiştik zaten. 23

P E B A d Paralel iki düzlemden birini kesen doğru, diğer düzlemi de keser. Yukardaki çıkarım kurallarının hepsi burada da geçerlidir. Uğraşın, yapamazsanız gelin. 24

d A P Düzlemin dışındaki bir noktadan düzleme yalnız bir dik doğru çizilebilir. Bunu da tersten kanıtlayalım. A noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dikme ayağına B deyin. Başka bir dik daha indirin (yok ama siz yine de indirin), onun ayağına da C deyin. ABC üçgeninin iç açılar toplamı 180 o den büyük çıktığı için başka bir dikin indirilemeyeceğini anlamış olmalısınız. 25

d A P Düzlem dışındaki bir noktadan, düzleme dik çizilen bir doğru, düzlemi kestiği noktadan geçen doğruların tümüne dik olur. Düzlemdeki doğruları bir kalemmiş gibi düşünün ve ufak ufak kalemi çevirmeye başlayın. Her zaman d doğrusuna dik olduğuna ikna olursunuz. Bir parşömen kağıdını hayal edin, kaç derece döndürürseniz döndürün, köşe açılarının dikliği bozulmuyor, değil mi? 26

A P Düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan birden fazla düzlem vardır. Şeklimizdeki A noktasından P düzlemine bir dik indirin. Dikme ayağından geçen ve P üzerinde olan sonsuz doğru olduğunu söylemiştik. İnen dikme ile o sonsuz doğrunun her birinin oluşturduğu düzlemler istenen düzlemlerdir. 27

P A d Paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, diğerini ya dik keser ya da dik durumlu olur. Yeni bir kavram var: Dik durumlu olmak. Bu, tam üstünde olsaydım, seni dik keserdim demek. Ama değilim. Dik durumlu doğrular, aykırıdır. 28

A d Bir doğrunun üzerindeki bir noktadan, bu doğruya birden fazla dik doğru çizilebilir. Bulunduğunuz odada üç duvarın kesiştiği yeri inceleyin. Sigara paketi, kibrit kutusu gibi cisimlerin herhangi bir köşesini göz önüne getirin. n tane doğru bir düzlemi en az n + 1 bölgeye, en çok 2 n + n+ 2 2 bölgeye ayırır. Bunun kanıtını permutasyon-kombinasyon notlarında yapmıştık. Unutan tekrar oradan öğrenebilir. 29

UZAYDA BAZI GEOMETRİK YERLER A d l k B İki noktaya eşit uzaklıkta olan noktaların kümesi, orta dikme düzlemidir. Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz farklı doğru çizebileceğimizi söylemiştik. O halde bir doğru parçasının tam orta noktasından, doğruyu dik kesen sonsuz doğru çizilebilir. Bu doğruların hepsini taşıyan öyle bir düzlem vardır ki ona orta dikme düzlemi deriz. Şekilden görebilirsiniz. 30

T P A B C A, B, C gibi üçü aynı doğru üzerinde olmayan sabit üç noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, bu üç noktadan geçen çemberin merkezinden çember düzlemine çıkılan dik doğrudur. A, B, C noktaları doğrusal değilse, üçgen belirtirler. Her üçgenin çevrel çemberi olduğu gibi bu üçgenin de vardır. Bu çember, noktaların bulunduğu P düzlemindedir. Çemberin merkezinden P düzlemine çıkılan dikme OT olsun. TOA, TOB ve TOC birer eş dik üçgen olduklarından hipotenüsleri eşit boyda olmalıdır. O halde TA = TB = TC. 31

P T S Kesişen düzleme eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu iki düzlemin oluşturduğu iki düzlemli açının açıortay düzlemidir. S düzlemi üzerinde hangi noktayı alırsanız alın, o noktanın P ve E düzlemlerine olan uzaklıkları eşittir. E 32

A R O R B C Sabit bir noktadan eşit uzaklıkta olan noktaların kümesine düzlemde çember, uzayda küre denir. Üst şekildeki küre, R yarıçaplı olup, O merkezlidir. C küre üzerinde bir nokta ve [AB] çap ise m(acb) = 90 dir. Bunu zaten çember derslerimizde etraflıca görmüştük. 33

O r Kürenin bir düzlemle arakesiti bir çemberdir. Küre kesitinin yüzeyi merkezi O ve yarıçapı r olan bir dairedir. 34

DİK İZDÜŞÜM A f P A' A B f ' P A' B' Bir A noktasından bir P düzlemine çizilen dik doğrunun düzlemi kestiği A noktasına, A noktasının P düzlemindeki dik izdüşümü denir. Bir noktalar kümesinin bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü, bütün noktaların bu düzlem üzerindeki dik izdüşümlerin kümesidir. Yani bir doğru parçası ya da bir şeklin bir düzlem üzerindeki izdüşümünü bulmak için şeklin tüm noktalarının izdüşümünü almak gerekir. 35

P A E B D C α A' E' D' B' C' Q Yandaki izdüşüm şekillerini inceleyiniz. A noktasını dik izdüşümü A noktası f eğrisinin dik izdüşümü f eğrisi, [AB] doğru parçasının izdüşümü [A B ] doğru parçasıdır. İki düzlem arasındaki açıya ölçek denir. (P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α dır. 36

(P) düzlemindeki ABCD dörtgeninin (Q) düzlemindeki izdüşümü A B C D dörtgenidir. ABCD ve A B C D dörtgenleri eş zannedilmesin, değildir! Yani (P) düzlemindeki bir çemberin izdüşümü, (Q) düzleminde bir çember olmayabilir. Olmayabilir dedik, çünkü bazen olur. Örneğin, (P) ve (Q) düzlemleri paralel olursa, (P) düzlemindeki bir şeklin izdüşümü, (Q) düzleminde yine kendisi olur. 37

İzdüşüm Uzunluğunun ve Alanının Bulunması P B α A A' B' Q (P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemi içindeki [AB] nin (Q) düzlemindeki dik izdüşümü [A B ] ise A B = AB cos α olur. Aslında sebebi çok basit. A noktasından A B doğrusuna bir paralel çizin. BB doğrusunu kestiği nokta K olsun. AA B K bir dikdörtgen olacağından A B = AK olur. BAK dik üçgeninde kosinüs tanımı gereği AK = A B = AB cos α. 38

P S α S' Q (P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı α ise (P) düzlemindeki bir bölgenin alanı S, bu bölgenin (Q) düzlemindeki izdüşümünün alanı S ise S = S cos α olur. Bunu da şöyle açıklayalım: Bir an için P ve Q düzlemlerinin şekilde paralelkenarlarla gösterildiği gibi sınırlı olduklarını farzedelim. Q düzlem parçası da P düzlem parçasının izdüşümü olsun. S şekli o paralelkenarın kaçta kaçıysa, S şekli de aşağıdaki sınırlı Q paralelkenarının da o kadar da o kadarıdır. 39

Q düzlem parçasının alanının P düzlem parçasının alanının cosα katı olduğunu biliyoruz. Kısa kenar uzunluklarının değişmediğine, uzun kenarların da cosα katına çıktığına dikkat ediniz. O halde istenen kanıtlanmıştır. PARALELLİK AKSİYOMLARI 1. Uzayda paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir. 2. Uzayda bir doğru ve dışında bir nokta verildiğinde verilen noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir tek doğru vardır. 3. Paralel iki doğrudan birini bir tek noktada kesen bir düzlem, diğer doğruyu da keser. 4. Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru paraleldir. 40

5. Bir düzlemin içindeki bir doğruya paralel olan ve bu düzlemin dışında bulunan bir doğru bu düzleme paraleldir. 6. Bir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir A noktasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düzlemin içindedir. 7. Bir doğru bir düzleme paralelse bu düzlemdeki bir A noktasından geçen ve bu doğruya paralel olan doğru bu düzlemin içindedir. 8. Kesişen iki düzlemin her birine paralel olan bir doğru, bu düzlemlerin arakesit doğrusuna paraleldir. 9. Aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirttiği düzlem ilk düzleme paraleldir. 41

10. Uzayda bir düzlem ve bu düzlemin dışında bir nokta verildiğinde, verilen noktadan geçen ve verilen düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır. 11. Paralel iki düzlemin birinin içindeki her doğru diğer düzleme paraleldir. 12. Paralel iki düzlemden birine paralel olan bir düzlem diğerine de paraleldir. 13. Paralel iki düzlemden birini kesen bir düzlem diğerini de keser ve arakesit doğruları paraleldir. 14. Paralel iki düzlemden birini kesen bir doğru diğerini de keser. 42

UZAYDA DOĞRULARIN VE DÜZLEMLERİN DİKLİĞİ 1. Bir düzlemin kesişen iki doğrusuna kesişme noktasında dik olan bir doğru, bu düzleme diktir. 2. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir doğru diğer düzleme de diktir. 3. Aynı doğruya farklı noktalardan dik olan iki düzlem birbirine paraleldir. 4. Bir noktadan geçen ve bir doğruya dik olan bir tek düzlem vardır. 5. Uzayda bir doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi, bu doğru parçasının orta dikme düzlemidir. 6. Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir. 7. Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de diktir. 43

8. Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. 9. Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. 10. (Üç Dikme Teoremi): Bir düzlemin dışında bulunan bir noktadan bu düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya birer dikme çizilirse iki dikme ayağını birleştiren doğru düzlem içindeki doğruya diktir. 11. Bir düzleme dik olan bir doğruyu içinde bulunduran düzlemler bu düzleme diktir. 12. Paralel iki düzlemden birine dik olan bir düzlem diğerine de diktir. 13. Bir doğru iki düzlemden birine paralel, diğerine dik ise bu iki düzlem birbirine diktir. 44

UZAY KAVRAMI VE KONUM AKSİYOMLARI 1. Uzayda farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır. 2. Uzayda bir doğru ve bu doğru üzerinde bulunmayan bir nokta bir düzlem belirtir. 3. Uzayda kesişen farklı iki doğru bir düzlem belirtir. 4. Bir doğru, üzerinde bulunmadığı bir düzlemi keserse arakesiti bir noktadır. 5. Farklı iki düzlemin bir ortak noktası varsa bu nokta ortak doğru üzerindedir. 6. Farklı iki düzlemin en çok bir ortak doğrusu vardır. 7. Farklı iki düzlem kesişirse, bu düzlemlerin arakesiti bir tek doğrudur. 45

CEVAPLI TESTLER 1. Aşağıdakilerden hangisi kesin olarak bir düzlem belirtmez? A) Üç nokta B) İki nokta C) İki doğru D) Kesişen iki doğru E) Bir nokta ile bir doğru

2. Beş farklı nokta en çok kaç doğru belirtir? A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6 47

3. Beş farklı nokta en çok kaç düzlem belirtir? A) 12 B) 11 C) 10 D) 8 E) 6 48

4. 3 de herhangi üçü doğrusal olmayan altı nokta kaç düzlem oluşturur? A) 25 B) 24 C) 20 D) 18 E) 16 49

5. Aynı düzlemde bulunan 7 farklı doğru düzlemi en az kaç düzlemsel bölgeye ayırır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 50

6. Aynı düzlemde bulunan 10 doğru düzlemi en çok kaç bölgeye ayırır? A) 56 B) 54 C) 52 D) 50 E) 48 51

7. Uzayda birbirine paralel 3 doğru ile herhangi üçü doğrusal olmayan 4 nokta en çok kaç düzlem belirtir? A) 16 B) 18 C) 19 D) 24 E) 32 52

8. Adedi sabit bir miktar doğru düzlemi en az 9 bölgeye ayırıyorsa en çok kaç bölgeye ayırır? A) 35 B) 36 C) 37 D) 38 E) 39 53

9. Adedi sabit bir miktar doğru bir düzlemi en çok 46 bölgeye ayırıyorsa, bu doğrular bu düzlemi en az kaç bölgeye ayırır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 54

10. Bir doğru parçasının bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) Bir nokta B) Doğru C) İki nokta D) Işın E) Üçgen 55

11. Bir doğru ile bu doğru üzerinde bulunmayan dört farklı nokta en çok kaç düzlem belirtebilir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 56

12. Uzayda aykırı iki doğru ve bunların dışında bir nokta veriliyor. Verilen noktadan geçen ve aykırı iki doğrunun her birini de kesen kaç doğru çizilir? A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) Sonsuz çoklukta 57

13. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Bir doğru üzerinde sonsuz nokta vardır. B) Bir düzlem üzerinde sonsuz nokta vardır. C) Paralel iki düzleme dik sonsuz doğru vardır. D) Bir noktadan geçen sonlu sayıda doğru vardır. E) Bir düzlem üzerinde sosuz doğru vardır. 58

14. Aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? A) Bir düzleme içindeki bir P noktasından sadece bir dik doğru çizilebilir. B) Bir doğruya üzerindeki noktadan 3 dik düzlem çizilebilir. C) Paralel iki doğrunun ikisini de kesen bir doğru varsa üç doğru da aynı düzlemdedir. D) Bir düzleme dışındaki bir noktadan bir dikme inilir. E) Bir doğru bir düzleme dik ise, doğruyu içine alan her düzlemde bu düzleme diktir. 59

15. Aşağıdaki koşullardan hangisi, farklı iki doğrunun paralel olmasına yeter? A) Birbirine paralel farklı iki düzlemin içinde bulunması. B) Birbirine dik iki düzlemin içinde bulunmaları. C) Aynı doğruya dik olmaları. D) Arakesitlerinin boş küme olması E) Aynı doğruya paralel olan iki doğru olması. 60

16. Aşağıdakilerden hangisi doğru değildir? A) Bir düzlemin içinde alınan bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. B) Bir düzlemin dışındaki bir noktadan geçen ve düzleme dik olan bir tek doğru vardır. C) Aynı düzleme dik olan doğrular birbirine paraleldir. D) Uzayda bir doğru parçasının, uç noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi orta dikme doğrusudur. E) Paralel iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine de diktir. 61

17. Uzay ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Herhangi bir doğru üzerinde sınırlı sayıda nokta vardır. B) Düzlemde bir noktadan sınırlı sayıda doğru geçer. C) Uzayda bir doğrudan sınırlı sayıda düzlem geçer. D) Uzayda bir noktadan sınırlı sayıda düzlem belirlenir. E) Düzlemde bir doğruya paralel sınırsız doğru vardır. 62

18. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tane paralel doğru çizilebilir. B) Düzlemde bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek dikme çizilebilir. C) Düzlemde aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir. D) Düzlemde birbirine paralel olan doğrulardan birbirine paralel olan doğru diğerine de paraleldir. E) Düzlemde kesişen iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir. 63

19. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Bir doğruya üzerindeki bir noktadan yalnız bir dikme çıkılır. B) Paralel iki doğru bir düzlem belirtir. C) Farklı iki noktadan bir doğru geçer. D) Kesişen farklı iki düzlemin bir ortak doğrusu vardır. E) Yalnız bir ortak noktası olan doğrular kesişen doğrulardır. 64

20. 3 de aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) Aynı düzleme dik iki düzlem birbirine paraleldir. B) Paralel iki doğrudan birini kesen bir düzlem diğerine paralel olur. C) Aynı düzlemde olup birbirini kesmeyen doğrulara aykırı doğrular denir. D) İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar aynı düzlem üzerindedir. E) Bir doğru bir düzleme dik değilse doğrunun bu düzlem üzerindeki dik izdüşümü bir noktadır. 65

21. Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. Paralel iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir. II. Paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğerine de diktir. III. Aynı doğruya dik olan düzlemler birbirine paraleldir. IV. Uzayda paralel iki doğrudan birini dik kesen doğru, diğerine ya dik, ya da dik durumludur. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 66

22. 3 de aşağıdakilerden hangileri yanlıştır? I. Üç düzlemin arakesit doğruları en fazla 2 tanedir. II. Bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar bir düzlem belirtir. III. Bir doğruya üzerindeki bir noktadan sonsuz tane dikme çıkılır. IV. Düzlem üzerinde olmayan bir doğru düzlem içindeki bir doğruya dik ise düzlemle arakesiti bir noktadır. A) I, II, IV B) I, III, IV C) I, IV D) I, II E) II, IV 67

23. 3 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Düzlemde paralel iki doğrudan birine paralel olan herhangi bir doğru diğerine de paraleldir. B) Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru birbirine paraleldir. C) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir. D) Paralel iki düzlemi üçüncü bir düzlem kesiyor ise oluşan arakesitler birbirine paraleldir. E) Paralel iki doğrudan geçerek kesişen iki düzlemin arakesiti, bu doğrulara dik doğrudur. 68

24. Düzlemde bir d doğrusu ve bu doğrudan 5 cm uzaklıkta bir A noktası veriliyor. A noktasına 8 cm, d doğrusuna 3 cm uzaklıktaki noktaların geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) Doğru parçası B) Çember yayı C) Üç nokta D) İki nokta E) Dört nokta 69

25. 2 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Aynı doğruya dik olan iki doğru birbirine paraleldir. B) Paralel iki doğruya paralel olmayan üçüncü doğru mutlaka diğer doğruları keser. C) Doğrunun üzerindeki bir noktadan geçen ve bu doğruya dik olan bir tek doğru vardır. D) Paralel iki doğrudan birine paralel olan bir doğru diğerine de paraleldir. E) Doğrunun dışındaki bir noktadan bu doğruya birden fazla dik doğru çizilebilir. 70

26. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Paralel iki doğrudan birini dik kesen düzlem diğerine diktir. B) Çakışık doğruların ortak en az iki noktası vardır. C) Paralel iki doğru yalnız bir düzlem belirtir. D) İki doğrunun ortak bir noktası var ise bu doğruları üzerinde bulunduran bir düzlem vardır. E) Birbirini kesmeyen iki doğrunun içinde bulundukları düzlemler birbirine daima paraleldir. 71

27. 3 de aşağıdakilerden hangisi yanlış olabilir? A) Bir doğrunun iki düzlem üzerindeki izdüşümü aynı ise bu doğru iki düzlemin açıortay düzlemi içindedir. B) İki noktanın ortak doğruları çakışıktır. C) Bir şeklin verilen bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü kendisiyle aynı ise şekil düzleme paraleldir. D) iki doğrunun bir düzlemdeki dik izdüşümleri kesişiyorsa doğrularda kesişiyordur. E) Bir doğru kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna dik ise düzlemlerin içinde olmayabilir. 72

28. A, B, C uzayda verilen doğrular ise aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) A B ve B C ise A // C dir. B) A B ve B C ise A C dir. C) A // B ve B C ise A C dir. D) A // B ve A C ise B C = E) A // C ve A B ise C B 73

29. 2 de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? A) Aynı doğruya paralel olan iki doğru, birbirine paraleldir. B) Aynı doğruya dik olan iki doğru, birbirine paraleldir. C) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru, diğerine de diktir. D) Aynı düzlemde kesişen iki doğrunun iki tane ortak noktası vardır. E) Paralel iki doğru arasındaki uzaklık, bunlara dik olan doğru parçasının uzunluğudur. 74

30. 3 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Bir düzleme dışındaki bir noktadan sadece 1 tane paralel düzlem çizilir. B) İki paralel doğrudan biri kesen doğru diğerini kesmeyebilir. C) Dört düzlem uzayı en çok 14 bölgeye ayırır. D) Doğrusal olmayan üç nokta bir düzlem belirtir. E) Farklı iki düzlem kesişirse bu düzlemlerin arakesiti bir noktadır. 75

31. Bir E düzlemine teğet ve yarıçap uzunlukları 4 cm olan kürelerin merkezlerinin geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) E ye dik bir düzlem. B) E ye paralel bir düzlem. C) E ye 4 cm uzaklıkta paralel iki düzlem. D) E ye 4 cm uzaklıkta paralel iki doğru. E) E ye dik bir doğru. 76

32. 2 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Bir noktadan sonsuz doğru geçer. B) Düzlemde farklı üç doğru farklı üç noktada kesişebilir. C) Düzlemde farklı iki doğru ya paraleldir ya da kesişir. D) Bir düzlemde üç doğru düzlemi en az 4, en çok 8 bölgeye ayırır. E) Düzlemde paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir. 77

33. 3 de iki doğru aynı düzlemin elemanı iseler aşağıdakilerden hangisi söylenemez? A) İki doğru tek noktada kesişebilir. B) İki doğru dik olabilir. C) İki doğru aykırı olabilir. D) İki doğru paralel olabilir. E) İki doğru düzlemi 4 bölgeye ayırabilir. 78

34. 3 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Paralel iki düzlem uzay belirtir. B) Kesişen iki düzlem uzay belirtir. C) Bir düzleme dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda paralel doğru çizilebiir. D) Kesişen iki düzlemin bir ortak noktası varsa, düzlemler çakışıktır. E) Paralel iki düzlemden birine paralel olan düzlem, diğerine de paraleldir. 79

35. 3 de aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) Paralel iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine de diktir. B) Bir doğru ve dışındaki bir nokta bir düzlem belirtir. C) İki düzlem bir noktada kesişir. D) Bir doğru düzleme paralel ise düzlemdeki bütün doğrulara da paraleldir. E) Aykırı iki doğru bir düzlem içindedir. 80

36. I. Farklı iki düzlemin arakesiti varsa bu bir doğrudur. II. Bir doğrudan sonsuz tane düzlem geçer. III. Farklı iki düzlemin ortak iki noktası varsa bu iki düz lem çakışıktır. Yukarıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D)Yalnız III E) I ve III 81

37. 3 de verilen üç düzlem için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Üç düzlemin arakesiti yalnız iki nokta olabilir. B) İki düzlem dikse üçüncüsü her ikisine de dik olabilir. C) Düzlemlerin arakesiti bir doğru olabilir. D) Düzlemler üç paralel doğru boyunca kesişebilir. E) Düzlemlerin arakesiti yalnız bir nokta olabilir. 82

38. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) Paralel iki düzlemden birini kesen düzlem diğerini de keser. B) Paralel iki düzlemden birin kesen doğru diğerini de keser. C) Paralel iki düzlemden birinin içindeki her doğru diğer düzleme paraleldir. D) Aynı düzleme paralel olan ve kesişen iki doğrunun belirttiği düzlem bu düzlemi keser. E) Uzayda bir noktadan geçen ve verilen bir düzleme paralel olan bir tek düzlem vardır. 83

39. 3 de aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Farklı iki noktayı üzerinde bulunduran bir tek doğru vardır. B) Doğru ile düzlemin bir ortak noktası varsa doğru düzlem içindedir. C) Her doğru üzerinde olmayan en az bir nokta vardır. D) Düzlemde farklı iki doğrunun en çok bir ortak noktası vardır. E) Farklı iki doğrunun, ortak noktası bu doğruların kesişme noktasıdır? 84

40. Bir düzlemdeki farklı doğrularla ilgili ifadelerden hangisi her zaman yanlıştır? A) Bir düzlemdeki beş doğru bir noktada kesişebilir. B) Bir düzlemdeki dört doğru ikişer ikişer kesişebilir. C) Bir düzlem içindeki dört doğrudan üçü kesişirse, dördüncü doğru bunlara paralel olabilir. D) Bir düzlemdeki dört doğru birbirine paralel olabilir. E) Bir düzlem içindeki doğruların ortak ikişer noktaları varsa bu doğrular çakışıktır. 85

41. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine de diktir. B) Bir düzleme paralel olan bir doğru düzlemin içindeki bir doğruya paraleldir. C) Paralel düzlemlerin üçüncü bir düzlemle arakesitleri birbirine paraleldir. D) Bir düzleme paralel bir doğrunun düzlem üzerindeki izdüşümü noktadır. E) Bir düzleme dik bir doğrunun düzlem üzerindeki izdüşümü bir noktadır. 86

42. I. Paralel iki doğru bir tek düzlem belirtir. II. Kesişen iki doğru bir tek düzlem belirtir. III. 4 paralel doğru ikişer ikişer seçilirse 5 farklı düzlem oluşur. Yukarıdakilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 87

43. 3 de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır? A) Bir doğruya eşit uzaklıktaki noktalar silindirik bir yüzey oluşturur. B) Uzayda iki aykırı doğruya bir ortak dikme çizilebilir. C) Paralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine paraleldir. D) Aynı düzleme dik olan paralel iki düzlemin üçüncü düzlemle arakesitleri paraleldir. E) Bir düzleme dik olmayan bir doğrunun bu düzlem üzerindeki dik izdüşümü yine bir doğrudur. 88

44. 3 de aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) Kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna paralel olan bir doğru düzlemlere de ayrı ayrı paraleldir. B) Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de keser. C) Bir düzleme dik olan düzlemler birbirine paraleldir. D) Bir doğru bir düzlem içindeki bir doğruya dikse düzleme de diktir. E) Bir düzleme dik olan d doğrusundan geçen düzlemler diğer düzleme paraleldirler. 89

45. 3 de aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur? I. Dik düzlemden birine paralel olan düzlem diğerine diktir. II. Paralel iki doğrudan eşit uzaklıktaki noktalar düzlem belirtir. III. İki noktadan eşit uzaklıktaki noktalar düzlem belirtir. IV. Bir düzlem bir doğruya dik ise bu doğrudan geçen sonsuz düzleme de diktir. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 90

46. Bir düzlem içindeki farklı üç doğrunun birbirine göre durumu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Üç doğru bir noktada kesişebilir. B) Üç doğru ikişer ikişer kesişebilir. C) İkisi paralel olup, üçüncü doğru bunlardan birine dik ve diğerine paralel olabilir. D) Üç doğru birbirine paralel olabilir. E) Bu üç doğrunun kesim noktaları iki tane olabilir. 91

47. 3 de aşağıdakilerden hangileri daima doğrudur? I. Aynı düzleme dik iki düzlem birbirine paralel ise üçüncü düzlemle arakesitleri de paraleldir. II. Bir doğru paralel iki doğrudan birini kesiyor ise diğerini de keser. III. İki düzlem bir düzleme dik ise birbirlerine paraleldir. IV. Bir düzlem içindeki bir şeklin başka bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü aynı ise iki düzlem birbirine paraleldir. V. Kesişen iki düzlem aynı düzleme dik ise bunların arakesiti de aynı düzleme diktir. A) I, II, IV B) I, IV, V C) I,V D) I, II, III E) I, III, V 92

48. Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. Dördü aynı düzlemde olmayan dört nokta uzay belirtir. II. Bir düzlem ile dışındaki bir nokta uzay belirtir. III. Bir düzlemle dışındaki bir doğru uzay belirtir. IV. Farklı iki düzlem uzay belirtir. V. Paralel iki düzlem uzay belirtir. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 93

49. 3 de aşağıdakilerden hangisi veya hangileri doğrudur? I. Paralel iki düzlemden birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir. II. Birbirine dik olan iki düzlemden birini kesen doğru diğer düzleme diktir. III. Paralel iki düzlemden birini kesen doğru diğerini de keser. A) I B) II C) I III D) III E) II III 94

50. 3 deki Q ve P düzlemleri için hangisi yanlıştır? A) Q ve P nin en az bir ortak noktaları varsa bu iki düzlemin arakesiti bir doğrudur? B) Q ve P nin doğrusal olmayan üç tane ortak noktaları varsa bu iki düzlemin başka ortak noktaları yoktur. C) Q P ise ancak ve ancak Q = P dir. D) Q ve P farklı düzlemler ise (Q P) kümesinin sonsuz çoklukta elemanı olabilir. E) Q ve P nin doğrusal üç tane ortak noktaları varsa bu iki düzlem eşit olmayabilir. 95

51. Ölçek açısı 45 o olan iki düzlemden birinin içinde bir nokta alınıp, diğer düzleme dikme çiziliyor. Noktanın düzleme uzaklığı 4 birim olduğuna göre noktanın arakesit doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir? A) 7 2 B) 6 2 C) 5 2 D) 4 2 E) 3 2 96

52. Ölçek açısı 45 o olan iki düzlemden birinde 6 br yarıçaplı dairenin diğer düzlem üzerindeki izdüşümünün alanı kaç π birimkaredir? A) 14 2 B) 16 2 C) 18 2 D) 20 2 E) 22 2 97

53. P ve E düzlemleri arasındaki ölçek açı 30 o dir. P düzlemi içinde alınan 8 cm çaplı bir dairenin E düzlemi üzerindeki izdüşümünün alanı kaç cm 2 dir? A) 4π B) 8π C) 12π D) 8 3π E) 16 3π 98

54. Bir düzlemle 30 o lik açı yapan 10 birim uzunluğundaki bir doğru parçasının bu düzlem üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu kaç birimdir? A) 5 3 B) 4 3 C) 3 3 D) 2 3 E) 3 99

55. P ve E düzlemleri arasındaki açı 30 o dir. P düzleminde bulunan ABCD dikdörtgeninin E düzlemi üzerindeki izdüşüm alanı 30 birimkare olduğuna göre Alan(ABCD) kaç birimkaredir? A) 20 B) 20 3 C) 30 D) 30 3 E) 60 100

56. Dik kenarı 3 2 br olan ABC ikizkenar dik üçgeninde A dik köşesinden ABC düzlemine çizilen dikme üzerinde AP = 4 br olan P noktası alınıyor. PBC üçgeninin alanı kaç cm 2 dir? A) 15 B) 18 C) 28 D)30 E) 36 101

57. ABCD dikdörtgeninin AB den geçen bir düzlem üzerindeki dik izdüşümü ABC D karesidir. 2 A(ABCD) = 3 A(ABC D ) ise iki düzlem arasındaki açı kaç derecedir? A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75 102

58. Kenar uzunluğu 6 3 br olan ABC eşkenar üçgeni ve üçgen düzlemi dışında bir O noktası alınıyor. G üçgenin ağırlık merkezi olup, [OG] (ABC) ve OG = 8 br ise OA kaç birimdir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13 103

59. Dik köşesi A ve dik kenarları 3 2 cm olan ABC ikiz kenar dik üçgeninin düzlemine aynı tarafta B ve C köşelerine dikler çiziliyor. BB = CC = a alındığında AB C üçgeni eşkenar ise a kaç cm olur? A) 9 B) 8 C) 6 2 D) 6 E) 3 2 104

60. Bir ABC eşkenar üçgeninin çevrel çemberinin O merkezinden üçgen düzlemine bir OK dikmesi çiziliyor. Üçgenin bir kenarı 10 3 cm ve OK = 69 cm olduğuna göre KA kaç cm dir? A) 18 B) 16 C) 15 D) 13 E) 12 105

61. Bir E düzlemi ve E düzlemine 15 cm uzakta bir P noktası alınıyor. P noktasının dikme ayağı O merkez olmak üzere düzlemde O merkezli 9 cm yarıçaplı bir çember çiziliyor. Çemberin üzerindeki bir A noktasına AB = 3 2 br olan [AB] teğeti çizilirse PB kaç br olur? A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24 106

62. AB = AC = 6 br olan ABC ikizkenar üçgeninde m(abc) = 120 dir. A noktasında ABC düzlemine çıkılan dikme üzerinde AP = x olmak üzere P noktası alınıyor. m(cpb) = 90 ise x kaçtır? A) 3 B) 3 2 C) 4 D) 4 2 E) 6 107

63. Yandaki şekilde (E) // (F) ve d 1 (E) d 2 (F) olmak üzere aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? F E d 2 d 1 A) d 1 doğrusu (F) ye paraleldir. B) d 2 doğrusu (E) ye paraleldir. C) (E) ve (F) nin ortak noktası yoktur. D) d 1 ve d 2 doğruları paralel olabilir. E) d 1 ve d 2 doğruları daima aykırıdır. 108

64. [AB] doğru parçası (E) düzlemi tarafından AC : BC = 3 : 5 olacak şekilde C noktasında kesilmektedir. Doğru ile düzlem arasındaki açı 45 o dir. [AC] nin düzlem üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu 3 2 br ise [BC] kaç birimdir? E B C A A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 109

C 65. B Yandaki şekilde [BC] nin (E) üzerindeki izdüşüm uzunluğu 5 br dir. d A K L CB = BL = 10 br ise AC kaç br dir? E A) 20 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 110

66. P Şekilde ABCD kare, [PA] (ABCD) D A olduğuna göre bu şekilde kaç tane dik üçgen vardır? B C A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 111

67. Yanda verilen üç boyutlu şekilde kaç tane iki düzlemli açı vardır? P A D A) 20 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10 B C 112

68. Şekilde (ABC) E [OA] E AB = AC BC = 6 2 br. PBC üçgeninin eşkenar olması için PA kaç br olmalıdır? E A P B C 6 2 A) 3 B) 3 2 C) 3 3 D) 3 5 E) 6 113

69. Şekilde [AB] F [CD] E AB = 3 cm BC = 6 cm CD = 5 cm olduğuna göre düzlemler üzerinde hareket eden bir karınca A dan D ye en az kaç cm yol alır? A E 3 C 6 B 5 F D A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 114

70. Şekilde, [AB] F ve [DC] E AB = 2 cm BC = 5 cm CD = 3 cm olduğuna göre E ve F düzlemleri çakışık değilse, düzlemler üzerinde hareket etmek koşuluyla A ile B arası en kısa kaç cm dir? A E 2 C 5 B 3 F D A) 13 B) 15 C) 17 D) 18 E) 20 115

71. d doğrusu E ve F düzlemlerinin arakesit doğrusudur. Düzlemlerin ölçek açısı 120 o dir. [AB] d, [BC] d, AB = 3 cm, BC = 5 cm Yukarıda verilenlere göre aşağıdakilerden hangisi AB nin değeridir? A E 3 5 d B 120 o C F A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 116

72. [PA] (E) [CB] [AB] B CB = 3 cm PC = 6 cm PA = 3 2 cm E C Yukarıda verilenlere göre AB kaç cm dir? P A A) 2 B) 3 C) 3 2 D) 3 3 E) 4 2 117

73. Şekildeki düzlemde; [AB] (E) [DC] (E) AB = 6 br CD = 9 br BC = 8 br olduğuna göre AD kaç br dir? E C D P A B A) 13 B) 15 C) 17 D) 19 E) 21 118

74. Şekilde [PA] (E) mpba ( ) = 29 mpca ( ) = 31 o mpda ( ) = 58 PB, PC ve PD için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? o o E B 29 o C 31 o P A 58 o D A) PB > PC > PD B) PB > PD > PC C) PD > PC > PB D) PD > PB > PC E) PC > PB > PD 119

75. Şekilde; [PA] (E), PD < PC < PB olduğuna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? P A D A) AC < AB < AD B) AB < AC < AD C) AD < AB < AC D) AB < AD < AC E) AD < AC < AB E B C 120

76. P Şekildeki üç farklı paralelkenar düzlem par- M L 13 x çasının PA kenarları ortaktır. A PM = 13 cm PK = 6 cm B C olduğuna göre E PL = x değerinin alabileceği tamsayı değerleri toplamı kaçtır? 6 K D A) 76 B) 70 C) 60 D) 57 E) 51 121

77. Şekilde [PA] (E) P [CA] d PB = 13 br PA = 12 br PC = 200 br olduğuna göre BC kaç birimdir? E C 200 12 A 13 B d A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 9 122

78. Şekilde [PA] (E) [BA] [AC] Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? E C P A B d k I. PB = AB II. PB = 3 BA III. [AP] [PC] IV. [PA] [BA] V. BA = 2 PB A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 123

79. Şekilde [AB] (E) [BD] [DC] mbac ( ) = 30 mdbc ( ) = 60 DC = 2 3 br olduğuna göre AD kaç br dir? o o E A P o 30 60 o B C A) 8 B) 6 C) 3 13 D) 2 13 E) 13 124

80. Şekildeki (E) düzlemi [AB] nin orta dikme düzlemidir. [BP] (E) = D ve AD = 4 br DP = 6 br olduğuna göre [BP] kaç br dir? E C A B D P A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 17 125

81. A ABC üçgeninde E düzlemi [AB] nin orta dikme düzlemidir. P C [DB] [AB] AD = 34 br, E AB = 30 br olduğuna göre D B PC kaç br dir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15 126

82. [AP] E, d E ve P [PH] d CH = 5 cm PA = 10 cm PH = 2 61 cm Yukarıda verilenlere göre AC kaç cm dir? E A C H d A) 18 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13 127

83. Şekilde bir kenarı K P N 4 2 m olan kare 1 şeklindeki bahçenin tam ortasına 5 A 5 D m uzunluğunda bir G 4 2 direk ve köşelerine L M de 1 m uzunluğunda dört direk dikiliyor. B C Direklere şekildeki gibi gerilen elektrik kablosu kaç metredir? A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36 128

84. P ABC eşkenar üçgeninin G ağırlık merkezinden üçgen düzlemine dik PG dikmesi çiziliyor. A PG = 8 br G B AB = 6 3 br olduğuna göre PC + PB + PA toplamı kaçtır? C A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 60 129

85. Şekildeki ABC eşkenar üçgeninde CD AB CD = 2 3 cm BD = 3 cm ve [PA] (ABC) olduğuna göre CH kaç cm dir? E B D P A C A) 10 B) 5 C) 5 3 D) 4 E) 3 3 130

86. A Şekilde ABCD bir karedir. P [PQ] (ABCD) 4 BQ = QC E AB = 4 2 birim PQ = 4 birim B Q C olduğuna göre Alan(APD) kaç birimkaredir? 4 2 D A) 4 6 B) 16 C) 32 D) 8 6 E) 36 131

87. Şekilde; AB = AC = 10 br BC = 12 br DBEC kare ise A noktasının E köşesine uzaklığı kaç cm dir? E D A 10 10 60 o B 12 C A) 3 2 B) 3 C) 3 3 2 D) 2 3 E) 5 3 2 132

88. Şekilde ABC eşkenar üçgeninin (E) A düzlemi üzerindeki dik izdüşümü KBC 30 K üçgenidir. L BL = LC, E AL = 2 3 cm o malk ( ) = 30 F B olduğuna göre KBC üçgeninin alanı kaç cm 2 dir? C A) 4 3 B) 4 2 C) 3 2 D) 3 3 E) 2 3 133

A 10 89. C ABC ikizkenar üçgeninde 10 AB = AC = 10 cm K 12 BC = 12 cm E AK = 6 cm F B [AK] E olduğuna göre Çevre(KBC) kaç cm dir? A) 20 B) 24 C) 28 D) 32 E) 36 134

90. ABC eşkenar üçgeninin A köşesinin E düzlemi D üzerindeki dik izdüşümü K dir. [BK] [KC] E AC = 6 2 br F olduğuna göre AK kaç birimdir? A K B 6 2 C A) 3 B) 2 3 C) 6 D) 6 2 E) 6 3 135

91. A Şekildeki ABC üçgeni bir kenarı D C 12 cm olan bir eşkenar üçgendir. K 12 ABC üçgen düzlemiyle (E) düzlemi arasındaki F B E 60 o açı 60 o dir. ABC üçgeninin dik izdüşümü KBC üçgeni olduğuna göre KBC üçgeninin çevresi kaç birimdir? A) 12 + 6 13 B) 18 C) 12 + 2 13 D) 20 13 E) 38 136

92. ABC eşkenar üçgeninin E düzlemi üzerindeki dik izdüşümü bir dik üçgendir. AK = 12 cm olduğuna göre KB kaç cm dir? F E D A K B C A) 12 B) 12 2 C) 13 2 D) 16 2 E) 18 2 137

93. [PO], ABCD eşkenar dörtgen düzlemine diktir. PB = AB = 4 cm o mdba ( ) = 30 olduğuna göre PA kaç cm dir? B A P O C D A) 12 B) 8 C) 4 3 D) 4 2 E) 2 2 138

94. ABCD dikdörtgen düzlemi ile DEA ikizkenar üçgen A düzlemi birbirine diktir. AD = 10 cm E AB = 39 cm B A(DEA) = 30 cm 2 olduğuna göre EC kaç cm dir? E C D A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 4 139

95. Şekilde tepe noktası P olan PBC ikizkenar üçgen düzlemi, ABC eşkenar üçgen düzlemi ile 30 o lik açı yapmaktadır. PC = 6 2 cm ve P noktasından inilen dikme eşkenar üçgenin yüksekliğinin ortasından geçmektedir. Buna göre eşkenar üçgenin çevresi kaç cm dir? A P B C A) 30 B) 32 C) 36 D) 4 E) 48 140

96. Şekildeki kare düzlem parçaları kesi- A şiyorlar. P K P : orta nokta 3 G L 4 2 G : ağırlık merkezi E BC = 4 2 cm B C PG = 3 cm olduğuna göre K ile B arasındaki uzaklık kaç cm dir? D A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 5 141

97. A ABCD dikdörtgen düzlemi, CBE ikizkenar dik üçgen düzlemine diktir. BE = CB = 6 br D EF = FB B Alan(AFD) = 15 br 2 olduğuna göre DC kaçtır? E A) 3 B) 4 C) 5 F C D) 6 E) 8 142

98. ABC dik üçgeni E düzlemi ile 60 o lik açı yapmaktadır. BC = 6 cm, o ma= ( ) 30 ise ABC üçgeninin dik izdüşümünün alanı nedir? E C B A K A) 8 3 B) 9 3 C) 12 3 D) 16 3 E) 18 3 143

99. PA = PB olan PAB A P ikizkenar üçgeninin E düzlemi üzerine dik T izdüşümü KAB eşkenar üçgenidir. B K E [PT] [AB], PK = 4 cm, PT = 8 cm ise KAB üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) 24 144

100. Şekilde ABCD bir kenarı 12 cm olan bir kare, (BEC) üçgeninin taban düzlemi ile ölçek açısı 60 o olan bir eşkenar üçgendir. G noktası EBC üçgeninin ağırlık merkezi ise B Alan(ADG) kaç cm 2 dir? P A o 60 C G 12 D A) 3 21 B) 6 21 C) 12 21 D) 5 10 E) 6 10 145

E 101. 6 2 Şekildeki ABCD A düzlemi bir karedir. D ACE düzlemi ile ABCD düzlemi 6 2 6 2 60 o lik açı yapmaktadır. EC = AE = BC = 6 2 br B C ise ED kaç br dir? A) 2 5 B) 3 2 C) 4 2 D) 5 E) 6 146

102. A E ve F düzlemleri arasındaki ölçek açı K F 30 o L dir. F düzlemindeki yarıçapı 6 cm olan B C E dairenin E düzlemine dik izdüşümünün alanı kaç π cm 2 dir? 30 o D A) 18 3 B) 18 3 2 C) 18 2 D) 18 3 5 E) 18 2 5 147

103. Şekildeki ABCD dikdörtgeni P düzlemi d üzerinde ve [AB] // D A d dir. C B ABCD dikdörtgenin (E) üzerindeki izdüşümü bir karedir. α AD = 2 AB = 8 br ise düzlemler arasındaki açı kaç derecedir? F E A) 75 B) 60 C) 45 D) 30 E) 15 148

104. Şekildeki (F) ve (E) düzlemleri arasında 45 o lik açı vardır. (F) üzerindeki ABCD eşkenar dörtgeninin (E) B üzerindeki dik izdüşümü A B C D karesidir. Karenin bir 45 ο kenarı 6 cm ise eşkenar dörtgenin bir kenarı kaç cm dir? A d C D F E A) 2 6 B) 3 6 C) 4 6 D) 5 6 E) 8 149

105. d E PA = 15 cm AB = 9 cm PC = 153 cm Yukarıda verilenlere göre Alan(PBC) kaç cm 2 dir? E B A P d C A) 18 B) 20 C) 24 D) 26 E) 28 150

106. [PA] (E) P Şekilde, O merkezli [AB] çaplı çember E düzlemindedir. A B Dairenin alanı 25π cm 2 CD = 6 cm E C PA = 6 cm Yukarıda verilenlere göre Alan(PCD) kaç cm 2 dir? A) 42 B) 36 C) 32 D) 30 E) 28 151

107. (E) düzlemine [AB] çaplı çember çizilmiştir. [PA] E AB = 2 26 cm PA = AC = 5 cm olduğuna göre Alan(PCB) kaç cm 2 dir? E A P 5 5 C B A) 24 2 B) 20 2 C) 19 2 D) 16 2 E) 12 2 152

108. P düzleminin içinde bulunan O merkezli çember, d doğrusu ile A ve B de kesişmektedir. [DO] P, P [OC] d, AB = 8 br, BD = 5 br d OC = 5 br O B olduğuna göre A OD kaç br dir? E A) 2 B) 5 C) 7 D) 2 2 E) 3 153

109. P P düzlemi içinde O merkezli bir çemberin merkezinden düzleme çıkılan dikme üzerinde O A B OP = 8 br olan bir P noktası alınıyor. E AB çembere teğet, AB = 3 br, PB = 10 br olduğuna göre çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 3 2 B) 4 C) 3 3 D) 2 3 E) 5 154

110. B E düzleminde; O merkezli çemberin yarıçapı 3,5 br dir. A [AB] [OA] O [OA] = 12,5 br AB = 12 br E olduğuna göre B noktasını çember üzerindeki noktalara birleştiren doğru parçalarından en uzun ve en kısa olanlarının toplamı kaçtır? A) 20 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50 155

111. A Şekilde A (E) B (E) P (E) [AB] (E) B C 13 5 AC d P E BP = 13 birim PC = 5 birim AC = 15 birim olduğuna göre Alan(ABC) kaç birimkaredir? 9 d A) 60 B) 56 C) 54 D) 52 E) 50 156

112. Şekilde [PH] (E) [HK] [BK] PB = 13 br mhpk = HK = 6 br ( ) 30 olduğuna göre A(PBK) kaç br 2 dir? o E P H 6 13 K B A) 20 B) 25 C) 30 D) 35 E) 39 157

113. Şekildeki E düzleminin içinde bir A nok- B tası dışında bir B noktası veriliyor. X Düzlem içinde A dan B' K geçen doğrulardan biri AX olsun. A E B den AX e çizilen dik doğrunun AX i kestiği nokta K, B nin izdüşüm noktası B olduğuna göre K noktalarının geometrik yeri nedir? A) [AB] çaplı çember B) [AK] çaplı çember C) [AB ] çaplı çember D) AX doğrusu E) [BB ] çaplı çember 158

DİKDÖRTGENLER PRİZMASI 114. Eni 3!, boyu 5!, yüksekliği 7! cm olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç cm 3 tür? A) 105 B) 8! C) 9! D) 10! E) 105!

115. Bir dikdörtgenleri prizmasında bulunan köşe adedi a, ayrıt adedi b, yüzey adedi c olsun. Buna göre a + b + c toplamı kaça eşittir? A) 22 B) 24 C) 26 D) 27 E) 28 160

116. Bir dikdörtgenler prizmasının yüzey köşegenlerinin adedi, cisim köşegenlerinin adedinden kaç fazladır? A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 161

117. Eni ile boyunun uzunlukları 3 ve 4 br olan bir dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeninin uzunluğu yüksekliğin uzunluğundan 1 birim fazlaysa, bu prizmanın hacmi kaç br 3 tür? A) 144 B) 121 C) 108 D) 96 E) 72 162

118. Aşağıdakilerden hangisi farklı ayrıtlarının uzunlukları a, b, ve c birim olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanıyla özdeştir? A) (a + b + c) 2 a 2 b 2 c 2 B) (a + b + c) 2 a 2 b 2 c 2 C) (a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 D) (a + b + c) 2 + a 2 b 2 c 2 E) (a + b + c) 2 a 2 + b 2 + c 2 163

119. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 2, 1 ve 3 sayılarıyla orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 88 br 2 olduğuna göre cisim köşegeninin uzunluğu kaç birimdir? A) 2 14 B) 2 15 C) 2 17 D) 2 19 E) 2 21 164

120. Farklı ayrıtlarının toplamı 6 cm, cisim köşegeni 3 cm olan bir dikdörtgenler prizmasının toplam alanı kaç cm 2 dir? A) 54 B) 45 C) 36 D) 30 E) 27 165

121. 36 cm uzunluğunda bir telden yüzeyleri olmayan ve içi boş bir dikdörtgenler prizması yapılıyor. Bu prizmanın içi dolu olsaydı hacmi en çok kaç cm 3 olabilirdi? A) 216 B) 125 C) 64 D) 27 E) 8 166

122. Bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları 12 br 2, 15 br 2, 20 br 2 ise bu prizmanın hacmi kaç br 3 tür? A) 36 B) 45 C) 50 D) 60 E) 64 167

123. Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları a, b ve c birimdir. 1 1 1 3 + + = a b c 4 ve prizmanın tüm alanı 864 br 2 olduğuna göre prizmanın hacmi kaç br 3 tür? A) 576 B) 570 C) 564 D) 558 E) 552 168

124. Eni 3 cm, boyu 4 cm ve hacmi 60 cm 3 olan bir dikdörtgenler prizmasının iç bölgesinde alınan herhangi bir noktanın alt ve üst yüzeylere olan uzaklıklarının toplamı kaç cm dir? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8 169

125. Farklı ayrıtları 10, 15, 20 br olan dikdörtgenler prizması şeklinde içi dolu bir cisim hiç parça artmayacak şekilde en çok kaç eş kübe ayrılabilir? A) 64 B) 24 C) 20 D) 12 E) 6 170

126. Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları 2 kat arttırılırsa toplam alanı kaç kat artar? A) 2 B) 3 C) 4 D) 8 E) 9 171

127. Bir dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları 2 kat arttırılırsa hacmi kaç katına çıkar? A) 3 B) 8 C) 9 D) 26 E) 27 172

128. Bir dikdörtgenler prizmasının tüm köşeleri kaç farklı dikdörtgen belirtirler? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16 173

129. Yandaki dikdörtgenler prizmasında AB = 9 birim BF = 12 birim FK = 16 birim AP = PD olduğuna göre FP uzunluğu kaç birimdir? B 12 F 9 A E 16 P C K D L A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 174

130. Yandaki dikdörtgenler prizmasında LK = 2 birim KF = 4 birim FB = 3 birim BP = PA olduğuna göre PK kaç birimdir? B 3 F P A E 4 C K 2 D L A) 5 B) 26 C) 3 3 D) 2 7 E) 6 175

131. Yandaki dikdörtgenler prizmasında AP = PD = 4 birim DL = 3 birim LK = 4 birim FQ =6 birim olduğuna göre PQ kaç birimdir? B F 6 A E 4 Q P C K 4 4 D 3 L A) 5 B) 26 C) 3 3 D) 2 7 E) 29 176

132. Yandaki dikdörtgenler prizmasında BF = 10 birim FK = 11 birim KL = 23 birim LP = PD olduğuna göre FP kaç birimdir? B 10 F A E 11 C K D P L 23 A) 12 B) 13 C) 15 D) 17 E) 21 177

133. Yandaki dikdörtgenler prizmasında AB = 3 birim BF = 4 birim FK = 12 birim 7 EP = 5 PL olduğuna göre CP kaç birimdir? B 4 F 3 A E 12 P C K D L A) 74 B) 61 C) 5 2 D) 7 E) 6 178

134. Yandaki dikdörtgenler prizmasında AB = 4 birim BF = 5 birim FK = 6 birim FP = PE olduğuna göre CP kaç birimdir? B 5 F 4 P A E 6 C K D L A) 65 B) 61 C) 5 2 D) 7 E) 6 179

135. Yandaki dikdörtgenler prizmasında FP BL BF = 5 birim FK = 8 birim KL = 6 birim olduğuna göre FP kaç birimdir? B 5 F P A E C K 6 D L A) 5 B) 10 C) 4 D) 2 5 E) 21 180

136. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası prizmanın ağırlık merkezidir. Buna göre PE = a, PK = b ve PB = c değerleri hangi şıkta doğru sıralanmıştır? B F E A P K C D L A) a < b < c B) a < c < b C) a < b = c D) a = b < c E) a = b = c 181

137. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası [AD] üzerindedir. AB = 3 cm BF = 4 cm FK = 6 cm olduğuna göre Alan(KPF) kaç cm 2 dir? B 4 F 3 A E 6 P C K D L A) 15 B) 18 C) 24 D) 30 E) 36 182

138. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası [KL] üzerinde hareketli bir noktadır. AB = 2 cm BF = 3 cm FK = 4 cm olduğuna göre Alan(ABP) kaç cm 2 dir? B 3 F 2 A E 4 K C P D L A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 183

139. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası EFKL dikdörtgeninin ağırlık merkezidir. AP = 5 br ve AD = 6 br ise taralı APD üçgensel bölgesinin alanı kaç br 2 dir? A) 36 B) 30 C) 24 D) 12 E) 11 B F E A P C K D L 184

140. Yandaki dikdörtgenler prizmasında taralı üçgenin bir köşesi EK ve FL köşegenlerinin kesim noktasıdır. DL = LK = 6 cm FK = 8 cm olduğuna göre taralı üçgensel bölgenin alanı kaç cm 2 dir? B F A E 8 C K 6 D 6 L A) 15 B) 18 C) 24 D) 30 E) 48 185

141. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P ve Q alt ve üst yüzeylerin ağırlık merkezleridir. BF = 18 cm BA = 10 cm AD = 24 cm olduğuna göre taralı üçgenin alanı kaç cm 2 dir? B 18 F 10 E A 24 P C Q K D L A) 112 B) 117 C) 121 D) 124 E) 130 186

142. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası ABFE, Q noktası da ABCD dörtgeninin ağırlık merkezleridir. Eğer prizmanın tüm ayrıtları eşit uzunluktaysa PQB üçgeni aşağıdakilerden hangisidir? B F P A E Q C K D L A) Dik üçgen B) Eşkenar üçgen C) Geniş açılı üçgen D) 30º-60º-90º üçgeni E) 3-4-5 üçgeni 187

143. Yandaki dikdörtgenler prizmasında AB = 3 birim BF = 4 birim FK = 6 birim DP = PL olduğuna göre Alan(PAF) kaç birimkaredir? B 4 F 3 E A 6 C K D P L A) 14 B) 3 26 C) 15 D) 4 21 E) 5 5 188

144. Yandaki dikdörtgenler prizmasının içinde bulunan taralı dikdörtgen piramidin hacmi, dikdörtgenler prizmasının hacminin kaçta kaçıdır? B F A E K C D L A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 2 3 E) 3 5 189

145. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P noktası ABCD yüzeyi üzerindedir. Buna göre taralı üçgen piramidin hacmi dikdörtgenler prizmasının hacminin kaçta kaçıdır? B F P A E C K D L A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 5 E) 1 6 190

146. Yandaki dikdörtgenler prizmasında P, Q, R, S noktaları bulundukları ayrıtların orta noktaları olup, T noktası ABCD yüzeyindedir. Buna göre taralı piramidin hacmi prizmanın hacminin kaçta kaçıdır? B P F A T S E Q C K D R L A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 6 E) 1 8 191

147. Yandaki dikdörtgenler prizmasında DL = 9 birim LK = 12 birim KF = 16 birim olduğuna göre cos LFA kaça eşittir? B F A E 16 K C 12 D 9 L A) 3 5 B) 4 5 C) 7 25 D) 12 15 E) 13 25 192

148. Boyutları a, b, c birim olan yandaki dikdörtgenler prizmasının içinde rastgele bir P noktası alınıyor. Bu P noktasının küpün tüm yüzeylerine olan uzaklıklarının toplamı kaç birimdir? B b F A a P E c C K D L A) a b c B) a + b + c C) 2a + 2b + 2c D) a 2 + b 2 + c 2 E) ab + ac + bc 193

149. Yandaki dikdörtgenler prizmasında, P noktası [AD] üzerinde hareketli bir noktadır. BF = 6 birim FK = 12 birim KL = 2 7 birim olduğuna göre FP + PK toplamı en az kaç olabilir? B 6 F A E 12 P C K D L 2 7 A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24 194

150. Yandaki dikdörtgenler prizmasında, P noktası [CK] üzerinde hareketli bir noktadır. FK = 8 birim KL = 4 birim LD = 5 birim olduğuna göre FP + PD toplamı en az kaç olabilir? B F E A 8 C P K 4 D 5 L A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 17 195

151. Yandaki dikdörtgenler prizmasında Pε[CK] ve Qε[DL] veriliyor. BF = 11 birim FK = 21 birim KL = 18 birim ise FP + PQ + QA toplamı en az kaç olabilir? B 11 F A E 21 C P K D Q L 18 A) 60 B) 61 C) 62 D) 63 E) 64 196

152. Yandaki dikdörtgenler prizmasında Pε[BC], Qε[AD] ve Rε[EL] veriliyor. AB = 4 birim BF = 6 birim FK = 15 birim olduğuna göre FP + PQ + QR + RK toplamı en az kaç olabilir? B 6 F 4 P A E 15 Q K C R D L A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25 197

KÜP 153. Aşağıdakilerden hangisi bir ayrıtının uzunluğu tamsayı olan bir küpün hacmi olamaz? A) 1331 B) 1000 C) 729 D) 512 E) 432 198

154. Bir küpün yüzey köşegenin boyu bir ayrıtının boyunun kaç katıdır? A) 2 B) 3 C) 2 D) 5 E) 3 199

155. Bir küpün herhangi bir cisim köşegeninin boyunun bir ayrıtının boyuna oranı aşağıdakilerden hangisinin tanjantıdır? A) 2 π B) 3 π C) 4 π D) 6 π E) 12 π 200

156. Bir ayrıtı 4 birim olan bir küpün yüzey köşegeninin cisim köşegeni üzerindeki dik izdüşümü kaç birim olur? A) 6 3 5 B) 8 3 3 C) 9 3 4 D) 10 3 3 E) 12 3 5 201

157. Hacmiyle alanı sayısal olarak birbirlerine eşit olan bir küpün cisim köşegeni kaç birimdir? A) 6 B) 6 2 C) 6 3 D) 12 E) 12 3 202

158. 48 cm uzunluğunda bir tel bükülerek bir küp yapılırsa, oluşan kübün hacmi kaç cm 2 olur? A) 27 B) 64 C) 125 D) 216 E) 343 203

159. Farklı ayrıtları 2, 3, 4 br olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tuğlalardan en az kaç tanesi bir araya getirilerek bir küp meydana getirilebilir? A) 12 B) 24 C) 72 D) 288 E) 576 204

160. Yandaki küpte BD ve DK köşegenlerinin belirttiği BDK açısının ölçüsü kaç derecedir? B A C D A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90 E L F K 205

161. Yandaki küpte BE ve BD köşegenlerinin belirttiği DBE açısının ölçüsü kaç derecedir? B A C D A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90 F E K L 206

162. Yandaki küpte P, Q, R noktaları üzerinde bulundukları karelerin ağırlık merkezleridir. Buna göre PQR açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 45 B) 60 C) 75 D) 90 E) 120 B F P A E Q K C R D L 207

A D 163. Q Yandaki küpte P ve Q üzerinde B C bulundukları karelerin ağırlık merkezleridir. P Buna göre PQ uzunluğu küpün E L bir ayrıt uzunluğunun kaç katıdır? F K A) 1 2 B) 2 2 C) 1 3 D) 2 3 E) 2 208

164. A D Yandaki küpün içinde rastgele bir P noktası alınıyor. B C P nin küpün tüm yüzlerine olan uzaklıkları toplamı kaç E L ayrıt uzunluğunun toplamına P eşittir? F K A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 209

A 3 P D 165. 6 Yandaki küpte P noktası AD ayrıtı üzerindedir. B C BA = 6 birim AP = 3 birim E L olduğuna göre FP kaç birimdir? F K A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 210

166. A D Yandaki küpte P noktası KL ayrıtının üzerindedir. B C FK = 4 birim KP = 2 birim E L olduğuna göre AP kaç birimdir? 2 P F 4 K A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 211

167. Yandaki küpte P noktası FK ayrıtı üzerindedir. FP = 4 birim PK = 2 birim olduğuna göre AP kaç birimdir? B F A E 4 P 2 K C D L A) 66 B) 77 C) 88 D) 99 E) 10 212

168. Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte AK cisim köşegenidir. B A C D F köşesinden AK doğrusuna indirilen dikme ayağı P ise FP kaç br dir? 6 F E P K L A) 4 B) 2 6 C) 5 D) 4 2 E) 6 213

169. Yandaki küpün toplam alanı, taranmış bölge alanının kaç katıdır? B A C D A) 3 B) 2 3 C) 3 2 D) 4 E) 4 3 F E K L 214

170. Yandaki küpte P noktası [BA] ayrıtının orta noktasıdır. Taralı bölgenin alanı 2 br 2 olduğuna göre küpün alanının kaç br 2 dir? B P A E C D L A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 72 F K 215

171. A P D Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte P noktası [AD] üzerinde hareketli B C bir noktadır. Buna göre taralı bölgenin alanı E L kaç br 2 dir? F 6 K A) 9 B) 9 2 C) 18 D) 18 2 E) 36 2 216

A D 172. P noktası kübün taban yüzeyinin B C ağırlık merkezidir. 6 DL = 6 cm olduğuna göre APD üçgensel bölgesinin alanı kaç cm 2 dir? F E P K L A) 9 B) 9 5 C) 18 D) 18 5 E) 45 217

173. Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte P ve Q noktaları sırasıyla AD ve FK ayrıtları üzerindedir. FQ = QK PD = 2 PA olduğuna göre taralı bölgenin alanı kaç br 2 dir? B F E A Q P K C D L A) 15 B) 15 2 C) 18 D) 15 3 E) 30 2 218

A D 174. Yandaki küpte P noktası kübün B C ağırlık merkezidir. P Buna göre cos LPF kaçtır? E L F K A) 1 2 B) 2 2 C) 1 3 D) 2 3 E) 3 2 219

A D 175. Bir ayrıtının uzunluğu 8 br olan B C yandaki küpte, P CKLD yüzeyinin ağırlık merkezi olan P nin ABKL düzlemine en kısa uzaklığı kaçtır? A) 2 B) 2 C) 2 2 D) 4 E) 4 2 F E K L 220

A D 176. Bir ayrıtı 6 br olan yandaki küpte B C P noktası kübün ağırlık merkezidir. P 6 L Buna göre taranmış kare piramidin hacmi kaç br 3 tür? E F K A) 6 B) 18 C) 36 D) 54 E) 72 221

177. Yandaki küpte P ve R bulundukları ayrıtların orta noktalarıdır. B A C D Küpün hacmi 12 br 3 olduğuna göre taralı cismin hacmi kaç br 3 tür? A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 F P E R K L 222

178. A D Yandaki küpte P, R, S bulundukları ayrıtların orta noktalarıdır. B C S Kübün hacmi taralı piramidin E L hacminin kaç katıdır? P F R K A) 48 B) 36 C) 32 D) 24 E) 16 223

179. A D Yandaki küpte KP = PL B C RK = 2 FR olarak veriliyor. E L Buna göre küpün hacmi taralı P piramidin hacminin kaç katıdır? F R K A) 24 B) 18 C) 15 D) 12 E) 9 224

A D 180. Yandaki küpte P noktası [KL] B C üzerindedir. AP + PB toplamının en küçük değeri küpün bir ayrıtının kaç katıdır? F E K P L A) 2 B) 5 C) 6 D) 3 E) 2 3 225

181. Yandaki küpte P noktası [KC] ayrıtının üzerindedir. FP + PD toplamının en küçük değeri küpün bir ayrıtının kaç katıdır? B F E A C P K D L A) 2 B) 5 C) 6 D) 3 E) 2 3 226

182. A D Bir ayrıtı 2 cm olan yandaki küpte Qε [KC] ve Pε[LD] olarak veriliyor. B C P E L Buna göre FQ + QP + PA Q toplamı en az kaç cm olabilir? F K A) 4 2 B) 6 C) 2 10 D) 4 3 E) 7 227

183. A R D Bir ayrıtı a br olan yandaki küpte Pε[BC], Rε[AD] ve Qε[EL] olarak B P C veriliyor. E Q Buna göre L FP + PR + RQ + QK toplamı en az kaç a dır? F K A) 15 B) 4 C) 17 D) 3 2 E) 5 228

184. T Q x Z Bir ayrıtının uzunluğu 15 br olan X yandaki küpün A köşesinden C P Y köşesine P ve Q noktalarına uğrayarak gitmek zorunda olan bir D karıncanın yolunu en kısa yapan P ve Q noktaları için QZ = C A 15 x kaç br dir? B A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 10 229

DİĞER DİK PRİZMALAR 185. Bir kare dik prizmanın yüksekliği, taban kenarının 2 katına eşittir. Bu prizmanın alanı sayısal olarak hacmine eşit olduğuna göre hacmi kaç birim küptür? A) 244 B) 246 C) 248 D) 250 E) 252 230

186. Yandaki kare dik prizmada P noktası [BC] ayrıtı üzerindedir. BF = 7 birim FK = KL = 5 birim olduğuna göre FP + PD toplamı en az kaç olabilir? B 7 F A P E 5 C K 5 D L A) 17 B) 5 2+ 7 C) 74 + 5 D) 13 E) 149 231

187. Yandaki kare dik prizmada P noktası [BF] ayrıtı üzerindedir. AO = OE DL = 10 birim FK = KL = 6 birim olduğuna göre KP + PO toplamı en az kaç olabilir? B P F A O E C K 6 D 10 L A) 17 B) 3 5+ 6 C) 41 + 10 D) 136 E) 13 232

188. Bir taban ayrıtı 4 birim, yüksekliği 8 birim olan yandaki kare dik prizmanın içi bir miktar sıvı ile doludur. Sıvının yüksekliği 6 birim olup, prizma uzun ayrıtı üzerine devrildiğinde suyun yüksekliği kaç birim olur? B F A 4 E C K 4 D 2 H 6 L A) 4 B) 7 2 C) 3 D) 8 3 E) 5 2 233

189. İki kare dik prizma şekildeki gibi birbirlerine yapıştırılmışlardır. Prizmaların yüzeylerinden ayrılmamak üzere A dan B ye en kısa mesafenin uzunluğu şekildeki verilere göre kaç birimdir? 9 A 4 4 9 7 B 7 A) 25 B) 26 C) 27 D) 30 E) 36 234

190. Şekildeki eşkenar üçgen tabanlı üçgen prizmada AB = 4 birim AD = 8 birim olduğuna göre prizmanın hacmi kaç br 3 tür? A' A C' C B' B A) 36 3 B) 34 3 C) 32 3 D) 30 3 E) 28 3 235

191. Şekildeki dik üçgen tabanlı üçgen prizmada AB = 3 birim BC = 4 birim olup prizmanın hacmi 42 br 3 olduğuna göre alanı kaç br 2 dir? A) 54 B) 66 C) 78 D) 82 E) 96 A' A B B' C' C 236

192. Şekildeki üçgen dik prizmanın alt ve üst yüzeylerinin kenar orta noktaları alınarak taralı olan üçgen dik prizma elde edilmiştir. Buna göre ABC tabanlı üçgen prizmanın hacmi taralı prizmanın hacminin kaç katıdır? A' A C' C B' B A) 4 B) 7 2 C) 3 D) 8 3 E) 5 2 237

193. Şekildeki üçgen dik prizmanın taban ayrıtlarının uzunlukları şekildeki gibi 13, 14 ve 15 br olarak verilmiştir. Bu üçgen prizmanın içine sığabilecek en büyük hacimli daire tabanlı prizmanın (silindirin) taban yarıçapı kaç birim olur? A' A 14 C' C 15 13 B' B A) 5 B) 4 C) 3 D) 5 2 E) 2 238

194. 5 5 2 20 Dikdörtgenler prizması şeklindeki içi boş bir tahta kasaya ikizkenar yamuk tabanlı bir dik prizma eklenerek bir tabut elde edilmiştir. Uzunluklar şekildeki gibiyse tabutun hacmi kaç br 3 tür? A) 580 B) 570 C) 560 D) 540 E) 480 8 239

SİLİNDİR 195. Bir silindirin yüksekliğini 2 katına, taban yarıçapını 3 katına çıkarırsak, hacmi kaç kat artar? A) 6 B) 9 C) 12 D) 17 E) 18 240

196. O ve O dik silindirin taban merkezleridir. DB = 6 birim OB = 4 birim olduğuna göre silindirin hacmi kaç br 3 tür? C A O' O 4 D 6 B A) 78π B) 84π C) 90π D) 96π E) 102π 241

197. Yan şekilde görülen büyük silindirin taban yarıçapı küçük silindirin taban çapıdır. Buna göre silindirlerin hacimleri oranı kaçtır? C A P O D B A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 1 6 E) 1 8 242

198. Bir silindirin içine yan şekildeki gibi konulabilecek en büyük kare dik prizma konulmuştur. Silindirin hacmi, kare prizmanın hacminin kaçta kaçıdır? C A D B A) 2 π B) 1 π C) π 4 D) 5 6 E) 5 8 243

199. Yüksekliği 16 br olan şekildeki silindirin içinde h yüksekliğinde bir miktar su vardır. 16 Aynı silindir eğilip şekildeki konuma getirildiğinde su miktarı değişmediğine göre h kaç birimdir? h 4 A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14 244

200. Yandaki şekilde O ve O dik silindirin taban merkezleridir. BC = 6 birim olup şekildeki silindirin yanal alanı 36π br 2 ise hacmi kaç br 3 tür? C A O' O D 6 B A) 84π B) 72π C) 66π D) 60π E) 54π 245

201. Yandaki dik silindirin taban yarıçapı r, yüksekliği h dir. Bu silindirin yanal alanının taban alanları toplamının 3 katı olması için h ile r arasında hangi bağıntı olmalıdır? C A O r D h B A) h = r B) h = 2r C) h = 3r D) h = 4r E) h = 5r 246

202. Taban yarıçapı 6 br, yüksekliği 4π br olan yandaki silindirde P noktası silindirin taban çevresi üzerindedir. Buna göre AP + PB toplamı en az kaç olabilir? A) 5π B) 5 C) 10π D) 10 E) 20π C A P D B 247

203. Taban yarıçapı 3 br ve yüksekliği 8π br olan yandaki silindirde A köşesinden C köşesine silindir yüzeyi üzerinden (şekildeki gibi) en kısa mesafe kaç br dir? C A D P B A) 10π B) 12π C) 15π D) 20π E) 25π 248

204. Taban yarıçapı 3 br ve yüksekliği 16π br olan yandaki silindirde Q noktası [DB] nin orta noktasıdır. B köşesinden Q noktasına silindir yüzeyi üzerinden şekildeki gibi en kısa mesafe kaç br dir? C P A D Q B A) 5π B) 6π C) 9π D) 10π E) 12π 249

205. Taban yarıçapı 6 π br ve yanal alanı 96 br2 C D olan şekildeki silindir üzerindeki bir hareketli A noktasından D noktasına ulaşıyor. A ve D noktaları arasında hareketlinin alacağı en kısa yolun uzunluğu kaç cm dir? A O B A) 10 B) 13 C) 15 D) 17 E) 8 5 250

206. Şekildeki dik silindirin taban yarıçapı 2 cm, yüksekliği 4π cm dir. A köşesinden yola çıkan bir hareketlinin silindirin yan yüzeyi üzerinden bir tur atarak D noktasına ulaşacağı en kısa yol kaç π cm dir? C A O 2 D 4π B A) 3 2 B) 4 2 C) 5 2 D) 6 2 E) 7 2 251

207. Şekildeki dik silindirin taban yarıçapı 8 cm, yüksekliği 7π cm dir. A köşesinden yola çıkan bir hareketlinin silindirin yan yüzeyi üzerinden D noktasına ulaşacağı en kısa yol kaç π cm dir? C A O 8 D 7π B A) 34 B) 32 C) 30 D) 26 E) 25 252

208. Şekildeki dik silindirin taban yarıçapı 12 cm, yüksekliği 20π cm dir. CE = EA A köşesinden E noktasına yüzey üzerinden şekildeki yolu izleyerek gitmek isteyen bir hareketlinin alacağı en kısa yol kaç π cm dir? C E A O 12 D 20π B A) 26 B) 30 C) 34 D) 40 E) 50 253

209. O, dik silindirin taban merkezi ve [AB] çaptır. AE = 3 birim EB = 4 birim BD = 4 birim Şekle göre CEB üçgensel bölgesinin alanı kaç br 2 dir? C A O E D 4 B A) 4 B) 6 C) 7,5 D) 10 E) 12,5 254

210. E noktası yandaki dik silindirin taban çemberi üzerindedir. Buna göre BED açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 60 o B) 75 o C) 90 o D) 105 o E) 120 o A B α E D C 255

211. C D C D C D 8h 9h 10h A O r B A O r Yukardaki üç silindirin taban yarıçapları aynı olup taban ve tavanları aynı hizadadır. Anadoğrusu 8h olan silindirin hacmi V 1, 9h olanın V 2, 10h olanın V 3 ise aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? B A O r B A) V 1 < V 2 < V 3 B) V 1 > V 2 > V 3 C) V 1 = V 2 < V 3 D) V 1 = V 2 > V 3 E) V 1 = V 2 = V 3 256

212. Yandaki eğik silindirin taban düzlemiyle yaptığı açının ölçüsü 75º dir. Bu silindirin taban alanı 3 1 cm 2 ve anadoğrusu 2 2 cm olduğuna göre hacmi kaç cm 3 tür? A C B D 2 2 75 o A) 2 B) 2π C) 2 2 D) 2 2π E) 2 6 2 2 257

213. Eni 2 cm buyu 5 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir levha kendisine 2 cm uzaklıktaki d doğrusu etrafında 360º döndürülüyor. Dikdörtgenin dönme esnasında taradığı bölgenin hacmi kaç cm 3 tür? d 2 2 5 A) 20π B) 40π C) 60π D) 70π E) 80π 258

214. Boyutları yanda verilen iki dikdörtgen d doğrusu etrafında 360º döndürülüyor. Taranan bölgenin hacmi aşağıdakilerden hangisidir? 4 d 3 2 5 A) 24π B) 40π C) 48π D) 56π E) 60π 259

PİRAMİTLER 215. Yanda (P, ABC) dik üçgen piramidi görülmektedir. P α P AC P AB olup, m(pba) = 45 o ve m(abc) = 60 o olduğuna göre m(apc) kaç derecedir? B o 45 60 o A C A) 15 o B) 30 o C) 45 o D) 60 o E) 75 o 260

216. Çevresi 18 birim olan ABC eşkenar üçgeninin ağırlık merkezi G den üçgen düzlemine çıkılan dikme çıkılıp bu dikme üzerinde KG = 2 birim olacak şekilde bir K noktası alınıyor. Buna göre AK kaç birimdir? A) 2 2 B) 2 3 C) 4 2 D) 4 E) 5 261

217. Şekildeki piramit tabandan itibaren yüksekliğin 2/3 ü oranında tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Oluşan kesik piramidin hacmi 208 br 3 ise piramidin hacmi kaç br 3 tür? A P H G E F D B C A) 208 B) 216 C) 218 D) 224 E) 226 262

218. Yanda dikdörtgen tabanlı bir piramit görülmektedir. PA = 2 br PB = 5 br PC = 11 br PD = x br olduğuna göre x kaçtır? B 5 P 2 A 11 x C D A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 263

219. Şekildeki kare tabanlı düzgün piramidin yüksekliği 8 birim ve taban çevresi 48 birimdir. Buna göre piramidin tüm alanı kaç br 2 dir? A D T 8 B C A) 384 B) 386 C) 390 D) 400 E) 412 264

220. Yandaki (P, ABCD) kare dik piramidinin tüm ayrıtları birbirine eşit uzunlukta olduğuna göre yan yüzlerin tabanla yaptığı açı ölçüsünün tanjantı kaçtır? B A P C D A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 2 2 265

221. Şekilde bütün ayrıtlarının uzunlukları birbirine eşit olan düzgün kare piramit çizilmiştir. AB = 4 3 cm Buna göre A dan C ye şekildeki yüzeyler üzerinden alınan en kısa yol kaç cm dir? A D 4 3 T P B C A) 21 B) 20 C) 18 D) 15 E) 12 266

222. Yanda görülen (P, ABCD) kare dik piramidi için BC = 12 br ve PD = 10 br olarak verilmiştir. Q (ABCD) olmak üzere PQ kaç farklı tamsayı değeri alabilir? B P A Q 12 C 10 D 12 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 267

DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ 223. Tüm ayrıtları toplamı 12 birim olan düzgün dörtyüzlünün alanı kaç birim karedir? T C A) 2 3 B) 4 3 C) 6 2 D) 8 3 E) 10 3 A 12 B 268

224. Bir ayrıtı 6 birim olan düzgün dörtyüzlünün yüksekliği kaç birimdir? T C A) 2 6 B) 3 6 C) 4 6 D) 5 6 E) 6 6 A 6 B 269

225. Şekildeki piramit bir düzgün dörtyüzlüdür. G, tabanın ağırlık merkezidir. [TG] [AH] GH = 3 birim Buna göre dörtyüzlünün hacmi kaç birim küptür? A G T C 3 H B A) 48 6 B) 54 6 C) 60 6 D) 72 6 E) 84 6 270

226. Yanda (P, ABC) düzgün dörtyüzlüsü verilmiştir. X ve Y noktaları sırasıyla PA ve AC ayrıtlarının orta noktalarıdır. BC = 4 br olduğuna göre BXY üçgensel bölgesinin alanı kaç br 2 dir? B P X A 4 Y C A) 2 B) 3 C) 11 D) 4 E) 3 3 271

227. Bir düzgün dörtyüzlüde yan yüzlerin taban düzlemiyle yaptığı açı ölçüsünün tanjantı kaçtır? A) 2 B) 2 2 C) 6 D) 2 3 E) 4 A P T C B 272

DÜZGÜN SEKİZYÜZLÜ 228. Bir düzgün sekizyüzlünün kaç köşegeni vardır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 273

229. Tüm ayrıtları toplamı 24 birim olan düzgün sekizyüzlünün yüksekliği kaç birimdir? A) 2 2 B) 3 2 C) 4 2 B A T C D D) 5 2 E) 6 2 P 274

230. Alanı 16 3 birim kare olan bir düzgün sekizyüzlünün bir ayrıtı kaç birimdir? A) 5 2 B) 4 2 C) 3 2 B A T C D D) 2 2 E) 2 P 275

231. Uzun köşegeni 4 2 birim olan düzgün sekizyüzlünün bir kenarı kaç birimdir? A) 2 6 B) 2 5 C) 4 D) 2 2 E) 6 276

232. Bir düzgün sekizyüzlünün köşeleri kaç kare belirtir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 277

233. Bir ayrıtı a birim olan düzgün sekizyüzlünün hacmini aşağıdaki ifadelerden hangisi verir? A) 2 3 2 a B) 3 2 3 a C) 2 3 4 a D) 2 3 6 a E) 2 3 8 a 278

KONİ 234. Yanda görülen dik koni için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? P A) PA = PB < PC = PD B) PD < PA < PB < PC C) PD < PB < PA < PC D) PA = PB = PC = PD E) PD < PB = PA < PC A D C B 279

235. P Yandaki dik koninin anadoğrusu taban çapına eşittir. Buna göre PC + PB + PD toplamı silindir yüksekliğinin kaç katıdır? A C O D B A) 3 B) 2 C) 2 2 D) 3 E) 2 3 280

236. Şekildeki dik konide O noktası taban çemberinin merkezidir. PB = 10 birim, AO = 8 birim Verilenlere göre koninin hacmi kaç br 3 tür? A 8 P O 10 B A) 120π B) 122π C) 124π D) 126π E) 128π 281

237. Şekildeki dik konide O noktası taban çemberinin merkezidir. OC PB PC = 16 birim CB = 9 birim olduğuna göre koninin hacmi kaç π br 3 tür? A O P C B A) 900 B) 1200 C) 1500 D) 1800 E) 2100 282

238. Yandaki dik koninin taban merkezi O olsun. PAO üçgensel bölgesinin alanı 12 br 2 olup, yüksekliği 8 br ise koninin hacmi kaç br 3 tür? A P O B A) 72π B) 64π C) 48π D) 36π E) 24π 283

239. P Yandaki dik konide Q noktası PO yüksekliğinin orta noktasıdır. Buna göre taralı dik koninin Q hacmi, büyük dik koninin hacminin kaçta kaçıdır? A O B A) 1 2 B) 1 3 C) 1 4 D) 2 3 E) 3 4 284

P 240. O noktası dik koninin taban çemberinin merkezidir. Buna göre dik koninin hacmi eğik koninin hacminin kaç katıdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 A O B 285

241. Yandaki dik konide C ve D orta noktalardır. Taralı olan kısım su ile doludur. 10 cm 3 daha su konunca koni doluyorsa, içindeki su kaç cm 3 tür? A C P O D B A) 10 B) 20 C) 30 D) 70 E) 80 286

242. Bir silindirin üstüne taban yarıçapı aynı fakat yüksekliği 2 katı olan bir koni yerleştirilmiştir. Oluşan cismin hacmi silindirin hacminin kaç katıdır? D A P C B A) 3 2 B) 4 3 C) 5 3 D) 2 E) 3 287

243. P Yandaki dik konide D ve E noktaları orta noktalardır. D C Koninin hacmi silindirin kaç katıdır? A B A) 4 3 B) 3 2 C) 2 D) 8 3 E) 3 288

244. Yan şekilde görülen dik koninin taban çapı, silindirin taban yarıçapına eşittir. Tepe noktası da silindirin üst yüzeyi üstündedir. Buna göre silindirin hacmi koninin hacminin kaç katıdır? C A P O D B A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 18 289

245. Yan şekilde görülen dik koninin taban çapı, silindirin taban yarıçapına eşittir. Koninin yüksekliği silindirin yüksekliğinin yarısı ise hacimlerinin oranı kaçtır? C A O P D B A) 8 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24 290

246. Şekilde silindir içine yerleştirilmiş bir piramit görülmektedir. Piramidin tepe noktası olan P silindirin üst taban merkezidir. Tabanı da silindirin tabanı olan dairenin yarısıdır. Buna göre silindirin hacmi, taralı piramidin hacminin kaç katıdır? C A P D B A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 291

247. Şekildeki dik konide r 2 l = 3 olduğuna göre koninin açılımında beliren daire diliminin merkez açısı kaç derecedir? A) 165 B) 172 C) 180 D) 210 E) 240 A r P O B 292

248. Şekildeki dik konide AP = 10 birim AO = 5 birim Şekildeki koninin açılımından oluşacak daire diliminin merkez açısı kaç derecedir? A 10 5 P O B A) 105 B) 112 C) 120 D) 136 E) 180 293

249. Yandaki dik konide m(opa) = 30 o ise koninin açık halindeki daire diliminin merkez açısı kaç derecedir? A) 165 B) 172 C) 180 D) 210 E) 240 A P O B 294

250. Ana doğrusu 6 cm olan dik koninin tabanındaki A noktasından B noktasına ulaşan bir karıncanın izlediği yol çizilmiştir. OB = 1 cm Buna göre karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm dir? A D P O C B A) 3 2 B) 4 2 C) 5 2 D) 6 2 E) 7 2 295

251. Ana doğrusu 8 cm olan dik koninin tabanındaki A noktasından şekildeki yolu izleyerek C noktasına ulaşan bir karıncanın aldığı yol 48 cm dir. PD = DB Verilenlere göre koninin taban yarıçapı kaç cm dir? A P O C B A) 11 3 B) 8 3 C) 7 3 D) 5 3 E) 4 3 296

252. Şekildeki dik koninin tabanındaki A noktasından şekildeki yolu izleyen bir karınca C noktasına uğramak şartıyla D noktasına ulaşıyor. PD = 1 cm DA = 7 cm OB = 2 cm Buna göre karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm dir? A 7 D 1 O P 2 C B A) 57 B) 59 C) 61 D) 65 E) 67 297

253. Şekildeki dönel koninin ana doğrusu 18 cm ve taban yarıçapı 3 cm dir. PF = 6 cm Koninin tabanındaki A noktasından koninin ana doğrusu üzerindeki F noktasına şekildeki gibi gitmek isteyen karıncanın alacağı en kısa yol kaç cm dir? A D 6 P O C B A) 2 14 B) 14 C) 2 11 D) 6 7 E) 6 5 298

254. Şekildeki koni tabandan itibaren yüksekliğin 2/3 ü oranında tabana bir paralel bir düzlemle kesiliyor. Oluşan kesik koninin hacmi 104 br 3 ise tüm koninin hacmi kaç br 3 tür? A C P O D B A) 104 B) 108 C)109 D) 112 E) 113 299

255. Şekildeki dik konide PD = 2 DB P Verilenlere göre üstteki koninin hacminin alttaki kesik koninin hacmine oranı kaçtır? A C O D B A) 3 17 B) 4 27 C) 8 19 D) 9 64 E) 27 242 300

256. O ve P taban merkezleri PC = 2 birim PO = 4 birim OB = 6 birim Şekildeki kesik koninin yanal alanı kaç br 2 dir? A D P 2 C 4 O 6 B A) 24 2π B) 28 2π C) 32 2π D) 36 2π E) 40 2π 301

257. 5 birim 8 π birim 10 π birim Şekilde açık hali ile verilen kesik koninin yüksekliği kaç birimdir? A) 3 B) 4 C) 3 2 D) 2 5 E) 2 6 302

258. Tabanı 4 br yüksekliği 6 br olan bir dik üçgen kendisine uzaklığı 2 br olan bir d doğrusu etrafında 180 o döndürülüyor. Dik üçgenin taradığı bölgenin hacmi kaç birimküptür? d 2 6 2 4 A) 17π B) 51π C) 102π D) 204π E) 408π 303

KÜRE 259. Yarıçapı 3 3π birim olan kürenin hacmi kaç br 3 tür? A) 4π B) 4π 2 C) 12π D) 12π 2 E) 4π 4 304

260. Çapı 6 birim olan kürenin alanı kaç birim karedir? A) 144π B) 72π C) 36π D) 24π E) 20π 305

261. Hacmi 12π 10 br 3 olan kürenin alanı kaç br 2 dir? A) 144π 5 B) 72π 6 C) 36π 7 D) 24π 8 E) 20π 9 306

262. Alanı 100π birim kare olan kürenin hacmi kaç birimküptür? A) 500π 3 B) 511π 3 C) 610π 3 D) 670π 3 E) 700π 3 307

263. İçi dolu bir kürenin bir düzlemle arakesiti aşağıdakilerden hangisidir? A) Kare B) Dikdörtgen C) Elips D) Çember E) Daire 308

264. Çapı 10 birim olan küre, merkezinden 3 birim uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde oluşan kesit alanı kaç br 2 olur? A) 2π B) 4π C) 8π D) 16π E) 32π 309

265. Yarıçapı 10 birim olan kürenin, merkezinden 6 birim uzaklıktaki kesitinin alanı kaç birim karedir? A) 32π B) 36π C) 40π D) 56π E) 64π 310

266. Yarıçapı 5 birim olan kürenin, merkezinden 3 birim uzaklıktaki kesitini taban kabul eden 6 birim yükseklikteki koninin hacmi kaç birimküptür? A) 24π B) 26π C) 28π D) 30π E) 32π 311

267. Yarıçapı 10 birim olan kürenin, merkezinden a birim uzak lıktaki kesitinin alanı 36π birimkare ise a kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12 312

268. Şekildeki taban çapı 12 birim ve yüksekliği 8 birim olan koninin içindeki kürenin koni tabanına ve yüzeylere teğet olduğu bilinmektedir. Buna göre kürenin yarıçapı kaç birimdir? A C B A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 313

269. Yüksekliği 8 birim olan yandaki dik koninin içine, tabanına ve koni yüzeyine teğet olacak şekilde bir küre yerleştirilmiştir. Koninin taban alanı 36π br 2 ise kürenin yüzey alanı kaç birim karedir? A P M O B A) 27π B) 30π C) 36π D) 40π E) 45π 314

270. Şekilde taban yarıçapı 6 cm olan dik koninin tepe noktası ve taban çemberi, kürenin yüzeyindedir. P Dik koninin hacmi 216π cm 3 olduğuna göre kürenin yarıçapı kaç cm dir? A 6 O B A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15 315

271. Şekildeki ana doğrusu 10 birim olan koninin içine atılan 36π br 3 hacimli kürenin koni tabanına teğet olduğu bilinmektedir. A B Buna göre koninin taban yarıçapı kaç birimdir? C A) 3 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 316

272. Şekildeki 36π br 3 hacimli küre kesik koninin tabanlarına teğet olduğuna göre kesik koninin yüksekliği kaç birimdir? A D C B A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15 317

273. Şekildeki koni ve kürenin yarıçapları eşit olup 3 birimdir. Koni ağzına kadar su ile doldurulup küreye boşaltıldığında kürenin yüzde kaçı dolar? A 3 C B A O 3 B A) 75 B) 60 C) 55 D) 50 E) 40 318

274. Şekildeki silindirin içine, birbirine ve silindirin yüzeyine teğet olacak şekilde yüzey alanı 16π br 2 olan iki eş küre yerleştirilmiştir. AB = 4+ 2 3 birim olduğuna göre silindirin çapı kaç birimdir? C A D B A) 6 B) 9 2 C) 4 D) 2 3 E) 5 2 319

275. Bir ayrıtının uzunluğu 2π br olan bir küpün üst yüzeyinin ağırlık merkezine yarıçapı 10 br olan O merkezli bir küre konulmuştur. Küpün A köşesinde bulunan bir karınca küp ve küre yüzeyini kullanarak A dan kürenin en üst noktasına gidecektir. Alacağı yol en az kaç br dir? A 10 O 2π A) 10π B) 2 10π C) 3 10π D) 4 10π E) 5 10π 320

276. 4 br yarıçaplı yarımküre şeklindeki kapalı cismin merkezi olan A noktasından küpün en alt noktası olan B ye cisim yüzeyi üzerinden en kısa mesafe kaç br dir? A B 4 A) 2π + 4 B) 4π + 4 C) 8π + 4 D) 2π + 8 E) 4π + 8 321

277. Bir küreye D ve E noktalarından batırılan şişler küreden B ve C noktalarından çıkmaktadır. CE = 5, EA = 4, AD = 3 ve DB = x birim olduğuna göre x kaçtır? A 4 D 3 x E 5 C B A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 322

UZAY GEOMETRİ Düzlemin kesişen iki doğrusuna kesim noktalarında dik olan doğru, düzlemin o noktadan geçen her doğrusuna diktir. (Düzleme diktir.) Paralel iki düzlemin üçüncü bir düzlemle arakesit doğruları paraleldir. Kesişen iki düzlemin arakesitine düzlemler içinde çizilen diklerin oluşturduğu açıya İki düzlemli açının ölçek açısı denir. d 1 E, d 2 E, d d 1, d d 2 ise d E Aynı noktada kesişen üç doğruya kesim noktasında dik bir doğru varsa, bu üç doğru düzlemseldir. Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir. E F=d, d 1 E, d 1 d, d 2 F, d 2 d iken d 1 Ad 2 açısı ölçek açıdır. Ölçek açısı 90 o birbirine diktir denir. ÖRNEK: olan düzlemler Paralel iki doğrudan biri düzleme dik ise, diğeri de diktir. Dışındaki bir noktadan düzleme ve düzlem içindeki bir doğruya dikmeler çizildiğinde dikme ayaklarını birleştiren doğru, düzlem içindeki doğruya diktir. (Üç dikme teo.) [A(ABC)] 2 =[A(AOB)] 2 +[A(AOC)] 2 +[A(BOC)] 2 ÖRNEK: Bir kübün yüzlerinin belirlediği düzlemler, uzayı kaç parçaya ayırır? PA E, d E, PB d ise AB d dir. Paralel iki düzlem, uzayı üç bölgeye ayırır. Üç çift paralel düzlem, uzayı 3.3.3=27 bölgeye ayırır.

PRİZMA: EĞİK PRİZMA: Ç :dik kesit çevresi K:dik kesit alanı l :yanal ayrıt :yanal ayrıtın taban düzlemiyle yaptığı açı Y=Ç.l (yanal alan) A=Y+2T (alan) T: taban alanı V=T.h=K.l =T.l.sin (hacim) DİKDÖRTGENLER PRİZMASI: Y=2(a+b)c A=2(ab+ac+bc) V=abc Cisim köşegeni= a 2 b 2 c 2 ÖRNEK: Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanları 64, 80 ve 20 cm 2 ise hacmi kaç cm 3 tür? ÇÖZÜM: a.b=64, a.c=80, b.c=20 a 2.b 2.c 2 =64.80.20=320 2, a.b.c=320 AA =l, DEF dik kesit DİK PRİZMA: Y=Ç.h A=Y+2T V=T.h ÖRNEK: Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 3, 5, 7 sayıları ile orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 568 cm 2 olduğuna göre hacmi kaç cm 3 tür? ÇÖZÜM: a b c k 3 5 7 a=3k, b=5k, c=7k 2(ab+ac+bc) = 2(15k 2 +21k 2 +35k 2 ) = 142k 2 = 568, k=2 abc=6.10.14=840

KÜP: A = 6a 2 ; V = a 3 Yüz köşegeni = a 2 Cisim köşegeni = a 3 ÖRNEK: ÖRNEK: ÇÖZÜM: ÇÖZÜM: AB B dik üçgeninde: 3 13 AB 2 = 1 2 +( ) 2 = 2 4 13 AB = 2 ÖRNEK: 2 2 2 PQ = 1 2 3 14 PQ = PR = QR 2 a 3 A(PQR)= 4 ÖRNEK: 14 3 4 7 3 2 Yatay bir masa üzerinde duran dikdörtgenler prizması şeklindeki bir akvaryumun genişliği 25 cm, yüksekliği 20 cm dir. Masa eğildiği zaman içindeki su 20x25 lik yüzü tamamen örttüğü anda, tabanın ancak dörtte üçünü kapatıyor. Buna göre masa yatay durumda iken suyun yüksekliği kaç cm. dir? ÇÖZÜM: AB = BC = CD = DA 5 125 AB 2 =5 2 +( ) 2 = 2 4 5 5 Ç(ABCD)=4. 5 5 4 5 5, AB = 2 ÇÖZÜM: su=4x.25.h eğildiğinde=(20.3x:2)25 100xh=750x h=7,5 cm.

PİRAMİT: 1 Y= Ç.h 2 A=Y+T 1 V= T.h 3 KESİK PİRAMİT: h' h k 3 V ' h' V h V k h 3, k 3 T' T 2 h' 2 k, h T. h 2 T TT' T' 1 k k 3 ÖRNEK: DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ: Yüzler eşkenar üçgen a 6 h ; 3 3 a 2 V 12 ÇÖZÜM: DÜZGÜN SEKİZYÜZLÜ: Yüzler eşkenar üçgen a 2 OP 2 ; A 2a 2 3 ; 3 a 2 V 3 AB en kısa yol. ACB dik üçgeninde: AB 2 = AB = 2 7 3 2 2 2 1 7 4 DÜZGÜN ONİKİYÜZLÜ: Yüzler düzgün beşgen DÜZGÜN YİRMİYÜZLÜ: Yüzler eşkenar üçgen!!! yüz sayısı+köşe sayısı-ayrıt sayısı=2

SİLİNDİR: KONİ: T=πr 2 ; Y=2πrh ; Y=πra ; A=πr(r+a) ; A=2πr(r+h) ; V=πr 2 h V= 3 1 πr 2 h a 2 =h 2 +r 2 ; =360 a r ÖRNEK: Yanal alanı 10 cm 2, yüksekliği 10 cm. olan silindirin hacmi kaç cm 3 olur? ÇÖZÜM: Y= 2. r. h 2. r.10 10, V=. r 1 2 5. h.( ).10 2 2 2 1 r 2 ÖRNEK: Eşit yükseklikleri olan bir koni ile silindirin hacimleri de eşittir. Taban yarıçaplarının oranı kaçtır? ÇÖZÜM: 1 2 V k =.r. h, V s =.R 2. h 3 1 2 r. r. h. R 2. h, 3 3 R ÖRNEK: Boyutları a ve b olan bir dik dörtgenin uzun ve kısa kenarları etrafında döndürülmesi ile oluşan dönel silindirlerin yanal alanları ve hacimleri oranı nedir? ÖRNEK: ÇÖZÜM: Y 1 =2πba V 1 =πb 2 a Y 1 1 Y 2 Y 2 =2πab V 2 =πa 2 b V1 b V a 2 ÇÖZÜM: 2.3 AB yayının uzunluğu = 2 3 Taban çevresi = 2. r 2, r=1 a 2 =h 2 +r 2, 3 2 =h 2 +1 2, h= 2 2 V= 1 2 1 2 2. r. h.1 2.2 2 3 3 3

KESİK KONİ: k r r h h ' ' 2 2 ' ' ' r r h h T T =k 2 3 3 3 ' ' ' k r r h h V V a 2 =h 2 +(r-r ) 2 Y=π(r+r )a A=π(r+r )a+π(r 2 +r 2 ) ' ' 3 ' ' 3 2 2 T TT T h r rr r h V k KÜRE: A=4Πr 2 ; V= 3 4 Πr 3 KÜRE KUŞAĞI ve KÜRE KAPAĞI ALANI: 2πrh KÜRE PARÇASI HACMİ: Πh 2 (r- 3 h ) KÜRE TABAKASININ HACMİ: 6... 2 3 2 2 2 1 h r r h ÖRNEK: Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden R/2 uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesitin alanı kaç ΠR 2 dir. ÇÖZÜM: R 2 =d 2 +r 2, R 2 = 2 2 2 r R r 2 = 4 3 2 R A= 4 3. 2 2 R r

ÖRNEK: Yarıçapları 30 cm. ve 40 cm. olan kürelerin merkezleri arasındaki uzaklık 50 cm. ise bu kürelerin arakesit çemberlerinin yarıçapı kaç cm. dir? ÇÖZÜM: PAPPUS-GULDİN TEOREMİ: l uzunluğundaki bir düzlem eğrisinin kendisini kesmeyen bir eksen etrafında dönmesinden oluşan cismin alanı= 2.r. l Alanı S olan bir düzlem parçasının kendi düzlemi içinde bulunan ve kendini kesmeyen bir eksen etrafında dönmesinden oluşan cismin hacmi= 2.r. S 30 2 +40 2 =50 2 olduğundan küreler dik kesişiyor. R 2 1 +R 2 2 =d 2 ve R 1.R 2 =d.r dir. 30.40=50.r, r=24 ÖRNEK: ÖRNEK: Bir kürenin, birbirine dik iki düzlemle ara kesit çemberlerinin yarıçapları 18 cm. ve 25 cm. dir. Çemberlerin arakesit noktaları arasındaki uzaklık 14 cm. olduğuna göre, küreni yarıçapı kaç cm.dir? ÇÖZÜM: 4x4x4 birim küpten oluşan küpte kaç farklı küp vardır? ÇÖZÜM: 1x1x1 küplerden : 4x4x4=4 3 =64 tane 2x2x2 küplerden : 3x3x3=3 3 =27 tane 3x3x3 küplerden : 2x2x2=2 3 =8 tane 25 2 =7 2 + OO 2 2, OO 2 =24 R 2 =24 2 +18 2, R=30 4X4x4 küplerden :1x1x1=1 3 =1 tane 0lmak üzere : 1 3 +2 3 +3 3 +4 3 = 100 tane