BÖLÜM 6 ALTERNATİF AKIM DEVRE ÖNTEM VE TEOREMLER İLE ÇÖZÜMÜ 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ 6.4 THEVENİN TEOREMİ 6.5 NORTON TEOREMİ
Tpak GİRİŞ Alternatf akımın çözümünün yapılablmes çn, dğru akım devrelernde kullanılan devre analz yöntemlernn ve kanunlar alternatf akımda da aynen kullanılmaktadır. Devre analz yöntemlernn çözümünün klay br şeklde lması çn karmaşık sayılarla şlemler yapılacaktır. Dğru akım devre analz yapılırken eşdeğer drenç elemanı Reş le alternatf akımda se Z larak smlendrlr. Devre analz yöntemlernn anlaşılması klay lan çevre akımlar yöntem le devrelern analz yapılmaya başlanacaktır. 6. ÇEVRE AKIMLAR ÖNTEMİ Elektrk devrelernn çözümlernde bazı kanununlar kullanılarak devrelern ser, paralel ve karışık bağlantılarının çözümünde kullanarak devre elemanlarının üzerlernden geçen akım, uçlarında gerlm düşümünü ve kaynaktan çektkler akımlar bu knuya kadar çeştl devreler çözülmüştü. Fakat bazı devrelerde bu kanunların devrenn analzn yapmak çn yeterl lmadığı durumlar luşur. Bu durumlarda devre analz yöntemlernn herhang brnn kullanılması gerekr. Bu analz yöntemlernden çevre akımları yöntem kendne özgü bazı kurallar dğrultusunda krşfun kanunları uygulanarak her gözün akımları bulunarak, bu akımlardan devre elemanlarının kl akımları bulunmuş lur. Kl akımları bulunduktan snra kl uçlarındak gerlm düşümü ve gücü de bu dğrultuda bulunmuş lacaktır. Devre analz demek, devre elemanının akım, gerlm ve gücünün hesaplanması demektr. Çevre akımlar yöntemnde göz akımları sayısı devrenn bağımsız kaç gözlü lduğu duruma göre değşmektedr. Devre eleman değer verlmeden şekl6. dek k gözlü devrenn krşfun gerlmler kanunundan faydalanılarak çevre akımlar denklem çıkartılır. Z Z 4 Z I I Z Şekl6. Denklem yazmadan devreye bağlanan gerlm kaynağının yönü le lgl br açıklama yapmak gerekr. Devreye bağlı lan gerlm kaynağının pztf le gösterlen yönü çevre akımı yönü le aynı yönlü se gözdek elemanlar
Tpak üzerndek gerlm düşümlernn tplamı sıfıra eşt veya kaynak gerlm, eleman üzernde düşen gerlm düşümlernn tplamına eşttr. Bu açıklamalar ışığında bu devre çn çevre akımlar denklem aşağıdak gb lur. (Çevre akımlarının yönü stenldğ gb seçleblr. Snuç pztf çıkmış se alınan yönde akım aktığını, negatf değer çıkmış se alınan yönün ters yönde akımın aktığı anlaşılması gerekr. Bulunan snucun mutlak değer alınarak bu akım kullanılacak yerlerde kullanılması gerekr.) Z.I ( Z Z ).( I I ) ( Z Z ).( I I ) Z 4.I çevre akımları denklem düzenlendğnde, düzenlenmş denklem rtaya çıkar. ( Z ( Z Z Z Z ).I ).I ( Z ( Z Z Z Z ).I 4 ).I Z (I -I ) (I I ) Z Her göz yazılırken gözün akımının dğer göz akımından yüksek kabul edlerek şekl6. de gösterldğ gb yazılması gerekr. Akım yönler aynı lmuş lsaydı, çıkarılmazdı tplanması gerekrd. Şekl6. Devre k gözlü lduğundan k denklem bulunmuştur. Bu denklemler matematk kuralları dğrultusunda çevre akımları bulunur. Bu kaynakta denklem çözümler matrs ve determnant yardımı le çözümün bulunması sağlanacaktır. Çevre akımları bulunduktan snra bu akımlardan kl akımları eştlkler bulunarak devre elemanlarının üzernden geçen akımlar bulunur. Bu devrede Z elemanının üzernden I akımı, (Z, Z ) elemanlarından (I -I ) veya (I -I ) akımı ve Z 4 empedansı üzernden se I göz akımı görülür. Örnek6. Şekl6. de verlen alternatf akım devresndek göz akımlarını hesaplayınız.
Tpak Z Z Z j 8 hm V 6 V Şekl6. Çözüm6. Şekl6. de verlen alternatf akım devres k gözlü br devredr. Bundan dlayıdır k k göz akımı dlaşmaktadır. Şekl6.4 de göz akımlarının yönü gösterlerek gözler belrlenmş ve bu göz akımları le her göz çn krşfun gerlm kanununu uygulanmış ve çevre denklem luşturulmuştur. R0 hm j 4 hm Z Z j 8 hm V Z 6 V Şekl6.4 Z. ( ).Z Z.( ) Z. denklem düzenlendğnde çevre akımlar denklem aşağıdak şekl alır. ( Z ( Z Z ). ). ( Z ( Z Z ). ). empedans değerlern yerlerne yazarak denklem tekrar yazarak, bu denklemn çözümünü matrs ve determnantla çözümü yapılır. 4
Tpak ( 0 ( j8 ). j8 ). ( j8 ). ( j8 j4 ). 6 0 j8 j8 j8 4. j 6 0 j8 j8 j8 j4 ( 0 j8 ).j4 ( j8. j8 ) j40 j8 6 j4 0 j8 (. j4 ) ( 6. j40 j8 ) 0 0A j40 j8 6 ( 6.( 0 j8 )) ( j8. ) 5, 90 A j40 6. SÜPERPOZİSON TEOREMİ Brden fazla kaynak bulunan dğrusal ve çft yönlü br elektrk devresnde herhang br kldan geçen akım veya klun uçlarındak gerlm süperpzsyn yöntem le bulunur. Dğrusal ve çft yönü br elektrk devresnde herhang br kldan geçen akım veya klun uçlarındak gerlm kaynaklardan her brnn ayrı ayrı bu kldan geçrdkler akımların veya klun uçlarında meydana getrdkler gerlmlern tplamına eşttr. Bu yöntem, devre çözümlernde çk şe yarar. Gerlm veya akım kaynakları le beslenen lneer devrelere uygulanır. Devrede kaç aktf kaynak varsa, sıra le kaynaklardan yalnız br tanes devrede bırakılarak dğerler, gerlm kaynakları se kısa devre, akım kaynakları se açık devre yapılır. Örnek vermek gerekrse; kaynaklar gerlm kaynağı se devredek herhang br klun akımı bulunması stenyrsa sıra le her gerlm kaynağının kldan geçrdğ akımlar bulunur. Bu bulunan akımların tplamı kl üzernden geçen akımı verr. (akımların yönler dkkate alınır) Bu knu le lgl örnekler yaparak knun anlaşılmasını sağlayalım. Örnek6. Şekl6.5 dek alternatf akım devresndek kndansatör uçlarındak gerlm süperpzsyn yöntem le hesaplayınız. 5
Tpak R0 hm j0 hm -j40 hm 5 V 5 V Şekl6.5 Çözüm6. Süperpzsyn yöntem le çözülen lk örnek lduğu çn bu örnek açıklamalı br şeklde çözüme gdlecektr. Süperpzsyn yöntemnde devrede ne kadar aktf kaynak lursa lsun devrede tek kaynak kalacak şeklde devre tekrar çzlr. Devreden çıkartılan akım kaynağı se açık devre, gerlm kaynağı çıkartılmış se uçlar kısa devre edlr. Pasf elemanların yerler ve tüm elemanların değerler değştrlmezler. Bu devre çn lk kaynağını devrede bırakıp devrey tekrar çzelm. R0 hm j0 hm R0 hm 5 V v -j40 hm Ksa devre 5 V v j40 (a) (b) devre ken devrenn empedansı bulunarak kndansatör uçlarındak gerlm gerlm bölme yöntem le bulunur. Şekl6.5 (a) da akımın akışına göre kndansatör uçlarındak gerlmn kutupları gösterlmştr. Z ( 0 90 ).( 40 90 j0 j40 800 0 0 90 40 ) 90 bu snuç şekl6.5 (b) de gösterlmştr. Gerlm bölme yöntem bu devre çn uygulanırsa 5V luk kaynağın kndansatör uçlarındak gerlm düşümü aşağıdak şeklde bulunur. 6
Tpak v 40 90 ( ). 0 j40 40 90 ( 50 5, ). 5V, 0 6 87 V (6 j)v R0 hm j0 hm j0 hm Kısa devre v -j40 4-6,87 hm v 5 V 5 V (c) (d) Şekl6.5 (c) dek devrede gerlm kaynağı kalacak şeklde devre şekl tekrar çzlmş kaynağı se kısa devre edlmştr. Devrede kalan kaynağın kndansatör üzerndek gerlm düşümü değer, önce eşdeğer empedans bulunarak gerlm bölme kadesnden kndansatör üzerndek gerlm düşümü bulunmuş lur. Z ( 0 0 ).( 40 90 0 j40 ) 00 90 50 5,, 4 6 87 Ω v 4 6, 87 ( 4 6, 87 ) j0 ). 4 6, 87 ( 0 j4, 4 j0 ). 4 6, 87 ( 0 j5, 6 ). 4 6, 87 ( 0, 77 5, 64 ). 5V 5, 78 5, 5 V (, 5 j4, 59 )V Her k kaynağında gerlm düşümler aynı kutup da lduğundan kndansatör uçlarındak gerlm düşümler tplanır. Farkı lsaydı çıkartılırdı. Buna göre kndansatör uçlarındak gerlm düşümü aşağıdak gb lur. C v v ( 6 j )V (, 5 j4, 59 )V ( 9, 5 j7, 4)V 0, 88 0, 79 V 7
Tpak 6. DÜĞÜM GERİLİMLER ÖNTEMİ Düğüm gerlmler le devrelern analzler yapılablr. Bu yöntemle devre analz yapmak çn analz yapılacak devrede gerlm kaynakları bulunuyrsa bunun eşdeğer lan akım kaynağına dönüşümü yapılıp devre tekrar düzenlenmes gerekr. en luşacak devrede düğümler belrlenp, en kalabalık düğüm nktası referans düğüm tayn edlerek düğüm tpraklanması gerekr. Aktf düğümlere br sm verlerek(, veya A, B gb) bu düğümlere krşfun akımlar kanunu her düğüm çn ayrı ayrı uygulanır. Düğüme gren akımları pztf çıkan akımlara negatf mantığı düşünülürse;.düğümden çıkan akım dğer düğüme gren lduğunu unutmamak gerekr..düğümde aynı akım negatf durumunda ken dğer düğüme grdğ çn pztf lacaktır. Düğümlere gren aktf elemanların yönler gren, çıkan durumunda bağlı se aynı yönü almak zrunluluğu vardır. Fakat bağımsız kl akımlarını stedğnz yönde alablrsnz. O kllar çn seçmnz hang yönlü kullanmış senz sürekl aynı yönü devrede kl çn kullanmak zrundasınız. Klların üzernden geçen akımları düğüm gerlmler eştnden yazarak luşturduğunuz denklemde yerne yazarak düğüm gerlmlern matematk kuralları le çözümü yaparsınız. Düğüm gerlmler bulunduktan snra kl akımları ve klun gerlmler bu şeklde bulma mkanına sahp lursunuz. İk düğüm arasındak br drencn üzernden geçen akım le referans düğüm arasında kalan br drencn üzernden geçen akımı düğüm gerlmler eşt aşağıdak şeklsel ve terk larak gösterlmştr. ( > >...>0) Şekl6.6 0Ω drencn bağlı lduğu düğümler ve düğümler bu düğümlern ptansyel farkı bu eleman üzerndek gerlm verr. Bu gerlmn drenç değerne bölümü(hm kanunu) klun üzernden geçen akımı verecektr. Burada dkkat edlrse.düğümün gerlmnn yüksek ptansyelde lduğu 8
Tpak kabul edlmştr. Referans düğüm tayn ettğnz düğümümü tprakladığınızdan düğümün gerlm sıfır lacaktır. Ondan dlayı 00Ω drencn uçlarındak gerlm sadece.düğümün gerlmne eşttr. Bu sözle fade ettklermz br örnek üzernde uygulamasını yapalım. Örnek6. Şekl6.7 dek alternatf akım devresnde düğüm gerlmler yöntem le endüktf reaktansın üzernden geçen akımı hesaplayınız. J hm 5 A 4 hm -j5 hm A Şekl6.7 Çözüm6. Şekl6.7dek alternatf akım devresnde aktf düğümler belrleyerek en kalabalık düğümü referans düğüm tayn edelm. Devre elemanlarının üzerlernden geçrdkler akımları ve yönlern şekl6.8 de gösterlmştr. Krşfun akımlar kanunundan düğüm denklemn admdans cnsnden yazılırsa; ( ). düğüm denklem ( ).. düğüm denklem bu denklemler düzenlenrse, ( ( ). ). ( ( ). ). düğüm gerlmler denklem elde edlr. Bu denklem krşfun akımlar kanununda, br düğüme gren akımlar çıkan akımlara eşt lduğunu fade etmş lduğundan bu kanunla çıkartılmıştır. Çevre akımlarında lduğu gb bu denklem çözüldüğünde düğüm gerlmler bulunur. bu denklemn çözümü matrs ve determnant le çözüleblr. 9
0. bu matrs determnantla çözülürse;... ) )( ( det Değerler, 0 0,5 90 0,5 ve 90 0, bu değerler determnant da k yerlerne knulur şlemler yapılırsa 6,87,5 0 değer bulunur. bulunduktan snra. düğüm gerlm aşağıdak şeklde bulunur. V j V 6,4) (4,8 5, 8 6,87 0,5 90 ) 90 )(0,5 0 ( ) 90 0, 90 )(0,5 0 (5 ) ( det V j V j j j j j 4) (8 60,6 6, 9,74 6, 6,87 0,5 8,87,06 ) (0,5 0,5,5 0,5 0,5 )(5) 90 (0,5 ) 0,5)( (0,5. ) )( ( det ALTERNATİF AKIM DEVRE ANALİZİ Tpak
Tpak ( - ) 0,5-90 S 5 A A 0,5 0 S 0,5 90 S 0 V Şekl6.8. düğümün gerlm bulunur. bbn elemanı. ve düğüm gerlmler arasında bağlı ve şekl6.8 de bbn üzernden geçen akım denklemn de değerler yerlerne yazılarak bbn üzernden geçen akım bulunur. L.( ) (0,5 90 ).(4,8 j6,4) (8 j4) 0,5(, j7,6) (,8 j,6) A 4,,8 A 6.4 THEVENİN TEOREMİ Thevenn terem; br yada daha fazla gerlm kaynağı le beslenen lneer devre çözümlern klaylaştıran br yöntem lup, şu bçmde tanımlanır. A ve B gb uçları lan br devrenn bu uçlarına br drencn bağlandığı zaman, bu AB drençten geçen akım I dır. Z R TH Şekl6.9
Tpak Burada AB ; A,B uçları arasında R drenc ykken bu uçlar arasındak ölçülen ptansyel fark. R T ; devredek bütün gerlm kaynakları, kısa devre, akım kaynakları açık devre yapılarak elde edlen A,B uçları arasındak tplam empedansıdır. Böylece, Z T le AB ser bağlanarak elde edlen devreye AB arasında gözüken devrenn THEVENİN EŞDEĞER devres denr. Şekl6.6de görüldüğü gb elektrk devresnn AB uçlarındak thevenn eşdeğern verr. Buradak AB gerlmne Thevenn eşdeğer gerlm lan TH AB ve Z T drencne se Z TH larak kullanılacaktır. Orjnal devrede bağlı ken R,X C veya X L drenc üzernden geçen ve uçlarındak gerlm değer ne bulunursa, rjnal devrenn Thevenn eşdeğer luşturulur R, X C veya X L drenc thevenn eşdeğerne bağlanır ve hesaplanır. Veya ölçülerek de aynı değer bulunur. Şekl6.0 Orjnal devre ve devrenn Thevenn eşdeğer Elektrk, elektrnk devreler karışık lablr. Devrenn analzn thevenn terem le yapılacak lursa hata yapılmayacaktır. Maddeler halnde açıklayalım. - Analz yapılacak kl rjnal devreden çıkartılır. Çıkarılan bu nktaya br sm verlr. (A,B veya, gb) - Devreden bütün kaynaklar çıkartılır. Çıkarılan gerlm kaynağı se uçlar kısa devre, akım kaynakları se açık devre yapılır. Çıkarılan (analz yapılacak) kl uçlarından bakılarak uçların eşdeğer empedansı bulunur. Bu bulunan eşdeğer empedans, çıkartılan kl uçlarının thevenn eşdeğer drenc(z TH ) dr. - Analz yapılacak klun (.maddede çıkarılan kl) uçlarının Thevenn eşdeğer devres çzlr.
Tpak Şekl6. Orjnal devre ve AB uçlarının Thevenn eşdeğer 4- Çıkartılan kl thevenn eşdeğer devresne (AB uçlarına) bağlanır. Krşfun gerlmler kanunu uygulanarak kl akımı bulunur. Bu maddeler uygulayarak bunu sayısal br örnek üzernde çözümünü thevenn yöntem le yapalım. Örnek6.4 Şekl6. dak alternatf akım devresnde R drenc uçlarındak (ab le gösterlen klun) thevenn eşdeğer devresn bulunuz. j00 hm 500 hm a V -j00 hm R b Şekl6. Çözüm6.4 Thevenn eşdeğer bulunacak kl devreden çıkartılarak devredek tüm aktf kaynaklar devreden çıkartılır. Çıkartılan bu devre çn gerlm kaynağı lduğundan bu uçlar kısa devre edlr. Şekl6. (a) de görüldüğü gb thevenn eşdeğer bulunacak kl uçlarından bakılarak thevenn eşdeğer empedansı bulunur.
Tpak j00 hm 500 hm a Ksa devre -j00 hm Z TH Şekl6.(a) b Z TH 500 ( 00 90 ).( 00 90 500 j00 j00 j00 Ω 58, 5 8, 4 ) 0 500 00 90 Çıkartılan kaynaklar devreye tekrar yerlerne bağlanarak kanun ve yöntemlerden faydalanılarak, tehevenn eşdeğer luşturulacak uçların thevenn gerlm değer bulunur. Şekl6.(b) de gösterlmştr. j00 hm 500 hm a V -j00 hm TH b Şekl6.(b) j00 j00 TH ( ). V ( ). V 4 0 j00 j00 j00 bulunan bu değerler thevenn eşdeğer devresnde yerne yazılarak ab uçlarının Thevenn eşdeğer devres şekl6.(c) dek gb luşturulmuş lur. 4
Tpak ZTH 58,5,8 a 4 V R Şekl6.(c) Devrenn Thevenn eşdeğer Drenç değer 00 hm değernde bağlanmış lsaydı, drenç üzerndek akımda aşağıdak şeklde bulunurdu. b I 4V 6, 59 5, 95 58, 5 8, 00 Amper 6.5 NORTON TEOREMİ Nrtn terem, thevenn teremnn değşk br bçm(dualı) lup a ve b gb k ucu lan lneer aktf br devrenn br R N drenc le paralel br I N akım kaynağı bçmne skulma lanağı verr. Bu bçmde elde edlen devreye NORTON EŞDEĞER akım kaynağı adı verlr. Bu akım kaynağının eşdeğer gerlm kaynağı se Thevenn Eşdeğer gerlm kaynağıdır. Nrtn eşdeğer akım kaynağı devresnde; I N : Verlen devrenn AB uçları kısa devre yapılması le luşan çevre akımıdır. R N : Devredek gerlm kaynaklarının kısa devre, akım kaynaklarının açık devre yapılmalarından snra AB arasındak devrenn tplam drencdr. Br elektrk devresnde her hang br klun analz nrtn terem le bulunması gerekrse aşağıdak adımlar uygulandığı zaman devrenn çözümü daha sağlıklı lacaktır. - Analz yapılacak kl devreden çıkartılır. Çıkartılan bu nktaya br sm verlr. (Örneğn; A,B veya, gb) - Devreden bütün kaynaklar çıkartılır. Çıkartılan gerlm kaynağı se kısa devre, akım kaynağı se açık devre yapılır. Çıkarılan(analz yapılacak) kl uçlarından bakılarak uçların eşdeğer drenc 5
Tpak - bulunur. Bu bulunan eşdeğer drenç aynı zamanda Z N eşdeğer drencdr. 4- Devreden çıkartılmış lan akım ve gerlm kaynakları devreye tekrar aynı yerlerne bağlanarak devreye blnen knunlar veya teremler uygulanarak analz yapılacak klun uçlarının kısa devre akımı bulunur. Bu bulunan kısa devre akımı aynı zamanda I N akımıdır eşttr. 5- Analz yapılacak klun(.maddede çıkarılan kl) nrtn eşdeğer devres çzlr. Şekl6.4 Nrtn eşdeğer devres 6- Çıkartılan kl nrtn eşdeğer devresne (AB uçlarına) bağlanarak krşfun akımlar kanunu uygulanır, kl akımı bulunur. Bu maddeler uygulayarak sayısal br örnek çözülürse nrtn yöntem daha anlaşılır ve devrelern analz yapılablr. Örnek6.5 Şekl6.5(a)dek devrenn ab uçlarının nrtn eşdeğer devresn luşturunuz. 6
Tpak 4 ma j5 khm a -j khm 6 90 V khm khm -j khm b Şekl6.5(a) Çözüm6.5 Nrtn yöntemn açıklarken ab uçlardak klların çıkartılıp, çıkartılan kl uçlarının empedansının bulunması çn devredek tüm aktf kaynaklar devreden çıkartılarak (çıkartılan kaynak gerlm kaynağı se kısa devre, akım kaynağı se açık devre yapılır) devrenn uçlarındak eşdeğer empedansı bulunur denlmşt bu dğrultuda eşdeğer empedans şekl6.5(b) de ve ter çözümü aşağıdak gb lur. j5 khm a -j khm Kısadevre Z N khm b Şekl6.5(b) Şekl6.5(b) görüldüğü gb, gerlm kaynağı kısa devre edlnce paralel bağlı lanj khm luk kapastf reaktans kısa devre lmuştur. Devrenn ab uçlarındak empedansı j5 kω ve kω ser durumdadır. Z N kω j5kω,6 kω bulunur. Devrenn ab uçlarının nrtn akımını süper pzsyn yöntem le bulablrz. Bu akımı stenlen kanun veya yöntemlerden yaralanarak bulunablr. 7
Tpak j5 khm a -j khm 6 90 V khm b Şekl6.5(c) 6 90 V 6 90 V 67,8 ma şekl6.5(c) dek devren akımı kω j5,6 bulunur. Şekl6.5(d) devrede akım kaynağı kalacak şeklde ve gerlm kaynağı devreden çıkartılarak uçları kısa devre edlmştr. Buna göre süperpzsyn yöntem kullanılarak çözersek; 4 ma j5 khm -j khm khm Şekl6.5(d) 5 90 kω 5 90 kω ( )(4 0 ma) ( ).4 0 ma,54 67,8 kω j5kω,6 Her k kaynağın ab uçlarından geçrdkler akımın yönler aynı lduğu çn bu k akım tplanır. Bu akım ab uçlarının nrtn akımıdır. 67,8 ma,54 67,8 ma,54 67,8 ma N bulunan bu akımlar ve nrtn eşdeğer devres çzlerek değerler üzerne yazılmış şekl, şekl6.5(d) görülmektedr. 8 ma
Tpak a N,54 67,8 ma Z N,6 kω Şekl6.5(d): Nrtn eşdeğer devres b 9