GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

Transkript

1 ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ a. Tan m b. Düzgün Dörtyüzlünün Özelikleri c. Düzgün Dörtyüzlünün Yan Yüz Yüksekli i ç. Düzgün Dörtyüzlünün Cisim Yüksekli i d. Düzgün Dörtyüzlünün Alan e. Düzgün Dörtyüzlünün Hacmi 6. DÜZGÜN SEK ZYÜZLÜ a. Tan m b. Düzgün Sekizyüzlünün Özelikleri c. Düzgün Sekizyüzlünün Alan ç. Düzgün Sekizyüzlünün Hacmi 7. KES K P RAM T a. Tan m b. Düzgün Kesik Piramit c. Düzgün Kesik Piramidin Özelikleri ç. Düzgün Kesik Piramidin Alan d. Kesik Piramidin Hacmi 8. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR TEST II

2 BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu üniteyi çal flt n zda; * Piramitlerin tan m n, nas l meydana geldi ini ve bunlar aras ndaki iliflkiyi kavraya bilecek, * Düzgün piramidin tan m n ve özeliklerini ö renebilecek, * Düzgün olmayan piramit ile düzgün piramidin alan na ait teoremleri ve bu teoremlere ait uygulamalar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Piramidin hacmine ait teoremi ve bu teoreme ait uygulamalar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Düzgün dörtyüzlünün tan m n, özeliklerini, bunlara ait uygulamalar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Düzgün sekizyüzlünün tan m n, özeliklerini, alan ve hacminin nas l hesaplaya bilece ini ve bunlara ait uygulamalar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Kesik piramidin tan m n, özeliklerini alan ve hacminin nas l bulunabilece ini ve bunlara ait uygulamalar n nas l yap ld n ö renebileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Örnek sorular dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal fl n z. * Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar ndan yararlan n z. * Konular anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz. * Her bölümün sonunda verilen al flt rma ve de erlendirme sorular n çözünüz. * Test sorular ile kendinizi deneyiniz. Baflar s z iseniz, baflar s z oldu unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz. 4

3 ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI Bir ABCDE düzlemsel çokgen ve bu çokgensel bölgenin içinde bulundu u P düzleminin d fl ndaki sabit bir T noktas ile, ABCDE çokgensel bölgenin kenarlar üzerindeki noktalardan geçen do rular n oluflturdu u yüzeye piramidal yüzey, çokgensel bölgenin s n rlad cisme de, piramit denir. (fiekil.1) de, ABCDE çokgensel böl-geye piramidin taban, T noktas na piramidin tepe noktas denir. fiekil.1 [TA], [TB], [TC], [TD], [TE] do ru parçalar na piramidin yan ayr tlar, TAB, TBC, TCD, TDE, TEA üçgensel bölgelerine de, piramidin yan yüzleri denir. T tepe noktas ndan, P taban düzlemine indirilen [TH] dikmeye piramidin yüksekli i, bir yan yüzdeki üçgenin tepe noktas ndan kendi taban ayr t na ait [TF] yüksekli ine, bu yan yüze ait yüksekli i denir. Düzgün olmayan piramitlerde, yan ayr tlar n n uzunluklar eflit de ildir. Ayn zamanda da taban düzgün çokgen de ildir. Piramitler taban n oluflturan çokgenin kenar say s na göre adland r l r. Üçgen piramit, dörtgen piramit, beflgen piramit gibi. Piramidin tepe noktas T ve tabandaki çokgen ABCDE ise, (T, ABCDE) fleklinde ifade edilir. 5

4 . DÜZGÜN P RAM T a. Tan m Taban düzgün çokgen olan ve yükseklik aya taban merkezinde bulunan piramide, düzgün piramit denir. (fiekil.) de, bir düzgün alt gen piramit görülmektedir. fiekil. b. Düzgün Piramidin Özelikleri 1. Bir düzgün piramidin yan yüzleri birbirine efl, ikizkenar üçgenlerden oluflur.. Bir düzgün piramidin yan ayr t-lar n n uzunluklar eflittir.. Bir düzgün piramitte, yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar eflittir. Buna düzgün piramidin apotemi denir. 4. Bir düzgün piramidin taban düzgün çokgen oldu undan, taban n çevrel ve iç te et çemberleri vard r. ÖRNEK.1 Bir düzgün alt gen piramidin taban ayr t n n uzunlu u cm ve yan yüz yüksekli i 5 cm oldu una göre, bu piramidin yüksekli ini bulal m. ÇÖZÜM (fiekil.) deki bir düzgün alt gen piramitin taban düzgün alt gen oldu undan, HCD üçgeni eflkenard r. 6

5 fiekil. Eflkenar üçgenin bir kenar n n uzunlu u a = cm oldu undan, bu üçgenin yüksekli i, HG = a =. Piramidin yan yüz yüksekli i TG = 5 cm dir. = cm dir. TH HG oldu undan, THG üçgeni bir dik üçgendir. Bu dik üçgende pisagor teoremine göre, TH = TG - HG dir. Verilen de erler yerine uygulan rsa, TH = 5 - = 5-9 = 16 ise, TH = 4 cm dir. Piramidin yüksekli i: h = TH = 4 cm olur.. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan Bir piramit düzgün piramit de ilse, yan yüzleri farkl üçgenler olaca ndan, yan yüzlere ait yükseklikler de farkl olacakt r. Piramidin tüm alan n bulmak için, her yan yüzün alan ayr ayr hesaplan r. Taban alan da hesaplanarak piramidin tüm alan bulunur. O halde, düzgün olmayan bir piramidin tüm alan, taban alan ile yanal alan n n toplam na eflittir. Taban alan G ve yanal alan Y olan piramidin tüm alan, S = G+Y dir. 7

6 ÖRNEK. Taban kare olan bir piramidin tepesi, karenin bir köflesinden kare düzlemine ç k lan dikme üzerindedir. Karenin bir kenar n n uzunlu u 1 cm, piramidin yüksekli i 5 cm oldu una göre, bu piramidin tüm alan n bulal m. ÇÖZÜM ( T, ABCD) kare piramidinde taban n bir kenar n n uzunlu u a = 1 cm ve yüksekli i TD = 5 cm dir. Piramidin her yanal yüzünün dik üçgen oldu u, (fiekil, 4) de görülmektedir. fiekil.4 Bir dik üçgenlerde, dik kenar uzunluklar eflit olan üçgenlerin alanlar da eflit olaca ndan, Δ Δ Δ Δ A(TAD) = A (TDC) ve A(TAB) = A(TBC) dir. TDC dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TC =TD + DC ifadesinde, de erler yerlerine yaz l rsa, TC = = = 169 ise, TC = 1 cm dir. Buna göre, kare piramidin; Yanal alan: Y = Y = = 16 cm dir. Taban alan : G = a = 1 = 144 cm dir. 8 Tüm alan : S = G+Y = = 60 cm olur.

7 b. Düzgün Piramidin Alan Teorem: Düzgün piramidin yanal alan, taban çevresi ile yan yüz yüksekli inin çarp m n n yar s na eflittir. fiekil.5 s p a t : (fiekil. 5) de, düzgün bir kare piramit, (fiekil. 6) da, düzgün kare piramidin aç k flekli görülmektedir. fiekil.6 ( T, ABCD) piramidinin yanal alan Y, taban ayr t n n uzunlu u a, yan yüz yüksekli i h ve taban çevresi Ç olsun. Yan yüzler dört tane efl ikizkenar üçgenlerdir. Ç = 4a oldu undan, düzgün kare piramidin yanal alan, Y = 4 a.h h = 4a. = 1 Ç. h olur. 9

8 Bu teoreme göre, afla daki ifadeleri söyleyebiliriz. 1. Bir düzgün piramidin tüm alan, taban alan ile yanal alan n toplam na eflittir. S = G+Y dir.. Bir düzgün piramidin taban çevresi ile yan yüz yüksekli inin çarp m yanal alan n iki kat na eflittir. Y = Ç. h. Bir düzgün piramidin taban ndaki düzgün çokgen n kenarl ise, yanal alan, taban çevresi ile, yan yüz yüksekli inin çarp m n n yar s na eflittir. Y = n ah = na. h = 1 Ç. h ÖRNEK. Taban n bir kenar n n uzunlu u 10 cm ve yüksekli i 1 cm olan, düzgün kare piramidin tüm alan n bulal m. fiekil.7 ÇÖZÜM Verilen düzgün kare piramidin taban n bir kenar uzunlu u a =10 cm ve yüksekli i h = 1 cm dir. (fiekil. 7) deki düzgün kare piramitte, [TH] ^ [HE] ve HE = h = [TE] yan yüksekli ini bulmak için, THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, AB dir. 40

9 TE = TH + HE ifadesinden, TE = = = 169 ise, TE = 1 cm dir. Düzgün kare piramidin; Taban çevresi : Ç = 4. a = = 40 cm dir. Yanal alan : Y = Ç. h = = 50 = 60 cm dir. Taban alan : G = a = 10 = 100 cm dir. Tüm alan : A = G + Y = = 60 cm olur. 4. P RAM D N HACM Teorem: Bir piramidin hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflittir. spat: (T, ABC) piramidin taban ABC üçgeni olsun. Piramidin, Taban alan G ve yüksekil i h olsun. Bu piramidi, ayn taban ve yükseklikte olan prizmaya tamamlayal m (fiekil. 8). fiekil.8 ABC ve ETD tabanlar efl ve yükseklikleri de ayn oldu undan elde edilen prizma, (A, TDE), (T, ABC), (C, ETD) efl hacimli piramitlerden oluflmaktad r. O halde, (T, ABC) piramidin hacmi, üçgen prizman n hacminin üçte birine eflit olur. V = 1 G. h d r. 41

10 Bu teoreme göre, afla daki ifadeleri söyleyebiliriz. 1. Piramidin taban herhangi bir çokgen olsun. Bu durumlarda da bütün piramitlerin hacimleri, taban alan ile yüksekli in çarp m n n üçte birine eflittir. V = 1 G. h d r.. Taban alanlar ve yükseklikleri eflit olan piramitlerin hacimleri de eflittir. ÖRNEK. 4 Taban ayr t n n uzunlu u 6 cm ve yüksekli i 8 cm olan kare dik piramidin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen kare dik piramitte taban ayr t n n uzunlu u a = 6 cm ve yüksekli i h = 8 cm oldu undan, Piramidin taban alan : G = a = 6 = 6 cm dir. Piramidin hacmi: V = 1 G. h = = 1. 8 = 96 cm olur. 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ a. Tan m Bütün ayr t da ayn uzunlukta olan üçgen piramide, düzgün dörtyüzlü denir. Bir düzgün dörtyüzlünün istedi imiz yüzeyini taban olarak ald m zda, yine ayn düzgün dörtyüzlü olur (fiekil.9). fiekil.9 4

11 b. Düzgün Döryüzlünün Özelikleri 1. Düzgün dörtyüzlünün bütün yüzleri birbirine efl olan, eflkenar üçgenlerdir.. Düzgün dörtyüzlünün yükseklik aya, tabandaki eflkenar üçgenin a rl k merkezidir. c. Düzgün Dörtyüzlünün Yan Yüz Yüksekli i Bir kenar n n uzunlu u a birim olan bir eflkenar üçgenin yüksekli i, h = a br dir. (fiekil.10) da, bir düzgün dörtyüzlünün bütün yüzleri eflkenar üçgen oldu undan, yan yüz yüsekli i, AE = h = a birim olur. ç. Düzgün Dörtyüzlünün Cisim Yüksekli i Düzgün dörtyüzlünün taban BCD eflkenar üçgeni olsun. H noktas hem BCD eflkenar üçgenin a rl k merkezi, hem de cisim yüksekli linin aya d r (fiekil.10) fiekil.10 Buna göre, EH = 1 DE = 1 a = a 6 AEH dik üçgeninde pisagor teoremine göre, br dir. AH = AE - EH oldu undan, AH = a AH = a a 6 = 7a 6 - a 6 = 4a 6 = a ise, - a 6 ; AH = h = a = a 6 birim olur. 4

12 d. Düzgün Dörtyüzlünün Alan Bir düzgün dörtyüzlünün alan, dört eflkenar üçgenin alanlar toplam na eflit olaca ndan, S = 8. a 4 =. a = a birimkaredir. e. Düzgün Dörtyüzlünün Hacmi Bir piramidin hacmi, taban n n alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflit olaca ndan, düzgün dörtyüzlünün hacmi; V = 1 G. h ifadesinden, V = 1 a 4. a 6 Bu ifadeyi sadelefltirirsek, V = a.. 1 = a 1 = 1. a 18 1 birimküp olur. ÖRNEK. 5 Bir ayr t n n uzunlu u 6 cm olan düzgün dörtyüzlünün, a. Yan yüz yüksekli ini, b. Cisim yüksekli ini, c. Alan n, ç. Hacmini bulal m. ÇÖZÜM Bir ayr t n n uzunlu u, a = 6 cm dir. Verilen düzgün dörtyüzlünün, a. Yan yüz yüksekli i: h = a b. Cisim yüksekli i: h = a 6 ifadesinden, h = 6 ifadesinden, h = 6 6 c. Alan : S = a ifadesinden, S = 6 = 6 cm dir. = cm dir. = 6 cm dir. ç. Hacmi: V = a 1 ifadesinden, V = 6 1 = 16 1 = 18 cm dür. 6. DÜZGÜN SEK ZYÜZLÜ a. Tan m Bütün ayr tlar n n uzunluklar a birim olan iki kare piramidin tabanlar n n birleflmesi ile oluflan cisme, düzgün sekizyüzlü denir (fiekil.11). 44

13 fiekil.11 b. Düzgün Sekizyüzlünün Özelikleri 1. Düzgün sekizyüzlünün tüm yüzleri, birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir.. Düzgün sekizyüzlünün sekiz tane yan yüzü vard r.. Düzgün sekizyüzlünün birbirine eflit ve ikifler ikifler dik olan üç köflegeni vard r. 4. Köflegenler birbirini orta noktalar nda keser. Bu H noktas na, düzgün sekizyüzlünün merkezi denir. c. Düzgün Sekizyüzlünün Alan Tüm ayr tlar n n uzunluklar a birim olan düzgün sekizyüzlünün alan, bir kenar n n uzunlu u a birim olan sekiz tane eflkenar üçgenden oluflur. Bu alan bulmak için, S = 8. a 4 =. a = a birimkaredir. ÖRNEK. 6 Bir ayr t n n uzunlu u 5 cm olan düzgün sekizyüzlünün alan n bulal m. ÇÖZÜM Bir ayr t n n uzunlu u, a = 5 cm dir. Düzgün sekizyüzlünün alan : S = a ifadesinden, S =. 5 = 50 cm olur. 45

14 ç. Düzgün Sekizyüzlünün Hacmi Düzgün sekizyüzlünün hacmi, taban ABCD kare ve tepesi T noktas olan piramidin, hacminin iki kat d r (fiekil.11). fiekil.11 (T, ABCD) piramidin hacmi : V 1 = 1 G. h ifadesinden, V 1 = 1 a. a = a 6 birimküptür. Düzgün sekizyüzlünün hacmi: V = V 1 = a 6 = a birimküptür. ÖRNEK. 7 Bir ayr t n n uzunlu u 9 cm olan düzgün sekizyüzlünün hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen düzgün sekizyüzlünün bir ayr t n n uzunlu u, a = 9 cm d r. Düzgün sekizyüzlünün hacmi: V = a V = 9 ifadesinden, = 79 = 4 cm olur. 46

15 7. KES K P RAM T a. Tan m Bir piramit taban na paralel bir düzlemle kesilirse, kesit düzlemi ile piramidin taban aras nda kalan cisme, kesik piramit denir. (fiekil.1) deki piramidin taban olan ABCD çokgenine, kesik piramidin alt taban, kesit düzlemle ara kesiti olan A B C D çokgenine, kesik piramidin üst taban d r. Alt tabanla üst taban, birbirine benzer olan çokgenlerdir. Kesik piramidin iki taban aras ndaki HH uzakl na, kesik piramidin yüksekli i denir. [AA ], [BB ], [CC ], [DD ] do ru parçalar na yan ayr tlar, yan yüzlerdeki yamuklara, yan yüzler ve bu yamuklar n yüksekli ine de, yan yüz yüksekli i denir. fiekil.1 b. Düzgün Kesik Piramit Düzgün bir piramidin taban na paralel bir düzlemle kesilmesinden elde edilen kesik piramide, düzgün kesik piramit denir. c. Düzgün Kesik Piramidin Özelikleri 1. Düzgün kesik piramitte, alt tabanla üst taban, kenar say lar ayn olan benzer iki düzgün çokgendir.. Düzgün kesik piramitte, yan yüzler birbirine efl olan ikizkenar yamuklard r.. Düzgün kesik piramitte, yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar birbirine eflittir. 4. Düzgün kesik piramitte, tabanlar n a rl k merkezlerini birlefltiren do ru parças tabanlara diktir. Uzunlu u kesik piramidin yüksekli ine eflittir. 47

16 fiekil.1 ç. Düzgün Kesik Piramidin Alan Teorem: Bir düzgün kesik piramidin yanal alan, alt ve üst tabanlar n n çevreleri toplam n n yar s ile, yan yüz yüksekli inin çarp m na eflittir. Y = n a + a h = 1 na + na h = 1 Ç + Ç h olur. spat: Düzgün kesik piramitte, tabanlar düzgün çokgen ve yan yüzler, birbirine efl olan ikizkenar yamuktur. Düzgün kesik piramidin alt taban ayr t n n uzunlu u a birim, üst taban ayr t n n uzunlu u a birim ve yan yüzü olan ikizkenar yamu un yüksekli i h birim olsun (fiekil. 1). Bu yamu un alt taban çevresi Ç birim, üst taban çevresi Ç birim olsun. Taban n kenar uzunluklar eflit ve n tane efl olan kesik piramitte, n tane ikizkenar yamuk olaca ndan, düzgün kesik piramidin yanal alan, Bu teoreme göre, afla daki ifadeleri söyleyebiliriz: 1. Bir düzgün kesik piramidin tüm alan, yanal alan ile alt ve üst taban alanlar n n toplam na eflittir. 48

17 Bir düzgün kesik piramidin alt taban alan G br, üst taban alan G br, yanal alan Y br ve tüm alan S br ise, S = G + G + Y dir.. Taban alan G olan bir piramidin herhangi bir taban na paralel enine kesitinin alan G olsun. Piramidin yüksekli i h ve enine kesitin tepeden uzakl h ise, h = G dir. h G. ki piramidin tabanlar n n alanlar ve yükseklikleri eflit ise, bu piramitlerin tepeden eflit uzakl kta bulunan enine kesitlerinin alanlar da eflittir. 4. Taban n gen olan düzgün kesik piramitte, yan yüzleri birbirine efl n tane ikizkenar yamuk vard r. ÖRNEK.8 Bir kare düzgün kesik piramidin, alt taban n n bir kenar n n uzunlu u 8 cm, üst taban n n bir kenar n n uzunlu u 6 cm ve yan yüz yüksekli i, 1 cm dir. Bu kesik piramidin yanal alan n ve tüm alan n bulal m. ÇÖZÜM Verilen kare düzgün kesik piramidin taban kenarlar n n uzunluklar, a =8 cm, a = 6 cm ve yan yüz yüksekli i h = 1 cm dir. Bu kare düzgün kesik piramidin yanal alan n bulmak için, önce alt ve üst taban çevrelerini bulal m. Kare düzgün kesik piramidin; Alt taban çevresi: Ç = 4. a ifadesinden, Ç = 4. 8 = cm dir. Üst taban çevresi: Ç = 4. a ifadesinden, Ç = 4. 6 = 4 cm dir. Yanal alan: Y = 1 Ç + Ç. h ifadesinden, Y = = = 8. 1 = 6 cm olur. Alt taban n alan : G = a ifadesinden, G = 8 = 64 cm dir. Üst taban n alan : G = (a ) ifadesinden, G = 6 = 6 cm dir. Tüm alan: S = Y + G + G ifadesinden, S = = 46 cm olur. d. Kesik Piramidin Hacmi Teorem: Taban alanlar G ve G yüksekli i h olan bir kesik piramidin hacmi: 49

18 V = h G + G + G. G dür. spat: Kesik piramidin yüksekli i h, alt taban G ve üst taban G dür. (T, DEF) piramidin yüksekli i h, (T, ABC) piramidin yüksekli i h + h olsun., (fiekil.14) deki kesik piramidin hacmi, (T, ABC) ve (T, DEF) piramitlerinin hacimleri fark na eflittir. Buna göre, Bu teoreme göre, afla daki ifadeleri söyleyebiliriz: 1. Verilen bir piramit, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, elde edilen küçük piramit ile kendisinin hacimleri oran, yüksekliklerinin oran n n küpüne eflittir. fiekil.14 V = G. h + h - G h DEF ABC oldu undan, = Gh + Gh - G h = G G = h h +h dir. Gh + G - G h dür. (1) Her iki taraf n karekökünü al rsak, 50

19 G G = h h +h Buradan, h. G = h G + h G, h G - h G = h G ; h G - G = h G ise, h = h G G - G olur. Bu de er (1) eflitli inde yerine yaz l rsa, V = Gh + G - G h G G - G = 1 Gh + G - G h G G - G ; V = h G + G + G. G = h G + G + G.G olur. V 1 = h 1 V h dir.. Herhangi bir piramit, taban na paralel eflit aral kl paralel düzlemlerle kesilsin. Üstte kalan küçük piramidin hacmi V ise, kesik piramitlerin hacimleri s ras yla, 7V, 19V, 7V, 61V,... dir.. Bir kesik piramitin, alt taban n kenar uzunlu u a, alan G ve üst taban n kenar uzunlu u a, alan G olsun. Bu taban kenarlar n n uzunluklar n n oran a a = k ise, a a = k dir. Bunu da taban alanlar cinsinden yazarsak, G G = k oldu undan, G = G. k dir. V = h G + G + GG ifadesinde G de eri yerine yaz l rsa, V = h G + G.k + G. G. k = h G + G. k + Gk dir. Bunu da düzenlersek, V = G. h 1 + k + k olur. 51

20 ÖRNEK. 9 Yüksekli i 15 cm olan bir piramit, tepeden 5 cm uzakl kta, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesit alan 0 cm oldu una göre, bu kesik piramidin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen piramidin yüksekli i h = 15 cm ve h = 5 cm dir. Kesitin alan G = 0 cm oldu una göre, önce bu piramidin taban alan n bulal m. Bir piramitte, tabana paralel kesit alan n n, taban alan na oran, tepenin bu düzlemlere olan uzakl klar n n karelerinin oran na eflittir. Buna göre, G G = h oldu undan, h 0 = 5 ; 0 G 15 G = 5 5 ; 0 G = 1 Buradan, 9 G = 0. 9 = 70 cm olarak bulunur. Kesik piramidin yüksekli i: h = 15-5 = 10 cm dir. Kesik piramidin hacmi: V = h G + G + G. G ifadesinden, V = 10 V = = = , = 100 cm olur. 8. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖRNEK. 10 Taban çevresi 48 cm ve yan yüz yüksekli i 10 cm olan kare dik piramidin yanal alan n, tüm alan n ve hacmini bulal m. 5 fiekil.15

21 ÇÖZÜM Verilen kare dik piramidin taban çevresi Ç = 48 cm ve yan yüz yüksekli i l = 10 cm dir. Taban n bir kenar uzunlu u a ise, Ç = 4. a ifadesinden, 48 = 4. a oldu undan, a = 1 cm dir. (fiekil.15) de, H. noktas karenin a rl k merkezi oldu undan, HE = a = 4 = 1 cm dir. Kare dik piramidin yan yüz yüksekli i l = TE = 10 cm olarak veriliyor. THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TH = TE - HE ifadesinden, TH = 10-6 = = 64 ise, TH = 8 cm dir. Böylece, kare dik piramidin yüksekli i : TH = h = 8 cm dir. Kare dik piramidin; Yanal alan : Y= Ç. l ifadesinden, Y = = 40 cm dir. Taban alan : G = a ifadesinden, G = 1 = 144 cm dir. Tüm alan : S = Y + G ifadesinden, G = = 84 cm dir. Hacmi: V = G. h ifadesinden, V = = 115 = 84 cm olur. ÖRNEK. 11 Taban n bir kenar n n uzunlu u 4 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekli i 1 cm dir. Bu piramidin tepesinden cm uzakl kta, taban na paralel bir düzlemle kesili yor. Elde edilen kesitin alan n bulal m. ÇÖZÜM Verilen kare dik piramidin taban n n bir kenar n n uzunlu u a = 4 cm yan yüz yüksekli i l = 1 cm ve h = cm dir. 5

22 (fiekil. 16) da, H noktas karenin a rl k merkezidir. Buna göre, HE = a = 4 = 1 cm dir. Kare dik piramidin yanal yüksekli i, l = TE = 1 cm olarak veriliyor. THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TH = TE - HE ifadesinden, Kare dik primadin taban n n alan : G = a ifadesinden, G = 4 = 576 cm dir. fiekil.16 TH = 1-1 = = 5 ise, TH = 5cm dir. Böylece kare dik piramidin yüksekli i TH = h = 5 cm dir. Kesitin alan G ise, G G = h G 576 = 5 ; G 576 = 9 5 ; G = h ifadesinden, = = 07,6 cm olur. 54

23 ÖRNEK.1 Taban kare olan bir düzgün piramidin, taban kenar uzunlu u 6 cm ve yüksekli i 4 cm dir. Bu piramidin tüm alan ve hacmini bulal m. Aç n m n çizelim. ÇÖZÜM Bir kenar uzunlu u a = 6 cm olan ABCD karesinin merkezi H olsun. H noktas ndan kare düzlemine ç k lan dikme üzerinde HT = 4 cm alal m. Böylece istenilen (T, A B C D ) piramidini elde etmifl oluruz (fiekil.17). fiekil.17 [BC] nin ortas E noktas olsun. TBC ikizkenar üçgen oldu undan, [BC] ^ [TE] dir. HE = AB = 6 = cm ve TH = h = 4 cm dir. THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TE = TH + HE ifadesinden, TE = 4 + = = 5 ise, TE= 5 dir. Böylece yanal yükseklik TE = l = 5 cm dir. Düzgün kare piramidin; Taban çevresi : Ç = 4. a ifadesinden, Ç = 4. 6 = 4 cm dir. Yanal alan : Y = Ç. l ifadesinden, Y = 4. 5 Taban alan : G = a ifadesinden G = 6 = 6 cm dir. = 10 = 60 cm dir. Tüm alan : S = Y + G ifadesinden, S= = 96 cm dir. 55

24 fiimdi de düzgün kare piramidin aç k fleklini çizelim. (T, ABCD) düzgün kare piramidini çizmek için, önce bir kenar uzunlu u 6 cm olan ABCD karesi çizilir. Bu karenin kenarlar üzerine yüksekli i 5 cm olan dört tane ikizkenar üçgenler çizilir. Böylece, düzgün kare piramidin aç k flekli çizilmifl olur (fiekil. 18). fiekil.18 ÖRNEK. 1 Bir eflkenar üçgen dik piramidin taban n n bir kenar n n uzunlu u 1 cm ve yan yüz yüksekli inin, piramidin yüksekli i ile yapt aç n n ölçüsü, 45 dir. Bu piramidin tüm alan ve hacmini bulal m. ÇÖZÜM Taban n n bir kenar n n uzunlu u a = 1 cm olan üçgen dik piramit (T, ABC) olsun. (fiekil.19). 56 fiekil.19

25 Burada TH = h piramidin yüksekli i, TD = l yan yüz yüksekliktir. H noktas ABC üçgenin a rl k merkezidir. ABC üçgeninde, [AD] kenarortay ayn zamanda üçgenin yüksekli i oldu undan, AD = a ifadesinden, AD = 1 = 6 cm dir. HD = 1 AD oldu undan, HD = 1 6 = cm dir. THD diküçgeninde, s HTD = 45 oldu undan, THD üçgeni ikizkenar dik üçgendir. TH = HD = cm dir. THD dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TD = TH + HD ifadesinden, TD = + ; TD = = 4 ise, TD = 4 = 6 cm dir. Eflkenar üçgen dik piramidin; Taban çevresi : Ç =. a ifadesinden, Ç =. 1 = 6 cm dir. Taban n alan : G = a 4 ifadesinden, G = 1 4 = = 6 cm dir. Yanal alan : Y = Ç. l ifadesinden, Y = 6. 6 = 7 6 = 6 6 cm dir. Tüm alan : S = Y + G ifadesinden, S = = cm dir. Hacmi : V = G. h V = 6. 6 ifadesinden, = 7. 6 = 4 18 = 7 cm olur. ÖRNEK. 14 Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alan Bu düzgün dörtyüzlünün hacmini bulal m. 18 cm dir. ÇÖZÜM Verilen düzgün dörtyüzlünün tüm alan 18 cm dir. Hacmini bulmak için, önce düzgün dörtyüzlünün bir ayr t n n uzunlu unu bulal m. Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alan, S = a ifadesinden, 57

26 18 = a ; a = 18 ise, a= cm dir. Düzgün dörtyüzlünün hacmi: V = a 1 ifadesinden, V = 1 ÖRNEK. 15 = = = 9 cm olur. Taban alan 6 cm olan düzgün dörtyüzlünün tüm alan n ve hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen düzgün dörtyüzlünün taban alan G = 6 cm dir. Düzgün dörtyüzlünün, taban eflkenar üçgen oldu undan, Taban alan, G = a 4 ifadesinden, 6 = a 4 ; a = 4 ise, a= 6 cm dir. Böylece, düzgün dörtyüzlünün bir kenar n n uzunlu u, a = 6 cm dir. Düzgün dörtyüzlünün dört yüzü de birbirine eflit oldu undan, Tüm alan : S = 4. 6 = 4 cm dir. Hacmi : V = a 1 V = ifadesinden, V = 6. 1 = 96 1 = 8 cm olur. = ÖRNEK. 16 Bir ayr t n n uzunlu u 1 cm olan düzgün sekizyüzlünün alan n ve hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen düzgün sekizyüzlünün bir ayr t n n uzunlu u a = 1 cm dir. Düzgün sekizyüzlünün; Alan : S = a ifadesinden, S = 1 =. 144 = 88 cm dir. Hacmi: V = a ifadesinden, V = 1 =. 178 = 576 cm olur. 58

27 ÖRNEK. 17 Bir piramidin taban alan 7 cm, yanal alan 90 cm ve yüksekli i 1 cm dir. Yüksekli i tepeden 4 cm uzakl kta tabana paralel bir düzlemle kesildi inde, elde edilen kesik piramidin tüm alan n bulal m. ÇÖZÜM Verilen bir piramidin taban alan G = 7 cm, yanal alan Y = 90 cm, yüksekli i h = 1 cm ve h = 4 cm dir. (fiekil.0) de, ABC üçgeni DEF üçgenine bezerdir. fiekil.0 Benzerlik oran, h h = 4 1 = 1 = k dır. A DEF A ABC = k oldu undan, A DEF 7 = 1 9, G = A DEF = 7 9 = cm dir. Üsteki küçük piramidin yanal alan Y olsun Y Y = k oldu undan, Y 90 = 1 ; Y = = 10 cm dir. Kesik piramidin yanal alan : Y - Y = = 80 cm dir. Kesik piramidin tüm alan : S = G + G + Y - Y ifadesinden, S = = 110 cm olur. 59

28 ÖRNEK. 18 Alt taban ayr t n n uzunlu u 8 cm, üst taban ayr t n n uzunlu u 5 cm olan düzgün kesik kare piramidin yüksekli i 1 cm dir. Bu düzgün kesik kare piramidin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen düzgün kesik kare piramidin, alt taban ayr t n n uzunlu u a = 8 cm, üst taban ayr t n n uzunlu u, a = 5 cm ve yüksekli i h = 1 cm dir. Buna göre, düzgün kesik kare piramidin; Alt taban alan : G = a ifadesinden, G = 8 = 64 cm d r. Üst taban alan : G = a ifadesinden, G = 5 = 5 cm dir. Hacmi : V = h G + G + G. G ifadesinden, V = = V = = = 516 cm olur. ÖRNEK. 19 Bir piramit, yanal ayr tlar n n orta noktalar ndan geçen bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesik piramit, küçük piramidin 7 kat oldu unu bulal m. ÇÖZÜM (fiekil.1) deki (T, ABCD) piramidini, yan ayr tlar n orta noktalar ndan geçen (A B C D ) düzlemiyle keselim. (T, ABCD) piramidinin (T, A B C D ) piramidinin 8 kat na denk oldu unu gösterirsek, kesik piramit, küçük piramidin 7 kat na denk olur. 60 fiekil.1

29 T, ABCD piramidin hacmi: V = 1 G. h d r. T, A B C D piramidin hacmi: V = 1 G h dir. 1 V V = G. h 1 G h = G G dir. G G = h h = 4 tür. Bu de er yerine yaz l rsa, V = 8 veya V = 8 V olur. V Böylece, büyük piramit, küçük piramidin 8 kat oluyor. O halde, kesik piramit, küçük piramidin 7 kat olur. 61

30 ÖZET Bir düzlemsel çokgen ve bu çokgensel bölgenin d fl ndaki sabit bir nokta alal m. Sabit nokta ile çokgensel bölgenin kenarlar üzerindeki noktalardan geçen do rular n oluflturdu u yüzeye piramidal yüzey, çokgensel bölgenin s n rlad cisme de piramit denir. Çokgensel bölgeye piramidin taban, sabit noktaya piramidin tepe noktas, tepe noktas ndan taban düzlemine indirilen dikmeye, piramidin yüksekli i denir. Piramitler, taban n oluflturan çokgenin kenar say s na göre adland r l r. Taban düzgün çokgen olan ve yükseklik aya taban merkezinde bulunan piramide düzgün piramit denir. Bir düzgün piramidin yan yüzleri birbirine efl, yan ayr tlar n n uzunluklar ve yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar eflittir. Düzgün olmayan bir piramidin tüm alan, taban alan ile yanal alanlar n n toplam na eflittir. S = G + Y dir. Düzgün piramidin yanal alan, tabana çevresi ile, yan yüz yüksekli inin çarp m n n yar s na eflittir. Tüm alan ise, taban alan ile yanal alan n toplam na eflittir. Y = 1 Ç. h ve S = G + Y dir. Bir piramidin hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflittir. V = 1 G. h dir. Bütün ayr t da ayn uzunlukta olan üçgen piramide, düzgün dörtyüzlü denir. Düzgün dörtyüzlünün, bütün yüzleri birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir. Yükseklik aya da, tabandaki eflkanar üçgenin a rl k merkezidir. Bir ayr t n n uzunlu u a birim olan düzgün dörtyüzlünün, 1. Yan yüz yüksekli i : h = a birimdir.. Cisim yüksekli i : h = a 6 birimdir.. Alan : S = a birimkaredir. 4. Hacmi : V = a 1 birimküptür. Bütün ayr tlar n n uzunluklar a birim olan iki kare piramidin, tabanlar n n birleflmesi ile oluflan cisme düzgün sekizyüzlü denir. Düzgün sekizyüzlünün bütün yüzleri birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir. Sekiz tane yan yüzü vard r. 6

31 Bir ayr t n n uzunlu u a birim alan düzgün sekizyüzlünün, 1. Alan : S = a birimkaredir.. Hacmi : V = a birimküptür. Bir piramit taban na paralel bir düzlemle kesilirse, kesit düzlemi ve piramidin taban aras nda kalan cisme, kesik piramit denir. Kesik piramidin alt taban ve üst taban olmak üzere iki taban vard r. Bu tabanlar birbirine benzer olan çokgenlerdir. Kesik piramidin iki taban aras ndaki uzakl a kesik piramadin yüksekli i denir. Düzgün bir piramidin taban na paralel bir düzlemle kesilmesinden elde edilen kesik piramide, düzgün kesik piramit denir. Düzgün kesik piramitte alt tabanla üst taban kenar say lar ayn olan benzer iki düzgün çokgendir. Yan yüzleri de birbirine efl olan ikizkenar yamuklard r. Yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar birbirine eflittir. Bir düzgün kesik piramadin yanal alan, alt ve üst tabanlar n n çevreleri toplam n n yar s ile, yan yüz yüksekli inin çarp m na eflittir. Y = 1 Ç + Ç. h d r. Bir kesik piramidin tüm alan, alt taban alan ve üst taban alan ile yanal alan toplam na eflittir. S = G + G + Y dir. Taban alanlar G ve G, yüksekli i h olan bir kesik primadin hacmi: V = h G + G + G. G dür. Verilen bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesilirse, elde edilen küçük piramit ile kendisinin hacimleri oran, yüksekliklerinin oran n n küpüne eflittir. V 1 = h 1 dür. V h 6

32 ALIfiTIRMALAR 1. Taban n n bir kenar n n uzunlu u 0 cm ve yan yüz yüksekli i 5 cm olan, kare dik piramidin yanal alan n ve tüm alan n bulunuz.. Yüksekli i 1 cm ve yan yüz yüksekli i 15 cm olan kare dik piramidin tüm alan n ve hacmini bulunuz.. Bir taban kenar n n uzunlu u 6 cm ve yüksekli i 1 cm olan, düzgün alt gen piramidin hacmini bulunuz. 4. Dikdörtgen tabanl dik piramidin taban kenarlar n n uzunluklar 18 cm, 10 cm ve yük sekli i 1 cm dir. Bu piramidin hacmini bulunuz. 5. Taban n n bir kenar n n uzunlu u cm olan bir düzgün alt gen dik piramidin yük sekli i 4 cm dir. Bu piramadin hacmini bulunuz. 6. Bütün alan 100 cm olan düzgün dörtyüzlünün bir ayr t n n uzunlu unu ve hacmini bulunuz. 7. Bir ayr t n n uzunlu u 6 cm olan bir düzgün sekizyüzlünün alan n ve hacmini bulunuz. 8. Hacmi 48 cm olan bir eflkenar dörtgen piramidin taban köflegenlerinin uzunluklar s rayla 4 cm ve 6 cm dir. Bu piramidin yüksekli ini bulunuz. 9. Taban alan 60 cm ve yüksekli i 6 cm olan bir piramit, tepeden itibaren cm uzakl ktan tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitin alan n ve kesik piramidin hacmini bulunuz. 10. Tabanlar kare olan düzgün kesik piramidin alt taban ayr t n n uzunlu u 4 cm, üst taban ayr t n n uzunlu u 8 cm ve yan ayr t n n uzunlu u 15 cm dir. Bu düzgün kesik piramidin tüm alan n ve hacmini bulunuz. 11. Yanal yüzleri eflkenar üçgen olan bir kare düzgün piramidin taban alan 64 cm dir. Buna göre, bu dik piramidin tüm alan n bulunuz. 1. Tabanlar eflkanar üçgen olan kesik piramidin alt taban ayr t n n uzunlu u 6 cm, üst taban ayr t n uzunlu u 4 cm dir. Yüksekli i cm oldu una göre, bu kesik piramidin hacmini bulunuz. 1. Taban ayr t n n uzunlu u 16 cm ve hacmi 51 cm olan düzgün kare piramidin yanal alan n bulunuz. 64

33 14. Bir piramidin taban alan 6 cm dir. Taban na paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitin alan 9 cm oldu una göre, büyük piramidin hacmi, küçük piramidin hacminin kaç kat oldu unu bulunuz Yanal yüzleri taban düzlemiyle 0 lik aç yapan düzgün kare piramidin yüksekli i 4 cm dir. Buna göre, bu düzgün kare piramidin tüm alan n ve hacmini bulunuz. 65

34 TEST II 1. Bir kare dik piramidin taban n bir kenar n n uzunlu u 1 cm ve yüksekli i 8 cm oldu una göre, yanal alan kaç cm dir? A) 40 B) 0 C) 60 D) 480. Bir kare dik piramidin taban n bir kenar n n uzunlu u 16 cm ve yan yüz yüksekli i 17 cm dir. Bu piramidin hacmi kaç cm tür? A) 1156 B) 180 C) 160 D) 140. Taban n n bir kenar n n uzunlu u 6 cm olan kare dik piramidin yüksekli i 4 cm dir. Bu piramidin tüm alan kaç cm dir? A) 78 B) 84 C) 96 D) Bir kare dik piramidin taban n n bir kenar n n uzunlu u 1 cm, yüksekli i 15 cm dir. Bu piramidin hacmi kaç cm tür? A) 60 B) 70 C) 1440 D) Taban n n bir kenar n n uzunlu u 4 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekli i 0 cm dir. Bu piramidin hacmi kaç cm tür? A) 885 B) 960 C) 04 D) 07 66

35 6. Bir düzgün dörtyüzlünün kaç ayr t vard r? A) 4 B) 6 C) 8 D) 1 7. Bir düzgün dörtyüzlünün yüksekli i cm oldu una göre, hacmi kaç cm t ü r? A) 9 B) 1 C) 18 D) 6 8. Bir düzgün sekizyüzlünün alan n n say sal de eri ile hacminin say sal de erine eflittir. Bu sekizyüzlünün bir ayr t n n uzunlu u kaç birimdir? A) B) C) 5 D) 6 9. Taban eflkenar üçgen olan bir dik piramidin taban alan n n say sal de eri ile hacminin say sal de eri birbirine eflit ise, yüksekli i kaç birimdir? A) 1 B) C) D) Bir kare dik piramidin taban alan 100 cm ve yüksekli i 1 cm dir. Bu kare dik piramidin tüm alan kaç cm dir? A) 40 B) 60 C) 40 D)

36 11. Taban çevre uzunluklar eflit, yan yüz yüksekliklerinin oran 1 olan, ayn tür iki dik piramidin yanal alanlar n n oran kaçt r? A) 1 1 B) 1 9 C) 1 6 D) 1 1. Taban alanlar eflit olan iki dik piramidin hacimleri oran n n 1 olmas için, yüksek liklerinin oran kaçt r? A) 1 7 B) 1 18 C) 1 9 D) 1 1. Alt taban kenar n n uzunlu u 10 cm, üst taban kenar n n uzunlu u 5 cm ve yüksekli i 6 cm olan kare dik kesik piramidin hacmi kaç cm tür? A) 50 B) 00 C) 50 D) Kare dik piramidin taban n n bir ayr t n n uzunlu u 1 cm tüm alan 84 cm ise, bu piramidin hacmi kaç cm tür? A) 84 B) 480 C) 576 D) 67 68

37 1 5. Bir taban ayr t n n uzunlu u 8 cm ve yüksekli i 1 cm olan kare dik piramit, tepeden cm uzakl kta tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Bu kesitin alan kaç cm dir? A) 4 B) 6 C) 8 D) (fiekil. ) deki kesik piramitte, A ABC A A B C = 5 4 dür. fiekil. T ( A B C ) piramidinin hacmi 8 cm i s e, ( T, ABC) piramidinin hacmi kaç cm t ü r? A) 64 B) 15 C) 18 D) Bir kare dik piramit, tepeden itibaren 1 oran nda taban, düzlemine paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitin taban alan 8 cm ise, ilk piramidin taban alan kaç cm dir? A) 4 B) 7 C) 96 D) 19 69

38 18. Taban alan 16 cm olan bir kare dik piramit (fiekil.) deki gibi tabana paralel yüzey oluflturacak flekilde kesiliyor. Elde edilen yüzeyin alan 4 cm ve kesik piramidin yüksekli i 6 cm oldu una göre, bu kesik piramidin hacmi kaç cm tür? fiekil. A) 8 B) 56 C) 84 D) Bütün ayr tlar n n uzunluklar toplam 54 cm olan düzgün dörtyüzlünün alan, kaç cm dir? A) 7 B) 81 C) 16 D) 4 0. Tüm ayr t uzunluklar n n herbiri 6 cm olan kare dik piramidin hacmi kaç cm tür? A) 6 B) 7 C) 7 D)