JEODEZİK VERİLERİN İSTATİSTİK ANALİZİ Prof. Dr. Mualla YALÇINKAYA Karadeniz Teknik Üniversitesi, Harita Mühendisliği Bölümü Trabzon, 08
DENGELEYİCİ FONKSİYONLAR
Dengeleyici Fonksiyonlar Fonksiyonun Türünün Belirlenmesi - Fonksiyonun türü ve derecesi önceden bilinirse Örneğin: Sıcaklıkla metallerin uzaması arasındaki ilişki doğrusal (. Dereceden) Yükseklikle hava basıncı arasında doğrusal ilişki (. Dereceden) Sarkaçlarda salınım periyodu ile sarkaç boyu arasında. Dereceden bir bağıntı
Fonksiyonun Türünün Belirlenmesi - Fonksiyonun türü ve derecesi önceden bilinmiyorsa Eldeki verilerle grafik çizilerek fonksiyonun türü ve derecesi belirlenir. Parametrelerin anlamlılık testi yapılarak fonksiyon genişletilir. Parametrelerin anlamlı olduğunda birim ölçünün ortalama hatasının en küçük olduğu polinom en uygundur.
DENGELEYİCİ EĞRİ
Dengeleyici Eğri y i = f(x i ) Fonksiyon (x i, y i ) : Nokta koordinatları y i = a 0 + a x i Dengeleyici Doğru y i = a 0 + a x i + a x i + a 3 x i 3 + Dengeleyici Eğri
Dengeleyici Doğru y i = a 0 + a x i y i + v yi = a 0 + a x i i=,,,n (n:nokta sayısı) u= parametre sayısı (a 0, a ) v yi = a 0 + a x i y i v y v y v yn = x x x n V = Ax l a 0 a y y y n A = x = a 0 a l = y y y n x x x n
Dengeleyici Doğru V = Ax l Düzeltme Denklemi x = (A T A) A T l Dengeleme Bilinmeyenleri Q xx = (A T A) = q a 0 a 0 q a0 a q a0 a q a a Bilinmeyenlerin Ters Ağırlık Matrisi Q vv = E AQ xx A T Düzeltmelerin Ters Ağırlık Matrisi m 0 = ± VT V n u Birim Ölçünün Ortalama Hatası f = n u Fazla Ölçü Sayısı
Dengeleyici Doğru Uyuşumsuz Ölçüler Testi s 0i = f ( VT V v i ) q vivi Q vv = E AQ xx A T T i = s 0i v i q vivi Test Büyüklüğü T i(max) t f, α ise i. ölçü uyuşumsuz
Dengeleyici Doğru Parametrelerin Anlamlılık Testi m a0 = ±m 0 m a = ±m 0 q a0 a 0 q a a Q xx = (A T A) = q a 0 a 0 q a0 a q a0 a q a a T a0 = a 0 m a0 T a0 t f, α ise a 0 parametresi anlamlı, model genişletilir. T a = a m a T a t f, α ise a parametresi anlamlı, model genişletilir.
Uygulama y i = a 0 + a x i
Uygulama y i = a 0 + a x i v y = a 0 + a x y v y = a 0 + a x y v y7 = a 0 + a x 7 y 7 v y v y v y3 v y4 v y5 v y6 v y7 = 3 4 5 6 7 a 0 a 0. 5. 5. 0 4. 0 3. 5 6. 0 5. 5 y i = 0. 073 + 0. 839x i V = Ax l x = (A T A) A T l a 0 = 0. 073 a = 0. 839
Dengeleyici Eğri y i = a 0 + a x i + a x i y i + v yi = a 0 + a x i + a x i i=,,,n (n:nokta sayısı) u=3 parametre sayısı (a 0, a, a ) v yi = a 0 + a x i +a x i y i v y v y v yn = x x x x x n x n a 0 a a y y y n V = Ax l
Dengeleyici Eğri V = Ax l Düzeltme Denklemi x = (A T A) A T l Dengeleme Bilinmeyenleri Q xx = (A T A) = q a0 q a a0 a 0 q a0 a q a0 a q a a q a a q a0 a q a a q a a Bilinmeyenlerin Ters Ağırlık Matrisi Q vv = E AQ xx A T Düzeltmelerin Ters Ağırlık Matrisi m 0 = ± VT V n u Birim Ölçünün Ortalama Hatası f = n u Fazla Ölçü Sayısı
Dengeleyici Eğri Genişletilmiş Modelde Parametrelerin Anlamlılık Testi m a = ±m 0 q a a T a = a m a T a t f, α ise a parametresi anlamlı, model genişletilir.
Uygulama y i = a 0 + a x i + a x i
Uygulama y i = a 0 + a x i + a x i v y = a 0 + a x + a x y v y = a 0 + a x + a x y v y5 = a 0 + a x 7 + a x 5 y 5 v y v y v y3 v y4 v y5 v y6 = 0 0 4 3 9 4 6 5 5 a 0 a a. 7. 7 3. 6 7. 40. 09 6. y i =. 479 +. 359x i +. 86x i V = Ax l x = (A T A) A T l a 0 =. 479 a =. 359 a =. 86
Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma y i = a 0 x i a Her iki tarafın doğal logaritması alınır. i=,,,n (n:nokta sayısı) u= parametre sayısı (a 0, a ) lny = ln a 0 x a lny = Y lny = ln a 0 + a ln(x) ln a 0 = C Y = C + BX a = B ln x = X
Y = C + BX Y i + v i = C + BX i v v v n = V = Ax l X X X n x = (A T A) A T l C B Y Y Y n Düzeltme Denklemi Dengeleme Bilinmeyenleri Q xx = (A T A) = q CC q BC Q vv = E AQ xx A T q BC q BB Bilinmeyenlerin Ters Ağırlık Matrisi Düzeltmelerin Ters Ağırlık Matrisi m 0 = ± f = n u VT V n u Birim Ölçünün Ortalama Hatası Fazla Ölçü Sayısı
Üstel Fonksiyonlara Eğri Uydurma Parametrelerin Anlamlılık Testi m C = ±m 0 m B = ±m 0 q CC q BB T C = C m C T C t f, α ise C parametresi anlamlı, model genişletilir. T B = a B m B T B t f, α ise B parametresi anlamlı, model genişletilir.
Uygulama 3 y = a 0 x a
Uygulama 3 y = a 0 x a Y i + v i = C + BX i v y v y v y3 v y4 v y4 =. 0. 3. 6. 9 3. C B 5. 7. 5 0. 6 4. 4 9. 0 V = Ax l x = (A T A) A T l C = 0. 34 B =. 800 C = ln a 0 = 0. 34 a 0 = e 0.34 = 0. 73 B = a =. 800 y = 0. 73x.8
DENGELEYİCİ YÜZEY
Dengeleyici Yüzey z i = f(x i, y i ) Dengeleyici Yüzey (x i, y i, z i ): Nokta koordinatları z i = a 00 + a 0 x i + a 0 y i + a 0 x i + a x i y i + a 0 y i +
Dengeleyici Yüzey z i + v zi = a 00 + a 0 x i + a 0 y i + a 0 x i + a x i y i + a 0 y i + v zi = a 00 + a 0 x i + a 0 y i + a 0 x i + a x i y i + a 0 y i z i V = Ax l
Dengeleyici Yüzey v zi = a 00 + a 0 x i + a 0 y i + a 0 x i + a x i y i + a 0 y i z i v zi = a 00 + a 0 x i + a 0 y i z i v z v z v zn = x y x y x n y n a 00 a 0 a 0 z z z n V = Ax l
Dengeleyici Yüzey V = Ax l Düzeltme Denklemi x = (A T A) A T l Dengeleme Bilinmeyenleri Q xx = (A T A) = q a00 q a a00 a 00 0 q a00 a 0 q a00 a 0 q a0 a 0 q a0 a 0 q a00 a 0 q a0 a 0 q a0 a 0 Bilinmeyenlerin Ters Ağırlık Matrisi Q vv = E AQ xx A T Düzeltmelerin Ters Ağırlık Matrisi m 0 = ± VT V n u Birim Ölçünün Ortalama Hatası f = n u Fazla Ölçü Sayısı
Dengeleyici Yüzey Uyuşumsuz Ölçüler Testi s 0i = f ( VT V v i ) q vivi Q vv = E AQ xx A T T i = s 0i v i q vivi T i(max) ise i. ölçü uyuşumsuz
Dengeleyici Yüzey Parametrelerin Anlamlılık Testi m a00 = ±m 0 m a0 = ±m 0 m a0 = ±m 0 q a00 a 00 q a0 a 0 q a0 a 0 Q xx = q a00 q a a00 a 00 0 q a00 a 0 q a00 a 0 q a0 a 0 q a0 a 0 q a00 a 0 q a0 a 0 q a0 a 0 T a00 = a 00 m a00 T a00 t f, α ise a 00 parametresi anlamlı, model genişletilir. T a0 = a 0 m a0 T a0 t f, α ise a 0 parametresi anlamlı, model genişletilir. T a0 = a 0 m a0 T a0 t f, α ise a 0 parametresi anlamlı, model genişletilir.
Dengeleyici Yüzey v zi = a 00 + a 0 x i + a 0 y i + a 0 x i z i i=,,,n (n:nokta sayısı) u=4 parametre sayısı (a 00, a 0, a 0, a 0 ) v z v z v zn = x y x x y x x n y n x n a 00 a 0 a 0 a 0 z z z n V = Ax l
Dengeleyici Yüzey V = Ax l x = (A T A) A T l m 0 = ± VT V n u m a = ±m 0 q a a T a0 = a 0 m a0 T a 0 t f, α ise a 0 parametresi anlamlı, model genişletilir.