6. NORMAL ALT GRUPLAR

Transkript

1 6. ORMAL ALT GRUPLAR G br grup ve olsun. 5. Bölümden çn eştlğnn her zaman doğru olamayacağını blyoruz. Fakat bu özellğ sağlayan gruplar, grup teorsnde öneml rol oynamaktadır. Bu bölümde bu tür grupları nceleyeceğz. Tanım 6.1. G br grup ve olsun. Her çn se ye G nn normal alt grubu denr ve le gösterlr. Teorem 6.2. (ormallk Test) G br grup ve denktr. ( ) ( ) Her çn ( ) Her çn olsun. Aşağıdak fadeler brbrne İspat. ( ) ( ) olsun. Şu halde olacak şeklde vardır. Şu halde ( ) den olur. Böylece olacak şeklde vardır. Bundan dolayı elde ederz. ( ) ( ) olsun. Şu halde ( ) de yerne alırsak ve böylece olur. Sonuç olarak her çn elde ederz. ( ) ( ) olsun. ( ) den dr. se ve böylece dr. Yan dr. ( ) den olduğundan yerne yazarak elde ederz. Sonuç 6.3. G br grup ve olsun. olması çn gerek ve yeter koşul ve çn olmasıdır. Örnekler ) G br grup ve brm eleman olsun. Şu halde çn { } { } { } olduğundan ve çn olduğundan { }, elde ederz. Bu k normal alt gruba nn aşkar (trval) normal alt grubu denr. 2) Değşmel br grubun her alt grubu normal alt gruptur. Gerçekten, G br grup ve olsun. ve çn olduğundan dr. 3) { } ve olsun. { } ve { } se ve K, grubunun normal alt grubu değldr. çn olduğu açıktır ve olduğundan { } { } elde ederz. Benzer şeklde ve olduğundan olur. { } ve { } olduğundan dır. Böylece ün normal alt grubu değldr. 1

2 4 ) ve olsun. a) se dır. b) se dr. Çözüm : a) H G se k K çn Hk kh dr. HK Hk kh KH HK G dr. k K k K b) a) dan HK G dr. çn ( ) ( )( ) dır. 5 ) G değşmel br grup ve H da G nn torson (burulmalı) alt grubu olsun. (mertebes sonlu elemanların kümes) olsun. a) H G b) G/ H nn brmden farklı her elemanının mertebes sonsuzdur. Çözüm : a) H { g G : o( g) sonlu} olmak üzere, 1 rs r s s r a, b H o( a) r, o( b) s ( ab ) ( a ) ( b ) 1 ab 1 G nn mertebes sonlu, yan ab H bulunur. H G dır. Değşmel grubun her alt grubu normal olacağından H torson alt grubu normaldr. b) ah G / H ve ah H olsun. o( ah) r H ( ah) r a r H a r H H a r H ( a r ) t. Yan a nın mertebes sonlu olurdu. Bu se a H olması le yan a nın mertebesnn sonsuz olması le çelşr. 6 ) Grubun merkez br normal alt gruptur. Gerçekten ( ) olduğunu blyoruz. Ayrıca, ve ( ) çn ( ) olduğundan ( ) dr 7) Br grubun br takım normal alt gruplarının kesşmnn de br normal alt grup olduğunu gösternz. Çözüm : { } I, G grubunun br takım normal alt grupları olsunlar. olduğunu blyoruz. I I G olduğunu gösterelm. a, g G çn I çn a Şu halde I G I çn 1 gag elde etmş oluruz. I 1 gag 8 ) G her devrl alt grubu normal olan br grup se G nn her alt grubu devrldr. Gerçekten, olsun. ve se olduğundan dr. 2

3 9 ) G br grup ve olsun. H nn G dek k sol denklk sınıfının çarımı yne sol denklk sınıfı se dr. Gerçekten, olsun. Şu halde olacak şeklde vardır. Böylece elde ederz. Bundan dolayı olacak şeklde vardır. Şu halde ve böylece dır. Sonuç olarak ve böylece elde ederz. Teorem 6.5. Br grubun ndeks 2 olan br alt grubu normaldr. İspat : G ve ( G: ) 2 olsun. Bu takdrde k tane sağ ve k tane sol denklk sınıfı vardır. hem sağ hem de sol denklk sınıfı olarak düşünüleblr. a se sol denklk sınıfları, a ve sağ denklk sınıfları, a olur. Böylece G a a olduğundan a a dır. Sonuç olarak G elde edlr. Örnek 6.6. G S3 ve H {(1),(123),(132)} olsun. H Golduğu açıktır. Ayrıca, ( ) olduğundan H G dr. Örnek 6.7. dr. Gerçekten, ( ) olduğundan Teorem 6.5 den stenlen elde edlr. Tanım 6.8. Br G grubunun öz olan hç normal alt grubu yoksa G ye bast grup denr. Örnek 6.9. Mertebes asal olan grup basttr. Teorem değşmel br grup ve { } olsun. G nn bast grup olması çn gerek ve yeter koşul G nn asal mertebel devrl grup olmasıdır. İspat. Değşmel grupların alt gruplarının normal olduğunu blyoruz. Eğer G değşmel ve bast grupsa alt grupları sadece G ve { } dr. Böylece ve se dır. Eğer se { } dr. Bu se varsayımımızla çelşr. Böylece G sonlu br gruptur. Şmd olduğunu kabul edelm. Eğer br asal sayısı çn se mertebes p olan br alt gruptur. Böylece asal mertebel devrl gruptur. Teoremn tersnn spatı Lagrange teoremnn br sonucu olarak açıktır. Lemma 6.11 olsun. Eğer ve br 3-lü devr çeryorsa dr. İspat. Genellğ bozmadan ( ) alalım. (Yan herhang başka üçlü devr alsak da spat yapılablr). Örnek 4.8 den grubunun üçlü devrler tarafından üretldğn blyoruz. Şu halde her üçlü devr ( ) nın de olduğunu göstersek spatı tamamlamış oluruz. olduğundan { } seçeblrz. Şmd ( ) alalım ve 3

4 { ( ) } tanımlayalım. Şu halde her k durumda ve ( ) ( ) elde ederz. Teorem 6.12 spatını yapmadan önce şunu not edelm : ( ) se permütasyonu tamsayılarını değştyor derz. Teorem se alterne grubu bast gruptur. İspat. { } olsun. H nn brmden farklı elemanları arasında en az tamsayıyı değştren (yan görüntüsü farklı olan) elemanı olsun. Şmd tane tam sayıyı değştrdğn kabul edelm. transpozsyon olamayacağından olur. Eğer se, -devrl dr ve Lemma 6.11 den dr. olduğunu kabul edelm ve bu kabulun çelşk oluşturacağını spatlayalım. İk durum söz konusudur. Durum 1., uzunluğu 3 veya daha büyük br devr çesn, yan ( ) olsun. devrnde tam 4 tane tam sayının görüntüsü farklı olamaz. Gerçekten ( ) tek olduğundan çelşk olurdu. Şmd 1,2 ve 3 de olduğu gb 4 ve 5 n görüntülernn kendlernden farklı olduğunu kabul edelm. Şmd ( ) olduğunu kabul edelm ve olsun. olduğundan ve ( ) ( ) olduğundan dr. Eğer tam sayısı tarafından sabt bırakılırsa bu k tam sayısı tarafındanda sabt bırakılır ( ( ) ). Eğer altında tam sayısının görüntüsü kendsnden farklı se altında k tam sayısının görüntüsü kendsnden farklıdır. Fakat ( ) fakat ( ) dr. Böylece de dan daha az elemanın görüntüsü kendsnden farklıdır. Bu br çelşk oluşturur. Durum 2. brbrnden ayrık transpozsyonların çarpımı olsun. Yan ( )( ) olduğunu kabul edelm. Şmd ( ) olduğunu ve olduğunu kabul edelm. Şu halde ( ) ( ) ve ( ) olacak şekde her çn ( ) dır. Ayrıca, ( ) olduğundan dr. Sonuç olarak 1.Durumda olduğu gb çelşk elde ederz. 4

5 Sorular 1 ) { ( )( ) ( )( ) ( )( )} olduğunu gösternz. Böylece grubu bast değldr. 2) ve grubunun bast olduğunu gösternz. 3) ( ) grubunda determnantı 1 olan matrslern kümes H se olduğunu gösternz. ( ( ) ( )). 4) olmak üzere grubunun mertebeden br alt grubu olmadığını gösternz. (Bu soru Langrange Teoremnn tersnn doğru olmadığına dar örnektr). 5 ) grubunun tüm normal alt gruplarını bulunuz. 6) grubunun öyle k H ve K alt gruplarını bulunuz k ve fakat grubunun normal alt grubu olmasın. 7) ve se çn olduğunu gösternz. 8) G br grup ve {( ) } olsun. olması çn gerek ve yeter koşul G nn değşmel olmasıdır. Gösternz. 9) olmak üzere { } göz önüne alalım. Aşağıdak her br durumda olup olmadığını araştırınız. ) { } ) { } ) { } 10) br grup ve olsun. ( ) olması olmasını gerektrmedğn br örnekle gösternz. 11) G br grup ve olsun. se ( ) olduğunu gösternz. 12) G br grup ve se ( ) { } kümesne n normalleycs denr. ) ( ) olduğunu gösternz. ) ( ) olduğunu gösternz. 13) G br grup ve olsun. Şu halde olduğunu gösternz. 5

6 14 ) G br grup ve olsun. Eğer { } se ve çn olduğunu gösternz. 15) G br grup ve olsun. Eğer se dr, gösternz. 16) G br grup ve H, mertebes n olan tek alt grubu se olduğunu gösternz. 17) Quaternon grubun her alt grubunun normal olduğunu gösternz. 18) grubunda ( ) le üretlen devrl grup, de normal alt grup mudur? eden? 19) G br grup ve br tam sayısı olmak üzere çn ( ) sağlansın. Şu halde { } olduğunu gösternz. 20) Aşağıdak fadeler doğru/yanlış mıdır? Doğru se açıklayınız, yanlış se br ters örnek bulunuz. ) nn normal alt grup olması çn gerek ve yeter koşul nın her sağ kalan sınıfının aynı zamanda br sol kalan sınıfı olmasıdır. ) sonlu br grup ve, G nn normal alt grubu se [ ] dr. ) grubunun her değşmel alt grubu, nn normal alt grubudur. v) mertebes olan br grup ve se nn mertebeden br alt grubu vardır. 6