T.C. LLÎ E M BAKANLI I Talim ve Terbiye Kurulu Ba kanl LKÖ RET M MATEMAT K DERS 6-8. SINIFLAR RET M PROGRAMI ANKARA 2008
LKÖ RET M MATEMAT K DERS 6-8. SINIFLAR RET M PROGRAMINDA GÖREV ALANLAR lkö retim Matematik Dersi 6-8. S flar Program n Geli tirilmesinde Görev Alanlar: Doç. Dr. Safure BULUT, Yard. Doç. Dr. Mustafa ÖZTÜRK, Yard. Doç. Dr. Zülbiye TOLUK, Yard. Doç. Dr. Erdinç ÇAKIRO LU, Kurul Uzman Mustafa KARAHAN, Program Geli tirme Uzman Erol ÖZSOY, Ölçme ve De erlendirme Uzman Seher ULUTA, Matematik retmenleri; Ye im GÖ ÜN, Ebru HELVACI, Ye im SARAÇO LU, Gamze OKUR EK, Fatma Derya YAVUZ.
NDEK LER 1. G... 7 2. PROGRAMIN V ZYONU... 7 3. PROGRAMIN YAKLA IMI... 8 4. PROGRAMIN TEMEL ÖGELER... 9 4.1. Matematik E itiminin Genel Amaçlar... 9 4.2. Program n Uygulanmas na li kin Aç klamalar... 10 4.3. Beceriler... 11 4.3.1 Ortak Beceriler... 11 4.3.2. Alana Özgü Beceriler... 12 4.4. Duyu sal Özellikler... 21 4.5. Öz Düzenleme Becerileri... 21 4.6. Psikomotor Beceriler.... 21 5. MATEMAT K Ö RET VE Ö RENME... 22 6. Ö RENME ALANLARI, AMAÇLARI VE ETK NL K ÖRNEKLER... 27 6.1. Say lar Ö renme Alan ve Etkinlik Örnekleri... 29 Say lar Ö renme Alan ile li kilendirilmi Ara Disiplinlerin Etkinlik Örnekleri 39 6.2. Geometri Ö renme Alan ve Etkinlik Örnekleri..... 45 6.3. Ölçme Ö renme Alan ve Etkinlik Örnekleri... 66 Ölçme Ö renme Alan ile li kilendirilmi Ara Disiplinlerin Etkinlik Örnekleri... 80 6.4. Olas k ve statistik Ö renme Alan ve Etkinlik Örnekleri... 84 Olas k ve statistik Ö renme Alan ile li kilendirilmi Ara Disiplinlerin Etkinlik Örnekleri... 95 6.5. Cebir Ö renme Alan ve Etkinlik Örnekleri........ 103 Cebir Ö renme Alan ile li kilendirilmi Ara Disiplinlerin Etkinlik Örnekleri... 108 7. ÖLÇME VE DE ERLEND RME... 111
8. LKÖ RET M MATEMAT K DERS 6. SINIF Ö RET M PROGRAMI 121 6. S f Matematik Ö retim Program n Ö renme Alanlar, Alt Ö renme Alanlar, Kazan mlar ve Ö renme Alanlar n Süreleri, Atatürkçülük Konular, Ara Disiplinlerin Alan Kazan mlar ile lgili Tablolar.... 122 Say lar Ö renme Alan......... 127 Geometri Ö renme Alan... 164 Ölçme Ö renme Alan..... 181 Olas k ve statistik Ö renme Alan..... 199 Cebir Ö renme Alan........ 213 9. LKÖ RET M MATEMAT K DERS 7. SINIF Ö RET M PROGRAMI.221 7. S f Matematik Ö retim Program n Ö renme Alanlar, Alt Ö renme Alanlar, Kazan mlar ve Ö renme Alanlar n Süreleri, Ara Disiplinlerin Alan Kazan mlar ile lgili Tablolar...... 222 Say lar Ö renme Alan........ 227 Geometri Ö renme Alan... 237 Ölçme Ö renme Alan..... 258 Olas k ve statistik Ö renme Alan..... 271 Cebir Ö renme Alan........ 284 10. LKÖ RET M MATEMAT K DERS 8. SINIF Ö RET M PROGRAMI... 295 8. S f Matematik Ö retim Program n Ö renme Alanlar, Alt Ö renme Alanlar, Kazan mlar ve Ö renme Alanlar n Süreleri, Atatürkçülük Konular, Ara Disiplinlerin Alan Kazan mlar ile lgili Tablolar.... 296 Say lar Ö renme Alan........ 300 Geometri Ö renme Alan... 308 Ölçme Ö renme Alan..... 329 Olas k ve statistik Ö renme Alan..... 342 Cebir Ö renme Alan........ 350 KAYNAKÇA... 365 EKLER... 367 EK 1: 6, 7 ve 8. SINIF ÜN TELEND LM YILLIK PLAN ÖRNEKLER... 368 EK 2: ÖLÇME ARAÇLARI... 400 EK 3: MATEMAT K DERS 6-8. SINIFLARIN ARAÇ VE GEREÇLER... 413
TÜRK M LLÎ E N AMAÇLARI 1739 Say Millî E itim Temel Kanunu na göre Türk Millî E itiminin Genel Amaçlar : I. Genel Amaçlar Madde 2. Türk Millî E itiminin genel amac, Türk milletinin bütün fertlerini; 1. Atatürk ink lâp ve ilkelerine ve Anayasada ifadesini bulan Atatürk milliyetçili ine ba ; Türk milletinin millî, ahlâkî, insanî, manevî ve kültürel de erlerini benimseyen, koruyan ve geli tiren; ailesini, vatan, milletini seven ve daima yüceltmeye çal an; insan haklar na ve Anayasan n ba lang ndaki temel ilkelere dayanan demokratik; lâik ve sosyal bir hukuk devleti olan Türkiye Cumhuriyeti ne kar görev ve sorumluluklar bilen ve bunlar davran hâline getirmi yurtta lar olarak yeti tirmek; 2. Beden, zihin, ahlâk, ruh ve duygu bak mlar ndan dengeli ve sa kl ekilde geli mi bir ki ili e ve karaktere, hür ve bilimsel dü ünme gücüne, geni bir dünya görü üne sahip, insan haklar na sayg, ki ilik ve te ebbüse de er veren, topluma kar sorumluluk duyan; yap, yarat ve verimli ki iler olarak yeti tirmek; 3. lgi, istidat ve kabiliyetlerini geli tirerek, gerekli bilgi, beceri, davran lar ve birlikte i görme al kanl kazand rmak suretiyle hayata haz rlamak ve onlar n, kendilerini mutlu k lacak ve toplumun mutlulu una katk da bulunacak bir meslek sahibi olmalar sa lamak; Böylece, bir yandan Türk vatanda lar n ve Türk toplumunun refah ve mutlulu unu art rmak; öte yandan millî birlik ve bütünlük içinde iktisadî, sosyal ve kültürel kalk nmay desteklemek ve h zland rmak ve nihayet Türk milletini ça da uygarl n yap, yarat, seçkin bir orta yapmakt r.
LKÖ RET M MATEMAT K DERS 6-8. SINIFLAR RET M PROGRAMI
1. G Dünyada bilginin önemi h zla artmakta, buna ba olarak bilgi kavram ve bilim anlay da de mekte, teknoloji ilerlemekte, demokrasi ve yönetim kavramlar farkl la makta, tüm bu de imlere ayak uydurabilmek için toplumlar n bireylerinden bekledi i beceriler de de mektedir. Her alanda oldu u gibi e itim alan nda da de im gerekmektedir. Günlük ya amda, matemati i kullanabilme ve anlayabilme gereksinimi önem kazanmakta ve sürekli artmaktad r. De en dünyam zda, matemati i anlayan ve matematik yapanlar, gelece ini ekillendirmede daha fazla seçene e sahip olmaktad r. De imlerle birlikte matemati in ve matematik e itiminin belirlenen ihtiyaçlar do rultusunda yeniden tan mlanmas ve gözden geçirilmesi gerekmektedir. Yeni bilgiler ve teknolojiler, matematik yapman n ve ileti im kurman n yollar sürekli de tirmektedir. Örne in; hesap makineleri önceleri çok pahal yd, fakat bugün ucuzlad ve yayg nla. Önceden kâ t-kalem ile yapmak zorunda kald z ve günlük ya amda ihtiyaç duydu umuz pek çok hesaplamay art k hesap makineleri ile daha kolay yapabilmekteyiz. Bu de imin do al sonucu olarak matematik e itiminde kâ t-kalem ile hesaplamalar n önemi azal rken tahmin edebilme, problem çözme gibi beceriler önem kazanm r. Önceleri, baz bilgilere sadece belli say da insan eri ebiliyordu. Zamanla ileti im araçlar n geli mesi ve internetin yayg nla mas sayesinde bu bilgilere eri im kolayla. Bu nedenle matematik e itiminin, ö rencilerin bilinçli birer vatanda ve tüketici olabilmeleri için; istatisti i do ru kullanabilme ve yorumlayabilme, veriye dayal tahminde bulunabilme, karar verebilme gibi becerilerini geli tirmeyi amaçlamas gerekmektedir. Matematik; örüntülerin ve düzenlerin bilimidir. Bir ba ka deyi le matematik say, ekil, uzay, büyüklük ve bunlar aras ndaki ili kilerin bilimidir. Matematik, ayn zamanda sembol ve ekiller üzerine kurulmu evrensel bir dildir. Matematik; bilgiyi i lemeyi (düzenleme, analiz etme, yorumlama ve payla ma), üretmeyi, tahminlerde bulunmay ve bu dili kullanarak problem çözmeyi içerir. Matematik e itimi, bireylere, fiziksel dünyay ve sosyal etkile imleri anlamaya yard mc olacak geni bir bilgi ve beceri donan sa lar. Matematik e itimi bireylere, çe itli deneyimlerini analiz edebilecekleri, aç klayabilecekleri, tahminde bulunacaklar ve problem çözebilecekleri bir dil ve sistematik kazand r. Ayr ca yarat dü ünmeyi kolayla r ve estetik geli imi sa lar. Bunun yan s ra, çe itli matematiksel durumlar n incelendi i ortamlar olu turarak bireylerin ak l yürütme becerilerinin geli mesini h zland r. 2. PROGRAMIN V ZYONU Bu program; matematik e itimi alan nda yap lan millî ve milletleraras ara rmalar, geli mi ülkelerin matematik programlar ve ülkemizdeki matematik e itimi deneyimleri temel al narak haz rlanm r. Matematik program, Her çocuk matemati i ö renebilir. ilkesine dayanmaktad r. Matematikle ilgili kavramlar, do as gere i soyut niteliklidir. Çocuklar n geli im düzeyleri dikkate al nd nda bu kavramlar n do rudan alg lanmas oldukça zordur. Bu nedenle, matematikle ilgili kavramlar, somut ve sonlu ya am modellerinden yola ç larak ele al nm r. Programda, kavramsal ö renme ile birlikte i lem becerilerine de önem verilmektedir. Program n önemli hedeflerinden baz lar ö rencilerin ba ms z dü ünebilme ve karar verebilme, öz düzenleme gibi bireysel yetenek ve becerilerinin geli tirilmesidir.
Matemati i ö renmek; temel kavram ve becerilerin kazan lmas n yan s ra matematikle ilgili dü ünmeyi, genel problem çözme stratejilerini kavramay ve matemati in gerçek ya amda önemli bir araç oldu unu takdir etmeyi de içermektedir. Programda ya am nda matemati i kullanabilen, problem çözebilen, çözümlerini ve dü üncelerini payla abilen, ekip çal mas yapabilen, matematikte öz güven duyabilen ve matemati e yönelik olumlu tutum geli tiren bireylerin yeti tirilmesi büyük önem ta maktad r. 3. PROGRAMIN YAKLA IMI Bu program matematikle ilgili kavramlar, kavramlar n kendi aralar ndaki ili kileri, lemlerin alt nda yatan anlam ve i lem becerilerinin kazand lmas vurgulamaktad r. Program n oda nda kavram ve ili kilerin olu turdu u ö renme alanlar bulunmaktad r. Kavramsal yakla m, matematikle ilgili bilgilerin kavramsal temellerinin olu turulmas na daha çok zaman ay rmay ; böylece kavramsal ve i lemsel bilgi ve beceriler aras nda ili kiler kurmay gerektirmektedir. Benimsenen kavramsal yakla mla; ö rencilerin somut deneyimlerinden, sezgilerinden matematiksel anlamlar olu turmalar na ve soyutlama yapabilmelerine yard mc olma amaçlanm r. Bu yakla mla; matematiksel kavramlar n geli tirilmesinin yan s ra, baz önemli becerilerin geli tirilmesi de hedeflenmi tir. Bu beceriler; problem çözme, ileti im kurma, ak l yürütme ve ili kilendirmedir. renciler etkin ekilde matematik yaparken problem çözmeyi, çözümlerini ve dü üncelerini payla may, aç klamay ve savunmay, matemati i hem kendi içinde hem de ba ka alanlarla ili kilendirmeyi ve zengin matematiksel kavramlar ö renirler. Bu program matemati i etkin bir süreç olarak ele al nm r. Bu ya grubundaki ö renciler çevreleriyle, somut nesnelerle ve akranlar yla etkile imlerinden kendi dü üncelerini olu tururlar. Programda ö rencilerin ara rma yapabilecekleri, ke fedebilecekleri, problem çözebilecekleri, çözüm ve yakla mlar payla p tart abilecekleri ortamlar n sa lanmas n önemi vurgulanm r. Bu anlamda matemati in estetik ve e lenceli yönünün ke fedilmesi ve rencilerin etkinlik yaparken matematikle u ra klar n fark nda olmalar önem ta maktad r. Programda ö retmen ve ö renci rollerindeki farkl klar a daki gibi özetlenebilir. rencilerin rolleri: renme sürecinde zihinsel ve fiziksel olarak aktif kat ma, renmelerinden sorumlu olma, Kendini ifade etme, Soru sorma, Sorgulama, dü ünme, tart ma, Problem çözme, Birlikte çal ma, De erlendirme.
retmenin rolleri ve sahip olmas gereken baz özellikler: rencilerin matemati i ö renebilece ine inanma, rencilerin matemati e yönelik tutum geli tirmelerini sa lama, Kendini geli tirme, Yönlendirme, rehberlik yapma, motive etme, Etkinlik geli tirme ve uygulama, Sorgulama, soru sordurma, dü ündürme, tart rma, Ölçme-de erlendirme yapma, nsan haklar na uygun davranma, f içi ve d çal malar nda etik de erlere uygun davranma, f içi ve d çal malar nda öz de erlendirme yapma ve sonuçlar ö renme- ö retme sürecini geli tirmede kullanma, Öz güvene sahip olma, Öz düzenleme becerilerine sahip olma, Mesle ini severek yapma, Bilimsel ara rmalar izleme, ara rma yapma, Okulun geli imine katk sa lama, rencileri tan ma, renme-ö retme ortam düzenleme, renme-ö retme sürecinde zaman etkin kullanma, Aile, kurum, kurulu ve okul çal anlar ile i birli i yapma. 4. PROGRAMIN TEMEL ÖGELER Bu bölümde, program n yap ve içeri ini olu turan bile enler aç klanmaktad r. 4.1. Matematik E itiminin Genel Amaçlar 1. Matematiksel kavramlar ve sistemleri anlayabilecek, bunlar aras nda ili kiler kurabilecek, bu kavram ve sistemleri günlük hayatta ve di er ö renme alanlar nda kullanabileceklerdir. 2. Matematikte veya di er alanlarda ileri bir e itim alabilmek için gerekli matematiksel bilgi ve becerileri kazanabilecektir. 3. Mant ksal tüme var m ve tümden gelimle ilgili ç kar mlar yapabilecektir. 4. Matematiksel problemleri çözme süreci içinde kendi matematiksel dü ünce ve ak l yürütmelerini ifade edebilecektir. 5. Matematiksel dü üncelerini mant kl bir ekilde aç klamak ve payla mak için matematiksel terminoloji ve dili do ru kullanabilecektir. 6. Tahmin etme ve zihinden i lem yapma becerilerini etkin kullanabilecektir. 7. Problem çözme stratejileri geli tirebilecek ve bunlar günlük hayattaki problemlerin çözümünde kullanabilecektir. 8. Model kurabilecek, modelleri sözel ve matematiksel ifadelerle ili kilendirebilecektir. 9. Matemati e yönelik olumlu tutum geli tirebilecek, öz güven duyabilecektir. 10. Matemati in gücünü ve ili kiler a içeren yap takdir edebilecektir.
11. Entelektüel merak ilerletecek ve geli tirebilecektir. 12. Matemati in tarihî geli imi ve buna paralel olarak insan dü üncesinin geli mesindeki rolünü ve de erini, di er alanlardaki kullan n önemini kavrayabilecektir. 13. Sistemli, dikkatli, sab rl ve sorumlu olma özelliklerini geli tirebilecektir. 14. Ara rma yapma, bilgi üretme ve kullanma gücünü geli tirebilecektir. 15. Matematik ve sanat ili kisini kurabilecek, estetik duygular geli tirebilecektir. 4.2. Program n Uygulanmas na li kin Aç klamalar 1. Ders kitaplar n ve di er yard mc materyallerin haz rlanmas, s f içi etkinliklerin planlanmas ve gerçekle tirilmesi için farkl ö renme alanlar n ili kili kazan mlar bir araya getirilerek ve di er derslerle ili kiler ve ön ö renmeler dikkate al narak ünitelendirilmi y ll k planlar haz rlanmal ve bu plana uyulmal r. (6. s f ünitelendirilmi y ll k plan örne i Ek te verilmi tir. 2. Ünitelendirilmi y ll k planlara göre bölümler olu turulmal ve bölümler motivasyonu art racak biçimde isimlendirilmelidir. 3. Programdaki ö renme alanlar, alt ö renme alanlar ve kazan mlar n s ralan, i leni ras de ildir. Ö retme-ö renme etkinlikleri planlan rken farkl ö renme alanlar ndaki ili kili kazan mlar bir arada i lenmelidir. Bu etkinlikler planlan rken ve gerçekle tirilirken kazan mlarla ilgili önceden edinilmi bilgi ve becerilerin etkin olarak kullan lmas na dikkat edilmelidir (Program kitab nda ders içi ili kilendirmeler yap lm r. Uygulamalarda bu ili kilendirmelerin nda ba ka ders içi ili kilendirmeler de yap labilir). 4. retme-ö renme etkinliklerinde ö renci düzeyi, e itim ortam ve çevre etkenleri göz önünde bulundurularak ö rencileri aktif k lan ö retme-ö renme yöntem, teknik ve stratejiler kullan r. 5. Kazan mlar i lenirken ortak ve alana özgü becerilerin, duyu sal özelliklerin, öz düzenleme ve psikomotor becerilerin de kazand lmas na önem verilmelidir. 6. Ders kitaplar n ve di er yard mc materyallerin haz rlanmas, s f içi etkinliklerin planlanmas ve gerçekle tirilmesinde güncel ve günlük ya amla ili kili durumlar ele al r. Program n öngördü ü ili kilendirmeler d nda da ders içi ve di er derslerle ili kilendirmeler zenginle tirilebilir. 7. retme-ö renme etkinliklerinde kazan mlar n edinilmesine yard mc olabilecek uygun görsel, i itsel ve bas araç-gereçler kullan r. 8. retme-ö renme sürecinde, süreç ve ürün de erlendirilmelidir. Programda Ek te verilen ölçme araçlar do rudan kullan labilece i gibi yeniden düzenlenerek veya yeni geli tirilenlerden amaca uygun olanlar seçilerek süreç ve ürünü de erlendirmede kullan lmal r. 9. Bu programa göre haz rlanacak ders kitab, ö renci çal ma kitab ve ö retmen k lavuz kitab n forma say lar a daki tabloda belirtilmi tir. Tablo: Ders Kitab, Ö renci Çal ma Kitab ve Ö retmen K lavuz Kitab n Forma Say lar RENC ÇALI MA RETMEN KILAVUZ DERS K TABI TABI TABI SINIFLAR Kitap Forma Kitap Forma Kitap Forma Boyutu Say Boyutu Say Boyutu Say 6. SINIF 19,5 27,5 12-16 19,5 27,5 8-11 SERBEST SERBEST 7. SINIF 19,5 27,5 12-16 19,5 27,5 8-11 SERBEST SERBEST 8. SINIF 19,5 27,5 12-16 19,5 27,5 8-11 SERBEST SERBEST
4.3. Beceriler 4.3.1. Ortak Beceriler Program, di er derslerin programlar nda (Türkçe, Fen ve Teknoloji, Sosyal Bilgiler vb.) oldu u gibi ö rencilerin a daki ortak becerileri kazanmalar hedeflemektedir: 1. Ele tirel Dü ünme 2. Yarat Dü ünme 3. leti im 4. Ara rma-sorgulama 5. Problem Çözme Becerisi 6. Bilgi Teknolojilerini Kullanma 7. Giri imcilik 8. Türkçeyi Do ru, Etkili ve Güzel Kullanma Matematik dersinin i leni inde bu ortak becerilerin dikkate al nmas gerekmektedir. da bu ortak becerilerle ilgili aç klamalar verilmi tir. Ele tirel Dü ünme: Ele tirel dü ünme; ku ku temelli sorgulay bir yakla mla konulara bakma, yorum yapma ve karar verme becerisidir. Sebep-sonuç ili kilerini bulma, ayr nt larda benzerlik ve farkl klar yakalama, çe itli ölçütleri kullanarak s ralama yapma, verilen bilgilerin kabul edilebilirli ini, geçerlili ini belirleme, analiz etme, de erlendirme, anlamland rma, kar mda bulunma gibi alt becerileri içerir. Yarat Dü ünme: Yarat dü ünme becerisi; ö rencilerin bir temel fikri ve ürünü de tirme, birle tirme yeniden farkl ortamlarda kullanma ya da tamamen kendi dü üncelerinden yola ç karak yeni ve farkl ürünler ve bilgiler üretme, olaylara farkl bakabilme, küçük çapl da olsa baz bulu lar yapabilmeyi kapsar. Ayr nt fikirler geli tirme ve zenginle tirme, sorunlara benzersiz ve kendine özel çözümler bulma, fikirler ve çözümler ortaya ç karma; bir fikre, ürüne çok farkl aç lardan bakma, bütünsel bakma alt becerileri içerir. leti im Becerisi: leti im becerisi; konu ma, dinleme, okuma, yazma gibi sözel ve vücut dili i aret dili gibi sözel olmayan ileti im becerilerini etkili ve bulundu u ortama uygun olarak kullanmay kapsar. Bulundu u ortama uygun olarak kullanmas gereken konu ma üslûbunu belirleme, uygun ekilde hitap etme, vücut dilini gerekti i yerde gerekti i ölçüde kullanma, aktif olarak dinleme, söz hakk verme, grup içerisinde etkin bir ekilde arkada lar yla etkile im içerisinde olma, okurken etkin ve h zl bir ekilde okuma, okudu unu anlama ve ele tirme, yazarken ve konu urken hedef kitleye uygun üslûp kullanma, kendi ve ba kalar n yazd klar ele tirme gibi alt becerileri içerir. Ara rma-sorgulama Becerisi: Ara rma becerisi; do ru ve anlaml sorular sorarak problemi fark etme ve kavrama, problemi çözmek amac yla neyi ve nas l yapmas ile ilgili ara rma planlamas yapma, sonuçlar tahmin etme, ç kabilecek sorunlar göz önüne alma, sonucu test etme ve fikirleri geli tirmeyi kapsar. Anlaml tahminde bulunma, uygun ara rma ortam na karar verme, ara rmada ne tip ve ne kadar delil toplamas gerekti ine karar verme, bilimsel yakla kullanarak ara rmay planlama, nas l gözlem ve k yas yapaca belirleme,
araç gereç kullanma, do ru ve hassas ölçümler yapabilme, sonuçlar sunma yollar belirleme, sonuçlar n tekrar incelenmesi gerekip gerekmedi ine karar verme, bulunanlarla as l fikrin ba lant kurma, bulunanlar uygun bir dille ifade etme, verileri ortaya koyma, sonucu destekleyici verilerin yeterlili ine karar verme, bulunanlar n ilk beklentileri kar lay p kar lamad na karar verme gibi alt becerileri içerir. Problem Çözme Becerisi: Problem çözme becerisi; ö rencinin ya am nda kar na kacak problemleri çözmek için gerekli olan beceriyi kapsar. Alt becerileri ise öyle ralanabilir; problemin anla lmas, gerekirse alt basamaklar n ya da problemin köklerinin bulunmas, problemi uygun ekilde çözmek için planlama yapma, i lemler s ras nda çal malar n gözlenmesi, gerekti inde stratejilerin ve planlar n de tirilmesi, yöntemlerin s nanmas, çözüm amas nda elde edilen veri ve bilgilerin de erlendirilmesi, çözüme ula nca çözümün anlaml n ve i e yararl n de erlendirilmesini ve yeni problemleri fark etmesini içerir. Bilgi Teknolojilerini Kullanma Becerisi: Bilgi Teknolojilerini kullanma becerisi; bilginin ara lmas, bulunmas, i lenmesi, sunulmas ve de erlendirilmesinde teknolojiyi kullanabilme becerilerini kapsar. Bilgi teknolojilerini yerinde kullanma konusunda do ru karar verme, bilgi teknolojilerini kullan rken planlama yapma, bu teknolojilerin kullan lmas için gerekli becerilere sahip olma, bu kaynaklardan bilgiye ula ma, taranan bilgilerin i e yararl sezme ve ay rma, ayr lan bilgileri analiz etme, i e yarayanlar seçme, seçilen bilgileri de erlendirme, sonuca varma, sonucu uygun formda sunma ve yeni alanlarda kullanma alt becerilerini içerir. Giri imcilik Becerisi: Giri imcilik; sosyal ili kilerde, ileti imde, i dünyas nda ve benzeri alanlarda gerekli ve etkili davran lar uygun bir ekilde ve uygun zamanda ortaya koymak veya talep görebilecek bir ürünü veya hizmeti daha iyi üretebilmek ya da pazarlayabilmek amac yla yeni bir sistem kurmak için gerekli olan becerilerdir. Giri imcilik; empati kurma, insan ili kilerinde uyumlu davran lar gösterebilme, plan yapma, planlar uygulayabilme, risk alma; herhangi bir alanda ihtiyaç duyulabilecek bir ürünün gereklili ini sezme, ürünü planlama, üretme, pazar ara rmas yapma, pazarlayabilme gibi alt becerileri içerir. Türkçeyi Do ru, Etkili ve Güzel Kullanma Becerisi: Türkçeyi do ru, etkili ve güzel kullanma becerisi; okudu unu, dinledi ini, gördü ünü, do ru, tam ve h zl olarak anlayabilme; duygu, dü ünce, hayal ve isteklerini aç k ve anla r bir ekilde eksiksiz ifade edebilme, Türkçe nin kurallar na uygun cümleler kurma, zengin bir söz varl na sahip olma ve estetik bir bak aç kazanma gibi alt becerileri içerir. 4.3.2. Alana Özgü Beceriler Program, yukar da belirtilen ortak becerilerle birlikte problem çözme, ileti im, ili kilendirme ve ak l yürütme gibi temel matematik becerilerin üzerinde önemle durmaktad r. Matematik dersinin i leni inde bu alana özgü becerilerin de dikkate al nmas gerekmektedir. Bu becerilerle ilgili bilgiler ve Matematik dersi için ta önem a da aç klanm r. Problem Çözme: Problem çözme Matematik dersinin ayr lmaz bir parças r. Problem, çözüm yolu önceden bilinen al rma ve soru olarak alg lanmamal r.bir matematiksel durumun problem olabilmesi için farkl birkaç bilgi becerilerin birlikte kullan lmas na ihtiyaç duyulmal ve
al agelmi çözüm yolu olmamal r. Problem, ö renci ya ant yla ilgili olmal, ilgi çekmeli ve ihtiyaç hissettirmelidir. Bu durumda ö rencilerin, kazand klar matematiksel bilgi ve beceriler daha anlaml olacak ve bu bilgiyi farkl durumlara uygulamalar kolayla acakt r. Matematik dersinde aç k uçlu problemlere de yer verilmelidir. Bu problemler birden fazla strateji kullanarak çözülebilen veya farkl sonuçlar elde edilen türdendir. Problem çözmeye algoritmik ve kural temelli yakla lmamal r. Ö rencilere problem üzerinde u ra malar için f rsat tan nmal ve yarat olmalar için ortam düzenlenmelidir. Problem çözme, ba ba na konu de il bir süreçtir. Bu süreçte, problem çözme becerilerinin kazand lmas ve kullan lmas hedeflenmi tir ve büyük önem ta maktat r. Problem çözme kapsaml bir ekilde ele al nmal r. Ö rencilerin problemleri farkl yollardan çözebilece i ve problem çözme ile ilgili dü üncelerini akran ve ö retmenleriyle rahatl kla payla abilece i s f ortamlar olu turulmal r. Ayr ca ö renciler, problem çözme sürecinde farkl çözüm yollar na de er vermeyi ö renmelidir. rencinin problemi nas l çözdü ü, problemdeki hangi bilgilerin bu çözüme katk da bulundu u, problemi nas l temsil etti i (tablo, ekil, somut nesne vb.), seçti i stratejinin ve temsil biçiminin çözümü nas l kolayla rd üzerinde durulmal r. Problem çözme sürecinde ö renci problemi dikkatli okumal, problemi anlamal (verilenleri istenenleri belirlemeli, kendi cümleleri ile problemi aç klamal, ne soruldu unu belirlemeli), plan yapmal (plan yaparken eksik veri olup olmad na dikkat etmeli kullanaca stratejilere karar vermeli), plan uygulamal ve ula sonucun do rulu unu veya anlaml kontrol etmelidir. Kontrol sadece sonda de il süreç boyunca yap lmal r. Ayr ca çözülmü problemlerin varyasyonlar eklinde problemlerin olu turmas na f rsat tan nmas büyük önem ta maktad r. Problem çözüldükten sonra verilerden biri veya bir kaç de ti inde neler olaca üzerinde durulmal r. Problem çözümü genelleme yapmaya uygunsa genelleme yap lmal r. Problem farkl strateji kullanarak çözmeye uygunsa farkl strateji kullanarak çözülmelidir. Problem çözme becerileri kazand rken izlenen ad mlar ö renciler için anlams z hale getirilmemelidir. renciler, problem çözerken farkl stratejiler kullanabilmelidir. Problem çözme yollar renciye do rudan verilmemeli, ö rencilerin kendi çözüm yollar olu turmalar için uygun ortam sa lanmal r. S f içi tart malarla, en iyi çözüm yollar na birlikte karar verilmelidir. Problem kurma, problem çözmenin ad mlar ndan biri olabilece i gibi ba ms z olarak da kullan labilir. Bireysel olarak, grupça veya s fça problem kurma çal malar yapt labilir. renciler, problemi her zaman tam olarak çözmek zorunda b rak lmamal r. Problemin farkl biçimde ifade edilmesi, istenenlerin farkl biçimde ifade edilmesi vb sorular sorulabilir. Problemde eksik veya fazla bilgi olup olmad sorulabilir. E er eksik bilgi varsa bunu tamamlay p çözmesi istenebilir. Problem çözümünde hangi verilerin kullan laca veya planla ilgili sorular sorulabilir. Problemin cevab n bulunmas ile ilgili sorular sorulabilir. Cevab n do rulu u veya anlaml olup olmad sorgulanabilir. renciler, problem çözme sürecinde ba ar kazand kça, kendi çözüm yollar na de er verildi ini hissettikçe, kendilerinin de matemati in yapabileceklerine ili kin güvenleri artar. Böylece ö renciler problem çözerken daha sab rl ve yarat bir tutum içine girerler. Matemati i kullanarak ileti im kurmay ö renirler ve üst düzey dü ünme becerilerini geli tirirler. Problemler
sadece problem çözme becerilerini kazand rmak için de il motivasyon uyand rmak ve matematik ö renilmesini sa lamak için de kullan lmal r. Matematiksel ak l oyunlar, ba nt ya ula ma, verilen bilginin do rulu unu gösterme, geometrik çizimleri kullanarak isteneni gerçekle tirme, bir sorunu çözmek için araç-gereç geli tirme, origami etkinlikleri vb. kullan larak rencilerin problem çözme becerileri geli tirilebilir. Ö rencilerin, problem çözme süreçlerindeki ra lar sorgulat lmal, bu süreçte ve sonras ndaki ya ant lar hakk ndaki duygu ve dü ünceleri ifade ettirilmelidir. Programda, ö rencilerin problem çözme becerilerinin geli imine önem verilmektedir. Bunun için ö rencilerde a dakilerin kazand lmas hedeflenmi tir: Matemati i ö renmek için problem çözmeden yararlan r. Problem çözmenin ö renmeye katk sa layaca na ili kin fark ndal k geli tirir Ya ant nda, di er derslerde ve matematikte kar la yeni bir durumda problem çözme becerisini kullan r. Problem çözme ad mlar anlaml bir ekilde uygular. Problem çözmenin yan s ra kendi problemlerini de kurar. Problem çözmede öz güven duyar. Problem çözme ile ilgili olumlu duygu ve dü üncelere sahip olur. Problem Çözme Stratejilerinin Seçilmesi ve Uygulanmas De ik problemleri çözebilmek için farkl problem çözme stratejileri kullanma becerileri kazand lmal r. Deneme-yan lma ekil, resim, tablo vb. kullanma Materyal (malzeme) kullanma Sistematik bir liste olu turma Örüntü arama Geriye do ru çal ma Tahmin ve kontrol etme Varsay mlar kullanma Problemi ba ka bir biçimde ifade etme Problemi basitle tirme Problemin bir bölümünü çözme Benzer bir problem çözme Ak l yürütme lem seçme Denklem kullanma Canland rma vb.
Problem çözmede, stratejiler bazen tek ba na kullan labilece i gibi bir kaç strateji birlikte kullan labilir. Problem çözme becerileri de erlendirilirken farkl stratejiler kullan larak çözülebilecek problemlere yer verilmelidir. da problem çözmede strateji kullan yla ilgili bir senaryo verilmi tir: retmen: Her hangi bir çokgenin içi aç lar n ölçülerinin toplam nas l belirleyebiliriz. Buradaki çokgenden kasdettigim d bükey çokgenlerdir. Problemi kendi cümlelerinizle aç klar z? Ay egül: Çokgenlerin iç aç lar n ölçülerinin toplam hesaplamam z gerekiyor. retmen: Bu problemi çözmek için neler yapmam z gerekiyor? Niyazi: Örüntü arama stratejisini kullanabiliriz. Bunun için ilk önce çokgenin isminin, kenar say n, iç aç lar n ölçüleri toplam n yaz labilece i bir tablo olu turulabilir. Tablo: Çokgenin ç Aç lar n Ölçülerinin Toplam le lgili Örüntü Arama Çokgenin smi Kenar Say ç Aç lar n Ölçülerinin Toplam Üçgen 3 180 Dörtgen 4 360 Be gen 5 540 Alt gen 6 720 n-gen n Asl han: Çokgenlerin iç aç lar n ölçülerinin toplam 180 nin katlar eklinde yaz labilir. Örne in; dörtgende 360 lik aç 2 180, be gende 540 lik aç 3 180 eklinde ifade edilebilir. retmen: Buradaki 2 ve 3 ile tablodaki ba ka bir veri aras nda ili ki kurulabilir mi? Yasemin: Bu kat say lar ait olduklar çokgenin kenar say n 2 eksi i eklinde yaz labilir. retmen: Bu durumu nas l genelleyebiliriz? Utkun: Çokgene ait kenar say n 2 eksi ini 180 ile çarpabiliriz. Demet: n kenarl bir çokgenin iç aç lar n ölçülerinin toplam n matematik cümlesini yazabiliriz. (n-2) 180 retmen: Çokgene ait kenar say n 2 eksi ini 180 ile çarpt zda çokgenin iç aç lar n ölçülerini hesaplayabiliriz. Bunu dokuzgen için deneyelim. Oktay: (9-2) 180 = 1260 Hanife: Çokgenler çizilerek örüntü aranabilir. Çokgendeki üçgen say ile aç ölçüleri aras nda ili ki var. Yani üçgen say 180 ile çarpmam gerekiyor. Üçgen say çokgenin kenar say n 2 eksi ine e it oldu undan çokgenin iç aç lar n toplam (n-2) 180 i lemini yaparak bulabiliriz.
Kerem: Dokuzgen içine üçgenler çizerek dokuzgenin iç aç lar n ölçülerinin toplam hesaplad m ve 1260 buldum. retmen: n kenarl bir çokgenin iç aç lar n ölçülerinin toplam kenar say n 2 eksi ini 180 ile çarparak bulabiliriz. Ba ka bir deyi le, (n-2) 180 den yararlanarak d bükey çokgenlerin iç aç lar n ölçülerinin toplam hesaplayabiliriz. Uygun aral klarla bir problemin çözümünden hemen sonra ö rencilerin problem çözme stratejileri ile ilgili öz de erlendirme yapmalar istenir. Böylece ö renciler, de erlendirme sürecine kat lm olur ve problem çözme stratejilerini ne kadar bildikleri ve uygulad klar görülebilir. Bu çal may ders y n ilk dört ay nda yapmak yeterli olabilir. Çünkü bu zaman diliminde ö renciler stratejiler hakk nda bilgi sahibi olurlar. Problem çözme stratejilerini ne kadar biliyorum? Problem çözerken kulland z stratejileri dü ününüz ve kulland aretleyiniz. 1. Problemleri çözerken bir strateji kullanmay hiç dü ünmedim. ( ) 2. Problemleri çözerken strateji kullanmak akl ma geliyor ama bunun üstünde çok durmuyorum. ( ) 3. Problem çözme strateji listesine bakt m, ama bir strateji seçemedim. ( ) 4. Problem çözme strateji listesine bakt m, bir strateji seçtim ve uygulad m. ( ) 5. Problem çözme strateji listesine bakmad m, ama strateji kullanmay dü ündüm. ( ) 6. En az bir strateji kulland m ve bu strateji problemi çözmemde bana yard m etti. ( ) 7. daki stratejileri kulland m: Tahmin ve kontrol etme ( ) ekil, resim, tablo vb. kullanma ( ) Örüntü arama ( ) Benzer bir problem çözme ( ) Denklem kullanma ( ) Di erleri leti im: Matematik aralar nda anlaml ili ikler bulunan, kendine özgü sembolleri ve terminolojisi olan evrensel bir dildir. Matematik dilinin do ru ve etkili bir ekilde kullan labilmesi için ö renciler için anlaml olmal ve ihtiyaç hissetmelidir. Matematikle u ra ma sürecinde ve sonras nda sözlü anlat mdan, yaz ifadeden, resimden, grafikten ve somut modellerden yararlanmak büyük önem ta maktad r. Matematik hakk nda konu ma, yazma ve dinleme ileti im becerilerini geli tirirken ayn zamanda ö rencilerin matematiksel kavramlar daha iyi anlamalar na da yard mc olur. retmen, ö rencilerin dü üncelerini aç klayabilece i, tart abilece i ve yaz ile anlatabilece i
f ortamlar olu turmal ve ö rencilerin daha iyi ileti im kurabilmesi için uygun sorgulamalarda bulunmal r. Programda, ö rencilerin ileti im becerilerinin geli imine önem verilmektedir. Bunun için rencilere a dakilerin kazand lmas hedeflenmi tir: Matemati in sembol ve terimlerini etkili ve do ru kullan r. Matemati in aralar nda anlaml ili kiler bulunan, kendine özgü sembolleri ve terminolojisi olan bir dil oldu unu fark eder. Matematiksel dili matemati in kendi içinde, farkl disiplinlerde ve ya ant nda uygun ve etkili bir biçimde kullan r. Matematiksel kavramlar, i lemleri ve durumlar farkl temsil biçimlerini kullanarak ifade eder. Matematikle ilgili konu malar dinler ve anlar. Duygu ve dü üncelerini aç klarken farkl temsil biçimlerinden yararlan r. Matematik dilini kullanmada öz güven duyar. Matematik dilinin kullan ile ilgili olumlu duygu ve dü üncelere sahip olur. Ak l Yürütme: Matematik yaparken ak l yürütme (muhakeme) becerilerinin geli tirilmesi için ortamlar haz rlanmal r. Matematikle ilgili bilgi ve becerilerin okul hayat ve okul ndaki hayat kolayla rmada kazan lm olunan ak l yürütme becerilerinin de eri konusunda rencilerde fark ndal k yaratmak büyük bir önem ta maktad r. Programda, ö rencilerin ak l yürütme becerilerinin geli imine önem verilmektedir. Bunun için ö rencilere a dakilerin kazand lmas hedeflenmi tir: renme sürecinde ak l yürütmeyi kullan r. Ya ant nda, di er derslerde ve matematikte ak l yürütme becerisini kullan r. Matematik ö renirken genellemeler ve ç kar mlar yapar. Matematikteki ve matematik d ndaki ç kar mlar n do rulu unu savunabilir. Yapt ç kar mlar n, duygu ve dü üncelerinin geçerlili ini sorgular. Ak l yürütmede öz güven duyar. Ak l yürütme ile ilgili olumlu duygu ve dü üncelere sahip olur. Tahmin Stratejileri: Hem günlük ya ant zda hem de bilimsel süreçlerde tahmin s kça kullan r. Örne in; arkeolojik kaz larda bulunan nesnelerin ne kadar eski oldu unu belirlemede, ülkelerin ve ehirlerin nüfuslar belirlemede ve daha pek çok yerde tahmine ba vurulur. Tahmin günlük ya ant zda bazen gerçek ölçümler kadar kullan r. Matematik ö retim program nda iki temel tahmin stratejisi ele al nmaktad r: 1. lemsel tahmin 2. Ölçmeye dayal tahmin
1. lemsel Tahmin: lemsel tahmin, aritmetik i lemlerin sonuçlar n hesap yap lmadan yakla k olarak belirlenmesidir. lemsel tahmin becerisi geli mi ki ilerin, genel matematik becerilerinin de iyi oldu u gözlemlenmektedir. Tahmin yaparken bir tak m stratejiler kullan labilir. Baz i lemsel tahmin stratejileri a da verilmi tir. lemsel tahminde kullan labilecek stratejiler burada verilenlerle s rl de ildir. Ders s ras nda burada sunulanlara benzer tahmin stratejileri kullan labilece i gibi ö rencilerin geli tirebilecekleri tahmin stratejileri de desteklenmelidir. Yuvarlama: lemdeki say lar n uygun de erlere (ileriye veya geriye) yuvarlanarak sonucun tahmin edilmesidir. Örnek: 150+237 i leminin sonucu tahmin edilirken 237 say 250 ye yuvarlanabilir ve sonra 150 ile toplanabilir. 237 say 200 e yuvarlanabilir ve sonra 150 ile toplanabilir. Örnek: 27 75 i leminin sonucunu tahmin etmek için say lar yuvarlan r: 30 70=2100 Burada dikkat edilece i gibi say lardan bir tanesi yukar daki onlu a di eri ise a daki onlu a yuvarlanm r. Böylece daha iyi bir tahmin elde edilmi tir. Her ikisi de yukar yuvarlanm olsayd daha uzak bir tahmin elde edilecekti. Grupland rma: lemdeki say lar, belirli bir de ere yak n ise say lar bu de er/de erler baz nda grupland larak sonuç tahmin edilir. Örnek: 330+330+330 i leminin sonucu tahmin edilirken 330 3=990 i lemi yap labilir. Örnek: 4234+3971+4020+3840+4160 i lemindeki say lar n her biri 4000 e yak nd r. 5 ile 4000 çarp larak i lemin sonucu 20 000 olarak tahmin edilir. Örnek: 3 8 + 1 4 i leminin sonucu tahmin edilirken 3 8 yakla k olarak 1 al r. O halde toplam 4 yakla k olarak 2 1 4 = 1 2 dir. Uyu an Say lar Kullanma: Zihinden hesaplanmas kolay olan say lar grupland larak sonucun tahmin edilmesidir. Örnek: 32+48+54+18+69 i leminde 32+69 i leminin sonucu 100; 48+54 i leminin sonucu da 100 olarak tahmin edilir. 18 de hesaba kat larak sonuç yakla k 218 olarak tahmin edilir. lk veya Son Basamaklar Kullanma: En soldaki veya en sa daki basamaklar n toplanarak sonucun tahmin edilmesidir. Örnek: 1900+3050+609 i leminin sonucu tahmin edilirken verilen say lar n en soldaki basamak de erleri toplanarak 1000+3000+600 = 4600 i lemin sonucu tahmin edilir. Örnek: 3,4+4,7+3,2+6,8+9,2 say lar toplarken önce 3+4+3+6+9 toplam bulunur. Bulunan sonuç en sonda bulunan basamaklar üzerinde çal arak düzeltilir: 0,7 ile 0,4 ün toplam yakla k 1; 0,8 ile 0,2 nin toplam da 1 etti inden 25 e 2 eklenerek i lemin sonucunu 27 olarak tahmin edilir.
Özel Say lar: Genellikle kesirlerle yap lan i lemlerde kullan lan bu stratejide say lar n belirli özel say lara yak nl na dikkat edilerek i lemlerin sonucu tahmin edilir. Kesirlerde bu özel say lar 1, 0 ve 1 2 dir. Örnek: 1 5, 5 6, 3 8 kesirleri yuvarlan rken 1 0,,1 e olan yak nl klar sorgulat r. 2 0 1 1 1 2 3 5 5 8 6 Örnek: 1 2 + 5 6 i leminin sonucu tahmin edilirken 1 2 0,5; 5 ise yakla k olarak 1 oldu una 6 göre toplam 1,5 tir. 13 15 + 1 18 + 5 13 i leminin sonucu 1,5 olarak tahmin edilebilir. Çünkü kesri 1 e, 9 15 1 18 kesri 0 a ve 5 9 kesri de 1 e yak nd r. 2 1 3 Örnek: 5 4 leminin sonucu, 7 4 1 5 5 7 1 3 5 4 5 5 1 olarak tahmin ettirilir. 3 7 4 4 5 4 lem yapt ld ktan sonra da sonuç tahmin ettirilebilir. 1 3 36 19 36 4 144 11 5 4 1 1 7 4 7 4 7 19 133 133 Say lar n yüzdeleri bulunurken tahminden yararlan labilir. Örnek: 239 say n %25 i tahmin edilirken; 1 0 (Pay, paydadan oldukça küçük) 5 5 1 (Pay, paydaya oldukça yak n) 6 3 1 (Pay, paydan n yar na yak n) 8 2 ra yak n
239 say 240 a yuvarlan r. %25 1 4 olarak ifade edilebildi inden 240 n 1 i 60 t r. 4 Örnek: 298 say n %52 si tahmin edilirken 298 say 300 e yuvarlan r. %52 say %50 olarak al narak 1 2 olarak ifade edilebilir. 300 say n 1 i 150 dir. 2 %1 lik yönteme göre tahmin edilirse; 300 say n %1 i 3 tür. 50 (%1)= 50 3=150 Da lma: 76 89 i leminin sonucu tahmin edilirken (76 100) (76 10)=7600 760 biçiminde dönü türülerek sonuç yakla k 6800 olarak tahmin edilir. Düzenleme ve Düzeltme: Bu strateji elde edilen tahminsel sonucu gerçek sonuca daha uygun ve daha yak n hale getirmek için kullan r ve iki a amada gerçekle ir: 1. lemin ortas nda yap lan düzenleme ve düzeltme. 2. lemin sonunda yap lan düzenleme ve düzeltme. Örnek: 2124 13 i lemini bu stratejiyi kullanarak yapal m: 2124 13=(2100+24) (10+3) 2100 10=21 000 ise bu i lemdeki hata pay, (2100 3)+(24 13) olur. 2100 2000 e yuvarlanarak 2000 3=6000 21 000+6000=27 000 24 30 a; 13 10 a yuvarlanarak 30 10=300 27 000+300=27 300 2. Ölçmeye Dayal Tahmin: Ölçmeye dayal tahmin; herhangi bir ölçme arac kullanmadan ölçülerin yakla k olarak belirlenmesidir. Ölçmeye dayal tahminde kullan lan en yayg n strateji belirli bir referans noktas n dikkate al nmas r. Bu stratejide ölçüsü tahmin edilecek nesne, bilinen (zihindeki) bir referans ölçüsü ile kar la r. Örne in; uzakl klar tahmin ederken futbol sahas n uzunlu u zihinde canland labilir. Çokluklar tahmin edilirken kullan lan strateji ölçmeye dayal tahminde kullan lan referans seçme stratejisi ile ayn r. Örne in; bir kavanoz içindeki leblebilerinin say tahmin ederken referans olarak bir avuç leblebi say seçilebilir. Kavanozun kaç avuç leblebiyle dolabilece i tahmin edilir. Bir avuca 70 tane leblebi s yorsa ve kavanozun da 20 kerede doldurulabilece i tahmin ediliyorsa kavanozdaki toplam leblebi say tahmin edilebilir. Di er bir örnek ise; bir futbol maç s ras nda stadyumda bulunan seyircilerin say r. Referans olarak stadyumun bir oturma alan seçilir. Bu alana dü en insan say tahminen hesaplan r. Tüm stadyumdaki oturma alan n, referans al nan alan n kaç kat oldu u bulunarak toplam seyirci say tahmin edilebilir. Bir koli elma, tart ld nda kaç kilogram gelebilece ini tahmin etmek için; önce bir elman n kaç gram gelebilece i tahmin edilerek referans al r. Bu kolinin kaç elma alabilece i tahmin edilerek kolinin kaç kilogram gelebilece i tahmin edilebilir. Di er bir örnek olarak da bir deponun hacminin, seçilen bir kolinin hacmi cincinden tahmin edilmesi olabilir.