Bu konuflmada sizlere, matemati in nas l bafllad

Matematik Dünyas, 2003 K fl Matemati in K sa Bir Tarihi-I M s r ve Mezopotamya Matemati i Ali Ülger* / aulger@ku.edu.tr Ali Ülger in bu yaz dizisi, ki asl nda bir konuflmad r, birkaç say sürecektir. Bu say da matematik tarihinin ilk dönemi anlat lmaktad r. Bu konuflmada sizlere, matemati in nas l bafllad ve hangi aflamalardan geçerek günümüze geldi ini anlatmaya çal flaca m. Bir matematik tarihçisi olmad m, anlatacaklar m n okuduklar m n bir sentezi oldu unu, orjinal çal flmalar inceleyerek haz rlanm fl bir konuflma olmad n belirtmek isterim. Matematik Nedir? Matematik, insanl k tarihinin en eski bilimlerinden biridir. Çok eskiden, matematik, say lar n ve flekillerin ilmi olarak tan mlan rd. Matematik de, di er bilim dallar gibi, geçen zaman içinde büyük bir geliflme gösterdi; art k onu birkaç cümleyle tan mlamak mümkün de il. fiimdi söyleyeceklerim, matemati i tan mlamaktan çok, onun çeflitli yönlerini vurgulayan sözler olacakt r. Matematik bir yönüyle, resim ve müzik gibi bir sanatt r. Matematikçilerin büyük ço unlu u onu bir sanat olarak icra ederler. Bu aç dan bak nca, yap lan bir iflin, gelifltirilen bir teorinin, matematik d fl nda flu ya da bu ifle yaramas onlar pek ilgilendirmez. Onlar için önemli olan, yap lan iflin derinli i, kullan lan yöntemlerin yenili i, estetik de eri ve matemati in kendi içinde bir ifle yaramas d r. Matematik, baflka bir yönüyle, bir dildir. E er bilimin gayesi evreni ve evrende olan her fleyi anlamak, onlara hükmetmek ve yönlendirmekse, bunun için tabiat n kitab n okuyabilmemiz gerekir. Tabiat n kitab ise, Galile nin çok at f alan sözleriyle, matematik dilinde yaz lm flt r; onun harfleri geometrinin flekilleridir. Bunlar anlamak ve yorumlayabilmek için matematik dilini bilmemiz gerekir. Matematik, baflka bir yönüyle de satranç gibi entelektüel bir oyundur. Kimi matematikçiler de ona bir oyun gözüyle bakarlar. Matematik, kullan c s için ise sadece bir araçt r. * Koç Üniversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. Matemati in ne oldu unu, onun içine girdikten sonra, bilgimiz ölçüsünde ve ilgimiz yönünde anlar ve alg lar z. Anlad m z ve alg lad m z n ise, file dokunan körün fili anlad ve alg lad ndan daha fazla oldu unu hiç sanm yorum. Matemati in Bafllang c. Matematik sözcü- ü, ilk kez, M.Ö. 550 civar nda Pisagor okulu üyeleri taraf ndan kullan lm flt r. Yaz l literatüre girmesi, Platon la(eflatun) birlikte, M.Ö. 380 civar nda olmufltur. Kelime manas ö renilmesi gereken fley, yani, bilgidir. Bu tarihlerden önceki y llarda, matematik kelimesi yerine, yer ölçümü manas na gelen, geometri yada eski dillerde ona eflde er olan sözcükler kullan l yordu. Matemati in nerede ve nas l bafllad hakk nda da kesin bir fley söylemek mümkün de ildir. Dayanak olarak yorum gerektiren arkeolojik bulgular de il de, yorum gerektirmeyecek kadar aç k yaz l belgeleri al rsak, matemati in M.Ö. 3000 2000 y llar aras nda M s r ve Mezopotamya da bafllad n söyleyebiliriz. Herodotos a (M.Ö. 485-415) göre, matematik M s r da bafllam flt r. Bildi iniz gibi, M s r topraklar n n %97 si tar ma elveriflli de ildir; M - s r a hayat veren, Nil deltas n oluflturan %3 lük k s md r. Bu nedenle, bu topraklar son derece de- erlidir. Oysa, her sene yaflanan Nil nehrinin neden oldu u taflk nlar sonucunda, toprak sahiplerinin arazilerinin hudutlar belirsizleflmektedir. Toprak sahipleri de sahip olduklar toprakla orant l olarak vergi ödedikleri için, her taflk ndan sonra, devletin bu ifllerle görevli geometricileri gelip, gerekli ölçümleri yap p, toprak sahiplerine bir önceki y lda sahip olduklar toprak kadar toprak vermeleri gerekmektedir. Heredot geometrinin bu ölçüm ve hesaplar n sonucu olarak oluflmaya bafllad n söylemektedir. Matemati in do uflu hakk nda ikinci bir görüfl de, Aristo (M.Ö. 384-322) taraf ndan ileri sürülen flu görüfltür. Aristo ya göre de matematik M s r da do mufltur. Ama Nil taflmalar n n neden oldu u ölçme-hesaplama ihtiyac ndan de il, din adamlar n n, rahiplerin can s k nt s ndan do mufltur. O tarihlerde, M s r gibi devletlerin tek entelektüel s n f rahip s n f d r. Bu s n f n geçimi halk 42

Matematik Dünyas, 2003 K fl veya devlet taraf ndan sa land için, entelektüel u rafllara verecek çok zamanlar olmaktad r. Kendilerini meflgul etmek için, baflkalar n n satranç, briç, go gibi oyunlar icat ettikleri gibi, onlar da geometri ve aritmeti i, yani o zaman n matemati ini icat etmifllerdir. Bu her iki görüfl de do ru olabilir; rahipler geometricilerin iflini kolaylaflt rmak istemifl, yada da t m n adil yap ld n kontrol için, üçgen, yamuk gibi baz geometrik flekillerdeki arazilerin alanlar n n nas l hesaplanaca n bulmufl ve bu flekilde geometrinin do mas na neden olmufl da olabilirler. Matematik Tarihinin Dönemleri. Matemati- in yaz l tarihini befl döneme ay raca z. lk dönem M s r ve Mezopotamya dönemi olacak; bu dönem afla yukar M.Ö. 2000-500 y llar aras nda kalan 1500-2000 y ll k bir zaman dilimini kapsayacak. kinci dönem, M.Ö. 500 - M.S. 500 y llar aras nda kalan ve Yunan Matemati i dönemi olarak bilinen 1000 y ll k bir zaman dilimini kapsayacak. Üçüncü dönem, M.S. 500 lerden kalkülüsün (analizin) bafllang c na kadar olan ve esasta Hint, slam ve Rönesans dönemi Avrupa matemati ini kapsayacak olan 1200 y ll k bir zaman dilimini kapsayacak. Dördüncü dönem, 1700-1900 y llar aras nda kalan, matemati in alt n ça olarak bilinen, klasik matematik dönemini kapsayacak. 1900 lerin bafl ndan günümüze uzanan, ve modern matematik ça olarak adland r lan, içinde bulundu umuz dönem de beflinci dönem olacak. Her dönemi ayr ayr ele al p, eldeki kaynaklar çerçevesinde, o dönemdeki matemati in geliflimi, katk yapan matematikçileri, matemati in toplum hayat ndaki yeri ve o dönem matemati inin temel özellikleri hakk nda bilgi vermeye çal - flaca m. Birinci Dönem M s r ve Mezopotamya Matemati i (MÖ 2000-500) M s r Matemati i. lk döneme M s r matemati iyle bafllayaca z. Eski M s r matemati i ve genelde de M s r tarihiyle ilgili yaz l belge - tarihi eser kal nt lar n kastetmiyorum - yok denecek kadar azd r. Bunun temel iki nedeni vard r. Birincisi, eski M s rl lar n yaz y papirüslere yazmalar ; ikinci nedeniyse skenderiye kütüphanelerinin geçirdikleri üç büyük yang n sonucunda, ki bu yang nlar n sonuncusu 641 de M s r n Müslümanlar taraf ndan fethi s ras nda olmufltur, yaz - l belgelerin yok olmufl olmas d r. Papirüs, Nil deltas nda büyüyen, k rm z mt - rak renkte, saz türü bir bitkinin, ortalama 15-25 metre uzunlu unda ve 30-50 santim geniflli inde olan yapraklar d r. Bu yapraklar kesilip, birlefltirilip, preslendikten ve baz basit ifllemlerden geçirildikten sonra, kâ t yerine yaz yazmak için kullan l rm fl. Paper, papier gibi Bat dillerindeki kâ t karfl l sözcükler, papirüs sözcü ünden türetilmifltir. Bir papirüsün ortalama ömrü 300 y ld r; 300 y l sonra, papirüs, nem, s ve benzeri nedenlerle, pul pul olup dökülmektedir. Matematikle ilgili, istisnai flartlar alt nda sakland anlafl lan, iki papirüs gelmifltir günümüze. M s r matemati i hakk ndaki bilgimizin ana kaynaklar bu iki papirüstür. Bu papirüslerden ilki, Ahmes (ya da Rhind) papirüsü olarak bilinen, 6 metre uzunlu unda ve 35 cm kadar geniflli inde olan bir baflka papirüstür. Bu papirüsün, M.Ö. 2000 li y llarda yaz lm fl olan bir papürüsün, M.Ö. 1650 lerde Ahmes isimli bir matematikçi taraf ndan yaz lan bir kopyas d r. Bu papirüsü 1850 lerde rlandal antikac H. Rhind sat n alm flt r, flimdi British Museum dad r. Bu papirüs, matematik ö retmek gayesiyle yaz lm fl bir kitapt r. Girifl k sm nda, kesirli say - larla ifllemleri ö retmek gayesiyle verilen birkaç al flt rmadan sonra, çözümleriyle 87 soru verilmektedir. Bu sorular, paylafl m hesab, faiz hesab 43

Matematik Dünyas, 2003 K fl veya baz geometrik flekillerin alan n bulmak gibi, insanlar n günlük hayatta karfl laflabilece i türden sorulard r. Bu, az çok bizim 8. s n f matemati i düzeyinde bir matematiktir. Moskova papirüsü diye bilinen ve flimdi Moskova Rhind (Ahmes) papirüsü müzesinde olan ikinci papirüs de M.Ö. 1600 lerde yaz lm fl bir kitapç kt r. Bu papirüs 25 soru içermektedir. Bu sorular, ikisi hariç, Ahmes papirüsündeki sorular türündendir. Di er iki soruya gelince, onlardan biri, bir düzlemle kesilen bir küre parças n n hacmi ve yüzeyinin alan n n hesaplanmas d r. Di eri ise, yine bir düzlemle kesilen bir piramidin hacminin bulunmas sorusudur. Her iki soru da do ru olarak çözülmüfltür. Bu iki soru M s r matemati inin zirvesi olarak kabul edilmektedir. M s rl lar, dairenin alan n n çap na orant l oldu unun fark na varm fllar ve π say s n 4 (8/9) 2, yani 256/81 3,16 olarak bulmufllard r. M s r matemati inin 2000 y l boyunca bu düzeyde kald ve kayda de er bir ilerleme göstermedi i anlafl lmaktad r. M s r say sistemi, on taban na göredir ve rakam sistemlerinin yaz m ve kullan m Romen rakamlar n nki gibidir. Bu rakamlarla hesap yapman n çok zor oldu u, Romen rakamlar yla hesap yapmay deneyen herkesin kolayca görece i gibi, aç kt r. M s r matemati inin geliflmemesinin bir nedeni bu olabilir. Mezopotamya Matemati i. Mezopotamya da yaflam fl medeniyetlerden (Sümerler, Akatlar, Babiller, Kaldeyenler, Asurlar, Urlar, Huriler vb. ve fetihler nedeniyle, bir zaman Hititler, Persler...) zaman m za, M s r dan kalandan çok kat daha fazla yaz l belge kalm flt r. Bunun nedeni, Mezopotamyal lar n yaz arac olarak kil tabletleri kullanmalar d r. Piflirilen yada güneflte iyice kurutulan bir kil tabletin ömrü sonsuz denecek kadar uzundur. Yap lan kaz larda yar m milyondan fazla tablet bulunmufltur. Bu tabletlerin önemli bir k sm stanbul Arkeoloji Müzesi ndedir. Di erleri de dünyan n çeflitli - Berlin, Moskova, British, Louvre, Yale, Colombia ve Pensilvanya - müzelerindedir. Bu tabletlerin, flimdiye kadar incelenmifl olanlar n n içinde, befl yüz kadar nda matemati e rastlanm flt r. Bu bölgede yaflam fl medeniyetlerin matemati i hakk nda bilgimiz bu tabletlerden gelmektedir. Bu tabletlerden anlafl ld na göre, Mezopotamya da matematik, M s r matemati inden daha ileridir; Mezopotamyal lar lise iki düzeyinde bir matematik bilgisine sahiptiler. M s rl lar n bildikleri matemati i bildikleri gibi, ikinci dereceden baz polinomlar n köklerini bulmas n, iki bilinmeyenli iki denklemden oluflan bir sistemi çözmesini de biliyorlar. fiunu söylemem gerekir ki, o zamanlarda henüz negatif ve irrasyonel (kesirli olmayan) say lar bilinmemektedir. Bu nedenle ikinci dereceden her polinomun köklerini bulmalar mümkün de ildir. Mezopotamyal lar, daha sonra Pisagor Teoremi olarak adland r lacak olan teoremi biliyorlard. π say - s n karesi 10 olan bir say olarak bilmekteler. Daha sonralar 3.15 olarak da kullanm fllard r. Moskova papirüsü Mezopotamyal lar n say sistemi 60 tabanl bir say sistemidir. Bu say sistemi günümüzde de, denizcilik ve astronomi de kullan lmaktad r. Bizim say sisteminde 10 ve 10 un kuvvetlerini kulland m z ve say lar buna göre basamakland rd m z gibi, onlar da say lar 60 ve 60 n kuvvetlerine göre basamakland rmaktayd lar. Bu say sisteminin en önemli özelli i basamakl, yani konumlu bir say sistemi olmas d r. Saatin 60 dakika, günün 24 saat ve dairenin 360 dereceye bölünmüfl olmas bize bu say sisteminden kalan miraslardan sadece birkaç d r. Mezopotamyal - lar n 60 tabanl bir say sistemi seçmifl olmalar - n n nedeni bilinmemektedir. Bu konuda ileri sürülen belli bafll görüfl ya da varsay m flunlard r: 44

Matematik Dünyas, 2003 K fl 1) 60 say s n n 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 20, 30 gibi çok say da bölenleri olmas onu günlük hayatta çok kullan fll k l yordu; bu nedenle 60 tabanl bir say sistemi seçmifllerdir. 2) 60 tabanl say sisteminin seçiminden önce, o bölgede 10 ve 12 tabanl say sistemlerini kullanan medeniyetler olmufltur. Daha sonra gelen bir medeniyet, daha önceki ölçü birimleriyle uyum sa lamak için, 10 ile 12 nin en küçük ortak kat olan 60 say sistemlerinin taban olarak alm fllard r. 3) 60 tabanl say sisteminin seçimi, bir eldeki, bafl parmak hariç, dört parmakta bulunan üç eklem yerini o zaman n insanlar say saymak için kullan yorlard ; 4 parmakta 12 eklem yeri oldu- u ve bir elde de befl parmak oldu u için bu iki say n n çarp m olan 60 say sistemlerinin taban olarak alm fllard r. Bu konuda görüfller bunlard r. E er bir gün 60 say s n n niçin seçildi ini izah eden bir tablet bulunursa o zaman gerçek anlafl lacakt r. Rhind (Ahmes) Papirüsü 3 = 2 + 6 53 = 30 + 318 + 795 5 = 3 + 15 55 = 30 + 330 7 = 4 + 28 57 = 38 + 114 9 = 6 + 18 59 = 36 + 236 + 531 11 = 6 + 66 61 = 40 + 244 + 488 + 610 13 = 8 + 52 + 104 63 = 42 + 126 15 = 10 + 30 65 = 39 + 195 17 = 12 + 51 + 68 67 = 40 + 335 + 536 19 = 12 + 76 + 114 69 = 46 + 138 21 = 14 + 42 71 = 40 + 568 + 710 23 = 12 + 276 73 = 60 + 219 + 292 + 365 25 = 15 + 75 75 = 50 + 150 27 = 18 + 54 77 = 44 + 308 29 = 24 + 58 + 174 + 232 79 = 60 + 237 + 316 + 790 31 = 20 + 124 + 155 81 = 54 + 162 33 = 22 + 66 83 = 60 + 332 + 415 + 498 35 = 30 + 42 85 = 51 + 255 37 = 24 + 111 + 296 87 = 58 + 174 39 = 26 + 78 89 = 60 + 356 + 534 + 890 41 = 24 + 246 + 328 91 = 70 + 130 43 = 42 + 86 + 129 + 301 93 = 62 + 186 45 = 30 + 90 95 = 60 + 380 + 570 47 = 30 + 141 + 470 97 = 56 + 679 + 776 49 = 28 + 196 99 = 66 + 198 51 = 34 + 102 101 = 101 + 202 + 303 + 606 Birinci Dönemin Genel De erlendirmesi. Bu dönemin matemati ini toptan de erlendirecek olursak, temel özellikleri flunlard r. a) Bu dönem matemati inde teorem, formül ve ispat yoktur. Bulgular emprik veya deneysel, ifllemler say sald r. Bunun böyle olmas kaç n lmazd r, zira o dönemde matematik, simgesel olarak de il, sözel olarak ifade edilmekteydi. Sözel ve say sal matematikte (geometrik çizimler hariç) formel ispat vermek olanaks z olmasa da, kolay de- ildir. b) Bu dönemin matemati i zanaat düzeyinde bir matematiktir; matematik matematik için matematik anlay fl yla de il, günlük hayat n ihtiyaçlar için, yani halk için matematik anlay fl yla yap lmaktad r. Matemati in kullan m alanlar ise, zaman-takvim belirlemek, muhasebe iflleri ve günlük hayat n, inflaat, miras da t m gibi di er iflleridir. Dini ve milli günlerin, ibadet saatlerinin, deniz yolculuklar n n ve tar ma uygun dönemlerin belirlenmesi için, bugün oldu u gibi, eski zamanlarda da do ru bir takvim yapmak son derece önemli bir ifl olmufltur. Bu da ancak uzun süreli gözlem, ölçüm ve hesapla mümkündür. Bu matemati in kullan m alanlar ndan en önemlisi ve matemati in geliflmesine neden olan temel ihtiyaçlardan biridir. Devlet gelir giderinin hesaplanmas, mal varl klar n tespit, kay t ve muhasebesi de devlet düzeni için elzem olan ve matemati in kullan ld di er bir aland r. Bu dönem matemati i ve bu bölge ülkelerinin kültürel varl klar Pers istilas yla son bulur. Ahmes in (MÖ. 1680-1620) kendi yazd na göre, Rhind papirüsü MÖ 2000 de yaz lm fl bir baflka papirüsün kopyas d r. Orijinal hali afla yukar 5,5m _ 0,3m boyutunda olan ve hiyeroglif yaz s n n bir türü olan hieratik yaz s yla yaz lan papirüsün ön taraf, 2/3, 2/5, 2/7, 2/9,..., 2/101 say lar n 1/n kesirli say lar n n toplam olarak veriyor, çünkü Eski M s rl lar, 2/3 d fl nda, sadece 1/n kesirli say lar n biliyor ve yazabiliyorlard. Yandaki tablodaki a = b + c k saltmas, 2/a = 1/b + 1/c olarak alg lanmal. Örne in, birinci sat rda, 2/3 = 1/2 + 1/6 yazmaktad r. Asl nda, 2/3 ü en az iki türlü böyle yazabiliriz: 2/3 = 1/3 + 1/3 = 1/2 + 1/6. Soru: 2/3 baflka türlü 1/a + 1/b biçiminde yaz labilir mi? Sorular ço altabiliriz. Soru: En sondaki 2/101 için dörtten daha az terimle yaz lan bir ifade bulabilir miyiz? Ya da 1/29 için? Ya da 1/43, 1/73 için?.. Soru: Verilmifl bir a tek say s ve bir k do al say s için, 2/a = 1/a 1 +... + 1/a k eflitli ini sa layan sonlu tane mi a 1,..., a k do al say s vard r? Soru: E er öyleyse, bu eflitli i sa layan kaç tane (a 1,..., a k ) vard r? Soru: Ve en küçük k kaçt r? Soru: 2/a yerine 3/a al rsak bu sorular n yan t ne olur? 45

Matematik Dünyas, 2003 Yaz Matemati in K sa Bir Tarihi-II kinci Dönem: Eski Yunan Matemati i Ali Ülger* / aulger@ku.edu.tr M.Ö. 600 lü y llar Perslerin Orta Do u ya hakim olmaya bafllad y llard r. M.Ö. 550 lere gelindi inde, Persler, Anadolu ve M s r dahil olmak üzere, bütün Ortado u nun tek hakimidirler. M.Ö. 500-480 aras nda Yunan yar madas na üç sefer düzenlerler. 480 de Atina y ele geçirerek yakarlar, ama, fazla de il, bir y l sonra, 479 da Yunanl lar Persleri Yunan yar madas ndan atarlar. Bu tarih, M.Ö. 479, Yunan uygarl n n bafllang c olarak kabul edilir. Bilimde, felsefede ve sanatta çok parlak bir dönemin bafllang c d r. Yunan matemati i gerçekte bu dönemden daha önce bafllam flt r. ki kifli, Tales (M.Ö. 624-547) ve Pisagor (M.Ö. 569-475), Yunan matemati inin babas olarak kabul edilir. Tales. Tales Milet de (Ayd n) do mufltur. M s r a gitti i, bir süre orada kald ve geometriyi M s r da ö rendi i bilinmektedir. M s r dayken, büyük piramidin gölgesinin uzunlu unu ölçerek, bu say y, kendi boyunun o andaki gölgesinin boyuna olan Tales oran yla çarpmak suretiyle (yani Tales Teoremi ni kullanarak), büyük piramidin yüksekli ini hesaplad kitaplarda anlat - lagelmektedir. Tales Milet ye döndükten sonra, ö rendiklerini ö retmek gayesiyle kendi etraf nda oluflturdu u bir gruba geometri ö retmifltir. Matemati e deneye dayanmayan, yani ampirik olmayan ak l yürütmeye dayal soyut ispat n Tales le girdi i kabul edilir. Ayr ca, Tales tarihin ilk filozofu olarakta kabul edilir. Pisagor. Yunan matemati inin di er babas olan Pisagor Samos (Sisam) adas nda do mufltur. * Koç Üniversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. 49 Pisagor un bir süre Tales in yan nda kald, tavsiyesine uyarak M s r a gitti i, orada geometri ö rendi i, M s r tap naklar n ziyaret edip dini bilgiler edindi i ve M s r n Persler taraf ndan iflgali s ras nda, Perslere esir düflerek Babil e götürüldü ü bilinmektedir. Babil de bulundu u befl y l boyunca matematik, müzik ve dini bilgiler ö renmifl, Samos a döndükten sonra bir okul oluflturarak ö rendiklerini ö retmeye çal flm flt r. Politik nedenlerle, M.Ö. 518 de Samos dan ayr larak, Güney Italya ya, Crotone ye yerleflmifl ve orada yar mistik, yar bilimsel, tarikatvari bir okul oluflturmufltur. Bu okulun matematikoi denen üst düzey kiflileri beraber yaflarlard ve birbirlerine yeminle ba l yd lar. Pisagor Okulu. Pisagor okulu say kültü üzerine kuruludur. Onlara göre, her fley say lara indirgenebilir; say lar aras nda rastlant sal olamayacak kadar mükemmel bir harmoni vard r ve bu harmoni ilahi harmoninin yans mas d r. O gün için bilinen say lar 1, 2, 3,... gibi çokluk belirten tam say lar ve 1/2, 3/4,... Pisagor gibi parçan n bir bütüne oran n belirten kesirli say lard r. Pisagor Teoremi sayesinde irrasyonel (kesirli olmayan) say lar n ortaya ç kmas Pisagor ekolünü derin bir krize sokmufltur. rrasyonel say - lar n keflfi matemati in ilk önemli krizidir. Pisagor okulunun üyelerinin bir ço u Cylon isimli bir yobaz n yönetti i bir bask n sonucu katledilmifllerdir. Pisagor kurtulmufltur ama birkaç sene sonra o da ölmüfltür. Pisagor un düflünceleri ve Pisagor ekolu, flu veya bu isim alt nda uzun y llar yaflam flt r. Bu bilgilerden de anlafl laca gibi, Yunan matemati inin temelinde M s r ve Mezopotamya matemati i vard r.

Matematik Dünyas, 2003 Yaz Pisagor Teoremi. Bir diküçgenin dik aç s n n kenarlar n n uzunluklar n n karelerinin toplam öbür kenar n uzunlu unun karesine eflittir. fiekille söylemek gerekirse, a c a 2 + b 2 = c 2 b Kan t. Uzunlu u c olan kenara bir kare infla edelim. a c b-a c Yamuk duran karenin bir kenar n n uzunlu u c dir, demek ki alan c 2 dir. fiimdi ayn alan baflka türlü hesaplayaca z. Karede dört üçgen var ve herbirinin alan ilk üçgenimizin alan na eflit, yani her üçgenin alan ab/2. Yamuk karenin içinde bu dört üçgenden baflka, bir de küçük kare var. Bu küçük karenin her kenar b a oldu undan alan (b a) 2 dir. Demek ki yamuk karenin alan ayn zamanda bu alanlar n toplam na eflittir: b Dört üçgenin alan = 4 ab/2 = 2ab Küçük karenin alan = (b a) 2 = b 2 2ab + a 2 Toplam alan = a 2 + b 2 Dolay s yla c 2 = a 2 + b 2 eflitli i geçerlidir. Pisagor teoremini kan tland. Eflatun ve Akademisi. fiimdi Atina ya dönelim. Atina da matemati in sistematik e itimi Eflatun la (Platon, M.Ö. 427-347) bafllar. Sokrat n ö rencisi olan Eflatun, Sokrat n ölüme mahkûm edilip, zehir içerek ölmesinden sonra, on y l kadar M s r, Sicilya ve talya da kal r. Orada, Pisagorculardan matematik ö renir. Matemati in do ru düflünme yetisi için ne denli önemli oldu unu anlayan Eflatun, M.Ö. 387 de Atina ya döndü ünde, bir okul kurar ve okuluna Pers-Yunan savafllar n kahramanlar ndan Akademius un ismini verir. (Baz kaynaklara göre de Akademos, Eflatun un okulunun kurulu oldu u alan n sahibinin ismidir.) Bu, Eflatun un akademi sidir. Akademinin giriflinde her kim ki geometrici de ildir, içeriye girmesin yaz l d r. O tarihlerde, henüz matematik sözcü ü kullan lmamaktad r, geometri matematik sözcü- ünün yerine kullan lm flt r. Bu okulda felsefe, geometri, müzik (harmoni teorisi) ve jimnastik a rl kl bir e itim verilmektedir. Geometri do ru düflünmeyi ö renmenin temel arac olarak kabul edilmekte ve felsefeyle içice olacak kadar birbirine yak n konular olarak görülmektedir. Eflatun bir araflt rma yöneticisi gibi görev yapmakta, ö rencilerine çeflitli geometri sorular vererek, onlardan bu sorular halletmelerini istemektedir. Bu okul M.S. 529 a kadar, 900 y ldan fazla faaliyet gösterecek ve çok say - da matematikçi yetifltirecektir. Burada yetiflen ilk önemli matema- Eflatun (Platon) 50

Matematik Dünyas, 2003 Yaz tikçi Öklid (Euclid) (M.Ö. 325-265); son önemli matematikçi Proclus tur (M.S. 411-485). Bu dönemin matemati i hakk nda en önemli kaynak Proclus un eserleridir. M.Ö. 400-300 y llar n n en önemli matematikçi-bilim adam, Eflatun un akademisinde hocal k da yapm fl olan Eudoxus tur. Pisagorcular n say kavram n de ifltirerek, say y iki uzunlu un oran olarak tan mlayan ve bu tan ma uygun bir say lar aritmeti i gelifltirerek, irrasyonel say lar n keflfi sonucu, matemati i içine düflmüfl oldu u krizden kurtaran; entegral kavram n n temelinde olan exhaustion yöntemini gelifltiren ve ilk olarak bir evren modeli tasarlayan Eudoxus tur. Exhaustion yöntemi flekli düzgün olmayan, alan yada hacmi bilinmeyen bir cismin alan veya hacmini, alan yada hacmi bilinen flekillerle doldurarak o alan yada hacmi hesaplama yöntemidir. Büyük skender ve mparatorlu u. M.Ö. 335 ten itibaren, Makedonyal Büyük skender, 12-13 y l gibi k sa bir sürede Pers mparatorlu- u nun tamam n ele geçirir. 322 de Hindistan dönüflü Babil de ölür. Ölümünden sonra, skender in generalleri kanl bir iktidar mücadelesine giriflirler. mparatorluk üçe bölünür. Afrika daki topraklar (M s r ve Libya) general Ptolemaios a, Asya daki topraklar general Seleukos a ve Avrupa daki topraklar da Antigonos e düfler. Böylelikle, daha sonra Yunan kültür bölgeleri diye adland r lacak olan Yunan uygarl n n geliflece i üç bölge ortaya ç kar. Bunlar Yunanistan-Makedonya, Anadolu- Suriye ve M s r-libya d r. Makedonya krall nda Eflatun un Akademisi, Aristo nun Lisesi gibi okullar e itimlerini daha uzun y llar sürdürürler ama daha çok felsefe a rl kl olarak. Anadolu da t p ve astronomide Galenos ve Hipparkhos gibi önemli bilginler yetiflir. Galen nin t p konusunda 500 civar nda kitap (papirüs) yazd bilinmektedir. Galenos, Hipokrat n yaflad dönemle bni Sina n n zaman aras nda yaflam fl en önemli t p adam d r. skenderiye ve Museum. Matematik aç s ndan en önemli merkez skenderiye dir. Ptolemaios, Zeus un sanat tanr çalar (esin perileri) olarak bilinen k zlar na verilen Muse isminden esinlenerek, skenderiye de tarihin en ünlü üniversitelerinden biri Büyük İskender olan Museum u kurar. Buras M.Ö. 312 - M.S. 421 aras nda, 700 y ldan fazla bir zaman diliminde bir ileri bilimler merkezi olarak e itim ve araflt rma faaliyetlerini sürdürecek olan ve ücretlerin devlet hazinesinden ödendi i, yüzden fazla bilim adam n n çeflitli dallarda e itim verdi i ve araflt rma yapt bir kurumdur. Zamanla çok zengin bir kütüphane oluflturacaklar, botanik bahçesine ve bir gözlemevine sahip olacaklard r. Yunan kültür bölgelerinden önemli bilim adamlar buray ziyaret edip, burada bir süre kalm fllard r. Öklid. Museum da ders veren ilk önemli matematikçi Öklid dir. Öklid in yazd çok say da eser aras nda en önemlisi, Öklid in Elementleri olarak bilinen on üç kitapl k matematik dizisidir. O tarihlerdeki kitap uzunluklar bir papirüslüktür. Bu Öklid da bizim ölçülerimizle, 20 ila 50 sayfa aras nda bir kitaba karfl l k gelmektedir. Bu kitaplarda Öklid o zamanlarda bilinen matemati inin sistematik bir derlemesini sunar. Bu eserin önemi Öklid in geometriye yaklafl m mda ve konular sunuflundad r. Öklid, geometride, önce, evrensel geçerlili i olan befl aksiyom verir. Bunlar A = B ve B = C ise A = C gibi sa duyunun kabul edece i kurallard r. Sonra nokta, do ru, düzlem gibi kavramlar n ne oldu unu belirten 31 tan m verir. Sonra da Öklid geometrisinin postulatlar ola- 51

Matematik Dünyas, 2003 Yaz rak bilinen flu befl postulat verir. 1) ki noktadan bir do ru geçer. 2) Bir do ru parças s n rs z uzat labilir. 3) Bütün dik aç lar birbirine eflittir. 4) Bir nokta ve bir uzunluk bir çember belirler. 5) Bir do ruya onun d fl ndaki bir noktadan sadece bir paralel çizilir. Daha sonra, mant ki ç kar m yoluyla, bu postulatlardan ç karabildi i sonuçlar teorem ve önerme olarak mant ksal bir s rada sunar. Bu yaklafl m bugünkü matemati in ve bilimin temelini oluflturur. Ünlü düflünür Bertrand Russell a göre, hiçbir eser Bat düflünce sisteminin oluflmas nda bu kitap kadar etkili olmam flt r. Elementler tarih boyunca belli bafll bütün dillere çevrilmifl, binden fazla bas m yapm fl, bütün uygarl klar n okullar nda okutulmufl, insanl n en önemli baflyap tlar ndan biri olmufltur. Apollonius. Museum da yetiflen en önemli matematikçilerden biri de Perge li Apollonius tur. Antik Ça- n, Öklid ve Arflimed le beraber üç büyük bilim adam ndan biri olarak kabul edilen Apollonius konik kesitleri üzerine bugün de hayranl k uyand - ran sekiz kitapl k Apollonius un kitabından bir sayfa mükemmel bir eser b rakm flt r insanl a. (Sekizinci kitap bugüne kadar bulunamam flt r.) Arflimed. Bütün zamanlar n en büyük bilimadamlar ndan biri olarak kabul edilen Siraküs lü Arflimed (M.Ö. 287-212) de bir rivayete göre Museum da yetiflmifltir. En az ndan bir süre burada kald bilinmektedir. Arflimed icat etti i mekanik aletlerinin yan s ra, Öklid in geometride yapt n bir ölçüde mekanikte yapm fl, mekani in ve hidrostati in temel ilkelerini yasalaflt rmaya çal flm flt r. Matemati e katk lar, silindir ve küre hakk nda çal flmalar ; bafllang c Eudox a giden, exhaustion yöntemiyle birçok fleklin alan n hesaplam fl olmas n sayabiliriz. Bu, bugün matematikte entegral olarak bilinen kavram n bafllang c d r. Eudox tan zaman m za yaz l hiçbir eser kalmam flt r. Bu nedenle, belgeli olarak, bu yöntemin ilk olarak Arşimed kullan ld yer Arflimed in eserleridir. Arflimed bu yöntemle, bir dairenin içine ve d fl na düzgün 96 kenarl çokgenler çizip, onlar n alanlar n hesaplayarak, π say s n n 3,10/71 ile 3,10/70 aras nda bir de eri oldu unu hesaplam flt r, dolay s yla π nin virgülden sonra ilk üç rakam n do ru olarak vermifltir. O zamana kadar π say s n n bilinen de erleri deneysel yolla elde edilen de erlerdi. Ptolemaios. Museum da yetiflen ve tarihin en önemli astronomlar ndan biri olarak kabul edilen bir bilimadam da, Bat l lar n Ptolemaios, Do ulular n Batlamyüs olarak bildi i Claudius Potolemy dir (M.S. 85-165). Batlamyüs, uzun y llar süren gözlemlerden sonra, Hipparkhos gibi daha önce yaflam fl olan baflka astronomlar n da gözlemlerini de kullanarak, tutarl bir evren sistemi oluflturmufl; genifl astronomik ölçüm cetvelleri ve bir y ld z katalo u haz rlam flt r. Batlamyüs ün sisteminde dünya merkezdedir; günefl, ay ve di er gezegenler dünya etraf nda çembersel bir yörüngede dönmektedirler. Araplar n, en büyük anlam na gelen almagest dedikleri ve Yunanca ismi matematica olan ünlü astronomi kitab on befl as r boyunca astronomiyle ilgilenen bütün bilimadamlar - n n baflucu kitab olarak kalm flt r. Genel De erlendirme. Bu k s mda anlatmaya çal flt m z dönemde yaflam fl yüzden fazla matematikçinin ad ve baz çal flmalar zaman m za gelmifltir. Bu da o dönemdeki bilimsel faaliyetlerin yo- unlu u, devlet ve toplum nezdindeki önemini göstermektedir. Yunan matemati ini de erlendirecek olursak, temel özellikleri flunlard r. a) Yunanl larla, matematik zanaat düzeyinden sanat düzeyine geçmifltir. Matematikte, günlük hayatta ifle yararl l k de il, 52

Matematik Dünyas, 2003 Yaz derinlik ve estetik ön plandad r. b) Yunan matemati i bugünkü anlamda moderndir; bugün biz nas l matematik yap yorsak, o zaman da öyle yap - yorlard. Zaman içinde ispat anlay fl ve standartlar de iflmektedir; ama Öklid in verdi i ispatlar, bugün de büyük ölçüde geçerlidir. Bu Dönemin Sonu. Bu dönemi sona erdiren iki önemli etmen Roma n n yükselifli ve H ristiyanl n Roma mparatorlu u nun resmi dini olufludur. M.Ö. 150 den itibaren Roma mparatorlu u genifllemeye bafllam flt r. M.Ö. 30 lu y llara gelindi inde her üç Yunan kültür bölgesi de art k Romal lar n hükmü alt ndad r. Her ne kadar idari ve askeri olarak Romal lar Yunan kültür bölgelerine hakim iseler de, kültürel olarak Roma mparatorlu u bir Yunan kolonisidir; azçok, Yavuz Sultan Selim den sonra, Osmanl lar n Arap dünyas na hükmetmelerine karfl n, kültürel aç dan bir Arap kolonisi durumunda olduklar gibi. Bu nedenle, Romal lar Yunan kültür kurumlar n n (Eflatun un Akademisi, Bergama Okulu, Museum gibi) faaliyetlerine devam etmelerine izin vermifllerdir. skenderiye nin al - n fl s ras nda skenderiye kütüphanesi yanm flt r ama Bergama kütüphanesinden gönderilen 200.000 kitapla skenderiye kütüphanesi tekrar oluflturulmufltur. Romal lar Museum daki bilimadamlar n maafllar n devlet hazinesinden karfl lamay sürdürmüfllerdir. Ne var ki, ekonomik durumun kötüleflmesi e itim kurumlar n da etkileyecektir. Bu kurumlara en büyük darbeyi vuran H ristiyanl k olmufltur. H ristiyanl k ilk 300 y l yasakl oldu u için yer alt nda geliflmifltir. Bu dönemde H ristiyanl k çok hoflgörülü ve bir eflitlik diniydi. Bu nedenle genifl bir taraftar kitlesi bulabilmifltir. M.S. 300 e gelindi inde, H rist - yanl n geliflmesinin önlenemeyece ini anlayan Roma imparatoru I. Constantin 313 de H rist - yanl n üzerindeki yasa kald rm fl, Roma dan ayr larak, Roma mparatorlu u nun baflkentini stanbul a (Constantinople) tafl m flt r. 380 lerde, H rist yanl k Roma mparatorlu u nun resmi dini olmufltur. Bu tarihten itibaren, Kilise yavafl yavafl sosyal ve e itim hayat na hakim olmaya, H rist yan ö retisinin d fl nda hiçbir ö retiye hofl bakmamaya bafllam flt r. 390 de Kiril (Cyril) isimli bir papaz n skenderiye kütüphanesini atefle vermesiyle bafllayan giriflim, Museum da çal - flan bilim insanlar na sald r larla devam etmifltir. 421 de, Museum da ders veren ve tarihin ilk kad n matematikçisi olarak bilinen Hypatia yobaz H ristiyanlar taraf ndan linç edilerek öldürülmüfltür. Bu olaydan sonra Museum kapanm fl ve Hypatia 641 de Müslümanlar n M s r fethi s ras nda da tamamen yanm flt r. Okulun kapanmas ndan sonra, Museum da çal flan bilimadamlar kitaplar n alarak, Sasanilerin egmen olduklar Güneydo u Anadolu (Harran, Urfa) ve Mezopotamya içlerine, Cundiflapur a (flimdiki Beth-Lapat), göçmüfllerdir. 529 da da Bizans imparatoru Jüstinyen Atina daki Eflatun un akademisini kapatm flt r. Bu tarih Yunan kültürünün egemen oldu u bir dönemin bitifli, karanl k ça n bafllang c d r. Akademi nin kapanmas ndan sonra orada çal flan bilim insanlar n n bir k sm da do- uya göçmüfllerdir. Do uya göçen bu bilim adamlar, Yunan kültürüne aflina olan ortamlarda, özellikle Nestorien-Süryani toplumlarda daha uzun y llar ö retilerini sürdürmeye, bilim meflalesini söndürmemeye çal flacaklard r. slam biliminin temelinde bu insanlar n eme i, onlar n yapt klar çeviriler vard r. Böylelikle bundan sonraki döneme, Müslümanlar n hakim oldu u döneme gelmifl bulunuyoruz. Yunanl lar alfabelerinin harflerini rakam olarak kullanm fllard r. Bu sistemde say lar n yaz l m Romen rakamlar n n yaz l m na benzer ama daha geliflmifl bir sistemdir. Yunan matemati i büyük ölçüde geometri olarak geliflti i için Yunanl lar çok yetkin bir rakam sistemine ihtiyaç duymam fllard r. 53

Matematik Dünyas, 2003 Güz Matemati in K sa Bir Tarihi-III Üçüncü Dönem: Hint, slam ve Rönesans Matemati i (MS 500-1700) Birinci K s m: slam Matemati i (MS 750-1450) Ali Ülger* / aulger@ku.edu.tr Hz. Muhammet in peygamberli ini aç klamas ndan yüz y l sonra, 711 de, slam mparatorlu u, do uda Çin s n r na ve Hindistan n içlerine, bat da Kuzey Afrika ve Cebel-Tar k tan geçerek Pirene s rada lar na dayan yordu. Bu arada, stanbul kuflat lm fl (675-677), Do u ve Güneydo u Anadolu nun bir k sm fethedilmifl, K br s ve Sicilya al nm flt. Emevi hanedanl taraf ndan fiam - dan yönetilen devasa bir imparatorluk oluflturulmufltu. Emevilerin Arap olanlarla olmayanlara farkl muameleleri Orta Asya da Ebu Müslim Horasani nin yönetti i büyük bir isyan n ç kmas na neden oldu. Bu isyan Basra civar nda bafllayan Abbaso ullar n n isyan yla birleflerek Emevi hanedanl - na son verdi (661-750). slam dünyas na bilim, 750 den sonra, Abbasiler zaman nda girmeye bafllad. O tarihlerde, Basra bölgesinden yay lmaya bafllayan ve slam rasyonalizmi olarak da bilinen Mutezile (=ayr lanlar) tarikat n n Vas l bin Ata gibi önderlerinin halife Mansur a ve fiia imamlar na yak n olmalar, bu tarikat n devlet ve halk taraf ndan benimsenmesine neden oldu. Do runun ak l ve rasyonel düflünceyle bulunaca- * Koç Üniversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. 14. yy. dan kalma matematik kitabı. Muhammed ibni Musa al-harazmi adına eski Sovyetler Birliği tarafından basılmış pul. 53 n savunan bu ak m slam dünyas - na bilimin girmesine düflünsel zemini oluflturmufltur. Abbasiler fiam yerine Ba dat kurup baflkent yapm fllard r. Abbasi halifeleri Mansur, Harun Reflit ve El-Mamun, Ba dat ta Dar ül Hikmet (Akl n Evi) diye bilinen skenderiye deki Museum benzeri bir medrese kurup, büyük bir çeviri faaliyetine giriflmifllerdir. lk çeviriler, Yunan dil ve kültürüne vak f bölgelerdeki (özellikle Cundiflapur ve Güneydo u Anadolu daki) Süryani ve Mecusiler (Harranl Tabit ibni Kurra ve çocuklar gibi) taraf ndan yap lm flt r. Çeviriler sadece Yunancadan de il, Hintçe, Pehlevice, branice gibi dillerden de yap lm flt r. Böylelikle genifl bir kütüphane oluflacakt r. Bu çevirilerin çeflitli kaynaktan yap lm fl olmas ndan da anlafl laca gibi, slam matemati i Yunan gelene inin bir devam olmaktan çok, Yunan, Mezopotamya ve Hint matematiklerinin bir sentezidir. Say sistemleri, aritmetik, trigonometri ve cebir daha çok Mezopotamya ve Hint geleneklerine, geometri ise Yunan gelene ine dayan r. 750-1450 aras nda yaflam fl elli kadar matematikçi-bilim adam n n ismi ve çal flmalar kalm flt r zaman m za. Unutmamak gerekir ki, o tarihlerde yaflam fl olan bilim insanlar n n ço u, zaman n bütün bilimleriyle u raflm fl, ya da en az ndan 3-4 bilim dal nda eser vermifl insanlard r. Bu elli kadar matematikçiden sadece beflinin çal flmalar hakk nda bilgi verece im. Bu bize o dönem matemati i hakk nda yeterli bir fikir verecektir san r m. Muhammed ibni Musa al-harazmi (780-850) Ad ndan, al-harazmi nin Özbekistan n güneyinde do du u anlafl l yor. Yaflam ve e itimi hakk nda güvenilir bir bilgi yoktur elimizde. 810 dan sonra Ba dat ta Dar ül Hikmet in kütüphanecisi olarak çal flmaya bafllam fl ve dört kitap yazm flt r.

Matematik Dünyas, 2003 Güz Bunlardan biri co rafya, biri astronomi, biri aritmetik, di eri de bir cebir kitab d r. Bu son ikisi hakk nda biraz bilgi verece iz. Al-Harazmi nin en ünlü kitab Al-Cebir ve Al- Mukabele d r. ndirgeme ve denkleme manas na gelen bu bafll k, daha sonralar Cebir (veya Algebra) olarak k salt lacakt r. Al-Harazmi bu kitab nda, ikinci dereceden bir polinomu katsay lar n n iflaretine göre alt de iflik s n fa ay rarak, her s n f için, köklerin nas l bulunaca n algoritmik bir yaklafl mla göstermektedir. Örnek olarak, bizim bugün x 2 10x 4 = 0 olarak yazaca m z bir polinomu x 2 = 10x + 4 fleklinde yazmaktad r ve bu polinomun köklerini bulmak için ad m ad m ne yap lmas gerekti ini söylemektedir. Unutmamak gerekir ki o tarihlerde henüz negatif say lar kullan lm yordu ve say lar uzunluk olarak düflünülmekteydi. Müslümanlar, burada söz konusu olan dönemde (750-1450), bir istisna (Abu Waffa (940-998)) d fl nda, negatif say lar hiç kullanmam fllard r. Al-Harazmi nin, verilen bir polinomun kökünü bulmak için, izlemifl oldu u yaklafl ma günümüzde algoritmik yaklafl m denmektedir; bu sözcük Al-Harazmi nin ismi bozularak türetilmifltir. Al Harazmi, daha sonra, algoritmik olarak buldu u kökü geometrik olarak bularak yapt klar n do rulamaktad r. Son olarak, kitab nda, bu yöntemin miras hesaplar na uygulamalar n vermektedir. Bu kitap 1140 larda Latinceye çevrilmifl ve 1600 lere kadar bat okullar nda kullan lm flt r. Kimilerine göre, cebirin esas babas Diofantos tur, Al-Harazmi nin cebiri Mezopotamya matemati inden daha ileri düzeyde de ildir. Bu da büyük ölçüde do rudur. Kimileri de bu eserin tümüyle orijinal oldu unu savunmaktad r. Aç k olan bir fley varsa, o da bu eserden sonra, matematikte cebir diye bir anabilim dal n n ortaya ç kmas d r. Önemli olan bir di er husus da, kitab n algoritmik yaklafl m dedi imiz yöntemidir. Al-Harazmi nin sözünü edece imiz di er kitab bir Hesap kitab d r. Kitab n Arapças günümüze ne yaz k ki ulaflmam flt r, Latince çevirisi elimizdedir yaln zca. Bu kitapta, Al-Harazmi bugün kulland m z Hint-Arap rakamlar olarak bilinen 1, 2,..., 9, 0 rakamlar n tan tmakta, onlarla say lar n nas l yaz ld n, toplama, çarpma gibi ifllemlerin nas l yap ld n anlatmaktad r. Burada s f r bir boflluk dolduran simge olarak kullan lm flt r, say olarak Ömer Hayyam 54 de il. Say olarak s f r ilk kez, 876 da Hindistan da kullan lm flt r. Daha önce de kullan ld na dair bilgiler vard r ama herkesin hemfikir oldu u tarih bu tarihtir. Negatif say lar n da Hindistan da 620 lerde kullan ld bilinmekte ama az çok yayg n olarak kullan lmaya bafllanmalar 1600 den sonrad r. Ömer Hayyam (1048-1131) Niflabur da do an Ömer Hayyam, 1073 den sonra, sfahan da kurulan rasathanede, Selçuk hükümdar Melik fiah n müneccim bafl olarak çal flmaya bafllam flt r. Zaman m za rubailerinden baflka bir cebir kitab ve astronomiyle ilgili çal flmalar ndan da baz k s mlar kalm flt r. Cebir kitab nda üçüncü dereceden polinomlar n bir s n fland rmas n yaparak ve konik kesitlerini kesifltirerek, bu polinomlar n köklerini geometrik olarak bulmaya çal flm flt r. Örnek olarak, x 3 + ax 2 + bx + c = 0 polinomunun kökünü bulmak için x 2 = 2dy alarak 2dxy + 2ady + bx + c = 0 hiperbolünü elde eder. Bu hiperbol ile y = x 2 /2d parabolünün kesiflme noktalar bafltaki polinomun köklerini verecektir. Bu çal flmada önemli iki nokta, üçüncü dereceden bir polinomun birden çok kökünün olabilece ini anlam fl olmas ve kökleri bulmak için konik kesitlerini kullanmas gerekti ini görmüfl olmas d r. Bu da Ömer Hayyam n Apolyonus un konik kesitleri gibi zor bir konuya derinlemesine vakf oldu unu göstermektedir. Ömer Hayyam astronom olarak, gözlem ve ölçümlere dayal, bir takvim reformu yaparak, ad na Celali takvimi denilen yeni bir takvim haz rlam flt r. Bir günefl y - l n 365,24219858156 gün olarak hesaplam flt r. fiimdi bilinen, bir y l n 365,242190 gün oldu u ve her 70-80 senede bir virgülden sonraki alt nc rakam n de iflti ini burada belirtelim. fiarafeddin Al-Tusi (1135-1213) Ad ndan ran n Tus flehrinde do du u anlafl lmaktad r. Muhtemelen Mefled de yetiflmifltir. fiam, Halep, Musul ve Ba dat ta matematik okutmufltur. Önemli bir cebir kitab n n yazar d r. Al-Tusi de, Ömer Hayyam gibi üçüncü dereceden polinomlar n köklerini bulmak için u raflm flt r. Harazmi nin izinden giderek, üçüncü dereceden denklemleri 25 s n fa ay rm fl, cebirsel bir yaklafl mla, bu denklemlerin köklerini bulmaya çal flm flt r. Bugünkü yaz -

l mla, x 3 ax = b gibi bir denklemin belli bir aral kta çözümünün olabilmesi için, b nin x 3 ax say - s n n maksimumu ile minimumu aras nda olmas gerekti i anlayan Al-Tusi, maksimumu ifadenin türev inin s f r oldu u yerde aramas gerekti ini anlam flt r. Kimi yazarlara göre bu türevin keflfidir. Ne yaz k ki o zaman bu keflfin de eri anlafl lmam fl, türevin fark na var lmam flt r. Matemati in en önemli kefliflerinden olan türev, 1636 da Fermat taraf ndan tekrar keflfedilecek ve bu da, analitik geometriyle birlikte, kalkülüsün do umuna yol açacak ve matematikte bir devrim yaratacakt r. Nasireddin Al-Tusi (1201-1274) Büyük Tusi diye de bilinir. O devir slam dünyas n n en büyük bilim adamlar ndand r. Tus ve Niflapur da okumufltur. Mant k, ahlak, felsefe, astronomi ve matematik kitaplar yazm flt r. Hayat n n önemli bir k sm n, Hasan El-Sabah n örgütünün merkezlerinden biri olan ve çok iyi bir kütüphanesi oldu u bilinen Alamut kalesinde araflt rma yaparak geçirmifltir. Bu kale 1256 da Hülagü Han taraf ndan al nd ktan sonra, Hülagü Han n müneccimbafl olmufl, 1262 den sonra da Marageh de (Güney Azerbaycan da, Tebriz civar nda) Hülagü Han n emriyle kurulan rasathanede araflt rmalar n sürdürmüfl ve bir ziç (Ziç-i- lhani) haz rlam flt r. Ziç bir tür sinüs cetvelidir, astronomik hesaplar için kullan l r. Al-Tusi nin astronomiyle ilgili çal flmalar, Batlamyüs ten sonra, Copernicus un çal flmalar na kadar en önemli astronomi çal flmalar ndan biri olarak kabul edilir. Matematikte en önemli çal flmas, düzlem ve küresel trigonometriyle ilgili çal flmalar d r. Bu eserden sonra trigonometri, astronomi için bir araç olmaktan ç k p, matemati in bir anadal olmufltur. Bunun d fl nda, Yunancadan çeviri çok say da matematik kitaplar na aç klama ve yorumlar yazm fl ve bir say n n ninci kökünü bulmak için çal flmalar yapm flt r. Bat l matematikçi ve astronomiçilerin, eserlerinden en çok yararland klar slam dünyas bilim adamlar n n bafl nda Al-Tusi gelir. Cemflit Al-Kafli (1380-1429) Kaflan da ( ran) do mufltur. Kaflan da yetiflti i anlafl lan Al-Kafli, 1420 den ölene kadar, Ulu Bey Nasireddin Al-Tusi 55 Matematik Dünyas, 2003 Güz ve Kad zade ile Semarkand ta Ulu Bey medresesinde ve rasathanesinde çal flm flt r. Timurleng in torunu olan Ulu Bey (1393-1449) iyi bir matematikçi, bilim âfl bir hükümdard. O tarihlerde Ulu Bey in medresesinde zaman n en iyi altm fl kadar bilim adam ders vermekte ve araflt rma yapmaktad r. Bu medrese, pozitif bilimlerin okutuldu u ve bilimsel bir sayg nl - olan slam ülkelerindeki son medresedir. Al-Kafli, Ulu Bey le beraber, Al-Tusi nin ziçlerinden de yararlanarak, Ziç-i-Hakani olarak bilinen Ulu Bey in ziçlerini haz rlam flt r. Bu ziçte 1 den 90 dereceye kadar olan aç lar n, birer dakika arayla, sinüsleri verilmifltir. Bu da 60 90 = 5400 girifl demektir. Her aç n n sinüsü, virgülden sonra sekizinci haneye kadar verilmifltir. Ayr ca bu ziç, günefl, ay ve gezegenlerin konumu ve hareketleri hakk nda ayr nt l bilgi ve gözlem tablolar içermektedir. Al-Kafli muhteflem bir hesap yetene i olan matematikçidir. Yar çap 1 olan bir daireyi 3 2 28 = 805.306.368 kenarl bir çokgenin içine oturtarak, π say s n n virgülden sonra 16 hanesini (10 ve 60 tabanl say sistemlerinde) do ru olarak vermifltir. Bu rekor ancak 200 y l sonra k r labilecektir. Al-Kafli, içeri inin zenginli i, ispatlar n n aç kl yla Ortaça n en iyi kitaplar ndan biri olarak kabul edilen Aritmeti in Anahtar bafll kl bir kitab n da yazar d r. Ondal k kesirlerle dört ifllemin nas l yap laca n aç klayan da Al-Kafli dir. Al-Kafli nin ölümünden sonra Ulu Bey e ziçlerini tamamlamas na ve gerekli izahlar n yaz lmas na, Al-Kafli ve Kad zade nin ö rencisi olan, Ali Kuflçu yard m etmifltir. 1449 da Ulu Bey in, devlet iflleriyle u raflm yor, hay rs z bilimle u rafl yor diye öz o lu ve akrabalar taraf ndan öldürülmesinden sonra, Ulu Bey in medrese ve rasathanesi de çökmüfltür ve böylece slam dünyas n n son önemli positif bilim merkezi sönmüfltür. Bu son ismi geçen kifliler slam dünyas n n matematikçi diyebilece imiz son bilim adamlar - d r. 1450 den 1930-40 lara kadar slam dünyas nda orijinal bir çal flma yapm fl ve matematikçi diye nitelendirebilece imiz bir kiflinin ismi bilim tarihinde geçmemektedir. Bu bölümü Müslümanlar n matemati e katk lar n n bir de erlendirmesiyle bitirece im. Bu konuda birbiriyle çeliflen birçok yarg olmas nedeniyle Müs-

Matematik Dünyas, 2003 Güz lümanlar n matemati e katk lar n de erlendirmek çok zordur. Bu katk kimi yazarlar taraf ndan s f rlan rken, kimi yazarlar taraf ndan da göklere ç kart lmaktad r. Kimi yazarlara göre Müslümanlar n matemati e hiçbir katk s olmam flt r, bütün yapt klar bir buzdolab görevi görmekten ibarettir. Yunanl lar n piflirdiklerini, Avrupal lar onu yiyecek düzeye gelene kadar saklam fllar, günü geldi inde de Avrupal lar onu al p yemifllerdir. Kimilerine göreyse, Müslümanlar n matemati e ve astronominin geliflmesine kapsaml özgün katk lar olmufltur; bugün Bat l bilim adamlar n n ad n tafl yan birçok teorem veya sonuç daha önce Müslümanlar taraf ndan bulunmufltur. Görülen o ki, a) Müslümanlar sulay p büyüttükleri a açlar n meyvelerini toplayamam fllar; ve b) Müslümanlar n bilime katk lar yeteri kadar araflt r l p de erlendirilmemifltir. Bu yorumu yapanlar n ço unlukla yine Bat l bilim tarihçileri oldu unu unutmamak gerek. Bildi im kadar yla, Müslüman matematikçilerin küresel geometriye, cebire, say lar teorisine, trigonometri ve astronomiye özgün katk lar olmufltur ve bu katk lar hiç de küçümsenecek ölçülerde de ildir. Ayr ca, insanl n ortak ürünü olan bilimin önemli bir halkas, eskiyle yeniyi ba layan halkas slam bilimidir. Bu halka olmadan, bilimin bugünkü düzeye gelmesi herhalde mümkün olmayacakt. Bir sonraki bölüme geçmeden slam ülkelerinde bilim niye çöktü, Bat ya bilim nas l girdi? sorular hakk nda birkaç söz söylemem gerekir. Bu sorular, tek bir kiflinin yan tlayabilece i sorular de- ildir; ancak genifl ve çok yönlü bir ekip bu sorulara tatmin edecek cevap verebilir. fiimdi söyleyeceklerim, baflka biri için, slam ülkelerinde bilimin çöküflünün en derin nedenleri olmayabilir. Bu konu çok tart fl lan bir konudur, bildi iniz ya da tahmin edebilece iniz gibi. a) Haçl seferleri slam dünyas nda, bugün de kanayan derin yaralar açm flt r. lk haçl seferleri s ras nda yap lan büyük katliamlar ve yamyaml k olaylar, bölge insanlar n derin bir çaresizlik ve bunal ma sokmufltur. Niçin bu duruma düfltüklerini sorgulayan insanlar, slam n bafl nda oldu u gibi, din duygular n n güçlendirilmesi, dini ve iman için ölecek insanlar n yetifltirilmesi gerekti i kan s - na varm fllar. mam Gazali nin görüfllerinin de etkisiyle, bu tarihlerde, 1100-1150 aras nda, slam dünyas nda akli bilimlerden nakli bilimlere bir dönüfl olmufltur. Bu olay üzerine, 1250 lerden itibaren bafllayan Mo ol istilas sonucu, e itim kurumlar ve kütüphanelerin en önemlilerinin yok oluflunun eklenmesi, benzeri durumun Endülüs ün kademeli olarak Hr stiyanlar n eline düflmesi sonucunda da olmas, bu geçifli kolaylaflt rm fl, derinlefltirmifltir ve geri dönülmesi neredeyse olanaks z bir noktaya getirmifltir. Ancak haçl seferleri ve Mo ol istilas gibi derin izler b rakan bir olay bu gidifli tersine çevirebilirdi; bu da 1918 de yaflanan son haçl seferi yle yaflanm flt r. Atatürk ün Hayatta en hakiki mürflit ilimdir, fendir; bunun d fl nda mürflit aramak, gaflettir, delalettir sözü, nakli bilimlerden akli bilimlere dönüflü simgeler. b) Medreseler slam dünyas nda daha çok 1150 den sonra ço almaya bafllam fllar ve nakli bilim (ya da hay rl bilim ) e itimi veren okullar olarak ço alm fllard r. Osmanl mparatorlu u na Araplardan geçen bilim gelene i akli de il, nakli bilim gelene idir. c) Medreseler, vak flara ba l olmalar na karfl n kurumsallafl p geliflmemifl, aksine her türlü yenili e karfl ç kan, yobaz üretim merkezi olmufllard r. d) Dini ve dini ulemay kendine ideolojik dayanak yapan yönetici s n f, ulemay imtiyazl bir s n f konumuna getirirken, pozitif bilimlerle u raflanlar ezmifllerdir. e) mtiyazl bir s n f konumuna gelen, devlet ve halk nezdinde büyük bir sayg nl a eriflen ulema s - n f, pozitif bilimlerin yeflermesine, bu bilimlerle u raflan insanlar n toplum içinde sayg n bir konuma gelmelerini engellemek için aç k ve gizli her türlü çabay göstermifllerdir. f) Dar bir ortamda yetiflen, dünya görüflünden yoksun, ülke ekonomisiyle kendi ekonomisini kar flt ran idareci s n flar bilimle teknoloji aras ndaki iliflkiyi hiçbir zaman alg layamam fl, ülkelerinin geri kald n ancak askeri yenilgilerden sonra kavrayabilmifllerdir. Bu durumda, köklü reform yapmalar gerekirken, düzen bozulur korkusuyla, tafl ma suyla de irmen döndürmeye çal flm fllar, orduyu düzeltmek için birkaç yabanc uzman ça rmakla yetinmifllerdir. slam ülkelerinde, özellikle Türkiye de, nakli bilimlerden akli bilime dönüfl, 9. haçl seferi olarak niteledi im, bütün slam ülkelerinin Bat n n iflgaline u rad, Birinci Dünya Savafl ndan, özellikle 1930 lardan sonrad r. Bu ülkelerde, bilimsel geliflmeler ancak bu tarihten sonra, emekleye emekleye de olsa, geliflmeye bafllam flt r. 56

Matematik Dünyas, 2003 K fl Matemati in K sa Bir Tarihi-IV Üçüncü Dönem: Hint, slam ve Rönesans Matemati i (MS 500-1700) kinci K s m: Rönesans Matemati i (MS 1100-1700) Ali Ülger* / aulger@ku.edu.tr Bat ya matematik flu üç yoldan girmifltir: a) ki yüz y la yak n bir süre Ortado u da kalan ve burada dört krall k kuran Haçl lar vas tas yla, b) Arap medreselerinde okuyan Bat l ö renciler vas tas yla, ve c) Endülüs ten. En büyük kap n n Endülüs oldu u anlafl lmaktad r. Her ne kadar Endülüs te önemli matematikçiler yetiflmemiflse de, e itimin yayg n, ortam n bilime uygun oldu u ve felsefe, kimya, t p gibi bilim dallar nda ileri oldu u bilinmektedir. Örne in, 11inci yüzy lda Cordoba da ( spanya) Cordoba dan bir kabartma yazı 400 bin kitapl k merkez kütüphanesi, 17 medrese ve birçok halk kütüphanesi bulunuyordu. Buralarda Hr stiyan ve Musevi ö renciler okuyabiliyordu. Toledo 1100 de spanyollar n eline geçti inde, Toledo piskoposu büyük bir çeviri bürosu kurarak Arap medreselerinde yetiflmifl olan Musevi çevirmenler vas tas yla çok say da bilimsel eseri Arapçadan Latinceye çevirtmifltir. 12inci yüzy la kadar Avrupa daki okullar, din a rl kl skolastik e itim verilen manast r veya katedral okullar yd. 12inci asr n ortalar ndan itibaren talya da (Bolonya, Padova) ö rencilerin universita dedikleri dernek türü kurumlarda bir araya gelerek e itim için birleflmifl, böylelikle daha sonra üniversite olacak kurumlar n çekirdeklerini dikmifllerdir. Bu kurumlarda ders veren hocalar Arap medreselerinde okumufl ço unlukla talyan gençlerdi. Daha sonra bu kurumlarda okuyan * Koç Üniversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. 1 Liber Abaci, hesap kitab anlam na gelmektedir. Abaküs, abaci den gelmektedir. Fibonacci (1175-1250) 52 Avrupal ö renciler Almanya da (Köln), Fransa da (Sorbonne) ve ngiltere de (Oxford, Cambridge) üniversite olacak olan e itim kurumlar n kuracaklard r. Bu dönemde Kutsal Roma-Germen imparatoru olan 2. Frederik in aç k görüfllü, bilime de er veren bir insan oluflunun ve 1200 lerin bafl nda kurulmufl olan Fransiscan 2. Frederik tarikat n n katk lar n n da pozitif bilimlerin Avrupa ya girmesinde ve geliflmesinde etkili olmufl oldu unu belirtmek gerekir. 1200 le 1500 ler aras Avrupal lar n bilimsel kaynaklar Arapça eserlerdi. U raflt klar sorular da slam matematikçilerinin bu kitaplarda u raflt klar sorulard. Bunlar da, geometriyle, üçüncü dereceden polinomun kökleriyle, say lar teorisiyle ilgili sorulard r. 1450 lerden sonra, stanbul dan talya ya giden kitaplardan, matemati in Yunanca kaynaklar na inmeye, Yunanca kaynaklardan çeviri yapmaya bafllayacaklard r; 1600 lerden sonra Arapça kaynaklar büyük ölçüde terk edilecektir. Avrupa da matematikte özgün geliflmeler 1500 lerden sonrad r. fiimdi biraz bunlardan sözedelim. Bat ya bugünkü kulland m z Hint- Arap rakamlar (1, 2,..., 9, 0) 1200 lerin bafl nda Fibonacci nin Liber Abaci (ya da Abacci) isimli kitab yla girmifltir 1. Bu kitapta Fibonacci, kendinden 400 y l önce Harazmi nin yapt gibi, bu rakamlarla say lar n nas l yaz laca n, dört ifllemin nas l yap laca n aç klamaktad r. Bu rakamlar Bat da günlük hayatta 16 nc yüzy la kadar çok yay-

Matematik Dünyas, 2003 K fl 2 Bknz. sayfa 54-58 Girolamo Cardano ve sayfa 73-75 Polinom Denklemleri bafll kl yaz. g n olarak kullan lmam fl, hatta zaman zaman da yasaklanm flt r. Bu rakamlar n halk aras nda yayg n olarak kullan lmas Frans z devriminden (1789) sonra olmufltur. 1200 lerden 1500 lere kadar kayda de er özgün bir çal flma yoktur. 1500-1600 aras iki önemli çal flma: a) Tartaglia n n (1499-1557) buldu u ama Cardano nun (1501-1576) afl rarak yay mlad üçüncü dereceden polinomlar n cebirsel olarak köklerinin bulunmas 2. Karmafl k say lar o tarihlerde tam anlafl lmam fl olsa da ilk olarak 3üncü derecede polinomlar n kökünü veren formülde ortaya ç km flt r. Daha sonra Bombelli (1526-1572) cebir kitab nda baz tip kompleks say lara yer verecek, onlarla nas l ifllem yap laca n anlatacakt r. b) Di er önemli çal flma ise, F. De Viète in (1540-1603) cebir kitab d r. lk olarak bu kitapta, cebir, sözel olmaktan ç k p, sembolleflmeye bafllam flt r. Viète in kitab nda sessiz harfler bilinenler, sesliler de bilinmeyenler için kullan lm flt r. Sabitler için a, b gibi alfabenin ilk harflerinin; bilinmeyenler için de x, y gibi alfabenin son harflerinin kullan lmas Descartes le bafllayacakt r. 1600-1700 aras matematikte önemli geliflmelerin oldu u y llard r. Bu yüzy l n üç önemli geliflmesi flunlard r: a) Türevin bulunmas : Pierre de Fermat n n (1601-1665) 1636 da, bir e rinin maksimum, minimum ve tanjant n bulmak için verdi i çabalar, fiarafeddin Al-Tusi den (1135-1213) befl as r sonra, onu da türevin keflfine götürmüfltür. Art k matematik dünyas, yavafl da olsa, bunu anlayacak kadar olgundur. b) Analitik geometrinin ve kartezyen koordinat sistemini ortaya ç kmas : René Pierre de Fermat Descartes n (1596-1650) geometriyi cebirlefltirme çabalar ve bir e riyi bir reper sisteminde çizme (iki ayar do rusu yard m yla) iste i analitik geometrinin do mas na ve, bugün Descartes a ithafen adland r lan, cartesien yani kartezyen koordinat sisteminin ortaya ç kmas na yol açacakt r. c) Türevle entegral aras ndaki, bugün Kalkülüsün Temel Teoremi dedi imiz, iliflkinin Newton (1643-1727) ve Leibniz (1646-1716) taraf ndan birbirinden ba ms z olarak bulunmas : Böylelikle Integral Calculus do acakt r. Bu da, o güne kadar kullan m alan oldukça s n rl olan matemati in önünü açacak ve matemati i evrensel bir bilim konumuna getirecektir. Ayr ca, kalkülüsle beraber bilimsel fizik ve mühendislik bilimleri de do acakt r. Türevden önce, diferansiyel denklem, dolay s yla teorik fizik yoktu. Bir diferansiyel denklem, fiziki bir olay n metematiksel ifadesidir. Bu çal flmalar ve astronomideki geliflmeler matemati i baflka bir düzeye, yeni bir döneme tafl yacakt r. kinci Dereceden Denklemler MÖ 2000 lerde Mezopotamyal lar ikinci dereceden denklemlerin pozitif kökünü (çözümünü) bulmak için algoritma gelifltirmifllerdi. M s rl lar n da MÖ 2160 1700 tarihleri aras nda baz ikinci dereceden denklemlerin kökünü bulmay bildikleri Berlin papirüsünden anlafl l yor. Ama o zamanlar daha denklem kavram geliflmemiflti ve gerçek yaflamdan al nan problemlerde ortaya ç kan, dolay s yla pozitif kökleri (genellikle bir uzunluk) olan denklemlerle u rafl l rd. Yunanl lar MÖ 300 y llar nda ikinci dereceden bir denklemi geometrik yöntemlerle çözebiliyorlard. Yunanl lar için de bir say daha çok bir uzunluktu. Yunanl Diofantus ( 210-290) ikinci dereceden denklemleri çözebiliyordu, ama köklerden sadece birini buluyordu, köklerin her ikisi de pozitif oldu u zaman bile. Hintli Aryabhata ( 475-550) her iki kökü birden bulmas n biliyordu. Ama bu bilgi daha sonra unutulmufla benziyor, çünkü Brahmagupta ( 628) köklerden sadece birini bulabiliyormufl gibi bir intiba b rakm flt r. Mahavira ( 850) en az ndan pozitif kökü bulmay mutlaka biliyordu, Sridhara da öyle ( 1025). Türk al-harazmi (780-850) ve ranl Ömer Hayyam ( 1100) da pozitif kökü bulmay biliyorlard. Ömer Hayyam ayr ca üçüncü dereceden bir denklemin birden fazla kökü olabilece ini de biliyordu 1000 y llar nda Araplar ax 2n + bx n + c = 0 denklemini ikinci dereceden bir denkleme indirgeyebiliyorlard. spanyol Abraham bar Hiyya Ha-Nasi ya da Savasorda ikinci dereceden denklemlerin çözümünü Bat da ilk kez yay mlayan kifli olarak bilinir (Liber Embadorum adl kitab nda.) Viète (1540-1603), geometrik yöntemler yerine cebirsel yöntemleri kullanan ilk Bat l matematikçi olmufltur. Al-Harazmi bunu çok daha önceden biliyordu. 53

Matematik Dünyas, 2004 Bahar Matemati in K sa Bir Tarihi-V Dördüncü Dönem: Klasik Matematik Dönemi (1700-1900) Ali Ülger* / aulger@ku.edu.tr lk yaz m zdaki s n fland rmaya göre matemati- in dördüncü dönemi, 1700 le 1900 y llar aras n kapsayan ve matemati in alt n ça olarak bilinen klasik matematik dönemidir. Onsekizinci Yüzy l. Bu yüzy lda matemati e en önemli katk lar yapanlar n bafl nda Euler, Laplace, Lagrange ve d Alembert i sayabiliriz. Leonhard Euler (1707-1783) sviçre de, Basel de do mufltur. Meslek hayat n n tamam Petersburg ve Berlin de geçmifltir. Tarihin en üretken bilim adam d r. Kalkülüsün ortaya ç kard olanaklar say lar teorisinden Euler diferansiyel denklemlere, diferansiyel denklemlerden mühendislik problemlerine uygulayan Euler, 30 bin sayfadan fazla bilimsel eser üretmifltir. Birikmifl makalelerinin yay n öldükten elli y l sonra bile sürmüfltür. Euler le matematik evrensel boyutlara eriflmifltir. Bugün bile birçok matematikçinin yapt matemati in temeli büyük ölçüde Euler in çal flmalar ndad r. Euler le birlikte analiz, matemati in yeni bir dal olarak sivrilmifltir; analizin büyükbabalar Eudoxus ve Arflimed ise, babas da Euler dir. Laplace Laplace (1749-1827) Fransa da, Normandia da do mufltur. Gök ve yer mekani i hakk nda yazd 11 ciltlik eseri, mekanik hakk nda yaz lm fl tüm zamanlar n en kapsaml eserlerinden biridir. Théorie Analytique des Probabilités adl kitab olas l k teorisinin ilk önemli eseridir. * Koç Üniversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) talya da Turin de do mufl, meslek hayat n n büyük bölümünü Berlin ve Paris te geçirmifltir. talya da do mas na ra men Frans z matematikçisi olarak bilinir. Lagrange cebirsel denklemlerin çözülebilirli ine, mekani e, diferansiyel denklemlere ve varyasyon hesab na önemli katk lar yap- Lagrange m flt r. Fikirleri ve yöntemleri bugün de kullan lan bir bilim adam d r. Jean Le Rond d Alembert (1717-1783) Paris te do mufl, Fransa da yaflam flt r. K smi diferansiyel denklemleri ilk inceleyenlerden d Alembert biridir. K smi diferansiyel denklemleri ve ak flkanlar mekani iyle ilgili çal flmalar ve felsefi yaz lar d fl nda, Diderot yla birlikte editörlü ünü yapt ünlü 28 ciltlik Encyclopédie nin matematik maddelerinin hemen hemen tümünü d Alembert yazm flt r. Bu eser Ayd nlanma n n temel eserlerinden biridir. Bu yüzy l n matemati i çeflitli, kapsaml ve fikir yönünden zengindir. En büyük zaaf, matematiksel kesinlik eksikli i, çal flmalar n günümüzün standartlar na göre yar m yamalak, kusurlu ve eksik olufludur. Matemati in o zamanda eriflmifl oldu u düzeyde baflka türlü olabilir miydi, bilmiyorum. Ondokuzuncu Yüzy l. Bu yüzy lda matemati e önemli katk lar olmufl çok say da matematikçi yaflam flt r. Bunlar n herbirini teker teker ele al p, neler yapt klar n anlatmak bu konuflma çerçevesinde mümkün de ildir, ayr ca buna bilgim de yetmez. Bunun yerine, bu yüzy lda matematik nereden ne- 42

reye geldi sorusuna cevap vermeye çal flaca m. 1800 lerin bafl nda matematik derin bir kriz içindeydi. Bunun nedeni, Fermat n n 1636 da verdi i türevin tan m nda ve türevin ifle kar flt birçok yerde, ne oldu u pek iyi bilinmeyen, anlafl lamayan sonsuz küçük (infinitesimal) kavram n n kullan lmas ve matematikçilerin bu kavram çok tutars z bir flekilde kullanmalar yd. Bu tarihlerde henüz limit kavram n n olmad n ve türevin limitle de il, sonsuz küçük kavram kullan larak tan mland - n burada belirtmem gerekir. Bu tutars zl k çok elefltirilmifl, özellikle de düflünür ve din adam George Berkeley in (1685-1753) matematikçilerin tutars zl n ortaya koydu u 40 sayfal k bir elefltiri kitab derin etki yapm fl, birçok matematikçinin meslek de ifltirmesine ve matemati e karfl tav r almas na Berkeley neden olmufltur. 1800 lerin bafl nda, fonksiyon kavram n n, son yüz y ld r kullan lagelmesine karfl n, henüz do ru dölek tan mlanmam fl olmas ve her matematikçinin fonksiyonu ayn flekilde anlamamas da baflka bir anlaflmazl n ve karmaflan n nedeniydi. 1800 lerin bafl nda süreklilik ve fonksiyon serilerinin yak nsakl do ru dölek anlafl lmam flt ; henüz düzgün süreklilik ve düzgün yak nsakl k kavramlar ortada yoktu. Entegral kavram türev kavram - n n tersi olarak görülüyordu; türevden ba ms z entegral ve entegrallenebilirlik kavramlar yoktu. 1800 lerin bafl nda, bugün matemati in en önemli teorilerinden biri olan kompleks fonksiyonlar teorisi henüz yoktu. Antik Yunan ça ndan kalma ve çok u rafl lan befl sorudan sadece biri çözülmüfltü. Onu da Gauss daha yeni çözmüfltü. Cebirde, beflinci dereceden polinomlar n köklerinin cebirsel olarak (köklü ifadelerle) çözülüp çözülemeyece i henüz bilinmiyordu. Cebirin Gauss grup, halka, cisim, vektör uzay gibi temel yap lar henüz ortaya ç kmam flt. Matris ve vektör Sonsuz küçük kavram 1960 larda kavramlar henüz yoktu. (Ama ikili nonstandard anali- beri biliniyor.) Matematiksel fizi in ve üçlü determinantlar 1680 lerden zin yarat c s ana teoremleri henüz ortada yoktu; ünlü mant kç diferansiyel geometri, topoloji gibi Abraham Ro- konular henüz do mam flt. 1800 lerin bafl nda matemati in durumu k saca buydu. 1820 lerde, A. Cauchy (1789-1855) limit kavram n bugün kulland m z flekliyle tan mlay p türevi, süreklili i ve sürekli fonksiyonlar için entegrali limit kavram yard m yla tan mlamas, analizi, sonsuz küçük kavram ndan kaynaklanan krizden kurtarm fl ve analizin daha sa lam temeller üzerine oturmas n sa lam flt r. Robinson binson taraf ndan matematiksellefltirilmifltir. dy/dx terimindeki dy ve dx sonsuz küçükleri nin daha önce sadece sezgisel bir anlam vard. 43 Matematik Dünyas, 2004 Bahar Cauchy Weierstrass Riemann Cauchy nin çal flmalar sonucu, kompleks fonksiyonlar teorisi do mufl ve Cauchy (1789-1855), Riemann (1820-1866) ve Weierstrass (1815-1884) gibi yüzy l n büyük matematikçilerinin çal flmalar yla matemati in en temel teorilerinden birine dönüflmüfltür. Dirichlet nin (1805-1859) 1830 larda fonksiyon kavram n bugün anlad m z anlamda tan mlamas matemati i baflka bir kargafladan kurtarm flt r. Bu da özellikle Fourier (1768-1830) serileri hakk nda tart flmalar sona erdirecek, Fourier serileriyle ilgili çal flmalar Dirichlet tekrar bafllatacakt r. Fourier serileri analizin geliflmesinde en önemli rolü oynayan, bir bak - ma modern matemati in do ufluna neden olan, gerek uygulamalar gerek matematikteki merkezi konumu aç s ndan matemati in en önemli konular ndan biridir. Fourier

Matematik Dünyas, 2004 Bahar Weierstrass ve ö rencilerinin çal flmalar sayesinde, 1850 lerden sonra, düzgün süreklilik, düzgün yak nsakl k gibi analizin vazgeçilmez kavramlar ortaya ç kacak, fonksiyon serilerinin yak nsakl daha iyi anlafl lacakt r. F. Gauss un (1777-1855) Cebir in Temel Teoremi, ya da d Alembert Teoremi olarak bilinen teoremi ispatlamas bu Cebirin Temel Teoremi. Karmafl k say katsay l ve sabit olmayan her polinomun karmafl k say - larda bir kökü vard r. Ayn teoremin eflde- er bir ifadesi: Katsay lar gerçel olan her polinom, en fazla ikinci dereceden polinomlar n çarp m d r. yüzy l n bir baflka önemli olay d r. Bu teorem bugün cisimler teorisinden spektral analize kadar birçok teorinin temelinde olan bir teoremdir. Bütün zamanlar n en derin bilim adamlar ndan biri olarak kabul edilen Gauss un say lar teorisi, diferansiyel geometri, matematiksel fizik ve astronomiye katk lar bu yüzy l n en önemli çal flmalar aras ndad r. Bu yüzy l n ve bütün zamanlar n en önemli matematikçilerinden biri olan Riemann, k sa yaflam nda, daha sonra herbiri büyük bir teori olacak bir düzine konuyu bafllatm fl ya da onlara derin katk lar yapm fl, matemati e kavramsal bir bak fl ve yaklafl m getirmifltir. Bunlardan birkaç : Riemann entegrali ve entegrallenebilirlik kavram, Riemann yüzeyleri, Riemann geometrisi, diferansiyel geometri, say lar teorisi (Riemann hipotezi), kompleks analiz (Riemann yüzeyleri, Cauchy-Riemann denklemleri), cebirsel geometri, matematiksel fizik ve daha sonralar topoloji ismini alacak olan analysis situs tür. Yine bu yüzy lda, yukar da sözü edilen, Antik Yunan ça ndan kalma befl sorunun befli de çözülmüfltür. Birinci ve üçüncü sorular n mümkün olmad bir Frans z matematikçisi olan Lindemann Teorem (Lindeman). π say s 0 olmayan bir polinomun kökü de ildir, yani aflk n bir say d r. Wentzel taraf ndan 1837 de kan tland. kinci sorunun mümkün olmad, Lindemann n 1882 de π say s n n transandantal (aflk n) bir say oldu unun ispat ndan sonra anlafl ld. Dördüncü soru, yukar da da söylendi i gibi Gauss taraf ndan 1796 da (p = 17) için ve 1801 de de di er p ler için tam olarak çözüldü. Teorem. p bir asal say olsun. Verilen bir dairenin içine bir düzgün p-genin çizilebilmesi için gerek ve yeter koflul p asal n n a Riemann Entegrali Pozitif bir ƒ fonksiyonuyla x ekseni aras nda kalan alan yukar daki gibi fonksiyonun alt na girecek flekilde dikdörtgenlerle kaplayal m. Ayn fleyi fonksiyonun üstünden de yapal m. E er alttaki dikdörtgenlerin alanlar n n üsts n r, üstteki dikdörtgenlerin alanlar n n alts n r na eflitse, o zaman ƒ fonksiyonuna entegrallenir denir ve ƒ nin a ile b aras ndaki kalan alan eflit olan bu say lardan biri olarak tan mlan r. b 44 fleklinde olmas d r. k = 0 için p = 3 tür, k = 1 için p = 5 ve k = 2 için p = 17 dir. Bir dairenin içine düzgün bir beflgenin çizilebilece ini Öklid biliyordu; 7-genin çizilemeyece- ini Arflimed biliyordu. Arflimed den 1800 lere kadar geçen 2 bin y lda bu soruda hiçbir ilerleme sa lanmam flt ; bu sorunun çözümü için Gauss un dehas gerekiyordu. Öklid in 5. postulat na gelince, bu sorunun çözümü için insanlar n, mant ki tutarl - l k ile fiziki olurlulu un ayn fley olmad n anlamalar gerekiyordu. 5. postalat n yerine onun z tlar olan postulatlar koyarak, Öklid geomet- Lobachevski

Matematik Dünyas, 2004 Bahar risi kadar tutarl, iki yeni geometri oluflturulabilece i Lobachevski (1792-1856), Bolyai (1802-1860) ve Riemann taraf ndan gösterildi. Kummer (1810-1893) ve ö rencilerinin Fermat n n büyük teoremini ispatlamak için Bolyai verdikleri u rafl sonucu halka teorisi ve idealler teorisi; R. Dedekind (1831-1916) gerçel say lar n soyut bir tan m n vermek için yapt çal flmalar sonucu, cisim teorisi; Cayley (1821-1895) ve Sylvester in (1814-1897) çok say da do rusal denklemi tek bir denklem olarak göstermek ve çözmek Kummer Öklid in geometri postülalar : 1. ki noktadan bir do ru geçer. 2. Bir do ru parças sonsuza kadar bir do ru olarak uzat labilir. 3. Bir nokta ve bir do ru parças verilmiflse, merkezi bu nokta olan ve çap verilen do ru parças n n uzunlu unda olan bir çember çizilebilir. 4. Bir dik aç bir baflka dik aç n n üstüne mesafeler de iflmeden tafl nabilir. 5. E er iki do ru üçüncü bir do ruyu kesiyorsa ve kesilen do runun bir taraf nda bu sayede elde edilen iki iç aç n n toplam dik aç - n n iki kat ndan (yani 180 dereceden) küçükse, o zaman üçüncü do ruyu kesen iki do ru yeterince uzat l rsa kesilen do runun ayn taraf nda kesiflirler. Çok genç ölen iki deha: Niels Henrik Abel (1802-1829) ve Evariste Galois (1811-1832) için yapt klar çal flmalar sonucu matris cebiri; ve Grassman n (1809-1877) üç boyuttan çok R. Dedekind boyuta geçme çabalar sonucunda da vektör uzaylar do du. Bu kavramlar matemati e structuralist yani yap sal yaklafl - m ve bak fl aç s n getirecektir. Cayley Sylvester Grassman Bu 1700-1900 aras dönemi, matematikte büyük ilerlemelerin oldu u, çok say da yeni teorinin do du u, yap sal de iflikliklerin oldu u, kan tlarda kesinli in önplana ç kt, kavramsal bak fl aç s n n hesapsal yaklafl m n önüne geçti i bir dönem, k sacas matemati in alt n ça olarak özetleyebiliriz. Alt n ça bir krizle kapand. Bunu da bir sonraki yaz m zda ele al r z. 45

Matemati in K sa Bir Tarihi-VI Beflinci Dönem: Modern Matematik Ça (1900 den bugüne) Ali Ülger* / aulger@ku.edu.tr Matematik Dünyas, 2004 Yaz Kümeler kuram n n, dolay s yla modern matemati in babas Georg Cantor dur (1845-1918). Cantor, Berlin Üniversitesi nde Kummer in ögrencisi olarak 1869 da say lar kuram nda tezini bitirdikten sonra, meslek hayat n n sonuna kadar çal flaca Halle Üniversitesi nde ifle bafllam flt r. Profesyonel matematikçili inin ilk y llar nda, ayn üniversiteden E. Heine nin Can- Georg Cantor tor a sordu u bir soru Cantor un yaflam n, matemati in de seyrini de ifltirecekti. Soru fluydu: [0, 2π] aral nda toplam s f r olan bir trigonometrik Heine nin Cantor a Sordu u Soru: E er her x [0, 2π] için, Σ n (a n cos(nx) + b n sin(nx)) = 0 ise bütün a n ve b n katsay lar s f r olmak zorunda m d r? Bir baflka deyiflle, bir fonksiyon tek bir biçimde mi trigonometrik seri olarak yaz labilir? Daha önce Heine, Dirichlet, Lipschitz ve Riemann gibi ünlü matematikçilerin u rafl p yan tlayamad bu soruyu Cantor 1870 te olumlu yönde yan tlam flt r. serinin katsay - lar n n hepsi s f r m d r? Cantor bu soruyla u rafl rken gerçel say - lar n o güne kadar fark edilmeyen bir özelli inin fark na var r: Rasyonel say larla irrasyonel say lar n ayn * Koç Üniversitesi Matematik Bölümü ö retim üyesi. çoklukta de ildir. Baflka bir ifadeyle, rasyonel say lar kümesiyle irrasyonel say lar kümesi aras nda, her ikisi de sonsuz olmas na karfl n, bir eflleflme yoktur. O halde bu iki kümenin sonsuzluklar ayn de ildir. Böylelikle ortaya küme kavram ve kümelerin, içerdikleri eleman çoklu u aç s ndan s n fland r lmas sorunu ç kt. Bu son kavram sonsuzun tek de il, çok oldu unu söylemektedir. Bu da çok tepki çekecekti. Tarih boyunca, Elea l Zeno dan bafllayarak [MD-2003-III, sayfa 89-91], günümüze kadar, sonsuzluk kavram ve düflüncesi insanlar rahats z etmifltir. Aristo dan Cantor a kadar geçen zaman diliminde sonsuz anlay fl, temelde Aristo nun görüflü olan flu anlay flt r: Sonsuz, ufuk çizgisi gibi, var olmayan ama konuflma kolayl sa lad için kulland m z bir kavramd r. Bu kavram s n rs zl k kavram yerine kullan r z; bir fley, ço alarak ya da büyüyerek, önceden belirleyece imiz bir çoklu un ya da büyüklü ün ötesine geçme potansiyeline sahipse, o fleye sonsuza gidiyor deriz. Baflka bir deyimle, Aristo nun sonsuz anlay fl potansiyel sonsuz anlay fl d r. Cantor a göre ise sonsuz tek bafl na anlaml bir sözcük de ildir. Anlaml olan sonsuz küme kavram d r. Sonsuz kümeler de var olan nesnelerdir. Sonsuz Kümeleri Saymak X ve Y birer küme olsun. E er X ten Y ye giden birebir bir fonksiyon varsa, yani, her x 1, x 2 X için, ƒ(x 1 ) = ƒ(x 2 ) x 1 = x 2 koflulunu sa layan bir ƒ : X Y fonksiyonu varsa, o zaman, sezgisel olarak, Y nin en az X kadar eleman oldu unu söyleyebiliriz. Bu durumda X Y yazal m. E er yukardaki ƒ fonksiyonu ayn zamanda örtense, yani her y Y için ƒ(x) = y koflulunu sa layan x X varsa, o zaman ƒ ye eflleme denir. Bu durumda X le Y nin ayn say da eleman oldu unu düflünmek ve bu durumu X = Y olarak göstermek do al bir e ilimdir. Ancak bu eflitsizlik ve eflitlik simgelerini kullanmaya hak kazanmam z için flu soruyu olumlu yan tlamal y z: E er X Y ve Y X ise X = Y midir? Yani X ten Y ye giden ve Y den X e giden birebir fonksiyonlar varsa, X le Y kümeleri aras nda bir eflleme var m d r? MD-2003-I sayfa 19 da kan tlad m z Schröder-Bernstein Teoremi ne göre yan t evettir. Yan tlanmas gereken ikinci önemli soru fludur: Her X ve Y kümeleri için X Y ve Y X eflitsizliklerinden en az biri geçerli midir? Yan t gene evet tir. Ancak evet yan t n n bedeli vard r: Yan - t n evet oldu unu kan tlamak için hiç de sezgisel olmayan ve geçmiflte çok önemli tart flmalara neden olan Seçme Beliti ni kabul etmek zorunday z [MD- 2003-I, sayfa 29-31]. Seçme Beliti ni bir baflka say - m zda daha ayr nt l konu edece iz. 51