MAXWELL DENKLEMLERİ VE ELEKTROMANYETİK DALGALAR Giriş Teori alanınaki katkılarıyla 19. yüzyıl fiziğinin en büyük alarınan biri olan Maxwell in en önemli çalışması elektromanyetizma hakkınaır. Maxwell, o güne kaar bulunmuş olan elektrik e manyetik yasalarını bir bütünlük içerisine matematiksel bir yapıya kauşturmuştur. Değişken elektrik alan e manyetik alanların birbirlerinen ayrı olarak ar olamayacağını göstermiştir e elektromanyetik alga karamını ortaya koymuştur. Işığın a elektromanyetik bir alga oluğunu söyleyerek elektrik, manyetizma e optiği tek bir temel üzerine oturtmuştur. Maxwell, enerjinin boşlukta elektrik e manyetik algalar şekline iletiliğini matematiksel olarak göstermiştir. Elektromanyetik Teori nin temelini oluşturan e ört enklemen oluşan Maxwell Denklemleri, elektrik e manyetik alanın zamana bağlı eğişimlerinin birbirleri ile ilişkili oluğunu e elektromanyetik algaların boş uzaya ışık hızına eşit bir hıza yol alıklarını göstermiştir. Maxwell in arlığını matematiksel olarak kanıtlaığı elektromanyetik algalar, ancak ölümünen 9 yıl sonra, 1888 yılına Alman fizikçi Hertz tarafınan e 1873 te teorik olarak kanıtlaığı, bir elektromanyetik alganın çarptığı yüzeye basınç oluşturacağı gerçeği e 1900 e Rus fizikçi Lebee tarafınan eneysel olarak gösterili. Einstein ın Görelilik Teorisi hemen hemen tüm fiziği temelinen sarsarken, Maxwell Denklemlerini etkileyemei. Nitekim Maxwell Denklemleri geçerliliğini halen tümüyle korumaktaır Elektromanyetik algalar, alga boyu e frekansın geniş bir spektrumunu kaplar. Rayo e teleizyon yayını, görünür ışık, kızıl e mor ötesi ışıklar, x ışınları e gamma ışınlarının hepsi elektromanyetik spektrumun içine yer almaktaır. Elektromanyetik algaların frekansları çok büyük bir eğişim göstermekteir. Bütün elektromanyetik algaların genel özelliği boşlukta yayılma hızlarının sabit e 1 12 c = = 300000km/s ye eşit olmasıır. Buraa ε = 8,85 10 F/m e 0 ε μ 0 0 = 4π 10 0 7 μ H/m. Biz, saece elektromanyetik spektrumun 400 nm -700 nm alga boyu aralığını gözlerimizle görebiliriz (Balkan e Erol, 2003). Bu ana kaar görüğümüz elektrik alan e manyetik alanlar zamana bağlı eğişmiyoru. Elektrik alan E(x,y,z), zamanan bağımsız olarak ele alık e urgun yüklerle ilgilenik. Manyetik alan için H(x,y,z) yi yine oğru akım için inceleik. Durgun elektromanyetik alanlara ne kaar a elektrik alan e manyetik alan birbirlerinen bağımsız gibi görünse e gerçekte elektrik alan e manyetik alan zamana bağlıır e birbirlerinen bağımsız eğilir. Dinamik yani zamanla eğişen urumlara elektrik alan e manyetik alan birbirlerine bağlıır E(x,y,z,t), H(x,y,z,t) (aiku, 1995). Bu söyleiklerimizi şu şekile özetleyebiliriz: Durgun yükler elektrostatik alan, Doğru akım manyetostatik alan, KOÜ, Mühenislik Fakültesi, Jeofizik Mühenisliği Bölümü, İzmit 1
Değişken akım elektromanyetik alanlar ( eya algalar). Bu bölüme ilk önce Faraay yasasını e aha sonra yer eğiştirme (ispacement current) akımlarını inceleyeceğiz. Daha sonra eğişken akımlar için Maxwell enklemlerini yazacağız. Faraay Yasası Bir tele oğru akım uygulanığına tel etrafına manyetik alan oluşturur, Oerste in eneyinen biliyoruz (Biot-aart yasası e Amper yasası). Acaba manyetik alana elektrik alan oluşturur mu? Bu sorunun ceabı, yaklaşık olarak Oerste in elektrik alanın manyetik alan oluşturması eneyinen yaklaşık olarak 11 yıl sonra, 1831 yılına Michael Faraay e Joseph Henry tarafınan üşünülmüş e eğişken manyetik alanın elektrik akımı üretebiliğini göstermişlerir. Galanometre eya ampermetre Çubuk mıknatıs N İletken tel Şekil 1. Faraay eney üzeneği. Elektromanyetizmanın temel enklemlerinen biri olan Faraay inüksiyon yasası, Michael Faraay e Joseph Henry nin eney sonuçlarına bir anlatım getirir. Şimi Şekil 1.eki eney üzeneğini inceleyelim. Halka şeklineki iletken telin uçları akım ölçen bir alete, galanometreye bağlanmıştır. Halka biçimineki iletkene bir elektromotor kueti olmaığınan, ölçü aletine bir sapma olmaz. Ancak bir çubuk mıknatısın N kutbu halka şeklineki ereye yaklaşılırsa galanometre ibresi sapar. Bu sapma ereen bir akım geçtiğini kanıtlar. Şayet galanometre ereye göre hareketsiz kalırsa, ibre sapmaz. Şayet mıknatıs çubuk ereen uzaklaştırılırsa galanometre ibresi ters yöne sapar. Bu ise ereen birincisine zıt olan bir yöne akım geçtiğini kanıtlar. Şayet mıknatısın kutupları eğiştirilip eney tekrarlanırsa, saece ereen geçen akımın yönü eğişir. Böyle bir ereen akım geçmesinin sebebi, mıknatıs çubuğun ereye göre olan harekeir. Bu eneye gözlenen akıma inükleme akımı enir. Bu akımı oğuran elektromotor kuete e inükleme elektromotor kueti enir. İnükleme akımına ere elemanıyla çubuk mıknatıs arasına bir temas yoktur. Bu basit gibi görünen üzenek yarımıyla, günümüze ayınlatmaa kullanılan elektrik enerjisi üretilir KOÜ, Mühenislik Fakültesi, Jeofizik Mühenisliği Bölümü, İzmit 2
(hiroelektrik barajlar, rüzgar peranelerinen ele eilen elektrik enerjisi gibi) (Halliay e Resnick, 1990). Herhangi bir yüzeyen geçen manyetik alan çizgilerinin sayısı, aynı yüzey için tanımlanan manyetik akı ile ölçülüğünü öğrenmiştik e ψ = B (1) ile erilmişti. Faraay yasası, bir eree oluşan inüklenmiş emk (elektro motor kueti) nin ereen geçen manyetik akı eğişimine eşit oluğunu ifae eer. Başka bir eğişle urgun manyetik alanlar akım üretmezler. Şayet manyetik akıaki eğişim weber/saniye ölçülürse, emk gösteren V olt ile ölçülür. Faraay yasası emk V emk Ψ = (2) t ile ifae eilir. Eğer (2) nolu eşitlik N sarımlı bir bobine uygulanırsa, her bir sarım için aynı bir emk oluşur. Toplam emk her bir sarım için oluşan emk ların toplamına eşittir. Bu uruma (2) eşitliği V emk Ψ = N (3) t şekline yazılabilir. Lenz yasası: Bu ana kaar inüksiyon emk nın yönü hakkına hiçbir söylenmei. İnüksiyon akımı, kenisini oğuran neene karşı gelecek şekile yönelir. Bu yasa Lenz yasası olarak bilinir. Bu yasa 1834 yılına Heinrich Frierick Lenz tarafınan bulunmuştur. Faraay kanunaki eksi işareti, bu karşı koymayı ifae eer. Lenz yasası inüksiyon akımının yönünü belirler. Bu yasa saece kapalı erelere uygulanabilir. Şayet ere açık ise inüksiyon emk nın yönü, ereyi kapalı olarak üşünmek suretiyle yaklaşık olarak saptanabilir. İçinen akım geçen halka şekline bir ere, bir manyetik ipol gibi aranır. Dolayısıyla halkanın bir yüzü kuzey, iğer kutbu güney gibiir (Şekil 2). Şekile oluğu gibi halkanın kuzey kutbunan aynen mıknatısta oluğu gibi manyetik alan kuet çizgileri çıkar. İki kuzey kutup, mıknatıs çubuğun kuzey kutbu e halka şeklineki erenin çubuğa bakan yüzü, birbirlerini iterler. Dolayısıyla bu itme, akımı oluşturan neene yani mıknatısın halkaya yaklaşmasına karşı koyacak yöneir. Bu uruma akım halka üzerinen saat ibreleri yönüne geçer. Mıknatıs halkaya yaklaştırılığına (eya halka mıknatısa yaklaştırılığına) ereen bir inüksiyon akımı geçer. Lenz kanuna göre halkaa akımı oluşturan neen, mıknatısın çubuğa yaklaştırılmasıır. Bu yaklaşma süresi içine eree oluşan akım, yaklaştırma KOÜ, Mühenislik Fakültesi, Jeofizik Mühenisliği Bölümü, İzmit 3
işlemine karşı koyacak biçime yönelir. Diğer bir eğişle çubuk itilecektir. Şayet çubuk halkaan uzaklaştırılırsa, halkaan geçen akım, mıknatıs çubuğu kenisine çekecek şekile yönelecektir. Halkanın mıknatıs çubuğa bakan yüzü güney kutup gibi aranacaktır. Mıknatıs çubuğu, halkaya oğru itelim eya çekelim, halkaan geçen akım buna karşı koyacak yöne olacaktır (Halliay e Resnick, 1990). tel Mıknatıs i N N i Şekil 2. Lenz yasası. Şimi Faraay yasasına göre elektrik e manyetik alan arasına bir bağlantı kurmaya çalışalım. (2) enklemi V emk = L E l = B (4) t şeline yazılabilir. Buraa Ψ akısı B ile yer eğiştirmiştir. Bu ifae, L ile sınırlanmış bir çizgisel uzunluğun sınırlaığı alanınan geçen toplam akıır. (4) enklemine tokes teoremi uygulanırsa E (5) ( ) = ele eilir. (4) e (5) enklemlerinen KOÜ, Mühenislik Fakültesi, Jeofizik Mühenisliği Bölümü, İzmit 4
E = (6) ele eilir. (6) enklemi eğişken manyetik alan için Maxwell enklemiir. Yer Değiştirme Akımları ( Displacement Current) Bir önceki alt başlıkta Maxwell enklemi (6 enklemi) eğişken manyetik alan için yazılı. Daha önce biz bu enklemi elektrostatikte E = 0 şekline görmüştük. Buraa yapılan işlem, statik elektrik alan için yazılan bağıntı eğişken manyetik alan için yazılmasınan ibarettir. Benzer şekile oğru akım için manyetik alan enklemi H = J (7) ile göstermiştik. Fakat ektör işlemlerini hatırlarsak herhangi bir ektör çarpımın ierjansı sıfıra eşit olmalıır. Akımın süreklilik enklemi gereğince ( H) = 0 = J (8) J sıfıran farklı olmalıır. ρ J = 0 (9) Bu uruma eğişken alanlara enklemlere bir uyumsuzluk olmaktaır. Bu enklemleri uyumlu hale getirmek için (7) enklemine şu eğişiklik H = J + J (10) yapılırsa, ierjans teoremine göre ( H) = 0 = J + J (11) yazılır. J nin tanımlanması gerekiyor. enkleminen D = ρ Maxwell enklemini kullanarak (11) ρ J = J = = ( D) = (12) şekline yazılır. Buraan KOÜ, Mühenislik Fakültesi, Jeofizik Mühenisliği Bölümü, İzmit 5
J = (13) t oluğu açıktır. (13) ifaesi (10) enklemine yerine yazılırsa H = J + (14) zamanla eğişen alanlar için Maxwell enklemi yazılmış olur. eğiştirme akım yoğunluğu (isplacement current ensity) enir. ile J nin birbirlerinen farklı oluğu unutulmamalıır. J = ifaesine yer t J = σe iletkenlik akımı Maxwell in en büyük katkılarınan birisi yer eğiştirme akımlarını enklem sistemine ilae etmesiir ( J ). J terimi olmaan rayo, TV algaları olamaz. Küçük frekanslara J genellikle ihmal eilebilir, eğer J ile karşılaştırılırsa. Fakat rayo frekanslarına bu iki terim birbirlerine yaklaşırlar (yer eğiştirme akımlarını ihmal eemeyiz). Maxwell in zamanına yüksek frekanslı cihazlar henüz gelişmemişti. Maxwell bu katkısını tamamen matematiksel olarak ispatlaı. Yıllarca sonra Hertz, eneysel olarak Maxwell in haklı oluğunu gösteri. Maxwell Denklemlerinin Genel Biçimi Şu ana kaar, önem boyunca görüğümüz kanunları Tablo 1 e görmekteyiz. Tablo 1 e zamanla eğişen elektromanyetik alanlar için Maxwell enklemleri olarak bilinir. Bu enklemler elektromanyetik alanların temeliir. Maxwell Denklemlerinin Genel Biçimi Türe biçimi İntegral biçimi İsmi D = ρ D ρ Gauss yasası = B = 0 B = 0 Tek manyetik kutup yoktur Faraay yasası E = E l = B L H = J + Amper yasası H l = J + L Tablo 1. Zamanla eğişen elektromanyetik alanlar için Maxwell enklemleri. Ayrıca bu enklemlerle birlikte KOÜ, Mühenislik Fakültesi, Jeofizik Mühenisliği Bölümü, İzmit 6
D = εe (15) B = μh (16) J = σe (17) aha önceki erlerimize görmüştük, bunlara bağlantı katsayıları constitutie relation enir. Yer bilimci olarak bizim amacımız elektrik e manyetik alanları kullanarak (15), (16) e (17) e bulunan σ, ε e μ parametrelerini hesaplamaktır. Bunun neeni açıktır, çünkü bu parametreler bizim için yer parametreleriir e yer hakkına bize bilgi erir. (15), (16), (17) e Tablo 1 in birinci sütununa yer alan Maxwell enklemlerinin türe şeklini öğrenmek elektromanyetik teori ersinin temeliir. Bu enklemler önemli oluğu için tekrar yazalım. D = ρ (18) B = 0 (19) E = (20) H = J + (21) (18) (21) enklemleri, Maxwell enklemlerinin zaman bölgesine yazılmış biçimiir. KAYNAKLAR Balkan, N. e Erol, A., 2003, Çeremizeki Fizik, Tübitak Popüler Bilim Kitapları. Halliay, D e Resnick, R., 1990, Çeiri: Yalçın, C., Fiziğin Temelleri, Elektrik, ODTÜ Fizik Bölümü, Arkaaş Yayınei. aiku, M. N. O., 1995, Elements of Electromagnetics, Oxfor Uniersity Press. KOÜ, Mühenislik Fakültesi, Jeofizik Mühenisliği Bölümü, İzmit 7