.. MAK MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BİLGİSAYAR UYGULAMALARI Polinom MATLAB p=[8 ] d=[ - ] h=[ -] c=[ - ] POLİNOMUN DEĞERİ >> polyval(p, >> fx=[ -..9 -. -.9.88]; >> polyval(fx,9) ans =. >> x=-.:.:.; >> y=polyval(fx,; >> plot(x,y) >> grid - - - - - -
.. POLİNOMUN KÖKLERİ POLİNOMUN KÖKLERİ >> r=roots(p) >> r=roots(p) KÖKLERİ BELLİ OLAN POLİNPMUN BULUNMASI >> p=poly(r) a =... -.. >> p=poly(a) p = Columns through. -..9 -. -.9.88 >> >> p=[ - - -]; >> p=[ - -]; >> p=p+[ p] p = Columns through.. -. -.. -.
.. BÖLME >> [q,r]=deconv (u,v) >> p=[ - - -]; >> p=[ - -]; >> p=conv(p,p) p = 9 - -8-99 - - - u; paydaki polinom katsayı vektörü, v; paydadaki polinom katsayı vektörü, q; bölme işlemindeki bölüm polinomunun katsayı vektörü, r; bölme işlemindeki kalan polinomunun katsayı vektörü, BÖLME x p( >> u=[ 9 -]; >> v=[ ]; [a,b]=deconv(u,v) >> [q,r]=deconv (u,v) 9x x x BÖLME x p >> w=[ - -]; >> s=[ -]; >> [q,h]=deconv(w,s) >> [q,r]=deconv (u,v) x ( x x x a= b= - q= h= - x x x x x x
.. Polinom TÜREVİ >> k= polyder (p) % p polinomunun türevini bulur. >> k= polyder (a,b) % a, b ile verilen iki polinomun çarpımının türevini bulur. >> [n,d] = polyder(u,v) % u, v ile verilen iki polinomun bölümünün türevini bulur. f( x x ve f( x df ( a) d b) ( f dx ( * f( x dx c) >> f=[ - ]; >> f=[ ]; >> k=polyder(f) k= df ( - >> d=polyder(f,f) dx k= d - 8 - >> [n,d]=polyder(f,f) dt f * n= - d f d= dt f d dx f ( f( x f x x 8x x x x x EĞRİ UYDURMA >> p= polyfit(x,y,n) Burada, p ; uydurulan polinomun katsayılar vektörü x ; verilerin yatay koordinattaki değerleri (bağımsız değişken) y ; verilerin düşey koordinattaki değerleri (bağımlı değişken) n ; uydurulacak eğrinin derecesini temsil eder. Örneğin n= ise doğru denklemi, n= ise parabolik gibi. EĞRİ UYDURMA >> p= polyfit(x,y,n) (.9,.9), (.,.), (,.), (,.), (,.), (8,.9), ve (9.,.) noktalarından oluşan bir veri grubumuz olsun. >> x=[.9. 8 9.]; >> y=[.9.....9.]; >> plot(x,y,'o') >> p=polyfit(x,y,); >> y=polyval(p,; >> hold on >> plot(x,y) >> p p =.8.9
Y X 9 8 8 9.. EĞRİ UYDURMA EĞRİ UYDURMA y=.8 X +.9 y=-. X +. X -. y=.x +.X -.8X -. X -. X +. n= için uydurulan eğri n= için uydurulan eğri n= için uydurulan eğri y=-.x +.9x -.X +.9X -8. X +.8 X-.8 8 9 8 9 8 9 y=.x -. X +. X -. y=.x -.X -. X -. X +. n= için uydurulan eğri n= için Uydurulan Eğri n= için uydurulan eğri 8 9 8 9 VERİLERİN DEĞERLENDİRİLMESİ, İŞLENMESİ VE ANALİZİ Deneylerden ve gözlemlerden elde edilen verilerin değerlendirilmesi, işlenmesi ve analizinde kullanılan değişik teknikler mevcuttur. Polinomlar genellikle sabit katsayılı n inci dereceden tek değişkenli fonksiyonlardır. Çoğunlukla deneyden ve gözlemden toplanan veriler arasındaki ilişkiyi temsil ederler. Veri tablosu biçiminde oluşturulan verilerin bilinen veri noktaları arasındaki değerlerinin kestirim hesapları için ara değer (interpolation) tekniği kullanılır. Bu tekniğe göre hesaplama yapan fonksiyonlar MATLAB Toolbox klasörünün polyfun alt klasörü içinde yer alır. Gözlenen bazı değişkenler arasındaki bağıntıyı tanımlayan fonksiyonları bulmak için regresyon (regression) ve eğri uydurma teknikleri kullanılır. Bunun için MATLAB ta kullanılan iki önemli fonksiyon polyfit ve polyval dir. Verilerin istatistiksel değerlendirilmesinde kullanılan tekniklere veri analiz teknikleri denir. MATLAB Toolbox klasörünün datafun alt klasörü içinde yer alan veri analiz fonksiyonları sütuna yönelik veri analizi işlemlerini en iyi şekilde yerine getirir. ARADEĞER HESABI ve FONKSİYONLARI Polinomlar MATLAB'ta yer alan standart polinom fonksiyonları bir polinomun kökünü bulma, değerini hesaplama ve sayısal türevini alma gibi işlemleri yürütür. Bunlara ilaveten, eğri uydurma ve kısmi kesirlere ayırma gibi ileri uygulamalar için uygun fonksiyonlar mevcuttur. Polinom ve aradeğer fonksiyonları; MATLAB\toolbox\matlab\polyfun dizininde yer alır. Ayrıca MATLAB komut penceresinde; help polyfun komutu ile bu dizinde yer alan fonksiyonların listesi ve bunlar hakkında kısa bilgilere ulaşılabilir. Polinom fonksiyonlarının listesi ve kısa açıklaması ise Tablo. de verilmiştir. Polinomların gösterimi; MATLAB'ta bir polinom; kuvveti azalan sıradaki polinom katsayıları içeren bir satır vektörü ile gösterilir ve temsil edilir. Örneğin dereceden bir polinom denklemini ele alalım. MATLAB komut ortamında bu polinom, p=[ ]; azalan sırada katsayıları bir vektörün elemanları olarak ifade edilir.
.. Polinom fonksiyonları ve tanımları Fonksiyon conv(p,p) deconv(p,p) poly(a) Tanım Katsayıları p ve p vektörlerinin elemanları olarak tanımlanan polinomların çarpımını gerçekler. Katsayıları p ve p vektörlerinin elemanları olarak tanımlanan polinomların bölümünü gerçekler Kökleri a vektörünün elemanları olarak tanımlanan polinomun katsayılarını bulur polyder(p) Katsayıları p vektörünün elemanları olarak tanımlanan polinomun türevini bulur. polyfit(x,y,n) polyval(p, polyvalm(v, residue(b,a) Tanımlanan verilere eğri uydurur. Elemanları verilen polinomun değerlerini hesaplar Elemanları verilen matris polinomun değerlerini hesaplar Polinomu kısmi kesirlere ayırır roots(p) Katsayıları p vektörünün elemanları olarak tanımlanan polinomun köklerini bulur. Doğrusal Aradeğer Hesabı En basit ve en çok kullanılan bir aradeğer bulma yöntemi olup bilinen iki veri noktası arasından bir düz çizgi geçirme esasına dayanır. Şekil.'de görüldüğü gibi bilinen iki veri noktası (f'(a) ve f(c)) bir çizgi ile birleştirilecek olursa, bu iki nokta arasında kalan herhangi bir noktayı hesaplamak için, benzer üçgenlerden yararlanarak bir ifade çıkarılabilir. Bu ifade ise aşağıda olduğu gibi formüle edilebilir. Bu yöntemde gerçeğe yakın sonuçlar alabilmek için kullanılan veri noktalarının fazla, diğer bir deyişle birbirine yakın olması gerekir. b a f ( b) f ( a) ( f ( c) f ( a)) c a Araadeğer hesaplama fonksiyonları MATLAB ta iki tür tek boyutlu aradeğer yöntemi mevcuttur. i.polinom esasına dayalı aradeğer ii. FFT esasına dayalı aradeğer. i) interp Fonksiyonu: Polinom Esasına Dayalı Aradeğer İşlemleri interp fonksiyonu veri analizi ve eğri uydurma işlemlerinde tekboyutlu aradeğer hesabı yapar. Bu fonksiyon, polinom tekniği kullanarak veri noktaları arasındaki polinom fonksiyonları ile sağlanan verileri uydurur ve arzu edilen aradeğer noktalarındaki uygun fonksiyonu değerlendirir. En genel kullanım biçimi, yi=interp(x,y,xi,'method') şeklindedir. Burada y bir fonksiyonun değerlerini içeren bir vektör ve x, y ile aynı boyutta bir vektör olup y içinde verilen değerler için noktalar içerir. xi aradeğer noktalarını içeren bir vektördür. method aradeğer hesabında kullanılacak yöntemini temsil eder. Belli başlı yöntemler ise;
.. En yakın komşu aradeğer (method= nearest ): Bu yöntem bir aradeğerli noktanın değerini en yakın mevcut veri noktası değerine yerleştirir. Bu yöntem en hızlı hesaplama yapabilen fakat buna karşılık en kötü aradeğer uydurma hesabı yapar. Doğrusal aradeğer (method= linear ): Bu yöntem mevcut veri noktalarının her bir çifti arasına fonksiyonlar uydurur ve xi tarafından belirlenen noktalardaki ilişkili fonksiyonun değerini çıkış olarak verir. Kübik bükümlü aradeğer (method= spline ): Bu yöntem mevcut veri noktalarının her bir çifti arasına ayrı fonksiyonlar uydurmak amacı ile aradeğerli veri noktalarını elde etmek için bir dizi fonksiyon kullanır. Kübik aradeğer (method= cubic ): Bu yöntem y içinden geçen bir kübik fonksiyon uydurur ve xi tarafından belirlenen noktalardaki bu fonksiyonun değerini çıkış olarak verir. Parçalı kübik aradeğer (method= pchip ) Kübik ile benzer olup parçalı kübiktir. Örnek.: Aşağıda verilen veri tablosuna göre xi=. değerine karşılık gelen y değerini hesaplayınız. X y.88.8...88.....8.8..8...8.88......9..9.9.89..9.9 Tabloda görülen veriler MATLAB ortamında; x=[.88..9.....8.....88.......9.89.98]; y=[.8....8......8.......9..9]; biçiminde tanımlandıktan sonra y=interp(x,y,.) bildirimi ile y =.9 sonucu elde edilir.x ve y verileri Array Editor ü kullanarak da yazılabilir. Burada xi tek bir değer olarak tanımlanabildiği gibi bir değerler dizisi biçiminde de tanımlanabilir. Bu durumda çıkış argümanı y de bu değerler dizisine karşılık gelen değerler dizisi olarak hesaplanır. ii) intepft Fonksiyonu: FFT Esaslı Aradeğer Hesabı Bu fonksiyon FFT esaslı yöntem kullanarak -boyutlu aradeğer hesabı yapar. Bu yöntem bir periyodik fonksiyonun değerlerini içeren bir vektörün Fourier dönüşümünü hesaplar. Daha sonra da daha fazla nokta kullanarak ters Fourier dönüşümü hesaplar. Genel kullanım biçimi, y = interpft(x,n) dir. burada x eşit bölünmüş noktalarda örneklenmiş bir periyodik fonksiyonun değerlerini içeren bir vektördür. n geri döndürülecek eşit bölünmüş noktaların sayısıdır.
.. İki Boyutlu Aradeğer Hesabı interp Fonksiyonu: interp fonksiyonu -boyutlu aradeğer bulma işlemini yerine getirir. Bu işlem özellikle görüntü işleme ve veri görüntülemede önem arz eder. Genel kullanım biçimi, zi = interp(x,y,z,xi,yi,method) şeklindedir. Burada z, -boyutlu fonksiyonun değerlerini içeren bir dikdörtgen biçimi dizim ve x ve y, z içinde verilen değerler için noktalar içeren aynı boyutta dizimlerdir. xi ve yi verilerin ara değeri için noktalar içeren matrislerdir. method ara değer yöntemini belirleyen bir kelimedir. -boyutlu veriler için üç farklı yöntem mevcuttur. Bunlar nearest, linear ve cubic olup spline hariç -boyutlu ara değer yöntemleri ile benzerdir. -boyutlu ara değer yöntemleri veri değerleri arasından bir yüzey uydurma işlemini yerine getirir. Tüm bu yöntemler bağımsız değişkenler x ve y in tekdüze (monotonic) olmasını gerektirir. Diğer bir deyiş ile x ve y değerleri noktadan noktaya ya artan ya da azalan değerler biçimindedir. Bu x ve y matrisleri meshgrid çıkışını taklit eden (emulate) noktaların örüntüsü olmasını sağlamak için meshgrid fonksiyonu veya başka bir yol kullanarak hazırlanmalıdır. İki Boyutlu Aradeğer Hesabı Örnek.: Aşağıdaki tabloda bir motorun belli devirlerinde ve belli zamanlarında silindir kafası sıcaklık değerleri gösterilmiştir. Buna göre. saniyede dev/dak karşılık gelen sıcaklık değerini hesaplayınız. Tablo değerleri MATLAB ortamında x=[ ]; y=[ ]; z=[ 9 8 8 8 9 8 8 8] biçimde tanımlanabilir. Daha sonra yi=interp(x,y,z,,.) komutu ile yi =.8 elde edilir. interp fonksiyonunda olduğu gibi burada da yine xi ve yi tek bir takım yerine değerler takımı olarak da tanımlanabilir. Bu durumda çıkış argümanı, t de değerler dizisi olarak elde edilecektir. Üç Boyutlu Aradeğer Hesabı interp Fonksiyonu: -boyutlu Verilerin Aradeğer Hesabı interp fonksiyonu -boyutlu örnekler takımının, v noktaları arasındaki aradeğerleri bularak, -boyutlu aradeğer hesabı yapar. En genel kullanım şekli, vi = interp(x,y,z,v,xi,yi,zi,method) biçimindedir. Bilinen veri noktaları takımının belirlenmesi gerekir. Burada, x, y, ve z verilen v değerleri için noktaları belirleyen matrisler, v, x, y ve z deki noktalara karşılık gelen değerler içeren bir matristir. xi, yi, ve zi interp ün v değerlerinin aradeğerini hesapladığı noktalardır. Kapsam dışı olduğunda NaN sonucu elde edilir. method aradeğer yöntemini temsil eder. -boyutlu veriler için üç farklı yöntem mevcuttur. Bunlar nearest, linear ve cubic olup spline hariç -boyutlu ve -boyutlu aradeğer yöntemleri ile benzerdir. Tüm bu yöntemler bağımsız değişkenler x, y, ve z in tekdüze (monotonic) olmasını gerektirir. interpn Fonksiyonu: Çok Boyutlu Verilerin Aradeğer Hesabı interpn fonksiyonu n-boyutlu örnekler takımının, v noktaları arasındaki ara değerli değerleri bularak n-boyutlu ara değer hesabı yapar. En genel kullanım şekli, vi=interpn(x,x,x..,v,y,y,y,..,method),,...verilen v değerleri için noktaları belirleyen matrisler v,,,...deki noktalara karşılık gelen değerler içeren bir matristir. Aradeğer Hesabı: Örnekler Örnek Problem: Interpolation Aşağıdaki tabloda, Fonksiyonunun veri noktaları olarak verilmiştir. linear, spline ve pchip aradeğer yöntemlerini kullanarak noktalar arasında y değerini hesaplayınız. Ayrıca her bir aradeğer yönteminin noktalarının grafiğini çizdiriniz. 8
.. Aradeğer Hesabı: Örnekler x=:.:; y=[. -. -.. -. -.]; xi=:.:; yilin=interp(x,y,xi,'linear'); yispl=interp(x,y,xi,'spline'); yipch=interp(x,y,xi,'pchip'); yfun=..^xi.*cos(*xi); subplot(,,) plot(x,y,'o',xi,yfun,xi,yilin,'--'); subplot(,,) plot(x,y,'o',xi,yfun,xi,yispl,'--'); subplot(,,) plot(x,y,'o',xi,yfun,xi,yipch,'--'); Aradeğer Hesabı: Örnekler 9