Denklem Çözümünde Açık Yöntemler

Transkript

1 Denklem Çözümünde Bu yöntem, n yalnızca başlangıç değer kullanılan ya da kökü kapsayan br aralık kullanılması gerekmez. Açık yöntemler hızlı sonuç vermesne karşın, başlangıç değer uygun seçlmedğnde ıraksayablr. Kökü k başlangıç değer arasında kıskaca alma ( ( a ).( ü ) <0 ) sorgulaması yok Tüm açık yöntemler, kökün bulunması çn matematksel br ormül kullanır. () Kapalı Yöntem Açık Yöntem () Eğm= () ( ü ) ( ) 0 ( a ) a ü 0 +1 Serhat Yılmaz ın Sunusundan Alınmıştır. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 1

2 Bast Sabt Noktalı İterasyon Yöntem () onksyonu ()=0 denklğ =g() ormuna getrlr. Örnek: ()= = 0 = ()= cos = 0 = cos + Bu eştlğn anlamı y= doğrusu le y=g() onksyonunun kesşm noktasını bulmaktır. Br 0 başlangıç değer seçlr, 0, I ( 0 ) I < 1 şartını sağlar se köke yakınsama olur. n+1 = g( n ) ormu le terasyon gerçekleştrlr. 1 =g( 0 ) 2 =g( 1 ) n =g( n-1 ) Durdurma şartı I n+1 - n I < s sağlanıncaya kadar Ya da belrl terasyonda durdurulablr Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 2

3 Bast Sabt Noktalı İterasyon Yöntem Örnek: ()= 3e -0.5 onksyonunun kökünü mutlak hata a = 0.07 sınırlamasın göre 0 = 8 değernden başlayarak hesaplayınız. Her adım (terasyon) çn yen, g() ve hatayı hesaplayınız. ()=0 denklğ =g() ormuna getrlr. = 3e -0.5 g() = 3e -0.5 onksyonu 0 = 8 başlangıç değer ve a = 0.07 hata sınırlamasına göre terasyona tab tutuluyor. 13. terasyondan sonra a = 0.07 hata le kök değer =1.4 elde edlr. ( Yakınsak terasyon ) Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 3

4 Newton-Raphson Yöntem En çok kullanılan yöntemlerden brdr. Köke, teğetler le yaklaşılır. Başlangıç değernn onksyonu kestğ noktadan, çzlen teğetn yatay eksen kestğ yen nokta başlangıç değer le değştrlerek köke yaklaşmaya çalışmaktır. () ( ) Br noktadak türev, o noktadan geçen teğetn eğmne eşttr. Eğm= () '( ) X ' Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 4

5 Newton-Raphson Yöntem Yakınsaklık Koşulu Başlangıç noktasındak türev le köke yaklaşma yalnız bırakılırsa, ade bast terasyondak gb n+1 = g( n ) ormuna dönüştürülür Yakınsaklık koşulu, Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 5

6 Newton-Raphson Yöntem Örnek : () = 2-10 denklemn Newton-Raphson yöntemn kullanarak 0 = 3 değernden başlayarak, k terasyon çn çözünüz? () = 2 10 () = 2 0 = 3 ten başlayarak köke doğru yaklaşalım 1 ' Durdurma Krter (Hata Sınırlaması) I +1 I < s yada terasyon 3 ( 1) ' 0 3,166 (0,023556) 6,332 3, ' 1 3, , ,162 3, Serhat Yılmaz ın Sunusundan Alınmıştır. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 6

7 Krş (Secant) Yöntem Bazı onksyonların/denklemlern türevn almak oldukça zor olablr. Bu şlemler uzun zaman alablr. Türev almadan çözüm çn Krş (secant) yöntemnden yararlanılır. Şekldek A-B noktaları arasında, 0 ve 1 başlangıç değerler kullanılarak türev alınmadan gerçek köke daha yakın br kök bulunablr. Krşn eksenn kestğ nokta köke yakın noktadır. Her yen terasyonda yen br krş noktaları bulunarak krşlern eksenn kestğ yen noktalar le köke yaklaşılır. Bu şlem dğer yöntemlerdek gb belrl br hata sınırlamasına kadar tekrar edlr. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 7

8 Krş (Secant) Yöntem Secant Yöntem le Newton-Raphson Yöntemnn İlşks () ( -1 ) ( ) 0 '( ) +1 0 '( ) 1 1 ' 1 ( ) 1 Newton R -1 1 Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz ( )

9 Krş (Secant) Yöntem Secant Yöntemnn Regula-Fals Yöntem İle Karşılaştırılması r ü İksnde de k lk tahmn değer var Regula Fals ( ) ü a ü ( ) ( ) a ü ( a ).( r ) <0 a le r arklı bölgelerde Güncellenecek sınır ü(yen)=r a ( a ).( r ) >0 a le r aynı bölgelerde r ü a r ü a(yen)=r kök kök () () -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5-2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 Kök, a, r arasında Kök, r, ü arasında ( ) Sekant X +1-1 Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 9

10 Krş (Secant) Yöntem Örnek : () = e - - denklemnn köklern [0,1] aralığında Secant Yöntem le çözünüz? olduğundan aralıkta kök vardır. Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 10

11 ÖDEV Ödevler Arş.Gör. Sezgn KAÇAR a teslm edlecektr. Teslm Tarh : () = denklemn 0 = 5 değernden başlayarak s = mutlak ve yaklaşık hata sınırlamasına göre Newton-Raphson Bast terasyon metodlarını kullanarak çözünüz? Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 11

12 KAYNAKLAR Serhat YILMAZ, Blgsayar İle Sayısal Çözümleme, Kocael Ünv. Yayınları, No:168, Kocael, Yüksel YURTAY, Sayısal Analz Ders Notları, Sakarya Ünverstes Mehmet Bakoğlu, Sayısal Analz, Brsen Yayınev, Pro.Dr. Asa Varol, Sayısal Analz Ders Notları, Fırat Ünverstes Fahr VATANSEVER, İler Programlama Uygulamaları,Seçkn Yayıncılık Doç.Dr. Cüneyt BAYILMIŞ Sayısal Analz 12